最优控制 第1 2章

& f δx(t f ) = δx(t * ) + [ x(t * + δt f ) − x(t * )] ≈ δx(t * ) + x(t * )δt f （2－12） f f f f
即 δx(t * ) = δx(t f ) − x(t * )δt f & f f
§2.2无约束条件的泛函极值问题
§2.1变分的基本概念
§2.1变分的基本概念
§2.1变分的基本概念
2-1
X (t )
2-2
§2.2无约束条件的泛函极值问题
§2.2无约束条件的泛函极值问题
§2.2无约束条件的泛函极值问题
∂L t f ⎛ ∂L ⎞ ⎛ ∂l ⎞ δx = ⎜ ⎟ δx(t f ) − ⎜ ⎟ δx(t 0 ) = 0 & & & ∂x t0 ⎝ ∂x ⎠ t =t f ⎝ ∂x ⎠ t =t0
Hale Waihona Puke §2.2无约束条件的泛函极值问题
x ) 二. t f为自由时，(t f 自由或受约束时的泛函极值问题
c(t )
x(t )
δ x(t * f )
*
δ x(t f )
x(t * f + δ t f )
x (t )
x* (t * f )
x(t * f )
t0
t* f
t* f + δ t f = t f
t * 存在变分 δt f 关键问题：在最优终端时刻 f
最优估计以随机过程和概率论为基础:最小二乘.极大似然.贝 叶斯估计.卡尔曼滤波 随机最优控制:最优估计来估计状态,再进行最优控制.
§1.1最优控制发展史
§1.1最优控制发展史
§1.1最优控制发展史
三、最优控制的发展史
五十年代随着空间技术的发展，导弹、卫星等都是多输入 －多输出的非线性系统，而且在性能上有严格的要求，如 消耗燃料最少，飞行速度要快，在重量和可靠性方面也有 严格的要求。工程上的需要刺激了最优控制理论的发展。
J [X 1 + X 2 ] = J ( X 1 ) + J ( X 2 )
α 是实数， X 1和
X 2 是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分 自变量X(t)函数的变分是指同属于函数 类 {X (t )} 中两个函数 X1(t),X2(t) 之差，记为
δX = X 1 (t ) − X 2 (t )
发展过程：
50年代初期Bushaw研究了伺服系统的时间最优控制问题 Lasalle发展了时间最优控制理论。Bang-Bang控制，主要 从工程上解决 最优控制的本质是变分学的问题，但经典变分理论所能解 决的，只是其容许控制属于开集（不受约束）的一类最优 控制问题，而实际上遇到更多的却是容许控制属于闭集的 一类最优控制问题。
J = ∫ x(t )dt
0 1
是泛函，J的取值随x(t)的选取而确定。
当
1 ⎧ x ( t ) = t 时， J = ⎪ 2 ⎨ ⎪ x ( t ) = sin t 时， J = 1 − cos 1 ⎩
补充定义：设X是一个赋范线性空间，称映射 f : X → R 1 为X上的一个泛函。（值域为实数集）
当由
(t * , x * (t * )) 移动到( t f f f
*
+ δ t f , x * ( t *f ) + δ x ( t f )) 产生的性能泛函
*
的增量：
ΔJ = ∫ = ∫*
tf t * +δt f f t0 t * +δt f f
& & & L x (t ) + δx(t ), x (t ) + δx(t ), t dt − ∫ L x * (t ), x * (t ), t dt
f 0
性能指标的确定因问题而异，为最优控制问题确定恰当的 性能指标不仅需要理论知识而且需要实践经验。 性能指标J是控制作用 u (t ) 的函数——泛函
§1.2 最优控制问题的提法
第二部分 最优控制
1 2 3 4 5 6
绪论 用变分法解最优控制－泛函极值问题 最小值原理及其应用 线性二次型指标的最优控制 动态规划 最优控制的计算方法
§1.1最优控制发展史
1953－1957年，美国的Bellman R. 创立了动态规划法： 依据最优性原理，发展了变分学中的哈密顿一雅可比 （Hamilton-Jacobi）理论，构成了“动态规划”。 1956－1958年，前苏联的庞特里雅金提出了最大值原理 （也叫极小值原理）：受到力学中的哈密顿原理的启发， 先是推测出“最大值原理”，随后又提供了一种证明方 法。 时至今日，计算机技术的发展为最优控制系统的研究与实 现提供了强有力的工具。最优控制理论的研究，无论在深 度和广度上，都有了较大的进展，
§2.2无约束条件的泛函极值问题
& δJ = ∫ ⎢ − δxdt + δx + L[x * (t ), x * (t ), t ] t δt f ⎥ t & & ∂x t ⎣ ∂x dt ∂x ⎦
t *f
0
⎡ ∂L
d ∂L ⎤
∂L
t *f
0
* f
利用泛函极值必要条件及预备定理可知：
∂L d ⎛ ∂L ⎞ − ⎜ ⎟=0 & ∂x dt ⎝ ∂x ⎠ ∂L & δx(t * ) + L x * (t ), x * (t ), t f & ∂x t *f
§1.1最优控制发展史
二、最优控制在现代控制理论的地位
现代控制理论包括四个方面: 1、线性系统理论：研究线性系统的运动规律及如何对其 控制。 两种研究方法：时域和频域 时域：以状态空间为基础:状态方程和输出方程
⎧能控性.能观性.稳定性 — 分析 ⎨ ⎩极点配置.解耦问题.状态观测 — 综合
频域：状态空间描述转为频率域描述
t *f
（2－16）
对上式的第二项进行分部积分得：
t *f ⎧ ⎡ ∂L ⎫ d ∂L ⎤ ∂L δJ = δx + ∫ ⎨ ⎢ − δx + HOT ⎬dt & &⎦ ∂x t0 t0 ⎩ ⎣ ∂x dt ∂x ⎥ ⎭
（2－17）
将（2－15）（2－17）代入到（2－14） 中，并取其线性 主部，可得变分：
J = ∫ [ qx (t ) + ru (t )]dt
2 0 tf 2
即求 u (t )的变化规律，J使最小。
§1.2 最优控制问题的提法
§1.2 最优控制问题的提法
二 最优控制问题的四个组成部分 1、受控系统的状态方程
§1.2 最优控制问题的提法
§1.2 最优控制问题的提法
3. 性能指标（目标函数、代价函数） 衡量控制系统在每一个控制作用下工作的好坏。 综合性能指标所对应的最优控制问题称为Bolza问题。 当只有终端性能指标时，称为Mayer问题； 在导弹拦截问题中，如果要求导弹的弹着点的散布度最 小，这时可以用终端性能指标。 当只有积分性能指标时，称为Lagrange问题。 在最速下降问题中，要求系统从一个状态过渡到另一个状 t 态的时间最短，即 ∫t dt → min ，是积分性能指标。
§1.1最优控制发展史
• • • • • • 分布参数的最优控制 随机系统的最优控制 鲁棒最优控制 大系统的最优控制 奇异最优控制 对策论与极大极小控制等等 变分法，极小值原理、线性二次最优控制、动态规划
四、主要内容
§1.2 最优控制问题的提法
§1.2 最优控制问题的提法
§1.2 最优控制问题的提法
第二部分 最优控制
1 2 3 4 5 6
绪论 用变分法解最优控制－泛函极值问题 最小值原理及其应用 线性二次型指标的最优控制 动态规划 最优控制的计算方法
§1.1最优控制发展史
一、 最优控制的定义
在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其它有目的 的活动中，常需要对被控系统或被控过程施加某种控制作 用以使某个性能指标达到最优，这种控制作用称为最优控 制。 {受控系统－控制作用－性能指标}
§1.1最优控制发展史
φ 其中， —状态转移矩阵 G—输入矩阵 T—噪声分布矩阵 W(k)系统噪声, V(k)量测噪声，Z(t)是受到噪声污染的输出。 ∧ 利用Z(t)估计出X(t)的估值 X (t )，在[ t 0 , t1]段内的量测为Z(t), ∧ 相应的估值为 X (t ) ，则
∧ ⎧ X ⎪当t = t1时， (t )称为X (t )的估计（滤波） ∧ ⎪ 当t < t1时， (t )称为X (t )的平滑 X ⎨ ⎪ ∧ ⎪当t < t1时， (t )称为X (t )的预测 X ⎩
§2.1变分的基本概念
2、 泛函的连续性 若对任给的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，
ˆ ˆ X (t ) − X (t ) < δ 时，就有 J ( X ) − J ( X ) < ε
当
ˆ 则称J(x)在 X 处是连续的。
3、 线性泛函 如果J(X)是连续的，并满足以下条件
J [αX ] = αJ (X )
第二章 用变分法解最优控制－泛函极值问题
最优控制问题是在某些条件下寻求一容许控制u(t)，使性 能指标为 取极值。 性能指标是一个泛函，最优控制则是求泛函极值 本章的核心内容：变分法 无约束条件的泛函极值问题 有约束条件的泛函极值问题 将要遇到的几类数学问题：矩阵运算、泛函的变分、泛函的 一阶泰勒展开、中值定理
J (u ) = φ [X (t f ), t f ] + ∫ L[X (t ), u (t ), t ]dt（2-1）
tf t0
§2.1变分的基本概念
1、 泛函 如果对某一类函数 {X (t )}中的每一个函数 X (t ) ，有 一个实数值J与之相对应，则J称为依赖于函数 X (t ) 的泛 函，记为 J = J [X (t )] 通俗地说，泛函就是函数的函数，它是普通函数概念 的一种扩充。 例：函数的定积分