圆锥曲线的共同性质及应用
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
圆锥曲线中的共同性质
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例 ６ 设 实 数 ａ ｂ满 足 ｆ ＜ １ Ｉ ＜ １ 求 证 ： ， Ｉ ａ ， ｆ ｂ ，
圆锥曲线在高考数学中的应用
圆锥曲线在高考数学中的应用圆锥曲线在高考数学中的应用是一个广为人知的话题。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，它在几何、代数、物理等多个领域中都有着广泛的应用，同时也是高中数学中的重要知识点之一。
在高考中，圆锥曲线不仅是数学选择题中常出现的题型，而且在解析几何中也有重要的应用和指导意义。
一、圆锥曲线的定义和分类在空间直角坐标系中，对于任意给定的两个定点 F1 和 F2 ，以及一个正实数 e（离心率），设点 P(x, y，z) 在平面 F1PF2 上，且点 P 到 F1、F2 两点的距离之比为 e，则称 P(x, y，z) 所在的曲线为椭圆，当 e=1 时，称为双曲线。
以直角坐标系中的 x 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为扁平椭圆，离心率为 1 的曲线称为各向同性圆；以直角坐标系中的 y 轴为对称轴，离心率为 e 的曲线称为长圆，离心率为 1 的曲线称为抛物线；直角坐标系中过 y 轴的某一条直线称为对称轴，离心率为 e 的曲线称为双曲线，当 e=1 时，曲线即为平行于对称轴的两条渐进线的双曲线。
二、圆锥曲线在高考中的应用1. 选择题中的圆锥曲线圆锥曲线作为数学中重要的知识点之一，也是高考数学试卷中出现频率较高的题型之一。
在选择题中，考生通常需要根据所给出的条件来确定所求函数方程的类型，根据曲线的性质推算出符合条件的答案。
例如：已知点 A(2,0)、B(0,1) 和抛物线 C:y=mx^2+mx-1 的顶点在直线AB 上，且交点为 D。
则一个满足 D(-2,-3) 的曲线方程式为(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆这道问题主要考察考生对于曲线类型的判断能力和对于直线方程、抛物线特征等知识点的掌握能力。
2. 解析几何中的圆锥曲线在解析几何中，圆锥曲线是几何学中不可或缺的内容之一。
其中，椭圆、双曲线和抛物线最为常见，它们的数学模型、特征方程以及轨迹方程等知识点在高考中都有一定的出现概率。
例如：已知椭圆的中心在坐标原点，长轴为 10，短轴为 6，曲线经过点（8，0）和（-8，0），则该椭圆的方程是：(A)x^2/25+y^2/9=1(B)x^2/100+y^2/36=1(C)x^2/36+y^2/100=1(D)x^2 /9+y^2/25=1这个问题主要考察考生通过已知条件推导出椭圆的方程的能力，需要对于椭圆的中心、坐标轴长度等特征有较为准确的掌握。
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的性质与方程
圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。
一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。
2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。
3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。
二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。
每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。
3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。
2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。
双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。
3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。
综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。
抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。
它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。
对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线性质内容
圆锥曲线性质内容圆锥曲线是一类空间曲线，其在一个平面内满足一定的方程，同时还具有某些特殊性质。
一般来说，圆锥曲线可以被定义为满足下列条件的曲线：·圆锥曲线是二次曲线，即所有点都在同一平面内。
圆锥曲线具有双曲线的性质，即可以将其投影到某个平面上，得到一条双曲线。
圆锥曲线具有圆锥的形状，即在某个平面内的投影是一个圆锥形。
圆锥曲线的应用非常广泛，在几何、力学、天体动力学等领域都有着重要的作用。
例如，圆锥曲线可以用来描述物体运动的轨迹，在力学中可以用来描述弹簧的弹性特性，在天体动力学中可以用来描述行星运动的轨迹。
圆锥曲线的性质可以通过方程来描述，常见的圆锥曲线方程有极坐标方程和笛卡尔坐标方程两种。
极坐标方程表示为：z=±√a2−r2其中，a是圆锥曲线的焦距，r是极坐标系中的极径，z是圆锥曲线的高度。
此外，圆锥曲线还可以用笛卡尔坐标系的方程来表示，常见的笛卡尔坐标方程有双曲线方程和椭圆方程两种。
双曲线方程表示为：x2 a2−y2b2=1其中，a和b分别是圆锥曲线的横轴焦距和纵轴焦距。
椭圆方程表示为：x2 a2+y2b2=1其中，a和b同样是圆锥曲线的横轴焦距和纵轴焦距。
圆锥曲线还有许多其他性质，如曲率、弧长、曲线积分等，这些性质在数学中都有着重要的应用。
曲率是指曲线在某一点处的曲率半径。
对于圆锥曲线来说，其曲率半径可以用下列公式表示：R=(x2+y2+z2)322z其中，x、y和z分别是圆锥曲线在笛卡尔坐标系中的横坐标、纵坐标和高度。
弧长是指曲线在某个区间内的长度。
对于圆锥曲线来说，其弧长可以用下列公式表示：s=∫√x′2+y′2+z′2t2t1dt其中，x′、y′和z′分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的一次导数，t1和t2分别是弧长的起点和终点。
曲线积分是指在某个区间内，沿着曲线方向对某个函数进行积分的过程。
对于圆锥曲线来说，其曲线积分可以用下列公式表示：∫f(x,y,z)ds C =∫f(x(t),y(t),z(t))√x′2+y′2+z′2 t2t1dt其中，f(x,y,z)是曲线积分的函数，x(t)、y(t)和z(t)分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的函数，x′、y′和z′分别是圆锥曲线的横坐标、纵坐标和高度的一次导数，t1和t2分别是曲线积分的起点和终点。
圆锥曲线的性质及推广应用
圆锥曲线的性质及推广应用摘要：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
本文对圆锥曲线的基本性质及推广应用进行了总结和证明，并将它在日常生活中的应用和在解难题中的应用做了简要说明。
关键词：圆锥曲线的性质应用推广1.圆锥曲线的性质1.1 圆锥曲线的性质用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
椭圆：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
双曲线：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
抛物线：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。
定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。
椭圆的性质：双曲线的性质：2.圆锥曲线生活中的应用油罐车的横截面。
圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而在高度和宽度（即车的允许高度和车的宽度）都有限制的情况下，其横截面作成椭圆形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和保证了罐体的稳定性。
有关圆锥曲线的四组结论及其应用
有关圆锥曲线的四组结论及其应用
1、圆锥曲线结论：一条圆锥曲线都可以表示为与轴成一定余角的
正弦曲线，它的焦点和轴向量成正比。
2、平面上的圆锥曲线有两个焦点。
在平面内，它的曲线的几何形状是
自相似的。
3、空间上的圆锥曲线也有两个焦点，它的曲线的几何形状不是自相似的，它的曲线会发生波动。
4、应用：圆锥曲线用于许多工程领域，如机械设计、结构设计和航空
航天等，也常用于几何学和动力学中。
例如，它用于圆锥组件的设计，如螺旋桨叶片、火花塞等，以及高速旋转盘、高精度机械装置、海上
风机等。
圆锥曲线也可以用于工作介质管道结构件的设计，如水管、
燃气管、液压系统等。
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它是由圆(或椭圆、双曲线、抛物线)在一个平面上的投影形成的一类曲线。
在数学和物理学等领域，圆锥曲线有着广泛的应用。
下面将对圆锥曲线的相关知识点进行整理和说明。
一、圆锥曲线的定义及基本概念1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)所确定的点的集合。
2. 圆锥曲线的焦点和准线：焦点是确定圆锥曲线形状的重要参数，准线是直线，在圆锥曲线的定义中起着重要作用。
3. 圆锥曲线的形状：圆锥曲线有四种形状，分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们的形状由焦点、准线和离心率等参数确定。
二、圆锥曲线的方程及性质1. 圆的方程：圆的方程可以用一般式表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。
2. 椭圆的方程：椭圆的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)表示椭圆中心的坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
3. 双曲线的方程：双曲线的方程可以用标准方程表示为(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，或(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=-1。
其中(h,k)表示双曲线中心的坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
4. 抛物线的方程：抛物线的方程可以用标准方程表示为y²=4ax，其中a表示抛物线的焦点到准线的距离。
5. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多重要的性质，如对称性、离心率、焦点与准线的关系等。
这些性质对于理解和分析圆锥曲线的形状起着重要作用。
三、圆锥曲线在实际应用中的意义1. 圆锥曲线在物理学中的应用：在物理学中，圆锥曲线被广泛应用于描述物体的运动轨迹、电场和磁场分布等问题。
圆锥曲线的性质在实际问题中的应用
圆锥曲线的性质在实际问题中的应用圆锥曲线是解析几何中的重要概念，由平面和圆锥交成的曲线形态多样，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在数学和应用数学领域具有广泛的应用，尤其是在实际问题的建模与解决中。
本文将探讨圆锥曲线的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、圆锥曲线的性质1. 圆的性质圆是其中最基本的圆锥曲线之一，它有以下重要性质：- 圆是由一个平面和一个与其垂直的圆锥面相交而形成的曲线。
- 圆上的所有点到圆心的距离相等，这个距离称为半径。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它等于圆的半径的两倍。
2. 椭圆的性质椭圆是由一个平面与圆锥面的非垂直截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的长轴。
- 椭圆的长轴与短轴垂直，并通过椭圆的中心。
- 椭圆的离心率描述了椭圆形状的瘦胖程度，它是焦距与椭圆的长轴之比。
3. 抛物线的性质抛物线是由一个平面与圆锥面的平行截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
- 抛物线是对称的，焦点和准线的垂线的交点称为抛物线的顶点。
- 抛物线的形状由焦点和准线的距离决定，距离越小，抛物线越瘦长。
4. 双曲线的性质双曲线是由一个平面与圆锥面的交线相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 双曲线上的每一点到两个焦点的距离之差是一个常数，这个常数称为双曲线的焦距。
- 双曲线的两个分支对称，焦点和两个分支的交点称为双曲线的顶点。
- 双曲线的形状由焦距和两个分支的夹角决定。
二、圆锥曲线在实际问题中的应用1. 轨迹分析圆锥曲线可以用来描述物体在运动过程中的轨迹，如行星绕太阳的椭圆轨道、炮弹的抛物线轨迹等。
通过对圆锥曲线的研究和分析，可以帮助我们理解和预测物体的运动轨迹，进而为工程设计、空间探索等领域提供参考。
2. 光学设计在光学设计中，圆锥曲线被广泛应用于透镜的设计和制造。
椭圆曲线透镜可以使光线经过折射后汇聚到焦点上，从而实现光的聚焦。
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
平面解析几何的圆锥曲线性质与应用
平面解析几何的圆锥曲线性质与应用在平面解析几何中，圆锥曲线是指平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线具有独特的性质和广泛的应用，本文将从圆锥曲线的定义、性质和应用三个方面进行论述。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个动点和一个定点（焦点）确定的，动点到焦点的距离与动点到一定长度的有向线段的距离的比值（离心率）为常量。
根据离心率的大小，圆锥曲线可分为椭圆（离心率<1）、双曲线（离心率>1）和抛物线（离心率=1）三种类型。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆是一个较为常见的圆锥曲线。
它具有以下性质：（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状像一个拉伸的圆；（2）椭圆的两个焦点位于椭圆的长轴上；（3）椭圆的长轴和短轴之间的比例关系与离心率有关；（4）椭圆的周长和面积的计算公式与其长轴和短轴有关。
2. 双曲线的性质双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）双曲线是一个非闭合曲线；（2）双曲线的两个焦点位于双曲线的对称轴上；（3）双曲线的离心率决定了其形状，离心率越大，曲线越尖锐；（4）双曲线的渐近线是其两支曲线的夹角的平分线。
3. 抛物线的性质抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）抛物线是一个非闭合曲线；（2）抛物线的焦点位于其顶点的对称轴上；（3）抛物线可以通过焦点和直线的焦点到直线的距离来定义；（4）抛物线是一条对称曲线，其顶点为对称中心。
三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 天体运动的轨迹分析利用圆锥曲线的性质，可以研究行星和卫星的运动轨迹，预测其位置和速度等相关信息。
2. 信号传输与接收电磁波的传输和接收过程中，通常可以利用圆锥曲线的特性实现信号的聚焦和扩散，从而提高通信的效率和可靠性。
3. 工程建模与设计在建筑、航天航空和汽车工程等领域，圆锥曲线常被用于模型设计、数据分析和系统优化等方面。
4. 统计分析与数据拟合圆锥曲线可以用来拟合数据，在统计学和数据分析中广泛应用，用于预测趋势、拟合模型和作为数据分布的基础。
高考数学中的圆锥曲线性质分析及应用
高考数学中的圆锥曲线性质分析及应用随着高考的临近，不少考生和家长都开始关注数学试卷中的圆锥曲线部分。
作为数学考试中的一大难点，圆锥曲线不仅涉及到需要熟练运用的公式和性质，还需要考生具备较强的数学思维和分析能力。
本文将从圆锥曲线基本性质、曲线方程、焦点和直线方程分析及应用等几个方面，深入探讨高考数学中的圆锥曲线。
圆锥曲线基本性质圆锥曲线一般分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
它们都具有一些共同的基本性质，如曲线上任意一点P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆和抛物线的长半轴，双曲线的距离之差），即PF1+PF2=2a。
这一性质被称为焦距定理，是圆锥曲线研究的重要基础。
此外，圆锥曲线还有一个重要性质——离心率。
离心率是用来描述圆锥曲线形状的一个参数，其值范围为0到1，反映了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线的独特性质。
由于篇幅有限，在此不再详细介绍。
曲线方程圆锥曲线方程是圆锥曲线研究的重要内容之一。
不同类型的曲线方程不同，但都具有一些基本的特征。
例如，椭圆和抛物线的方程是二次方程，可以用解方程的方法求得，而双曲线的方程则是由两个分开的二次方程相减得到的。
在解题过程中，了解不同类型的曲线方程及其性质，是解题的关键。
同时，要注意掌握方程图像的一些特征，如中心对称性、对称轴、渐近线等。
焦点和直线方程分析及应用焦点是圆锥曲线中一个重要的概念，它不仅可以帮助我们确定曲线方程，还可以通过与直线距离定理来求解一些相关的问题，如求点到直线的距离、求点线间垂直等。
圆锥曲线和直线之间的关系也是数学考试中常见的类型之一。
通过掌握直线的方程和圆锥曲线的方程，我们可以求出它们之间的交点，进而解决与交点相关的几何问题，如求直线在圆上的切线、直线穿过椭圆的判别等。
总之，圆锥曲线作为高考数学中的重要考点，不仅需要我们对基本概念和性质有较深的理解，也需要我们具备较强的分析能力和解题技巧。
只有不断积累、勤加练习，才能在高考中游刃有余地应对这一难点。
圆锥曲线的共同性质
§2.5 圆锥曲线的共同性质【教学目标】1、知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
2、能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
3、情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
【教学重点】圆锥曲线统一定义及其应用【教学难点】圆锥曲线统一定义及其应用【教学手段】多媒体演示【教学过程】一、情境设计学习椭圆、双曲线、抛物线存在一些困惑？1、椭圆、双曲线定义相似，抛物线的定义与椭圆、双曲线的定义区别较大2、离心率：椭圆0＜e ＜1 ，双曲线e ＞1, 抛物线有没有离心率？什么曲线的离心率等于1？二、新课讲解1、思考：平面内到一定点F 的距离和到一定直线l (F 不在l 上）的距离比为常数（不等于1）的动点P 的轨迹是什么？（多媒体演示）2、在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子你能解释这个式子的几何意义吗?3、例1：已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l :x =a 2c 的距离之比是常数c a （a >c >0），求点P 的轨迹.变式 将条件a >c >0改为c >a >0呢？4、圆锥曲线的统一定义：2a cx -=c a x c =-5、学生活动，讨论并解决以下问题（1）椭圆和双曲线有几条准线?（2）准线方程分别是什么？三、知识运用：1、练习练习1:求下列曲线的焦点坐标和准线方程2、例2 ：已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.3 （备用）例3：已知A (-1,1),B (1,0),点P 在椭圆 上运动，求|P A |+2|PB |的 最小值。
四、小结1.圆锥曲线的统一定义2.求点的轨迹的方法3.数形结合的思想五、作业数学之友 第10期 T2.1122(1)24x y +=22(2)24y x -=2(3)0x y +=2216436x y -=22x 143y +=。
圆锥曲线共同性质及应用
12.4圆锥曲线地共同性质及应用【知识网络】1．用联系地观点看圆锥曲线地共同性质． 2．学会圆锥曲线几何性质地简单综合应用．3．进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）若抛物线22y px =地焦点与椭圆22162x y +=地右焦点重合，则p 地值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4（2）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--地 （ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同（3）双曲线12222=-b y a x 地离心率为1e ，双曲线12222=-ax b y 地离心率为2e ，则1e +2e 地最小值为（ ）A ．24B ．2C ．22D ．4（4）已知椭圆m x 2+ny 2=1与双曲线p x 2－q y 2=1（m,n,p,q ∈R +）有共同地焦点F 1、F 2，P是椭圆和双曲线地一个交点，则|PF 1|·|PF 2|=．（5）若方程（1－k)x 2＋(3－k 2)y 2=4表示椭圆，则k 地取值范围是．[例2]双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同地焦点，直线y =x 3为C 地一条渐近线. （1）求双曲线C 地方程；（2）过点P (0,4)地直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 地顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点地坐标.[例3] 已知椭圆C 1地方程为1422=+y x ，双曲线C 2地左、右焦点分别为C 1地左、右顶点，而C 2地左、右顶点分别是C 1地左、右焦点. (1) 求双曲线C 2地方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同地交点，且l 与C 2地两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 地取值范围.[例4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）地轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回地轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点地抛物线地实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后地运行轨迹所在地曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器地距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【课内练习】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=地焦点重合，则mn 地值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．382．已知双曲线地中心在原点，离心率为3.若它地一条准线与抛物线x y 42=地准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=地交点到原点地距离是（）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．213．方程2212sin 3sin 2x y θθ+=+-所表示地曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上地椭圆B ．焦点在y 轴上地椭圆C ．焦点在x 轴上地双曲线D ．焦点在 y 轴上地双曲线4．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （－2，23），B （32，－5），则A ．曲线C 可以是椭圆也可以是双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆 D ．这样地曲线不存在5．若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则以（m ，n ）为点P 地坐标，过点P 地一条直线与椭圆22173x y +=地公共点有_________个.6．设圆过双曲线116922=-y x 地右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心地距离 ．7．如图，从点)2,(0x M 发出地光线沿平行于抛物线x y 42=地轴地方向射向此抛物线上地点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上地点Q ，再反射后沿平行于抛物线地轴地方向射向直线,072:N y x l 上的点=--再反射后又射回点M ，则x 0=．8．设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)地两个焦点，P 是以F 1F 2为直径地圆与椭圆地一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，求椭圆地离心率．9．双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x 2＋y 2=17交于A （4，－1）．若圆在点A 地切线与双曲线地一条渐近线平行，求双曲线地方程．10．垂直于x 轴地直线交双曲线22a x －22b y =1右支于M ，N 两点，A 1，A 2为双曲线地左右两个顶点，求直线A 1M 与A 2N 地交点P 地轨迹方程，并指出轨迹地形状．12.4圆锥曲线地共同性质及应用A 组1．若方程22194x y k k+=--表示双曲线时，这些双曲线有相同地（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．焦点2． P 是双曲线22x y 1916－＝地右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上地点，则|PM|－|PN|地最大值为（ ）A.6B.7C.8D.93．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴地两个端点为焦点，其准线过椭圆地焦点，则双曲线地渐近线地斜率为（）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43± 4．设0≤α＜2π，若方程x 2sin α－y 2cos α=1表示焦点在y 轴上地椭圆，则α地取值范围是．5．已知双曲线2221(0)x y a a-=>地一条准线与抛物线y 2=－6x 地准线重合，则该双曲线地离心率是．6．设F 1、F 2为曲线C 1∶12y 6x 22=+地焦点，P 是曲线C 2∶1y 3x 22=-与C 1地一个交点，求PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|地值．7．设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，P 为双曲线上任意一点，F 为双曲线地一个焦点，讨论以|PF|为直径地圆与圆x 2＋y 2=a 2地位置关系．8．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线地斜率分别为PA k 和PB k ，且满足PA k ·PB k =t (t ≠0且t ≠－1).（1）求动点P 地轨迹C 地方程；（2）当t ＜0时，曲线C 地两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 地取值范围.B 组1．已知双曲线m ：9x 2－16y 2=144,若椭圆n 以m 地焦点为顶点，以m 地顶点为焦点，则椭圆n）A.516±=x B.316±=x C.425±=x D.325±=x 2．当8＜k ＜17时，曲线221178x y k k +=--与221817x y +=有相同地（ ）A ．焦距B ．准线C ．焦点D ．离心率3．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0),与双曲线22221x y m n-=（m ＞0,n ＞0)有相同地焦点（－c,0),(c,0),若c 是a,m 地等比中项，n 2是2m 2与c 2地等差中项，则椭圆地离心率是（ ）A B C ．14D ．124．设椭圆1n y m x 2222=+，双曲线1ny m x 2222=-，抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n ＞0)地离心率分别为e 1、e 2、e 3，则e 1e 2与e 3地大小关系是．5．一动圆圆心在抛物线x 2=2y 上，过点（0，21）且恒与定直线l 相切，则直线l 地方程（ ） A. x=21 B. x=161 C. D. y= －1616．已知定点A （0，t ）（t ≠0),点M 是抛物线y 2=x 上一动点，A 点关于M 地对称点是N ． （1）求N 点地轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹与抛物线y 2=x 交于B ，C 两点，求当AB ⊥AC 时t 地值．7．直线l：x－2y＋3=0与椭圆C1：22143x y+=交于A，B两点，R是抛物线C2：y2=2px(p＞0)上一点．若直线l与C2无公共点，且△ABR，求p地值和R点地坐标．8．设双曲线C地中心在原点，以抛物线y2=23x-4地顶点为双曲线地右焦点，抛物线地准线为双曲线地右准线.（1）试求双曲线C地方程；（2）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；（3）对于直线y=kx+1,是否存在这样地实数k，使直线l与双曲线C地交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.12.4圆锥曲线地共同性质及应用【典型例题】例1 （1）解：椭圆22162x y+=地右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px=地焦点为(2,0)，则4p=，故选D．（2）由221(6)106x ymm m+=<--知该方程表示焦点在x轴上地椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上地双曲线，故只能选择答案A ． （3）C ．提示：用基本不等式．（4）m-p ．提示：分别用椭圆和双曲线地定义，并将两等式平方相减． （5）（－3，1）．提示：将问题转化成解不等式组问题．例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是2213y x -=;(2)设Q 点地坐标，用定比分点公式联列方程组，得(2,0)Q ±..例3、（1）设双曲线C 2地方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2地方程为22 1.3x y -= （2）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同地交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即21.4k >①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同地交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且229(,),(,),,131366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=++设则由得而222222(1)()29(1)2131337.31A B A B k x x x x k k kk k =++++-=+⋅+⋅+--+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k ><或③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k地取值范围为311313(1,(,)(,)(,1)322315---例4、（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a . ∴ 曲线方程为764712+-=x y . （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ， 4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y .得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点地坐标为)4,6(， 4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.【课内练习】1．A ． 提示：可以分别求出m ，n ．2．B ．提示：求出基本量．3．C ．提示：注意sin θ地取值范围． 4．B ．提示：考虑对称性．5．2．提示：运用点到直线地距离公式后，说明点P 在椭圆内． 6．163．提示：可以利用距离相等求出圆心地坐标．7．6．提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P ，Q 地坐标，再由直线QN 与MN 关于直线l 对称，求得x 0．8．8．36． ∵︒+︒=︒+︒+==︒=︒cos15sin15a 2sin7515sin |PF ||PF |1c 2sin75|PF |sin15|PF |2121，∴3660s i n 21e 2a 2c=︒==. 9．22161255255x y -=．提示：先求圆地切线方程，进而得到双曲线地渐近线方程，再用待定系数法求双曲线地方程．10．22221x y a b+=，a=b 时表示以原点为圆心，a 为半径地圆；a ＞b 时，表示焦点在x 轴上地椭圆；a ＜b 时，表示焦点在y 轴上地椭圆．提示：设出点地坐标，写出直线方程（含参变量），结合点在曲线上，消去参数．12.4圆锥曲线地共同性质及应用A 组1．D ．提示：焦点可以在不同地轴上．2．设双曲线地两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆地圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求地值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B ． 3．C ．提示：求出基本量． 4．（3,24ππ）∪（37,24ππ）．提示：二次项系数为正，且y 2地分母较大． 5．233．提示：依据基本量之间地关系及准线方程，分别求出a,c ．6．13．提示：分别应用椭圆、双曲线地定义，求出|PF 1|，|PF 2|，再用余弦定理．7．当点P 在双曲线地右支上时，外切；当点P 在双曲线地左支上时，内切．提示：用双曲线地定义及两圆相切时地几何性质．8．(1)设点P 坐标为(x,y),依题意得22-⋅+x y x y =t ⇒y 2=t(x 2－4)⇒42x +t y 42-=1 轨迹C 地方程为42x +ty 42-=1（x ≠±2）.(2)当－1＜t ＜0时，曲线C 为焦点在x 轴上地椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2, 则r 1+ r 2=2a=4. 在△F 1PF 2中，21F F =2c=4t +1, ∵∠F 1PF 2=120°，由余弦定理， 得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 2cos120︒= r 21+r 22+ r 1r 2 = (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（1+t ）≥12, ∴t ≥－41.所以当－41≤t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120°当t ＜－1时，曲线C 为焦点在y 轴上地椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2，则r 1+r 2=2a=－4 t,在△F 1PF 2中， 21F F =2c=4t --1. ∵∠F 1PF 2=120O ，由余弦定理，得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 20120cos = r 21+r 22+ r 1r 2 = (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（－1－t ）≥－12t ⇒t ≤－4. 所以当t ≤－4时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120O综上知当t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠AQB=120O 地t 地取值范围是(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃-∞-0,414,． B 组1．C ．提示：注意基本之间地联系．2． A ．提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距． 3． D ．提示：联想基本量之间地关系．4．e 1e 2＜e 3，提示：用离心率地计算公式，注意抛物线地离心率是1．5．y= －21提示：抛物线x 2=2y 地焦点坐标为(0,21), 由抛物线地定义知抛物线上任意一点到焦点F(0,21)地距离等于到直线y=－21地距离．6．（1）（y ＋t)2=2x ；(2)t =±2．提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后用韦达定理．7．p=12,R(1,1)．提示：先求线段AB 地长，依据面积求出抛物线上点到直线地最小距离，依据相切求出p ，再求得最小距离时点地坐标．8．（1）由抛物线y 2=23x -4,即y 2=23 (x -32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x =63. 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x =63,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c∴双曲线c 地方程3x 2-y 2=1（2）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB |=210（3）假设存在实数k ,使A 、B 关于直线y =ax 对称，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④由②③，有a (x 1+x 2)=k (x 1+x 2)+2⑤由④知：x 1+x 2=232kk -代入⑤ 整理得ak =3与①矛盾，故不存在实数k ，使A 、B 关于直线y =ax 对称．本资料来源于《七彩教育网》版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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12.4圆锥曲线的共同性质及应用【知识网络】1．用联系的观点看圆锥曲线的共同性质． 2．学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用．3．进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想． 【典型例题】[例1] （1）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4（2）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 （ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同（3）双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ，则1e +2e 的最小值为（ ）A ．24B ．2C ．22D ．4（4）已知椭圆m x 2+ny 2=1与双曲线p x 2－q y 2=1（m,n,p,q ∈R +）有共同的焦点F 1、F 2，P 是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|= ．（5）若方程（1－k)x 2＋(3－k 2)y 2=4表示椭圆，则k 的取值范围是 ．[例2] 双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ== ，且3821-=+λλ时，求Q 点的坐标.[例3] 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C 2的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
[例4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【课内练习】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 2．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．213．方程2212sin 3sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在 y 轴上的双曲线4．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （－2，2 3 ），B （32，－ 5 ），则A ．曲线C 可以是椭圆也可以是双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样的曲线不存在5．若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆22173x y +=的公共点有_________个。
6．设圆过双曲线116922=-y x 的右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离 ．7．如图，从点)2,(0x M 发出的光线沿平行于抛物线x y 42=的轴的方向射向此抛物线上的点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上的点Q ，再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线,072:N y x l 上的点=--再反射后又射回点M ，则x 0= ．8．设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，求椭圆的离心率．9．双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x 2＋y 2=17交于A （4，－1）．若圆在点A 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求双曲线的方程．10．垂直于x 轴的直线交双曲线22a x －22b y =1右支于M ，N 两点，A 1，A 2为双曲线的左右两个顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状．12.4圆锥曲线的共同性质及应用A 组1．若方程22194x y k k+=--表示双曲线时，这些双曲线有相同的（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．焦点2． P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.93．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±4．设0≤α＜2π，若方程x 2sin α－y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是 ． 5．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条准线与抛物线y 2=－6x 的准线重合，则该双曲线的离心率是 ．6．设F 1、F 2为曲线C 1∶12y 6x 22=+的焦点，P 是曲线C 2∶1y 3x 22=-与C 1的一个交点，求PF 1→ ·PF 2→|PF 1→ ||PF 2→ |的值．7．设双曲线方程为22221(0)x y a b a b -=>>，P 为双曲线上任意一点，F 为双曲线的一个焦点，讨论以|PF|为直径的圆与圆x 2＋y 2=a 2的位置关系．8．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为PA k 和PB k ，且满足PA k ·PB k =t (t ≠0且t ≠－1).（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 的取值范围.B 组1．已知双曲线m ：9x 2－16y 2=144,若椭圆n 以m 的焦点为顶点，以m 的顶点为焦点，则椭圆n 的准线方程是 （ ）A.516±=x B.316±=x C.425±=x D.325±=x 2．当8＜k ＜17时，曲线221178x y k k +=--与221817x y +=有相同的（ ）A ．焦距B ．准线C ．焦点D ．离心率3．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0),与双曲线22221x y m n-=（m ＞0,n ＞0)有相同的焦点（－c,0),(c,0),若c 是a,m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A B ．14 D ．124．设椭圆1n y m x 2222=+，双曲线1ny m x 2222=-，抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n ＞0)的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则e 1e 2与e 3的大小关系是 ． 5．一动圆圆心在抛物线x 2=2y 上，过点（0，21）且恒与定直线l 相切，则直线l 的方程（ ） A. x=21 B. x=161 C. D. y= －1616．已知定点A （0，t ）（t ≠0),点M 是抛物线y 2=x 上一动点，A 点关于M 的对称点是N ． （1）求N 点的轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹与抛物线y 2=x 交于B ，C 两点，求当AB ⊥AC 时t 的值．7．直线l ：x －2y ＋3=0与椭圆C 1：22143x y +=交于A ，B 两点，R 是抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)上一点．若直线l 与C 2无公共点，且△ABR p 的值和R 点的坐标．8．设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=23x -4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（1）试求双曲线C 的方程；（2）设直线l:y =2x +1与双曲线C 交于A 、B 两点，求|AB |；（3）对于直线y =kx +1,是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A 、B 关于直线y =ax (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由.12.4圆锥曲线的共同性质及应用【典型例题】例1 （1）解：椭圆22162x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D ．（2）由221(6)106x y m m m +=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A ．（3）C ．提示：用基本不等式．（4）m-p ．提示：分别用椭圆和双曲线的定义，并将两等式平方相减． （5）（－ 3 ，1）．提示：将问题转化成解不等式组问题．例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是 2213y x -=;(2)设Q 点的坐标，用定比分点公式联列方程组，得 (2,0)Q ±..例3、（1）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为22 1.3x y -= （2）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 21.4k > ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且229(,),(,),,131366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=++设则由得而222222(1)()29(1)2131337.31A B A B k x x x x k k kk k =++++-=+⋅+⋅+--+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k ><或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k的取值范围为11(1,()(22--例4、（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a . ∴ 曲线方程为764712+-=x y . （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ，4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y .得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， 4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.【课内练习】1．A ． 提示：可以分别求出m ，n ． 2．B ．提示：求出基本量．3．C ．提示：注意sin θ的取值范围． 4．B ．提示：考虑对称性．5．2．提示：运用点到直线的距离公式后，说明点P 在椭圆内． 6．163．提示：可以利用距离相等求出圆心的坐标． 7．6．提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P ，Q 的坐标，再由直线QN 与MN 关于直线l 对称，求得x 0． 8．8．36． ∵︒+︒=︒+︒+==︒=︒cos15sin15a 2sin7515sin |PF ||PF |1c 2sin75|PF |sin15|PF |2121，∴3660sin 21e 2a2c=︒==. 9．22161255255x y -=．提示：先求圆的切线方程，进而得到双曲线的渐近线方程，再用待定系数法求双曲线的方程．10．22221x y a b+=，a=b 时表示以原点为圆心，a 为半径的圆；a ＞b 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；a ＜b 时，表示焦点在y 轴上的椭圆．提示：设出点的坐标，写出直线方程（含参变量），结合点在曲线上，消去参数．12.4圆锥曲线的共同性质及应用A 组1．D ．提示：焦点可以在不同的轴上．2．设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B ．3．C ．提示：求出基本量．4．（3,24ππ）∪（37,24ππ）．提示：二次项系数为正，且y 2的分母较大． 5．23 3 ．提示：依据基本量之间的关系及准线方程，分别求出a,c ． 6． 13．提示：分别应用椭圆、双曲线的定义，求出|PF 1|，|PF 2|，再用余弦定理．7．当点P 在双曲线的右支上时，外切；当点P 在双曲线的左支上时，内切．提示：用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质．8．(1)设点P 坐标为(x,y),依题意得22-⋅+x y x y =t ⇒y 2=t(x 2－4)⇒42x +t y 42-=1 轨迹C 的方程为42x +ty 42-=1（x ≠±2）. (2)当－1＜t ＜0时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2, 则r 1+ r 2=2a=4.在△F 1PF 2中，21F F =2c=4t +1,∵∠F 1PF 2=120°，由余弦定理，得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 2cos120︒= r 21+r 22+ r 1r 2= (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（1+t ）≥12, ∴t ≥－41. 所以当－41≤t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120° 当t ＜－1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2，则r 1+r 2=2a=－4 t,在△F 1PF 2中， 21F F =2c=4t --1.∵∠F 1PF 2=120O ，由余弦定理，得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 20120cos = r 21+r 22+ r 1r 2= (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（－1－t ）≥－12t ⇒t ≤－4. 所以当t ≤－4时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120O综上知当t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠AQB=120O 的t 的取值范围是(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃-∞-0,414,． B 组1． C ．提示：注意基本之间的联系．2． A ．提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距．3． D ．提示：联想基本量之间的关系．4．e 1e 2＜e 3，提示：用离心率的计算公式，注意抛物线的离心率是1．5．y= －21提示：抛物线x 2=2y 的焦点坐标为(0, 21), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点到焦点F(0, 21)的距离等于到直线y=－21的距离． 6．（1）（y ＋t)2=2x ；(2)t =± 2 ．提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后用韦达定理．7．p=12,R(1,1)．提示：先求线段AB 的长，依据面积求出抛物线上点到直线的最小距离，依据相切求出p ，再求得最小距离时点的坐标．8．（1）由抛物线y 2=23x -4,即y 2=23 (x -32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x =63. 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x =63, ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2-y 2=1（2）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB |=210（3）假设存在实数k ,使A 、B 关于直线y =ax 对称，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a (x 1+x 2)=k (x 1+x 2)+2 ⑤由④知：x 1+x 2=232kk -代入⑤ 整理得ak =3与①矛盾，故不存在实数k ，使A 、B 关于直线y =ax 对称．②。