电机学chap4
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电机学第四章
26
I I I I a a a a0 Ib Ib Ib Ib 0 Ic Ic Ic Ic 0
a2 I ,I aI I b a c a 2 I b aI a , I c a I a I a 0 Ib0 I c 0
第四章 三相变压器
1
电力系统采用的是三相供电制，所以电力系统中用得最多 的是三相变压器。当三相变压器的一、二次绕组以一定的接法 联接，带上三相对称负载，一次绕组接对称的三相电源时，其 工作在对称情况，此时各相电压、电流大小相等，相位相 差 120 ，因此可取三相中任意一相进行分析计算，也即将三相 问题简化为单相问题，则前一章的分析方法和结论完全适用于 三相电路。本章不再重复叙述，这里就三相变压器的几个特殊 问题，即三相变压器的磁路系统、三相变压器的联结组别和感 应电势波形等进行讨论，在此基础上简单分析变压器的并联运 行、不对称运行、突然短路及变压器空载合闸等问题。
15
二、Y，y联结的心式变压器电势波形 对于Y，y联结的心式变压器，其一次励磁电流也近似为正 弦波，但由于心式变压器三相磁路彼此相关，各相的三次谐波 磁通大小相等、相位相同，不能沿主磁路闭合，只能借助油、 油箱壁等形成闭合回路，该磁路磁阻大，使三次谐波磁通大大 削弱，三相心式变压器中主磁通波形接近正弦波，从而相电势 波形也接近正弦波。所以，三相心式变压器可以采用Y，y联结 方式。 三次谐波磁通在变压器油箱壁等构件中引起三倍频率的涡 流损耗，使变压器局部发热和损耗增加，所以容量大于 1800kV· A的变压器不采用Y，y联结方式。
*
22
三、联结组别不同时的并联运行
U 20 U 20 U 20
电机学-PPT精选
河海大学 电气学院
65
双层绕组 单层绕组
2019/12/14
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66
双层绕组 分极分相
2019/12/14
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67
双层绕组 线圈组
2019/12/14
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68
双层绕组 连相绕组
2019/12/14
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69
异步电机功率平衡关系
p cu 1
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15
变压器参数测定:空载实验
a
A
WA
~V
V
x
X
2019/12/14
河海大学 电气学院
16
变压器参数测定:短路实验
A
a
WA
~V
X
x
2019/12/14
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17
变压器的运行特性
U2
U20
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cos2(超前 )
cos2 1
cos2(滞后 )
I2
2019/12/14
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23
三绕组变压器等效电路
2019/12/14
河海大学 电气学院
24
三绕组变压器简图
2019/12/14
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25
三绕组变压器绕组排列
2019/12/14
河海大学 电气学院
26
自耦变压器电流分布
2019/12/14
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27
三绕组变压器向量图
2019/12/14
河海大学 电气学院
98
河海大学 电气学院
33
相量图
电机学课件
2.铁磁0材4料的1磁07导H率/m 远大于
非导磁材料的磁导率
3.铁磁材料的磁导率在较大 范围内变化，铁磁材料是非 线性的
铁磁材料的特性
在外磁场的作用下，铁磁材料内部的磁筹重 新排列，使得内部磁效应不能抵消，因而在 宏观上对外显示磁性。
铁磁材料的特性
铁磁材料磁化过程
oa段：H较弱，B缓慢增加
ab段：H较强，B迅速增加 bc段：H继续加强，B增加 变慢（饱和段） c－段：H继续加强，B增 加缓慢（深度饱和段）
Rm1
l1
1 A1
Rm3
l3
3 A 3
F 1 F 2 N 1 i 1 N 2 i 2 H 1 l 1 H 2 l 2 1 R m 1 2 R m 2
F N iH lR m
磁路基本定律及计算方法
磁路与电路的主要区别
电路 电阻率恒定 电压、电流线性 不存在饱和现象
磁路 导磁率变化 磁势、磁通非线性 有磁路饱和
铁磁材料的特性
2.磁滞与磁滞损耗
磁滞损耗： phKhfBmV P18~19
铁磁材料的特性
3.涡流与涡流损耗
pw
K2
f 2d2Bm2V
12
铁磁材料的特性
4.交流铁心损耗
pFe p1/505f0Bm 2
公式中各量纲见P20
律磁 路 基 本 定
磁路基本定律及计算方法
欧姆定律
l/N (Ai)R FmmF
发电机、变压器
电能的生产、传输和分配 电
电动机
驱动生产机械和装置 机
控制系统和智能化装置的重要元件
控制电机
电机中的基本电磁定律
1.全电流定律
lHdlI
lH d l l'H d lI I 1 I2 I3
非导磁材料的磁导率
3.铁磁材料的磁导率在较大 范围内变化，铁磁材料是非 线性的
铁磁材料的特性
在外磁场的作用下，铁磁材料内部的磁筹重 新排列，使得内部磁效应不能抵消，因而在 宏观上对外显示磁性。
铁磁材料的特性
铁磁材料磁化过程
oa段：H较弱，B缓慢增加
ab段：H较强，B迅速增加 bc段：H继续加强，B增加 变慢（饱和段） c－段：H继续加强，B增 加缓慢（深度饱和段）
Rm1
l1
1 A1
Rm3
l3
3 A 3
F 1 F 2 N 1 i 1 N 2 i 2 H 1 l 1 H 2 l 2 1 R m 1 2 R m 2
F N iH lR m
磁路基本定律及计算方法
磁路与电路的主要区别
电路 电阻率恒定 电压、电流线性 不存在饱和现象
磁路 导磁率变化 磁势、磁通非线性 有磁路饱和
铁磁材料的特性
2.磁滞与磁滞损耗
磁滞损耗： phKhfBmV P18~19
铁磁材料的特性
3.涡流与涡流损耗
pw
K2
f 2d2Bm2V
12
铁磁材料的特性
4.交流铁心损耗
pFe p1/505f0Bm 2
公式中各量纲见P20
律磁 路 基 本 定
磁路基本定律及计算方法
欧姆定律
l/N (Ai)R FmmF
发电机、变压器
电能的生产、传输和分配 电
电动机
驱动生产机械和装置 机
控制系统和智能化装置的重要元件
控制电机
电机中的基本电磁定律
1.全电流定律
lHdlI
lH d l l'H d lI I 1 I2 I3
电机学第四章课件
2 aU U a，U b a U a，U c a
ae
2
j 120
e
j 240
a e
3
j 240
e
j 120
1 cos 120 j sin 120 j 2 1 cos 240 j sin 240 j 2
Exit
第10页
电机学
• 逆变换
1 2 Ua （Ua aUb a Uc） 3 1 2 Ua （Ua a Ub aUc） 3 1 Ua 0 （Ua Ub Uc） 3
2 U a a U 1 a a 1 2 Ua 3 1 a a Ub U U 1 1 1 a0 c
Exit
第28页
电机学
I (Z Z ) U a0 a0 2 m0 I a 0 Z2 E 0 I Z U E A 0 0 a 0 m0
• 步骤4. 求解电压、电流
一次侧星形连接，无I0通路，相电流只有正、负序分量
I I I I 2I I A A A a a 3 I I a2I aI I B B B a a
电机学
第四章 三相变压器的不对称运行
• 第一节 概述 • 第二节 对称分量法
• 第三节 三相变压器的各序阻抗及等效电路 • 第四节 三相变压器Yyn连接单相运行
Exit
第 1页
电机学
第一节 概述
• 三相变压器实际运行时，可能出现各种不对称运行 的情况。例如：单相负载或某一相断开检修等 • 对Yyn联结组，不对称负载会引起中点偏移，导致 二次侧相电压发生较大的变化 • 三相电流不对称：各相电流大小可能不相同，相位 也不依次差120º • 分析不对称运行采用的方法是“对称分量法”
ae
2
j 120
e
j 240
a e
3
j 240
e
j 120
1 cos 120 j sin 120 j 2 1 cos 240 j sin 240 j 2
Exit
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电机学
• 逆变换
1 2 Ua （Ua aUb a Uc） 3 1 2 Ua （Ua a Ub aUc） 3 1 Ua 0 （Ua Ub Uc） 3
2 U a a U 1 a a 1 2 Ua 3 1 a a Ub U U 1 1 1 a0 c
Exit
第28页
电机学
I (Z Z ) U a0 a0 2 m0 I a 0 Z2 E 0 I Z U E A 0 0 a 0 m0
• 步骤4. 求解电压、电流
一次侧星形连接，无I0通路，相电流只有正、负序分量
I I I I 2I I A A A a a 3 I I a2I aI I B B B a a
电机学
第四章 三相变压器的不对称运行
• 第一节 概述 • 第二节 对称分量法
• 第三节 三相变压器的各序阻抗及等效电路 • 第四节 三相变压器Yyn连接单相运行
Exit
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电机学
第一节 概述
• 三相变压器实际运行时，可能出现各种不对称运行 的情况。例如：单相负载或某一相断开检修等 • 对Yyn联结组，不对称负载会引起中点偏移，导致 二次侧相电压发生较大的变化 • 三相电流不对称：各相电流大小可能不相同，相位 也不依次差120º • 分析不对称运行采用的方法是“对称分量法”
电机学 第4章ppt课件
15
-0．707
0．667
0．270
0．200
0．172
0．127
17
-0．259
0．960
0．158
0．102
0．084
0．056
19
0．259
0．960
-0．205
-0．110
-0．084
-0．050
q
ν
编辑版pppt
42
图4-18 把斜槽中的导体看作
无限多根短直导体的串联
编辑版pppt
43
图4-19
73
4.8 三相交流绕组所产生的气隙磁场和相应的电抗
1.三相交流绕组所产生的气隙磁场
2.交流绕组的气隙电抗
编辑版pppt
74
1.三相交流绕组所产生的气隙磁场
编辑版pppt
75
图4-34 转子开槽时的气隙磁场
编辑版pppt
76
编辑版pppt
77
2.交流绕组的气隙电抗
编辑版pppt
78
编辑版pppt
2.削弱谐波电动势的方法
图4-17 用短距的办法
消除ν次谐波
编辑版pppt
41
表4-2 三相60°相带整数槽绕组的分布因数
2
3
4
5
6
∞
1
0．966
0．960
0．958
0．957
0．957
0．955
3
0．707
0．667
0．654
0．646
0．644
0．636
5
0．259
0．217
0．205
0．200
从左到右，根据槽电流的正、负和大小，逐步画出绕组的阶梯形磁动势曲线：
电机学 第4章
小，转矩Tst也会逐步减小 。为了在起动过程中始终保持足够 大 的 起 动 转 矩 ， 一 般 将 起 动 器 设 计 为 多 级 ， 随 着 转 速 n的 增
大， 串 在 电 枢 回 路的 起 动 电 阻 Rst逐 级 切 除 ，进 入稳 态 后全 部切
除。 注意，起动电阻Rst一般设计为短时运行方式，不容许长
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一、改变电枢电压调速 降低电枢电压时，电动机机械特性平行
下移。负载不变时，交点也下移，速度也随 之改变。 1. 优 点 ： 调 速 后 ， 转 速 稳 定 性 不 变 、 无 级、
平滑、损耗小。 2.缺点：只能下调，且专门设备，成本 大。
二、转矩特性T= f (P2)
T=T2+T0=P2/(2nπ/60)+T0 他励直流电动机在负载变化时，转速变化很 小，可以近似认为T0=常数。 如果不考虑转速的变化，则T=f(P2)为一条直 线，考虑到转速略有下降，所以T=f(P2)为一条略 微上翘的曲线。
三、效率特性η= f (P2)
效率特性是指U=UN=常值，If=IfN =常值时，效 率特性η= f (P2) 的关系曲线。他励电动机的效率为 η=P2/P1×100%=(1-Σp/P1) × 100%。
调节电阻Rp增大时，电动机机械特性的斜 率增大，与负载机械特性的交点也会改变，达 到调速目的。
优点：设备简单、操作简单。 缺点：只能降速，低转速时变化率较大， 电枢电流较大，不易连续调速，有损耗。
电枢回路串电阻调速
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第4章 直流电动机
4-1 直流电动机的起动 4-2 他励直流电动机工作特性 4-3 他励直流电动机机械特性 4-4 串励直流电动机机械特性 4-5 复励直流电动机机械特性 4-6 负载的机械特性 4-7 电动机稳定运行的条件 4-8 他励直流电动机调速方法 4-9 直流电动机的制动 4-10 直流电机的换向
大， 串 在 电 枢 回 路的 起 动 电 阻 Rst逐 级 切 除 ，进 入稳 态 后全 部切
除。 注意，起动电阻Rst一般设计为短时运行方式，不容许长
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一、改变电枢电压调速 降低电枢电压时，电动机机械特性平行
下移。负载不变时，交点也下移，速度也随 之改变。 1. 优 点 ： 调 速 后 ， 转 速 稳 定 性 不 变 、 无 级、
平滑、损耗小。 2.缺点：只能下调，且专门设备，成本 大。
二、转矩特性T= f (P2)
T=T2+T0=P2/(2nπ/60)+T0 他励直流电动机在负载变化时，转速变化很 小，可以近似认为T0=常数。 如果不考虑转速的变化，则T=f(P2)为一条直 线，考虑到转速略有下降，所以T=f(P2)为一条略 微上翘的曲线。
三、效率特性η= f (P2)
效率特性是指U=UN=常值，If=IfN =常值时，效 率特性η= f (P2) 的关系曲线。他励电动机的效率为 η=P2/P1×100%=(1-Σp/P1) × 100%。
调节电阻Rp增大时，电动机机械特性的斜 率增大，与负载机械特性的交点也会改变，达 到调速目的。
优点：设备简单、操作简单。 缺点：只能降速，低转速时变化率较大， 电枢电流较大，不易连续调速，有损耗。
电枢回路串电阻调速
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第4章 直流电动机
4-1 直流电动机的起动 4-2 他励直流电动机工作特性 4-3 他励直流电动机机械特性 4-4 串励直流电动机机械特性 4-5 复励直流电动机机械特性 4-6 负载的机械特性 4-7 电动机稳定运行的条件 4-8 他励直流电动机调速方法 4-9 直流电动机的制动 4-10 直流电机的换向
电机学学习课件教学课件PPT直流电动机
Electrical Machinery
一、基本方程式
（1）电流方程 （2）电势平衡式
I I f Ia
U
I
Te,n
If Ia
Ea Ra
Rf
电枢回路： U Ea Ia (Ra R )
励磁回路：
U I f Rf
U > Ea
重要的转速公式
n U Ia (Ra R ) Ce
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Electrical Machinery
人为特性的几点补充
（1）考虑电枢反应时，会使机械特性上翘。影响稳定 性。通过补偿绕组改善。
（2）机械特性的确定。特殊点（n0，0），（nN，TN)
（3）通过电机的数据铭牌估算机械特性
n0
UN Ce N
,
Ce N
EaN nN
UN
I N Ra nN
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Te CT
Ra
n
U Ce
Ra CeCT 2
Te
n
可得
Ra CeCT 2
机械特性是稍下降的直线， 计及饱和， 成为水平或上翘。
Te
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Electrical Machinery
硬特性:从并励电动机转速随所需电磁转矩的增加而 稍有变化。
Electrical Machinery
电枢回路串电阻的人为机械特性
电枢串电阻人为特性的特点： （1）理想空载转速n0与固有机械特性的n0相同；
一、基本方程式
（1）电流方程 （2）电势平衡式
I I f Ia
U
I
Te,n
If Ia
Ea Ra
Rf
电枢回路： U Ea Ia (Ra R )
励磁回路：
U I f Rf
U > Ea
重要的转速公式
n U Ia (Ra R ) Ce
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Electrical Machinery
人为特性的几点补充
（1）考虑电枢反应时，会使机械特性上翘。影响稳定 性。通过补偿绕组改善。
（2）机械特性的确定。特殊点（n0，0），（nN，TN)
（3）通过电机的数据铭牌估算机械特性
n0
UN Ce N
,
Ce N
EaN nN
UN
I N Ra nN
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Te CT
Ra
n
U Ce
Ra CeCT 2
Te
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可得
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机械特性是稍下降的直线， 计及饱和， 成为水平或上翘。
Te
School of Electrical and Engineering , Jiangsu University
Electrical Machinery
硬特性:从并励电动机转速随所需电磁转矩的增加而 稍有变化。
Electrical Machinery
电枢回路串电阻的人为机械特性
电枢串电阻人为特性的特点： （1）理想空载转速n0与固有机械特性的n0相同；
电机学第4章1.ppt
ua 2 100cost 30 ub 2 80 cost 60 uc 2 50 cost 90
显然，各相大小不等，相位差也不相同，为不对称电压。 10030 100cos30 j sin 30 86.6 j 50 V 表示为复数形式： U a 80 60 80cos60 j sin 60 40 j 69.3 V U a 5090 50cos90 j sin 90 0 j 50 V U 分解为对称分量： c 2 2 1 U U U U U Uc a 0 a bU bb c 3 1 3 3 1 1 86.6 j 50 ( 40 j j 69 . )( 3 ) 40 ( 0 j 69 j 50 . 3 ) ) j 2 2 2 2 (0 j 50) 3 56 42 12 .6 2 .2 j10 31 j8.23 43 33 V
三相变压器不对称运行
不对称——各相电流(或电压，电势)大小 有可能不同，相位也不依次差120°,各相 负载阻抗不对称 •对称分量法 •各序等效电路，叠加原理 •中点浮动问题
A C B
基本概念
不对称运行状态的主要原因： ①外施电压不对称。三相电流也不对称。 ②各相负载阻抗不对称。当初级外施电压对称， 三相电流不对称。不对称的三相电流流经变 压器，导致各相阻抗压降不相等，从而次级 电压也不对称。 ③外施电压和负载阻抗均不对称。
C+
A+
性质：每相大小相等，彼此相位差120，相序 为a->b->c。
各相负序电压Ua-、Ub-、Uc-组成负Uc-=α 2Ua-
C-
A-
B逆时针
第5章 三相感应电机 《电机学(第4版)》课件
图5-17 转子顺气隙磁场旋 转方向移动α角时
图5-18 频率和绕组归算后定、转子的耦合电路图
图5-19 感应电动机的T形等效电路
图5-20 感应电动机的相量图
图5-21 正常工作时感应电动机的近似等效电路
5.4 感应电动机的功率方程和转矩方程
1.功率方程，电磁功率和转换功率 2.转矩方程和电磁转矩 3.计算额定点运行数据的MATLAB源程序
(1)感应电机的最大转矩与电源电压的平方成正比，与定转子漏抗之和近 似成反比·。 (2)最·大·转·矩·的·大·小·与·转·子·电·阻·值·无·关·，临界转差率sm则与转 子电阻R2′成正比；R2′增大时，sm增大，但Tmax保持不变，此时Te-s曲线 的最大值将向左偏移，如图5-31所示。
图5-31
图5-5 三相绕线型感应电动机的结构
2.三相感应电机的运行状态
图5-6 感应电机的三种运行状态(图中N,S代表气隙旋转磁场，•和×表示 转子感应电动势和转子电流有功分量的方向)
解 已知额定转速为730r/min，因额定转速略低于同 步转速，故知该机的同步转速为750r/min，极数2p= 8。于是，额定转差率sN为
5.10 感应电动机的调速
1.变极调速 2.变频调速 3.改变转差来调速
1.变极调速
图5-43 2p=4时一相绕组的连接 a) 每相两组线圈的正向串联 b) 两组线圈的展开图
图5-44 2p=2时一相绕组的连接 a) 每相两组线圈的反向串联 b) 两组线圈的展开图
2.变频调速
图5-45 变频调速时感应电动机的机械特性
(1)转子电流的频率 (2)转子磁动势相对于转子的转速 (3)由于转子转速n=ns(1-s)=1500(1-0.05)r/min=1425r/min,所以转子磁动势在 空间的转速应为(1425+75)r/min=1500r/min，即为同步转速。
电机学 第4章
实验和实践成果：通过实验和实践，学生能够掌握电机的基本原理和控制方法，提高解 决实际问题的能力。
成果评估方式：考试、实验报告、实践作品评价等。
基础题：考察学生对电机学基本概念和原理的掌握程度 应用题：要求学生运用所学知识解决实际问题 综合题：考察学生对电机学知识的综合运用能力 难度等级：根据题目的难易程度，可分为简单、中等和困难三个等级
对于复杂的题目，可以先列出 解题思路或步骤，再进行详细 解答
家用电器：如洗 衣机、冰箱、空 调等，电机是这 些设备运行的关 键部件。
电动车：电动汽 车和混合动力汽 车中的电机为车 辆提供动力，减 少对环境的污染。
风力发电：大型 风力发电机中的 电机将风能转化 为电能，为可再 生能源的发展做 出了贡献。
工业自动化：电 机作为执行机构， 广泛应用于自动 化生产线和设备。
注重复习与巩固： 定期复习已学内容 ，巩固知识点，加 强记忆。
直流电机：通过磁场和电流的作用实现转矩输出，具有较好的调速性能和 稳定的运行特性。
交流电机：分为同步和异步电机，应用广泛，具有较高的效率和可靠性。
步进电机：通过控制脉冲数实现精确定位，常用于数控机床等高精度定位 场合。
伺服电机：具有快速响应和精确控制的特点，广泛应用于各种自动化设备 中。
掌握基本概念和原理 选择合适的公式和定理
理解题意，分析问题 计算和推理
电机学课件第4章的习题答案 习题解析：针对每个题目进行详细解答 答案解析：对每个答案进行详细解释 解题思路：提供解题的思路和方法
仔细阅读题目，理解题意
按照要求进行解答，不要遗漏 任何步骤
注意单位和符号的使用，保持 答案的准确性和一致性
,a click to unlimited possibilities
成果评估方式：考试、实验报告、实践作品评价等。
基础题：考察学生对电机学基本概念和原理的掌握程度 应用题：要求学生运用所学知识解决实际问题 综合题：考察学生对电机学知识的综合运用能力 难度等级：根据题目的难易程度，可分为简单、中等和困难三个等级
对于复杂的题目，可以先列出 解题思路或步骤，再进行详细 解答
家用电器：如洗 衣机、冰箱、空 调等，电机是这 些设备运行的关 键部件。
电动车：电动汽 车和混合动力汽 车中的电机为车 辆提供动力，减 少对环境的污染。
风力发电：大型 风力发电机中的 电机将风能转化 为电能，为可再 生能源的发展做 出了贡献。
工业自动化：电 机作为执行机构， 广泛应用于自动 化生产线和设备。
注重复习与巩固： 定期复习已学内容 ，巩固知识点，加 强记忆。
直流电机：通过磁场和电流的作用实现转矩输出，具有较好的调速性能和 稳定的运行特性。
交流电机：分为同步和异步电机，应用广泛，具有较高的效率和可靠性。
步进电机：通过控制脉冲数实现精确定位，常用于数控机床等高精度定位 场合。
伺服电机：具有快速响应和精确控制的特点，广泛应用于各种自动化设备 中。
掌握基本概念和原理 选择合适的公式和定理
理解题意，分析问题 计算和推理
电机学课件第4章的习题答案 习题解析：针对每个题目进行详细解答 答案解析：对每个答案进行详细解释 解题思路：提供解题的思路和方法
仔细阅读题目，理解题意
按照要求进行解答，不要遗漏 任何步骤
注意单位和符号的使用，保持 答案的准确性和一致性
,a click to unlimited possibilities
电机学第4章1复习过程
Ub=α2 Ua, Uc=αUa
(4—1)
B
复数算子α＝ej120＝e-j240
α = cos120°+j sin120°
α2＝ej240＝e-j120
α3＝ej360＝ej0＝1
C A
三相不对称系统：三相中的电压Ua、Ub、Uc 互不相关——大小不一定相等，相位关系不 固定
Ua、Ub、Uc为三个独立变量
不对称电压正序 负序 零序
Ua Ua Ua Ua0 Ub Ub Ub Ub0 Uc Uc Ub Uc0
Ua
1 3
Ua Ub 2Uc
Ua
1 3
Ua 2Ub Uc
Ua0
1 3
Ua Ub Uc
例题
1. 设有一不对称三相电压
2. 将其分解为对称分量。
ua 2100cost 30 ub 280cost 60 uc 250cost 90
Y，y；Y，d；D，y；D，d——无零序电流 YN，d和D，yn接法——如YN、yn中有零序电流，d、D中也感
应零序电流。 YN，y和Y，yn接法——当YN、yn中有零序电流，y、Y中也不
会有零序电流。
2.零序磁通在铁芯中流通路径
由于三相的零序电流在时间上同相位，所产生 的三相零序磁通及其感应的三相零序电势各相 均同相位。
显然，各相大小不等，相位差也不相同，为不对称电压。
表示为复数形式： U a10 300 10 c0 o 3 s0 jsi3n0 8.6j50V U a8 060 8c 0o 6 s0 jsi6n0 4 0j6.3 9V
分解为对称分量： U c5 090 5c 0o 9 s0 jsi9n0 0j50V
U U aa 0 13 13 U U aa UU 2b U bbU c2U c
电机学(自学完整版)课件
18十月2023
《电机学》 第一章 导论
20
2. 电机的近代发展及趋势
单机容量不断增加
·如汽轮发电机：
1900 1920 1937空气冷却
氢气冷却
5MVA 25MVA 100MVA 150MVA
1956水 肉冷 1960 目前
208VA 320MVA >1000MVA
中小型电机技术与经济指标不断改进 ·新的设计方法 (CAD)、 工艺、材料、测试手段 应用范围扩大
18十月2023
14
《电机学》 第一章 导 论
发电
·我国老牌电机厂：
哈尔滨电机厂 上海电机厂
·四川：
德阳东方电机厂
上海电机厂的生产车间
18十月2023
《电机学》 第一章 导
15
论
发电
18十月2023
《电机学》 第一章 导论
16
动力
应用于洗衣机
用于有轨电车牵引的电动机 18十月2023
《电机学》 第一章 导论
39
※ 铁修材料具有的特点
它的磁化曲线具有饱和性，磁导率μpe不是常数，且随H 的变化而变化。
L. μ 变化 2. 总体非线性 3. 存在饱和特性
个= μ
18十月2023
《电机学》 第一章 导论
40
B=f(H)
B
C
b
μre =f(H)
a
B=₀H H
图1-6 铁磁材料的磁化曲线 (p16)
18十月2023
若线圈不动，穿过线圈的磁通随时间变化，则线圈中感应 的电动势——变压器电势
中=中m sin wt
感应电动势有效值：
18十月2023
28
《电机学》 第一章 导 论
电机学教学课件第4章
注意: PN --- 输出功率 在发电机中，输出功率是电功率，因此
PN U N I N
在电动机中，输出功率是机械功率，因此
PN U N I NN
4.2 直流电机的气隙磁场与电枢反应
主磁通和主磁路
主磁通 --- 穿过气隙同时匝联定、转子的磁通
主磁路 --- 主磁通的路径 分为 8 段：2 段主磁极、 2 段气隙、 2 段转子齿、
一个导体中的感应电势：
ex Bxlv （1）
电刷两端引出的电枢电势：
N —— 转子绕组 总导体数
N
N
N
2a
2a
2a
Ea ex Bxlv lv Bx
1
1
1
令Bp 表示每极平均磁密，则：
Bp
1
B(x)dx
0
(3)
N
2a
Bx
1
N 2a
B
p
(4)
(2)
S
Bx
Bav n
将式（4）代入式（2）式：
yk＝7
• 特点： N
S
N
S
dq
1). 两个导体连成一个线圈，所有线圈串S 联形成闭N合的
电枢绕组
n
2). 为了在电刷间获得最大感应电势，电刷应与处于几 何中性线上的线圈相接触
12
89
12
Ad
qB
3并).联在支叠路绕，组并中联，支一路对数电2刷a=将2p闭（合极的数电）S枢绕组分成N 两n条
在波绕组中，上层边在同一极性磁极下的线圈串联
举例：复励直流电机 ➢ 复励发电机的功率流程图
P1
机械能
PM pm pFe p
p f pa ps pb
P2
PN U N I N
在电动机中，输出功率是机械功率，因此
PN U N I NN
4.2 直流电机的气隙磁场与电枢反应
主磁通和主磁路
主磁通 --- 穿过气隙同时匝联定、转子的磁通
主磁路 --- 主磁通的路径 分为 8 段：2 段主磁极、 2 段气隙、 2 段转子齿、
一个导体中的感应电势：
ex Bxlv （1）
电刷两端引出的电枢电势：
N —— 转子绕组 总导体数
N
N
N
2a
2a
2a
Ea ex Bxlv lv Bx
1
1
1
令Bp 表示每极平均磁密，则：
Bp
1
B(x)dx
0
(3)
N
2a
Bx
1
N 2a
B
p
(4)
(2)
S
Bx
Bav n
将式（4）代入式（2）式：
yk＝7
• 特点： N
S
N
S
dq
1). 两个导体连成一个线圈，所有线圈串S 联形成闭N合的
电枢绕组
n
2). 为了在电刷间获得最大感应电势，电刷应与处于几 何中性线上的线圈相接触
12
89
12
Ad
qB
3并).联在支叠路绕，组并中联，支一路对数电2刷a=将2p闭（合极的数电）S枢绕组分成N 两n条
在波绕组中，上层边在同一极性磁极下的线圈串联
举例：复励直流电机 ➢ 复励发电机的功率流程图
P1
机械能
PM pm pFe p
p f pa ps pb
P2
电机学第四章课件
标准格式：
n X , Ia
AX B X
K J A Ce La 60CT 2 J , Ra La 60Ts 2 J B U La
四阶龙格库塔法：
设 i--时间离散点ti的序号,i 0,1,2,
AR 2). T I a n
Ra很小！！ T增大时，n下降很小 －－硬特性
4.3.3 人为机械特性
n f (T ) －－与电枢电压、磁通和电枢电阻有关
人为机械特性－－保持其中两个不变 改变一个所得到的机械特性
1) 改变电枢回路电阻Rp
电枢电压U和励磁电流If (磁通Φ)保持不变
• 复励电动机 保证复励性质不变！！
4.2 他励（并励）直流电动机的工作特性 条件: 特性:
T2 P2
U C, R f C ( I f C)
n f ( P2 ), T f ( P2 ), f ( P2 )
U I a Ra Ce
T CT I a Ia 1) P2 T
n0 －－理想空载转速
－－机械特性的斜率
条件:
U C, R f C ( I f C )
n n0 T
T n
4.3.2 固有(自然)机械特性
n UN Ra T 2 Ce N CeCT N
n (U I a Ra )
Ce 1). T I a n
' a
T T0 TL n
U 2 Ea Ea Ce N n I a T CT I a Ra
→新稳态
T TL T0 I a 2 I a1 n n n 2 1
n X , Ia
AX B X
K J A Ce La 60CT 2 J , Ra La 60Ts 2 J B U La
四阶龙格库塔法：
设 i--时间离散点ti的序号,i 0,1,2,
AR 2). T I a n
Ra很小！！ T增大时，n下降很小 －－硬特性
4.3.3 人为机械特性
n f (T ) －－与电枢电压、磁通和电枢电阻有关
人为机械特性－－保持其中两个不变 改变一个所得到的机械特性
1) 改变电枢回路电阻Rp
电枢电压U和励磁电流If (磁通Φ)保持不变
• 复励电动机 保证复励性质不变！！
4.2 他励（并励）直流电动机的工作特性 条件: 特性:
T2 P2
U C, R f C ( I f C)
n f ( P2 ), T f ( P2 ), f ( P2 )
U I a Ra Ce
T CT I a Ia 1) P2 T
n0 －－理想空载转速
－－机械特性的斜率
条件:
U C, R f C ( I f C )
n n0 T
T n
4.3.2 固有(自然)机械特性
n UN Ra T 2 Ce N CeCT N
n (U I a Ra )
Ce 1). T I a n
' a
T T0 TL n
U 2 Ea Ea Ce N n I a T CT I a Ra
→新稳态
T TL T0 I a 2 I a1 n n n 2 1
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I I I a a a0
U A 2Z k Z 2 Z m0 3Z L
• 负载电流为：
• 如略去Zk和Z2
3 U A I I I I a a a0 2Z k Z 2 Z m0 3Z L
3 U A I Z m 0 3Z L
• 零序分量电流三相同相，其流经变压器的情况与变压 器的连接方法有关：
①Y，y；Y，d；D，y；D，d连接无零序电流。
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
• 在Y，yn接法中，零序电流只能在次级侧流通，在初级侧电 路中虽感应有零序电势，但无零序电流流通。 • Ia0、Ibo、Ic0为激磁性质电流，建立起同时和原、副线圈 交链的零序主磁通，在原、副线圈中感应零序电势E0。
• 初级侧的零序电压即等于零序电势。
东南大学 电气工程学院
对称分量法
• 把不对称的三相系统分解为三个独立的对称系统， 即正序系统、负序系统和零序系统 • 下标“+”、“-”、“0”分别表示正序、负序和零 序
东南大学 电气工程学院
对称分量法
• 结论 （1）正序、负序和零序系统都是对称系统。
当求得各个对称分量后，再把各相的三个
分量叠加便得到不对称运行情形。
• •
假设：外施电压为对称三相电压 目的：分析Y，yn接法中的零序电流的影响
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
已知变压器参数和一次侧外施电压 • 负载电流I • 初级侧电流IA、IB、IC • 初级、次级侧相电压UA、UB、UC和Ua、Ub、Uc。
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
a0 3 a b c 3
初级侧星形连接，无零序电流通路，相电流只有正序与负序 分量
I I I I 2 I I A A A a a 3 I I 2I I 1 I I B B B a a 3 I I I 2 I 1 I I C C C a a 3
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三相变压器Yyn连接单相运行
U I Z U a A a k I Z U a a k E I Z U
a0 0 a0 2
E U A0 0
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三相变压器Yyn连接单相运行
• a相电流为：
东南大学 电气工程学院
三相变压器的各序阻抗及其等效电路
Yyn接法的零序等效电路 • 零序电流由次级侧有中线电流引起 • 初级侧无零序电流，但感应零序（相）电势
• 如果Z0较大，较小的中线电流会造成相电压较大的不对称。 其不对称的程度还与变压器的磁路有关。
东南大学 电气工程学院
三相变压器的各序阻抗及其等效电路
零序激磁阻抗相当于在负载中增加了一 个阻抗Zm0/3
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
零点浮动 • 外施电压对称，当次级侧 接有单相负载后，在每相 绕组上都叠加有零序电势， 造成相电压不对称，在相 量图中表现为相电压中点O’ 偏离了线电压三角形的几 何中心O。
• 中点浮动的程度主要取决 于零序电势E0，E0的大小 取决于零序电流的大小和 磁路结构。
A
C
• 三相不对称系统：三相中的电压 Ua 、 Ub 、 Uc 互不相 关——大小不一定相等，相位关系不固定 Ua、Ub、Uc为三个独立变量
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对称分量法
• 对称还会用到。 任意一组三相不对称的物理量（电压、电流等）均可分 解成三组同频率的对称的物理量。 以电流为例，说明如下：
东南大学 电气工程学院
三相变压器的各序阻抗及其等效电路
零序电流在变压器绕组中的流通情况 • 零序电流能否流通与三相绕组的连接方式有关。 Y接法中无法流通 YN接法可以流通 D 接法线电流不能流通零序电流，但其闭合回路能为零序 电流提供通路，如果另一方有零序电流，通过感应也会在 D接法绕组中产生零序电流。 Y，y；Y，d；D，y；D，d——无零序电流
影响：零序磁通途经变压器油箱，引起油箱壁局部发热。
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
• 三相变压器组，各相磁路独立，零序磁阻较小，Zm0＝Zm。 很小的零序电流也会感应很大的零序电势，中点有较大的 浮动，造成相电压严重不对称。 如一相发生短路，即ZL＝0
-I=3UA+/Zm=3I0 短路电流仅为正常激磁电流的3倍 Ua＝0，则E0＝UA+，零序电势大，中点浮动到A顶点
东南大学 电气工程学院
三相变压器Yyn连接单相运行
•条件:外施线电压为对称，没有负序分量电压和零序分 量电压，各绕组上的正序电压UA+、UB+、UC+即为电源 相电压。
•次级侧产生负序分量电流和零序分量电流，产生相应的
负序磁通和零序磁通，在初级、次级绕组中感应负序分
量电压和零序分量电压。
（2）不同相序具有不同阻抗参数，电流流经
电机和变压器具有不同物理性质。
（3）对称分量法根据叠加原理，只适用于线
性系统中。
东南大学 电气工程学院
三相变压器的各序阻抗及其等效电路
• 正序阻抗和正序等效电路
前几节所讲的等效电路实际上是三相变压器的正序 等效电路，其简化等效电路图如图所示
rk+ UA+
xk+
东南大学 电气工程学院
对称分量法
• 对称的三相系统：三相中的电压Ua、Ub、Uc对称，只 有一个独立变量。如三相相序为 a 、 b 、 c ，由 Ua 得出 其余两相电压 Ub=α2 Ua, Uc=αUa
B
• 复数算子α＝ej120＝e-j240 α = cos120°+j sin120° α2＝ej240＝e-j120 α3＝ej360＝ej0＝1
电机学
三相变压器的不对称运行及瞬态过程
东南大学电气工程学院 黄允凯
东南大学 电气工程学院
本章内容
1 2 3 4
对称分量法
三相变压器的各序阻抗及其等效 电路
三相变压器Yyn连接单相运行
变压器二次侧突然短路时的瞬态 过程
5
变压器空载合闸时的瞬态过程
东南大学 电气工程学院
对称分量法
不对称运行状态的主要原因： ①外施电压不对称。三相电流也不对称。 ②各相负载阻抗不对称。当初级外施电压对称，三相电流不 对称。不对称的三相电流流经变压器，导致各相阻抗压降 不相等，从而次级电压也不对称。 ③外施电压和负载阻抗均不对称。 着重分析 • 不对称运行的分析方法 • 正序阻抗、负序阻抗及零序阻抗的物理概念及测量方法 • 危害性 ——三相变压器在 Y ， yn 连接时相电压中点浮动的 原因及其危害
. . IA+=-Ia+
.
-Ua+
.
Z rk jxk r k jxk Z k
东南大学 电气工程学院
三相变压器的各序阻抗及其等效电路
• 负序阻抗和负序等效电路
对负序分量而言，其等效电路与正序没有什么不 同，因为各相序电流在相位上也是彼此相差120°， 至于是B相超前C相，还是C相超前B相，变压器内部的 电磁过程都是一样的。于是负序等效电路与正序一样
叠加于BC相，B、C相电压均等于原额定线电压。
结论：三相变压器组不能接成Y，yn运行。
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三相变压器Yyn连接单相运行
小结
• 不对称运行的分析常采用对称分量法——把不对称的 三相电压或电流用对称分量法分解为对称的正序分量 系统、负序分量系统和零序分量系统。分别对各对称 分量系统作用下的运行情况进行分析，然后把各分量 系统的分析结果叠加起来，便得到不对称运行时总的 分析结果。
YN，d和D，yn接法——如YN或yn中有零序电流，d或D中也感
应零序电流。 YN，y和Y，yn接法——当YN或yn中有零序电流，y或Y中也不
会有零序电流。
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
•零序等效电路
（1）首先分析零序电流的来源； （2）确定初、次级侧相、线中的零序电流情况； （3）零序电流的等效电路； （4）对运行的影响。
YN，d接法的零序等效电路
初级、次级侧均能流通零序电流，但是不能流向次级侧 负载电路
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
一次侧绕组有中线，零序电流可以流通，而二次侧组的 三角形联接使零序电流处于短路状态 ，所以从一次侧 看进去，其等效电路如图
YN，d接法的零序阻抗是一很小的阻抗。 电源有较小的UA0，会引起较大的零序电流，导致变压器过热。 应有保护措施监视中线电流。
•零序磁通在铁芯中流通路径 •由于三相的零序电流在时间上同相位，所产生的三相 零序磁通及其感应的三相零序电势各相均同相位。
•零序磁通及其感应电势的大小与磁路系统有关。
(1) 三相磁路独立
零序磁通路径与正序、负序磁路相同，磁阻较小， 激磁阻抗较大 Zm0=Zm=rm+jxm (2) 三相磁路相关 零序磁通只匝链各自绕组，以变压器油及油箱壁为回 路，磁阻较大，零序激磁阻抗较小 Zm0 << Zm
步骤1. 列出端点方程
I I a I 0 I b c I Z U
a L
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三相变压器Yyn连接单相运行
步骤2. 分解为不对称分量
I I a I 0 I b c
1 I I 2I 1I I a a b c 3 3 1 I 2I I 1I I a a b c 3 3 1 I I I 1 I I
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U A 2Z k Z 2 Z m0 3Z L
• 负载电流为：
• 如略去Zk和Z2
3 U A I I I I a a a0 2Z k Z 2 Z m0 3Z L
3 U A I Z m 0 3Z L
• 零序分量电流三相同相，其流经变压器的情况与变压 器的连接方法有关：
①Y，y；Y，d；D，y；D，d连接无零序电流。
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三相变压器Yyn连接单相运行
• 在Y，yn接法中，零序电流只能在次级侧流通，在初级侧电 路中虽感应有零序电势，但无零序电流流通。 • Ia0、Ibo、Ic0为激磁性质电流，建立起同时和原、副线圈 交链的零序主磁通，在原、副线圈中感应零序电势E0。
• 初级侧的零序电压即等于零序电势。
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对称分量法
• 把不对称的三相系统分解为三个独立的对称系统， 即正序系统、负序系统和零序系统 • 下标“+”、“-”、“0”分别表示正序、负序和零 序
东南大学 电气工程学院
对称分量法
• 结论 （1）正序、负序和零序系统都是对称系统。
当求得各个对称分量后，再把各相的三个
分量叠加便得到不对称运行情形。
• •
假设：外施电压为对称三相电压 目的：分析Y，yn接法中的零序电流的影响
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三相变压器Yyn连接单相运行
已知变压器参数和一次侧外施电压 • 负载电流I • 初级侧电流IA、IB、IC • 初级、次级侧相电压UA、UB、UC和Ua、Ub、Uc。
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三相变压器Yyn连接单相运行
a0 3 a b c 3
初级侧星形连接，无零序电流通路，相电流只有正序与负序 分量
I I I I 2 I I A A A a a 3 I I 2I I 1 I I B B B a a 3 I I I 2 I 1 I I C C C a a 3
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三相变压器Yyn连接单相运行
U I Z U a A a k I Z U a a k E I Z U
a0 0 a0 2
E U A0 0
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三相变压器Yyn连接单相运行
• a相电流为：
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
Yyn接法的零序等效电路 • 零序电流由次级侧有中线电流引起 • 初级侧无零序电流，但感应零序（相）电势
• 如果Z0较大，较小的中线电流会造成相电压较大的不对称。 其不对称的程度还与变压器的磁路有关。
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
零序激磁阻抗相当于在负载中增加了一 个阻抗Zm0/3
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三相变压器Yyn连接单相运行
零点浮动 • 外施电压对称，当次级侧 接有单相负载后，在每相 绕组上都叠加有零序电势， 造成相电压不对称，在相 量图中表现为相电压中点O’ 偏离了线电压三角形的几 何中心O。
• 中点浮动的程度主要取决 于零序电势E0，E0的大小 取决于零序电流的大小和 磁路结构。
A
C
• 三相不对称系统：三相中的电压 Ua 、 Ub 、 Uc 互不相 关——大小不一定相等，相位关系不固定 Ua、Ub、Uc为三个独立变量
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对称分量法
• 对称还会用到。 任意一组三相不对称的物理量（电压、电流等）均可分 解成三组同频率的对称的物理量。 以电流为例，说明如下：
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
零序电流在变压器绕组中的流通情况 • 零序电流能否流通与三相绕组的连接方式有关。 Y接法中无法流通 YN接法可以流通 D 接法线电流不能流通零序电流，但其闭合回路能为零序 电流提供通路，如果另一方有零序电流，通过感应也会在 D接法绕组中产生零序电流。 Y，y；Y，d；D，y；D，d——无零序电流
影响：零序磁通途经变压器油箱，引起油箱壁局部发热。
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三相变压器Yyn连接单相运行
• 三相变压器组，各相磁路独立，零序磁阻较小，Zm0＝Zm。 很小的零序电流也会感应很大的零序电势，中点有较大的 浮动，造成相电压严重不对称。 如一相发生短路，即ZL＝0
-I=3UA+/Zm=3I0 短路电流仅为正常激磁电流的3倍 Ua＝0，则E0＝UA+，零序电势大，中点浮动到A顶点
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三相变压器Yyn连接单相运行
•条件:外施线电压为对称，没有负序分量电压和零序分 量电压，各绕组上的正序电压UA+、UB+、UC+即为电源 相电压。
•次级侧产生负序分量电流和零序分量电流，产生相应的
负序磁通和零序磁通，在初级、次级绕组中感应负序分
量电压和零序分量电压。
（2）不同相序具有不同阻抗参数，电流流经
电机和变压器具有不同物理性质。
（3）对称分量法根据叠加原理，只适用于线
性系统中。
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
• 正序阻抗和正序等效电路
前几节所讲的等效电路实际上是三相变压器的正序 等效电路，其简化等效电路图如图所示
rk+ UA+
xk+
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对称分量法
• 对称的三相系统：三相中的电压Ua、Ub、Uc对称，只 有一个独立变量。如三相相序为 a 、 b 、 c ，由 Ua 得出 其余两相电压 Ub=α2 Ua, Uc=αUa
B
• 复数算子α＝ej120＝e-j240 α = cos120°+j sin120° α2＝ej240＝e-j120 α3＝ej360＝ej0＝1
电机学
三相变压器的不对称运行及瞬态过程
东南大学电气工程学院 黄允凯
东南大学 电气工程学院
本章内容
1 2 3 4
对称分量法
三相变压器的各序阻抗及其等效 电路
三相变压器Yyn连接单相运行
变压器二次侧突然短路时的瞬态 过程
5
变压器空载合闸时的瞬态过程
东南大学 电气工程学院
对称分量法
不对称运行状态的主要原因： ①外施电压不对称。三相电流也不对称。 ②各相负载阻抗不对称。当初级外施电压对称，三相电流不 对称。不对称的三相电流流经变压器，导致各相阻抗压降 不相等，从而次级电压也不对称。 ③外施电压和负载阻抗均不对称。 着重分析 • 不对称运行的分析方法 • 正序阻抗、负序阻抗及零序阻抗的物理概念及测量方法 • 危害性 ——三相变压器在 Y ， yn 连接时相电压中点浮动的 原因及其危害
. . IA+=-Ia+
.
-Ua+
.
Z rk jxk r k jxk Z k
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
• 负序阻抗和负序等效电路
对负序分量而言，其等效电路与正序没有什么不 同，因为各相序电流在相位上也是彼此相差120°， 至于是B相超前C相，还是C相超前B相，变压器内部的 电磁过程都是一样的。于是负序等效电路与正序一样
叠加于BC相，B、C相电压均等于原额定线电压。
结论：三相变压器组不能接成Y，yn运行。
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三相变压器Yyn连接单相运行
小结
• 不对称运行的分析常采用对称分量法——把不对称的 三相电压或电流用对称分量法分解为对称的正序分量 系统、负序分量系统和零序分量系统。分别对各对称 分量系统作用下的运行情况进行分析，然后把各分量 系统的分析结果叠加起来，便得到不对称运行时总的 分析结果。
YN，d和D，yn接法——如YN或yn中有零序电流，d或D中也感
应零序电流。 YN，y和Y，yn接法——当YN或yn中有零序电流，y或Y中也不
会有零序电流。
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
•零序等效电路
（1）首先分析零序电流的来源； （2）确定初、次级侧相、线中的零序电流情况； （3）零序电流的等效电路； （4）对运行的影响。
YN，d接法的零序等效电路
初级、次级侧均能流通零序电流，但是不能流向次级侧 负载电路
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三相变压器的各序阻抗及其等效电路
一次侧绕组有中线，零序电流可以流通，而二次侧组的 三角形联接使零序电流处于短路状态 ，所以从一次侧 看进去，其等效电路如图
YN，d接法的零序阻抗是一很小的阻抗。 电源有较小的UA0，会引起较大的零序电流，导致变压器过热。 应有保护措施监视中线电流。
•零序磁通在铁芯中流通路径 •由于三相的零序电流在时间上同相位，所产生的三相 零序磁通及其感应的三相零序电势各相均同相位。
•零序磁通及其感应电势的大小与磁路系统有关。
(1) 三相磁路独立
零序磁通路径与正序、负序磁路相同，磁阻较小， 激磁阻抗较大 Zm0=Zm=rm+jxm (2) 三相磁路相关 零序磁通只匝链各自绕组，以变压器油及油箱壁为回 路，磁阻较大，零序激磁阻抗较小 Zm0 << Zm
步骤1. 列出端点方程
I I a I 0 I b c I Z U
a L
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三相变压器Yyn连接单相运行
步骤2. 分解为不对称分量
I I a I 0 I b c
1 I I 2I 1I I a a b c 3 3 1 I 2I I 1I I a a b c 3 3 1 I I I 1 I I
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