二次函数综合应用专题归纳训练一

二次函数综合应用专题归纳训练一

一、相似三角形的存在性问题

1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴；

（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C，它的对称轴与x轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.

二、等腰三角形的存在性问题

2.如图，直线3

y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x

=x

3+

轴于另一点C（3,0）.

⑴求抛物线的解析式

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ

存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最

小时，求点P的坐标；

(3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角

形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；

若不存在，请说明理由．

三、平行四边形的存在性问题

4.（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．

分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N 的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；

（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），

根据题意得：，解得：，

则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；

（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，

则当x=﹣时，MN的最大值为；

（3）连接MN、BN、BM与NC互相垂直平分，

即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，

即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，

故当N（﹣1，4）时，MN和NC互相垂直平分．

四、线段差的最值问题

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五、面积问题

7.如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；

（2）设直线AM 与y 轴交于点C ，求△BCM 的面积.

（3）在图中的抛物线上是否还存在点P ，使得S △PMB =S △BCM ，如果不存在，说明

理由；如存在，请直接写出P 点的个数.

C

8.（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM 的面积；

（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F

的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．

9.（2013重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是

抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行

四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN

的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

六、二次函数与圆的结合

10.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

11.将△A OB置于平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A为（3，0），∠A BO＝60°.

（1）若△A OB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标；

（2）若点C为（－1，0），试猜想直线DC与△AO B的外接圆的位置关系，并说明理由；

（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式

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