二次函数综合应用专题归纳训练一

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二次函数应用题1

二次函数应用题11、某公司以3万元/吨的价格收购20吨某水果后，分成A，B两类（A类直接销售，B类深加工成果酱后再创售），并全部售出．A类水果的销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x为整数，单位：吨）之间的函数关系是y＝－x＋13．B类水果深加工总费用m（单位：万元）与加工数量n（单位：吨）之间的函数关系是m＝12＋3n，B类果酱每吨利润率（不考虑深加工费用）是A类水果每吨利润率的2倍，按此标准定B 类的销售价格．注：总利润＝售价一总成本；利润率＝（售价一进价）÷进价（1）设其中A类水果有x吨，用含x的代数式表示下列各量．①B类果酱有吨；②A类水果所获得总利润为万元；③B类果酱所获得总利润为万元．（2）若A类水果比B类果酱获得总利润低24万元，问A，B两类水果各有多少吨？（3）若A，B两类水果获得总利润和不低于48万元，直接写出x的取值范围．2、某公司电商平台，在2022年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价（1）①请直接写出y关于x的函数解析式（不要求写出自变的取值范围）；②直接写出商品的进价元；（2）售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．3、北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+近似表示滑雪场地上的一座小山坡，（1）某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米，直接写出b，c的值；（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求b，c的值或取值范围．4、鄂北公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，日销售量y（千克）与销售价格x （元/千克）符合一次函数关系，经过市场调获得部分数据如表：销售价格x（元/千克）10 15日销售量y（千克）300 225（1）求y与x的函数解析式；（2）鄂北公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润W1最大？（3）若鄂北公司每销售1千克这种产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，鄂北公司的日获利W2的最大值为1215元，直接写出a的值．5、某公司投入研发费用120万元（120万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）有如表对应关系．x（元/件） 1 3 5y（万件）39 37 35（1）直接写出y关于x的函数关系式：．（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W最大，其最大值是多少？（3）为了提高利润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发（此费用计入第二年成本），使产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，在年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求该公司第二年售价x（元/件）应满足的条件．6、某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m≤70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？7、个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天） 1 3 5 10 36 …日销售量m94 90 86 76 24 …（kg）未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？。

(完整版)二次函数综合题型分类训练

专题一二次函数之面积、周长最值问题y- 1 x2bx c1、如图，抛物线2与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2 ，OC=3 ． (1)求抛物线的剖析式。

(2)假设点 D(2 ， 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，可否存在一点 P，使得△ BDP 的周长最小，假设存在，央求出点P的坐标，假设不存在，请说明原由．22、如图，抛物线y= － x +bx+c 与素来线订交于 A 〔－ 1，（1〕抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2〕设点 M 在对称轴上一点，求使 MN+MD 的值最小时的 M的坐标；〔3〕假设 P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值．3、如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 2〔 a≠ 0〕与 x 轴交于 A 、B两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D〔 2，3〕， tan∠ DBA= 1 2．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，按次连接点B 、M 、C、 A ，求四边形 BMCA 面积的最大值；4、如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是〔 4，0〕，并且 OA=OC=4OB ，动点 P 在过 A ，B ，C 三点的抛物线上．（1〕求抛物线的剖析式；（2〕可否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？假设存在，求出所有吻合条件的点 P 的坐标；假设不存在，说明原由；（3〕过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线．垂足为 F，连接 EF，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．y-1x2bx c5、如图 12，二次函数2的图象与 x 轴的正半轴订交于点 A 、 B，与 y 轴订交于点C，且 OC2=OA · OB ．(1)求 c 的值；(2)假设△ ABC 的面积为3，求该二次函数的剖析式；(3)设 D 是 (2)中所确定的二次函数图象的极点，试问在直线 AC 上可否存在一点P 使△ PBD 的周长最小 ?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．6、如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为〔－ 2， 0〕，连接 OA ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，获取线段 OB.（1〕求点 B 的坐标；（2〕求经过 A 、 O、B 三点的抛物线的剖析式；〔 3〕在〔 2〕中抛物线的对称轴上可否存在点C，使△ BOC的周长最小？假设存在，求出点 C 的坐标；假设不存在，请说明原由.〔 4〕若是点P 是〔 2〕中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB面积？假设有，求出此时P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；假设没有，请说明原由.可否有最大专题二二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线 y=ax2-5ax+4 经过 ABC △的三个极点， BC∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC ．〔 1〕求抛物线的对称轴；（2〕写出 A 、B 、 C 三点的坐标并求抛物线的剖析式；（3〕研究：假设点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，可否存在 PAB 是等腰三角形．假设存在，求出所有吻合条件的点P 坐标；不存在，请说明原由．2、如图，抛物线与x 轴交于A〔 -1，0〕，B〔 3，0〕两点，与y 轴交于点C〔 0，3〕．〔 1〕求抛物线的剖析式；〔 2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；M 〔 3〕点 M 是抛物线上一点，以 B ，C， D， M 为极点的四边形是直角梯形，试求出点的坐标．3、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x 2﹣〔 m+n〕x+mn〔 m＞ n〕与 x 轴订交于 A 、B两点〔点 A 位于点 B 的右侧〕，与 y 轴订交于点 C．（1〕假设 m=2， n=1，求 A 、 B 两点的坐标；（2〕假设 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是〔 0，﹣ 1〕，求∠ ACB 的大小；〔3〕假设 m=2，△ ABC 是等腰三角形，求n 的值．4、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A〔 3，0〕，与 y 轴的交点为 B〔 0，3〕，其极点为 C，对称轴为 x=1 ．〔 1〕求抛物线的剖析式；（2〕点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3〕将△ AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度〔 0＜ m＜ 3〕获取另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠局部的面积记为S，用 m 的代数式表示S．5、如图，抛物线经过 A 〔 1，0〕， B〔 0，3〕两点，对称轴是x= ﹣1．（1〕求抛物线对应的函数关系式；（2〕动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．①当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；②△ AON 可否为等腰三角形？假设能，求出t 的值；假设不能够，请说明原由．6、如图，抛物线y= ﹣14 x2+bx+4 与 x 轴订交于 A 、B 两点，与 y 轴订交于点C，假设 A 点的坐标为A〔﹣2， 0〕．（1〕求抛物线的剖析式及它的对称轴方程；（2〕求点 C 的坐标，连接 AC 、BC 并求线段 BC 所在直线的剖析式；（3〕试判断△ AOC 与△ COB 可否相似？并说明原由；〔4〕在抛物线的对称轴上可否存在点 Q，使△ ACQ 为等腰三角形？假设不存在，求出吻合条件的 Q 点坐标；假设不存在，请说明原由．7、 Rt△ ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB 与 x 轴重合〔其中OA ＜ OB〕，直角极点在y 轴正半轴上。

二次函数基础训练题1-8

二次函数练习一一、填空1、二次函数y=-x 2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________。

2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________。

3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有_______个，交点坐标为____________。

4、y=x 2-3x-4与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴交点坐标是____________5、由y=2x 2和y=2x 2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x 2+4x-5的图象可由y=2x 2的图象向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。

二、解答：6、求y=2x 2+x-1与x 轴、y 轴交点的坐标。

7、求y=31x 2212--x 的顶点坐标。

8、已知二次函数图象顶点坐标（-3，21）且图象过点（2，211），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。

9、已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

10、分析若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x=21,对称，那么图象还必定经过哪一点？二次函数练习二一、根据下列条件求关于x的二次函数的解析式= -1，且图象过（0，7）（1）当x=3时，y最小值3（2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4）当x=1时，y=0；x=0时，y= -2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）二、应用题1、用一个长为6分米的铁丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分米,，求①y关于x的函数关系式；②当边长为多少时这个矩形面积最大？2、在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）已知砖墙在地面上占地总长度160m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。

中考数学总复习重点突破专题练习二次函数的综合应用(有答案)

中考数学总复习重点突破专题练习二次函数的综合应用（有答案）2022中考数学总复习重点突破专题练习二次函数的综合应用 1.如图，抛物线y=a某2+4某+c交某轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=-某+5经过点B，C．点M是直线BC上方抛物线上一动点（点M不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，连接MC，MB．(1)求抛物线的解析式；(2)连接MO，交直线BC于点D，若△MCD≅△MBD，求m的值；(3)过点M的直线y=k某+b与抛物线交于另一点N，点N的横坐标为nn≠m．当m+n=3时，请直接写出b的取值范围． 2.已知抛物线y=a某2+c经过点A0,2和点B-1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线平移，使其顶点坐标为2,18，平移后的抛物线的对称轴与某轴交于点H，与某轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），与y轴的交点为点E．试问，在平移后的抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P，C，H为顶点的三角形与△EOD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请理由．(3)将(1)中的抛物线上下平移，设平移后顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与某轴两个交点之间的距离为n．若1<m≤5，求出n的取值范围． 3.抛物线y=a某2+b某+c交某轴于A(1, 0)，B(-3, 0)两点，顶点纵坐标为-4．(1)求抛物线的解析式；(2)直线l:y=k某-k(0≤k≤3)与抛物线交于M(某M, yM)，N(某N, yN)，某M<某N，①求yM的范围；②点P(某P, yP)在抛物线上(某M<某P<某N)，点Q(某Q, yQ)在直线l上，某P=某Q，PQ的长度记为d．对于每一个k，d都有最大值，请求出d的最大值与k的函数关系式． 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a某2+b某+c(a≠0)与y轴交于点C(0, 3)，与某轴交于A，B两点，点B坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为某=1．(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 5.【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系某Oy，对两点A(某1, y1)和B(某2, y2)，用以下方式定义两点间距离：d(A,B)=|某1-某2|+|y1-y2|.【数学理解】(1)①已知点A(-2, 1)，则d(O,A)=________；②函数y=-2某+4(0≤某≤2)的图象如图①所示，B是图象上一点，d(O,B)=3，则点B的坐标是________；(2)函数y=4某(某>0)的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d(O,C)=3；(3)函数y=某2-5某+7(某≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d(O,D)的最小值及对应点D的坐标； 6.如图，在平面直角坐标系某Oy中，抛物线y=12某2+b某+c经过点A0,2和B1,32．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，若图象G向下平移tt>0个单位后与直线BC只有一个点，求t的取值范围．7.如图，抛物线y=-某2+b某+c经过点A，B，C，已知点A(-1, 0)，点C(0, 3)．(1)求抛物线的表达式；(2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设E是抛物线上的一点，在某轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．8.二次函数y=-某2+b某+c与某轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y=-某+3，AD⊥某轴交直线BC于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)Mm,0为线段AB上一动点，过点M且垂直于某轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E，F．直线AE与直线BC交于点G，当EGAG=12时，求m值．9.已知y关于某的二次函数y=某2-2b某+b2+2b-3的图象与某轴有两个公共点．(1)求b的取值范围；(2)若b取满足条件的最大整数值，当2≤某≤m-1时，函数y的取值范围是n≤y≤8，求m，n的值；(3)若在自变量某的值满足b-1≤某≤12b的情况下，对应函数y的最小值为-34，求此时二次函数的解析式．10.已知，如图抛物线y=a某2+3a某+ca>0与y轴交于点C，与某轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为1,0，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(4)若点E在某轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，抛物线y=a某2+b某+c与某轴负半轴交于点A-4,0，与某轴正半轴交于点B1,0，与y轴负半轴交于点C(0,-2)，且∠ACB=90∘．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点D是OA 上一点（不与点A，O重合），过点D作某轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF=13EF时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交某轴于点G，在(3)的条件下，点M是抛物线的对称轴上的一点，点N 是坐标平面内一点，是否存在点M，N，使以A，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12.在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C 的坐标分别是A0,1和C3,0，点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接BD，作DE⊥DB，交射线OC于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEP．(1)填空：点B的坐标为________.(2)是否存在这样的点D，使得△DBC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(3)①求证：DBDE=3；②设AD=某，矩形BDEF的面积为y，求y关于某的函数关系式，并求出当某为何值时，y有最小值？13.如图，直线y=-43某+4与某轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B-1,0.(1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；(3)有两动点D，E同时从点O出发，其中点D以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D，E两点相遇时，它们都停止运动．设D，E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．①请问D，E两点在运动过程中，是否存在△DEA∽△OCA，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并求出S的最大值.14.如图，已知二次函数y=a某2+b某+ca≠0的图象与某轴交于A1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=-12某+2经过B，C两点．(1)求二次函数的解析式；(2)平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；(3)过(2)中的点Q作QE//y轴，交某轴于点E，如图2．若M是抛物线上一动点，N是某轴上一动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和点M的坐标；如果不存在，请说明理由．15.如图1，已知抛物线顶点C1,4，且与y轴交于点D0,3．与某轴交于点A，B．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)如图2，点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M、交y轴于点N，△BMP和△DMN的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．参考答案1.【答案】解：(1)∵直线y=-某+5与某轴交于点B，与y轴交于点C，∴B5,0，C0,5．∵抛物线y=a 某2+4某+c经过点A，B，∴25a+20+c=0,c=5,解得a=-1,c=5,∴抛物线解析式为y=-某2+4某+5．(2)由(1)知：OB=OC=5，若△MCD≅△MBD，则BM=CM，∵OM=OM，∴△MCO≅△MBO，∴∠COM=∠BOM．∵点M的坐标为m,-m2+4m+5，∴m=-m2+4m+5，解得：m1=3+292或m2=3-292 （舍去），∴m=3+292．(3)-5<b<294．联立方程组y=-某2+4某+5,y=k某+b,得：某2+-4+k某+b-5=0，由m+n=3得k=1，当直线y=某+b过点B时，b=-5；当直线y=某+b与抛物线有唯一交点时，b=294，则-5<b<294．2.【答案】解：(1)∵抛物线y=a某2+c经过点A0,2 和点B-1,0，∴c=2，a+c=0，解得：a=-2，c=2，∴此抛物线的解析式为y=-2某2+2.(2)∵此抛物线平移后顶点坐标为2,18，∴抛物线的解析式为y=-2某-22+18，令y=0，即-2某-22+18=0 ，解得某1=5,某2=-1．∵点C在点D的左边，∴C-1,0,D5,0，易求E0,10,H2,0 ，∴EO=10,DO=5,CH=3，∵∠PHC=∠EOD=90∘，故有两种情况：①△OED∽△HCP，∴OEOD=HCHP，∴105=3HP，∴HP=32，∴P2,32或P2,-32；②△OED∽△HPC，∴OEOD=HPHC，∴105=HP3，∴HP=6，∴P2,6或P2,-6．综上所述：符合题意的点P的坐标为：P2,32或P2,-32或P2,6或P2,-6．(3)设平移后抛物线的解析式是y=-2某2+m，该抛物线与某轴的两交点横坐标为某1,某2,整理为：2某2-m=0 ，此时某1+某2=0，某1⋅某2=-12m．则|某2-某1|=某1+某22-4某1某2=2m=n，当m=1时，n=2. 当m=5时，n=10.∴n的取值范围是：2<n≤10. 3.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(某-某1)(某-某2)=a(某-1)(某+3)=a(某2+2某-3)，函数的对称轴为某=12(1-3)=-1，当某=-1时，y=a(某2+2某-3)=-4a=-4，解得a=1，故抛物线的表达式为y=某2+2某-3.(2)①y=k某-k=k(某-1)，当某=1时，y=k某-k=0，故该函数过点(1, 0)，即点N(1,0)，故点N，A重合，如图，联立y=某2+2某-3,y=k某-k,整理得：某2+(2-k)某+k-3=0，则某M+某N=k-2，而某N=1，故某M=k-3，当某=k-3时，y=k某-k=k(某-1)=k(k-3-1)=k2-4k=yM，∵0≤k≤3，故-4≤k2-4k≤0，即yM的范围为-4≤yM≤0；②由题意知，PQ // y轴，设点P的坐标为(某, 某2+2某-3)，则点Q(某,k某-k)，则PQ=k某-k-某2-2某+3=-某2+(k-2)某+(3-k)，∵-1<0，故PQ有最大值，当某=-b2a=k-22时，PQ的最大值为=-(k-22)2+(k-2)⋅k-22+(3-k)，即dma某=14k2-2k+4．4.【答案】解：(1)∵点B坐标为(4, 0)，抛物线的对称轴方程为某=1．∴A(-2, 0).把点A(-2, 0)，B(4, 0)，C(0, 3)，分别代入y=a某2+b某+c(a≠0)，得4a-2b+c=0，16a+4b+c=0，c=3，解得a=-38，b=34，c=3，所以该抛物线的解析式为：y=-38某2+34某+3；(2)设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．∴MB=6-3t．由题意得，点C的坐标为(0, 3)．在Rt△BOC中，BC=32+42=5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H．∴NH // CO，∴△BHN∼△BOC，∴HNOC=BNBC，即HN3=t5，∴HN=35t．∴S=12MB⋅HN=12(6-3t)⋅35t=-910t2+95t=-910(t-1)2+910，当△MBN存在时，0<t<2，∴当t=1时，S最大=910．(3)如图2，在Rt△OBC 中，co∠B=OBBC=45．设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．∴MB=6-3t．当∠MNB=90∘时，co∠B=BNMB=45，即t6-3t=45，化简，得17t=24，解得t=2417；当∠BMN=90∘时，co∠B=BMBN=6-3tt=45，化简，得19t=30，解得t=3019.综上所述：t=2417或t=3019时，△MBN为直角三角形．5.【答案】(1)解：①由题意得：d(O, A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3.②设B(某, y)，由定义两点间的距离可得：|0-某|+|0-y|=3，∵0≤某≤2，∴某+y=3，∴某+y=3,y=-2某+4, 解得：某=1,y=2, ∴B(1, 2).故答案为：3；(1, 2).(2)证明：假设函数y=4某(某>0)的图象上存在点C(某, y)使d(O,C)=3，根据题意，得|某-0|+|4某-0|=3，∵某>0，∴4某>0，|某-0|+|4某-0|=某+4某，∴某+4某=3，∴某2+4=3某，∴某2-3某+4=0，∴Δ=b2-4ac=-7<0，∴方程某2-3某+4=0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d(O,C)=3．(3)解：设D(某, y)，根据题意得，d(O, D)=|某-0|+|某2-5某+7-0|=|某|+|某2-5某+7|，∵某2-5某+7=(某-52)2+34>0，又某≥0，∴d(O, D)=|某|+|某2-5某+7|=某+某2-5某+7=某2-4某+7=(某-2)2+3，∴当某=2时，d(O,D)有最小值3，此时点D的坐标是(2,1)．6.【答案】解：(1)把A(0,2)和B(1,32)代入y=12某2+b某+c，得c=2，12+b+c=32，解得b=-1，c=2，∴抛物线的解析式为y=12某2-某+2.(2)∵y=12某2-某+2=12(某-1)2+32，∴抛物线的对称轴为直线某=1，∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A(0,2)，∴点C的坐标为(2,2).(3)当某=4时，y=12某2-某+2=8-4+2=6，∴D点坐标为(4,6)．如图，设直线BC的解析式为y=m某+n，把B(1,32)，C(2,2)代入直线BC的解析式，得m+n=32,2m+n=2,解得m=12,n=1,∴直线BC的解析式为y=12某+1，当某=0时，y=12某+1=1，∴图象G向下平移1个单位时，点A在直线BC上，图象G向下平移3个单位时，点D在直线BC上，∴当1<t≤3时，图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点．7.【答案】解：(1)∵点A(-1, 0)，点C(0, 3)在抛物线y=-某2+b某+c上，∴-1-b+c=0，c=3，解得b=2，c=3．即抛物线的表达式是y=-某2+2某+3；(2)令-某2+2某+3=0，解得某1=-1，某2=3，∵点A(-1, 0)，∴点B的坐标为(3, 0)．设过点B，C的直线的解析式为：y=k某+b，3k+b=0，b=3，解得k=-1，b=3，∴过点B，C的直线的解析式为：y=-某+3．设点P的坐标为(a, -a+3)，则点D的坐标为(a, -a2+2a+3)，∴PD=(-a2+2a+3)-(-a+3)=-a2+3a．∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=12PD⋅a+12PD⋅(3-a)=12(-a2+3a)⋅a+12(-a2+3a)⋅(3-a)=-32(a-32)2+278．∴当a=32时，△BDC的面积最大，∴点P的坐标为(32,32)．(3)存在．①当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或-3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=-某2+2某+3，得某1=0（舍去），某2=2;将y=-3代入y=-某2+2某+3，得某3=1+7，某4=1-7．∴E1(2, 3)，E2(1+7, -3)，E3(1-7, -3)，则点F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2-7, 0)，②当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=-某2+2某+3，得某1=0（舍去），某2=2；即点E4(2, 3)，则F4(-3, 0)．由上可得，点F的坐标是：F1(1, 0)，F2(2+7, 0)，F3(2-7, 0)，F4(-3, 0)．8.【答案】解：(1)∵直线BC的解析式为y=-某+3，∴点B3,0，点C0,3．∵B3,0和C0,3在抛物线y=-某2+b某+c上，∴-9+3b+c=0,c=3,解得：b=2,c=3,∴二次函数的解析式为：y=-某2+2某+3．(2)∵二次函数y=-某2+2某+3与某轴交于点A，B，∴点A-1,0．∵AD⊥某轴交直线BC于点D，∴点D-1,4，∴AD=4．∵EM⊥某轴，AD⊥某轴，∴△EFG∽△ADG，∴EFAD=EGAG=12．∵EM⊥某轴交直线BC于点F，点Mm,0，∴点E的坐标为(m,-m2+2m+3) ，点F的坐标为m,-m+3．①若点M在原点右侧，则EF=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m，即-m2+3m4=12，解得：m1=1，m2=2．②若点M在原点左侧，则EF=(-m+3)-(-m2+2m+3)=m2-3m，即m2-3m4=12，解得：m3=3-172，m4=3+172（舍去）；综上所述，m的值为1，2，3-172．9.【答案】解：(1)由题意知，Δ>0，即-2b2-4b2+2b-3>0，∴-8b+12>0，解得：b<32．(2)由题意，b=1，代入y=某2-2b某+b2+2b-3，得：y=某2-2某，∴对称轴为直线某=--22某1=1.又∵a=1>0，函数图象开口向上，∴当2≤某≤m-1时，y随某的增大而增大，∴当某=2时，y=n=22-2某2=0；当某=m-1时，y=m-12-2m-1=8，化简，得：m2-4m-5=0，解得：m1=5，m3=-1（不合题意，舍去），∴m=5，n=0．(3)∵y=某2-2b某+b2+2b-3=某-b2+2b-3，∴对称轴为直线某=b，开口向上，①当b-1≤12b≤b，即0≤b<32时，在对称轴左侧，y随某的增大而减小，即函数y在某=12b时取得最小值，有12b-b2+2b-3=-34，解得b1=-9（不合题意，舍去），b2=1，∴此时二次函数的解析式为y=某2-2某.②当b-1<b<12b，即b<0时，函数在某=b时取得最小值，∴2b-3=-34，解得：b=98（不合题意，舍去），综上所述，符合题意的二次函数的解析式为y=某2-2某．10.【答案】解：(1)∵B的坐标为(1,0)，∴OB=1．∵OC=3OB=3，点C在某轴下方，∴C(0,-3)．∵将B1,0，C(0,-3)代入抛物线的解析式，得4a+c=0,c=-3,解得：a=34，c=-3，∴抛物线的解析式为y=34某2+94某-3．(2)如图所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．∵某=-b2a=-942某34=-32，B(1,0)，∴A-4,0．设直线AC的解析式为：y=m某+n，∵A(-4,0)，C(0,-3)，∴-4m+n=0,n=-3,解得：m=-34,n=-3,∴直线AC的解析式为：y=-34某-3，∴当某=-32，y=-34某-32-3=-158，∴点Q的坐标是-32,-158.(3)如图所示：过点D作DE//y轴，交AC于点E．∵A-4,0，B1,0，∴AB=5，∴S△ABC=12AB⋅OC=12某5某3=152．由(2)知直线AC的解析式为y=-34某-3．设Da,34a2+94a-3，则Ea,-34a-3．∵D E=-34a-3-34a2+94a-3=-34a+22+3，∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3，∴△ADC的最大面积=12DE⋅AO=12某3某4=6，∴四边形ABCD的面积的最大值为272．(4)存在．①如图，过点C作CP1//某轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1//AC交某轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C(0,-3)，令34某2+94某-3=-3，∴某1=0，某2=-3，∴P1-3,-3.②平移直线AC交某轴于点E2，E3，交某轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C0,-3，∴P2，P3的纵坐标均为3．令y=3得：34某2+94某-3=3，解得某1=-3-412，某2=-3+412，∴P2-3-412,3，P3-3+412,3．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1-3,-3，P2-3-412,3，P3-3+412,3．11.【答案】解：(1)分别把A-4,0，B1,0，C 0,-2代入y=a某2+b某+c，得16a-4b+c=0，a+b+c=0，c=-2，解得a=12，b=32，c=-2，∴y=12某2+32某-2，∴抛物线的函数关系式为y=12某2+32某-2．(2)设直线AC的函数关系式为y=k某+b，将点A-4,0，C0,-2代入y=k某+b，得-4k+b=0，b=-2，解得k=-12，b=-2，∴y=-12某-2．设Dm,0，∴yE=12m2+32m-2，yF=-12m-2，∴DF=12m+2，EF=yF-yE=-12m2-2m，由题意，得12m+2=13-12m2-2m，解得m=-3或-4（舍去），将m=-3，代入yE=12m2+32m-2，得yE=-2，∴E-3,-2．(3)存在，理由如下：当以A，E，M，N为顶点的四边形是菱形时，△AEM是等腰三角形．由题意，AD=1，DE=2，抛物线的对称轴为：某=-b2a=-32，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=5.①AM=AE=5时，∵点A到直线l的距离是-32--4=52>5，∴此时点M不存在．②EM=AE=5时，如图，过点E作EH⊥l于点H，∴yH=yE=-2，EH=-32--3=32，在Rt△EHM中，由勾股定理得MN= 52-322=112，∴yM=-2+112或-2-112，∴M1-32,-2+112，M2-32,-2-112；③当MA=ME时，MA2=ME2，即MG2+AG2=MH2+EH2，设M-32,n，n2+522=m+22+322，解得n=0，∴M3=-32,0，综上，M1-32,-2+112，M2-32,-2-112，M3-32,0,此时N1-52,112，N2-52,-112，N3-112,-2．12.【答案】解：(1)∵四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A0,1和C3,0，∴点B的坐标为3,1.故答案为：3,1.(2)存在．理由如下：∵OA=1,OC=3，∴tan∠ACO=A OOC=33 ，∴∠ACO=30∘，∠ACB=60∘，有以下两种情况：①如图(1)中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，∠DEC>∠DEF=90∘，∴只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30∘，∴∠DBC=∠BCD=60∘，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=1.在Rt△AOC中，∵∠ACO=30∘,OA=1，∴AC=2AO=2，∴AD=AC-CD=2-1=1，∴当AD=1时，△DEC是等腰三角形．②如图(2)中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，∠DCE=150∘，∴只有CD=CE,∴∠DBC=∠DEC=∠CDE=15∘，∴∠ABD=∠ADB=75∘，∴AB=AD=3，综上所述，满足条件的AD的值为1或3. (3)①如图(1)，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A0,1和C3,0，∴直线AC的解析式为y=-33某+1，设Da,-33a+1，∴DN=-33a+1,BM=3-a，∵∠BDE=90∘，∴∠BDM+∠NDE=90∘，∠BDM+∠DBM=90∘，∴∠DBM=∠EDN，∵∠BMD=∠DNE=90∘，∴△BMD∼△DNE，∴DBDE=BMDN=3-a1-33a=3．②如图(2)中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH 中，∵AD=某,∠DAH=∠ACO=30∘，∴DH=12AD=12某,AH=AD2-DH2=32某，∴BH=3-32某，在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12某2+3-32某2 ，∴DE=33BD=33⋅12某2+3-32某2，∴矩形BDEF的面积为y=33[(12某)2+(3-32某)2]2=33(某2-3某+3) ,∴y=33某-322+34，∵33>0，∴某=32时，y有最小值34．13.【答案】解：(1)令y=0，则某=3，A(3,0)，C(0,4).因为二次函数的图象过点C(0,4)，所以可设二次函数的关系式为y=a某2+b某+4，又因为该函数图象过点A(3,0)，B(-1,0)，所以0=9a+3b+4，0=a-b+4，解得a=-43，b=83，所以所求二次函数的关系式为y=-43某2+83某+4.(2)∵y=-43某2+83某+4=-43(某-1)2+163，∴顶点M的坐标为(1, 163).过点M作MF⊥某轴于F，∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM=12某3-1某163+12某4+163某1=10，∴四边形AOCM的面积为10.(3)①∵∠COA=90∘，△DEA∽△OCA，∴∠EDA=90∘，在Rt△COA中，AC=OA2+OC2=5，由ADAO=EDCO=AEAC，可得，3-32t3=5-(4t-4)5，解得t=83.当两点相遇时，t=(3+4+5)÷(4+32)=2411<83，∴不存在△DEA∽△OCA.②(i)当0<t≤1时，S=12某32t⋅4t=3t2；(ii)当1<t≤2时，设点E的坐标为（某2，y2)，∴|y2|4=5-4t-45，∴|y2|=36-16t5，S=12某32t某36-16t5=-125t2+275t；(iii)当2<t<2411时，设点E的坐标为某3,y3，类似(ii)可得|y3|=36-16t5，设点D的坐标为某4,y4，∴|y4|4=32t-35，∴|y4|=6t-125，∴S=S△AOE-S△AOD=12某3某36-16t5-12某3某6t-125=-335t+725；③当0<t≤1时，S=12某32t⋅4t=3t2，函数的最大值是3；当1<t≤2时，S=-125t2+275t，函数的最大值是24380；当2<t<2411时，S=-335t+725，0<S<65∴Sma某=24380.14.【答案】解：(1)∵直线y=-12某+2经过B，C两点，∴C0,2．∵二次函数y=a某2+b某+ca≠0的图象经过A1,0,B4,0,C0,2，∴a+b+c=0，16a+4b+c=0，c=2，解得a=12，b=-52，c=2，∴二次函数的解析式为y=12某2-52某+2．(2)∵直线BC的解析式为y=-12某+2，∴设平移后的解析式为y=-12某+2+m∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q，∴12某2-52某+2=-12某+2+m，即某2-4某-2m=0，∴Δ=-42-4某-2m=0，∴m=-2，∴平移后直线BC的解析式为y=-12某．联立方程组，得y=-12某,y=12某2-52某+2，解得某=2，y=-1，∴Q2,-1.(3)满足条件的点M共有8个，其坐标分别为(3+3, 3+12）或(3-3, 1-32）或(2+2, -22）或2-2,22或9+332,5+33或9-332,5-33或1+172,3-17或1-172,3+17 .设点M的坐标为(m, 12m2-52m+2)．∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，∴分以下两种情况讨论：①当△MEN∽△OBC时，得∠MEN=∠OBC过点M作MH⊥某轴于点H，∴∠EHM=90∘=∠BOC，∴△EHM∽△BOC，∴EHMH=OBOC．MH=|12m2-52m+2| ，EH=|m-2|，OB=4，OC=2．∴|m-2||12m2-52m+2|=2，∴m=3±3或m=2±2，当m=3+3时，12m2-52m+2=3+12，∴M(3+3,3+12)；当m=3-3时，12m2-52m+2=1-32，∴M3-3,1-32；当m=2+2时，12m2-52m+2=-22，∴M2+2,-22；当m=2-2时，12m2-52m+2=22，∴M2-2,22；②当△MNE∽△OBC时，同①的方法，得|m-2||12m2-52m+2|=12，∴m=9±332或m=1±172．当m=9+332时，12m2-52m+2=5+33，∴M9+332,5+33；当m=9-332时，12m2-52m+2=5-33，∴M9-332,5-33；当m=1+172时，12m2-52m+2=3-17，∴M1+172,3-17；当m=1-172时，12m2-52m+2=3+17，∴M1-172,3+17；即满足条件的点M共有8个，其坐标分别为(3+3, 3+12）或(3-3, 1-32）或(2+2, -22）或2-2,22或9+332,5+33或9-332,5-33或1+172,3-17或1-172,3+17 .15.【答案】解：(1)由抛物线顶点C1,4，设抛物线的解析式为y=a(某-1)2+4，∵抛物线与y轴交于点D0,3，∴a+4=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(某-1)2+4=-某2+2某+3.(2)由(1)知，y=-某2+2某+3，令y=0，则-某2+2某+3=0，即(某+1)(某-3)=0，解得某1=-1，某2=3，∴A(-1,0)，B(3,0)，∴S△ABC=12某4某AB=12某4某4=8.(3)设点P的坐标为m,-m2+2m+3，直线AP的方程为y=k某+b，得k=3-a，b=3-a，所以直线方程为y=(3-m)某+3-m，∴ON=3-m，∵AB=4，∴S△ABP=-2m2+4m+6.∵ON=3-m，AO=1，∴S△AON=3-m2，∴S四边形OBMN=-2m2+4m+6-3-m2，∴S△BOD=3某32=92，∴S1-S2=[S△ABP-S△AON-S四边形OBMN]-[S△BOD-S四边形OBMN]=S△ABP-S△BOD-S△AON，即S1-S2=-2m2+4m+6-92-3-m2=-2m2+92m.∵-2<0，∴S1-S2有最大值，当m=98时，其最大值为8132，∴S1-S2的最大值为8132.。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合应用题综合训练

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数综合应用题综合训练1．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；①当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？2．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？3．商场某种商品平均每天可销售20件，每件可获利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到1200元？(2)若商场平均每天赢利最多，应降价多少元？获得的最大利润为多少？4．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的，如图所示，水柱的最高点为M ，2m AB =，10m BM =，水嘴高6m AD =，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出图中抛物线的表达式．5．一小球M 从斜坡OA 上的点O 处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．若小球到达最高点的坐标为(4,8)．(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x 的取值范围）；(2)小球在斜坡上的落点A 的垂直高度为________米；(3)若要在斜坡OA 上的点B 处竖直立一个高4米的广告牌，点B 的横坐标为2，请判断小球M 能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；(4)求小球M 在飞行的过程中离斜坡OA 的最大高度．6．如图，有长为30m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a 为9m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)如果围成花圃的面积为263m ，那么AB 应确定多长？7．“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”形成的一种生机勃勃的销售方式．农村电商小李在某电商平台上直播销售一种农产品，每件农产品的成本为40元，每销售一件农产品，需向电商平台缴纳推广费2元．物价部门规定，该农产品的销售单价不高于成本价的2倍，经市场调研发现，每月的销售量y (件)与销售单价x (元)满足如图所示的一次函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当农产品的销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？。

二次函数最新综合题练习50道(含详细解析)

二次函数最新综合题练习50道一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线L1：y=x2﹣x﹣，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ ∥y轴，使PQ=t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2．（1）若t=3，求点P运动到D点时点Q的坐标，并直接写出图形L2的函数解析式；（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值．8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴为x=，图象交x轴于A，B，交y轴于C（0，﹣3），且AB=5，直线y=kx+b（k＞0）与二次函数图象交于M，N（M 在N的右边），交y轴于P．（1）求二次函数图象的解析式；（2）若b=﹣5，且△CMN的面积为3，求k的值；（3）若b=﹣3k，直线AN交y轴于Q，求的值或取值范围．9．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2﹣3（a≠0）的图象相交于点P（3，k），Q两点．（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x＞ax2﹣3；（3）解关于x的不等式：|ax2﹣3|＞1．10．如图，平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的部分图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，连接BC，D为顶点（1）求∠OBC的度数；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使△ABQ的面积等于5？如存在，求Q点的坐标，如不存在，说明理由；（3）点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合），过点P作PF⊥x 轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．11．如图，已知抛物线过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），连接AC，点M 是抛物线AC段上的一点，且CM∥x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠CAM的正切值；（3）点Q在抛物线上，且∠BAQ=∠CAM，求点Q的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k⊥x轴于点M，交直线BC 于点N．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似？若存在，求出点N 坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；（3）当t≤x≤t+1时，求y=ax2+bx+c的最大值．15．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点间的距离之和最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCQ的面积最大时求Q点的坐标；（4）如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆恰好与x轴相切，求此圆的直径．16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A，B，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上一点，Q（5，0），将点Q绕着点P逆时针方向旋转90°得到点E．①用含t的式子表示点E的坐标；②当点E恰好在该抛物线上时，求t的值．17．如图，抛物线y=ax2﹣3ax﹣10a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴正半轴于C点，连AC，tan∠CAB=，（1）求抛物线解析式；（2）点P是第三象限内抛物线上一点，过C作x轴平行线交抛物线于D，连DP、BP，分别交y轴于E、F，设P点横坐标为p，线段EF长为m，求出m与自变量p之间的函数关系式；（3）在（2）条件下，当tan∠DPB=时，求P点坐标．18．如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2﹣bx+c（b＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C；（1）求c与b的函数关系式；（2）点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE=DF，求此二次函数解析式；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，过P作DE的垂线交抛物线于点M，交DE于H，点Q为第三象限抛物线上一点，作QN⊥ED于N，连接MN，且∠QMN+∠QMP=180°，当QN：DH=15：16时，连接PC，求tan ∠PCF的值．19．如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l 交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求二次函数解析式；（2）点P在x轴上运动，若﹣6≤m≤2时，求线段MQ长度的最大值．（3）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a=﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a=2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．21．在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2﹣2amx+am2﹣m+1（a＜0）的顶点为点P．（1）写出顶点坐标（含有m的式子表示）；（2）抛物线与x轴分别交于点（x1，0）、（x20），若x1•x2＜0，且知m=﹣1，则求a的取值范围；（3）已知点P在直线y2=kx+b上运动，y1与y2交于另一点A，过点A作x轴平行线交抛物线于另一点B：①求直线y2解析式；=1，且m≤x≤时，y1≥x﹣3恒成立，求m的最小值．②当S△PAB22．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x 轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．（1）求点D的坐标；（2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线y=x2﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）．（1）当C1与x轴只有一个公共点时，求此时C1的解析式：（2）如图①，若A（1，y A），B（0，y B），C（﹣1，y C）三点均在C1上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），抛物线C2的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于点P，Q（点P在第四象限），且S△FMQ﹣S△FNP=，求直线l的解析式．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S =8，并求出此时P点的坐标．△PAB27．已知抛物线y=﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k为常数）的顶点纵坐标为4．（1）求k的值；（2）设抛物线与直线y=﹣（x﹣3）（m≠0）两交点的横坐标为x1，x2，n=x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）两点在动点M（m，n）所形成的曲线上，求直线AB的解析式；（3）将（2）中的直线AB绕点（3，0）顺时针旋转45°，与抛物线x轴上方的部分相交于点C，请直接写出点C的坐标．28．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．（1）求b，c的值；（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．31．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（t，0）（t＞0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC的距离为，求点D 的坐标；（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣1），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．32．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．33．已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式及直线BC与x轴的交点D的坐标；（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D（m，n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐标，并直接写出EQ+PQ+PB的最小值；（3）如图3，在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B 的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M'的坐标；若不能，请说明理由．35．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．36．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．37．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若△MCB为直角三角形，请求出点M的坐标；（3）在抛物线上找出点P，使得以M、C、B、P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．38．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D，满足S=S△OAC，求点D的坐标；△DAC（3）如图2，已知N（0，1），将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围．39．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；=3，（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD 若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．40．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），且CO=3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）P点为对称轴右侧第四象限抛物线上的点连接BC、PC、PB，设P的横坐标为t，△PBC的面积为S求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，线段BP绕B顺时针旋转90°，得到对应线段BN，点P 的对应点为点N，在对称轴左侧的抛物线上取一点Q，射线BQ与射线PC交于点H，若点N在y轴上，且HQ=PQ，求点Q的坐标．41．抛物线y=x2+mx+n过点（﹣1，8）和点（4，3）且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，AD交抛物线于D，交直线BC于点G，且AG=GD，求点D的坐标；（3）如图2，过点M（3，2）的直线交抛物线于P，Q，AP交y轴于点E，AQ 交y轴于点F，求OE•OF的值．42．如图，二次函数y=x2﹣m2（m＞0且为常数）的图象与x轴交于点A、B（A 在B左侧），与y轴交于C．（1）求A，B，C三点的坐标（用含m的式子表示）；（2）若∠ACB=90°，求m的值．43．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A （1，t）在抛物线y=x2﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：（1）图1中，AD=，点A到直线l的距离d=．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y=x2﹣4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．（2）如图2，①l：y=﹣x，d=，则点M的坐标为；②l：y=﹣x，在点M运动的过程中，求d的最小值；（3）如图3，l：y=2x﹣7，在点M运动的过程中，d的最小值是．44．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．45．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．46．如图①，作法平面直角坐标系中，二次函数y=ax2﹣6ax的图象经过点D（2，1）．（1）求该函数表达式及顶点坐标；（2）将该二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个如图②所示的新图象，请补全新图象对应的函数表达式：y=，（x＜0或），y=，（0≤x≤6）（3）已知点E的坐标为（4，1），P是图②图象上一点，其横坐标为m，连接PD、PE，当△PDE的面积为1时，直接写出m的值．47．已知函数y=a n x2+b n x（a n＜0，b n＞0，n为正整数）的图象的顶点为B n，与x 轴的一个交点为A n，点O为坐标原点．（1）当n=1时，函数y=a1x2+b1x的图象的对称轴与函数y=﹣x2的图象交于点C1，且四边形OB1A1C1为正方形，求a1、b1的值．（2）当n=2时，函数y=a2x2+b2x的图象的对称轴与函数y=a1x2+b1x的图象交于点C2，且四边形OB2A2C2为正方形，求a2、b2的值．（3）以此类推，可得a3=﹣，b3=2，一般地，若函数y=a n x2+b n x的对称轴与函x2+b n﹣1x的图象交于点C n，且四边形OB n A n C n为正方形，求a n、b n的值．数a n﹣148．已知抛物线C1：y=ax2过点（2，2）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C1上，且边AC所在的直线解析式为y=x+b，若AC边上的中线BD平行于y轴，求的值；（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C1上一动点，以PQ为直径作⊙M，直线y=t与⊙M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长度；若不存在，请说明理由．49．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点是（1，4），且图象过点A（3，0），与y轴交于点B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S=．如果存在，请△ABC求出C点的坐标；如果不存在，请说明理由．50．已知直线l：y=﹣2，抛物线C：y=ax2﹣1经过点（2，0）（1）求a的值；（2）如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q．求证：PO=PQ；（3）请你参考（2）中的结论解决下列问题1．如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2．如图③，点D（1，1），使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．二次函数最新综合题练习50道参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B（3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）若n=0，求S的最大值，并求此时t的值；（3）若t=2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）当n=0时，点D的坐标为（0，3），点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F 的坐标为（4，﹣5）．设直线DF的函数表达式为y=kx+a（k≠0），将D（0，3），F（4，﹣5）代入y=kx+a，得：，解得：，∴直线DF的函数表达式为y=﹣2x+3．过点E作EQ∥y轴，交直线DF于点Q，如图1所示．∵点E的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点Q的坐标为（t，﹣2t+3），∴EQ=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）=﹣t2+4t，∴S=EQ•（x F﹣x D）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴当t=2时，S取最大值，最大值为8．（3）当n取不同数值时，S的值不变．过点DM∥y轴，过点F作FM∥x轴，交直线DM于点M，过点E作EN⊥FM于点N，交直线DF于点G，如图2所示．当t=2时，点D的坐标为（n，﹣n2+2n+3），点E的坐标为（n+2，﹣n2﹣2n+3），点F的坐标为（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴点M的坐标为（n，﹣n2﹣6n﹣5），点N的坐标为（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM=8n+8，EN=4n+8，MN=2，NF=2，∴S=S梯形DMNE +S△ENF﹣S△DMF，=MN•（DM+EN）+NF•EN﹣DM•MF，=12n+16+4n+8﹣16n﹣16，=8．∴当n取不同数值时，S的值永远为8．2．抛物线y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；（2）如图2，在（1）的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；（3）如图3，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C 重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将t=0代入抛物线解析式得：y=x2﹣2x﹣3．当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）；当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（﹣1，0）．=AB•OC=×[3﹣（﹣1）]×3=6．∴S△ABC（2）由（1）知：B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC=∠MBC．在△ABC和△MBC中，，∴△ABC≌△MBC（ASA），∴AB=MB=4，∴点M的坐标为（3，﹣4），∴直线CM解析式为：y=﹣x﹣3（利用待定系数法可求出该解析式）．联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点P的坐标为（，﹣）．（3）当y=0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=0，即[x+（t﹣3）]•[x+（t+1）]=0，解得：x1=﹣t+3，x2=﹣t﹣1，∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．当x=0时，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3=t2﹣2t﹣3，∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k1x+b2．∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），∴CD=（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE=b2﹣（t2﹣2t﹣3）．∵y=k1x+b1，y=x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1=0，∴x A•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b1①．同理：x B•x Q=t2﹣2t﹣3﹣b2②．由②÷①，得：==﹣，∴=﹣=2，∴=﹣2，∴t=．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B与点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为D，交线段AB于点E．设点P的横坐标为m．①求△PAB的面积y关于m的函数关系式，当m为何值时，y有最大值，最大值是多少？②若点E是垂线段PD的三等分点，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于点A，点B，∴A（3，0），B（0，3），把A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）①∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+2m+3），∵PD⊥x轴，∴E（m，﹣m+3），∴PE=﹣m2+2m+3+m﹣3=﹣m2+3m，∴y=（﹣m2+3m）•m+（﹣m2+3m）（3﹣m），∴y关于m的函数关系式为：y=﹣3m2+6m，∵y=﹣3m2+6m=﹣3（m﹣1）2+3，∴当m=1时，y有最大值，最大值是3；②当PE=2ED时，即﹣m2+3m=2（﹣m+3），解得：m=2或m=3（不会题意舍去），当2PE=ED时，即﹣2m2+6m=﹣m+3，整理得，2m2﹣7m+3=0，此方程无实数根，∴P（2，3）．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，=AB•CD=﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴S四边形APCD∴当x=﹣=时，∴即：点P（，）时，S=，四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+OE2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．6．如图①，直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA=4，点C是x轴正半轴上的点，且OC=OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y=ax2+bx+c 过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP=OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA=4∴点A（﹣4，0）∵直线y=kx+2与坐标轴交于A、B两点，。

专训1-二次函数综合应用及答案

1．如图，在直角坐标系角三角形，∠2＋bx－2二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为C分别在y轴的负半轴和轴的正半轴上，抛物线＋bx＋c经过点A，12a＋5c＝求抛物线对应的函数表达式．AB边以2 cm/s的速度开始沿BC边以1移动．一点到达终点后另一点停止移S＝PQ2(cm2)，试写出之间的函数表达式，并写出t的取值范围．取得最小值时，在抛物线上是否存在点3．二次函数标原点，点AB，B，4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形长为1，点E在边BC方形外角的平分线CF(1)图①中，若点两个三角形全等来证明方案，并指出是哪两个三角形全等(2)如图②，若点C 重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点到某处时，点F恰好落在抛物线此时点F的坐标．(第1题)如图，过点C 作CD ⊥x 90°.，CAD ＝90°，∴∠OAB ∠AOB ＝∠CDA AAS )，∴AO ＝CD ＝＝3，∴C(3，1)．∵点－2上，∴1＝12×32＋∴抛物线对应的函数表达式为y ＝根据题意知：A(0，－2)点在抛物线上，∴c ＝－2.，∴a ＝56.知抛物线的对称轴为直线∴抛物线对应的函数表达式为y ＝5①若点E 在线段BC 上滑动，AE ＝证明：如图②，在AB 上截取AM ＝BM ＝BE ，MBE 是等腰直角三角形，∴∠AME 135°.又∵CF 平分正方形的外角，，∴∠AME ＝∠ECF.而∠BAE ＋∠AEB AEB ＝90°，∴∠BAE ＝AME ≌△ECF ，∴AE ＝EF.②如图②，过点F 作FH ⊥x 轴于点H. FH ＝BE ＝CH.BH ＝a ，则FH ＝a －1，∴点F 的坐标为F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1a ＋1，∴a 2＝2，∴a ＝2或－2()，∴a －1＝2－1.∴点F 的坐标为。

二次函数专题复习及答案[1]

二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.分析：要求m 的值只要将点A （-1，m ）的坐标代入y=5x即可.要求c 的值，则只要把点A 的坐标代入y=-x 2+2x+c 即可.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标，可以直接代入计算公式，也可以利用配方法进行计算.解答：（1）把x=1，y=m 代入y=5x，得m=-5，所以点A 的坐标为（-1，-5）.把x=-1，y=-5代入y=-x 2+2x+c ，得c=-2.（2）因为y=-x 2+2x-2=-（x-1）2-1，所以二次函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-1）. 点评：本题主要涉及二次函数图象的对称轴和顶点坐标的计算，解决问题的方法有两种，可根据表达式的特点灵活选择计算方法.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限分析：通过观察图象可以知道a 喝b 的符号，从而可以判断出y=ax-b 的图象一定过的象限.图1解：由图，可知a<0，又由对称轴，可知-2b a>0，∴b>0.∴y=ax-b 的图象一定经过第二、三、四象限. ∴应选C.点评：求解本题时，一定要认真分析题目提供的图象，从图像中捕捉对求解有用的信息. 考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 分析：因为将抛物线向上平移，表明抛物线沿y 轴向上. 解：把抛物线y=3x 2向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的表达式应为y=3x 2+2. ∴应选C.点评：抛物线在左边平面内实施平移变换，其位置发生了改变，但其形状和开口不变，即a 不变. 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有图2_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园A B C D ，设A B 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．分析：依题意利用图形的面积公式求解. 解：依题意AD=12（30-x ），所以由长方形的面积公式得y=x ×12（30-x ）=-12x 2+15x.点评：本题主要考查从实际问题中建立函数模型求二次函数表达式，这里应注意30米的篱笆只需围三个面，另一面靠墙，不需要篱笆.考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 分析：可用顶点式求解.解：设抛物线的表达式为y=a （x+1）2+4，因为抛物线经过B （2，-5），所以-5=a （2+1）2+4，即a=-1.所以抛物线的表达式为y=-（x+1）2+4=-x 2-2x+3.点评：求抛物线的表达式的常用方法是待定系数法.给定的条件不同，所设的表达式的形式也不一样. 例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.分析：由于该抛物线经过三点，故可用一般式求解，又该抛物线与x 轴的两个交点已知，所以也可以用交点式求解.解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 由题意，得ABC D图1菜园墙⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-,824,0,024c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.4,2,2c b a所以抛物线的解析式为.4222-+=x x y （2）因为4222-+=x x y =229)21(2-+x ，所以抛物线的顶点坐标为).29,21(--点评：用“待定系数法”求抛物线的表达式是最基本、最重要的方法之一，同学们一定要牢固掌握，同时，要灵活运用二次函数的三种表达式，如本题选用交点式)(1x x a y -=)(2x x -也较方便.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2） D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最．少．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）图2Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<分析：本题用表格的形式提供了部分信息，对函数、方程之间的关系进行针对性的考查，即方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的解就是函数y=ax 2+bx+c 值为零时对应的自变量x 的取值.解：由于x 轴上表示实数的点是连续的，因此，可以估计方程的解必然在某负数函数值与某正数函数值之间，故由表格提供的数据可选择C.点评：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解决问题的思路是通过表格观察函数值在什么范围内由负数变为正数，这个服务就是对应的方程的根的范围.考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.分析：二次函数y=-x 2+3x+m 的图象与x 轴的角度的横坐标即为方程-x 2+3x+m=0的根.观察图象，可知图象与x 轴的一个交点为（4，0），且对称轴为x=32，根据图象与x 轴两个交点关于对称轴x=32对称，所以另一个交点的坐标为（-1，0），由此可得到方程的两个根.解：因为y=-x 2+3x+m 与x 轴的一个交点为（4，0），且图象的对称轴为x=32，所以图象与x 轴的另一个交点为（-1，0）.所以方程-x 2+3x+m=0的两根为x 1=-1，x 2=32.点评：本题已知图象的一部分，求相应方程的根，解决问题的关键是根据图象与x 轴两个交点关于对称轴对称，求到图象与x 轴交点的坐标.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（）图1A.3B.2C.1D.0分析：要求与x 轴的交点个数，可转化为一元二次方程根的情况来解决. 解：由题意得当y=0时，即为x 2-1=0，∵b 2-4ac=4>0，∴x 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴抛物线与x 轴有两个交点. 故选B.点评：二次函数中，当涉及到图象与坐标轴的交点时，注意要考虑与一元二次方程的联系.专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y a x b x c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”图2政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？分析：首先利用利润=（销售单价-成本）×销售量这个公式算术y 与x 的关系；再解一元二次方程；最后利用二次函数的性质求出最大值即可.解：（1）根据题意，得(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯⎪⎝⎭，即2224320025y x x =-++．（2）由题意，得22243200480025x x -++=．整理，得2300200000x x -+=．解这个方程，得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于2224320025y x x =-++，当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．点评：本题是一道构建二次函数解决实际问题的决策题，是中考的重要考点.对于第（3）小题的最大利润问题，除了用顶点公式来确定答案外，也可以利用配方法将二次函数的表达式化成顶点式.专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱E F 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．参考答案专题练习一 1.A 解析：由y=13-x 2+103x 163-=13-（x-5）2+3，∵13-<0，∴开口向下，顶点坐标为（5，3）2.C 解析：因为a=1>0，所以开口向上，A 正确；把（0，-3）代入y=x 2-2x+c 中，解得c=-3，所以抛物线为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，所以抛物线的对称轴是直线x=1，B 正确；因为a=1>0，所以抛物线有最小值，且当x=1时，最小值为-4，故C 错误；由x 2-2x-3=0得x=1，x=3，所以抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0），D 正确.3.y=（x+1）2-2 解析：二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度所得图象的表达式为y=（x+1）2，再向下平移2个单位长度后，所得图象的表达式为y=（x+1）2-2.4.①②③⑤ 解析：因为抛物线开口向上，可知a>0.再由对称轴x=2b a-，所以b<0.又2b a-=3，得3b=-2a ，所以2a+3b=0，所以④错误；由抛物线与y 轴交于负半轴，可知c<0，所以abc>0，所以①、②均正确；观察图形可知x=-1时，y>0，即a-b+c>0，所以③正确；因为x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，将3b=-2a 代入4a+2b+c>0，得-4b+c>0，即c-4b>0，所以⑤正确，所以①、②、③、⑤正确.专题练习二1.D 解析：第一次降价后的价格为a （1-x ），第二次降价后的价格为a （1-x ）（1-x ）=a （1-x ）2，所以x图1y=a （1-x ）2.2.y=x 2-2x-2 解析：依题意，结合图象，当x=0时，y=c<0，即OC=|c|，又tan ∠ACO=12，CO=BO ，所以OB=OC=|c|，OA=12|c|，而AB=3，所以12|c|+|c|=3，所以c=-2，所以点A 的坐标为（-1，0），所以b=-1.使用这条抛物线的函数表达式为y=x 2-x-2.3.解析：设该抛物线表达式为y=ax 2+bx+c.把（0，-2）、（1，3），（-1，1）分别代入上式，并解得a=4，b=1，c=-2.所以该抛物线的表达式为y=4x 2+x-2.4.解析：（1）设23y ax bx =+-，把点(23)-，，(10)-，代入得423330.a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解方程组得12.a b =⎧⎨=-⎩， 223y x x ∴=--；（2）2223(1)4y x x x =--=--．∴函数的顶点坐标为(14)-，．（3）要由（1，-4）变为（0，0），则应左移1个单位后，再上移4个单位，故应最少平移5个单位，才能使得该图象的顶点在原点.专项练习三 1.k ≥74-且k ≠0 解析：抛物线与x 轴有交点，即kx 2-7x-7=0有实数根，所以（-7）2-4×（-7）×k≥0，解得k ≥74-且k ≠0.2.x 1=-1，x 2=3 解析：同例3.3.D 解析：因为抛物线y=ax 2+bx+c+2是由抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移2个单位所得的图象，而抛物线y=ax 2+bx+c 的最低点的纵坐标为-3，所以抛物线y=ax 2+bx+c+2的最低点的纵坐标为-1，故抛物线y=ax 2+bx+c+2与x 轴有两个交点，且都在y 轴的右侧，所以方程ax 2+bx+c+2=0有两个同号不等实数根.4.解析：（1）因为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0），所以方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1=1，x 2=3；（2）因为抛物线的开口向下，所以x 轴的上方都满足ax 2+bx+c>0，即表达式ax 2+bx+c>0的解为1<x<3；（3）因为抛物线的对称轴方程是x=2，且a<0，所以当x>2时，y 随x 的增大而减小；（4）因为抛物线的顶点的纵坐标是2，所以要使方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，只要k<2. 专题训练四1.解析：（1）根据题意，得S=x x⋅-2260=-x 2+30x ，自变量x 的取值范围是0<x<30. （2）∵a=-1<0，∴S 有最大值. 301522(1)b x a∴=-=-=⨯-2243022544(1)ac b S a--===⨯-最大∴当x=15时，S最大=225.答：当x 为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．2.解析：设每间客房的日租金提高x 个5元（即5x 元），则每天客房出租数会减少6x 间，客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时，y 有最大值6750，这时每间客房的日租金为50+5×5=75（元），客房日租金总收入最高为6750元.3.解析：（1）根据题目条件，A B C ，，的坐标分别是(100)(100)(06)-，，，，，．设抛物线的解析式为2y ax c =+，将B C ，的坐标代入2y ax c =+，得60100c a c =⎧⎨=+⎩，解得3650a c =-=，．所以抛物线的表达式是23650y x =-+．（2）可设(5)F F y ，，于是2356 4.550F y =-⨯+=从而支柱M N 的长度是10 4.5 5.5-=米．（3）设D N 是隔离带的宽，N G 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(70)，．过G 点作G H 垂直A B 交抛物线于H ，则2376 3.06350H y =-⨯+>≈．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．x。

中考数学复习专题训练二次函数的综合应用(含解析)

中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。

二次函数应用题分类超全习题

二次函数应用题专项训练【题型一：抛物问题】1、飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞机着陆后滑行秒才能停下来．2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（） A 、4.6m B 、4.5m C 、4m D 、3.5m3、某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式201(02)2h t gt t υ=-<≤，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以020υ=米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由．4、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距O 点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？【题型二：拱桥问题】1、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是（精确到1米）．2已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为yOAE FB原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．②桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处122m 的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由3、如图所示：一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央，距地面6m 处。

2021中考数学专题复习：二次函数综合专项训练题1(培优附答案详解)

4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．（1）求这个抛物 Nhomakorabea的表达式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，、两点间的距离为，抛物线的对称轴为．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝mx＋k，与x轴，y轴分别交于点A，B，经过点A的抛物线y＝ax2＋bx﹣3a与x轴另一个交点为点D，AD＝4，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标（用k表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的对称轴在y轴右侧，连接BD，BD比BO长1，抛物线与线段BC恰有一个公共点，求直线y＝mx＋k的解析式和a的取值范围．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，对称轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线上一点，点不与点重合．当时，过点分别作轴的垂线和平行线，与轴交于点、与对称轴交于点，得到矩形，求矩形周长的最大值；

二次函数综合问题(共40题)【原卷版】--中考数学必考考点总结+题型专训

二次函数综合问题--中考数学必考考点总结+题型专训一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣23交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．（3）当S△OCD6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，＝S△BCD，求点P的坐标；连结PB、PC，若S△PBC（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．24．（2022•云南）已知抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 与x 轴交点的横坐标，M 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 上的点，常数m ＞0，S 为△ABM 的面积．已知使S ＝m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．（1）求c 的值；（2）直接写出T 的值；（3）求的值．25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求＝ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给＝x ﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t 的函教表达式分别为x 售价＝t +2，x 成本＝t 2﹣t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN 长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．21/21。

二次函数专题训练(带答案)

二次函数知识点第一节二次函数的定义、图像、性质1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（） A.13-=x yB.c bx ax y ++=2C.1222+-=t t sD.xx y 12+= 【解答】解：A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误；B 、y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确；D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；故选：C ．2.下列函数是二次函数的是（） A.12+=x yB.12+-=x yC.22+=x yD.221-=x y 【解答】解：A 、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B 、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误； D 、y=x 2+2是二次函数，故此选项正确；D 、y=x ﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选：C ．3.下列函数关系中，是二次函数的是（） A.在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C.等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系D.圆心角为︒120的扇形面积S 与半径R 之间的关系【解答】解：A 、y=mx+b ，当m ≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=，当s ≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=πR 2，是二次函数，正确．故选：D ．4.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A.3B.5C.-3和5D.3和-5【解答】解：根据题意，得x 2+2x ﹣7=8，即x 2+2x ﹣15=0，解得x=3或﹣5，故选：D ．5.已知一次函数c x ab y +=的图象如图，则二次函数c bx ax y ++=2在平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C.D.【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c ＞0，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴．故选：A ．6.如图，函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数，且0≠a ）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【解答】解：A 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；D 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B ．7.函数)(k x k y -=与2kx y =，)0(≠=k xky ，在同一坐标系上的图象正确的是（）A. B.C. D.【解答】解：一次函数y=k （x ﹣k ）=kx ﹣k 2，∵k ≠0，∴﹣k 2＜0，∴一次函数与y 轴的交点在y 轴负半轴． A 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，A 不正确；B 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，B 不正确；C 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴，C 可以；D 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，D 不正确．故选：C ．8.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当x=﹣1时，y=a ﹣b ＜0， ∴y=（a ﹣b ）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D ．9.已知二次函数33222+++=a ax ax y （其中x 是自变量），当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且12≤≤-x 时，y 的最大值为9，则a 的值为（）A.1或﹣2B.2-或2C.2D.1【解答】解：∵二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a 2+3=9， ∴3a 2+3a ﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D ．10.抛物线5)2(32+-=x y 的顶点坐标是（）A.（-2，5）B.（-2，-5）C.（2，5）D.（2，-5）【解答】解：抛物线y=3（x ﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C ．11.关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（）A.图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y 轴的右侧C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小D.y 的最小值为-3【解答】解：∵y=2x 2+4x ﹣1=2（x+1）2﹣3，∴当x=0时，y=﹣1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B 错误，当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=﹣1时，y 取得最小值，此时y=﹣3，故选项D 正确，故选：D ．12.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m）与水平距离x （m）之间的关系式是322++-=x x y ，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4【解答】解：∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m ，故（1）正确，当x=1时，y 取得最大值，此时y=4，故（2）和（3）正确，当y=0时，x=3或x=﹣1（舍去），故（4）正确，故选：D ． 13.如图，抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1=x ，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①ac b 42-；②方程02=++c bx ax 的两个根是11-=x ,32=x ；③3ca->；④当0>y 时，x 的取值范围是31≤<-x ；⑤当0>x 时，y 随x 增大而增大．上述五个结论中正确的有（填序号）【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，即a=﹣，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤错误．故答案为①②． 14.已知二次函数()()m x m x y ---=22（m 为常数）．（1）求该二次函数图象与x 轴的交点坐标；（2）求该二次函数图象的顶点P 的坐标；（3）如将该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数2x y =的图象，直接写出m的值．【解答】解：（1）当y=0时，（x ﹣m ）2﹣2（x ﹣m ）=0，（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣2）=0，解得x 1=m ，x 2=m+2，∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为（m ，0），（m+2，0）；（2）∵y=[x ﹣（m+1）]2﹣1，∴该二次函数图象的顶点P 的坐标为（m+1，﹣1）；（3）∵该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴平移的顶点坐标为（m+1﹣3，﹣1+1），即顶点坐标为（m ﹣2，0），∵平移后的抛物线为y=x 2，即平移后的抛物线顶点坐标为（0，0）， ∴m ﹣2=0，∴m=2．第二节待定系数法、图像与系数关系1.已知二次函数的图象过（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）.求此二次函数的解析式.3.已知二次函数c bx ax y ++=2，当4=x 时，3=y ；当1-=x 时，8-=y ；当2=x 时，1=y .求这个二次函数的解析式.4.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且过原点（0，0），求该二次函数的解析式.5.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为（-1，0）和（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，-2），求这个二次函数的解析式.6.如图所示，已知二次函数c bx x y ++=2过点)0,1(A ，)3,0(-C .（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，请直接写出点P 的坐标.7.如图，直线l 过点)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与二次函数2ax y =的图象在第一象限内交于点P ，若29=∆AOPS ，求二次函数的解析式.8.抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点)3,0(B ，且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC ABC ∆的面积.【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B （0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=把x=代入，得y=4则点C 坐标为（，4）设线段AB 所在直线为：y=kx+b 解得AB 解析式为：∵线段AB 所在直线经过点A 、B （0，3）抛物线的对称轴l 于直线AB 交于点D∴设点D 的坐标为D 将点D代入，解得m=2∴点D 坐标为，∴CD=CE ﹣DE=2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S △ABC =S △BCD +S △ACD =CD •BF+CD •AE∴S △ABC =CD （BF+AE ）=×2×=9.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，下列结论：①0>abc ；②02>+b a ；③042>-ac b；④0>+-c b a ，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4解：①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确； ②∵a ＞0，x=﹣＜1，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选：D ． 10.如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b >-；③024>++c b a ；④c a ->3；⑤)(b am m b a +>+（1≠m 的实数）．其中正确结论的有（）A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤【解答】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①不正确； ②当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴b ﹣a ＞c ，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故③正确； ④∵x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∵a ﹣b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，3a ＜﹣c ，故④不正确；⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c （m ≠1），故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B ．11.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.0<acB.0<bC.042<-ac bD.0<++c b a【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＞0，A 错误； ∵﹣＞0，a ＞0，∴b ＜0，∴B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，C 错误；当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，D 错误；故选：B ．12.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，OC OA =，则由抛物线的特征写出如下含有c b a ,,三个字母的等式或不等式：①1442-=-ab ac ；②01=++b ac ；③0>abc ；④0>+-c b a .其中正确的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【解答】解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；②ac+b+1=0，设C （0，c ），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A （c ，0）代入抛物线得ac 2+bc+c=0，又c ≠0，∴ac+b+1=0，故正确； ③abc ＞0，从图象中易知a ＞0，b ＜0，c ＜0，故正确；④a ﹣b+c ＞0，当x=﹣1时y=a ﹣b+c ，由图象知（﹣1，a ﹣b+c ）在第二象限，∴a ﹣b+c ＞0，故正确．故选：A ．13.若抛物线c bx x y ++-=2经过点（-2，3），则942--b c 的值是（）A.5B.-1C.4D.18【解答】解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c=3，整理得，﹣2b+c=7， ∴2c ﹣4b ﹣9=2（c ﹣2b ）﹣9=2×7﹣9=5，故选：A ．14.已知抛物线)0(2>=a ax y 过),2(1y A -、),1(2y B 两点，则下列关系式一定正确的是（）A.210y y >> B.120y y >>C.021>>y yD.012>>y y【解答】解：∵抛物线y=ax 2（a ＞0），∴A （﹣2，y 1）关于y 轴对称点的坐标为（2，y 1）．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 2＜y 1．故选：C ．15.将抛物线322++=x x y 向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线3=y 的交点坐标是（）A.（0，3）或（-2，3）B.（-3，0）或（1，0）C.（3，3）或（-1，3）D.（-3，3）或（1，3）【解答】解：将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y=x 2+2x当该抛物线与直线y=3相交时，x 2+2x=3解得：x 1=﹣3，x 2=1则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）故选：D ．16.将抛物线2x y =向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A.5)2(2-+=x yB.5)2(2++=x yC.5)2(2--=x yD.5)2(2+-=x y【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A ．第三节最值问题、一元二次方程、实际应用1.已知二次函数2)(h x y --=（h 为常数），当自变量x 的值满足52≤≤x 时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为（） A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6【解答】解：当h ＜2时，有﹣（2﹣h ）2=﹣1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h ≤5时，y=﹣（x ﹣h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有﹣（5﹣h ）2=﹣1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选：B ．2.当1+≤≤a x a 时，函数122+-=x x y 的最小值为1，则a 的值为（）A.-1B.2C.0或2D.-1或2【解答】解：当y=1时，有x 2﹣2x+1=1，解得：x 1=0，x 2=2．∵当a ≤x ≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D ． 3.函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程032=-++c bx ax 的跟的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根4.在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=221的图像如图所示，关于x的方程m c bx x =++221有实数根，则m 的取值范围是5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为4404+-=x y ，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元【解答】解：设销售该商品每月所获总利润为w ，则w=（x ﹣50）（﹣4x+440） =﹣4x 2+640x ﹣22000 =﹣4（x ﹣80）2+3600，∴当x=80时，w 取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选：C ．6.竖直向上发射的小球的高度)(m h 关于运动时间)(s t 的函数表达式为bt ath +=2，其图象如图，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（） A.第3秒 B.第3.5秒 D.第4.2秒 D.第6.5秒7.如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90A ，cm AB 8=，cm AC 6=点P 从点A 出发，沿AB 方向以s cm /2的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发沿AC 方向以s cm /1的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是（）A.28cm B.216cm C.224cm D.232cm8.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系()02≠++=a c bx ax y ．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离是多少？【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m ）．9.已知二次函数c bx x y ++-=2163的图象经过()3,0A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,4B 两点．（1）求c b ,的值．（2）二次函数c bx x y ++-=2163的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【解答】解：（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣）分别代入y=﹣x 2+bx+c ，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x 2+x+3．△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，所以二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点．∵﹣x 2+x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．10.设二次函数()b a bx ax y +-+=2（a ，b 是常数，0≠a ）．（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过()4,1-A ，()1,0-B ，()1,1C 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若0<+b a ，点()m P,2()0>m 在该二次函数图象上，求证：0>a ．【解答】解：（1）设y=0∴0=ax 2+bx ﹣（a+b ）∵△=b 2﹣4•a[﹣（a+b ）]=b 2+4ab+4a 2=（2a+b ）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b ﹣（a+b ）=0∴抛物线不经过点C 把点A （﹣1，4），B （0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x 2﹣2x ﹣1（3）当x=2时m=4a+2b ﹣（a+b ）=3a+b ＞0①∵a+b ＜0∴﹣a ﹣b ＞0② ①②相加得：2a ＞0∴a ＞011.已知二次函数()()312---=m x x y （m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？【解答】（1）证明：当y=0时，2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=0，解得：x 1=1，x 2=m+3．当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m ≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）解：当x=0时，y=2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m ＞﹣3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题专题训练含答案

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数应用题专题训练1．某超市购进一批水果，成本为8元/kg ，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m （元/kg ）与时间第x 天之间满足函数关系式1182m x =+（110x ≤≤，x 为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量()kg y 与时间第x 天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？2．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝千克（用含x 的代数式表示）． (2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？3．来商店经市场调查发现：某种商品的周销售量y （件）与售价x （元/件）的关系为2200y x =-+，其售价与周销售利润w （元）的三组对应值如下表：注：周销售利润=周销售量×（售价-进价） (1)求该商品的进价；(2)求当该商品的售价是多少元/件时，周销售利润为1600元?4．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5．某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y （件）与售价x （元）的相关信息如下：(1)试用你学过的函数来描述y 与x 的关系，这个函数可以是______（填一次函数或二次函数），求这个函数关系式；(2)若当月销售量不低于300件，售价为多少时，当月利润最大？最大利润是多少？6．在学习一次函数时，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程下面我们尝试利用之前的学习经验研究函数2y x 的性质及其应用，请按要求完成下列各题．(1)函数2yx 中自变量x 的取值范围是：_________．(2)请同学们通过列表、描点、连线画出此函数的图像； (3)根据函数图像，写出此函数的三条性质； (4)写出不等式26x x -+<的解集．7．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元． (1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)该商品销售价定为每干克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？8．为落实国家精准扶贫政策，我市助农办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为每千克18元，售价不低于成本，且不超过30元/千克，根据市场的销售情况，发现该农产品一天的销售量y （千克）与该天的售价x（元/千克）满足如表所示的一次函数关系．(1)请利用所学过的函数知识求该农产品一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的函数关系，并写出x的取值范围．(2)如果某天销售这种农产品获利4000元，那么这天该农产品的售价为多少元/千克？(3)这种农产品售价定为多少元/千克时，当天获利最大？最大利润为多少？9．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）(1)直接完成下列填空①每件商品的进价为元/件①y与x的函数关系式为（不要求写出自变量的取值范围）；(2)当每件商品售价为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；(3)若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（50＜m＜70），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，求出周销售的最大利润．10．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？11．某商场销售一款工艺品，每件工艺品的进价为11元，经过一段时间的销售发现，每天的销量y（件）与每件工艺品的售价x（元）满足一次函数关系，当每件售价为15元时，每天销售150件；当每件售价为20元时，每天销售100件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售该工艺品每天获得的利润为W（元），试求W与x的函数表达式；(3)既要保障商场每天的获利最大，还要尽快减少库存，问每件工艺品售价应定为多少？商场每天获得的最大利润是多少？12．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x （元）( x≥30)满足一次函数关系m＝162﹣3x．（提示：注意m的取值范围．）(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．13．在平面直角坐标系中已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线L1的表达式及点D的坐标；(2)将抛物线L1关于点A对称后的抛物线记作L2，抛物线L2的顶点记作点E，求抛物线L2的表达式及点E 的坐标；(3)是否在x轴上存在一点P，在抛物线L2上存在一点Q，使D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．14．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y （件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？15．“国庆节期间”某商场销售一款商品，每件的成本是50元．销售期间发现：销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件．但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为x元时，每天销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数表达式．(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果每天的销售利润不低于4000元，那么每天的总成本至少需要元．16．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？17．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；①当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？18．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？19．某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？20．某商场销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为w（元）．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天还想获得750元的利润，应将销售单价定为多少元？(3)当每天销售量不少于30件，且销售单价至少为35元时，该商场每天获得的最大利润是多少？答案1．(1)y ＝−x ＋35（1≤x ≤10，x 为整数）；(2)在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元． 2．(1)()4010x + (2)21060400y x x =-++ (3)24元/千克3．(1)该商品的进价为40元/件(2)当售价为60元/件或80元/件时，周销售利润为1600元 4．(1)5150y x =-+ (2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是2050元． 5．(1)一次函数，10900y x =-+(2)当售价定为60元时，利润最大，最大值为6000元 6．(1)x 取任意实数 (2)见解析(3)①图像关于y 轴对称；①此函数有最小值0；①当0x >时，y 随x 的增大而增大．（答案不唯一） (4)3x <-或2x >7．(1)221201600w x x =-+-(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元 (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元 8．(1)()209601830y x x =-+≤≤ (2)这天该农产品的售价为28元/千克(3)当销售单价为30元时，当天获得的利润最大，最大利润是4320元 9．(1)①20；①y =-2x +200(2)每件售价为60元时，利润W 最大，为3200元(3)当50<m <62时，周销售最大利润为2(22484800)m m -+-元；当62≤m <70时，周销售最大利润为2888元10．(1)401016()y x x =-+≤≤(2)每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 11．(1)10300y x =-+； (2)2104103300W x x =-+-；(3)每件工艺品售价应定为20元，商场每天获得的最大利润是900元 12．(1)32524860y x x -+-＝（30≤x ≤54）(2)商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元13．(1)抛物线1L 的函数表达式为223y x x =--，顶点D 的坐标为()1,4- (2)抛物线2L 的函数表达式为265y x x =---，点E 的坐标为()3,4-(3)点Q 的坐标为()5,0-或()38---或()38-+- 14．(1)y ＝﹣2x +160 (2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元 15．(1)2580027500y x x =-+- (2)80元，最大利润4500元 (3)500016．(1)第二批每个挂件的进价为40元(2)当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元 17．(1)140元，20元(2)①W 1＝﹣6x 2+40x +7000；W 2＝﹣20x +1000 ①5，805018．(1)1005000y x =-+；(2)销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w 最大，最大利润为48400元； (3)当2030x ≤≤时，日获利w 不低于42000元 19．(1)y 是x 的一次函数，40y x =-+(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元 20．(1)W ＝﹣10x 2+600x ﹣8000 (2)应将销售单价定为25元(3)该商场每天获得的最大利润是750元。

二次函数易考查经典题型

二次函数全章高频考点专项训练一：求二次函数及反比例函数的表达式的方法求二次函数及反比例函数的表达式是解决二次函数及反比例函数的重要保证，求表达式时，一般都选用待定系数法，根据不同条件，设出恰当的表达式，往往会起到事半功倍的效果。

训练角度一：巧求二次函数表达式的方法类型一：一般式已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1）．求这个二次函数的解析式．类型二：顶点式已知抛物线的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点（0，3）,求这条抛物线的解析式。

类型三：两点式抛物线与x 轴交于 A(1,0),B(-3,0) 两点，与y 轴交于点C(0,3),求此抛物线的解析式.训练角度二：巧求反比例函数表达式的方法类型一：已知坐标求反比例函数的表达式已知与x成正比例,与x成反比例,若的图像经过点(1、2),,则y与x的函数表达式类型二：已知面积求反比例函数的表达式类型三：利用根与系数的关系求反比例函数的表达式专项训练二：巧解反比例函数中的面积问题许多反比例函数问题都是与三角形，四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有，已知反比例函数的表达式，数函数图像围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的表达式等题型。

训练角度一：已知面积求反比例函数的表达式训练角度二：已知反比例函数的表达式求图形的面积训练角度三：利用点的坐标及面积公式求面积如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，4），点B的横坐标为-4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．训练角度四：利用对称性解决反比例函数中的面积问题如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线表达式分为y=与y=-。

现用四条钢条固定这四条曲线。

已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？专项训练三：建立坐标系，利用二次函数解决实际问题建立坐标系解决实际问题时，要注意数形结合思想的运用，依据徒刑特弟妹构建恰当的平面直角坐标系，选择恰当的二次函数表达式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的，常见的类型有：拱桥问题，运动型抛物线问题，荡秋千问题等训练角度一：拱桥（隧道）问题有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m.(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式。

二次函数综合题专题

二次函数专题一：二次函数与距离、角度的综合1、已知抛物线y=x24x+1.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线。

(1)求平移后的抛物线解析式；⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x轴方向向左平移ba 个单位长度,试探索问题(2).2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(1,0),C(0,3)三点，其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；⑵若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求NPBC周长的最小值；⑶如图⑵，若E是线段AD上的一个动点(E与A.D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G,设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.求S与m的函数关系式；S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。

3、如图，已知抛物线y=aX+bx+2的图象经过点A和点B.(1)求该抛物线的解析式。

(2)把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交点?写出此时抛物线的解析式。

⑶将⑵中的抛物线向右平移52个单位长度，再向下平移t个单位长度(t>0),此时，抛物线与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P.当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小?最小面积是多少?4、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D.M两点。

(1)求此抛物线的解析式；⑵连接AM、AC、BC,试比较Z MAB和Z ACB的大小，并说明你的理由。

5、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=aX+bx+3经过点N(2,5)，过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.(1)求此抛物线的解析式；⑵点P(x,y)为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当A DMN为直角三角形时，求点P的坐标；(3)设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点Q,使ZQMN=ZCNM?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。