函数的极值与导数 (3)上课用
1.3.2函数的极值与导数(上课)
3 (a (2) f ( x）＝ ax + 2bx + c ≠ 0)
/ 2
f (1) = a + b + c = 5
{
.
f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c＝0
a = 2, b = −9, c = 12
注意： 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
1 3 x -4x+4 3
+
-
28 3
o -2
4 − 3
2 + x
求可导函数f(x)极值的 步骤： 极值的 步骤： 求可导函数
(1) 确定函数的定义域； 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x)； 求导数f 求导数 ； (3)求方程 ’(x）=0的根； 求方程f 的根； 求方程 ） 的根 (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间， 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 •如果左正右负（+ ~ -）， 如果左正右负 如果左正右负（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 •如果左负右正（- ~ +）， 如果左负右正 如果左负右正（ ）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
28 3
(-2,2) ↘
2 0
极小值 − 4
3
(2,+∞) ∞ + ↗
28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= − 3 . 当 时有极小值 并且,y
高中数学函数的极值与最大小值第3课时导数在解决实际问题中的应用课后提能训练新人教A版选择性必修第二册
第五章 5.3 5.3.2 第3课时A 级——基础过关练1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对【答案】B2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(140－x )件，要使利润最大每件定价为( )A ．80元B ．85元C ．90元D ．95元 【答案】B3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．12V B ．4V C ．23VD ．34V【答案】D 【解析】设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x2，S 表＝3×4V 3x2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2，所以S ′表＝－43V x 2＋3x ，令S ′表＝0，得x ＝34V ，经检验得，当x ＝34V时，S 表取得最小值．4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意得，年平均利润为f (x )＝－x 2＋12x －25x ＝－x ＋12－25x(x >0)，f ′(x )＝－1＋25x2，令f ′(x )＝0，得x ＝5，经检验得，当x ＝5时，年平均利润最大．5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，且Q 与p 有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28000元D ．23000元【答案】D 【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0.所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．6．现要做一个容积为256m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A ．6m B ．8m C ．4mD ．2m【答案】C 【解析】设底边长为x (x ＞0)，由题意可得，高h ＝256x2，用料y ＝x 2＋4xh＝x 2＋4×256x ＝x 2＋512x ＋512x ≥335122＝192，当且仅当x 2＝512x即x ＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C ．7．(多选)一艘船的燃料费y (单位：元/时)与船速x (单位：千米/时)的关系是y ＝1100x 3＋x .若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L (x )，则下列说法正确的是( )A ．L (x )＝x 2＋540x＋100(x ＞0)B ．L (x )＝x 2＋54000x＋100(x ＞0)C ．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时D ．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时 【答案】BD 【解析】由题意可得，航行的总费用L (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1100x 3＋x ＋540100x＝x 2＋54 000x ＋100(x ＞0)，故A 错误，B 正确；L ′(x )＝2x －54 000x2，令L ′(x )＝0，得x ＝30，当0＜x ＜30时，L ′(x )＜0，L (x )单调递减，当x ＞30时，L ′(x )＞0，L (x )单调递增，所以当x ＝30时，L (x )取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C 错误，D 正确．故选BD ．8．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为__________m 时，容器的容积最大．【答案】1 【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m ，则体积V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )，V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去)．9．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成长为________m ，宽为________m 的长方形才能使小屋面积最大．【答案】10 5 【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m ，则长为(20－2x )m ，小屋面积S ＝x (20－2x )，S ′＝－4x ＋20，令S ′＝0，解得x ＝5，∴20－2x ＝10，∴当小屋长为10 m ，宽为5 m 时，面积最大．10．已知某工厂生产x 件产品的成本(单位：元)为C (x )＝25000＋200x ＋140x 2.(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋x 40，所以y ′＝－25 000x 2＋140.令y ′＝0，得x ＝1000.当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0，在x ＝1000附近右侧时y ′>0， 故当x ＝1000时，y 取极小值也是最小值， 所以要使平均成本最低，应生产1000件产品． (2)利润函数为S ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋x 240＝300x －25 000－x 240.令S ′＝300－x20＝0，得x ＝6000.当在x ＝6000附近左侧时，S ′>0，在x ＝6000附近右侧时S ′<0，故当x ＝6000时，S 取极大值也是最大值，所以要使利润最大，应生产6000件产品．B 级——能力提升练11．(2021年长沙期末)一个帐篷，它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为( )A ．32m B ．1m C ．3mD ．2m【答案】D 【解析】设OO 1为x m(1<x <4)，底面正六边形的面积为S m 2，帐篷的体积为V m 3.由题设得正六棱锥底面边长为32－(x －1)2＝8＋2x －x 2(m)，所以底面正六边形的面积为S ＝6×34(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)．帐篷的体积V ＝13×332(8＋2x －x 2)(x －1)＋332(8＋2x －x 2)＝32(8＋2x －x 2)[(x －1)＋3]＝32(16＋12x －x 3)，V ′＝32(12－3x 2)．令V ′＝0，解得x ＝2或x ＝－2(不合题意，舍去)．当1＜x ＜2时，V ′＞0；当2＜x ＜4时，V ′＜0，所以当x ＝2时，V 最大．12．(多选)(2021年北京期中)将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为V (x )，则下列结论正确的是( )A ．V (x )＝(a －2x )2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2B ．V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2C ．V (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 4上单调递增D ．V (x )在x ＝a6时取得最大值【答案】ABD 【解析】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为a －2x 的正方形，高为x ，则V (x )＝(a －2x )2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜a 2，选项A 正确；由V (x )＝4x 3－4ax 2＋a 2x ，得V ′(x )＝12x 2－8ax ＋a 2，选项B 正确；令V ′(x )＞0，解得0＜x ＜a 6，令V ′(x )＜0，解得a 6＜x ＜a2，故V (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 6单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，a 2单调递减，且在x ＝a 6处取得最大值，选项C 错误，选项D正确．故选ABD ．13．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件的收益为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的收益比原来减少1元，那么订购________件的合同会使公司的收益最大．【答案】175 【解析】设订购x 件商品，则单件商品的收益为P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200(0≤x ≤150)，200－(x －150)(x ＞150)，故总收益R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (0≤x ≤150)，350x －x 2(x ＞150).当0≤x ≤150时，x ＝150，R (x )取得最大值30 000；当x ＞150时，x ＝175，R (x )取得最大值30 625.故订购175件的合同会使总收益最大．14．(2022年湖南模拟)中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效．已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成(其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中)，容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm ，则当圆柱的底面半径r ＝________时，该容器的容积最大，最大值为________．【答案】8π＋2cm 128π(π＋2)2cm 3【解析】设圆柱的底面半径为r cm ，圆柱的高为h cm ，则由题意可得πr ＋2h ＋2r ＝12，∴h ＝12－(π＋2)r 2＝6－π＋22r ，由h ＞0，得r ＜12π＋2，故容器的容积V ＝πr 2h ＝πr 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－π＋22·r ＝6πr 2－(π＋2)π2·r 3，其中0＜r ＜12π＋2，V ′(r )＝12πr －3π(π＋2)2·r 2，令V ′(r )＝0，得r ＝0(舍)或r ＝8π＋2，当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，8π＋2时，V ′(r )＞0，函数单调递增；当r ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2，12π＋2时，V ′(r )＜0，函数单调递减，∴当r ＝8π＋2时，V 有最大值为128π(π＋2)2 cm 3. 15．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50，10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e ≈2.7计算)． 解：(1)根据t 的范围分段求解． ①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e 14t ＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0，解得t <4或t >10. 又∵0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50， 化简得(t －10)(3t －41)<0，解得10<t <413.又∵10<t ≤12，故10<t ≤12. 综上，0<t <4或10<t ≤12.∴枯水期为1月，2月，3月，11月，12月，共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在(4，10)内达到．V ′(t )＝e 14t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋32t ＋4＝－14e 14t (t ＋2)(t －8)．令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表，∴V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50≈108.32(亿立方米)． ∴一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米． 函数的极值与最大(小)值综合练习A 级——基础过关练1．函数y ＝(x ＋1)e x ＋1，x ∈[－3，4]的最大值为( )A ．2e －2B ．5e 5C ．4e 5D ．－e －1【答案】B 【解析】由y ＝f (x )＝(x ＋1)e x ＋1，得y ′＝ex ＋1＋(x ＋1)ex ＋1＝(x ＋2)ex ＋1，当－3<x <－2时，y ′<0，当－2<x <4时，y ′>0，所以函数y ＝(x ＋1)ex ＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，因为f (－3)＝－2e －2<f (4)＝5e 5，所以函数y ＝(x ＋1)ex＋1，x ∈[－3，4]的最大值为5e 5.故选B ．2．如图是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在(－3，1)内f (x )是增函数B ．在(4，5)内f (x )是减函数C ．在x ＝1时f (x )取得极大值D ．在x ＝2时f (x )取得极大值【答案】D 【解析】由图可知，f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32，(2，4)上f ′(x )<0，f (x )单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，(4，5)上f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x ＝1不是f (x )的极值点，x ＝2是f (x )的极大值点，所以A 、B 、C 选项错误，D 选项正确．故选D ．3．已知函数f (x )＝(x 2＋a )e x有最小值，则函数y ＝f ′(x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】由题意，f ′(x )＝(x 2＋2x ＋a )e x，因为函数f (x )有最小值，且e x>0，所以函数存在单调递减区间，即f ′(x )<0有解，所以x 2＋2x ＋a ＝0有两个不等实根，所以函数y ＝f ′(x )的零点个数为2.故选C ．4．(2021年河南三模)设函数f (x )＝e xx ＋a ，若f (x )的极小值为e ，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．32D ．2【答案】B 【解析】由已知得f ′(x )＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2(x ≠－a )，令f ′(x )＝0，有x ＝1－a ，且x <1－a 上单调递减，x >1－a 上单调递增，∴f (x )的极小值为f (1－a )＝e 1－a＝e ，即1－a ＝12，解得a ＝12.故选B ．5．现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍．要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r 与高h 的比值为( )A ．12 B ．13 C ．23D ．14【答案】D 【解析】设单位面积铁的价格为a ，h ＝Vπr2，则造价w (r )＝πr 2·a ＋2πrh ·a ＋πr 2·3a ＝4a πr 2＋2aV r ，w ′(r )＝8a πr －2aV r 2，取w ′(r )＝8a πr －2aVr2＝0，得到r＝3V4π，当0<r <3V4π时，函数单调递减，当r >3V4π时，函数单调递增，故r ＝3V4π时，造价最小，此时h ＝V πr 2＝4πr3πr2＝4r .6．(多选)(2022年保定开学)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2，下列说法中正确的有( )A ．函数f (x )的极大值为223，极小值为－103B ．当x ∈[3，4]时，函数f (x )的最大值为223，最小值为－103C ．函数f (x )的单调减区间为[－2，2]D ．曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝－4x ＋2【答案】ACD 【解析】因为f (x )＝13x 3－4x ＋2，所以f ′(x )＝x 2－4，由f ′(x )>0，得x <－2或x >2，由f ′(x )<0，得－2<x <2，所以函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故选项C 正确；当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋2＝223，在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝13×23－4×2＋2＝－103，故选项A 正确；当x ∈[3，4]时，f (x )为单调递增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值f (3)＝13×33－4×3＋2＝－1，当x ＝4时，f (x )取得最大值f (4)＝13×43－4×4＋2＝223，故选项B 不正确；因为f ′(0)＝－4，所以曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－4(x －0)，即y ＝－4x ＋2，故选项D 正确．故选ACD ．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C 【解析】因为不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，所以a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.又因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，所以a ≥－52，所以a 的最小值为－52.8．函数f (x )＝x sin x ＋cos x －3x 2的极值点为________．【答案】0 【解析】依题意，f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x －6x ＝x cos x －6x ，令f ′(x )＝x (cos x －6)＝0，解得x ＝0，符合题意，∴函数f (x )的极值点为0.9．已知函数f (x )＝exx，g (x )＝a －|x －1|，若∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e ，＋∞) 【解析】∃x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)≤g (x 2)成立⇔当x ∈(0，＋∞)时，f (x )min ≤g (x )max .由题意得f ′(x )＝e x(x －1)x2，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )＝exx在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝e.又因为函数g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝a ，故a ≥e.10．(2022年浦江月考)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ， (1)若a ＝－1，求f (x )的极值；(2)当－83<a <0时，f (x )在[0，2]上的最大值为10，求f (x )在该区间上的最小值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝13，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝127＋19－13＝－527.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋2x ＋a ，∴Δ＝4－12a . 又－83<a <0，∴Δ>0.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－3a 3，x 2＝－1＋1－3a3，则x ，f ′(x )，f (x )变化情况如下表，∴f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减． ∵－83<a <0，x 1<0<x 2<2，∴f (x )min ＝f (x 2)．又∵f (0)＝0，f (2)＝12＋2a >0，∴f (x )在[0，2]上的最大值为f (2)＝12＋2a ＝10，解得a ＝－1， ∴f (x )min ＝f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－527. B 级——能力提升练11．(多选)(2022年重庆月考)定义在[－1，5]上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，函数f (x )的部分对应值如下表．下列关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．函数f (x )的极大值点的个数为2B ．函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)∪(2，4)C ．当x ∈[－1，t ]时，若f (x )的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程f (x )＝a 有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是(1，2)【答案】AD 【解析】由图知函数f (x )在区间[－1，0]上单调递增，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，4]上单调递增，在区间[4，5]上单调递减，所以在x ＝0，x ＝4处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数f (2)＝1，f (4)＝3，且f (x )在区间[2，4]上单调递增，所以存在x 0∈[2，4]使得f (x 0)＝2，易知，当t ＝x 0时，f (x )在区间[－1，t ]的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确．故选AD ．12．(2022年咸阳月考)已知函数y ＝f (x )在R 上可导且f (0)＝1，其导函数f ′(x )满足(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，对于函数g (x )＝f (x )ex，下列结论正确的是( )A ．函数g (x )在(－∞，－1)上为增函数B ．x ＝－1是函数g (x )的极大值点C ．函数g (x )必有2个零点D ．e 2f (e)>e ef (2)【答案】D 【解析】因为g (x )＝f (x )ex，所以g ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex.因为(x ＋1)[f ′(x )－f (x )]>0，所以当x <－1时，f ′(x )－f (x )<0，当x >－1时，f ′(x )－f (x )>0，所以当x <－1时，g ′(x )<0，当x >－1时，g ′(x )>0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A 错误；x ＝－1是g (x )的极小值点，故B 错误；当g (－1)>0时，g (x )无零点，故C 错误；由g (x )在(－1，＋∞)递增，得g (2)<g (e)，即f (2)e2<f (e)ee ，所以e ef (2)<e 2f (e)，故D 正确．故选D ．13．(2022年遵义开学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |－m ，x <12x 3ln x －m ，x ≥12恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln28∪(0，1) 【解析】设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x |，x <12，x 3ln x ，x ≥12，根据题意函数f (x )恰有3个零点，即为函数g (x )的图象与直线y ＝m 有3个公共点，当x ≥12时，可得g ′(x )＝x 2(3ln x ＋1)，令g ′(x )＝0，得x ＝e －13 >12，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e －13 时，函数g (x )单调递减；当x ∈(e －13 ，＋∞)时，函数g (x )单调递增，所以当x ＝e －13 时，函数g (x )取得极小值，极小值为g (e －13 )＝－13e ，又由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18ln2<0，作出g (x )的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－13e ，－ln 28∪(0，1)．14．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的．这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12cm 且以每秒1cm 的速率缩短，而长度以每秒20cm 的速率增长．已知神针的底面半径只能从12cm 缩到4cm 为止，已知在这段变形过程中，当底面半径为10cm 时其体积最大．该定海神针原来的长度为__________cm ；假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【答案】60 4 【解析】设定海神针原来的长度为x cm ，则t 秒后其长度变为(x ＋20t )cm ，其底面半径变为(12－t )cm ，∴t 秒后定海神针的体积V ＝πR 2h ＝π(12－t )2(x ＋20t )，0≤t ≤8，又V ′＝π[(2t －24)(x ＋20t )＋20(12－t )2]＝π(t －12)(2x ＋60t －240)，令V ′＝0，可得t ＝12(舍去)或t ＝4－x30，变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大，即t ＝2时体积最大，∴4－x30＝2，解得x ＝60，∴V ′＝60π(t －12)(t －2)．当0≤t <2时，V ′>0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递增，当2<t ≤8时，V ′<0，函数V ＝20π(12－t )2(3＋t )单调递减，又t ＝0时，V ＝8640π，t ＝8时，V ＝3520π，∴t ＝8时，定海神针的体积最小，即t ＝8时形成金箍棒，此时底面半径为4 cm.15．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋2(a 为实数) (1)若a ＝2，求f (x )在[1，e 2]的最值； (2)若f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2 时，f (x ) ＝x ln x －2x ＋2，f ′(x )＝ln x －1.由f ′(x )<0得0<x <e ，由f ′(x )>0得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，且f (e) ＝eln e －2e ＋2 ＝2－e ，f (1)＝1ln 1－2＋2＝0，f (e 2)＝e 2ln e 2－2e 2＋2 ＝2，则函数f (x )在区间[1，e 2]上的最小值为 2－e ，最大值为2.(2)由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，若f (x )≥0恒成立，则x ln x －ax ＋2≥0，即ln x ＋2x≥a 恒成立．令g (x )＝ln x ＋2x，x ∈(0，＋∞)则g ′(x )＝1x －2x 2＝x －2x2.当 0<x <2时，g ′(x )<0； 当x >2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 则g (x )min ＝g (2)＝1＋ln 2，所以a ≤1＋ln 2 ，故a 的取值范围为(－∞，1＋ln 2]．。
3.3.2函数的极值与导数公开课ppt课件
-
+
求定义域—求导—求导数的零点— 列表—求极值
-
x 14
0
例3：已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x ＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值， 并求f(x)的单调区间．
结论：已知函数极值，确定函数解析式中参 数时：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组， 利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
（3） 极值点一定在区间的内打“√”，错误的打“×”) ①函数f(x)＝ 1x（x>0）有极值.( × ) ②函数 y x2 2x 的极大值点是（1，-1）. ( × ) ③在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.( √ ) ④导数值为0的点一定是函数的极值点.( × )
在 x＝d 附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.
3
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在 点 x＝a 附近其 他点 的函数值都小，f′(a)＝ 0 ，而且在点 x＝a 附近的左侧
f′(x) < 0，右侧 f′(x) > 0，就把 a 叫做函数 y＝f(x)的极小
f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，就把 b 叫做函数 y＝f(x)的极大
值点， f(b) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
y 函数取极大值时 f′(x) ，f(x)的变化f′情(况b:)=0
x
a左侧 x=a
a右侧 f′(x)<0
f′(x)
+ f′ 0(x)>0 -
f(x)
单调递增 极大值 单调递减
函数的极值与导数课件公开课
x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
思考
(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗？
y y=x3
当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的 大致形状及走向如图所示．所以， 当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，直线 y ＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同 交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同 的解．
【名师点评】 用求导的方法确定方程根的个数, 是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况， 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点 个数，从而判断方程根的个数．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值
求导—求极点—列表—求极值
练习:
求下列函数的极值:
(1) f (x) x3 27x; (2) f (x) 3x x3
解:
(3) f (x) ln x 1 ; x
(1) 令f (x) 3x2 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表:
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。
3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。
2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。
3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。
5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。
五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。
2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。
4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。
七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。
《函数的极值与导数》课件
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
函数的极值与导数PPT优秀课件
(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） x 0 的值；（2）a,b,c的值；
略解：
(1)由图像可知： x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x）3a＝ 2x 2b xc (a 0)
－
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知：y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图，①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系？
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（C ）
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10，则a，b的值为（ ）
②y=f(x)在这些点的导数值是多少？
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
高中数学_函数的极值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
函数极值与导数的教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用本节是整个中学数学对函数研究的进一步深化。
在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。
本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。
同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。
2.教学目标：(1) 知识与能力：①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。
（2）过程与方法：培养学生观察,分析,探究,归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.3.教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.教学难点：1、 0x 为函数极值点与)(0x f =0的逻辑关系2、将知识和方法内化为技能。
二、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。
三、教法、学法分析（一）教法分析根据本节课的特点，为了提高教学效率，让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使数学的课堂富有趣味性，采用师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。
由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.（二）学法分析1. 采用体验学习及问题探究的学习方式，通过学生亲历教师预设的各种问题情境，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养的独立探究能力和态度。
函数的极值与导数 课件(人教版)
为什么要加
g( x) f ( x2 ) 2x 0;
上这一步?
又当 x 2 时, g( 2) f (2) 2 2 0.
所以当 x 2 时,函数y=f(x2)取得极小值.
ax b 例3:已知: f (x) x2 1 (a 0).
(1)证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当f(x)的极大值为1、极小值为-1时,求a、b的值.
x<2时,f ( x) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值.
证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x2 ) 2 x.
故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x2 ) 0,即:
g( x) f ( x2 ) 2x 0;
当 0 x 2 时,x2<2,由条件②可知 f ( x2 ) 0,即:
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值.
(2)若 x [0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 .
解:(1)由 f ( x) 3x2 2ax 0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, f (x) 0,当x>0时, f (x) 0.故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 x [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
函数的极值与导数 课件
[解析] ∵f(x)＝－23ax3－x2＋a2x2＋2ax， ∴f ′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a ＝－2(ax2＋x－a2x－a)＝－2(x－a)(ax＋1)． 令f ′(x)＝0，可得x＝－1a或x＝a.
若a>0，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1a) －1a (－1a，a)
[方法规律总结] 若函数f(x)的解析式中含有参数，参数的 取值变化可能影响函数f(x)的单调区间与极值，求单调区间与 极值时应注意分段讨论．
注意极大值点与极小值点的区别
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值 0，求常数a、b的值．
[错解] 因为 f(x)在 x＝－1 时有极值 0，且 f ′(x)＝3x2＋ 6ax＋b.
函数的极值与导数
函数的极值与导数的关系
思维导航
在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同， 有的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些 情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻．近．的左侧f(x)单调 递增，f′(x)___>_____0，右侧f(x)单调递减，f (x)__<______0， 在x＝a邻近的函数值都比f(a)小，且f′(a)__＝______0.在x＝b邻 近情形恰好相反，图形上与a类似的点还有_(c_，__f_(c_)_)____，(e， f(e))，与b类似的点还有__(d_，__f_(_d_))____．
x
(－∞，a)
a
(a，－1a) －1a (－1a，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
函数的极值与导数 课件
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－3， 所以 f′(1)＝f′(－1)＝0，即33aa＋－22bb－－33＝＝00，， 解得 a＝1，b＝0.
所以 f(x)＝x3－3x， f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1， 若 x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则 f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 若 x∈(－1,1)，则 f′(x)＜0，
所以f(x)在(－1,1)上是减函数，
所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．
点评：对于求含参数函数的极值问题，若参数对函 数的单调性(即导数的正负)有影响则需对参数分类讨 论，否则不用讨论参数．
题型3 函数极值的应用 例3 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求函数f(x)的极值； (2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
－
0
＋
y
↗
极大值－61 ↘ 极小值－31
↗
∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，且极大值为 f(1)＝－16； 当 x＝2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(2)＝－31. 点评：求可导函数 f(x)的极值的方法： (1)求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根；
(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧， 导函数 f′(x)的符号如何变化．
答案：2
题型1 求函数的极值 例1 求函数 f(x)＝13x3－32x2＋2x－1 的极值．
解析：f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x＝1 或 x＝2.
函数的极值与导数公开课
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h 最高点
h ’(a)＝0
oa
t 单调递增
h ’(t)>0
＋
单调递减
－ h ’(t)<0
t<a t=a t>a
第3页，本讲稿共16页
一、回顾导入
3.如图，y=f(x)在a、b点的函数值
与这些点附近的函数值有什么关系？
第15页，本讲稿共16页
• 课后作业 • 课本96页第1题（1）、（2），第2题 • 练习题 • 三维设计60页例2，题组集训第3、4题
第16页，本讲稿共16页
比它在点x=b附近其他点的函数值都小，极大值，
f′(b)=0，且在点x=b附近的左侧 f′(x)<0，右侧f′(x)>0 y
极小值统 称为极值
我们就说f(b)是函数的
y=f(x)一个极小值. 点b叫做极小值点． f′(x)<0
f′ (x)>0
f′ (b)=0
b
x
第6页，本讲稿共16页
三、 函数极值的应用 1.下图是函数 y f (x)的图象, 指出哪些是极大值点, 哪
些是极小值点.
y
y f(x)
a x0 x1 O x2 x3 x4
x5
2.思考： （1）极值点唯一吗
（2）极大值一定比极小值大吗
x
x6
b
第7页，本讲稿共16页
注意：
（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间
内可能有多个极大值和极小值；
（3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.
函数的极值与导数(教案).
1.3.2 函数的极值与导数一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程四、教学课时：1课时五、教学类型：新授课六、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？（2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳:函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增,()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?ao h t2、极值的定义:我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
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【提升总结】极值定义注意的问题
（1）极值是针对某一点附近的小区间而言的,是函
数的局部性质,不是整体的最值.
（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可
能有多个极大值和极小值. （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能 比极小值还小，如f（x1）< f（x4）. y=f(x) y P(x1,f(x1))
o
a x0
b
x
利用导数与函数单调性的关系把极值问题用下表表示
x f′(x) y＝f(x) x f′(x) y＝f(x)
(a，x0) ＋ 增加
x0 0
极大值
(x0，b) － 减少
x0 (a，x0) (x0，b) 0 － ＋ 减少 极小值 增加
想一想：如图是函数y=f(x)的导数的图像，请根据图像 思考下列问题：
问题1：请写出函数y=f(x)在区间[-2,5]上的单调区间. 问题2.函数y=f(x)在[-2,5]上有没有极值点，若有,请指出 极值点.
思考 2 ：如图，若寻找函数极值点 , 可否只由 f(x)=0 求
得即可? x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?
2
解析：f(x)=3x ,当f(x)=0时，x =0，通过
答案：(－2,2 )
【变式题】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6， 令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
3 3 得 x1 , x 2 3 3 分析 f ( x )的符号、f（x）的单调性和极值点.
x
(, 3 ) 3
3 3
( 3 3 , ) 3 3
3 3
(
3 ,) 3
f ( x )
f(x)
+
0
极大值
-
0 极小值
+
3 根据表可知 x1 为函数f（x）=3x3-3x+1的极大 3
值点，函数在该点的极大值为
3 2 3 f ( ) 1 ; 3 3 3 为函数f（x）=3x3-3x+1的极小值点，函数 x2
在该点的极小值为
3 2 3 f ( ) 1 . 3 3
3
你能画出该函数的图像吗？
函数图像如下图
y
3 3
3 3
o
x
抽象概括：求函数极值点的步骤： 1.求出导数 f ( x ) .
当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2； 当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2. (2)由(1)的分析知 y＝f(x)的大致走向如图所示，当 5－4 2＜a＜5 ＋4 2时，直线 y＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根．
【课外思考题】 设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a. (1)求f(x)的极值； (2) 是否存在实数 a ，使得方程 f(x) ＝ 0 恰好有两个 实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在， 请说明理由．
2.解方程 f ( x ) =0. 3.对于方程 f ( x )=0的每一个解x0,分析 f ( x ) 在x0
左、右两侧的符号（即f(x)的单调性），确定极值点： (1)若 f ( x ) 在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极
大值点； (2)若 f ( x ) 在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小 值点； (3)若 f ( x ) 在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.
(0,1) －
1 0 极小值3
(1，＋∞) ＋
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
(3) 解:函数的定义域为 (,0) U (0,),
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x 令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
a2 f ( x) x (a 0) （3） x
3 解 (2)函数 f(x)＝ ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， x 3 3 3x－1 f′(x)＝－ 2＋ ＝ ， x x x2 令 f′(x)＝0 得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x)
a＝－3， ∴ ∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c. b＝－9.
∵x＝－1 时取得极大值 7， ∴(－1)3－3(－1)2－9(－1)＋c＝7. ∴c＝2.∴函数 f(x)的极小值为 f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25，a＝－3，b＝－9，c＝2.
例3 直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异 的三个公共点，则a的取值范围是________． 解：令f′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2， 极小值为f(1)＝－2， 如图所示，－2<a<2时，恰有三个不同公共点．
观察函数图像x =0不是该函数的极值点.
f (x)x3 y
f(x0) =0 点 f(x0) =0
x0 是可导函数f(x)的极值点
O
x
x0左右两侧导数异号
注意：f′(x
x0 是函数f(x)的极值
必要不充分 0)=0是函数取得极值的＿＿＿＿＿＿ 条件
例1
求函数f（x）=3x3-3x+1的极值.
解:首先求导函数，由导数公式表和求导法则可得 f (x) 9x 2 3.解方程f （x） 0,
谢谢各位光临指导！
【课外思考题】
解： (1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为 f(1)＝a＋2
例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处 取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值； (2) 判断 x ＝±1 是函数的极大值点还是极小值 点，试说明理由，并求出极值． [思路探索] 先求f′(x)，再由函数f(x)在x＝±1处 取得极值，且f(1)＝－1建立关于a，b，c的方 程组．求出a，b，c值，再由判定极值的方法 判定其极值情况．
【变式题1】
• 1.求函数
f ( x) 36 x 6 x x
2
3
的极值。
的极值
• 2.讨论函数
f ( x) x 3x 3x 1
3 2
【变式题 2】 求下列函数的极值． (1)对于变式 1-1,如果 x [6, ) ， 则 y= f ( x ) 的极值又是什么呢？ 3 (2)f(x)＝ ＋3ln x x
(2) 因为 f(x) 在 ( － ∞ ，－ 1) 上单调递减，且当 x→ － ∞ 时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且 当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a －2，即函数 的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有
极小值小于0，
如图(1)此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－ 2， 如图(2)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此 时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x) ＝0 恰 好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.综上，当a ＝2，或a＝－2时方程恰有两个实数根．
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x)
f(x)
+
↗
0
极大值-2a
↘
-
0
+
↗↘ 极小值2a来自故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
求函数的极值必须严格按照求函数极 值的方法步骤进行，其重点是列表解题时注意考 查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异 号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值．
解
(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝± 1 是函数 f(x)的极值点， ∴x＝± 1 是方程 f′(x)＝0 的两根， 即 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根， 2b －3a＝0， 由根与系数的关系，得 c ＝－1 3a 又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 1 3 由①②③解得 a＝2，b＝0，c＝－2. ③ ① ②
1 3 3 (2)f(x)＝2x －2x， 3 2 3 3 ∴f′(x)＝2x －2＝2(x－1)(x＋1)， 当 x<－1 或 x>1 时，f′(x)>0， 当－1<x<1 时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数， ∴当 x＝－1 时，函数取得极大值 f(－1)＝1， 当 x＝1 时，函数取得极小值 f(1)＝－1.
(1)依据求函数极值的方法求解． (2) 根据极值大小分析函数图象情况，据此 可求出实数a的值．
小结：
1.极值的定义：
2可导函数y=f(x)在x0处有极值的特点：
（1） f / (x0)=0 (2)在x0两侧异号
3.求极值的步骤:
1)求函数的定义域； 2）求导数 ； 3)解方程f/(x)=0 ；4)列表； 5)结论