高等数学练习题(附答案)

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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》

专业 年级 学号 姓名

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分)

( )1. 收敛的数列必有界.

( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数.

( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导.

( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.

( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续.

( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微.

( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则

)0(f 为)(x f 的一个极小值.

二、填空题.(每题2分,共20分)

1. 设2

)1(x x f =-,则=+)1(x f .

2. 若1

212)(11+-=

x

x

x f ,则=+→0

lim x .

3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=')3(g .

4. 设y

x

xy u +

=, 则=du . 5. 曲线3

2

6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .

6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2

x f x

f x F f +==',则=')1(F . 7. 若

),1(2)(0

2x x dt t x f +=⎰

则=)2(f .

8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分

=-+∞⎰

dx e x 20

.

10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y

y x D

52

2

1,

1 .

三、计算题(每题5分,共40分)

1. 计算))

2(1

)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10

3

2

)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数.

3. 求不定积分

dx x x ⎰

-)

1(1.

4. 计算定积分

dx x x ⎰

53sin sin .

5. 求函数2

2

3

24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==

,围成,计算dxdy y

y

D

⎰⎰

sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. 求微分方程y

x

y y 2-

='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分)

1.

证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x .

2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续,且,0)(>x f

dt t f dt t f x F x x

b

⎰⎰

+=0

)

(1)()( 证明:方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)

1.√ ;

2.× ;

3.×;

4.× ;

5.×;

6.× ;

7.× ;

8.× ;

9.√ ;10.√.

二、 填空题.(每题2分,共20分)

1.442

++x x ; 2. 1; 3. 1/2; 4.dy y x x dx y y )/()/1(2

-++;

5. 2/3 ;

6. 1 ;

7.

3

36 ; 8. 8 ; 9. 1/2 ; 10. 0.

三、计算题(每题5分,共40分)

1.解:因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2

1

n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=,2

1

lim n n n →∞+=0

由迫敛性定理知: ))

2(1

)1(11(

lim 222n n n n ++++∞

→Λ=0 2.解:先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ

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