[第43讲] 几何复习(上)

第十五讲 几何复习
本讲概述
1. 与三角形三边所在直线上的三点有关的定理
定理1 梅涅劳斯定理
设A '、B '、C '分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '、B '、
C '共线的充要条件是1BA CB AC A C B A C B
'''
⋅⋅='''．
梅涅劳斯定理的角元形式
设A '、B '、C '分别是ABC ∆三边BC 、CA 、AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '、B '、
C '三点共线的充要条件是sin sin sin 1sin sin sin BAA ACC CBB A AC C CB B BA
'''
∠∠∠⋅⋅='''∠∠∠．
定理2 塞瓦定理
设A '、B '、C '分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 所在直线上的点（即三点中全部或只有一点在边
上），则三直线AA '、BB '、CC '共点或平行的充要条件是1BA CB AC A C B A C B
'''
⋅⋅='''．
塞瓦定理的角元形式
设A '、B '、C '分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 所在直线上的点（即三点中全部或只有一点在边
上），则三直线AA '、BB '、CC '共点或平行的充要条件是sin sin sin 1sin sin sin BAA ACC CBB A AC C CB B BA
'''
∠∠∠⋅⋅='''∠∠∠．
推论 设111,,A B C 分别是ABC ∆的外接圆三段弧 BC
、 CA 、 AB 上点，1AA 、1BB 、1CC 共点的充要条件是111
1111BA CB AC A C B A C B ⋅⋅
=．
2. 与三角形一顶点引出的射线上的点有关的两个定理
定理3 张角定理
设点P 为从ABC △的顶点A 引出的一条射线AP 上的点，线段BP 、PC 对点A 的张角分别为α、β，
且180αβ+<︒，则B 、P 、C 共线的充要条件是sin()sin sin AP AC AB αβαβ
+=+
． 证明 如图，有
B 、P 、
C 三点共线ABC ABP APC S S S ⇔=+△△△ ⇔1sin()2AB AC αβ⋅⋅+=11
sin sin 22AB AP AP AC αβ⋅⋅+⋅⋅
sin()sin sin AP AC AB
αβαβ+⇔=+
定理4 斯特瓦尔特定理
设点P 外从ABC ∆的顶点A 引出的一条射线AP 上的点，则B 、P 、C 共线的充要条件是
222PC BP
AP AB AC BP PC BC BC
=⋅+⋅-⋅．
3. 与三角形形外一点有关的两个定理
P β
αC B A
高一·联赛班·秋季第15讲·学生版
2
A
B
C
D
L
M N D
C
B A
定理5 托勒密定理
从ABC ∆形外一点D 与三顶点连线，则点D 在ABC ∆外接圆上的充要条件是AB DC AC BD BC AD ⋅+⋅=⋅． 定理6 西姆松定理
从ABC ∆形外一点引三边BC 、AB 、AC 所在直线垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件是L 、M 、N 共线，即LN LM MN =+．
4. 与三角形的边、角有关的两个定理
定理7 正弦定理
在ABC ∆中，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，其面积记为ABC S ∆，则 sin sin sin 2ABC
a b c abc
A B C S ∆===2d R ==（,d R 分别是ABC ∆外接圆的直径和半径）．
定理8 余弦定理
在ABC ∆中，若,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为,,a b c ，则
2222cos c a b ab C =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos a b c bc A =+-．
5. 与圆有关的两个定理
定理9 圆中张角定理
若AB 、AC 、AD 是圆O 的三条弦BAC CAD αβ∠=∠=，
．则sin sin sin()AB AD AC βααβ+=+． 证明 如图，设圆O 的半径为R ，联结BC 、BD 、CD ，
则由正弦定理，2sin 2sin 2sin()BC R CD R BD R αβαβ===+，， 又由托勒密定理得 BC AD CD AB AC BD ⋅+⋅=⋅
即2sin 2sin 2sin()AD R AB R AC R αβαβ⋅+⋅=⋅+ 即sin sin sin()AB AD AD βααβ+=+ 注 ⑴ 若联结BC 、CD ，作D
C E B C A ∠=∠，CE 与A
D 的延长线交于点
E ，则由CDE CBA ∠=∠，知CDE CBA △∽△，故E α∠=，且CE DE
AC AB
=
． 在ACE △中应用正弦定理，并注意到sin sin()ACE αβ∠=+
即可推得sin sin()sin()AC AE AD DE ααβαβ+==++及sin sin DE CE AB AC β
α
== 从而sin()sin sin sin sin AC AD DE AD a AB αβααβ+=+=+ ⑵ 圆中张角定理的逆定理也成立．
由点A 发出的三条射线上各有点B 、C 、D ，记180BAC CAD BAD αβαβ∠=∠=∠=+<︒，
， 若sin sin sin()AB AD AC βααβ+=+，则A 、B 、C 、D 四点共圆．
事实上，可过A 、B 、D 三点作圆，交射线AC 于点C '，则由圆中张角定理，有 sin()sin sin AC AB AD αββα'+=+
由题设有sin()sin sin AC AB AD αββα+=+
得AC AC '=，由此即得知点C '与点C 重合．故A 、B 、C 、D 四点共圆．
由上述定理可得如下推论．
O
αE
β
αD C B
A
推论1 当αβ=，即AC 平分BAD ∠时，则2cos AB AD AC α+=
推论2 当180αβ=︒-，即AC 平分BAD ∠的外角时，则2cos AB AD AC α-= 事实上，如图，设直线AC 与BD 的延长线交于点E ，联结BC ．若
AB AD >，则由DAC BAC βα∠=∠=，
，知 1802BAD βαα∠=-=︒-
从而有2cos AB AD AC α-=
若AC AD <，则由 BAC DAC αβ∠=∠=，
若18022180BAD αββα∠=-=︒-=-︒
亦有2cos AB AD AC α-=
此定理建立了圆中具有公共端点的三条弦及其夹角之间的数量关系，也称之为三弦夹角定理，巧妙地运用它解有关的平几题目，思路清晰、新颖，过程简捷、明快，颇具特色．
定理10 圆幂定理
过O ⊙所在平面上一点A 作直线BC ，与圆分别交与点B 、C ，记O ⊙的半径为r ，A O 的距离为d ，则AB AC ⋅
22d r =-，一般把这个值叫做点A 到O ⊙的圆幂． 当A 在圆外时，圆幂定理即切割线定理； 当A 在圆内时，圆幂定理即相交弦定理． 下面简单介绍一下根轴：
到两个圆心不重合的圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，这条直线称为这两个圆的根轴． 当这两个圆相交时，根轴为两个圆的公共弦所在的直线； 当这两个圆相切时，根轴为两个圆的共切线；
其他情形时只有代数规律起作用，根轴没有确切的几何意义．
例题精讲
板块一 线型
【例1】 四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角
线的延长线平分对边交点连成的线段．
【例2】 设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为E 、F 、G 、H ．证明：
11
()()22
ABCD S EG HF AB CD AD BC ⋅+⋅+≤≤．
E D C B A
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【例3】 完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线所在直线相交，则被其他两条对角线所在直
线调和分割．
【例4】 如图，在ABC △中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在边AB 上，求证：2
9
PQR ABC S S >△△．
R Q P
B
C
A
板块二 圆型
【例5】 如图，一条直线l 与圆心为O 的圆不相交，E 是l 上一点，OE l ⊥，M 是l 上任意异于E 的点，
从M 作圆的两条切线分别切圆于A 和B ，C 是MA 上的点，使得EC MA ⊥，D 是MB 上的点，使得ED MB ⊥，直线CD 交OE 于F ，求证：F 的位置不依赖于M 的位置．
l
【例6】 （2003年中国国家集训队测试题）长分别为a b c d ，
，，
的凸四边形ABCD 外切于圆O ， 求证：OA OC OB OD ⋅+⋅．
O
B
D
C
A
E
【例7】 （1993年全国南昌市初中数学竞赛题）若a b c ≥>且a b c <+，
解方程ax =……①
【例8】 在圆O 内，弦CD 平行于弦EF ，且与直径AB 交成45︒角．若CD 与EF 分别交直径AB 于P 和Q ，
且圆O 的半径长为1，求证：2PC QE PD QF ⋅+⋅<．
大显身手
1． 已知ABC △的重心为G ，且345AG BG CG ===，，
，那么ABC △的面积为 ．
2． 已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD △的
面积是（ ）
A ．2164a
B ．2132a
C ．2116a
D ．218a
3． 已知C 为以AB 为直径的半圆上的一点，分别过A 、B 、C 作半圆的切线得交点E 、F ．过C 作
AB 的垂线，D 为垂足．求证：AF 、BE 、CD 三线共点．
4． 已知AD 为圆O 的直径，PD 为圆O 的切线，
PCB 为圆O 的割线，PO 分别交AB 、AC 于M 、N ．求证：OM ON =
5． 如图，设正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 分别被内点M 、N 分成比为AM CN
r AC CE
==．如
果B 、M 、N 三点共线求r ．
6． 凸四边形ABCD 的面积为S ，O 为四边形内部一点，K 、L 、M 与N 分别是边AB 、BC 、CD
与DA 内部的点，如果四边形OKBL 及OMDN 都是平行四边形，其中1S 与2S 分别是ONAK 与OLCM 的面积．。