2007年江苏省南京市金陵中学高三第三次模拟考试数学试题

2007年江苏省南京市金陵中学高三第三次模拟数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

1．已知集合Q P x x Q x x x P },2|||{},0)3(|{<=<-==

（ ）

A ．（－2，0）

B ．（0，2）

C ．（2，3）

D ．（－2，3）

2．如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的 变化情况为 （ ） A ．平均数和方差都不变 B ．平均数不变，方差改变 C ．平均数改变，方差不变 D ．平均数和方差都改变 3．设m,n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面。给出下列四个命题 （ ）

①若n m n m ⊥⊥则,//,αα； ②若βαγβγα//,,则⊥⊥； ③若n m n m //,//,//则αα； ④若γαγββα⊥⊥m m 则,,//,//； 其中正确的序号是

（ ）

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④ 4．若方程]5,1[022在区间=-+ax x 上有解，则a 的取值范围

（ ）

A ．]1,5

23

[-

B ．),5

23

[+∞-

C ．),1[+∞

D ．]5

23,(-

-∞ 5．设双曲线)0,0(122

22b a b

y a x <<=-的右准线与两渐近交于A ，B 两点，点F 为右焦点，

若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为 （ ）

A ．

3

32 B ．2

C ．3

D ．2 6．若θθθθθtan ,0cos sin ,4

5

cos sin 则且<--

<+

（ ） A ．大于1 B ．等于1 C ．小于1 D ．等于－1

7．现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至 少须经过k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设函数)1ln()(2x x x x f +++=，则对任意实数a 和b ，a+b <0是0)()(>+b f a f 的

（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时 即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有 （ ） A ．360种 B ．600种 C ．840种 D ．1680种 10．点P 到点A )2,(,0,21a B ⎪⎭

⎫

⎝⎛及直线2

1

-

=x 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的取值个数为

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无数个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题纸相应位置上。 11．函数)1(1

1

)(>+-=

x x x x f 的反函数为 。 12．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，

则甲、乙两地的球面距离为 。

13．采用简单随机抽样，从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a 前三次

未被抽到，第四次被抽到的概率为 。 14．等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且25324,26,8n

S T a a a a n

n =

=+=-记，如果存在正整数M ，使得对一切正整数M T n n ≤,都成立，则M 的最小值是 。 15．已知函数①;ln 2)(x x f =②x e x f cos 3)(=；③x e x f 3)(=；④x x f cos 3)(=。其中对

于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个个自变量2x ，使3

)()(21=x f x f 成立的函数是 。（填上所有正确结论的序号）

16．设y x y x z ,,3实数+=满足不等式组⎩

⎨⎧≤+≥25531y x x 若当且仅当2,5==y x 时，z 取得

最大值，则不等式组中应增加的不等式可以是 。

（只要写出适合条件的一个不等式即可）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，q b c a p ),,(+=

),(c b a c --=且⊥

（1）求A 的大小；

（2）记)(),6

2sin(sin 2)(2

B f B B B f 求π

+

+=的取值范围。

18．（本小题满分14分）

已知△OAB 是边长为4的正三角形，CO ⊥平面OAB ，且CO =2，设D 、E 分别是OA 、AB 的中点。

（1）求证：OB//平面CDE ；

（2）求点B 到平面CDE 的距离； （3）求二面角O —CD —E 的大小。 19．（本小题满分14分）

A 、

B 两城相距100km ，在两地之间距A 城xkm 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km 。已知供电费用与供电距离的立方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25，若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月。

（1）把两城市月供电总费用y 表示成x 的函数，并求其定义域；

（2）核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小。（414.12≈，结果保留一位小数） 20．（本小题满分14分）

如图，已知A ，B ，C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC

过椭圆中心O ，且.||2||,0==⋅

（1）建立适当的坐标系，求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上有两点P ，Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使

AB PQ λ=.