第十一章第3节幂级数
幂级数
k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
幂级数概念
§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I上的函数列{u n(x)}, 由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +u n(x)+ × × ×称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为∑∞=1) (nnxu.收敛点与发散点:对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数∑∞=1) (nnxu收敛, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的收敛点. 若常数项级数∑∞=1)(nnxu发散, 则称点x0是级数∑∞=1) (nnxu的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1) (nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1) (nnxu的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数∑∞=1) (nnxu的和函数, 并写成∑∞==1)()(nnxuxs.∑u n(x)是∑∞=1) (nnxu的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n(x)的和是x的函数s(x),s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ).这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ × × × +u n (x ). 在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )?s (x )(n ??) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ).在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是a 0+a 1x +a 2x 2+ × × × +a n x n + × × × ,其中常数a 0, a 1, a 2, × × × , a n , × × ×叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ × × × +x n+ × × × , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x .注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ × × × +a n (x -x 0)n + × × × , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ × × × +a n t n + × × × . 幂级数1+x +x 2+x 3+ × × × +x n + × × ×可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |?1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 010)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |?|x 0|的一切x 使这幂级数发散.提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使 | a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n ?0(n ??) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |￡M (n =0, 1, 2, × × ×). 因为 n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=, 而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||0⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a n x n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |?R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径? 开区间(?R ? R )叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间? 再由幂级数在x ??R 处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n n n x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+￥, 这时收敛域为(-￥, +￥).定理2 如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R ?定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R ?定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为? 当??0时ρ1=R ? 当??0时R ???? 当????时R ?0?简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1)如果0<r <+?, 则只当r |x |<1时幂级数收敛? 故ρ1=R .(2)如果r =0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+?. (3)如果r =+?, 则只当x ?0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域. 解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+￥, 从而收敛域为(-￥, +￥). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ,所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2?1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .提示? 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n n nt . 因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n ,此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n n nt 的收敛域为-2￡t <2? 因为-2￡x -1<2, 即-1￡x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b x a , 减法: ∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ￠, R ￠)内收敛, 则在(-R , R )与(-R ￠, R ￠)中较小的区间内有 加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ × × ×+(a 0b n +a 1b n -1+ × × × +a n b 0)x n + × × ×性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01000001)()(n n n n xnn x n nn xx n adx x a dx x a dx x s (x ?I )?逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积? 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===01000001)()(n n n n xnn x n nn xx n adx x a dx x a dx x s (x ?I )? 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(?R ? R )内可导? 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |?R )?逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)? 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x --=-=⎰. 于是, 当x 10时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s . 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(11000x dx x dx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=, 所以, 当x 10时, 有)1ln(1)(x xx s --=, 从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n n x n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[?1? 1)?设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n n x n x s ? x ?[?1? 1)?显然S (0)?1? 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(11000<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x x xn n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x x x s --=?从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=01 1||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性? 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x? 综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=01 )1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示? 应用公式)0()()(0F x F dx x F x -='⎰? 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(?11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x .例7 求级数∑∞=+-01)1(n n n 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n n x n, 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n n n .。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
幂级数解法
幂级数解法在数学中，幂级数解法是指将一类复杂的数学问题转化成一系列的简单的计算问题，从而解决复杂问题的数学方法。
它可以通过计算把一个一般性函数表示成一系列的均匀分布参数，从而用最简单、最全面的方法解决复杂问题，它在数学与物理等科学领域有着重要的应用。
幂级数解法是根据数学定义来有效处理复杂问题的方法。
它可以将一个复杂函数分解为一系列简单的函数，每一步都能够获得有效的计算结果。
它一般分为几步：第一步，将函数的定义矩阵按顺序排列，然后将每行参数和每列参数的乘积累加计算，从而得出函数的一阶导数值；第二步，根据一阶导数的变化规律，分别计算出二阶的导数值和三阶的导数值，以此类推；第三步，从每一阶导数中求出函数的幂级数系数，以及它们之间的关系；第四步，根据计算出的系数和关系，将函数表示成一系列的幂级数，从而实现函数的幂级数分解。
幂级数解法不仅可以实现复杂函数的分解，而且可以计算出函数的在某些特定点的取值。
它的优点是可以很完整地分析复杂函数的变化趋势，可以根据系数和关系，对复杂的函数进行完整的分析，用最全面的方法来解决复杂问题。
幂级数解法在数学、统计学、物理学、工程学等学科领域有着广泛的应用。
它可以用来分析函数随时间变化的规律，可以用来计算非常复杂的多项式函数，也可以用来研究特殊的解析数学问题。
例如，在统计学中，幂级数解法可以用来求解偏差方程，从而确定特定数据集的参数估计；在工程学中，幂级数解法可以用来近似计算复杂的几何图形的变化趋势；在物理学中，幂级数解法可以用来解决模拟电路、混沌系统等问题；在地理学中，幂级数解法可以用来表示地形。
总之，幂级数解法是一种通过计算实现复杂问题分解的数学方法，它不仅能帮助我们解决数学问题，而且还能为科学研究带来全新的思路和刺激。
只要加以运用，就可以迅速发现解决各种复杂问题的有效方法，并使我们更加深入地了解各种问题的发展趋势。
第三节、幂级数-精品文档62页
a(xx)n aXn
n
0
n
n0
n0
n
Sn(x) akxk a 0 a 1 x a n x n ,
k0
称为axn n n1
的部分和.
当幂级数收敛时, 由
li(S m (x)S (x) )0
n n
可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多
证明
(1)
n0
a n
xn收 0
敛
,ln i m anx0n0,
M, 使a n x 得 0 nM (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
n
x x0
当 x 1时, x0
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0
n1
a
n
x
n
是否也具有上述现象？
2.收敛性:
定理 1 (Abel 定理)
若幂 级 anxn 在 数 xx0（0x 0）处 , n0
则对任 |x|何 |x| 满 的 x足 值 幂 ,级数.绝 0 若幂 an 级 xn 在 数 xx0 处发 则散 对 n 0 任何|x 满 ||x足 |的 x值 幂 ,级数 . 0
幂级数
一、幂级数的定义 二、幂级数的收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 un( x) 是 定 义 在 I R 上 的 函 数 列 , 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
幂级数知识点总结高数大一
幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。
其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。
在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。
一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。
一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。
在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。
二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。
收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。
三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。
幂级数
n
或
n1
z c n z .
2 n
这种级数称为幂级数.
5
二、幂级数的敛散性
1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数
n0
cn z
n
在
z z0 ( 0 )
收敛, 那末对
z0
满足 z
z0
的
z,
级数必绝对收敛, 如果在 z
4
2. 幂级数 当
f n ( z ) c n1 ( z a )
n1
或
f n ( z ) c n1 z
n1
时,
函数项级数的特殊情形
n0
c n ( z a ) c 0 c1 ( z a ) c 2 ( z a ) c n ( z a )
例如,级数
当 z 0时,
1 z 2 z n z
2 2 n n
通项不趋于零, 故级数发散.
(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收
敛的正实数. 幂级数
n0
cn z
n
的收敛范围是以原点为中心的圆域.
8
3. 收敛半径的求法
方法1: 比值法(定理二):
如果 lim c n1 cn
内的解析函数 .
(2)
f ( z ) 在收敛圆 z a R
内的导数可将其幂
级数逐项求导得到,
即 f ( z )
n1
nc n ( z a )
n1
.
11
(3)
f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
c
f ( z )d z
幂级数PPT
n an
n n 1
收敛区间(,).
例2
求幂级数
n0
(2n)! (n!)2
x2n
的收敛半径。
解
级数的一般项为un ( x)
(2n)! ( n !)2
x2n 缺少奇次幂的项应用达贝尔判别法lim un1( x) 4 x 2 , n un ( x)
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
当 4 x 2 1, 即| x | 1 , 2
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛区间(,).
问题 如何求幂级数的收敛半径? 幂级数的收敛区间，幂级数的收敛域？
15
定理 2 对幂级数 an x n
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x
)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数的收敛问题.
4
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或 x 1.
5
例如 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域.
n1 n 1 x
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn发散.
n0
收敛半径 R 1 ;
17
(2) 如果 0, 任意给定x 0,
幂级数
间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的
上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛; (ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 ( , )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 ( R, R) 内收敛; 对
例5 级数
( x 1)n x 1 ( x 1)2 2n n 2 22 2
( x 1)n n 2 n
, (6)
由于
1 n 1 2n1 ( n 1) ( n ), 1 2( n 1) 2 2n n
所以级数(6)的收敛半径 R 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | x 1 | 2 即 ( 1, 3).
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求积后得到的幂级数
a1 2a2 x 3a3 x 2
与
a1 2 a2 3 a0 x x x 2 3 的收敛区间.
nan x n1
an n1 x n 1
(7)
(8)
定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收
敛区间.
证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).
n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.
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2 a n x n1 1( n ), 例1 级数 2 , 由于 2 an ( n 1) n
n
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n
幂级数
n
记 lim
n
（如果极限存在）
(*) 收敛，级数①绝对收敛 ； 1， x 1 ， (*)发散，级数①发散； 1 , 级数①可能收敛亦可能 发散
记 lim
an1 an
n
（如果极限存在）
1 绝对收敛，当 x n 故 an x 1 n 1 发散 ，当 x
n a x n 的收敛半径为R（ 0）， n 0
则其和函数 s( x ) 在( R , R ) 内可导，有 n n n 1 s( x ) a x a x na x n n n n 0 n 1 n 0
)dx nx
x n 1 0
n 1
dx
1 n n x n n 1
x
0
x x ，当 x 1 时 1 x n 1
n
上式两边同时对x 求导得和函数： 1 x s( x ) ， x ( 1， 1) 2 1 x (1 x )
2
(2n 1)(2n 2) lim 4 2 n (n 1) (2n)! 2 n 幂级数 x 2 n 0 ( n!)
n
余项
二、幂级数及其收敛性
形如 a0 a1 x a 2 x an x a n x
2 n n 1
n
n
①
n
或 a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 ) a n ( x x0 ) ②
n 1
称为关于x 或 x x0 的幂级数。
幂级数解法
幂级数解法幂级数解法是求解微分方程的一种技术，它可用于求解普通微分方程的无穷多解，也可用于求解常微分方程的特解，以及线性微分方程的非独立解。
因此，在研究微分方程的求解过程中，对“幂级数解法”的研究具有重要的实际意义。
一、幂级数的概念幂级数是由不同幂次的可积函数的和所组成的级数，可以表示为： $$sum_{k=0}^{infty}a_{k}x^{k}$$其中，$a_{k}$叫做幂级数的系数，$x$叫做幂级数的变量，$k$叫做幂级数的项次，$infty$叫做幂级数的项数。
幂级数不仅可用于数学上的应用，也可用于物理学上的应用，像振动波、涡旋波、周期性复原函数等物理概念都可以用幂级数来表示。
二、幂级数解法的内容1.入一类特殊的线性微分方程：$$y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+cdots+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$式中，$y^{(n)}$表示微分方程的最高次导数，$p_{n-1}(x)$，$cdots$，$p_{1}(x)$，$p_{0}(x)$表示微分方程的n-1次，$cdots$，1次，0次项的系数函数，$Q(x)$表示微分方程右端项的函数。
2.先检查保守性，判断微分方程是否具有定常解。
微分方程具有定常解的充要条件是$p_{n-1}(x)=p_{n-2}(x)=cdots=p_{2}(x)=0$，此时微分方程可以化简为：$$y^{(n)}+p_{1}(x)y+p_{0}(x)y=Q(x)$$无论$p_{1}(x)$、$p_{0}(x)$是否全等于0，都可以说明它具有定常解。
3.后利用相关定理，在特定条件下构造一个“幂级数解”，其形式为：$$y=sum_{k=0}^{infty}c_{k}x^k$$其中$c_{k}$是待求的系数，由解法的特殊条件所确定。
4.所得“幂级数解”代入微分方程，并根据其定义，求出$c_{0}$，$c_{1}$，$c_{2}$，$cdots$，$c_{n-1}$的值，即求出微分方程的解的系数。
幂级数公式
幂级数公式从古至今，人们就一直热衷于用数学知识去描述自然界令人惊异的现象。
无论是走在一条直线上、抛物线及其他曲线，还是理解桶子装满水的内容，我们把不同的概念利用数学去描绘并求出精确的结果，即使在极端的情况下也可以得出正确的结果。
在这其中，有一个特别有用的概念幂级数。
幂级数可以定义为一系列由正数（正数）组成的有限的或无数的数列，其中第一项的幂次为零。
例如：1/1+1/2+1/4+1/8+…当把这个数列变换成一种累加的形式时，这就是幂级数公式，它表达的是：∑n=0∞1/2n=2这里，n幂指数，可以从0开始递增，可到无穷，2是公式的常数。
幂级数公式，也被叫做指数级数，是一种感性的方式，用来势向一系列无穷的数列中的有限数。
现在，幂级数也成为许多复杂的数学公式中的核心组成部分，它可以用来解释各种自然界中的现象，也可以用来表示一系列概念，如时间、力量等。
在数学上，幂级数被广泛应用于许多研究领域，尤其是在常微分方程和积分方程方面。
它可以用来解决诸如求解精确值、分析非常复杂的数学表达式等复杂问题。
此外，幂级数也可以用来解决物理问题，如计算质量、力等。
例如，如果要求解一个重力系统，可以使用幂级数公式求解，即∑n=0∞a_nx^n=0其中a_n是n次幂级数使用的系数，x是无限次幂级数使用的变量。
幂级数还可以用来求解复数递推问题，如傅立叶定理。
它是求解复数函数的高级工具，可以用来解释电磁学的问题。
另外，幂级数还可以用来表示概率函数，用来求解不确定性问题，可以依据一定的概率函数绘制出许多概率曲线，例如概率分布曲线等。
总而言之，幂级数公式是一种十分重要的数学概念，它可以用来用简单的方式来表示一系列无限次复杂的关系，也可以应用到许多其他领域，如物理、概率等，是一种强大又方便的数学工具。
第十一章 第3节 幂级数
∑x
n =0
∞
2n
1 = 1− x2
21
例7. 求级数
∑nx
n=1
∞
n
的和函数 S(x) .
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 故当 x ∈(−1 , 1) 时
S(x) = ∑n x
n=1 =1 ∞
∞
n= x
n=1 =1
n xn−1 ∑
∞
∞
= x ∑(xn )′= x( ∑xn )′
(x ≠ 0) ,当 x = 1 时 收敛 ,
但当 0 < x ≠ 1时 , lim un (x) = ∞ , 级数发散 ;
n→∞
所以级数的收敛域仅为 x = 1
4
二. 幂级数及其收敛性质 形如
∑a (x − x )
n=0 n 0
∞
n
= a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) +L+ an (x − x0 ) +L
[ 2(n +1) ] ! 2(n+1) x 2 [ (n +1) ! ] [ 2 n ] ! 2n x 2 [n [ n! ]
16
(−1)n 1 n ( ) 的收敛域. 例 6 求 数∑ 级 n 1+ x n=1 由达朗贝尔判别法 解
∞
un+1 ( x ) n 1 1 + = ⋅ (n → ∞) → un ( x ) n + 1 1 + x 1+ x
1 (1) 当 < 1, ⇒ 1 + x > 1, 1+ x
即 x > 0或x < −2时,
幂级数概念.doc
§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x )+ ⋅ ⋅ ⋅ 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .收敛点与发散点:对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.收敛域与发散域:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数:在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ),s (x )称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s .∑u n (x )是∑∞=1)(n n x u 的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ),函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n (x ).在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→或s n (x )→s (x )(n →∞) .余项:函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数s (x )与部分和s n (x )的差r n (x )=s (x )-s n (x )叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项.函数项级数∑u n (x )的余项记为r n (x ), 它是和函数s (x )与部分和s n (x )的差 r n (x )=s (x )-s n (x ). 在收敛域上有0)(lim =∞→x r n n .二、幂级数及其收敛性 幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数 项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a 0+a 1x +a 2x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n x n + ⋅ ⋅ ⋅ , 其中常数a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n , ⋅ ⋅ ⋅叫做幂级数的系数. 幂级数的例子:1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅ , !1 !2112⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x n x x . 注: 幂级数的一般形式是a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n (x -x 0)n + ⋅ ⋅ ⋅ , 经变换t =x -x 0就得a 0+a 1t +a 2t 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n t n + ⋅ ⋅ ⋅ . 幂级数1+x +x 2+x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +x n + ⋅ ⋅ ⋅可以看成是公比为x 的几何级数. 当|x |<1时它是收敛的; 当|x |≥1时, 它是发散的. 因此它的收敛 域为(-1, 1), 在收敛域内有11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式|x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数∑a n x n 当x =x 0 (x 0≠0)时收敛, 则适合不等式 |x |<|x 0|的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑a n x n 当 x =x 0时发散, 则适合不等式|x |>|x 0|的一切x 使这幂级数发散. 提示: ∑a n x n是∑∞=0n n n x a 的简记形式.证 先设x 0是幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅).这样级数∑∞=0n n n x a 的的一般项的绝对值n n n n n nn n n n x x M x x x a x x x a x a ||||||||||00000⋅≤⋅=⋅=. 因为当|x |<|x 0|时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.简要证明 设∑a n x n 在点x 0收敛, 则有a n x 0n →0(n →∞) , 于是数列{a n x 0n }有界, 即存在一个常数M , 使| a n x 0n |≤M (n =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为 n n n n n nn n nn x x M x x x a x x x a xa || |||| || ||00000⋅≤⋅=⋅=,而当||||0x x <时, 等比级数n n x x M ||⋅∑∞=收敛, 所以级数∑|a n x n |收敛, 也就是级数∑a nx n 绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x =x 0时发散而有一点x 1适合|x 1|>|x 0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x =x 0时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n n x a 不是仅在点x =0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得 当|x |<R 时, 幂级数绝对收敛; 当|x |>R 时, 幂级数发散;当x =R 与x =-R 时, 幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间: 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径. 开区间(-R , R )叫做幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛区间. 再由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛域是(-R , R )(或[-R , R )、(-R , R ]、[-R , R ]之一.规定: 若幂级数∑∞=0n nn x a 只在x =0收敛, 则规定收敛半径R =0 , 若幂级数∑∞=0n n n x a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径R =+∞, 这时收敛域为(-∞, +∞). 定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 其中a n 、a n +1是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 1R .定理2如果幂级数∑∞=0n n n x a 系数满足ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .定理2如果ρ=+∞→||lim 1n n n a a , 则幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R 为: 当ρ≠0时ρ1=R , 当ρ=0时R =+∞, 当ρ=+∞时R =0.简要证明: || ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→.(1)如果0<ρ<+∞, 则只当ρ|x |<1时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2)如果ρ=0, 则幂级数总是收敛的, 故R =+∞. (3)如果ρ=+∞, 则只当x =0时幂级数收敛, 故R =0. 例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑nx x x x n x n n n n n的收敛半径与收敛域. 例1 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n nx n !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.例2 求幂级数∑∞=0!1n nx n 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞). 例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022!)()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当4|x |2<1即21||<x 时级数收敛; 当4|x |2>1即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R . 提示: 2222)1(221)1()12)(22()!()!2(])!1[()]!1(2[)()(x n n n x n n xn n x u x u n n n n +++=++=++. 例5 求幂级数∑∞=-12)1(n n nnx 的收敛域.解 令t =x -1, 上述级数变为∑∞=12n n nnt .因为 21)1(22 ||lim 11=+⋅⋅==++∞→n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径R =2.当t =2时, 级数成为∑∞=11n n , 此级数发散; 当t =-2时, 级数成为∑∞=-1)1(n n , 此级数收敛. 因此级数∑∞=12n n nnt 的收敛域为-2≤t <2. 因为-2≤x -1<2, 即-1≤x <3, 所以原级数的收敛域为[-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn x a 及∑∞=0n n n x b 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有 加法: ∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b x a ,减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-0)(n n n n n n n n n n x b a x b x a ,设幂级数∑a n x n 及∑b n x n 分别在区间(-R , R )及(-R ', R ')内收敛, 则在(-R , R )与(-R ', R ')中较小的区间内有加法: ∑a n x n +∑b n x n =∑(a n +b n )x n , 减法: ∑a n x n -∑b n x n =∑(a n -b n )x n .乘法: )()(0∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a =a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x +(a 0b 2+a 1b 1+a 2b 0)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅+(a 0b n +a 1b n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n b 0)x n + ⋅ ⋅ ⋅性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.如果幂级数在x =R (或x =-R )也收敛, 则和函数s (x )在(-R , R ](或[-R , R ))连续. 性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质1 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xn n xn n n x x n a dx x a dx x a dx x s (x ∈I ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑a n x n 的和函数s (x )在其收敛区间(-R , R )内可导, 并且有逐项求导公式 ∑∑∑∞=-∞=∞=='='='010)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x s (|x |<R ),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n nx n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n nx n x s , x ∈[-1, 1). 显然s (0)=1.在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得 x x x n x xs n n n n -=='+='∑∑∞=∞=+11)11(])([001. 对上式从0到x 积分, 得 )1ln(11)(0x dx xx xs x--=-=⎰.于是, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x x x s --=. 从而⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x xx s . 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )1ln(1100x dx x dx x xx n n --=-==⎰⎰∑∞=,所以, 当x ≠0时, 有)1ln(1)(x xx s --=,从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .例6 求幂级数∑∞=+011n nx n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为[-1, 1). 设幂级数的和函数为s (x ), 即∑∞=+=011)(n nx n x s , x ∈[-1, 1).显然S (0)=1. 因为⎰∑∑'+=+=∞=+∞=+x n n n n dx x n x n x xs 00101]11[11)( )11( )1ln(1100<<---=-==⎰⎰∑∞=x x dx x dx x xx n n ,所以, 当1||0<<x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=.从而 ⎪⎩⎪⎨⎧=<<--=0 11||0 )1ln(1)(x x x x x s .由和函数在收敛域上的连续性, 2ln )(lim )1(1==-+-→x S S x .综合起来得⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈--=0 1)1 ,0()0 ,1[ )1ln(1)(x x x x x s .提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.11132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-n x x x x x.例7 求级数∑∞=+-01)1(n nn 的和.解 考虑幂级数∑∞=+011n nx n , 此级数在[-1, 1)上收敛, 设其和函数为s (x ), 则∑∞=+-=-01)1()1(n nn s .在例6中已得到xs (x )=ln(1-x ), 于是-s (-1)=ln2, 21ln )1(=-s , 即21ln 1)1(0=+-∑∞=n nn .。
幂级数收敛域和函数-PPT
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论
收敛区间
R—收敛半径
2.收敛半径的求法
定理2
R lim an a n
n1
例 求收敛半径和收敛域
(证明略)
(1). (1)n1 xn
n1
n
收敛域是(－1，1] 1
R lim an lim n 1
a n n1
n 1
n 1
x
=1
时
n1
(1)n1
) x
x (1 x)2
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x 1 dx ln(1 x)
0 1 x
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
1,
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn )
则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多
2. 分析运算性质ຫໍສະໝຸດ 设an xn S(x)
n0
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续;
大家有疑问的，可以询问和交
8
(4). (1)n1 (x 2)n
n1
n
设 x－2＝ t ,由(1)知
收敛域是(1,3]
(1)n1 t n
11-3幂级数
思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变， 那么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定.
例
f
(x)
n1
xn n2 ,
f ( x)
x n1 ,
n1 n
f
( x)
(
n
n2
1) xn2 n
,
它们的收敛半径都是1,
但它们的收敛域各是
[1,1], [1,1), (1,1)
作业
习题11-3 p.215 1. (1);(3);(7);(8); 2.(1);(3).
级数只在x 0 处收敛,
xn
(3) ; n1 n!
lim n
an1 an
1 lim n n
1
0,
R
,
收敛区间( , ) .
(4) (1)n
n1
2n n
(
x
1 2
)n t x12
(1)n
n1
2n t n n
lim an1 lim
a n n
n
2n n1
2
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
n0
设 lim an1
a n n
(或 lim n n
an
）则
(1)
当
0时, R
1；
收敛半径
(2) 当 0 时, R ；
规定
(3) 当 时, R 0.
证明 对级数 an xn 应用比值判别法
n0
lim
n
an1 an
x x
n1 n
lim an1 n an
x
如果极限 lim an1 存在, a n
当 x 1时, 收敛;
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(3) 若 x2为发散点, (, | x2 |) (|x2|, +)内的一
切点均为发散点. 所以,在(|x1|, |x2|)上有一分界点 r, 使得(0, r) 上 点为收敛点, (r, + )上点为发散点.
同理,在(| x2|, | x1| )上有一分界点S, 使得(S, 0) 的点为收敛点, (, S )上点为发散点, 且 r =S (为
的收敛半径及收敛区间.
x 解：将原级数改写成 x n 1 (2n 1) n 1 3
2 ( n 1)
t n1 考虑 n1 的收敛域. (2n 1) n 1 3
an1 2n 1 1 1 lim lim n an n 3( 2n 1) 3
n 0
n
x (r, r ), r min( r1 , r2 )
(2) 乘法
n n n a x b x C x n n n n 0 n 0 n 0
x (r, r ), r min( r1 , r2 )
x = 3,
故收敛区间为[1, 3)
1 发散 n 1 n
3. 幂级数的性质 设
n a x n , x (r1 , r1 ) n 0
b x
n 0 n
n
, x ( r2 , r2 )
(1) 加减法
a x b x
n n 0 n n 0 n
n
(an bn ) x
0
| x1 |
| x2 |
x
(1) 证明思路：利用级数收敛的必要条件和 正项级数比较判别
n a x 证(1): 设 n 1 收敛, 由级数收敛的必要条件知 n 0
lim an x1n 0
n
于是数列 {an x1n }1 必有界, 即存在M>0
使 | an x1n | M (n 0, 1, 2,)
x x n, 有 | an x || a x | M x1 x1
n n当| x |<| x1 |时, x1 x1 n 0
n a x 从而级数 n 绝对收敛. n 0
n
n
(2) 证明思路：反证法
n a x 证(2): 若存在x3, | x3 | > | x2 | 使 n 3 收敛, n 0
n n 0 n a x 则对于满足| x |<| x1|的所有x, n 绝对收敛； n 0
(2)若幂级数 an x 在点x x2处发散，则对
n n 0 n a x 于满足| x |<| x2|的所有x, n 也发散，如图 n 0
| x2 |
| x1 |
收敛区间.
an 1 n 1 解： lim lim n a n 2( n 1) 2 n
故 r 1 2
1 在端点x = 2, 发散. n 1 n
x = 2,
(1) n 1 收敛. n n 1
收敛区间为(2, 2] 注：用根值判别法也可得到 r = 2.
区间, 看 x = r 处收敛性而定.
x 收敛半径r 例4. n 0 n!
n n ! x 收敛半径r 0 n 0
n
xn 收敛半径为1，区间为[1, 1) n 0 n
(2) 幂级数收敛半径的求法
n a x 定理2. 给定幂级数 n n 0
若
an 1 lim n a n
均发散; (2)
a x
n 0 n
n
在整个数轴上都收敛,收敛域为
(, +)
n a x (3) 除(1), (2)两种情形外, 必存在正数r>0, 使 n n 0
在(r, r)内绝对收敛, 在(, r)(r, +)内发散.
r —— 称为其收敛半径
[r, r], (r, r), [r, r), (r, r]之一称为其收敛
xn 例6. 给定幂级数 , 求收敛域 n 0 n!
an 1 1 解： lim lim =0 n a n n 1 n
故 r = +, 收敛区间(, )
此时用根值判别法较难.
例7. 求幂级数
x 2 n 1 x3 x5 x 2 n 1 x 2 n 1 n 1 33 3 5 (2n 1) 3 (2n 1) n 1 3
rn ( x) x n x n 1 x n 2
例2中,从绝对收敛判别法可知,
sin nx 的收敛域为(, ) 2 n n 1
二、幂级数及其收敛性
1. 幂级数的收敛区间 若 un (x)=an(xx0)n, 则称级数
n 2 a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 2 0 n 0
例3. 设幂级数为
xn x 2 x3 xn n x 2 3 n n 1
求出其收敛域.
un 1 ( x) x n 1 n n 解： | x | | x | (n ) n n 1 un ( x) n 1 x
由达朗贝尔判别法知, 当 | x |<1时, 级数绝对收敛
n 1
收敛点；若 un ( x0 )发散，则称 x0为 un ( x)的
n 1 n 1
发散点. 全体收敛点的集合称为 u n ( x )的收敛域；
n 1
函数项级数的部分和： S n ( x) uk ( x)
k 1
n
函数项级数的和函数： S ( x) lim S n ( x) (在收敛域上)
n
函数项级数的余项： rn ( x) un 1 ( x) un 2 ( x)
例1中,
n 1 x 的部分和为 n 1
n 1 x S n ( x) 1 x x 2 x n1 , x 1 1 x
和函数为 S ( x) lim S n ( x) 1 , | x | 1 n 1 x 收敛域为 (1, 1), (因 | x |≥1时级数发散) 余项为
an 1 x an x n
n 1
1, 一般项不趋于零故原级数发散.
n a x 定理3. 给定幂级数 n , 若 lim n | an | n 0
n
则
1
r ( )
1
， 0
，
0，
0
证明思路：用根值判别法.
n x n 1 ( 1 ) 例5. 求幂级数 的收敛半径与 n 2 n n 1
第十一章
无穷级数
第三节
一、函数项级数
幂级数
定义1. 设un(x),(n=1, 2, 3, )是定义在某区间 I 上 的函数序列,则称表达式.
u ( x) u ( x) u ( x) u ( x)
n 1 n 1 2 n
为定义在区间I上的函数项级数.
n 1 2 n 1 x 1 x x x 例1. n 1
(1) 若0 < <+,
则当 | x | <1 即 | x | 即
1
时, 级数 | an x | 收敛,
n n 0
| a x
n 0 n
n
|
1
绝对收敛.
| x | >1即 | x |
r 1
时, 级数发散, 故收敛半径
(2) 若 = 0, 则 | x |=0 < 1, 对任何实数x,原级数 绝对收敛. (3) 若 =+, 对任意 x0, N, n>N
an ( x x0 )
n
(1)
为x0点的幂级数.
特别, x0 = 0
a x
n 0 n
n
a0 a1 x a2 x an x
2 n
(2)
称为x的幂级数.
对于幂级数,要解决两个问题： (1) 如何求出它的收敛域？ (2) 如何求出收敛域内的和函数？
1 ， 当0
则收敛半径为
r ( )
1
，
0，
0
证明思路：由比值判别法 证明：考虑 | an x |
n n 0
un 1 ( x) an 1 lim lim | x | | x| n u ( x ) n a n n
什么？)
| x2 | r | x1 |
0
| x1 | r
| x2 |
x
n a x 即 n 在| x | < r 时, 收敛 n 0
在| x | > r 时, 发散
在| x | = r 时, 不定
综上所述,幂级数收敛域必是下列情形之一：
n a x (1) n 仅在点x=0处收敛,而在其它点处 n 0
即
a0 b0 c0
a1 b1c0 b0 c1 a2 b2 c0 b1c1 b0 c2
an ck bn k
k 0
n
注：(1)两幂级数加减乘之后所得幂级数收敛半径 r' r = min(r1, r2)
1 1 x n 1 1 x n 例如 n! n! n 0 n 0