【数学】湖南省衡阳县第四中学2016-2017学年高二学业水平第一次模拟考试
湖南省衡阳县四中高考卷(一) 数学(理科)
衡阳县四中2017年高考押题卷(一)数学(理科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|y 2<x }，B ＝{(x ，y )|xy ＝－2，x ∈Z ，y ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{(2，－1)}C ．{(－1，2)，(－2，1)}D ．{(1，－2)，(－1，2)，(－2，1)} 2．若2＋a i 1＋i ＝x ＋y i(a ，x ，y ∈R )，且xy >1，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(22，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－22，2)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 3．若sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝ ( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－234．图11为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则判断错误的个数为( )图11A ．1B ．2C ．3D ．45．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P 是DC 的中点，则|P A →＋2PB →|＝( )A.822B ．2 5C ．4D ．5 6．某几何体的三视图如图12所示，若该几何体的体积为2π3，则a 的值为( )图12A ．1B ．2C ．2 2 D.327．执行如图13所示的程序框图，若输出的i ＝3，则输入的a (a >0)的值所在范围是( )图13A.[)9，＋∞B.[]8，9C.[)8，144D.[)9，1448．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ ，则称f ()x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f ()x ，给出下面4个命题：①对任意x ∈R ，都有f [f ()x ]＝1；②对任意x ∈R ，都有f ()－x ＋f ()x ＝0；③对任意x 1∈R ，都有x 2∈Q ，f (x 1＋x 2)＝f ()x 1；④对任意a ，b ∈(－∞，0)，都有{x |f ()x >a }＝{x |f ()x >b }．其中所有真命题的序号是( )A ．①④B ．③④C ．①②③D ．①③④9．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b c ＝cos A1＋cos C ，则sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，12B.⎝⎛⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎦⎤12，1D.⎣⎡⎭⎫－1，12 10．如图14所示，点O 为正方体ABCD - A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为棱B ′B 的中点，若AB ＝1，则下面说法正确的是( )图14A ．直线AC 与直线EC ′ 所成角为45°B ．点E 到平面OCD ′的距离为12C ．四面体O - EA ′B ′在平面ABCD 上的射影是面积为16的三角形D ．过点O ，E ，C 的平面截正方体所得截面的面积为6211．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E 的焦点与实轴端点，椭圆D 与双曲线E 在第一象限的交点在直线y ＝2x 上，则椭圆D 的离心率为( ) A. 2－1 B.3－2 C.5－12 D.3－22212．若函数y ＝－e 2－x 的图像上任意一点关于点(1，0)的对称点都不在函数y ＝ln(m m x e )的图像上，则正整数m 的取值集合为( )A.{}1B.{}1，2C.{}2，3D.{}1，2，3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1－x )8＋(1－x 2)4的展开式中x 6项的系数为________．14．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0表示的平面区域为D ，若存在x 0∈D ，使得y ＝2x 0＋mx 0||x 0，则实数m 的取值范围是________．15．已知圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，若A 为直线l ：x ＋y ＋m ＝0上任意一点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，且△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是________．16．已知f ()x ＝sin 4ωx －cos 4ωx ()ω>0的值域为A ，若对任意a ∈R ，存在x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，使得{y |y ＝f ()x ，a ≤x ≤a ＋2}＝[f ()x 1，f ()x 2]＝A ，设x 2－x 1的最小值为g ()ω，则g ()ω的值域为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n .a n是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求a n；(1)若{}a n是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求S n.(2)若{}18．(本小题满分12分)某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：(1)(2)若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图15所示，P A与四边形ABCD所在平面垂直，且P A＝BC＝CD＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若P A＝3，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ.图1520．(本小题满分12分)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．(1)若点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值；(2)过A ，B 分别作抛物线E 的切线l 1，l 2，若l 1与l 2交于点P ，求F A →·FB→||PF 2的值．21．(本小题满分12分)已知函数f ()x ＝ln x ＋ax ＋1x .(1)若对任意x >0，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数f ()x 有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 21x 2＋x 22x 1>2.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2－2x ＝0向左平移一个单位长度，再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的3倍得到曲线C .(1)写出曲线C 的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝322，若A ，B 分别为曲线C 及直线l 上的动点，求||AB 的最小值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f ()x ＝11＋x.(1)解不等式f ()||x >||f ()2x ；(2)若0<x 1<1，x 2＝f ()x 1，x 3＝f ()x 2，求证：13||x 2－x 1<||x 3－x 2<12||x 2－x 1.参考答案一、选择题、13．24 14.[)－4，2 15.[)－22－1，－2－1∪(]2－1，22－1 16.(]0，1 三、解答题17．解：(1)设{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，所以d ＝a 2－a 1＝3，所以a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.-------------4分 (2)设{}a n 的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15，所以a 2＝9，所以q ＝a 2a 1＝3，所以a n ＝3×3n －1＝3n ，----------------------8分所以S n ＝n ×3＋()n －1×32＋…＋2×3n －1＋3n ，①3S n ＝n ×32＋()n －1×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32（1－3n －1）1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.-------------------------12分18．解：(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P (ξ＋η≥5)＝P ()ξ＝2P ()η＝3＋P ()ξ＝3P ()η＝2＋P ()ξ＝3P ()η＝3＝13×16＋13×13＋13×16＝29.------------------------4分 (2)X 的所有可能的取值为300，400，500，600，700. P ()X ＝300＝P ()ξ＝1P ()η＝1＝13×12＝16，P ()X ＝400＝P ()ξ＝1P ()η＝2＋P (ξ＝2)P (η＝1)＝13×13＋13×12＝518，P ()X ＝500＝P ()ξ＝1P ()η＝3＋P (ξ＝3)·P (η＝1)＋P ()ξ＝2P ()η＝2＝13×16＋13×12＋13×13＝13，P ()X ＝600＝P ()ξ＝2P ()η＝3＋P (ξ＝3)P (η＝2)＝13×16＋13×13＝16，P ()X ＝700＝P (ξ＝3)P (η＝3)＝13×16＝118，所以X 的分布列为10分E (X )＝300×16＋400×518＋500×13＋600×16＋700×118＝14003.----------------------12分19．解：(1)证明：由P A ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，可得PB ＝PD ， 又BC ＝CD ，PC ＝PC ，所以△PBC ≌△PDC ，所以∠PBC ＝∠PDC . 因为PD ⊥DC ，所以PB ⊥BC .3分 因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BC .又P A ∩PB ＝P ，所以BC ⊥平面P AB .因为AB ⊂平面P AB ，所以AB ⊥BC .-------------------------5分 (2)由BD ＝BC ＝CD ，AB ⊥BC ，可得∠ABD ＝30°， 又已知AB ＝AD ，BD ＝P A ＝3，所以AB ＝1.如图所示，分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴，过B 且平行于P A 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，0，0)，P (0，1，3)，C (3，0，0)，E （32，12，32），D （32，32，0），所以PD →＝（32，12，－3)，BE →＝(32，12，32)，BD →＝(32，32，0).设平面BDE 的法向量n ＝ (x ，y ，z )，----------------------------8分则⎩⎪⎨⎪⎧BE →·n ＝0，BD →·n ＝0，即⎩⎨⎧32x ＋12y ＋32z ＝0，32x ＋32y ＝0，取z ＝－2，得n ＝(3，－3，－2)，----------10分所以sin θ＝||PD →·n ||PD →||n ＝ 32×3－12×3＋（－3）（－2）⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＋（－3）2·32＋（－3）2＋（－2）2＝338.------------12分20．解：(1)易知F (0，1)．由题意可知，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，将直线AB 的方程与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ⇒x 2－4kx －4＝0，-----------2分设Ax 1，x 214，Bx 2，x 224，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.-----------------4分因为原点O 关于点M 的对称点为C ，所以S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12||OF |x 1－x 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝16k 2＋16≥4，当k ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.----------------6分 (2)由x 2＝4y ，得y ＝x 24，则y ′＝x2，所以l 1的方程为y －x 214 ＝ x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.①同理可得l 2的方程为y ＝x 2x 2－x 224，②8分由①②得x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 1x 24＝－1，----------------10分所以点P 的坐标为(2k ，－1)，所以F A →·FB→||PF 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 214－1⎝⎛⎭⎫x 224－14k 2＋4＝16x 1x 2＋x 21x 22－4[]()x 1＋x 22－2x 1x 2＋1664k 2＋64＝ －64＋16－4（16k 2＋8）＋1664k 2＋64＝－1.------------------12分21．解：(1)由f ()x ＝ln x ＋ax ＋1x ＝ln x x ＋a ＋1x ，得f ′()x ＝1－ln x x 2－1x 2＝－ln xx2，2分 所以f ()x 在()0，1上单调递增，在()1，＋∞上单调递减，所以f ()x ≤f ()1＝a ＋1，故a ＋1<0，即a <－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1).-------------4分(2)证明：由(1)知f ()x 在()0，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由函数f ()x 有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，可知x 1∈()0，1，x 2∈()1，＋∞，------------------6分 ①若x 2∈()1，2，则2－x 2∈()0，1， 设g ()x ＝f ()x －f ()2－x ＝ln x x ＋1x －ln ()2－x 2－x －12－x ，则当x ∈()0，1时，g ′()x ＝－ln x x 2－ln （2－x ）（2－x ）2>－ln x x 2－ln ()2－x x 2＝－ln ()2x －x 2x 2＝－ln []－()x －12＋1x 2>0，所以g ()x 在()0，1上是增函数，故g ()x <g ()1＝0，即f ()x <f ()2－x ，所以f ()2－x 1>f ()x 1＝f ()x 2，而2－x 1∈()1，2，x 2∈()1，2，所以根据f ()x 在()1，＋∞上单调递减可得2－x 1<x 2，即x 1＋x 2>2.----------------------9分②若x 2∈[)2，＋∞，由x 1>0可知x 1＋x 2>2也成立.--------------------10分又x 21x 2＋x 2≥2x 21x 2·x 2＝2x 1，同理可得x 22x 1＋x 1≥2x 2，以上两式加得 x 21x 2＋x 22x 1＋x 1＋x 2≥2()x 1＋x 2， 所以x 21x 2＋x 22x 1≥x 1＋x 2>2.-------------------------------12分22．解：(1)圆x 2＋y 2－2x ＝0的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 向左平移一个单位长度，所得曲线为x 2＋y 2＝1，2分把曲线x 2＋y 2＝1上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的3倍得到曲线C ：x 23＋y 2＝1，故曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).---------------------------5分(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝322，得ρcos θ＋ρsin θ＝3，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，-----------------7分所以曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝||3cos α＋sin α－32＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－32≥12＝22，当α＝π6时取等号． 所以||AB ≥22，即||AB 的最小值为22.--------------------------------10分 23．解：(1) f ()||x >||f ()2x ，即11＋|x |>1|1＋2x |，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－12，||1＋2x >1＋||x ，-----------------2分当x ≥0时， ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－12，||1＋2x >1＋||x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1＋2x >1＋x ，得x >0； 当－12<x <0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－12，||1＋2x >1＋||x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <0，1＋2x >1－x ，该不等式组无解； 当x <－12时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－12，||1＋2x >1＋||x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－1－2x >1－x ，得x <－2. 所以不等式f ()||x >||f ()2x 的解集为()－∞，－2∪()0，＋∞.---------5分 (2)证明：因为0<x 1<1，所以 x 2＝f ()x 1＝11＋x 1>12， ()1＋x 1()1＋x 2＝()1＋x 1⎝⎛⎭⎫1＋11＋x 1＝2＋x 1. 因为0<x 1<1，所以2<2＋x 1<3， 所以2<()1＋x 1()1＋x 2<3，所以13<1()1＋x 1()1＋x 2<12.------------8分又||x 3－x 2＝⎪⎪⎪⎪11＋x 2－11＋x 1＝||x 2－x 1()1＋x 1()1＋x 2 ，所以13||x 2－x 1<||x 3－x 2<12||x 2－x 1.-------------10分。
数学---湖南省衡阳市衡阳县四中2016-2017学年高二下学期第一次学业水平考试
湖南省衡阳市衡阳县四中2016-2017学年高二下学期第一次学业水平考试一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱 C．圆台 D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．参考答案1．【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解析】∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解析】根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解析】要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解析】模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解析】∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解析】∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解析】∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解析】不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解析】∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解析】根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．2【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解析】log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．±3【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解析】∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．5【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解析】由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．4【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解析】a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．45°【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解析】由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解析】（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
湖南省衡阳市衡阳县四中_学年高二数学上学期模块试卷(含解析)【含答案】
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 26．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 67．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．点评：本题考查复合命题的真值判断，属基本题．3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F （l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 2 ．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原命题为假命题，然后，分别写出它的其它三种形式的命题，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．解答：解：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），可得，8=﹣2m，即有m=﹣4，则抛物线的方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：导数的几何意义．分析：先对函数f（x）求导，然后令导函数等于0得到关于a，x的关系式，再由基本不等式可求出a的范围．解答：解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S△OPQ=|OQ|d=∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB 的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．解答：解：（Ⅰ），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴AB的中点坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）①当k≠0时，AB的中垂线方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴斜率k的取值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2，f（0）=﹣3建立方程组，解之即可得到答案；（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x 的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f¢（x）=2ax+b．由题设可得：即解得所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）g（x）=f（x2）=x4﹣2x2﹣3， g′（x）=4x3﹣4x=4x（x﹣1）（x+1）．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +f（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n 的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x ﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g （t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：x （﹣∞，1+） 1+（1+，1） 1 （1，+∞）f′（x）＜0 0 ＞0 0 ＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．。
湖南省衡阳市衡阳四中高二(上)期中数学(理)试卷
2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c2．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1} 3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4B．C．4D．4．在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣76．等比数列a n中，a1=2，q=2，S n=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．67．若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C 等于（）A．B．或C．D．9．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值10．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形11．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．812．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=．14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．15．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是a＞﹣1．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】根据函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）的单调性，进而得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒成立又∵g（x）=x2﹣x+a在hslx3y3h2，+∞）单调递增∴g（2）=2+a＞1恒成立即a＞﹣1故答案为：a＞﹣1【点评】本题考查的知识点是对数不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据对数函数的性质，将总是转化为一个二次函数恒成立问题是解答的关键．16．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．故+的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2015春•武威校级期末）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．18．（12分）（2010秋•万盛区校级期末）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．【分析】先由不等式：（x﹣1）（x+a）＞0，得出其对应方程（x﹣1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（10分）综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（12分）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．19．（12分）（2014春•连江县校级期末）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；正弦定理的应用．【分析】（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin （A+B）利用两角和公式求得sinC的值．（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）sinA==，sinB==，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．（2）由正弦定理知=，∴AC=•sinB=×=，=BC•AC•sinC=×5××=．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．注重了对学生综合素质的考查．20．（12分）（2014•宁波模拟）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由于b n==，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），由已知得：，即，解之得：，∴a n=2n﹣5，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n==，n≥1．T n=+++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得：T n=+2（++…+）﹣=﹣+，∴T n=﹣1﹣（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2014春•黄岛区校级期末）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题22．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．。
湖南省衡阳市衡阳县四中高二数学上学期1月段考试卷理(含解析)
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A． B． C． D． 1二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为．8．y=在点（1，1）处的切线方程．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．10．若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）1月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则实数m的值为（）A． 3 B． 2 C． 1 D．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：平面向量及应用．分析：利用l1⊥l2，可得其方向向量=0，解得m即可．解答：解：∵l1⊥l2，∴=1×（﹣2）+2×3﹣2m=0，解得m=2．∴实数m的值为2．故选：B．点评：本题出考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．3．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（）A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况．解答：解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1，x2，x3，x4．由导函数的图象可知：当x∈（a，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（x2，x3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x4，b）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1，x=x4时函数取得极大值．故选B．点评：本题考查了利用导函数研究函数的极值，由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单调性，连续函数在某点处先增后减，该点是极大值点，先减后增，该点是极小值点．此题是中档题．4．函数f（x）=x2﹣ln2x的单调递减区间是（）A．（0，] B． [，+∞） C．（﹣∞，﹣]，（0，） D． [﹣，0），（0，）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，令导函数小于0，解出即可．解答：解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤，故选：A．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．5．函数f（x）=x（1﹣x2）在[0，1]上的最大值为（）A． B． C． D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，令导函数为求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最大值．解答：解：∵f（x）=x﹣x3∴f′（x）=1﹣3x2令f′（x）=0得；所以当故答案为A点评：求函数在给定区间上的最值问题，应该先通过求导函数判断出函数的单调性，求出函数的极值，再求出区间端点对应的函数值，从中选出最值．6．曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A． B． C． D． 1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解答：解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选A点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7．函数y=x•e1﹣2x的导数为e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据复合函数的导数的运算法则，求导即可，解答：解：y′=x′•e1﹣2x+x•（e1﹣2x）′=e1﹣2x+x•e1﹣2x•（1﹣2x）′=e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x故答案为：e1﹣2x﹣2x2•e1﹣2x点评：本题考查了复合函数的导数的运算法则，属于基础题8．y=在点（1，1）处的切线方程x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程．解答：解：由题意得，，∴在点（1，1）处的切线斜率k=﹣1，则在点（1，1）处的切线方程是：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题．9．抛物线的方程是y=x2﹣1，则阴影部分的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：利用定积分表示阴影部分的面积，利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．解答：解：由题意，阴影部分的面积为S=（1﹣x2）dx+（x2﹣1）dx=（x﹣）+（﹣x）=．故答案为：．点评：本题考查定积分知识的运用，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于基础题．10．（6分）（2014秋•衡阳县校级月考）若函数f（x）=（2x2+ax）•e x的单调递减区间为（﹣3，﹣），则实数a的值为 3 ．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x，e x＞0，所以根据函数单调性和函数导数符号的关系即可得到不等式2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，﹣），所以x=﹣3，便是一元二次方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根，从而根据韦达定理即可求出a．解答：解：f′（x）=[2x2+（4+a）x+a]e x；∵f（x）的单调递减区间为（﹣3，）；∴f′（x）＜0的解为；即2x2+（4+a）x+a＜0的解为（﹣3，）；∴x=﹣3，﹣是方程2x2+（4+a）x+a=0的两实根；∴根据韦达定理；∴a=3．故答案为：3．点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及根据导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11．已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1，（1）若a=3，试讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，+∞）内为增函数，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知先求f′（x）=3x2﹣3，令3x﹣3=0 得：x=±1，通过讨论f′（x）＞0或f′（x）＜0即可得f（x）的单调性．（2）有f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，可得a≤3x2在（1，+∞）恒成立，从而解得a的取值范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2﹣3．令 3x2﹣3=0 得 x=±1当 x＞1 或 x＜﹣1 时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1 时，f′（x）＜0．因此 f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上为增函数，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．（2）因为f′（x）=3x2﹣a，且f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即3x2﹣a≥0在（1，+∞）恒成立，所以a≤3x2在（1，+∞）恒成立，即a≤3．故a的取值范围是（﹣∞，3]．点评：本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，属于中档题．12．设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）求满足条件的所有实数a，使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数与函数单调性的关系求得函数的单调区间；（2）e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，等价于，由（1）的结论求得函数的最值，解不等式组解得即可．解答：解：（1）∵f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0．∴函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2x+a=由于a＞0，即f（x）的增区间为（0，a），f（x）的减区间为（a，+∞）．（2）由题得，f（1）=a﹣1≥e﹣1，即a≥e，由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增要使e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立只要解得a=e．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求函数的最值等问题，考查恒成立问题的转化求解能力，属中档题．。
数学卷·2016届湖南省衡阳县第四中学高二学业水平模拟考试(二)(2015.04)
高二学业水平模拟考试数 学 第I 卷一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合{13}A x x =≤≤，{}2B x x =>，则A B 等于 ( ) A.{23}x x <≤ B. {1}x x ≥ C.{23}x x ≤< D.{2}x x >2. 与－π6角终边相同的角是( )A. π6B. π3C. 11π6D. 4π3 3.直线l 与直线310x +=垂直，则直线l 的斜率为 ( ) A ．33 B ．－33C ． 3D ．－ 34.定义域为R 的四个函数32,2,,2sin x y x y y x y x ====中，奇函数的个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 15.甲、乙两人下棋，甲获胜概率为40﹪,甲不输的概率为90﹪，则甲、乙下成和棋为 （ ） A. 60﹪ B. 30﹪ C.10﹪ D. 50﹪6．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )（第6题图）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台7.若0<x ，则xx 1+的最大值是 （ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 28．如图所示，算法流程图的输出结果为 ( )（第8题图）A. 34B. 16C. 1112 D ． 25249.下列大小关系正确的是 （ ）A. 3log 2>5log 2>2B. 3log 2>2>5log 2C. 5log 2>2>3log 2D. 2log 5>2log 3>210．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么为 ( )A. 1123AB AD -B.1142AB AD +C. 1132AB AD +D.1223AB AD -(第10题)图）第II 卷二.填空题:（本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）11.某校高二年级8个班参加合唱比赛的得分如面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数为______和____(第11题图) 12.)37sin(π-的值是_____________; 13．已知向量a =(3,4), 向量b =(2,k ),若a ⊥b ，则实数k 的值是____________;14. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，且bc c b a ++=222，则角A 的值是____________;15.设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数y x z 5+=的最大值为4，则m 的值是_______________.三.解答题：(本大题共5小题,共52分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分6分)已知sin α＝35，0<α<π2，求cos α和sin(α＋4π)的值．17. (本小题满分8分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，对角线AC 与BD 相交于点E ，平面P AC垂直底面ABCD ，线段PD 的中点为F .（第18题图）(1)求证：EF ∥平面PBC ； (2)求证：BD ⊥PC .对某个品牌的U 盘进行寿命追踪调查，所得情况如下面频率分布直方图所示. （1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ； （2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个U 盘，寿命为1030万次之间的应抽取几个；（3）从（2）中抽出的寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”的概率.(第18题图)频率/组距0.014010 20 30 50 600.02 0.040y 万次数列{}n a 的前n 项和为n S ,且213n n S a =-(n ∈N +). （1） 判断数列}{n a 是什么数列？ （2） 求数列}{n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分10分）已知圆C ：02422222=-+--+a ay x y x (a ∈R )的圆心在直线02=-y x 上. （1）求实数a 的值;（2）求圆C 与直线l ：()047)1(12=--+++m y m x m (m ∈R )相交弦长的最小值．学业水平测试模拟试卷（二）数学答案一．选择题（1）A ； （2）D ； （3）C ； （4）D ； （5）D ； （6）B ； （7）B ； （8）C ； （9）C ； （10）D ；二．填空题(11).91.5; 91.5 （12）32- （13）32-； （14）32π； （15）3．三.解答题16.解：由sin 2α＋cos 2α＝1，及0<α<π2，sin α＝35，得cos α＝1－sin 2α＝45. 3分所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210. 6分17. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴E 为线段BD 的中点．又∵点F 为线段PD 的中点，∴EF ∥PB .又∵PB ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC . 4分 (2)∵平面P AC ⊥底面ABCD ，平面P AC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊂底面ABCD ，由四边形ABCD 菱形，可得BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC . 8分18. 解：（1）11004.01002.0201001.00=⨯+⨯++⨯y015.00=∴y .................................................................................................. 2分 （2）10~30万次之间的U 盘所占频率为25.010015.01001.0=⨯+⨯ 设10~30万次之间的U 盘应抽取x 个，25.020=x，5=∴x ................................ 4分 （3）10~20万次应抽取201.01020=⨯⨯个，设为21,a a ， 20~30万次应抽取3015.01020=⨯⨯个，设为321,,b b b ，寿命落在1030万次之间的元件中任取2个元件，一切可能结果组成的基本事件空间为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Ω）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（21231322123221113121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b b b a b a b a b a a a b a b a a a a a“抽取的两个U 盘恰好有一个寿命为1020万次,，一个寿命为2030万次”为事件A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=）（）（）（）（）（）（231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a A ,53106)(==A P . .................................................... 8分 19.解：(1)当1n =时，111213a S a ==-，解得135a =， 当2n ≥时，1122(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---，得152n n a a -=，所以125n n a a -=， 所以数列{}n a 是以35为首项，25为公比的等比数列. ..................................................... 3分 (2)由（1）知：132()55n n a -=，所以132()55n n na n -=()01213232323212...155555555n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12123232323212...1555555555n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 得11332323232...-555555555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112222...-5555n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21-25225525-1---535533515nn n n nn T n n n ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-................................. 8分20.解：（1）圆C 的方程可化为25)122=+a y x --（）（，将圆心坐标（1,a ）代入直线方程02=-y x 中，得2=a ...................................................................................................... 4分(2)∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 恒过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)． .................................................................... 7分由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2＝225－5＝4 5. ............................................................ 10分。
湖南省衡阳县第四中学2016-2017学年高二学业水平第一
衡阳县四中2017年高中学业水平第一次模拟考试地理考试时量90分钟，满分100分。
一、选择题（本大题包括25个小题，共50分，每小题只有一个正确答案）北京时间2013年4月2日7时46分45秒，智利西北部附近海域发生8.0级地震，海浪约高6.9英尺(约合2.1米)。
智利是世界地震频繁的国家之一。
据此回答1—2题。
1.根据自然灾害的成因分类，地震属于( )A.气象灾害B.海洋灾害C.生物灾害D.地质地貌灾害2.地震发生时智利当地时间晚上为8时46分45秒，智利所用时间为( )A.西五区B.西四区C.西三区D.西六区美国宇航局(西五区) 于2015年9月28日上午11时30分宣布在火星表面发现了“液态高盐水”，这是根据火星勘测轨道飞行器(MRO)携带的光谱仪传回的高分辨率图像与数据，研究人员做出的分析。
据此完成3～4题。
3. 不包含火星的天体系统是A．地月系 B. 太阳系C．银河系 D. 总星系4．美国宇航局获得的火星高分辨率图像与数据，借助的地理信息技术是A.GIS技术B.RS技术C.GPS技术D.GPRS技术读某区域1月4 日海平面等压线分布图（图2），回答5—6题。
5．此时图中①地的天气状况是( )A．晴朗干燥B．高温多雨C．低温阴雨D．狂风暴雨6．此时图中①、②、③、④四地风速最大的是( )A．①B．②C．③D．④图为“澳大利亚局部剖面示意图”，读图完成7～8题。
7．乙地所在区域的地质构造是A．背斜B．向斜C．地垒D．地堑8．乙地和丙地植被类型不同，主要体现了A．从沿海向内陆的地域分异规律(经度地带性)B．由赤道到两极的地域分异规律(纬度地带性)C．山地的垂直地域分异规律(垂直地带性)D．非地带性现象读“水循环示意图”，回答9～10题。
9．图中②代表的水循环环节是( )A．降水B．水汽输送C．地表径流D．蒸发10．我国“南水北调"工程体现了人类活动对图中哪个环节施加影响( )A．①B．②C．③D．④读“甲、乙两国人口出生率、死亡率和自然增长率示意图”，回答第11～12题。
精品：湖南省衡阳县第四中学2016-2017学年高二下学期学业水平第一次模拟考试化学试题(解析版)
考试时量90分钟，满分100分。
本卷可能用到的相对原子质量：H—1 Na—23 Cl—35.5第一部分必做题（80分）一、选择题（只一个答案，22个小题，第题2分，共44分）1．以下是一些常用的危险品标志，在烟花爆竹包装箱上应贴上（）【答案】B【解析】A．烟花爆竹为易爆炸品，图标为有毒物品，故A错误；B．烟花爆竹为易爆炸品，图标为爆炸品，故B正确；C．烟花爆竹为易爆炸品，图标为易燃液体，故C错误；D．图标为腐蚀品，烟花爆竹为易爆炸品，故D错误；故选B。
【点睛】明确烟花爆竹具有易爆炸的特点及相应的警示标记的应用范围是解答本题的关键，难点是分清每个警示标记代表的意义；常见的化学标志：物品回收标志；中国节能标志；禁止放易燃物标志；节水标志；禁止吸烟标志：中国环境标志；绿色食品标志；当心火灾--易燃物质标志等。
2．中科院南京土壤研究所专家通过3年探索土壤中，初步揭开了“长寿之乡”如皋“寿星”多的秘密：与当地土壤中硒含量息息相关。
科研人员发现，当地百岁老人的血液中硒含量比正常人高3倍。
硒有抗衰老的作用。
这里的“硒”应理解为()A．元素 B．原子 C．分子 D．离子【答案】A【解析】这里的硒是指元素，它们存在于构成物质的化合物中，故选A。
3．考古中常利用14 6C测定一些文物的年代。
14 6C核素的中子数为：（）A．6 B．8 C．14 D．20【答案】B【解析】由614C可知，元素符号左下角的数字为质子数，即质子数为6，元素符号左上角的数字为质量数，即质量数为14，在原子中质子数+中子数=质量数，则614C原子核内中子数为14-6=8，故选B。
4．下列物质中，既属于铵盐又属于硝酸盐的是：（）A．KNO3 B．NH4Cl C．NH4NO3 D．CuCl2【答案】C【解析】A．硝酸钾属于硝酸盐，但是不属于铵盐，故A错误；B．氯化铵属于铵盐，不属于硝酸盐，故B错误；C．硝酸铵能电离出铵根离子和硝酸根离子，既属于铵盐有属于硝酸盐，故C正确；D．氯化铜既不属于铵盐也不属于硝酸盐，故D错误；故选C。
湖南省衡阳县第四中学高二数学1月段考试题 文
湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二数学1月段考试题 文1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是（ ）A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R)，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为（ ） A ．－13B ．－12C ．13D ．123．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图像可以为（ ）5.已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)等于________．6．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为________．7．函数f (x )＝e xcos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为8．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程9.已知函数2()2ln f x x a x =+.（1）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （3在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.参考答案8.解析：（1）,1320'+=x y 令0),,(0000<x y x P40-=∴y ，所以），的坐标为（4-1-0p （2）由0l l ⊥得即0174=++y x 。
9．解析：（1a a f +=+=424)2(')(x f 在（2，f(2)）处的切线斜率为1,所以314-=∴=+a a（2）有（1）得x x x f ln 6)(2-+=由⎩⎨⎧><00)('x x f 得)(x f 增区间为)(x f 减区间为)(x g 在[1,2]上递减,所以对于0)(],2,1['≤∈x g x 恒成立在]2,1[为减函数。
湖南省衡阳县第四中学高二1月段考数学(理)试题
一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1、设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1 D.122、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55 B.53C.255D.353、函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22 D ．⎣⎡⎭⎫－22，0，⎝⎛⎦⎤0，22 5、函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.386、曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D ．1二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7、函数y ＝x ·e 1－2x 的导数为________．8、曲线y ＝1x在点P (1,1)处的切线的方程为________．9、如图，抛物线的方程是y ＝x 2－1，则阴影部分的面积是________．10、若函数f (x )＝(2x 2＋ax )·e x 的单调递减区间为(－3，－12)，则实数a 的值为________．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11、 已知函数f (x )＝x 3－ax －1，（1） 若a=3，试讨论f (x )的单调性．（2）若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数， 求a 的取值范围．12、设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．参考答案一、选择题：二、填空题7. 8. 9． 2 10. 3三、解答题11.解,若则令,有或故f(在(- 和(1,+递增,在(-1,1)递减.（2）（在（1，+上恒成立即在(1,+上恒成立所以12.解答的定义域是（0，+时有两个根舍去)所以f(x)在(0,a)递增,在(a,+递减(2)要对恒成立即1-e且(i)若,(ii)则在递减所以若在递增在递减若在递增。
湖南省衡阳县第四中学高二数学1月段考试题 理
湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二数学1月段考试题理一、选择题（本题6小题，每题6分，共36分）1、设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1 D.122、如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( ) A.55B.53C.255D.353、函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0，⎝⎛⎦⎥⎤0，22 5、函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.386、曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D ．1二、填空题（本题4小题，每题6分，共24分）7、函数y ＝x ·e 1－2x 的导数为________．8、曲线y ＝1x在点P (1,1)处的切线的方程为________．9、如图，抛物线的方程是y ＝x 2－1，则阴影部分的面积是________．10、若函数f (x )＝(2x 2＋ax )·e x 的单调递减区间为(－3，－12)，则实数a 的值为________．三、解答题（本题2小题，每题20分，共40分）11、 已知函数f (x )＝x 3－ax －1，（1） 若a=3，试讨论f (x )的单调性．（2）若f (x )在区间(1，＋∞)内为增函数， 求a 的取值范围．12、设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．参考答案一、选择题：二、填空题7. 8. 9． 2 10. 3三、解答题11.解,若则令,有或故f(在(- 和(1,+递增,在(-1,1)递减.（2）（在（1，+上恒成立即在(1,+上恒成立所以12.解答的定义域是（0，+时有两个根舍去)所以f(x)在(0,a)递增,在(a,+递减(2)要对恒成立即1-e且(i)若,(ii)则在递减所以若在递增在递减若在递增。
湖南省衡阳县第四中学2016-2017学年高二12月学科联赛数学(理)试题扫描版含答案
参考答案一、选择题1-5：ABCAA 6-10: DBCBD二、填空题13. (0,2) 14. 411- 15. ︒75 16. 1134422=+y x 三、解答题17、已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.18、已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6， a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0. 解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝4(1－3n )．19已知,R a ∈命题：p 221236x y a a +=-表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；命题：q 不等式R x a x 的解集为016)4(2>+++．若q p ∧是真命题，求a 的取值范围．解：.是真命题是真命题，且，q p q p ∴∧ …………………2分 当是真命题时，有p63206302->>->a a a a 解得： 620<>>a a a26a <<故p ： …………………8分 当是真命题时，有q 0488164)4(22<-+=⨯-+a a a解得412<<-a …………………11分 综上所述，42<<a …………………12分20(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2， 所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c ＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1 两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1.22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA ⊥OB ，求k 的值．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。
湖南省衡阳县四中届高三下学期第一次模拟考.docx
高中数学学习材料唐玲出品湖南省衡阳县四中2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题1．本试卷满分为150分； 2．考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器； 3．所有题目均做在答题卷上．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是 （ ）A ．),3()1,3(+∞⋃-B ． ),2()1,3(+∞⋃-C ． ),3()1,1(+∞⋃-D ． )3,1()3,(⋃--∞3．函数2143x y x x -=++-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数4．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+> 5．下列四个函数中，在区间（-1，0）上为减函数的是（ ）A ．x y 2log =B ．y=cosxC ．xy )21(-=D ．31x y =6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为122+=x y ，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．7个7．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 （ ）A. 0B. 21C. 1D. 258．.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( ) A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意R x ∈，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且(1)()0x f x '-<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则c b a ,,三者的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出4组函数： ①2()f x x =，()23g x x =-； ②()f x x =，()2g x x =+；③()x f x e -=，1()g x x=-； ④()ln f x x =，1()2g x x =-； 其中在区间(0，)+∞上存在“友好点”的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分. (一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11.（选修4-5：不等式选讲）函数x x y -+-=51的最大值等于 ．12.（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，则AB = ．13. （几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ， 若PA=4，PC=5，则CBD ∠= ______．14．设p ：x 2－x －20>0,q ：212-+x x <0,则p 是非q 的 条件.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()121f x f x f x -+=+，当()0,4x ∈时，()21f x x =-，则f （2010）＝__________。
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湖南省衡阳县第四中学2016-2017 学年
高二学业水平第一次模拟考试
时量120 分钟，满分100 分。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，满分40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝ {0 ， 1， 2} ， N＝ { x} ，若 M ∪N＝ {0 ， 1， 2， 3} ，则 x 的值为 ()
A ．3B．2
C．1 D ．0
2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为
A. 圆柱
B. 圆锥
C.圆台
D. 球
3.在区间内任取一个实数，则此数大于 3 的概率为
12
A. B.
55
34
C. D.
55
4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为 1，则输出 y 的值是
A.2
B.3
C.4
D.5
．已知向量＝
(1，
2)
，＝，
4)
，若 a ∥
b
，则实数
x
的值为
()
5a b(x
A ．8
B ． 2C．－ 2
D．－ 8
6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600， 400， 800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45 名学生进行座谈，则高一、高
二、高三年级抽取的人数分别为()
A ．15， 5，25B． 15， 15， 15
C．10， 5， 30D． 15，10， 20
7.如图，在正方体ABCD － A 1B1C1D 1中，直线
BD 与 A 1C1的位置关系是
A. 平行
B. 相交
C.异面但不垂直
D. 异面且垂直
8.不等式 (x＋ 1)(x － 2) ≤0的解集为
A.{x|－ 1≤ x≤ 2}
B. {x|－ 1＜ x＜ 2}
C. {x|x≥2
x≤－ 1} D. {x|x＞ 2 或x＜－ 1}
或
9．已知两点P(4， 0)， Q(0， 2)，则以线段PQ 为直径的圆的方程是()
A ．(x＋ 2)2＋( y＋1) 2＝ 5B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 10
C．(x－2) 2＋ (y－1) 2＝ 5D． (x＋ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 10
10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点 A 、B到点 C 的距离 AC ＝ BC ＝ 1km ，且∠ ACB ＝
120 ，则 A 、 B 两点间的距离为()
A ． 3 km
B ． 2 km
C．1.5km D ．2km
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分20 分．
11．计算：log21＋ log24＝ ____________。
12．已知1， x， 9 成等比数列，则实数x＝ ______。
13．已知点(x，y)在如图所示的平面区域(阴影部分)
内运动，则z＝ x＋ y 的最大值是____.
14.已知 a 是函数f(x) ＝ 2－ log 2x的零点，则实数 a 的值为_____。
15.如图1，在矩形ABCD中， AB ＝ 2BC，E、F 分别是AB 、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图 2 中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为 ___________。
三、解答题：本大题共 5 小题，满分40 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分 6 分)已知sin 4 , 52
（1）求tan
（2） sin22sin cos的值
3sin 2cos2
17． (本小题满分8 分 )某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100 位职员的早餐日平均费用(单位：元 )，得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清。
(1)试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8 元？
频率
组距
a
0.10
0.05
024681012 早餐日平均费用（元）
（第 17题图）
18.(本小题满分8 分 )
已知等比数列 {a n} 的公比 q＝ 2，且 a2， a3＋ 1， a4成等差数列。
(1)求 a1及 a n；
(2)设 b n＝a n＋n，求数列 {b n} 的前 5 项和 S5。
．已知二次函数2满足 f (0) 6, f (1) 5
f (x)x ax b
19
（1）求函数 f (x) 解析式
（2）求函数 f (x) 在 x [2, 2] 的最大值和最小值
20.(本小题满分10 分 )
已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x－3＝ 0。
(1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长；
(2) 直线 l 经过坐标原点且不与y 轴重合， l 与圆 C 相交于A(x 1,y1)、 B(x 2,y2)两点，求证：11
为定值；
x1x2
(3) 斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、 E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大。
参考答案
一、选择题题号12345678910
答案A C B B B D D A C A 二、填空题11、 2；12、 3； 13、 5； 14、 4； 15、45(或)
4
三、解答题
16. 解：（ 1）sin 4 ,cos 3
, tan4
5253（2） sin22sin cos tan2 2 tan8 3sin 2cos23tan 2157
17、解： (1)高一有200
1200 120(人 )，高二有20012080 (人)；2000
(2) Q频率为0.015100.03100.025100.005100.75 ，
人数为 0.75 20001500 (人)。
18.解： (1)由已知得a2＝ 2a1， a3＋ 1＝ 4a1＋1， a4＝ 8a1，又 2(a3＋ 1)＝ a2＋ a4，所以 2(4a1＋ 1)＝ 2a1＋ 8a1，解得 a1＝ 1(2 分 )，故 a n＝a1q n-1＝ 2n-1(4 分 )；
n
2n-1＋ n，所以 S
5123451( 251) (1
5) 5
＝46(8 分)
(2) 因为 b＝＝ b＋ b＋ b ＋b ＋b ＝212
19. (1)Q f (0)b6a2
f (x)x2 2 x6；
f (1)a b 1 5b6
(2) Q f ( x)x22x6( x1)25, x[2,2] ，
∴x＝ 1 时， f(x) 的最小值为5，x＝－ 2 时， f(x) 的最大值为 14。
20.解：(1) 配方得 (x＋ 1)2＋ y2＝ 4，则圆心 C 的坐标为 (－ 1，0)(2 分 )，圆的半径长为 2(4 分 )；
(2) 设直线 l 的方程为 y＝ kx ，联立方程组
x 2y 22x30
y kx
2223
消去 y 得 (1＋ k)x＋ 2x－3＝ 0(5 分 )，则有：x1 x 21k 2, x1 x 2 1 k 2(6 分)
所以
1
1x1x 2
2
为定值 (7 分)。
x1x 2x1 x 23
(3) 解法一设直线 m 的方程为 y＝ kx ＋b，则圆心 C 到直线 m 的距离d| b1| ，
2
所以|DE| 2 R2 d 2 2 4 d 2(8分)，
S
CDE 1
| DE | d 4 d 2 d≤( 4 d2)d 2 2
，22
当且仅当 d4d 2，即 d 2 时，△CDE 的面积最大 (9 分)
从而| b
1 |2，解之得 b＝ 3 或 b＝－1，
2
故所求直线方程为x－ y＋ 3＝0 或 x－ y－1＝ 0(10分 )解法二由 (1)知 |CD|＝ |CE|＝ R＝ 2，
所以
S CDE 1
|CD|| CE | sin DCE2sin DCE ≤2，2
当且仅当 CD ⊥ CE 时，△CDE 的面积最大，此时|DE| 22(8分)
设直线 m 的方程为 y＝x＋ b，则圆心 C 到直线 m 的距离d| b 1| (9分)
2
由
|DE |2R 2 d 2 2 4 d 2 2 2 ，得d 2 ，
由 | b 1|2，得 b＝ 3 或 b＝－ 1，
2
故所求直线方程为x－ y＋ 3＝0 或 x－ y－1＝ 0(10分 )。