多元函数的无条件极值
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
用无条件极值判定多元函数条件极值
用无条件极值判定多元函数条件极值用无条件极值判定多元函数条件极值------------------------------------------------------------------多元函数的极值是指在定义域内，函数值变化最快的点，其特征为函数在极值点处切线垂直于坐标轴。
要求多元函数极值，一般采用导数法、无条件极值判定法、拉格朗日乘子法、几何法等方法。
### 一、导数法使用导数法来求多元函数极值，即通过计算函数的偏导数，使得偏导数等于0，从而得到极值点。
要想使用导数法求多元函数的极值，首先要计算出函数的一阶、二阶、三阶偏导数，然后将偏导数代入极值条件，即等于0，从而解出极值点。
### 二、无条件极值判定法无条件极值判定法是通过直观上判断函数在某一区间内是否存在极大值或者极小值，也就是判断函数在区间内的单调性。
例如，如果在某个区间内，函数的取值都是递增的，那么就说明该函数在该区间内有极小值；如果在某个区间内，函数的取值都是递减的，那么就说明该函数在该区间内有极大值。
### 三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种可以快速计算多元函数极值的方法。
这种方法将原来的多元函数变为一元函数，通过一元函数来求解多元函数的极值。
该方法的关键在于将原函数中的约束条件（如非负性约束、单调性约束、可行性约束等）用乘子的形式表达出来，然后将乘子代入原函数中，将原函数变为一元函数，最后使用一元函数的求解方法来解决该问题。
### 四、几何法几何法是通过图形直观表示来求多元函数极值的方法。
该方法通过在相应的图形上画上该函数的图形，然后由图形上的相应特征来判断该函数是否存在极大值或者极小值。
这种方法一般用于解决二元函数或者三元函数的问题。
总之，用无条件极值判定法来求多元函数条件极值是一种有效的方法，它不仅可以快速的找到多元函数的极值，而且还可以很好的发现多元函数的特性。
88多元函数极值
在点(1, 2)处, AC–B2=12(–6)<0, 在点(–3, 0)处,
AC–B2=(–12)6<0, 所以f(–3, 0)和f(1, 2)不是极值;
在点(–3, 2)处, AC–B2= –12(–6)>0, 且A= –12<0,
所以函数在点(–3, 2)处有极大值f(–3, 2)=31.
推广: 如果三元函数 u=f(x, y, z) 在点P(x0, y0, z0)处 具有偏导数, 则它在点P(x0, y0, z0)处有极值的必要条件 为: fx(x0, y0, z0)=0, fy(x0, y0, z0)=0, fz(x0, y0, z0)=0.
仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的点, 称为此函数的驻点.
的存在性可知: 这时长方体在第一卦限顶点的坐标为:
(a , b , c )
333
最大长方体的长宽高分别为: 2a , 2b , 2c .
最大体积为:
8abc . 3
3
3
解二:
作变量替换:
33 X
x,
Y y,
Z z.
a
b
c
问题变成在单位球面X2+Y2+Z2=1内求内接长方体
的最大体积问题.
例2: 求由方程 x2+y2+z2–2x+2y–4z–10=0 确定的隐
函数z=f(x, y)的极值.
解: 在方程两边分别对x, y求偏导, 得
2 x 2 y
2z 2z
zx zy
2 2
4zx 4zy
0 0
由函数取极值的必要条件知, 求驻点. 令
zx 0, zy 0, 得驻点P(1, –1). 在上述方程组两边再分别对x, y求偏导数, 得
4多元函数的极值
4多元函数的极值及其求法一、无条件极值1、f(x，y)=sin x+cos y+cos(x－y)(0≤x，y≤π/2)P116 8.8.4解：f x= cos x－sin(x－y)f y= －sin y+sin(x－y)⇒cos x=sin y解得驻点：P1(0，π/2)、P2(π/2，0)、P3(π/3，π/6)、P4(π/6，π/3)、P5(π/4，π/4)只有P3上A= f xx= －sin x－cos(x－y)|P3=－√3B= f xyx= cos(x－y)|P3=√3/2C= f yy= －cos y－cos(x－y)|P3=－1AC－B2= (－√3)(－1)－(√3/2)2=√3－3/4>0，P3极大值点极大值f(π/3，π/6)=3√3/22、求由x2＋y2+z2－2x+2y－4z－10 = 0 确定的隐函数z=z(x，y)的极值解：P116 8.8.5[一] 2x+2zz x－2－4z x= 0 z x=(1－x)/(z－2)2y+2zz y－2y－4z y= 0 z y=(1＋y)/(z－2)⇒驻点(1，－1)对应P(1，－1，6)、Q(1，－1，－2)A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|P=－1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|P=0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|P=－1/4AC－B2= (－1/4)(－1/4)－02>0，A<0，在P达到极大值6A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|Q =1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|Q =0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|Q=1/4AC－B2= (1/4)(1/4)－02>0，A>0，在Q达到极小值－2[二] (x－1)2＋(y＋1)2＋(z－2)2=42z极大=2＋4=6，z极小=2－4=－2二、条件极值1、求z=x2＋y2，在条件x＋y=1下的条件极值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
2-8多元函数的无条件极值_992507264
故f (x0 )不是极小值.
综上,H f x0 (x x0)不定, f (x0)不是极值.
*(4)若H f (x0) 0半正定,则存在y ¡ n,s.t. yTH f (x0 ) y 0, y 1.
[否则, y ¡ n,yT H f (x0 ) y 0.记H f (x0 ) (aij ).令
f
x0
(x
x0 )
(x x0 )T H f x0 (x x0 ) (x x0 )
f (x) f (x0 )
(x x0 )T H f x0 (x x0 ) (x x0 )
(1)若H f (x0)正定,则其各阶主子式都 0.由f 的二
阶连续可微性,存在 0,当 x x0 时,
当(x, y, z) (1, 1, 6)时,
A zxx 1/ 4, B zxy 0,C zyy 1/ 4.
A 0, AC B2 0,故z 6为极大值. W
例2: 求f (x2 y2)e(x2y2)的极值.
解: Step1, 求驻点.由
fx 2x(1 x2 y2)e(x2y2) 0
xnx2
L
L M L
2 f
x1xn 2 f
x2xn M
2 f xn2
M0
为f 在点M0的Hasse矩阵.
Thm. n元函数f 在x0 (x10 , x20,L , xn0 )的邻域中二阶 连续可微, gradf (x0 ) 0, (1)若H f (x0 )正定,则f (x0 )严格极小. (2)若H f (x0 )负定,则f (x0 )严格极大. (3)若H f (x0 )不定,则f (x0 )不是极值. (4)若H f (x0 ) 0半正定,则f (x0 )不是极大值. (5)若H f (x0 ) 0半负定,则f (x0 )不是极小值.
ch7-6-多元函数求极值
umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产 品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂 的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成 本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函 数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元 ，原料单价为200元，则在投入30000元资 金用于生产情况下，如何安排劳动力和原 料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价 分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大 利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：
解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
大学多元函数的极值问题
大学多元函数的极值问题多元函数的极值问题是微积分中的重要内容之一。
在大学数学课程中，研究多元函数的极值问题，不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质，还可以应用于实际问题的解答和优化。
一、多元函数的定义和性质多元函数是指依赖于两个或更多个变量的函数。
例如，f(x, y)是一个关于变量x和y的函数。
多元函数的定义域是所有定义函数的变量取值所组成的集合。
我们可以用类似于一元函数的方法，来求解多元函数的导数、连续性等性质。
二、多元函数的极值条件多元函数的极值通常需要通过偏导数来确定。
对于二元函数f(x, y)，偏导数的定义为函数 f 对某一个变量的导数。
当偏导数等于零时，可能存在极值点。
然而，仅仅满足偏导数等于零的条件，不足以确定极值点，还需要进行二阶偏导数的判定。
三、多元函数的极值求解方法1. 使用偏导数法：通过求解偏导数方程组来找到多元函数的极值点。
先求得一阶偏导数，然后令其等于零，求解方程组即可得到极值点。
2. 使用拉格朗日乘子法：在某些特殊情况下，多元函数的极值问题需要满足一定的条件。
拉格朗日乘子法可以有效地解决这类问题，通过引入拉格朗日乘子，将带有条件的极值问题转化为无条件的极值问题。
3. 使用二阶偏导数判定：通过求解二阶偏导数，并进行判定，确定极值点的类型。
当二阶偏导数为正时，存在极小值点；当二阶偏导数为负时，存在极大值点；当二阶偏导数既正又负时，不存在极值点。
四、多元函数的极值应用实例多元函数的极值问题广泛应用于各个领域。
在经济学中，通过求解函数的极值，可以找到最大化或最小化利润的方案；在物理学中，通过求解函数的极值，可以确定物体的最稳定状态；在工程学中，通过求解函数的极值，可以找到最优的设计方案。
总结：多元函数的极值问题是数学中的重要课题，通过求解偏导数、拉格朗日乘子法和二阶偏导数，我们可以找到多元函数的极值点，并应用于各个领域的实际问题中。
在学习过程中，我们需要进行大量的计算和推导，以提高对多元函数的理解和运用能力。
多元函数的极值解读
3
又
定义域为 r 0, h 0. 解方程组
S 2 rH 2 r r 2 h2 2V 4 rh 2 r r 2 h2 r 3
S 2V 4 4 r 2 2 h 2 2 h 0 2 2 r 3 r r h S 4 r 2 rh 0 3 r 2 h2 h
所以 B AC 4 0, 而A 0, 故函数在点（0，1） 取得极小值，为0。
2
例2 求函数z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 的极值。 解：此函数的定义域为 {( x, y) | x R, y R}
解方程组
z 3 4 x 2x 2 y 0 x z 4 y3 2 x 2 y 0 y
z 62 (8)2 12 6 16 (8) 100
在D的边界上，将 x 5 cos , y 5 sin , 0 2 代入函数中得
由于 0 2 , 所以在边界上函数的最大值为 125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上 的最大值为125，最小值为-100。 例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的 圆锥形中空浮标，如图。 在体积V是一定量的情况 下，如何选择圆柱和圆锥 的尺寸，才能使制作的材 料最省？
( 1)
k
( 1)
k
2 1 e 1 )(1) k 2
k为 奇 数 k为 偶 数 k为 奇 数 k为 偶 数
2 e 1 [(1) k (1) k 1 2] 1
2 2 2 B AC 0 ( 1 e ) ( e ) 0, z无极值。 k 故当 为奇数时，
二 多元函数的最值
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值问题类似，多元函数的极值问题也是求函数在定义域内取得最大值或最小值的问题。
然而，由于多元函数的自变量不止一个，因此其极值点的判定和求解方法相对复杂一些。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、多元函数的定义与极值概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
在多元函数中，我们关心的是函数在定义域内取得的极值，即最大值和最小值。
极值点包括极大值点和极小值点，极大值点是函数在该点取得最大值的点，极小值点是函数在该点取得最小值的点。
二、多元函数的极值判定方法对于多元函数的极值问题，我们通常使用以下方法进行判定：1. 求偏导数：首先计算多元函数的偏导数，求出所有偏导数为零的点，这些点可能是极值点。
2. 求二阶偏导数：对于偏导数为零的点，计算二阶偏导数，通过二阶偏导数的符号来判定该点是极大值点、极小值点还是鞍点。
3. 应用极值定理：根据多元函数的定义域和边界条件，应用极值定理来确定函数的极值点。
通过以上方法，我们可以比较准确地找到多元函数的极值点，并判断其为极大值点还是极小值点。
三、多元函数的极值定理在多元函数的极值问题中，有一些重要的极值定理可以帮助我们更好地理解和解决问题，其中最为重要的是费马定理和拉格朗日乘数法。
1. 费马定理：对于多元函数$f(x,y)$，如果在点$(x_0,y_0)$处取得极值，且该点为内点（即不在定义域的边界上），那么该点处的偏导数必须为零，即$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$。
2. 拉格朗日乘数法：对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以使用拉格朗日乘数法来求解。
多元函数的极值
课堂练习 求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解 取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理 定理 即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即 即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理 定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值 一元函 数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到 必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令 即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算
高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算高中数学备课教案多元函数的极值与条件极值的计算导言：多元函数的极值和条件极值在高中数学中扮演着重要的角色。
通过计算多元函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，帮助我们解决实际问题。
本教案将重点介绍多元函数的极值和条件极值的计算方法。
一、多元函数的极值1.1 极值的概念在单变量函数中，我们已经学习了极值的概念。
对于多元函数，极值的定义也类似。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果在特定点(x₁₀,x₂₀, ..., xn₀)处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于）f(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)，那么这个点就被称为函数的极小值（或极大值）点，相应的函数值就是函数的极小值（或极大值）。
1.2 极值的判定要判定一个多元函数的极值，我们可以使用以下方法：1）求偏导数，令偏导数为0，解方程组，找到可能的极值点；2）求二阶偏导数，根据二阶偏导数的性质，判断极值点的类型。
1.3 举例说明考虑函数f(x, y) = x² + y² - 2x - 4y + 1，我们来求解该函数的极值。
解：首先，求偏导数：∂f/∂x = 2x - 2∂f/∂y = 2y - 4令偏导数为0，解方程组：2x - 2 = 02y - 4 = 0解得x = 1，y = 2，因此极值点为(1, 2)。
然后，求二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2∂²f/∂x∂y = 0∂²f/∂y² = 2计算得到二阶偏导数的值。
根据二阶偏导数判断极值点的类型：当∂²f/∂x² > 0，∆= ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² > 0 时，极值点为极小值点；当∂²f/∂x² < 0，∆ < 0 时，极值点为极大值点；当∆ = 0 时，判定不出来。
多元函数无条件极值求法
多元函数无条件极值求法多元函数无条件极值的求法是求解多元函数在定义域内的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
一般来说，求解多元函数的无条件极值可以分为以下几个步骤：确定定义域、求解偏导数、列出极值方程组、解方程组、判断极值。
首先，确定多元函数的定义域是求解无条件极值的关键。
定义域可以通过多元函数的定义来确定，也可以通过约束条件来确定。
如果定义域是由多个不等式条件给出的，可以利用这些条件进行求解。
其次，求解多元函数的偏导数。
对于多变量函数，要求它的极值点，首先要对每个自变量求偏导数。
偏导数是多元函数对于一个自变量的导数，可以通过对其他自变量保持不变，对某一个自变量求导得到。
然后，列出极值方程组。
将求得的偏导数分别设置为0，得到一个形如f'x=0,f'y=0,...,f'n=0的方程组。
这个方程组的解是可能的极值点。
接着，解方程组。
利用常见的代数方法，比如消元法、代入法等，求解这个方程组，得到各个自变量的值，也就是极值点。
最后，判断极值。
将求得的解代入多元函数中，求得对应的函数值。
比较函数值，找出最大值和最小值。
根据实际问题的要求，可以判断出这个点是极大值点还是极小值点。
需要注意的是，在实际求解中，可能会出现求解方程组时无解、有无穷多解的情况。
这时需要通过其他方法进行判断，例如利用雅可比矩阵进行判断，或者通过函数图形的拐点进行判断。
此外，还有一些特殊情况需要注意，比如多元函数的定义域是闭区间，则需要额外考虑边界值；还有可能出现多个极值点的情况，可以通过比较函数值来确定哪个是最大值、最小值。
综上所述，求解多元函数的无条件极值是一个比较复杂的过程，需要确定定义域、求解偏导数、列出极值方程组、解方程组、判断极值等多个步骤。
在实际求解中，需要灵活运用数学知识和方法，结合具体问题进行分析和判断，才能准确求解多元函数的无条件极值。
多元函数的无条件极值和条件极值
多元函数的无条件极值和条件极值多元函数的无条件极值和条件极值在数学中是重要的概念。
它们帮助我们确定函数的最大值和最小值，并在优化问题中起到关键作用。
在本文中，我们将介绍无条件极值和条件极值的概念，以及如何找到它们。
首先，我们来看无条件极值。
一个多元函数的无条件极值是指在整个定义域上的最大值和最小值。
换句话说，无论函数在哪个点取值，它们的值都是最大或最小的。
要找到一个函数的无条件极值，我们可以使用多元微积分中的极值判定法。
举个例子，假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2。
我们想要找到这个函数的无条件极值。
首先，我们计算函数关于 x 和 y 的偏导数，分别是∂f/∂x = 2x 和∂f/∂y = 2y。
然后，我们令这两个偏导数等于零，并解方程组。
解得 x = 0 和 y = 0。
将这些解代入原函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们得到 f(0, 0) = 0。
所以，函数 f(x, y) = x^2 + y^2 在点 (0, 0) 上取得无条件极小值，即最小值为 0。
接下来，让我们来看条件极值。
条件极值是指在给定一组条件下的最大值和最小值。
在求解条件极值时，我们需要使用拉格朗日乘数法。
这个方法允许我们将约束条件纳入考虑，并找到函数在满足约束条件的情况下的最优解。
假设有一个条件极值的例子，我们要最小化函数 f(x, y) = x^2+ y^2，同时满足约束条件 g(x, y) = x + y = 1。
首先，我们定义一个拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。
然后，我们计算L(x, y, λ) 关于 x、y 和λ 的偏导数，并将它们都设为零。
解方程组后，得到 x = 1/2、y = 1/2 和λ = -2。
接下来，我们将这些解代入函数 f(x, y) = x^2 + y^2 中，得到f(1/2, 1/2) = 1/2。
多元函数的极值与最优化问题
设每张CD 28 元，每个U盘 80 元，问他如何分配这 2000 元以达到最佳效果．
一般地，所谓条件极值，就是求 在附加条件： 问题的实质：求
求条件极值的方法主要有两种：
01
的无条件极值.
02
拉格朗日乘数法
03
将条件极值转化为无条件极值
04
下的可能极值点.
05
步骤：
1 构造函数
)
,
(
)
,
求函数
解 第一步 求驻点.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步
解方程组
的极值.
求A、B、C的值，并列表判别
12
0
6
极小，
72
-5
解
例5
P
即
01
驻点为
02
(
03
1
04
1
05
)
06
函数在 P 有极值 故
二、多元函数的最值
依据 (这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程)
要设计一个容量为
则问题为求
令
解方程组
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小.
x , y , z 使在条件
试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,
例8-4
得唯一驻点
因此 , 当高为 思考: 提示: 利用对称性可知, 提示: 长、宽、高尺寸相等 .
由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
2x,
故长方体的体积
2y,
h - z.
浅谈多元函数的极值问题
浅谈多元函数的极值问题摘要：最优化问题是近代应用数学的一个新的分支，是一门应用相当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。
关键词：无约束极值、条件极值、汉森（Hessian ）矩阵。
引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约束极值问题又称为无条件极值问题。
例如 求函数61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值，就属于无条件极值的问题。
但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V 的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则表面积为 S xy yz xz z y x ++=)(2),,(依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求（0,0,0>>>z y x ），而且还必须满足条件 V xyz =这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）一：无约束极值与条件极值的关系一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件V xyz =，将z 用V 、x 、y 表示出来即xyVz =，并将其代入表面积公式得 xy xV y V z y x S ++=)(2),,(这样就把条件极值转化成了条件极值了，一些条件极值带有多个条件，按上面方法进行可得到一个多元函数方程组，将其转化成无条件极值，我们可以通过解方程组得到解答，但有一些方程组我们不容易解出，甚至解不出来，这就要利用下面将要的拉格朗日乘数法。
二：无约束极值定义：设n 元函数u=f(X)定义在开集Ω⊂n R 上，如果存在的某邻域U(0X ,δ)⊂Ω，恒有f(X)≤f(0X )，则称点0X 为f 的极大值点； f(X)≥f(0X )，则称点0X 为f 的极小值点。
极大值、极小值统称为极值。
函数取得极值的点称为极值点。