最新 2020届湖南省长沙市明达中学高复部高考数学第三次模拟试题
高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题：1.已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ▲ ．2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．4.平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ．5.如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程 为 ▲ ．8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ． 11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ▲ ．14.在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点 在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；13 xy O（第11题）·1-1（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域．17.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆 弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值； 若不存在，说明理由．20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ． （1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21.A 选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．21.B 选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．21.D 选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=．23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．。
学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理(含解析)
学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，集合，所以，故选D．考点：集合的运算．2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为，故选C．考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属于基础题．3.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，，若，则（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】,所以,选B.5.猜商品的价格游戏，观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，低了；低了；高了；高了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线与互相垂直”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与互相垂直，则，解得或即“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件．故答案选7.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对，变形即可判断．【详解】令，，则，，即因为a>b>c>1，所以，所以logbc<logac不正确．故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题．8.对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,,必须是相交直线,所以A错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面外,所以B错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D. 根据面面垂直的性质可知, 必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】对于函数，它的最小正周期为=π，故排除A；令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；把函数图象向右平移个单位长度，可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；在区间上，∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C．10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角6种．以此类推．有3*6*6种可能．11.函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先画出可行域，然后把z＝x+2y变形为直线，通过平移直线发现当这直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．【详解】画出可行域又z＝x+2y可变形为y x，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立得点A的坐标为（2，3），所以zmax＝2+2×3＝8．故答案为8【点评】本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题15.化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，取的三等分点为，可证得为四面体外接球的球心，再结合长度关系可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取的中点，连接，，取的三等分点为，使得，则为等边的中心.由于平面平面，且交线为，，平面.而，所以为等腰直角三角形，且为的外心，所以，又，所以为四面体外接球的球心，其半径.故四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空间想象，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列公差为，由题意得，解得（2）由（1）得18.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由. 【答案】（1）（2）①分布列见解析；（元）；②应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）①先由（1）计算出的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；②根据题意求出的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由题意，当时，利润；当时，利润；综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；（2）①由（1）可得，当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以的分布列为：所以（元）；；②由题意，加工个蛋糕时，当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；的分布列如下：6600.1则从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到答案.（2）分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，H为的中点.同理G为的中点，所以，因为，所以，又且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以.又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面（2），，，，，所以.分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.所以，则二面角的大小为【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可；（2）由（1）知的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为，.当，即时，，函数在上单调递增. 当时，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当函数有最大值时，，且最大值，此时，即.令.故在上单调递增，且∴等价于，∴，故a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数对含参函数的单调性进行讨论，以及利用导数求解不等式.属导数综合题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．（1）试求抛物线的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点直角三角形．①求证：直线恒过定点；②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，是以为直径的圆（除去点.【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称．因此AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）①由题意可设直线PQ的方程为：x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出结论；②设N（x，y），根据MN⊥NH，可得0，即可得出．【详解】（1）解依题意，设，，则由，得，即，因为，，所以，故，，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，，故抛物线的方程为.（2）①证明由题意可设直线的方程为，，，由，消去，得，故，，.因为，所以.即.整理得，，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.②解设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【选修4-4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）把曲线的极坐标方程化成，利用可得其直角坐标方程.（2）把直线的参数方程改写为，利用的几何意义求出的长度，再把直线的参数方程化为普通方程，计算到直线的距离后可计算的面积.详解：（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，得，设两点对应的参数分别为，则，于是，直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以.点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程（为直线的倾斜角，为参数）来简化计算，因为的几何意义是、之间的距离.23.已知为正数,且,证明:(1)；(2).【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）将a+b+c＝2平方，然后将基本不等式三式相加，进行证明；（2）由，三式相乘进行证明.【详解】(1)将a+b+c＝2平方得:，由基本不等式知:，三式相加得:，则所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立(2)由，同理则，即当且仅当时等号成立【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.学校2020届高三数学三诊模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，集合，所以，故选D．考点：集合的运算．2. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,由于模长为2，不成立，对于B,由于模长为5，不成立，对于C，由于满足模长为1，成立，对于D，模长为，故选C．考点：复数的几何意义点评：解决的关键是根据复数的几何意义来得到点的坐标，进而判定模长是否为1即可，属于基础题．3.命题“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列的前项和为，，若，则（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【解析】,所以,选B.5.猜商品的价格游戏，观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：高了! 观众甲：主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，低了；低了；高了；高了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.6.“直线与互相垂直”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线与互相垂直，则，解得或即“直线与互相垂直”是“”的必要不充分条件．故答案选7.设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数与指数式互化，对，变形即可判断．【详解】令，，则，，即因为a>b>c>1，所以，所以logbc<logac不正确．故选D【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题．8.对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线线和线面与面面的平行与垂直的判定和性质判断即可.【详解】A. 根据线面垂直的垂直的判定定理可知,,必须是相交直线,所以A错误.B. 根据直线和平面平行的判定定理可知,必须在平面外,所以B错误.C. 根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所以C正确.D. 根据面面垂直的性质可知, 必须垂直于的交线才有.所以D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定与性质,需要根据题意找到满足的条件,属于基础题型.9.已知函数，则下列结论中正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于点对称C. 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】对于函数，它的最小正周期为=π，故排除A；令x=，求得f（x）=，故函数f（x）的图象不关于点对称；故排除B；把函数图象向右平移个单位长度，可以得到函数y=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故C满足条件；在区间上，∈（，），函数f（x）单调递减，故排除D，故选C．10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】A【解析】首先1、5、9颜色确定，有三种可能，于是2、6就只有两种可能．如果2、6颜色相同的两种情况下，3就有4种可能．若2、6颜色不同，则只有一种可能，加之2、6排列不同，2种．于是右上角6种．以此类推．有3*6*6种可能．11.函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D【解析】【分析】求函数的导数，先求出，然后利用辅助角公式进行化简，求出A，B的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数，则，则，则，则，，，，即，则，得，，即，则，则，则，则，即是等腰钝角三角形，故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数和的解析式是解决本题的关键．12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据的周期和对称性得出不等式在上的整数解的个数为3,计算的值得出的范围.【详解】因为偶函数满足,所以,所以的周期为且的图象关于直线对称,由于上含有50个周期,且在每个周期内都是轴对称图形,所以关于的不等式在上有3个整数解,当时,,由,得,由,得,所以函数在上单调递增,在上单调递减,因为,,所以当时,,所以当时,在上有4个整数解,不符合题意,所以,由可得或,显然在上无整数解,故而在上有3个整数解,分别为,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题考查了函数的周期性,考查了函数的对称性,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了一元二次不等式,属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.【答案】【解析】【分析】根据二项分布方差计算公式计算出结果.【详解】由于满足二项分布，故.【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先画出可行域，然后把z＝x+2y变形为直线，通过平移直线发现当这直线过点A 时其在y轴上的截距最大，则问题解决．【详解】画出可行域又z＝x+2y可变形为y x，所以当该直线经过点A时z取得最大值，联立得点A的坐标为（2，3），所以zmax＝2+2×3＝8．故答案为8【点评】本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，考查数形结合，确定最优解是关键，是中档题15.化简： ________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案为【点睛】本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16.已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，取的三等分点为，可证得为四面体外接球的球心，再结合长度关系可求得r,利用球的表面积公式即得解.【详解】取的中点，连接，，取的三等分点为，使得，则为等边的中心.由于平面平面，且交线为，，平面.而，所以为等腰直角三角形，且为的外心，所以，又，所以为四面体外接球的球心，其半径.故四面体外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了四面体的外接球的表面积，考查了学生空间想象，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列公差为，由题意得，解得（2）由（1）得18.某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量14①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.【答案】（1）（2）①分布列见解析；（元）；②应加工17个，详见解析【解析】【分析】（1）根据题意，分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）①先由（1）计算出的可能取值，结合题中条件，即可得出分布列，进而可求出期望与方差；②根据题意求出的可能取值，得出期望，与①比较大小，即可得出结论.【详解】（1）由题意，当时，利润；当时，利润；综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；（2）①由（1）可得，当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以的分布列为：所以（元）；；②由题意，加工个蛋糕时，当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；的分布列如下：6600.1则从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.【点睛】本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.19.如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若，，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】。
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试理科数学试题(学生版)
14.函数
f
(x)
=
cos(2x
+ )(0
) 在区间 −
6
, 6
上单调递减，在区间
−
6
,0
上
有零点，则 的取值范围是________.
15.如图，在棱长为 2 的正四面体 S − ABC 中，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ ⊥ 底面
ABC ，垂足为 Q ，若 PS = 3 2 PQ ，则 PC 长度的最小值为______ 4
长沙市明达中学高复部 2020 届高考备考第三次模拟考试
理科数学试题
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．
1.设集合， A = x y = log2 (2 − x) 若全集U = A ， B = x 1 x 2 ，则 CU B = （ ）
A. 100π
B. 54π
C. 77π
D. 300π
11.设函数
f
(x)
=
2 sin
2
x
与函数
y
=
1
1 − 2x
的图像在区间
−
3 2
,
5 2
上交点的横坐标依次
n
为 x1, x2 , , xn ，则 xi = （ ） i =1
A. 4
B. 2
C. 0
D. 6
12．已知点 P 是曲线 y = sin x +ln x 上任意一点，记直线 OP（ O 为坐标系原点）的斜率为 k ，Leabharlann P(B | A) = （ ）
A. 3 3 4
B. 3 2
6.求值：4cos 50°－tan 40°＝( )
湖南省长沙市明达中学2020届高三下学期高考押题试卷(十)理科数学试题
长沙市明达中学2020年高考押题考试试卷（十）理科数学（教师版）本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z 满足 ( 1+ i ）z= | -4 i | ,则z=A.2+2iB.1+2iC.2-2 iD.1-2i 2. 若集合{}{}2ln(23),23A y y x x B x x ==--=-<,则AB=A.{x|x ≤-1}B. {x|x >3}C. {}13x x -<<D. {}35x x << 3. 圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（）A.mm+nB.nm+nC.4mm+nD.4nm+n4. 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 95. 2020年湖北抗击新冠肺炎期间,全国各地医护人员主动请缨,支援湖北.某地有3名医生.6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院,每家医院1名医生、2名护士,则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为A.16 B. 12 C. 18 D. 136. 将函数f(x) = cosx 的图象先向右平移56π个单位长度,在把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在3(,)22ππ上没有零点,则ω的取值范围是( )A.228(0,][,]939⋃2.(0,]9BC.28(0,][]99,1⋃.(0,1]D7. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n 项和N 满足：★N >80★N 是2的整数次幂，则满足条件的最小的n 为A.21B.91C.95D.108. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点E 、F 分别在棱C 1C ，D 1C 1上,且C 1E=2EC ，D 1F=2FC 1，下列命题:★异面直线BE ，CF 所成角的余弦值为310; ★过点B,E,F 的平面截正方体,截面为等腰梯形; ★三棱锥B 1 -BEF 的体积为32;★过B 1作平面α,使得AE★α,则平面α. 其中所有真命题的序号为A.★★B.★★★C.★★★D.★★★★9. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点C 关于平面BDC 1的对称点为M ，则AM 与平面ABCD 所成角的正切值为A.√2B.√22C.√3D.210.★ABC 中, sin 2sin cos sin A B C B C +==,则cosC=A.12 B. 2 C. 12- D. 2-11.已知f′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (2)=0，当x ≠0时，f′(x )>2x f (x )，则不等式(x −1)f (x )<0的解集为（）A.(−∞,−2)∪(0,2)B.(−2,0)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪(1,2)D.(−2,0)∪(1,2)12.已知不等式x -3lnx+ 1≥mlnx+n (m,n★R,且m≠-3)对任意实数x> 0恒成立，则33n m -+的最大值为( ) A.-2ln2 B.-ln2 C.ln2- 1 D.ln2-2二、填空题（每题5分，满分20分.）13.已知实数x 、y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,则 z= 3x+y+1的最大值为_____14.函数()(2)xf x x e =-在点(2,f(2))处的切线方程为________________15.过抛物线C:x 2=y 的焦点F 作两条互相垂直的弦AC ，BD,则四边形ABCD 面积的最小值为_________________16.如图有标号为1,2,3的三根柱子,在1号柱子上套有n 个金属圆片,从 下到上圆片依次减小.按下列规则,把金属圆片从1号柱子全部移到3 号柱子,要求:★每次只能移动一个金属圆片;★较大的金属圆片不能在 较小的金属圆片上面.(1)若n=3时,至少需要移动______次;(2)将n 个金属圆片全部移到3号柱子,至少需要移动_______次.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且(2)tan tan a b B b C -= （1）求角C ；（2）若cos cos 2a B b A +=，求2a b +的最大值。
2020年湖南省重点中学高三仿真模拟考试理科数学试题-含答案
.(/01'213#!4 1&5 4 1 % 6&3 *" 6!7 5 4 1 8 9 : ; < / - =&> ? . - @ A B 1 C D
E:!
槡 #!34AB $%*&)#&!'&'!&"+&3%*##&"&!+&= $53%
槡 .&*##&!+
(&*##&"+
槡 /&*"&!+
槡 0&*##&"&!+
#! ! $
.&#!
(&#%
/&4'*
0&4#*!
F (G H 1 '2 1 3 $ 4 1 &5 4 1 % 6 &3 !" 6 !
#'!3
4
w
((('
y4$%
##&"$&4(((3' %
#"&!$&4(((-' %
#G&!$!O
f
$&3&-
;
h
_
^
_
`
D
^
É
Y
f
&=
>
7GDº源自»5!!!!!槡 #$!3 4 )#&$%&'"##5 Ú C 7 &= ?#&$%&!'"&': D 8 K L 5 ! ! ! ! ! #-&!
湖南省长沙市明德中学2020届高三数学上学期第三次阶段检测(9月月考)试题理(扫描版)
此时函数f(x)在区间(0， ]上为减函数,在区间[ ，e]上为增函数，
而当x趋于零时，f(x)趋于正无穷,且最小值为f( ).
要使f(x)=m在区间(0,e]上有两个不同的根,则f( )<m⩽f(e).
又0<m⩽1,且f( )⩽f(1)=0，
故只要f(e)⩾1,得a⩽ ，而 > ，从而有a⩽ .
∵直线l与圆O：x2+y2= 相切，
∴ ，得3b2=8k2+8，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则 =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2…（*）
由 得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2-8=0，
x1+x2＝− ，x1x2＝ ，代入（*）式得
=(1+2k2)×
∴OE⊥OF；
当直线EF垂直x轴时，验证可知也满足OE⊥OF，
=（0，2，0）， ＝(2−λ，4−3λ，2λ)，
由（1）知平面PBD的一个法向量为
=（2，2，0）．
设 =（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
，即 ，不妨取 ．
则cos ，，
因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为 ，所以
，解得λ＝ ，λ=-2（不合题意舍去）．
故存在M点满足条件，且
20.解答：
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
C
C
A
D
D
B
湖南省长沙市明达中学2020届高考模拟考试试卷1理综试卷及答案
姓名：准考证号：长沙市明达中学2020届高考模拟考试试题卷理科综合祝考试顺利！注意事项：1．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，登入精准教学通，录入系统并确认无误后提交，写在本试卷上无效。
2．回答第Ⅰ卷时，先将答案写在答题卡上，再登入精准教学通，逐题正面拍照并确认无误后提交。
写在本试卷上无效。
可能用到的相对原子质量：H -1 Li-7 C-12 N-14 O-16 Na-23 S-32 Cu-64第Ⅰ卷一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、图1支原体细胞的模式图，图2是细菌细胞模式图。
下列有关说法不正确的是A.细菌的DNA不都分布在拟核区域B.二者都能通过细胞分裂完成遗传C.土壤中的腐生型细菌不能产生分泌蛋白D.支原体没有细胞壁，可能会有多种细胞形态2.下图表示通过核孔复合体的几种物质跨膜运输方式，表示中央转运体，丙和丁图中的物质在基因表达时转运比较频繁。
下列说法错误的是A.核孔复合体具有双向转运物质的特性B.若乙方式的物质转运不需要能量，则是一种协助扩散C.若甲方式的物质转运不需要转运体，最可能是一种自由扩散D.丙可以表示RNA聚合酶的运输，丁可以表示DNA的运输3.下图表示结肠癌发生的一般过程，下列说法不正确的是A.正常结肠上皮细胞中不含K-ras原癌基因B.APC抑癌基因突变可使正常结肠细胞过度增殖C.正常结肠上皮细胞凋亡后逐渐被恶性增殖细胞取代D.p53抑癌基因的突变可能是细胞分裂时DNA复制出现了差错4.果蝇的眼睛是复眼，即一个大眼睛有很多小眼睛组成。
控制红（W+）白（w）眼基因所在的X染色体片段易位到4号染色体某位置后，会使眼色基因不能表达。
基因型为XW+Xw雌果蝇常常会表现出“花斑眼”，即部分小眼表现为红眼，部分小眼表现为白眼，如图所示。
下列说法正确的是A.该花斑眼雌果蝇的后代中雄性只可能是白眼果蝇B.眼色基因片段易位的数量对“花斑眼”的表现无影响C.表现为白眼的小眼是因为细胞W+基因所在片段发生易位D.未表现“花斑眼”的雌果蝇一定没有发生颜色基因片段的易位5. 不含叶绿素的白化苗，待种子中储存的养分耗尽就会死去；采取遮光方式可使将长成绿色的韭菜长成黄色的“韭黄”。
2020届高考高三第三次模拟考试卷 理科数学(一) 含答案解析
2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。
长沙市明德中学2019-2020学年上学期高一数学第三次测试卷附答案解析
x
则
1
f
f
4
（
）
A．2
B．4
C．1
3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． f x 2x
B． f (x) x3
C．
f
x
1 x
D．0
D． f x x x
4．如图的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，二面角 D1 AB D 的大小是（ ）
f
x
x
x
在区间 , 0 和0, 上都是减函数，且在
R
上连
续，则函数 f x x x 在 R 上为减函数.
故选：D. 【点睛】 本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，熟悉一些常见的基本初等函数的基本性质是解题的关键，考 查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
则异面直线 AC 与 BE 所成的角为（ ）
A． 30
B． 45
C． 60
D． 90
10．在三棱锥 S ABC 中，三个侧面两两互相垂直，侧面 SAB, SAC, SBC 的面积分别为 1,1,2，则
此三棱锥的外接球的表面积为（）
A． 8
B． 9
C．10
D． 12
11．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 CC1 的中点， F 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1F P 平面
B． f (x) x3
C．
f
x
1 x
D． f x x x
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项.
【详解】
【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案
（8分）
（9分） （10分） （11分）
∴二面角 A1− B1C1 − B 的余弦值的大小为 −
5. 5
（12分）
19.（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）设椭圆 C1 的半焦距为 c
，依题意，可得 a
=
p 2
，则 C2
:
y2
= 4ax ，（1
分）
代入 x = c ，得 y2 = 4ac ，即 y = ±2 ac ，所以 4 ac = 4 2 ，
解得 x
⎛ A⎜
⎝
a2c a2 − b2
,
−abc a2 − b2
⎞ ⎟ ，由 ⎠
OA
=
5a得 3
⎛ ⎜ ⎝
a2c a2 − b2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎝
−abc a2 − b2
⎞2 ⎟⎠
=
25 9
a2
，
( ) ( ) 化简得 a2 − 4b2 4a2 − b2 = 0 ，解得 b = 1 或 b = 2 .由于 C 位于 A, B 之间，故 b = 1
第 17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理得 sin Asin(π − 2C) = sin C sin(π − A) = sin C sin A ， （1 分）
因为 sin A ≠ 0 ，所以 sin(π − 2C) = sin C ，
当 a =1 时， b = 4 ，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 13, c = 13 ，
2020年湖南省长沙市明德中学高考(理科)数学模拟试卷 Word解析版
2020年高考（理科）数学模拟试卷一、选择题.1．设集合A={x|y=√1−x}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足z−z=0，且z•z=4，则z＝（）A．2B．2i C．±2D．±2i3．下列说法正确的是（）A．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12”B．若命题p，￢q均为真命题，则命题p∧q为真命题C．命题p：“∃x0∈R，x02−x0−5＞0”的否定为￢p：“∀x∈R，x2﹣x﹣5≤0”D．在△ABC中，“C=π2”是“sin A＝cos B”的充要条件4．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2，|2a→+b→|=√3|2a→−b→|，则a→与b→夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．已知cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）的值为（）A．2√23B．13C．−13D．−2√226．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A ．2B ．12C ．13D ．38．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 729．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4] B ．(4，4√3] C ．(4√3，4+2√3] D ．(4+2√3，6√3]10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√511．已知f '（x ）是函数f （x ）的导函数，且对任意的实数x 都有f '（x ）＝e x （2x +1）+f （x ），f （0）＝﹣2，则不等式f （x ）＜4e x 的解集为（ ） A ．（﹣2，3）B ．（﹣3，2）C ．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）12．在三棱锥S ﹣ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，SA =SC =2√2，二面角S ﹣AC ﹣B 的余弦值是−√33，若S ，A ，B ，C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．18π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N （3，δ2），若P （ξ≥7）＝0.16，则P （﹣1≤ξ≤7）＝ ． 14．向曲线x 2+y 2＝|x |+|y |所围成的区域内任投一点，这点正好落在y ＝1﹣x 2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为 ．15．过直线l ：x +y ＝3上任一点P 向圆C ：x 2+y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为 ．16．定义在实数集R 上的偶函数f （x ）满足f(x +2)=2+√4f(x)−f 2(x)，则f （2021）＝ ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 18．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ＝PB ，∠APB ＝∠ACB ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，PB 的中点，点G 是△BCE 的重心． （1）证明：GF ∥平面PAC ；（2）若GF 与平面ABC 所成的角为60°，求二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计 绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.02420．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．21．已知函数f （x ）＝1+x ﹣2sin x ，x ＞0． （1）求f （x ）的最小值； （2）证明：f （x ）＞e﹣2x．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若|PA|+|PB|= 4√3，求直线m的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣m|（m＞﹣1）．（Ⅰ）若m＝3，求不等式f（x）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）＜2成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1．设集合A ={x|y =√1−x}，B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，2）【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ={x|y =√1−x}={x |x ≤1}， B ＝{x |（x +1）（x ﹣2）＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ≤1}＝（﹣1，1]． 故选：B ．2．已知复数z 满足z −z =0，且z •z =4，则z ＝（ ） A ．2B ．2iC ．±2D ．±2i【分析】设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ），由已知得关于a ，b 的方程组，求解a ，b 的值，则答案可求．解：设z ＝a +bi ，（a ，b ∈R ）， 由z −z =0，z ⋅z =4，得{a 2+b 2=4b =0， 即a ＝±2，b ＝0． ∴z ＝±2． 故选：C ．3．下列说法正确的是（ ）A ．“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α=π6，则sinα≠12” B ．若命题p ，￢q 均为真命题，则命题p ∧q 为真命题C ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”D ．在△ABC 中，“C =π2”是“sin A ＝cos B ”的充要条件【分析】写出否命题判断A 的正误；利用复合命题的真假判断B 的正误；命题的否定形式判断C 的正误；充要条件判断D 的正误；解：“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，所以A 不正确； 若命题p ，￢q 均为真命题，则q 是假命题，所以命题p ∧q 为假命题，所以B 不正确；命题p ：“∃x 0∈R ，x 02−x 0−5＞0”的否定为￢p ：“∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣5≤0”，所以C正确；在△ABC 中，“C =π2”⇔“A +B =π2”⇔“A =π2−B ”⇒sin A ＝cos B ， 反之sin A ＝cos B ，A +B =π2，或A =π2+B ，“C =π2”不一定成立， ∴C =π2是sin A ＝cos B 成立的充分不必要条件，所以D 不正确． 故选：C ．4．已知向量a →、b →满足|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|，则a →与b →夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【分析】根据|a →|=1，|b →|=2对|2a →+b →|=√3|2a →−b →|两边平方，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 解：|a →|=1，|b →|=2，|2a →+b →|=√3|2a →−b →|， ∴(2a →+b →)2=3(2a →−b →)2，∴4a →2+4a →⋅b →+b →2=12a →2−12a →⋅b →+3b →2， ∴4a →2−8a →⋅b →+b →2=0，即4−8a →⋅b →+4=0， ∴a →⋅b →=1，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=12，且0°≤＜a →，b →＞≤180°，∴＜a →，b →＞=60°． 故选：B ．5．已知cos （α+π6）=√33，则sin （2α−π6）的值为（ ）A ．2√23B ．13C ．−13D ．−2√22【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin （2α−π6）的值．解：∵cos（α+π6）=√33，则sin（2α−π6）＝﹣sin（5π6+2α）＝﹣sin[（2α+π3）+π2]＝﹣cos （2α+π3）＝1﹣2cos2(α+π6)=1−23=13，故选：B．6．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′(x)=1−1x=x−1x，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（0）＝0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．7．如果将函数y=√5sinx+√5cos x的图象向右平移θ(0＜θ＜π2)个单位得到函数y＝3sin x+a cos x（a＜0）的图象，则tanθ的值为（）A．2B．12C．13D．3【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=√10sin(x+π4−θ)与y=√9+a2sin（x+φ）表示同一函数，求出a和θ，可得tan θ的值．解：函数y =√5sinx +√5cosx =√10（sin x •√22+√22cos x ）=√10sin （x +π4），将其图象向右平移θ个单位后，得到函数y =√10sin(x +π4−θ)的图象． 将函数y ＝3sin x +a cos x ，化为y =√9+a 2sin （x +φ），其中tanφ=a3， ∵y =√10sin(x +π4−θ)与y =√9+a 2sin （x +φ） 表示同一函数，∴√a 2+9=√10，又a ＜0，∴a ＝﹣1，此时tanφ=−13，且π4−θ+2kπ=φ，k ∈Z ，∴θ=π4−φ+2kπ，k ∈Z ，∴tanθ=tan(π4−φ)=1−tanφ1+tanφ=2， 故选：A ．8．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A ．A 62A 72B ．A 43A 72C ．A 33A 62A 72D ．A 43A 66A 72【分析】根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，②，将6名女生全排列，排好后有7个空位，③，将分好的2组安排到7个空位中，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行分析：①，将4名男生分成1、3的两组，有C 43＝4种分组方法，其中三人组三人之间的顺序有A 33种，②，将6名女生全排列，有A 66种情况，排好后有7个空位， ③，将分好的2组安排到7个空位中，有A 72种情况， 则不同的排法有C 43A 33A 66A 72＝A 43A 66A 72种， 故选：D ．9．已知△ABC 外接圆的半径R ＝2，且2√3cos 2A2=sinA ，则△ABC 周长的取值范围为（ ） A ．(2√3，4]B ．(4，4√3]C ．(4√3，4+2√3]D ．(4+2√3，6√3]【分析】由题意求出A 的值，再利用余弦定理与基本不等式，求出b +c 的取值范围，从而求得△ABC 周长的取值范围．解：由题意知，2cos 2A 2−1=√33sinA −1，即cosA −√33sinA =−1，可化为2√3sin(A −π3)=3，即sin(A −π3)=√32；因为0＜A ＜π，所以A −π3=π3， 即A =2π3； 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理得，12＝b 2+c 2+bc ；又因为b 2+c 2≥2bc （当且仅当b ＝c 时取“＝”）， 所以12＝b 2+c 2+bc ≥3bc ，即bc ≤4； 又因为12＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ， 所以bc ＝（b +c ）2﹣12≤4，解得b +c ≤4，则a +b +c ≤4+2√3； 又因为b +c ＞a ，所以a +b +c ＞2a =4√3， 即4√3＜a +b +c ≤4+2√3；所以△ABC 周长的取值范围是(4√3，4+2√3]． 故选：C ． 10．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，则双曲线的离心率为（ ） A ．√52B ．2√33C ．2D ．√5【分析】连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，由∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为√3a 2，可得|BF 1|，|BF 2|的值，在三角形F 1F 2B 中，由余弦定理可得a ，c 的关系，进而求出离心率．解：根据题意，连接AF 1，BF 1得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示．设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x +2a ，△ABF 2的面积为√3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得√3a 2=12⋅x ⋅(x +2a)⋅√32，化简得x 2+2ax ﹣4a 2＝0，解得x1=(√5−1)a，x2=(−√5−1)a（舍），所以|BF2|=(√5+1)a，在△BF1F2中，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120°，即(2c)2=(√5−1)2a2+(√5+1)2a2−2(√5−1)a⋅(√5+1)acos120°，化简可得c2＝4a2，则双曲线的离心率为2，故选：C．11．已知f'（x）是函数f（x）的导函数，且对任意的实数x都有f'（x）＝e x（2x+1）+f（x），f（0）＝﹣2，则不等式f（x）＜4e x的解集为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【分析】用已知条件构造新函数G(x)=f(x)e x，对G（x）求导变成一元二次函数，然后解不等式即可．解：令G(x)=f(x)e x，则G′(x)=f′(x)−f(x)e x=2x+1，可设G（x）＝x2+x+c，∵G（0）＝f（0）＝﹣2，∴c＝﹣2，所以G(x)=f(x)e x=x2+x−2，解不等式f（x）＜4e x，即f(x)e x＜4，所以x2+x﹣2＜4，解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为（﹣3，2），故选：B．12．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA=SC=2√2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是−√33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．6πB．8πC．12πD．18π【分析】取AC的中点D，连接SD，BD．说明∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，在Rt△SDC中，求出BD，求出SB，判断点E为该球的球心，求出半径为√3，然后求解球的表面积．解：取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S﹣AC﹣B的平面角，故cos∠SDB=−√33．在Rt△SDC中，SD=√SC2−CD2=√6，同理可得BD=√2，由余弦定理得cos∠SDB=−√33，解得SB=√12．在△SCB中，SC2+CB2=8+4=(√12)2=SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB中点E，则SE=EB=√3，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA=SB2=√3，EC=SB2=√3，所以点E为该球的球心，半径为√3，所以球的表面积为S=4×π×(√3)2=12π．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设随机变量ξ～N（3，δ2），若P（ξ≥7）＝0.16，则P（﹣1≤ξ≤7）＝0.68．【分析】利用正态曲线的对称性可知P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，故P（﹣1≤ξ≤7）可求．解：因为随机变量ξ～N（3，δ2），且P（ξ≥7）＝0.16，∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ≥7）＝0.16，∴P（﹣1≤ξ≤7）＝1﹣2P（ξ≥7）＝1﹣2×0.16＝0.68．故答案为：0.68．14．向曲线x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域内任投一点，这点正好落在y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域内的概率为26+3π．【分析】由方程x2+y2＝|x|+|y|可画出其围成的区域，并求出面积，再利用定积分求出y ＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积，进而求概率．解：因为x2+y2＝|x|+|y|所围成的区域如下图所示的四个圆弧围成的图形，其面积S=√2×√2+2×(√22)2×π=2+π，y＝1﹣x2与两坐标轴非负半轴所围成区域的面积S1=∫10(1−x2)dx=(x−13x3)|01=23，所以概率P=S1S=232+π=26+3π．故答案是：26+3π．15．过直线l：x+y＝3上任一点P向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为[7√26，3√22)．【分析】设P（x0，3﹣x0），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．解：设点P（x0，3﹣x0），则直线AB的方程为x0x+（3﹣x0）y＝1（注：由圆x2+y2＝r2外一点E（x0，y0）向该圆引两条切线，切点分别为F，G，则直线FG的方程是x0x+y0y=r2），注意到直线AB：x0x+（3﹣x0）y＝1，即x0（x﹣y）+（3y﹣1）＝0，直线x﹣y＝0与3y﹣1＝0的交点为N(13，13)．又OQ→⋅QN→=0，因此点Q的轨迹是以ON为直径的圆（除去原点），其中该圆的圆心C坐标是(16，16)，半径是12|ON|=√26．又线段ON的中点C(16，16)到直线x+y﹣3＝0的距离等于|16+16−3|√2=4√23，因此点Q到直线l的距离的取值范围是[4√23−√26，4√23+√26)=[7√26，3√22)．故答案为：[7√26，3√22)．16．定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，则f（2021）＝2+√2．【分析】根据题意，将f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)整理变形可得f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），分析可得函数g（x）的周期为4，据此可得g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），结合函数的奇偶性分析可得g （1）的值，进而计算可得答案．解：根据题意，因为f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)，所以f(x+2)−2=√4f(x)−f2(x)，即（f（x+2）﹣2）2＝4f（x）﹣f2（x），即f2（x+2）﹣4f（x+2）＝﹣[f2（x）﹣4f（x）]﹣4，令g（x）＝f2（x）﹣4f（x），则g（x+2）＝﹣g（x）﹣4，即g（x+2）+g（x）＝﹣2，①则有g（x+4）+g（x+2）＝﹣2，②联立①②可得：g（x+4）＝g（x），故函数g（x）是周期为4的周期函数，所以g（2021）＝g（4×505+1）＝g（1），又因为f（x）是偶函数，则g（x）＝f2（x）﹣4f（x）为偶函数，又因为g（1）＝﹣g（﹣1）﹣4，所以g（1）＝﹣2，即f2（2021）﹣4f（2021）＝﹣2，解得f(2021)=2±√2，又f(x+2)=2+√4f(x)−f2(x)≥2，即f（2021）＞2，即f(2021)=2+√2；故答案为：2+√2．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且S 20202020−S 20172017=3．数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＝2﹣b n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{a nb n2}的前n 项和S n ′． 【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S nn=na 1+n(n−1)2d n=a 1+(n −1)d2，可得数列{Sn n }为一个等差数列，可得d ，S n ．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，n ＝1时，可得a 1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ．当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1，可得b n ． （2）由（1）知a nb n 2=2n−12n，利用错位相减法即可得出．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，因为S n n=na 1+n(n−1)2d n =a 1+(n −1)d2，所以{Sn n }为一个等差数列，所以S 20202020−S 20172017=3d 2=3，所以d ＝2，故S n n =n ，所以S n =n 2．n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1，n ＝1时也满足，故a n ＝2n﹣1．数列{b n }对任意正整数n 满足T n ＝2﹣b n ． 当n ＝1时，b 1＝T 1＝2﹣b 1，解得b 1＝1；当n ＞1时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝（2﹣b n ）﹣（2﹣b n ﹣1）＝b n ﹣1﹣b n ， 所以b n =12b n−1(n ≥2)．所以{b n }是以首项b 1＝1，公比q =12的等比数列，故数列{b n }的通项公式为b n =(12)n−1． （2）由（1）知a n b n 2=2n−12，所以S n ′=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，① 所以12S n ′=122+323+⋯+2n−32n +2n−12n+1，②①﹣②，得12S n′=12+22+22+⋯+22−2n−12=12+(12+12+⋯+12)−2n−12=12+12[1−(12)n−1]1−12−2n−12=12+1−(12)n−1−2n−12，所以S n ′=3−2n+32n ．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF=√3，∴OC＝3，PE＝2√3，∴AB＝4√3，CE＝2√3，OE=√3，∴OE 2+OC 2＝CE 2，∴OC ⊥AB ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣3√3，0），C （3，0，0），P （0，−√3，2√3）， AC →=（3，3√3，0），AP →=（0，2√3，2√3）， 设平面PAC 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AP →=3x +3√3y =0n →⋅AC →=2√3y +2√3z =0，取z ＝1，得n →=（√3，−1，1）， 平面PAB 的法向量m →=（1，0，0）， 设二面角B ﹣AP ﹣C 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√35=√155， ∴二面角B ﹣AP ﹣C 的余弦值为√155．19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x ．将指标x 按照[0，0.2），[0.2，0.4），[0.4，0.6），[0.6，0.8），[0.8，1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．规定若0≤x ＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当0≤x ＜0.2时，认定该户为“亟待帮住户”．工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种．（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 相对贫困户 52 总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[0，0.4）的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 k 02.0722.7063.8415.024【分析】（1）由频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率，进而求出表中的所有的值； 再求出k 2的值进而判断出有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关； （2）由题意求出贫困户和亟待帮助户的人数，进而求出随机变量X 的概率及其分布列，求出期望．解：（1）由如图所示的频率分布直方图可得0≤x ＜0.6的概率p 1＝（0.25+0.50+0.75）×0.2＝0.3，所以100户家庭的“绝对贫困户”由100×0.3＝30，由（1）的表可得“受教育水平不好”的由30﹣2＝28，由题意可得“相对贫困户”由100﹣30＝70，由表可得“受教育水平良好的”有70﹣52＝18，所以表的值为下表：；因为k 2=100(2×52−18×28)220×80×70×30=4.762＞3.841，所以有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关；（2）由题意可得100户家庭中由“亟待帮住户”有100×0.25×0.2＝5户， [0，0.4）的贫困户有：100×（0.25+0.5）×0.2＝15， 由题意可得随机变量X 的可能取值为：0，1，2， p （x ＝0）=C 102⋅C 50C 152=37，p （x ＝1）=C 101⋅C 51C 152=1021，p （x ＝2）=C 100⋅C 52C152=221， 所以X 的分布列为：，所以数学期望EX ＝0•37+1⋅1021+2⋅221=23．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，焦点为F 1，F 2，圆O 的直径为F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．记△OAB 的面积为S ，证明：S ＜√3．【分析】第一问根据椭圆的性质以及，a ，b ，c 的关系可以直接求得椭圆标准方程．第二问设出直线方程，A ，B 两点坐标，进而表示出△OAB 的面积S ，得出S 的范围． 解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，e =c a =√32，点M （0，√2）在椭圆C 上，∴b =√2，又a 2＝b 2+c 2，可解得{b 2=2a 2=8c 2=6．所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为F 1(−√6，0)，F 2(√6，0)． 所以直径为F 1F 2的圆O 的方程为x 2+y 2＝6．（Ⅱ）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx +m （k ＜0，m ＞0）． 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l 的距离为d =|m|√1+k=√6．即m 2＝6k 2+6，因为直线l 与椭圆C 相交A ，B 两点，由{y =kx +mx 2+4y 2=8，整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 {x 1x 2=4m 2−81+4k 2x 1+x 2=−8km1+4k 2△＞0．因为△＝（8km ）2﹣4×（1+4k 2）（4m 2﹣8）＝16×（8k 2﹣m 2+2）． 又m 2＝6k 2+6，所以△＝32（k 2﹣2）＞0． 所以k 2＞2． 又因k ＜0， 所以k ＜−√2．∵|AB|=√1+k2|x1−x2|=4√2√1+k2√k2−21+4k2，∴S△OAB=12|AB|⋅d==4√3×√(1+k 2)(k2−2)(1+4k2)2．设1+4k2＝t，则t＞9，则S△OAB=4√3×√(t−9)(t+3)16t2=√3×√−27t2−6t+1．令u=1t，0＜u＜19，则S△OAB=√3×√−27u2−6u+1．设h(u)=−27u2−6u+1=−27(u+19)2+43，∵h（u）在(0，19)上单调递减，所以h（u）＜1．所以S△OAB＜√3．21．已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知x∈[0，π3)时f（x）单减，x∈(π3，π]时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得cosx=1 2，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是x=π3，当x∈[0，π3)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(π3，π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为f(π3)=1+π3−√3，当x＞π时，f(x)＞1+π−2=π−1＞f(π3)，∴f （x ）的最小值为f(π3)=1+π3−√3；（2）要证x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即证x ＞0时，g （x ）＝（1+x ﹣2sin x ）e 2x ＞1， g ′（x ）＝2（1+x ﹣2sin x ）e 2x +（1﹣2cos x ）e 2x ＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ， 令h （x ）＝x ﹣sin x ，x ＞0，则h ′（x ）＝1﹣cos x ≥0，即h （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴h （x ）＞h （0）＝0，即x ＞sin x ，∴3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ＞3+2sin x ﹣4sin x ﹣2cos x ＝3﹣2（sin x +cos x ）=3−2√2sin(x +π4)＞0，∴g ′（x ）＝（3+2x ﹣4sin x ﹣2cos x ）e 2x ＞0，即g （x ）是（0，+∞）上的增函数，g （x ）＞g （0）＝1，故当x ＞0时，f （x ）＞e ﹣2x ，即得证．一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2． （1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA|+|PB|=4√3，求直线m 的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√6sinαy =√6cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝6．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=2．整理得12ρcosθ−√32ρsinθ−2=0，转换为直角坐标方程为x −√3y −4=0．（2）直线l 与x 轴的交点为P ，所以P （4，0），所以{x =4+cosθt y =sinθt （t 为参数），把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+t cos θ）2+（t sin θ）2＝6，整理得t 2+8cos θt +10＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，所以|PA|+|PB|=|8cosθ|=4√3，解得cosθ=√32或cosθ=−√32， 所以θ=π6或5π6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣m |（m ＞﹣1）．（Ⅰ）若m ＝3，求不等式f （x ）＞7的解集；（Ⅱ）若∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）将m ＝3代入f （x ）中，然后由f （x ）＞7，分x ＜﹣1，﹣1≤x ≤3和x ＞3三种情况解出不等式即可；（Ⅱ）先判断函数f （x ）的单调性，求出f （x ）的最小值，再由∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，得到f （﹣1）＝1+m ＜2，然后解关于m 的不等式即可得到m 的范围． 解：（Ⅰ）当m ＝3时，f （x ）＝2|x +1|+|x ﹣3|．∵f （x ）＞7，∴当x ＜﹣1时，原式化为﹣2x ﹣2+3﹣x ＞7，解得x ＜﹣2，故x ＜﹣2； 当﹣1≤x ≤3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞2，故2＜x ≤3；当x ＞3时，原式化为2x +2+3﹣x ＞7，解得x ＞83，故x ＞3；综上所述，不等式f （x ）＞7的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（Ⅱ）f(x)={3x +2−m ，x ＞mx +2+m ，−1≤x ≤m −3x −2+m ，x ＜−1，∴f （x ）在[﹣1，m ]和（m ，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣1]上是减函数， ∴f （x ）的最小值是f （﹣1）＝1+m ，∵∃x 0∈R ，使得f （x 0）＜2成立，∴只需f （﹣1）＝1+m ＜2，∴m ＜1，∴实数m 的取值范围是（﹣1，1）．。
2020届湖南省长沙市明达中学(高复部)高三下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前湖南省长沙市明达中学高复部2020届高三年级下学期第二次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一．选择题（每小题5分，满分60分）1.“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 计算二项展开式中存在常数项的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】二项式1n x x +（）的通项为2110r r n r r r n r n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（） 1n x x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数 4n n =⇒为正偶数,n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1n x x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选A ．【点睛】以简易逻辑为载体,考查了二项式定理,属基础题．2.关于函数()232f x x =-的下列判断,其中正确的是（ ）A. 函数的图像是轴对称图形B. 函数的图像是中心对称图形C. 函数有最大值D. 当0x >时,()y f x =是减函数【答案】A【解析】【分析】 判断函数为偶函数得到A 正确,B 错误 ,取特殊值,排除C 和D 得到答案.【详解】()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ,()23()2f x f x x -==- 函数为偶函数,故A 正确,B 错误当x →且x >时,()f x →+∞ ,C 错误3(1)3,(2)2f f =-= ,不满足()y f x =是减函数,D 错误 故选A【点睛】本题考查了函数的性质,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.3.已知向量a 和b 的夹角为3π,且2,3a b ==,则(2)(2)a b a b -+=（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+,将向量的夹角与模代入数据,得到结果．【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos 3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1, 故选D.【点睛】本题考查数量积的运算,属于基础题．4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2,则“牟合方。
精品解析：2020届湖南省长沙市明达中学高三(高复部)第二次模拟考试理科数学试题(解析版)
长沙市明达中学高复部2020届高考备考第二次模拟考试理科数学试卷一．选择题（每小题5分，满分60分）1.“4n =”是1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】二项式1n x x+（）的通项为2110r rn r r r nr n n T C x C x r n x--+==≤≤（）（） 1nx x+（）的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数4n n =⇒Q 为正偶数，n 为正偶数推不出4n =∴4n =是1nx x+（）的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件． 故选A ．【点睛】以简易逻辑为载体，考查了二项式定理，属基础题． 2.关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） A. 函数的图像是轴对称图形 B. 函数的图像是中心对称图形 C. 函数有最大值 D. 当0x >时，()y f x =是减函数【答案】A 【解析】 【分析】判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误 ，取特殊值，排除C 和D 得到答案.【详解】()232f x x =-定义域为：{x x ≠，()23()2f x f x x -==-函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x →x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误 故选A【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.3.已知向量a v 和b v 的夹角为3π，且2,3a b ==v v ，则(2)(2)a b a b -+=v v v v（ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+v vv v ，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．【详解】()()22a b a b -⋅+=v v v v 2223?2a a b b +-v v v v ＝8+3cos 3a b πv v －18＝8+3×2×3×12－18＝－1，故选D.【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A. 16 B. C.163D.1283【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球，又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ．【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题． 5.关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项.【详解】画出一个正方体ABCD EFHG -如下图所示.平面ABCD ⊥平面ADHE ，而//EH AD ，即平行于这两个垂直平面的交线，有//EH 平面ABCD ，故A 选项命题是真命题，且D 选项命题是假命题.根据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面ADHE 和平面ABFE 同时垂直于平面ABCD ，它们的交线AE 也垂直平面ABCD ，故选项C 命题是真命题.综上所述，本题选D.【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题.6.已知函数2()1f x ax x =-+，1,? 1(),? 11?1,?1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A. (0,)+∞B. (,0)(0,1)-∞UC. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞D. (,0)(0,2)-∞U【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为()f x 和()g x 函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上1x -后，再画出相应的图像.通过图像求得a 的取值范围.【详解】令2()()1h x f x x ax =+-=，()()1x g x x ϕ=+-2,121,11,1x x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩转化为()h x 与()x ϕ有两个交点时，求实数a 的取值范围，如下图，1a =时，()h x 与()x ϕ相切于(1,1)点，当0a <或01a <<时，()h x 与()x ϕ有两个交点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.解法中有三次转化，一次是()()y f x g x =-的零点问题，即()()0y f x g x =-=，转化为()()f x g x =，即两个函数图像的交点；二次是为了便于作图，两个函数都加上1x -，转化新的两个函数；三次是将函数的代数问题，转化为图形的交点来解决.7.对于函数()y f x =，如果其图象上的任意一点都在平面区域()()(){x,y |y x y x 0}+-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数：y sinx =①；2y x 1=-②( )A. ①、②均不是“蝶型函数”B. ①、②均是“蝶型函数”C. ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数”D. ①不是“蝶型函数”：②是“蝶型函数” 【答案】B 【解析】 【分析】由()g x sinx x =+，()h x sinx x =-，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断①； 由平方差公式，化简结合“蝶型函数”.可判断②．【详解】由y sinx =，设()g x sinx x =+，导数为cosx 10+≥，即有x 0>，()g x 0>；x 0<时，()g x 0<；设()h x sinx x =-，其导数为cosx 10-≤，x 0>时，()h x 0<，x 0<时，()h x 0>， 可得()()y x y x 0+-≤恒成立，即有y sinx =为“蝶型函数”； 由()()2222x 1xx 1x x 1x 10-+--=--=-<，可得2y x 1=-为“蝶型函数”．故选B ．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题． 8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A 1B 成60°角的异面直线一一列出，即得答案． 【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有：AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选B ．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．A. ()()22110x y x y--⋅-+=()22110x y x y ---+=C. ()22110x y x y ---+= 22110x y x y ---+=【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可. 【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线，故错误； B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误；C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=， ∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分， 和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误. 故选C.【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．10.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC ＝4，则角C =（ ）A. C ＝15°或C ＝45°B. C ＝15°或C ＝30°C. C ＝60°或C ＝45°D. C ＝30°或C ＝60°【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出B 的值.对sinAsinC 进行变换，最后求出结果． 【详解】因为()()a b c a b c ac ++-+=， 所以222a c b ac +-=-．由余弦定理得，2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒． 所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++122=+=， 故30A C -=︒或030A C -=-， 因此，15=︒C 或45C =︒． 故选：A【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题型．11.设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-u u u u v u u u u v u u u u v 的最小值为（ ）A. B. 4C.D. 以上都不对【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算，化简得1212222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuuu r uuu r uuu r，结合双曲线的性质，即可求解. 【详解】由题意，设O 为12,F F 的中点，根据向量的运算，可得122222MF MF MN MO MN NO +-=-=uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r uuu r ， 又由N 为双曲线22:143x y C -=上的动点，可得NO a ≥uuu r ， 所以122224MF MF MN NO a +-=≥=uuu r uuu u r uuu r uuu r， 即122MF MF MN +-uuu r uuu u r uuu r 的最小值为4. 故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（ ）A.2B.2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的几何性质，求得,E F 的坐标.利用抛物线的定义以及正弦定理，将题目所给等式转化为1cos PEFμ=∠的形式.根据余弦函数的单调性可以求得μ的最大值.【详解】由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠ 11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =Q 在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 22μ∴==,故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，还考查了正弦定理.属于中档题.二．填空题（每小题分，满分20分）13.设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则ω= ． 【答案】32【解析】试题分析：因为将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，所以+2,23T n n Z π⋅=∈，由周期公式得：+22=,3n n Z ππω⋅∈，所以3=2n ω，又因为02ω<<，所以3=2ω． 考点：函数=sin (x+)y A ωϕ的周期公式；三角函数的性质．点评：函数左右平移变换时，一是要注意平移方向：按“左加右减”，如由f(x)的图象变为f(x ＋a)(a>0)的图象，是由“x”变为“x ＋a”，所以是向左平移a 个单位；二是要注意x 前面的系数是不是1，如果不是1，左右平移时，要先提系数1，再来计算．14.天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年 【答案】戊戌 【解析】 【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求解．【详解】由题意，可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁茜年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61106÷=余1，则2078年的天干为戊，61125÷=余1，则2078年的天干为戌， 所以2078年为戊戌年．【点睛】本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，利用等差数列求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.已知平面向量a v 、b v 、c v 满足1a =v ，2b c ==v v ，且0b c ⋅=v v ，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---v v v 的取值范围是_______【答案】1,3] 【解析】 【分析】设(2,0)OB b ==u u u r r ,(0,2)OC c ==u u u r r ,OA a =uu u r r ,(1)OD d b c λλ==+-u u u r r r r,,根据向量减法的几何意义,转化为求线段BC 上的动点D 与单位圆上的动点A 之间的距离||DA uuu r的取值范围.结合图象观察可得.【详解】因为||||2b c ==r r ，且0b c ⋅=r r,所以可设(2,0)OB b ==u u u r r ,(0,2)OC c ==u u u r r ,OA a =uu u r r, 设(1)OD d b c λλ==+-u u u r r r r ,因为01λ≤≤,所以点D 在线段BC 上,因为||1a =r ,所以点A 在单位圆221x y +=上,如图”所以|(1)|a b c λλ---r r r||OA OD =-u u u r u u u r ||DA =u u u r ,则问题转化为求线段BC 上的动点D 与单位圆上的动点A 之间的距离||DA uuu r的取值范围.由图可知:当OD BC ^,且A 为线段OD 与单位圆的交点时, ||DA uuu r21,当D 与B (或)C 重合,A 为单位圆与x (或y )轴的负半轴的交点时, ||DA uuu r取得最大值2+1=3.所以|(1)|a b c λλ---r r r的取值范围是[21,3].故答案为: [21,3].【点睛】本题考查了平面向量减法的几何意义,解题关键是将|(1)|a b c λλ---r r r转化为两个动点之间的距离.属于难题.16.已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____ 【答案】ln 34【解析】 【分析】由题得222(ln ln )nm a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)tm a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 构造函数ln(1)()(2)tm g m t m t +=+，再利用导数求函数的最小值得解. 【详解】由22()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以222(ln ln )n m a n m -=-，令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)t m a t m t +=+，（[1,5]m ∈，2t ≥），显然ln(1)()(2)t m g m t m t +=+，在[1,)m ∈+∞单调递减， ∴ln(1)(1)(2)t a g t t +≤=+（2t ≥）令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)()[(2)](1)t t t t h t t t t +-++'=++，∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则2222(1)ln(1)t t t t +-++，∴令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减，∴ln 3(2)4a h ≤=，∴实数a 的最大值为ln 34． 故答案为：ln 34【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三:解答题（满分70分）17.如图，有一块边长为1(hm )的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），设PAB θ∠=，记tan t θ=.（1）用t 表示PQ 的长度，并研究CPQ ∆的周长l 是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少？【答案】（1）211t PQ t+=+，2l =hm ；（2）(2-2hm .【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出t 的关系式，进一步求出周长为定值（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质求出结果.【详解】（1）设,1(01)BP t CP t t ==-≤≤， 所以()145,ADtan 451tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+， 则：12111t tCQ t t-=-=++，所以211t PQ t +==+ 故221111211t t l CP CQ PQ t t t t t+=++=-++=-++=++所以CPQ ∆的周长l 是定值2hm . （2）ABP ADQ S S S S ∆∆=--正方形1112121222121t t t t t -⎛⎫=--⋅=-++- ⎪++⎝⎭…，当且仅当1t =时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为22hm .【点睛】本题主要考查了实际问题中函数解析式，均值不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. ‘18.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，060,FAC ∠=//,//,3,AB DE BC EF AB BC AF BF ====（1）求证：平面ABC ⊥平面ACDF（2）求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值 【答案】（1）见解析（2）5555【解析】 【分析】（1）设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ，推导出OB AC ⊥，OF AC ⊥，则FOB ∠是二面角F AC B --的平面角，由此能证明平面ABC ⊥平面ACDF ;（2）以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值． 【详解】证明：（1）设O 是AC 中点，连结OF 、OB 、FC ， 在ABC ∆中，AB BC =，OB AC ∴⊥，Q 四边形ACDF 是菱形，60FAC ∠=︒，FAC ∴∆是等边三角形，OF AC ∴⊥， FOB ∴∠是二面角F AC B --的平面角，在Rt FAO ∆中，23AF =11322AO AC AF == 221233OF AF AO ∴=--=，22936OB AB OA =-- 又15BF =Q 222OF OB BF ∴+=， 90FOB ∴∠=︒，∴平面ABC ⊥平面ACDF ．解：（2）由（1）知OB 、OC 、OF 两两垂直，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，3-0)，(6B 0，0)，(0C 3，0)，(0F ，0，3)， (0AF =u u u r 33)，(0AC =u u u r，30)，//AB DE Q ，//AF CD ，又AB ⊂/平面CDE ，AF ⊂/平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，//AB ∴平面CDE ，//AF 平面CDE ，又AB AF A =I ，∴平面//ABF 平面CDE ，//EF BC Q ，B ∴、C 、E 、F 四点共面，又平面ABF I 平面BCEF BF =，平面CDE ⋂平面BCEF CE =， //BF CE ∴，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴(6,3FE BC ==-u u u r u u u r，0)，∴(6,23AE AF FE =+=-u u u ru u u ru u u r，3)，设平面AEF 的法向量(n x =r，y ，)z ， 则·330·630n AF y z n FE y y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u v r u u u vr ，取3x =，得(3,6,2)n =-r ， 设平面ACE 的法向量(m a =r，b ，)c ，则·62330·230m AE a b c m AC b ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩u u u v r u u u vr ，取3a =，得(3,0,2)m =r， 设平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角为θ， 则||55cos ||||55m n m n θ===r rg r r g ．∴平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为5555．【点睛】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 【答案】(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析. 【解析】试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为10431530201525830415100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B V 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B V 与12RB B V 的面积之比为定值．【答案】（1）221164x y +=；（2）2282128()()5525x y ++-=；（3）证明见解析 【解析】 【分析】()1由112B F B V 是边长为4的等边三角形得4a =，进一步求得2b =，则椭圆方程可求；()2由直线1PB 的一个方向向量是()1,1，可得直线1PB 所在直线的斜率1k =，得到直线1PB 的方程，由椭圆方程联立，求得P 点坐标，得到1PB 的中点坐标，再求出1PB ，可得以1PB 为直径的圆的半径，则以1PB 为直径的圆的标准方程可求；() 3方法一、设()00,P x y ，()11,R x y 求出直线1PB 的斜率，进一步得到直线1RB 的斜率，得到直线1RB 的方程，同理求得直线2RB 的方程，联立两直线方程求得R 的横坐标，再结合()00,P x y 在椭圆221164x y+=上可得1x 与0x的关系，由12121PB B RB B S x S x =V V 求解； 方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，得直线1PB 的方程为 2.y kx =+结合11RB PB ⊥，可得直线1RB 的方程为12y x k=-+，把2y kx =+与椭圆方程联立可得021641kx k -=+，再由()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，得到220044x y -=-，从而得到200020002241'4y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-，得1'.4k k =-结合22RB PB ⊥，可得直线2RB 的方程为4 2.y kx =-与线1RB 的方程联立求得124.41kx k =+再由121201PB B RB B S x S x =V V 求解．【详解】()1解：如图，由112B F B V 的边长为4的等边三角形，得4a =，且2b =．∴椭圆的标准方程为221164x y +=； ()2解：Q 直线1PB 的一个方向向量是()1,1，∴直线1PB 所在直线的斜率1k =，则直线1PB 的方程为2y x =+，联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得25160x x +=，解得165P x =-，65P y ∴=-． 则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭，22116616()(2)2555PB =-+--=则以1PB 为直径的圆的半径825r =． ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=； ()3证明：方法一、设()00,P x y ，()11,.R x y 直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=，由11RB PB ⊥，得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-． 于是直线1RB 的方程为：0022x y x y =-+-． 同理，2RB 的方程为：0022x y x y =--+． 联立两直线方程，消去y ，得20104y x x -=． ()00,P x y Q 在椭圆221164x y +=上， 22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-． 014x x ∴=-， 1212014PB B RB B S x S x ∴==V V ． 方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，，则直线1PB 的方程为2y kx =+． 由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为12y x k=-+， 将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=， P Q 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，00x ∴≠，从而021641k x k -=+． ()00,P x y Q 在椭圆221164x y +=上， 22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-．200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-，得1'4k k =-． 22RB PB ⊥Q ，∴直线2RB 的方程为42y kx =-． 联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2441k x k =+，即12441k x k =+． 1212201216414441PB B RB B k S x k k S x k -+∴===+V V ． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n N +=+∈． ()1若11,2n n a b ==，求4a 的值； ()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列； ()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =． 【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】()1直接代入计算即可；()2通过设()111n n a a q q -=≠，利用等比数列的求和公式及11n n n a b S +=+，计算可知n b ，进而化简即得结论；()3通过数列{}n b 是公差为d 的等差数列，对()1n n n n n a b a b d a +--=变形可知111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d--+---==----，然后分别证明充分性、必要性即可． 【详解】解：()111n n n a b S +=+Q ，11a =，2n n b =，121111412a a b ++∴===，146132+++ 232114161S a b +++===， 34311461832S a b ++++===， 证明：()2设()111n n a a q q -=≠，则()111nn a q S q -=-，11n n n a b S +=+Q ，()()111111111111nn n n n nn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-， ()()1111111111111n n n na a q q a qb q q a q q q a q -+-+-∴+=+=---- ()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=，(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列， ()3Q 数列{}n b 是公差为d 的等差数列，∴当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=，即()()11n n n n a a b d a +-=-，Q 数列{}n a 的各项都不为零，10n n a a +∴-≠，10d -≠，∴当2n ≥时，11n n n nb a d a a +=--， 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--，两式相减得：当3n ≥时，111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d--+---==----． 先证充分性： 由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--， ∴当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a --++=--， 又0n a ≠Q ，11n n n n a a a a +-∴-=-，即2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列；再证必要性：2a Q ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列，∴当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-，111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----， 12d ∴=． 综上所述，2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列的充要条件是12d =【点睛】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩，其中α为参数，曲线222:20C x y y +-=，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l a θρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O )（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）当02a π<<时，求22OA OB +的取值范围. 【答案】（1）4cos ρθ=，2sin ρθ=.（2）(4,16).【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数的关系式的变换求出结果．【详解】（1）1C 的普通方程为，1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22||16cos OA α=联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α= 222||412cos OA OB α+=+，02a π<<∴()22||4,16OA OB +∈ 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用．23.已知函数()12f x x x =-+-，记()f x 的最小值为k .（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）是否存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b +=+=？并说明理由. 【答案】(1)243x ≤≤；(2)不存在. 【解析】【详解】（1）不等式()1f x x ≤+化为2110x x x -+---≤ 设函数211y x x x =-+---， 则23,1{,124,2x x y x x x x -<=-≤≤->，令0y ≤，解得243x ≤≤， 原不等式的解集是2{|4}3x x ≤≤ （2）()21121f x x x x x =-+-≥-+-=当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时取等号，故1k = 假设存在符合条件的正数,a b ，则21a b +=，()121242448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当4,21b a a b a b =+=，即11,42a b ==时取等号， 12a b∴+的最小值为8，即124a b +> 不存在正数,a b ，使得1221,4a b a b +=+=同时成立.。