武汉二中2013届高考模拟试题数学模拟测试(答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。
2013年高考数学模拟试题及答案和解析和评分要点(1)
理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 （A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定俯视图7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部 （B ）AC 边所在直线上 （C ）AB 边所在直线上 （D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ） （B ） （C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为 （A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒 （B ）400秒 （C ）500秒 （D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 . 14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________. 16. 数列 ，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第 项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A m , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值； （Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； 21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=AF AF . （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线. （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）附：答案及评分标准：一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为22=，其体积1223V =⨯⨯=.3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误.4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题.6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+= CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为3y x =±，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin cos sin )22cos x f x x x x x x==-=-2cos()6x π=+. 函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s 6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种. 二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==.14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A ,且89=⋅.（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin c b a Cab -+的最大值.解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+ ,5(,cos )82A Bn -= ，且98m n ⋅= ，即259[1cos()]cos 828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=,即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c+-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分 （Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分 ∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中， ,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=.设平面EDF 的法向量为n=（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n DF ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分 721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分 （Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵BC BP x DE AP DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分 答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分 答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分 张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ；类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a nn n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2nnn n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n n n a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22nn n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+-=(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21nn S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n nn ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点，弦AB 、AC分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=，∴ab 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=， 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分 同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x xa ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==ax x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==ax x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分 当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。
湖北省部分重点中学2013届高三年级第二次阶段性检测数学理试卷-含答案
湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=+，则(1)x yi ++的值为 A ．4 B ．4- C ．44i + D ． 2i 2. 不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是 A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为A ．B ．C ．D ．4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是5. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10121000a a ，2141-=b b ，则=-+87201111tanb b a aA ．1B ．-1C 3D ． 36. 已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π， 由如右程序框图输出的=S A. 1 B. 2πC.4πD. 1-输出S 结束否开始输入M ，NN S =M S =N M >是7. 已知点1(,)40x x y x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩是不等式组表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则a b ca++的值为A ．2B ．12C ．-2D ．-1 8.设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20120≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为A. πππe e e --1)1(1006B. πππ220121)1(ee e -- C. πππ210061)1(e e e -- D. πππe e e --1)1(2012 9.已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心,且A θ∠=，若cos cos =2sin sin B C AB AC mAO C B+u u u r u u u r u u u r ，则m = A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定10.设抛物线21=4y x 的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在准线上的射影为点/M ，则在/MM F ∆的重心、外心和垂心中，有可能仍在此抛物线上的有 A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
湖北省武汉市2013届高中毕业生模拟考试数学文科试题
湖北省武汉市2013届高中毕业生模拟考试数学文科试题本试题卷共22题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项： 1．答卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦=F 净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数ii +-221对应点的坐标为A ．（0，一1）B ．（0，1）C ．)53,54(-D ．)53,54(2．若集合B B A a x a x x B x x x A ==+--=<-= 且}0)1)((|{},3)2(|{，则实数a 的取值范围是A ．31<<-aB ． 1<a<4C ．0<a<3D ． 0<a<43．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，没A=60，a=34，b=42，则B=A ． 45或135B ． 135C ．45D ． 以上都不对4．己知{n a }是各项均为正数的等比数列，=+++=+=+87654321,4,1a a a a a a a a 则A ．80B ．20C ．32D ．32555．己知ω>0，0<ω<π，直线343ππ==x x 和是函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象的两条相邻的对称轴，则ϕω+的值为A ．π652+B ．62π+C ．π651+D ．61π+6．己知函数3)(2+-=ax x x f 在（0，1）上为减函数，函数x a x x g ln )(2-=的（1，2）上为增函数，则a 的值等于A ．1B ．2C ．2D ．07．设a,b 为实数，则“0<ab<l”是“ab 1<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 和双曲线)0,0(12222>>=-n m ny mx 有相同的焦点F 1、F 2，以线段F 1F 2为边作正△F 1F 2M ，若椭圆与双曲线的一个交点P 恰好是MF 1的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为S r S D e e e e ⋅则和,等于 A ．5 B ．2 C ．3D ．49．下列说法中，不正确的是 A ．点)0,8(π为函数)42tan()(π+=x x f 的一个对称中心B ．设回归直线方程为5.22ˆ-=yx ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2．5个单位C ．命题“在△ABC 中，若sinA=sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：“01≥-x x ”则p ⌝“01<-x x ”10．定义在R 上的函数)(x f y =，对任意不等的实数21,x x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，则当1≤x<4时，xy 的取值范围是A ．]1,21(-B ．]1,(-∞C ．]1,21[-D ．),21[∞-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与1 8秒 之间，将测试结果分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15），…， 第五组[17，18]．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若 成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试 中成绩良好的人数是 12．已知向量|2|,2||,1||,,a b b a b a -==则的取值范围是13．用秦九韶算法计算2.065432)(2345=+++++=x x x x x x f 时的值时，需要运算次14．已知等差数列{n a }的前n 项和为S n ，且nn a S S a 64,110,4102+==则的最小值为 .15．某一几何体的三视图如图所示，其中圆的半径都为1，则这该几何体的体积为 .16．“解方程（1)54()53=+x x ”有如下思路；设x x x f )54()53()(+=，则)(x f 在R 上单调递减，且1)2(=f ，故原方程有唯一解x=2，类比上述解题思路，不等式236)2()2(x x x x -+>+-的解集是 .17．如上图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，Y 轴正半轴上移动，则231+≥⋅OC OB 的概率为 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省武汉二中2013届高三高考模拟理科综合A卷
试卷类型：A 湖北省武汉二中2013届高三高考模拟理科综合A卷（2013、05）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第II卷5至11页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
时间：150分钟，分值：300分。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在．试题卷上作答无效．．．．．．．．。
可能用到的相对原子质量：H1；C12；O16；Mg24；S32；Ag108；Fe56；B11；N14；Zn65第I卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、肺炎双球菌有S型和R型两种，二者在细胞结构上既有相同之处，又有显著的差别（细胞壁外是否有荚膜）。
引起二者显著差异的根本原因是（）A、细胞的分化B、DNA的不同C、mRNA的不同D、细胞内细胞器的种类不同2、哺乳动物胚胎发育中产生了过量的运动神经细胞，它们只有接受了足量的神经生长因子才能生存，并与靶细胞建立连接，其他的则发生凋亡。
下列叙述正确的是（）A、没有神经生长因子，神经细胞将不再分裂B、存活的神经细胞与靶细胞间可建立突触结构C、神经细胞凋亡是不受环境影响的编程性死亡D、只有在胚胎发育时期神经细胞才会发生调亡3、下列各种现象中，属于人体内环境稳态失调的是（）A、体内失水过多，导致细胞外液渗透压升高B、体内胰岛素受体缺乏，导致血糖水平过高C、环境温度降低，导致体内甲状腺激素分泌量增加D、抗原刺激，导致体内B淋巴细胞增殖和分化4、下列有关神经调节的叙述中，错误的是（）A、神经调节是在中枢神经系统的参与下完成的，其基本方式是反射B、兴奋在神经纤维上双向传导，在神经元间单向传递C、突触前膜神经递质的释放依赖于细胞膜的选择透过性D、神经调节具有分级调节的特点5、赤霉素可以通过提高生长素的含量间接促进植物生长。
2013年高考模拟系列试卷(2)—数学(理)含答案
2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（ ） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
武汉二中2013届高三高考模拟_数学理A卷_含答案
2013届高考模拟试题数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．对于数集A , B, 定义A +B ={x |x =a +b , a ∈A , b ∈B ）, A ÷B ={x |x =ab, ,}a A b B ∈∈, 若集合A ={1, 2}, 则集 合（A +A ）÷A 中所有元素之和为（ ）A.102B.152C ．212 D ．2322．某车间为了规定工时定额, 次试验, 收集数据如下：加工零件数x(个) 10 20 30 40 50 加工时间y(分钟) 64 69 75 82 90经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量, 下列判断正确的是（ ） A ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 76） B ．成正相关, 其回归直线经过点（30, 75） C ．成负正相关, 其回归直线经过点（30, 76） D ．成负相关, 其回归直线经过点（30, 75） 3．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 画在同一坐标系内的曲线sin cos y x y x ==与的交点坐标是（ )A.2,1,2n n Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B.(),1,2n n n Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭C.1,,42nn n Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.(),1,n n Z π∈5.一个多面体的直观图和三视图如图所示, M 是AB 的中点.一只小蜜蜂在几何体ADF —BCE 内自由飞翔, 则它飞入几何体F —AMCD 内的概率为( )A.34B.23C.12D.136. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a , 与对手踢平（得1分）的概率为b 负于对手（得0分）的概率为(),,,0,1c a b c ∈.已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1, 则113a b+的最小值为（ ）A.163B.143C.173D.1037. 函数()()220,2cos02x xf xxxπ+-≤⎧⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩＜的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A.32B.1C.4D.128. 等差数列}{na的前n项和为nS, 公差为d, 已知,1)1(2013)1(838=+++aa1)1(2013)1(200632006-=+++aa, 则下列结论正确的是（）A．2013,02013=<Sd B．2013,02013=>SdC．2013,02013-=<Sd D．2013,02013-=>Sd9．如图, 在等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB=2CD, 设∠DAB=θ, θ∈（0,2π）, 以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2, 设)(),(),(),(211θθθθgfgeefe则==的大致图像是（）10．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y轴左边, y=3x与y=2x的图象均以x轴负半轴为渐近线, 当x=0时, 两图象交于点（0, 1）．这说明在y轴的左边y=3x与y=2x的图象从左到右开始时几乎一样, 后来y=2x的图象变化加快使得y=2x与y=3x的图象逐渐远离, 而当x经过某一值x0以后y= 3x的图象变化加快使得y=2x与y=3x 的图象又逐渐接近, 直到x=0时两图象交于点（0, 1）．那么x0=（）A．31(12)n og B．2231(13)og ogC．32221(13)1(13)og og og og-D．213og-二、填空题：本大题共5小题,每小题5分, 共25分.(一)必考题（11－14题）11. 若()()()()4324123452341111,a x a x a x a x a x a a a-+-+-+-+=-+=则_______.12. 执行如图所示的程序框图, 若输入a的值为2, 则输出的p值是.13. 给出下列命题：①在锐角sin cosABC A B∆中，有＞；y②函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③在cos cos cos a b cABC A B C∆==中，若, 则ABC ∆必为等边三角形； ④在同一坐标系中, 函数sin y x =的图象和函数2xy =的图象有三个公共点.其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）. 14．观察下面两个推理过程及结论：(1) 若锐角A , B , C 满足A +B +C =π, 以角A , B , C 分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定理和余弦定理可得到等式：A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=(2) 若锐角A , B , C 满足A +B +C =π, 则)22()22()22(CB A -+-+-πππ=π, 以22,22,22CB A ---πππ分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：2sin 2cos 2cos 22cos 2cos 2cos222AC B C B A -+=则：若锐角A , B , C 满 足A +B +C =π, 类比上面推理方法, 可以得到一个等式是 .(二)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答）15．如图, 已知圆O 的半径为3, AB 与圆D 相切于A , BO 与圆O 相交于C , BC =2, 则△ABC 的面积为 .16．在直角坐标系xOy 中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 记ρ为极径, θ为极角, 圆C :ρ=3cos θ的圆心C 到直线l :ρcos θ=2的距离为 . 三、解答题17. 如图, 已知单位圆上有四点()()()()1,0,cos ,sin ,cos2,sin 2,cos3,sin3,03E A B C πθθθθθθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭, 分别设OAC ABC ∆∆、的面积为12S S 和.(1)用sin cos θθ，表示12S S 和； (2)求12cos sin S Sθθ+的最大值及取最大值时θ的值.18. 已知数列{}n a 为等比数列, 其前n 项和为n S , 已知14716a a +=-, 且对于任意的n N +∈有n S , 2n S +, 1n S +成等差；(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 已知n b n =（n N +∈）, 记312123n n nb b b b T a a a a =++++, 若2(1)(1)n n m T n -≤-- 对于2n ≥恒成立, 求实数m 的范围.19. 第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行, 当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者. 将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm): 若身高在180cm 以上(包括180cm)定义为“高个子”, 身高在180cm 以下(不包括180cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小组”.(1) 如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人, 再从这5人中选2人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2) 若从所有“高个子”中选3名志愿者, 用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小组”的人数, 试写出X 的分布列, 并求X 的数学期望.20. 如图, 平面PAC ⊥平面ABC , ABC ∆ 是以AC 为斜边的等腰直角三角形, ,,E F O 分别为PA , PB , AC 的中点, 16AC =, 10PA PC ==．(1) 设G 是OC 的中点, 证明：//FG 平面BOE ；(2) 证明：在ABO ∆内存在一点M , 使FM ⊥平面BOE , 并求点M 到OA , OB 的距离．21. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e 为, 且椭圆C 的一个焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点M (2,0), 点Q 是椭圆上一点, 当|MQ |最小时, 试求点Q 的坐标；(3) 设P (m ,0)为椭圆C 长轴（含端点）上的一个动点, 过P 点斜率为k 的直线l 交椭圆与A ,B 两点, 若|P A |2＋|PB |2的值仅依赖于k 而与m 无关, 求k 的值．22. 已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>.(1) 试判断函数()f x 在(0,)+∞上单调性并证明你的结论； (2) 若()1kf x x >+恒成立, 求整数k 的最大值； (3) 求证：23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>.。
新课标2013届高考模拟试卷及答案(理科数学)[1]
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新 课 标 2013 届 高 考 模 拟 试 卷（ 理 科 数 学）考试时间：120分钟 满分：150分 出题者：秦庆广一、选择题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（ ）✌．1-．． ．2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂ ☎ ✆✌．φ ．}0|{<x x ．}1|{<x x ．}10|{<<x x ．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是☎ ✆．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a ☎ ✆✌．21 ．22．2 ．．已知变量⌧、⍓满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为☎ ✆✌． ．25． ． ．过点（ ， ）且与曲线11-+=x x y 在点（ ， ）处的切线垂直的直线的方程为☎ ✆ ✌．012=+-y x ．012=-+y x ．022=-+y x ．022=+-y x．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是☎ ✆♊图象C 关于直线11π12x =对称； ♋图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ♌函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ♍由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （✌）♊♋♌ （ ）♋♌♍ （ ）♊♌♍ （ ）♊♋♌♍ ．已知6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）✌． ．1-．63 ．62．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是⌧ ☎ ✆✌．☯， ．☯， ．☯， ．☯， ．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是☎ ✆ ✌ ． ✌中， ✌ ✌的平分线✌交边 于 ，已知✌，且)(31R AB AC AD ∈+=λλ，则✌的长为☎ ✆ ✌． ．3 ．32 ．．在三棱锥 ✌中，✌✌2 ✌，二面角 ✌的余弦值是33-，若 、✌、 、 都在同一球面上，则该球的表面积是☎ ✆ ✌．68 ．π6 ． π ． π二、填空题：（本大题 小题，每小题 分，共 分）．在 ✌中， 3π中，且34=⋅BC BA 则 ✌的面积是．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为 ，则❍的取值范围是．已知向量b a ,满足：2||,1||==b a ，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是 ．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图 侧视图 俯视图三、解答题（本大题共 小题，共 分。
2013届湖北高考理科数学模拟试题(含详解)
2013届高考猜题、押题卷理数试卷命题人：高三数学备课组组长胡国书本试题考试时间为120分钟，满分为150分一．选择题(本大题共10小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合},1|{},lg |{2+=∈==∈=x y R y N x y R x M 则集合N M =（ ）A ．),0(+∞B ．[)+∞,1C ．),(+∞-∞D ．(]1,02．在下列各数中，与sin2009°的值最接近的数是（ ） A ．21B ．23C ．21-D ．23-3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上存在不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ） A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假4. 若6260126(1)mx a a x a x a x +=++++ ，且12663a a a +++= , 则实数m 的值为（ ） Ａ. 1或3Ｂ. -3C. 1Ｄ. 1或 -35．设f （x ）是定义在正整数集上的函数，且f （k ）满足：当“f （k ）≥k 2成立时，总可推出f （k ＋1）≥（k ＋1）2成立”．那么下列命题总成立的是 （ ）A ．若f （3）≥9成立，则当k ≥1，均有f （k ）≥k 2成立B ．若f （5）≥25成立，则当k ＜5，均有f （k ）≥k 2成立C ．若f （7）＜49成立，则当k ≥8，均有f （k ）＜k 2成立D ．若f （4）＝25成立，则当k ≥4，均有f （k ）≥k 2成立6．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（－1,3）和（1,1），若0<c <1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,3]B ．[1,3]C ．（1,2）D ．（1,3）7．在平面直角坐标系中，i ，j分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，O 为坐标原点，设向量OA =2i +j ，OB =3i +k j，若A ，O ，B 三点不共线，且△AOB 有一个内角为直角，则实数k 的所有可能取值的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．曲线422=+y x 与曲线22cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ （[0,2)θπ∈）关于直线l 对称，则直线l的方程为 ( ) A ．2-=x y B ．0=-y xC ．02=-+y xD ．02=+-y x9．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )10．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是 （ ）A ．2 B ． 14+C ．2D ．3-1二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中横线上．) 11．定义max{a ，b }=⎩⎨⎧<≥)()(b a b b a a ，已知实数x ，y 满足|x |≤2，|y |≤2，设z =max{4x +y ,3x -y },则z 的取值范围是12．为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料，两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为 （用数字作答）13．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 人．14．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22||||=+y x 的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 ．15．如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0，1)，然后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动（即（0，0）→（0，1）y23→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移动一个单位长度．（i ）粒子运动到（4，4）点时经过了 秒；（ii ）第2009秒时，粒子所处的位置为 ．三．解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．（本小题满分12分）已知向量)1,3(=a ，向量)cos ,(sin ααm b -=， (Ⅰ)若b a //，且)2,0[πα∈，求实数m 的最小值及相应的α值；(Ⅱ)若b a ⊥，且0=m , 求)cos()2sin()2cos(απαπαπ-+⋅- 的值.17. （本小题满分12分）一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率； （Ⅱ）摸球次数X 的概率分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在边长为12的正方形A 1 AA ′A 1′中，点B 、C 在线段AA ′上，且AB = 3，BC = 4，作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ；将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A ′A 1′ 与AA 1重合，构成如图所示的三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，（Ⅰ）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）求面PQA 与面ABC 所成的锐二面角的大小．（Ⅲ）求面APQ 将三棱柱ABC —A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A 1 B 1 C 1A ′1A ′A BCP Q AB CA 1B 1C 1 QP19．（本小题满分12分）据中新网2009年4月9日电，日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火，鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰．火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、……、第50（n －1）米至50n 米的圆环面为第n 区，……，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，……，以此类推．（Ⅰ）若第n 区每平方米的重量为a n 千克，请写出a n 的表达式；（Ⅱ）第几区内的火山灰总重量最大？（Ⅲ）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（π 取3，结果精确到万吨）？20.（本小题满分13分）已知点(4,0)C 和直线:1l x =，作,PQ l ⊥垂足为Q ，且(2)(2)0.PC PQ PC PQ +⋅-=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;（Ⅱ）过点C 的直线m 与点P 轨迹交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，120x x >，点(1,0)B ，若BMN ∆的面积为，求直线m 的方程.21．（本小题满分14分）给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f (x )=ln x ，g (x )=x 2-af (x )，h (x )=x -a x ，已知g (x )在x =1处取得极值.(Ⅰ)确定函数h (x )的单调性. (Ⅱ)求证：当1＜x ＜e 2时，恒有x ＜)(2)(2x f x f -+成立；(Ⅲ)把函数h (x )的图象向上平移6个单位长度得到函数h 1(x )的图象，试确定函数y =g (x )- h 1(x )的图象与X 轴交点个数，并说明理由.2013届高考猜题、押题卷理数试卷参考答案一． 选择题BCCDD CBDAD1. B 解析：易得M=(0,＋∞),N=[1, ＋∞),从而选B.2．C 解析: sin2009°=1sin(5360209)sin 209sin(18029)sin 292⨯+==+=-≈-. 3. C 解析: 命题p ，q 均为假命题，从而选C4. D 解析: 易得01a =,从而66(1)2m +=，则1m =或3m =-5．D 解析：由题意设f （x ）满足：“当f （k ）≥k 2成立时，总可推出f （k ＋1）≥（k ＋1）2成立．”，因此，对于A ，不一定有k ＝1,2时成立．对于B 、C 显然错误．对于D ，∵f （4）＝25＞42，因此对于任意的k ≥4，有f （k ）≥k 2成立．6．C 解析：.将x ＝－1，y ＝3和x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a －b ＋c ，1＝a ＋b ＋c ，∴b ＝－1.∴a ＋c ＝2.又∵0<c <1，∴0<2－a <1.∴1<a <2.7. B 解析：由题设，OA =（2，1），OB =（3，k ），则AB =（1，k -1）.当OA ⊥OB 时，OA ·OB =0⇒k =-6； 当OA ⊥AB 时，OA ·AB =0⇒k =-1；当OB ⊥AB 时，OB ·AB =0⇒k 2-k +3=0（无解）. 所以k 的所有可能取值有2个，故选B.8. D 解析： 两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为02=+-y x ． 9. A 解析: 由条件知，若A (x ，y )，则B (π－x ，y )，∴y ＝f (x )＝|π－x －x |＝|π－2x |，图象即为选项A.10.D 解析：连接AE ，则AE ⊥DE .设AD =2c ，则DE =c ，AE =3c .椭圆定义，得2a =AE +ED =3c +c ，所以e =a c=132+=3-1，故选D.二，填空题11，[-7，10] 12,1440 13,4320 14, ①②④⑤ 15, （i ）20；（ii ）（15，44）11.解析：由题设，z =max{4x +y ,3x -y }=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≥+)21(3)21(4x y y x x y y x ，且|x |≤2，|y |≤2.作可行域，由图知，目标涵数z =4x +y 在点（2，2）处取最大值10，在点（-2，1）处取最小值-7.目标函数z =3x -y 点（2，-2）处取最大值8，在点（-2，1）处取最小值-7. 所以z 的取值范围是[-7，10]，故选A. 12. 解析】4345A A = 1440．13.解析：4320 醉酒驾车的频率为0.15，从而人数约为4320人． [答案] ①②④⑤14.解析：将(,)x y 替换为(,)x y --，(,)y x --可知①②正确；该曲线与坐标轴无交点可知，该曲线不是封闭曲线，③不正确；方程可变形为222222x y x y xy xy +=≥⇒≥（当且仅当x y ==时取等），与圆无公共点，且与曲线D 有四个交点，④⑤正确． 15．解析：（i ）20；（ii ）将粒子的运动轨迹定义为数对（i ，j ） 则它的运动整点可排成数表 （0，0）（0，1） （1，1） （1，0）（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）通过推并可知：经过2 = 1×2s ，运动到（1，1）经过6 =2×3s ，运动到（2，2） 经过12 =3×4s ，运动到（3，3）∴经过44×45 = 1980s ，运动到（44，44） 再继续运动29s ，到达点（15，44）．三．解答题16．【解析】（Ⅰ）∵b a //，∴)(sin 1cos 3m -⨯-αα= 0， （2分）∴)3sin(2cos 3sin πααα-=-=m ， （3分）又∵α∈R ，∴1)3sin(-=-πα时，m min = –2.又)2,0[πα∈，所以πα611=（6分） （Ⅱ）∵b a ⊥，且0=m ,∴0cos sin 3=+αα∴tan α=（9分）∴)cos()2sin()2cos(απαπαπ-+⋅-αααcos )2sin (sin --⋅=ααα2tan 1tan 2tan +⋅=21= （12分）17．解: （Ⅰ）恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐． 则恰好摸到2个“心”字球的概率是53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=． (4分)（Ⅱ）1,2,3X =，则 121101(1)5C P X C ===，11821110104(2)25C C P X C C ==⋅=，16(3)1(1)(2)25P X P X P X ==-=-==． (8分)故取球次数X 的分布列为1235252525EX =⨯+⨯+⨯=．(12分)18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC= 4，∴AC = 5∵AC 2 = AB 2 + BC 2 ∴AB ⊥BC 又AB ⊥BB 1y且BC ∩BB 1 = B∴AB ⊥面BCC 1B 1 （4分） （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系 则A (3，0，0)，P (0，0，3)，Q (0，4，4) 设面APQ 的法向量为m= (x ，y ，z )330440x z y z -+=⎧⎨+=⎩⇒m = (1，–1，1) 而面ABC 的法向量可以取n= (0，0，1)∴cos ,m n ==∴面PQA 与面ABC 所成的锐二面角为 （8分） （Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7． ∴S 四边形BCQP =()(37)42022BC BP CQ ⋅++⨯==∴V A —BCQP =13×20×3 = 20又∵V 111ABC A B C -=113412722ABC S AA ⋅=⨯⨯⨯= ．∴7220521320205V V -===上下． （12分） 19．解析:（Ⅰ）11)02.01(1000%)21(1000---=-=n n n a （*n N ∈）． （2分） （Ⅱ）设第n 区内的面积为b n 平方米，则 )12(2500)1(50502222-=--=n n n b n πππ． （4分）则第n 区内火山灰的总重量为1%)21)(12(2500---==n n n n n b a C π（吨）1)98.0)(12(4--=n n π（万吨）（6分）设第n 区火山灰总重量最大，则⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥----nn n n n n n n )98.0)(12(4)98.0)(12(4)98.0)(32(4)98.0)(12(4121ππππ 解得,21502149≤≤n ∴n =50. 即得第50区火山灰的总重量最大. （8分） （Ⅲ）设火山喷发的火山区灰总重量为S 万吨， 则,21 ++++=n C C C S 设,02.01,21-=+++=q C C C S n n 则124)12(45434--++++=n n q n q q S ππππ① ∴nn q n q q q qS 4)12(4543432ππππ-++++=② 由①-②得nn n q n q q q S q 4)12()(24)1(12πππ--++++=-- ∴nn n q q n q q q q S )1(4)12()1(2)1()1(421-----+-=-πππ（10分）∵0＜q ＜1，∴220.98lim 37124(1)2(1)40.022(0.02)n n qS S q q ππππ→∞⨯==+=+≈--⨯⨯（万吨）因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨． （12分）20. 解：(Ⅰ) 由已知(2)(2)0,PC PQ PC PQ +⋅-= 知2240PC PQ -= .所以2PC PQ =设(,)P x y21x =-平方整理得．221.412x y -= (4分) （Ⅱ）由题意可知设直线m 的斜率不为零，且(4,0)C 恰为双曲线的右焦点，设直线m 的方程为4x ty =+，由22221(31)243604124x y t y ty x ty ⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩(6分) 若2310t -=，则直线m 与双曲线只有一个交点，这与120x x >矛盾，故2310t -≠.由韦达定理可得12212224313631t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩212121212222222(4)(4)4()16362434141600,3131313x x ty ty t y y t y y t t t t t t t t ∴=++=+++-+=++>⇒<⇒<--- (8分)1222121331ABCS BC y y t t ∆∴=-====--2221911,,4543t t t ⇒==< 或211.42t t ∴=⇒=± (10分) 故直线l 的方程为280280x y x y +-=--=或. (13分)21.解：（Ⅰ）由题设，g (x )=x 2-a ln x ，则g'(x )=2x -xa. 由已知，g'(1)=0，即2-a =0⇒a =2. (2分) 于是h (x )=x -2x ，则h'(x )=1-x1. 由h'(x )= 1-x1＞0⇒x ＞1，所以h (x )在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数. (4分)（Ⅱ）当1＜x ＜e 2时，0＜ln x ＜2，即0＜f (x )＜2. 欲证x ＜)(2)(2x f x f -+，只需证x [2-f (x )]＜2+ f (x )，即证f (x )＞1)1(2+-x x . 设)(x ϕ=f (x )-1)1(2++x x =ln x -1)1(2+-x x ，则)('x ϕ=x 1-2)1()1(2)1(2+--+x x x =22)1()1(+-x x x . 当1＜x ＜e 2时，)('x ϕ＞0，所以)(x ϕ在区间(1，e 2)上为增函数. 从而当1＜x ＜e 2时，)(x ϕ＞)1(ϕ=0，即ln x ＞1)1(2+-x x ，故x ＜)(2)(2x f x f -+. （8分）（Ⅲ）由题设，h 1(x )=x -2x +6.令g (x )- h 1(x )=0，则x 2-2ln x -(x -2x +6)=0，即2x -2ln x =-x 2+x +6. 设h 2(x )=2x -2ln x ，h 3(x )=-x 2+x +6(x ＞0)，h'2(x )=21-x2=x x 2 ，由x -2＞0，得x ＞4.所以h 2(x )在(4，+∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数. (10分)又h 3(x )在(0，21)上是增函数，在(21，+∞)上是减函数. 因为当x →0时，h 2(x )→+∞，h 3(x )→6.又h 2(1)=2，h 3(1)=6，h 2(4)=4-2ln4＞0，h 3(4)=-6， 则函数h 2(x )与h 3(x )的大致图象如右：由图可知，当x ＞0，两个函数图象有2个交点，故函数y =g (x )-h 1(x )与X 轴有2个交点. (14分)。
数学_2013年湖北省某校高考数学模拟试卷(理科)(含答案)
2013年湖北省某校高考数学模拟试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合M ＝{−1, 0, 1}，N ＝{a, a 2}则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（ ） A 1 B 0 C −1 D 1或−12. 复数i 20132i−1（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 15i B 15 C −15i D −153. “α∈(π2, π)”是“方程x 2+y 2cosα=1表示焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 设非零向量a →，b →，c →，满足|a|→=|b →|=|c|→，|a →+b →|=|c →|，则sin <a →，b →>=( ) A −12 B 12 C √32 D −√325. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A √34B √32C 34D 16. 如图，是把二进制数1111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）A i >3B i ≤3C i >4D i ≤47.已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图，则∑f 2013n=1(nπ6)=( )A −1B 1C 12D 08. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为√3的球，则该棱柱体积的最大值为( ) A2√33 B 3√32C 3√3D 6√3 9. 宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ） A 36 B 42 C 48 D 5410. 定义域是一切实数的函数y =f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f(x)=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”； ②f(x)=x 2是一个“λ的相关函数”； ③“12的相关函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 0二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题 11. (x 2−1x )6展开式中的常数项为________．（用数字作答）12. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________．13. 对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是________；中位数是________．14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120∘；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120∘；依此规律得到n 级分形图．（1）n 级分形图中共有________条线段；（2）n 级分形图中所有线段长度之和为________．(二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）【选修4-1：几何证明选讲】15. 如图，PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA ＝30∘，PA ＝2√3，PC ＝1，则圆O 的半径等于________．【选修4-4：坐标系与参数方程】16. A ，B 分别为直线l:{x =−10+3ty =√3t （t 为参数）和曲线C ：：ρ=4cosθ上的点，则AB 的最小值为________．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数f(x)=2−sin(2x +π6)−2sin 2x ，x ∈[0,π2] （1）求函数f(x)的值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(B2)=1，b =1，c =√3，求a的值．18. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前3项和S 3=9，且a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n （2）设T n 为数列{1a n a n+1}的前n 项和，若T n ≤λa n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的最小值．19. 如图，在底面是正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点．（1）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG // 平面PBD ，并说明理由；（2）当二面角B −PC −D 的大小为2π3时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．20. 某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：（1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；（2）从50名学生中任选两人，用X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX ．21. 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与抛物线y 2=4x 中两段曲线弧合成，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，F 2(1, 0)．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，|AF 2|=52．（1）求椭圆的方程；（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y =f(x)中，令x =φ(t)，则∫f b a (x)dx =∫f t 2t 1[φ(t)]dφ(t)=∫f t2t 1[φ(t)]φ′(t)dt（其中a =φ(t 1)、b =φ(t 2)）．如∫√1−x 210dx=∫√1−sin 2t π20d(sint)=∫cos π20t(sint)′dt =∫cos 2π20tdt =∫1+cos2t 2π2dt ．阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．（3）过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M 、N 、G 、H 四点，P 和P′分别为NG 、MH 的中点，问|MH||NG|⋅|PF 2||P′F 2|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22. 已知函数f(x)=|x −a|−lnx ，(x >0)，ℎ(x)=ax −1(a ∈R) （1）若a =1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； （2）若a >0，求f(x)的单调区间； （3）若ln2222+ln3232+⋯+lnn 2n 2<ℎ(n)(2n+1)2(n+1)，求a 的最小正整数值．2013年湖北省某校高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. C5. C6. A7. B8. C9. B10. A11. 1512. 1513. 2.25,2.0214. （1）3⋅2n−3；（2）9−9⋅(23)n．15. 716. 417. 解：（1）f(x)=2−(√32sin2x+12cos2x)−1+cos2x=1+cos2x−√32sin2x−1 2cos2x=12cos2x−√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∵ x∈[0, π2]，∴ 2x+π3∈[π3, 4π3]，∴ cos(2x+π3)∈[−1, 12]，则函数f(x)的值域是[0, 32]；（2）由f(B2)=1得cos(B+π3)+1=1，即cos(B+π3)=0，∵ B为三角形内角，即0<B<π，∴ π3<B+π3<4π3，∴ B+π3=π2，即B=π6，∵ b=1，c=√3，∴ 由正弦定理bsinB =csinC得：sinC=csinBb=√32，∴ C=π3或2π3，当C=π3时，A=π2，从而利用勾股定理得a=√b2+c2=2；当C=2π3时，A=π6，由B=π6，得到a=b=1，则a的值为2或1．18. 解：（1）由S3=9，可得3a1+3d=9即a1+d=3①∵ a1，a2，a5成等比数列．∴ a1(a1+4d)=(a1+d)2②；联立①②得a1=1，d=2；…故a n =2n −1，S n =n 2… （2）∵ 1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)…∴ T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1… 由T n ≤λa n+1得：n2n+1≤λ(2n +1) ∴ λ≥n (2n+1)2=14n+1n+4令f(n)=14n+1n+4，∵ f(n)单调递减， ∴ f(n)≤19即λ≥19…19. 解：（1）以A 为原点，AB 、AD 、PA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz 如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，PA =a ，则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，P(0, 0, a)(a >0)， E(12, 12, 0)，F(12, 12, a2)，G(m, m, 0)(0<m <√2)．要使FG // 平面PBD ，只需FG // EP ， 而PE →=(12, 12, −a)，由FG →=λPE →可得{m −12=12λ−a2=−aλ解得λ=12，m =34， ∴ G 点坐标为(34, 34, 0)∴ AG →=34AC →，故当AG =34AC 时，FG // 平面PBD ．（2）设平面PBC 的一个法向量为u →=(x, y, z)，则{u →⋅BC →=0˙而PC →=(1, 1, −a)，BC →=(0, 1, 0)， ∴ {x +y −az =0y =0取z =1，得u →=(a, 0, 1)，同理可得平面PDC 的一个法向量v →=(0, a, 1)， 设u ，v 所成的角为θ， 则|cosθ|=|cos 2π3|=12，即|u⋅v||u||v|=12， ∴√a2+1⋅√a2+1=12，∴ a =1，∵ PA ⊥面ABCD ，∴ ∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角， ∴ tan∠PCA =PA AC=√2=√22． 20. 解：（1）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A ，则 P(A)=C 202+C 101C 151+C 201C 151C 502=190+150+30025×49=128245，… 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为128245…（2）依题意可知X 的可能取值分别为0，1，2，3． 则P(X =0)=C 52+C 102+C 202+C 152C 502=3501225=27，…P(X =1)=C 51C 101+C 101C 201+C 201C 151C 502=5501225=2249，…P(X =2)=C 51C 201+C 101C 151C 502=2501225=1049，…P(X =3)=C 51C 151C 502=751225=349．…从而X 的分布列为：故X 的数学期望EX =0×27+1×2249+2×1049+3×349=5149．… 21. 解：（1）∵ |AF 2|=52，∴ x A +1=52，解得x A =32，∴ y A 2=4×32，解得y A =√6．∴ A(32，√6)．代入椭圆方程可得：94a2+6b 2=1，又a 2=b 2+1．解得b 2=8，a 2=9． ∴ 椭圆的方程为：x 29+y 28=1．（2）由x 29+y 28=1可知：y =±√8−89x 2，令x =3sint(−π2≤t ≤π6)，S 1=∫√8−89x 232−3dx =∫√8−8sin 2t π6−π2d(3sint)=6√2∫cos 2π6−π2tdt =3√2∫(π6−π21+cos2t)dt =(t +12sin2t)|−π2π6=2√2+3√64． S 2=∫√4x 320dx =(4x3)|032=√6．根据对称性，“盾圆C”的面积为2(S 1−S 2)=4√2π−√62． （3）设过F 2的直线为x =my +1(m ≠0)，M(x M , y M )，N(x N , y M )，G(x G , y G )，H(x H , y H )，联立{x =my +1x 29+y 28=1，化为(8m 2+9)y 2+16my −64=0，则y M +y H =−16m 8m 2+9，y M ⋅y H =−648m 2+9．联立{x =my +1y 2=4x ，化为y 2−4my −4=0．∴ y N +y G =4m ，y N ⋅y G =−4． 由M 、N 、G 、H 、P 、P′共线， ∴|MH||NG|⋅|PF 2||P′F 2|=|y M −y H ||y N −y G |⋅|y N +y G2||y M +y H 2|=√(16m)2+4×64(8m 2+9)8m 2+9√16m 2+16×|4m||16m8m 2+9|=3．∴ |MH||NG|⋅|PF 2||P′F 2|为定值3． 22. 解：（1）当x ≥1时，f(x)=x −1−lnx ，∴ f ′(x)=x−1x≥0，∴ f(x)在[1, +∞)上递增；当0<x <1时，f(x)=1−x −lnx ，∴ f ′(x)=−1−1x <0，∴ f(x)在(0, 1)上递减； 因此f(x)min =f(1)=0(2 ) ①若a ≥1，当x ≥a 时，f(x)=x −a −lnx,f ′(x)=x−1x≥0，则f(x)在区间，[a, +∞)上递增；当0<x <a 时，f(x)=a −x −lnx ，f ′(x)=−1−1x <0，则f(x)在区间(0, a)上递减．②若0<a <1，当x ≥a 时，f(x)=x −a −lnx,f ′(x)=x−1x，则当x >1时，f′(x)>0；当a ≤x <1时，f′(x)<0，所以f(x)在[1, +∞)上递增，在[a, 1)上递减；当0<x <a 时f(x)=a −x −lnx ，f ′(x)=−1−1x <0则f(x)在(0, a)上递减，而f(x)在x =a 处连续，所以f(x)在[1, +∞)上递增，在(0, 1)上递减．综上：当a ≥1时，增区间[a, +∞)，减区间(0, a)．当0<a <1时，增区间[1, +∞)，减区间(0, 1)（3）由（1）可知，当a =1，x >1时，有x −1−lnx >0，即lnxx <1−1x 所以ln2222+ln3233+⋯+lnn 2n 2<1−122+1−132+⋯+1−1n 2=n −1−(122+132+⋯+1n 2)<n −1−[12×3+13×4+⋯+1n(n+1)]=n −1−(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=n −1−(12−1n+1)=(n−1)(2n+1)2(n+1)要使ln2222+ln3232+⋯+lnn 2n 2<(an−1)(2n+1)2(n+1)，∵ a ∈N +，n ≥2只需a ≥1，所以a 的最小正整数值为1。
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷06 文
【步步高】（全国版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷06 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【湖北武汉2012毕业生五月供题训练（三）】已知,,A B A C ⊆⊆B={l ，2，3，5 }，C={0，2，4，8}，则A 可以是 A ．{l,2} B ．{2,4}C ．{2}D ．{4}3. 【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】已知i 是虚数单位，复数1012ii-的虚部为（ ）A 、－2B 、2C 、－2iD 、2i3. 【湖北襄阳2013高三年级第二次适应性考试】某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中抽取若干人组成调查小组，相关数据见下表：则调查小组的总人数为 ( ) A ．84 B ．12 C ．81 D ．14 【答案】A【解析】由题意得，根据分层抽样的方法，则343528b a ==，解得5,21b a ==， 所以总人数为35212884++=人，故选A 。
4. 【湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试】下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A ．xy cos = B ．1--=x yC ．x xy +-=22lnD ．xx e e y -+=5. 【2013襄阳五中高三年级第一次适应性考试】若不等式组13220x y x y λλ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,1]- C ．[1,2)- D ．[1,)+∞ 【答案】D【解析】因220(2)(2)0x y x y λλλ-+-=⇒+-+=表示过点()2,2--的直线，当直线过原点时，把原点代入直线2201x y λλλ-+-=⇒=，当1λ≥不等式组表示的可行域经过第四象限，故选D 。
6. 【湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试】 阅读如图所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输入x 的值为（ ）． A.2log 3 B.0 C.20log 3或 D. 30log 2或【答案】C【解析】若输出y 的值为0，则0x =或2230log 3x x -=⇒=,故答案为C. 7. 【唐山市2011—2012学年度高三年级第三次模拟考试】 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为【答案】A【解析】 由几何体的三视图可知该几何体为直三棱柱，如图所示，111111111,2,2,1,2222,224,=2+242246CBC B ABA B CBC B ABC ABA B CDAB BB AB CD CB SSS SS SΛ⊥====∴=⨯==⨯=∴+=++=+表 8. 【原创题】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ABC1C1A1BD1DADB ∆ 的面积分别为2、2、2，则该三棱锥外接球的表面积为A. 2πB. 6πC.D. 24π9. 【2013年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 已知曲线⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1, P 2, P 3…，则|51P |等于 A ．π B. 2π C. 3π D. 4π10. 【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与A,B 两点，若2FA FB =，2()OB OA OB ∙=,则双曲线的离心率为（ ）【答案】C【解析】∵2()OB OA OB ∙=，∴()0OB OB OA ∙-=∴0OB AB ∙=，又∵2FA FB =∴点B 为FA 的中点，∴可得0=60BOF AOB AOX ∠=∠=∠，()X x 为轴正半轴上的点∴0tan 60ba ==2e ==11. 【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图象分别如图1、2所示，方程f （g(x ）)=0、g （f(x ））=0的实根个数分别为a 、b ，则a+b=A ．14B ．10C ．7D ．312. 【改编题】已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且当3n ≥时，242410n n a a -⋅=，则数列1lg 2a ，2lg 2a ， 3lg 2a ，4lg 2a ，，lg 2na ，的前n 项和n S 等于A.122n +- B.121n +- C.22n - D.122n ++第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
数学_2013年湖北省武汉市某校高考数学模拟试卷(二)(文科)(5月份)(含答案)
2013年湖北省武汉市某校高考数学模拟试卷（二）（文科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数1−2i2+i对应的点的坐标为（）A (0, −1)B (0, 1)C (45, −35) D (45, 35)2. 若集合A={x|x(x−2)<3}，B={x|(x−a)(x−a+1)=0}，且A∩B=B，则实数a 的取值范围为（）A 0<a<3B 1<a<4C −1<a<3D 0<a<43. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=60∘,a=4√3，b=4√2，则B= ()A 45∘或135∘B 135∘C 45∘D 以上答案都不对4. 已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1+a2=1，a3+a4=4，则a5+a6+a7+a8=()A 80B 20C 32D 25535. 己知ω>0，0<φ<π，直线x=π3和x=4π3是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象的两条相邻的对称轴，则ω+φ的值为（）A 2+56π B 2+π6C 1+56π D 1+π66. 已知函数f(x)=x2−ax+3在(0，1)上为减函数，函数g(x)=x2−alnx在(1，2)上为增函数，则a的值等于()A 1B 2C 0D √27. 若a，b为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2m2−y2n2=1(m>0, n>0)有相同的焦点F1、F2，以线段F1F2为边作正△F1F2M，若椭圆与双曲线的一个交点P恰好是MF1的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为e r和e S，则e r⋅e S等于（）A 5B 2C 3D 49. 下列说法中，不正确的是（）A 点(π8, 0)为函数f(x)=tan(2x+π4)的一个对称中心 B 设回归直线方程为ŷ=2−2.5x，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位 C 命题“在△ABC中，若sinA=sin B，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题 D 对于命题p：“xx−1≥0”则￢p“xx−1<0”10. 定义在R上的函数y=f(x)，对任意不等的实数x1，x2都有[f(x1)−f(x2)](x1−x2)<0成立，又函数y =f(x −1)的图象关于点(1, 0)对称，若不等式f(x 2−2x)+f(2y −y 2)≤0成立，则当1≤x <4时，yx 的取值范围是（ ）A (−12，1]B (−∞, 1]C [−12，1]D [−12，∞)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13, 14)；第二组[14, 15)，…，第五组[17, 18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是________．12. 已知向量a →，b →，|a →|=1，|b →|=2，则|2b →−a →|的取值范围是________．13. 用秦九韶算法计算f(x)=x 5+2x 4+3x 3+4x 2+5x +6当x =0.2时的值时，需要运算________次．14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=4，S 10=110，则S n +64a n的最小值为________．15. 某一几何体的三视图如图所示，其中圆的半径都为1，则该几何体的体积为________．16. “解方程(35)x +(45)x =1”有如下思路；设f(x)=(35)x +(45)x ，则f(x)在R 上单调递减，且f(2)=1，故原方程有唯一解x =2，类比上述解题思路，不等式x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2的解集是________．17.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，则OB →⋅OC →≥1+√32的概率为________．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 记数列{a n }的前n 项和S n ，且S n =c2n 2+(1−c2)n(c 为常数，n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．（1）求证：数列{a n }为等差数列，并求c 的值； （2）设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，已知AC ⊥平面CDE ，BD // AC ，△ECD 为等边三角形，F 为ED 边的中点，CD =BD =2AC =2 （1）求证：CF // 面ABE ；（2）求证：面ABE ⊥平面BDE ： （3）求三棱锥F −ABE 的体积．20. 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60∘（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC =4√3km ．D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD =x(km)，点D 对跑道AB 的视角为θ． (1)将tanθ 表示为x 的函数；(2)求点D 的位置，使θ取得最大值．21. 如图，已知直线l 与抛物线x 2=4y 相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0)．(1)若动点M 满足AB →⋅BM →+√2|AM →|=0，求点M 的轨迹C ；(2)若过点B 的直线l ′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E ，F (E 在B ，F 之间)，试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围． 22. 函数f(x)=alnx +1(a >0)．（1）当x >0时，求证：f(x)−1≥a(1−1x )；（2）是否存在实数a 使得在区间[1, 2)上f(x)≥x 恒成立？若存在，求出a 的取值条件； （3）当a =12时，求证：f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n +1)>2(n +32−√n +1)(n ∈N ∗)．2013年湖北省武汉市某校高考数学模拟试卷（二）（文科）（5月份）答案1. A2. A3. C4. A5. D6. B7. D8. B9. D10. A11. 2712. [3, 5]13. 1014. 17215. π16. (−∞, −1)∪(2, +∞)17. √32−118. 解（1）由S n=c2n2+(1−c2)n得：S n−1=c2(n−1)2+(1−c2)(n−1)(n≥2)，∴ 当n=1，a1=S1=1；n≥2，a n=S n−S n−1=1+(n−1)c，当n=1时，a1=1满足上式，∴ a n=1+(n−1)c，而a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列，即(1+c)2=1+4c且c≠0，解得c=2．(II)由(I)知，a n=2n−1．∴ b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴ T n=b1+b2+...+b n=12[(1−13)+(13−15)+...+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19. 解：（1）证明：取BE的中点G，连FG，AG，则FG // 12BD ，又∵ AC // 12BD ，∴ 四边形ACFG 为平行四边形，∴ CF // AG ，又∵ CF ⊄面ABE ，AG ⊂面ABE ；∴ CF // 面ABE ．（2）证明：∵ △ECD 为等边三角形， ∴ CF ⊥ED ； 又∵ CF ⊥BD ， ∴ CF ⊥面BDE ， 又∵ CF // AG ，∴ AG ⊥面BDE ，又∵ AG ⊂平面ABE ， ∴ 平面ABE ⊥平面BDE ．（3）∵ CF ⊥面BDE ，AC // 面BDE ，∴ V F−ABE =V A−BEF =V C−BEF =13⋅(12⋅1⋅2)⋅√3=√33． 20. 在海湾一侧的海岸线CT 上距C 点6km 处的D 点处观看飞机跑道的视角最大． 21. 解：(1)由x 2=4y 得y =14x 2， ∴ y ′=12x ．∴ 直线l 的斜率为y ′|x=2=1，故l 的方程为y =x −1， ∴ 点A 的坐标为(1, 0). 设M(x, y)，则AB →=(1, 0)，BM →=(x −2,y)，AM →=(x −1,y)， 由AB →⋅BM →+√2|AM →|=0，得(x −2)+y ⋅0+√2⋅√(x −1)2+y 2=0， 整理，得x 22+y 2=1，∴ 动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为2√2，短轴长为2的椭圆. (2)如图，由题意知l ′的斜率存在且不为零，设l ′方程为y =k(x −2)(k ≠0)=1①， 将 ①代入x 22+y 2=1，整理，得(2k 2+1)x 2−8k 2⋅x +(8k 2−2)=0，由Δ>0得0<k 2<12．设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)， 则{x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2−22k 2+1，② 令λ=S △OBE S △OBF，则λ=|BE||BF|，由此可得BE →=λ⋅BF →，λ=x 1−2x 2−2，且0<λ<1． 由②知(x 1−2)+(x 2−2)=−41+2k 2，(x 1−2)⋅(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=21+2k 2， ∴λ(1+λ)2=2k 2+18，即k 2=4λ(1+λ)2−12．∵ 0<k 2<12， ∴ 0<4λ(1+λ)2−12<12， 解得3−2√2<λ<3+2√2． 又∵ 0<λ<1，∴ 3−2√2<λ<1，∴ △OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3−2√2, 1).22. 解：（1）证明：设φ(x)=f(x)−1−a(1−1x )=alnx −a(1−1x )，(x >0) 则φ′(x)=ax −ax 2=0，又因为a >0，则x =1，即φ(x)在x =1处取到最小值， 则φ(x)≥φ(1)=0，即原结论成立．（2）由f(x)≥x 得alnx +1≥x ，即alnx ≥x −1， 当x =1时，a ∈R ，由题意a >0； 当x ∈(1, 2)时，a ≥x−1lnx，令g(x)=x−1lnx，(x >1)，g′(x)=lnx−x−1x (lnx)2，令ℎ(x)=lnx −x−1x，ℎ′(x)=1x −1x 2>0，则ℎ(x)单调递增， ∴ ℎ(x)>ℎ(1)=0， ∴ g′(x)>0，∴ g(x)单调递增，而g(2)=1ln2，此时a ≥1ln2．∴ a 的取值范围为[1ln2，+∞)．（3）证明：由（2）得知lnx ≥1−1x ，则ln √n ≥1−√n，则f(2)+f(3)+⋯+f(n +1)=12(ln2+ln3+⋯+ln(n +1))+n +1=ln √2+ln √3+⋯+ln(n +1)+n +1≥1√2+1−√3⋯+1√n+1n +1=2(n +1)−2(2√22√3+⋯2√n+1))>2(n +1)−(√2+1√2+√3⋯√n+√n+1)=2(n +1−√n +1)=2n −2(2√22√3⋯2√n+1)>2n −2(1+√2+√2+√3⋯√n+√n+1)=2(n +1−√n +1) ∴ f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(n +1)>2(n +32−√n +1)(n ∈N ∗)．。
湖北省武汉市武汉二中高三数学全真模拟考试(二)试题 理(含解析)
试卷类型：A武汉二中2014届高三全真模拟试卷二数学试题(理科)【试卷综述】试卷在考查基本知识、基本技能和基本思想的基础上,突出了对考生数学空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查.对支撑高中数学学科的主干知识模块,如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查,但难度相对较小,体现命题者坚定推行新课程改革的决心及勇气,也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则.试题很好地区分了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况.试卷具有较高的信度、效度和区分度,达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标. 命题人：刘官毅一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知i 是虚数单位,则21ii-等于（ ） A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i +【知识点】复数的除法.【答案解析】 A 解析 2(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i +==+=-+-+,故选答案A. 【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数,变成a+bi 这种形式即可. 2. 设集合}}{{|(1)0,|0A x x x B x x =+>=≥,则A B I ＝（ ）A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. RD. ∅【知识点】一元二次不等式;集合的并集运算.【答案解析】 B 解析 ：解：{01}A x x x =><-或,(0,)A B ⋂=+∞,故选B. 【思路点拨】把集合A 的范围求出后和集合B 取交集即可. 3. 定义行列式运算：12142334a a a a a a a a -＝,若将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是（ ）A. 8π B. 3πC. 56πD. 23π【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数.【答案解析】 C 解析 ：解：()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,其图象向左平移(0)m m >个单位长度后解析式为()2cos()6f x x m π=++,其为偶函数,则6m k ππ+=,当0k =时, min 56m π=. 【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m 的式子,求得最小值.4. 已知点(1,1),(2,)A B y -,向量(1,2)a =r ,若//AB a u u u r r,则实数y 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 【知识点】向量平行的坐标运算.【答案解析】 C 解析 ：解：(3,1),(1,2)AB y a =-=u u u r r ,//AB a u u u r r,则6-(y-1)=0,解得y=7.【思路点拨】找到AB u u u r 和a r的坐标,利用向量共线的充要条件12210x y x y -=即可求得.5. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为（ ） A. 256B. 83C.113D. 4【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,【思路点拨】由已知可得2a+3b=6,则23231(23)()6a b a b a b +=++⨯,然后利用基本不等式可求最小值.【典型总结】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题,要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）A. 14B. 15C.120D.1100【知识点】抽样方法;概率的计算.【答案解析】 C 解析 ：解：抽取40人中高级管理人员共40102200⨯=人, 则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率214020P ==,答案C 正确. 【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.7. 如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题：①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图； ②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题 的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【知识点】三视图和直观图的转化.【答案解析】 A 解析 ：解：易知①③成立,对于②,存在满足题意的三棱锥,其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点,侧棱长是底面直角三角形直角边的6倍. 【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、 侧棱长和底面三角形直角边的等量关系.8. 已知函数||2()x f x e x =+（e 为自然对数的底数）,且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围 为（ ）A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】 A 解析 ：解：∵f （x ）=e |x|+x 2,∴f （-x ）=e |-x|+（-x ）2=e |x|+x 2=f （x ）正视图 侧视图则函数f （x ）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f （-x ）=f （x ）=f （|-x|）∴f （3a-2）=f （|3a-2|）＞f （a-1）=f （|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a 2-10a+3＞0, 解得a ＜12或a ＞34故选A ．【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f （3a-2）＞f （a-1）转化成f （|3a-2|）＞f （|a-1|）,根据单调性建立不等关系,解之即可．【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用,绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力,属于基础题．9. p 是双曲线221916x y -=左准线上一点,12F F 、分别是其左、右焦点,2PF 与双曲线右支交于点Q,且23PQ QF =u u u r u u u u r,则1||QF u u u r 的值为（ ）A. 165B. 4C. 10225D. 172【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义.【答案解析】 D 解析 ：解：设Q 的横坐标为x,因为23PQ QF =u u u r u u u u r 得x=3310,由双曲线的第二定义得21533917()()31052a QF e x c =+=+=u u u r .【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q 的横坐标,再利用双曲线的第二定义得1||QF u u u r的值. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时, 12()()f x f x ≤,则1()2014f 的值为（ ） A. 1256B. 1128C. 164D.132【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值. 【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R 上的函数f （x ）满足f (0)＝0,f (x )+f (1−x )＝1, 1()()32x f f x =,11(1)(0)1,(1)1;()(1)122f f f f f ∴+=∴=+-=,1111();()(1)f f f ∴==f （x 1）≤f （x 2）,可找到1()2014f 的范围为111()()()145820142187f f f ≥≥,再根据 1111(),()2232f f ==求出11()()14582187f f 和的值, 为同一个值, 所以1()2014f 的值也等于这个值．二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分) (一)必考题(11:14题)11. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60/km h 是否合理,对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆. 【知识点】频率分布直方图.【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为 1-0.3-0.1=0.6,则车速低于限速的汽车数量为300*0.6=180 【思路点拨】求出低于限速的频率,再用样本容量乘以频率即可 得到满足题意的汽车数量.12. 某程序的框图如图所示,若输出的结果不大于37,则输入的整数i 的最大值为 . 【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 5 解析 ：解：由S=0,n=0得出S=0+20+1=2,n=1；由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2；由S=5,n=2得出S=5+22+1=10,n=3；由S=10,n=3得出S=10+23+1=19,n=4；由S=19,n=4得出S=19+24+1=36＜37,n=5；由S=36,n=5得出S=36+25+1＞37,∴当S=36时为满足条件时输出的结果,应终止循环,因此判定输入的整数i 的最大值为5．【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S 的值,直到满足S 不大于37时,进而即可得出结论．13. 已知不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++=的一切实数x y z 、、都成立,则实数a 的取值范围为 .【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.【答案解析】 (,2][4,)-∞-⋃+∞ 解析 ：解：由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x 2+y 2+z 2）≥（1×x+2×y+2×z）2，∴-3≤x+2y+2z≤3，当且仅当2221221x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩,即y ＝z ＝2x ＝23时，右边取等号；同理当且仅当y ＝z ＝2x ＝−23时左边取等号．所以13a ->,解得 a ∈(,2][4,)-∞-⋃+∞【思路点拨】由柯西不等式可得9=（1+2+2）（x +y +z ）≥（1×x+2×y+2×z），即可得出x+2y+2z 的取值范围,进而求得a 的取值范围.11题图12题图14. 如图,对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,26的“分裂”中最大的数是 ；32013的“分裂”中最大的数是 . 【知识点】归纳推理．【答案解析】 11 220132012+解析 ：解：对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂”中最大的数是11；在m 3（m 为奇数）的“分拆”的最大数是m 2+m-1,所以20132+2012=4054181,写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；在m 3中,所分解的最大数是m 2+m-1．根据发现的规律可求．(二)选考题(15:16题)15. （几何证明选讲）如图,在O e 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =g ,则AE ＝ .【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得： CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,又CF •CB=5,∴AE •EB=5, 即AE •（AB-AD ）=5,又AB=6,∴AE •（6-AE ）=5,解之得AE=1．故答案为：1【思路点拨】由于CD 垂直于直径AB,且EF ⊥BC,AB 为圆的直径,根据射影定理得,CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,从而得出AE •EB=5,又AB=6,从而有AE •（6-AE ）=5,由此可解出AE 的值．16. （坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M,而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 . 【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．【答案解析】51+ 解析 ：解：∵曲线C 的极坐标方程是p=2sin θ,两边同时乘以ρ,化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心,以1为半径的圆．直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 可14题图【思路点拨】曲线C 化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,直线l 的方程是三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值.【答案解析】 （1）T π=（2）max min ()2,()1f x f x ==解析 ：解：（1）2()[2(sin coscos sin )sin ]cos 33f x x x x x x ππ=++222sin cos x x x x =+sin 222sin(2)3x x x π==+于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2T ππ==分 （2）50,24336x x ππππ≤≤∴≤+≤Q 1sin(2)1,1223x y π∴≤+≤≤≤则max min ()2,()1f x f x ∴== （12分）【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2)3x π+,即可求出最小正周期T;(2)由x 得范围得到23x π+的范围，从而求得最大值和最小值.18. （本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n,点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若2n n b na =,求数列}{n b 的前n 项和.【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【答案解析】 （1）11()2n n a -= （2）11634994n n n T -+=-⨯ 解析 ：解：（1）因为点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上,所以1220n n a S ++-= （1分）当1n >时,1220n n a S -+-= （2分）两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+== （3分）又当1n =时,2121211122220,22a S a a a a +-=+-=== （4分） 所以数列}{n a 是首项11a =,公比12q =的等比数列,其通项公式为11()2n n a -= （6分）（2）由（1）知,214n nn nb na -==, （7分） 记数列}{n b 的前n 项和为n T ,则22123114444n n n n nT ---=+++++L （8分）3231442444n n n n nT ---=+++++L （9分）两式相减得32111111634354444334n n n n n n n T ----+=++++-=-⨯L （11分）所以数列}{n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯ （12分）【思路点拨】（1）由已知条件可得1? 2a +S 20n n +-=,可得n ≥2时, 1220n n a S -+-=,相减后再得数列{a n }是以1为首项,公比为12的等比数列,再求出通项公式； （2）根据（1）和条件求出b n ,再利用错位相消法求出其前n 项和T n ,然后化简整理求出前n 项和． 19. （本题满分12分）如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直.//,,222,.AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥===⊥ （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （2）线段EA 上是否存在点F,使//EC FBD 平面？若存在,求出EFEA；若不存在,请说明理由. 【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系. 【答案解析】（13（2）略解析 ：解：（1）设O 为AB 的中点,连接OD 、OE,因为平面ABE ⊥平面ABCD,且EO AB ⊥,所以EO ⊥平面ABCD,所以EO OD ⊥,在直角梯形ABCD 中,由CD ＝OB,//CD OB 可得OD AB ⊥,由OB 、OD 、OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为三角形EAB 为等腰直角三角形,所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ＝1 （2分） 由AB ＝2CD ＝2BC ＝2得(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -,所以(1,1,1)EC =-u u u r,平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r（4分）设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ,所以||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ=〈〉=u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 即直线EC 与平面ABE 3（6分） （2）存在点F,且13EF EA =时,有//EC 平面FBD （7分） 证明如下：由111,0,333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,所以42,0,33FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r （8分）设平面FBD 的法向量为(,,)n a b c =,则有0n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg , 所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取得1a =,得(1,1,2)n = （10分）因为(1,1,1)(1,1,2)0EC n =-=u u u rg g ,且EC ⊄平面FBD,所以//EC 平面FBD. 即点F 满足13EF EA =时,有//EC 平面FBD. （12分） 【思路点拨】（1）由平面ABE ⊥平面ABCD,且EO ⊥AB,可得EO ⊥平面ABCD,从而可得EO⊥OD ．建立空间直角坐标系,确定平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =u u u r, (1,1,1)EC =-u u u r,利用向量的夹角公式,可求直线EC 与平面ABE 所成的角;=0EC v ⋅=即可.20. （本题满分12分）中国蓝球职业联赛（CBA ）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a 万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】解析 ：解：（1）设n 为比赛的场数,n a 为第n 场比赛的票房收入,则2153,2,2n n n na a a an a S a +==+= （2分）4n ≥Q ,∴组织者至少可以获得票房收入是：24454182S a a +⨯==万元 （2）（理）当ξ表示决出胜负的比赛场数,则ξ的取值为4,5,6,7, （5分）14211(4)()28P C ξ=== （6分） 1352411(5)()24P C C ξ=== （7分）1362515(6)()216P C C ξ=== （8分） 1372615(7)()216P C C ξ=== （9分）ξ的概率分布列为：4567 5.8125841616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, （11分）所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a ）+（3a+2a ）+（3a+3a ）,计算可得答案； （2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点A ,且离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(1,0)B -的直线l ,使得l 与椭圆C 交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【答案解析】（1）2214x y +=（2）略解析 ：解：（1）由题意知c e a ==, 即22222231,44c a b a c a ==-=,所以,椭圆的方程为222241x y a a+= （2分）又因为A 为椭圆上的点,所以2211214a a +=解得24a =,可知21b =,所以,椭圆C 的方程为2214x y += （5分）（2）因为直线l 经过椭圆内的点(1,0)B -,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l的斜率不存在时,其方程是1x =,代入2214x y +=得y =,可知((1,M N --,所以,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O （7分）当直线l 的斜率存在时,可设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =+, 由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)8440k x k x k +++-=, 22121222844,1414k k x x x x k k --+==++g , （9分） 若以MN 为直径的圆经过坐标原点O,则0OM ON =u u u u r u u u rg （10分） 可得222121212121212(1)(1)(1)()0x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++=g即2222222448(1)01414k k k k k k k--+++=++g ,解得2k =±.综上所述,存在过点(1,0)B -的直线l ,使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O,l 的方程为2222y x y x =+=--或 （13分）221(0,0)y a b b=>>经过点 A (1,2,且离心率e=,结合b 2=a 2-c 2,即可求得椭圆C 的方程; （2）因为直线l 经过椭圆内的点B （-1,0）,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N ．当直线l 的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l 的斜率存在时,设方程是y=k （x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN 为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值； （2）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数b 的取值范围；（3）若1b =-,证明对任意的正整数n ,不等式33311111()123nk f k n =∑<++++L 成立. 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.- 11 - 【答案解析】解析 ：解：（1）由10x +>,得1x >-. ()f x ∴的定义域为()1,-+∞ （1分）因为对(1,)x ∈-+∞,都有()(1),(1)()f x f f f x ≥∴是函数的最小值,故有'(1)0f =. （2分） 又'()2,'(1)2012b b f x x f x =+∴=+=+,解得4b =- （3分） 经检验,当4b =-时,()f x 在(1,1)-上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)f 为最小值, 故满足()(1)f x f ≥成立. （4分）（2）222'()211b x x b f x x x x ++=+=++Q ,又函数()f x 在定义域上是单调函数. '()0'()0f x f x ∴≥≤或在()1,-+∞上恒成立 （6分） 即2211222()22b x x x ≥--=-++恒成立,由此得12b ≥； （8分） 若'()0f x ≤,则201b x x +≤+在()1,-+∞上恒成立.即2211222()22b x x x ≤--=-++恒成立. 因为2112()22x -++在()1,-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立. 综上所述,实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （10分） （3）当1b =-时,函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)h x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)'()3211x x h x x x x x +-=-+-=-++,当(0,)x ∈+∞时,'()0h x <, 所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减又(0)0,h =∴当[)0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h <=, 即23ln(1)x x x -+<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时,有3()f x x < （12分）*1,(0,)k N∈∴∈+∞Q ,取1x =,则有311()f <.33311111()1n k f =∴∑<++++L （14分）。
湖北高考理科数学模拟试题(含详解).doc
2013届高考猜题、押题卷理数试卷命题人：高三数学备课组组长胡国书本试题考试时间为120分钟，满分为150分一．选择题(本大题共10小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合},1|{},lg |{2+=∈==∈=x y R y N x y R x M 则集合N M =（ ）A ．),0(+∞B ．[)+∞,1C ．),(+∞-∞D ．(]1,02．在下列各数中，与sin2009°的值最接近的数是（ ） A ．21B ．23C ．21-D ．23-3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上存在不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ） A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或q ⌝”为假 C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假4. 若6260126(1)mx a a x a x a x +=++++ ，且12663a a a +++=, 则实数m 的值为（ ） Ａ. 1或3Ｂ. -3C. 1Ｄ. 1或 -35．设f （x ）是定义在正整数集上的函数，且f （k ）满足：当“f （k ）≥k 2成立时，总可推出f （k ＋1）≥（k ＋1）2成立”．那么下列命题总成立的是（ ）A ．若f （3）≥9成立，则当k ≥1，均有f （k ）≥k 2成立B ．若f （5）≥25成立，则当k ＜5，均有f （k ）≥k 2成立C ．若f （7）＜49成立，则当k ≥8，均有f （k ）＜k 2成立D ．若f （4）＝25成立，则当k ≥4，均有f （k ）≥k 2成立6．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点（－1,3）和（1,1），若0<c <1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,3] B ．[1,3] C ．（1,2） D ．（1,3）7．在平面直角坐标系中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，O 为坐标原点，设向量OA =2i +j ，OB =3i +k j ，若A ，O ，B 三点不共线，且△AOB 有一个内角为直角，则实数k 的所有可能取值的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．曲线422=+y x 与曲线22cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩ （[0,2)θπ∈）关于直线l 对称，则直线l的方程为 ( ) A ．2-=x y B ．0=-y xC ．02=-+y xD ．02=+-y x9．如图是函数y ＝sin x (0≤x ≤π)的图象，A (x ，y )是图象上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交其图象于另一点B (A ，B 可重合)．设线段AB 的长为f (x )，则函数f (x )的图象是( )10．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是 （ ）A ．32 B ． 314C ．22D ．3-1二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中横线上．) 11．定义max{a ，b }=⎩⎨⎧<≥)()(b a b b a a ，已知实数x ，y 满足|x |≤2，|y |≤2，设z =max{4x +y ,3x -y },则z 的取值范围是12．为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料，两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为 （用数字作答）13．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 人．14．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22||||=+y x 的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 ．15．如图所示，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到点(0，1)，然后它接着按图所示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…）且每秒移动一个单位长度．（i ）粒子运动到（4，4）点时经过了 秒；（ii ）第2009秒时，粒子所处的位置为 ．yx1 2 3 412 3 O三．解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 16．（本小题满分12分）已知向量)1,3(=a ，向量)cos ,(sin ααm b -=， (Ⅰ)若b a //，且)2,0[πα∈，求实数m 的最小值及相应的α值；(Ⅱ)若b a ⊥，且0=m , 求 )cos()2sin()2cos(απαπαπ-+⋅- 的值.17. （本小题满分12分）一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求： （Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率； （Ⅱ）摸球次数X 的概率分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在边长为12的正方形A 1 AA ′A 1′中，点B 、C 在线段AA ′上，且AB = 3，BC = 4，作BB 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ；作CC 1∥AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ；将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A ′A 1′ 与AA 1重合，构成如图所示的三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，（Ⅰ）求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）求面PQA 与面ABC 所成的锐二面角的大小．（Ⅲ）求面APQ 将三棱柱ABC —A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A 1B 1C 1A ′1A ′A BCP Q AB CA 1B 1C 1 QP19．（本小题满分12分）据中新网2009年4月9日电，日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火，鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰．火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、……、第50（n －1）米至50n 米的圆环面为第n 区，……，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，……，以此类推．（Ⅰ）若第n 区每平方米的重量为a n 千克，请写出a n 的表达式；（Ⅱ）第几区内的火山灰总重量最大？（Ⅲ）该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨（π 取3，结果精确到万吨）？20.（本小题满分13分）已知点(4,0)C 和直线:1l x =，作,PQ l ⊥垂足为Q ，且(2)(2)0.PC PQ PC PQ +⋅-=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程;（Ⅱ）过点C 的直线m 与点P 轨迹交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，120x x >，点(1,0)B ，若BMN ∆的面积为m 的方程.21．（本小题满分14分）给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f (x )=ln x ，g (x )=x 2-af (x )，h (x )=x -a x ，已知g (x )在x =1处取得极值.(Ⅰ)确定函数h (x )的单调性. (Ⅱ)求证：当1＜x ＜e 2时，恒有x ＜)(2)(2x f x f -+成立；(Ⅲ)把函数h (x )的图象向上平移6个单位长度得到函数h 1(x )的图象，试确定函数y =g (x )- h 1(x )的图象与X 轴交点个数，并说明理由.2013届高考猜题、押题卷理数试卷参考答案一． 选择题BCCDD CBDAD1. B 解析：易得M=(0,＋∞),N=[1, ＋∞),从而选B.2．C 解析: sin2009°=1sin(5360209)sin 209sin(18029)sin 292⨯+==+=-≈-. 3. C 解析: 命题p ，q 均为假命题，从而选C4. D 解析: 易得01a =,从而66(1)2m +=，则1m =或3m =-5．D 解析：由题意设f （x ）满足：“当f （k ）≥k 2成立时，总可推出f （k ＋1）≥（k ＋1）2成立．”，因此，对于A ，不一定有k ＝1,2时成立．对于B 、C 显然错误．对于D ，∵f （4）＝25＞42，因此对于任意的k ≥4，有f （k ）≥k 2成立．6．C 解析：.将x ＝－1，y ＝3和x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2＋bx ＋c中得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a －b ＋c ，1＝a ＋b ＋c ，∴b ＝－1.∴a ＋c ＝2.又∵0<c <1，∴0<2－a <1.∴1<a <2.7. B 解析：由题设，OA =（2，1），OB =（3，k ），则AB =（1，k -1）.当OA ⊥OB 时，OA ·OB =0⇒k =-6； 当OA ⊥AB 时，OA ·AB =0⇒k =-1；当OB ⊥AB 时，OB ·AB =0⇒k 2-k +3=0（无解）. 所以k 的所有可能取值有2个，故选B.8. D 解析： 两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为02=+-y x ． 9. A 解析: 由条件知，若A (x ，y )，则B (π－x ，y )，∴y ＝f (x )＝|π－x －x |＝|π－2x |，图象即为选项A.10.D 解析：连接AE ，则AE ⊥DE .设AD =2c ，则DE =c ，AE =3c .椭圆定义，得2a =AE +ED =3c +c ，所以e =a c=132+=3-1，故选D.二，填空题11，[-7，10] 12,1440 13,4320 14, ①②④⑤ 15, （i ）20；（ii ）（15，44）11.解析：由题设，z =max{4x +y ,3x -y }=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≥+)21(3)21(4x y y x x y y x ，且|x |≤2，|y |≤2.作可行域，由图知，目标涵数z =4x +y 在点（2，2）处取最大值10，在点（-2，1）处取最小值-7.目标函数z =3x -y 点（2，-2）处取最大值8，在点（-2，1）处取最小值-7. 所以z 的取值范围是[-7，10]，故选A. 12. 解析】4345A A = 1440．13.解析：4320 醉酒驾车的频率为0.15，从而人数约为4320人． [答案] ①②④⑤14.解析：将(,)x y 替换为(,)x y --，(,)y x --可知①②正确；该曲线与坐标轴无交点可知，该曲线不是封闭曲线，③不正确；方程可变形为222222x y x y xy xy +=≥⇒≥（当且仅当x y ==时取等），与圆无公共点，且与曲线D 有四个交点，④⑤正确． 15．解析：（i ）20；（ii ）将粒子的运动轨迹定义为数对（i ，j ） 则它的运动整点可排成数表 （0，0）（0，1） （1，1） （1，0）（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）通过推并可知：经过2 = 1×2s ，运动到（1，1）经过6 =2×3s ，运动到（2，2） 经过12 =3×4s ，运动到（3，3）∴经过44×45 = 1980s ，运动到（44，44）再继续运动29s ，到达点（15，44）．三．解答题16．【解析】（Ⅰ）∵b a //，∴)(sin 1cos 3m -⨯-αα= 0， （2分）∴)3sin(2cos 3sin πααα-=-=m ， （3分）又∵α∈R ，∴1)3sin(-=-πα时，m min = –2.又)2,0[πα∈，所以πα611=（6分） （Ⅱ）∵b a ⊥，且0=m ,∴0cos sin 3=+αα∴tan α=（9分）∴)cos()2sin()2cos(απαπαπ-+⋅-αααcos )2sin (sin --⋅=ααα2tan 1tan 2tan +⋅=21= （12分）17．解: （Ⅰ）恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：开心心，心开心，心心开，心心乐． 则恰好摸到2个“心”字球的概率是53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=． (4分)（Ⅱ）1,2,3X =，则 121101(1)5C P X C ===，11821110104(2)25C C P X C C ==⋅=，16(3)1(1)(2)25P X P X P X ==-=-==． (8分) 故取球次数X 的分布列为1235252525EX =⨯+⨯+⨯=． (12分)18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5∵AC 2 = AB 2 + BC 2 ∴AB ⊥BC 又AB ⊥BB 1 且BC ∩BB 1 = B∴AB ⊥面BCC 1B 1 （4分） （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系 则A (3，0，0)，P(0，0，3)，Q (0，4，4) 设面APQ 的法向量为m = (x ，y ，z )y330440x z y z -+=⎧⎨+=⎩⇒m = (1，–1，1) 而面ABC 的法向量可以取n = (0，0，1)∴cos ,m n ==∴面PQA 与面ABC 所成的锐二面角为（8分） （Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7． ∴S 四边形BCQP =()(37)42022BC BP CQ ⋅++⨯==∴V A —BCQP =13×20×3 = 20又∵V 111ABC A B C -=113412722ABCSAA ⋅=⨯⨯⨯=． ∴7220521320205V V -===上下． （12分） 19．解析:（Ⅰ）11)02.01(1000%)21(1000---=-=n n n a （*n N ∈）． （2分） （Ⅱ）设第n 区内的面积为b n 平方米，则 )12(2500)1(50502222-=--=n n n b n πππ． （4分）则第n 区内火山灰的总重量为1%)21)(12(2500---==n n n n n b a C π（吨）1)98.0)(12(4--=n n π（万吨）（6分）设第n 区火山灰总重量最大，则⎪⎩⎪⎨⎧+≥--≥----n n n n n n n n )98.0)(12(4)98.0)(12(4)98.0)(32(4)98.0)(12(4121ππππ解得,21502149≤≤n ∴n =50. 即得第50区火山灰的总重量最大. （8分） （Ⅲ）设火山喷发的火山区灰总重量为S 万吨， 则,21 ++++=n C C C S 设,02.01,21-=+++=q C C C S n n 则124)12(45434--++++=n n q n q q S ππππ① ∴nn q n q q q qS 4)12(4543432ππππ-++++=② 由①-②得nn n q n q q q S q 4)12()(24)1(12πππ--++++=-- ∴nn n q q n q q q q S )1(4)12()1(2)1()1(421-----+-=-πππ（10分）∵0＜q ＜1，∴220.98lim 37124(1)2(1)40.022(0.02)n n qS S q q ππππ→∞⨯==+=+≈--⨯⨯（万吨）因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨． （12分） 20. 解：(Ⅰ) 由已知(2)(2)0,PC PQ PC PQ +⋅-=知2240PC PQ -=.所以2PC PQ =设(,)P x y 21x =-平方整理得．221.412x y -= (4分) （Ⅱ）由题意可知设直线m 的斜率不为零，且(4,0)C 恰为双曲线的右焦点，设直线m 的方程为4x ty =+，由22221(31)243604124x y t y ty x ty ⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩(6分) 若2310t -=，则直线m 与双曲线只有一个交点，这与120x x >矛盾，故2310t -≠.由韦达定理可得12212224313631t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩212121212222222(4)(4)4()16362434141600,3131313x x ty ty t y y t y y t t t t t t t t ∴=++=+++-+=++>⇒<⇒<--- (8分)1212ABCS BC y y ∆∴=-====2221911,,4543t t t ⇒==<或211.42t t ∴=⇒=± (10分) 故直线l 的方程为280280x y x y +-=--=或. (13分)21.解：（Ⅰ）由题设，g (x )=x 2-a ln x ，则g'(x )=2x -xa. 由已知，g'(1)=0，即2-a =0⇒a =2. (2分) 于是h (x )=x -2x ，则h'(x )=1-x1. 由h'(x )= 1-x1＞0⇒x ＞1，所以h (x )在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数. (4分)（Ⅱ）当1＜x ＜e 2时，0＜ln x ＜2，即0＜f (x )＜2. 欲证x ＜)(2)(2x f x f -+，只需证x [2-f (x )]＜2+ f (x )，即证f (x )＞1)1(2+-x x . 设)(x ϕ=f (x )-1)1(2++x x =ln x -1)1(2+-x x ，则)('x ϕ=x 1-2)1()1(2)1(2+--+x x x =22)1()1(+-x x x . 当1＜x ＜e 2时，)('x ϕ＞0，所以)(x ϕ在区间(1，e 2)上为增函数. 从而当1＜x ＜e 2时，)(x ϕ＞)1(ϕ=0，即ln x ＞1)1(2+-x x ，故x ＜)(2)(2x f x f -+. （8分）（Ⅲ）由题设，h 1(x )=x -2x +6.令g (x )- h 1(x )=0，则x 2-2ln x -(x -2x +6)=0，即2x -2ln x =-x 2+x +6. 设h 2(x )=2x -2ln x ，h 3(x )=-x 2+x +6(x ＞0)，h'2(x )=21-x2=x x 2 ，由x -2＞0，得x ＞4.所以h 2(x )在(4，+∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数. (10分)又h 3(x )在(0，21)上是增函数，在(21，+∞)上是减函数. 因为当x →0时，h 2(x )→+∞，h 3(x )→6.又h 2(1)=2，h 3(1)=6，h 2(4)=4-2ln4＞0，h 3(4)=-6， 则函数h 2(x )与h 3(x )的大致图象如右：由图可知，当x ＞0，两个函数图象有2个交点，故函数y =g (x )-h 1(x )与X 轴有2个交点. (14分)。