山东省德州市德城区2016届中考数学二模试卷含答案解析

2016年山东省德州市德城区中考数学二模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列计算正确的是（）
A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）
A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010
4．由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
5．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
6．下列说法错误的是（）
A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
D．两点之间线段最短
7．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）
A．B．C．D．
8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b ＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
9．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为（）
A．12 B．4C．8D．6
10．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）
A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4
11．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的（）
A．B．
C．D．
12．对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）
A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，则另一个根为．
14．要使式子有意义，则a的取值范围为．
15．如图：点A在双曲线上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=．
16．现有一个圆心角为90°，半径为4cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x 轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的横坐标为2，则B2016的坐标为．
三、解答题（本大题共7个小题，满分64分）
18．化简求值：（﹣）÷．其中x=﹣1．
19．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）七年级（1）班学生总人数为人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为
度，请补全条形统计图；
（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
20．如图1是景德镇市白鹭大桥，此桥为独斜塔无背索斜拉桥，是高度的科学性与艺术性的完美结合．如图2是主桥段AN﹣NO﹣OB的一部分，其中NO部分是一段水平路段，西侧AN是落差高度约为1.2米的小斜坡（图中AH=1.2米），斜塔MN与水平线夹角为58°．为了测量斜塔，如图3，小敏为了测量斜塔，她在桥底河堤西岸上取点P处并测得点A与塔顶M的仰角分别为45°与76°，已知PQ=24.4米（点Q为M在桥底的投影，且M，A，Q在一条直线上）．
（1）斜塔MN的顶部M距离水平线的高度MH为多少？
（2）斜塔MN的长度约为多少？（精确到0.1）
参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．
22．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
23．如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．
24．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．
2016年山东省德州市德城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列计算正确的是（）
A．（）﹣2=9 B．=﹣2 C．（﹣2）0=﹣1 D．|﹣5﹣3|=2
【考点】算术平方根；绝对值；有理数的乘方；零指数幂．
【分析】根据负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂、绝对值的性质逐一判断即可．
【解答】解：A.=9，故本项正确；
B.，故本项错误；
C．（﹣2）0=1，故本项错误；
D．|﹣5﹣3|=|﹣8|=8，股本项错误，
故选：A．
【点评】本题考查了负整数指数幂、求算术平方根、零指数幂、绝对值的性质，熟练掌握运算法则及性质是解题的关键．
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．矩形 D．圆
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．
【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、只是中心对称图形，不合题意；
C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．
故选A．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）
A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4 400 000 000=4.4×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，利用两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再利用外角性质求解．
【解答】解：如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，
∵l1∥l2，∠1=120°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∴∠3=∠2﹣∠4=100°﹣60°=40°．
故选B．
【点评】本题主要考查作辅助线构造三角形，然后再利用平行线的性质和外角性质求解．
6．下列说法错误的是（）
A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而增大
D．两点之间线段最短
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】A．抛物线y=﹣x2+x的开口向下，正确，
B．角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，
C．一次函数y=﹣x+1的函数值随自变量的增大而减小，原命题错误，
D．两点之间线段最短，正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出出现的点数之和大于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中出现的点数之和大于4的结果数为30，
所以能过第二关的概率==．
故选A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8．如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b ＞kx+4的解集是（）
A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，
即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为（）
A．12 B．4C．8D．6
【考点】旋转的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，
∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到
∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，
根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，
解得：x=4，
∴EC=4，
则S△AEC=EC•AD=4．
故选：B．
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
10．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）
A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．
【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．
【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3
设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，
设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，
∴正六边形的周率是a3==3，
圆的周率是a4==π，
∴a4＞a3＞a2．
故选：B．
【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．
11．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是图中的（）
A．B．C．
D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】当y＞0时，﹣＜x＜，所以可判断a＜0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣，0）
和（，0），即可求得﹣=，=﹣，得出a=﹣6b，a=﹣6c，则b=c，不妨设c=1，进而得出解析式，找出符合要求的答案．
【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，﹣＜x＜．
∴a＜0，c＞0，函数y=ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣，0）和（，0），
∴﹣=﹣=，=×（﹣）=﹣，
∴a=﹣6b，a=﹣6c，
∴b=c，不妨设c=1
∴函数y=cx2﹣bx+a为函数y=x2﹣x﹣6
即y=（x+2）（x﹣3）
∴与x轴的交点坐标是（﹣2，0），（3，0）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，根与系数的关系，根据二次函数与不等式的关系判断出a、b、c的正负情况以及a、c的关系是解题的关键．
12．对于点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足
C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）
A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则
x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上．
【解答】解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），
如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），
那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），
D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），
E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），
F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），
又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，
∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），
∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，
令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，
则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=﹣x+k上，
∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，则另一个根为﹣3．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为﹣1，设另一根为x1，由根与系数关系：﹣1•x1=3，解得x1=﹣3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数关系式的合理选择．
14．要使式子有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15．如图：点A在双曲线上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=﹣4．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB=2，
∴|k|=4，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
16．现有一个圆心角为90°，半径为4cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为1cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【解答】解：圆锥的底面周长是：．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=，
解得：r=1．
故答案是：1cm．
【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=．在直线l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交直线l于点A2，继续操作：过点A2作x 轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，依次这样得到双曲线上的点
B1，B2，B3，B4，…，B n．记点A1的横坐标为2，则B2016的坐标为（﹣，﹣3）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】规律型．
【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2016的值，根据题意可得A1不能在x 轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．
【解答】解：当a1=2时，B1的纵坐标为，
B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=﹣，
A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=﹣，
B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=﹣，
A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=﹣3，
B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2，
A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=，
即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，
b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，
∵=671，
∴a2016=a3=﹣．
故答案为：（﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．
三、解答题（本大题共7个小题，满分64分）
18．化简求值：（﹣）÷．其中x=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先对括号内的分式通分相减，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式=（﹣）•
=•
=，
当﹣1 时，原式=+．
【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行通分、约分是本题的关键．
19．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音乐类（记为B）、球类（记为C）、其它类（记为D）．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）七年级（1）班学生总人数为48人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为105度，请补全条形统计图；
（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），
继而可得扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×=105°；然后求得C类的人数，则可补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），
∴扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×=105°；
故答案为：48，105；
C类人数：48﹣4﹣12﹣14=18（人），如图：
（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，
∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．如图1是景德镇市白鹭大桥，此桥为独斜塔无背索斜拉桥，是高度的科学性与艺术性的完美结合．如图2是主桥段AN﹣NO﹣OB的一部分，其中NO部分是一段水平路段，西侧AN是落差高度
约为1.2米的小斜坡（图中AH=1.2米），斜塔MN与水平线夹角为58°．为了测量斜塔，如图3，小敏为了测量斜塔，她在桥底河堤西岸上取点P处并测得点A与塔顶M的仰角分别为45°与76°，已知PQ=24.4米（点Q为M在桥底的投影，且M，A，Q在一条直线上）．
（1）斜塔MN的顶部M距离水平线的高度MH为多少？
（2）斜塔MN的长度约为多少？（精确到0.1）
参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）根据三角函数计算即可．
【解答】解：（1）如图3，依题意可知PQ=24.4，∠APQ=45°，∠MPQ=76°，
∴AQ=24.4，MQ=PQ•tan76°=24.4•4，
∴AM=MQ﹣AQ=24.4•3=73.2．
如图2，MH=AM﹣AH=72（m），
即斜塔MN的顶部点M距离水平线的高度MH为72m；
（2）MN=≈84.7（m），
即斜塔MN的长度约为84.7m
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，点E是上一点，∠DAC=∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的值．
【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明AC是⊙O的切线，只需证得AB⊥AC即可；
（2）通过相似三角形（△ADC∽△BAC）的对应边成比例求得AC=6．由圆周角、弧、弦间的关键推知CA=CF=6，故DF=CA﹣CD=2．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED=∠CAD，∠C=∠C，∴∠C+∠CAD=∠C+∠B=90°．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
即AB⊥AC于点A．
又∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC．
∴．即AC2=BC×CD=36．
解得AC=6．
∵点E是的中点，
∴∠DAE=∠BAE．
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA﹣CD=2．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；
（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；
（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
【解答】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，于是有
x+3（10﹣x）=14，
解得：x=8，
则10﹣x=10﹣8=2（件）
所以应生产A种产品8件，B种产品2件；
（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，由题意有：
，
解得：2≤x＜8；
所以可以采用的方案有：，，，，，，共6种方案；
（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
则利润y=x+3（10﹣x）=﹣2x+30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3=26万元．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而求出来．
23．如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）首选根据正方形的性质得出∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，进而得出△AOF≌△BOE（ASA），即可得出△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4﹣x得出EF的长，进而得出EO，FO的长，即可得出S关于x的函数关系式；。