三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第九章 平面解析几何4 理
【中小学资料】三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第九章 平面解析几何6 理
第六节 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·重庆,10)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D ,若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞,－1)∪(1,＋∞) C.(－2,0)∪(0,2) D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)2.(2014·辽宁,10)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.433.(2014·新课标全国Ⅱ,10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.944.(2014·福建,9)设P ,Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( )A.5 2B.46＋ 2C.7＋ 2D.6 25.(2014·湖北,9)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2＝π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C.3D.26.(2014·四川,10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728D.107.(2016·全国Ⅲ,20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.8.(2016·全国Ⅰ,20)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.9.(2016·北京,19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.10.(2016·江苏,22)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l ：x －y －2＝0,抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p )； ②求p 的取值范围.11.(2016·山东,21)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32,抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1,△PDM 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.12.(2015·山东,15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ,A ,B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为________. 13.(2015·浙江,19)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ,B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).14.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程.15.(2015·天津,19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0),离心率为33,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ,|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.16.(2015·四川,20)如图,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.17.(2015·山东,20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ,B两点,射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.18.(2015·湖南,20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC →与BD →同向. ①若|AC |＝|BD |,求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明：直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.19.(2014·北京,19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y ＝2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系,并证明你的结论.20.(2014·山东,21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E . (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.21.(2014·广东,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.22.(2014·湖北,21)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.23. (2014·安徽,19)如图,已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0),过原点O 的两条直线l 1和l 2,l 1与E 1,E 2分别交于A 1,A 2两点,l 2与E 1,E 2分别交于B 1,B 2两点.(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1,l 2)与E 1,E 2分别交于C 1,C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2,求S 1S 2的值.24.(2014·四川,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x ＝－3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q . (ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； (ⅱ)当|TF ||PQ |最小时,求点T 的坐标.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北张家口模拟)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A.9B.6C.4D.32.(2016·山东日照下学期第一次模拟)已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ,B 两点,点F 为抛物线的焦点,△ABF 为直角三角形,则双曲线的离心率为( )A.3B.2C. 6D. 33.(2016·嘉兴一模)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B两点.设O 为坐标原点,则OA →·OB →等于( )A.-3B.-13C.-13或-3D.±134.(2015·合肥模拟)如图所示,A 是圆O 内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的中垂线CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.(2016·山东枣庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交,则双曲线C 的离心率的取值范围是________.6.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点,以双曲线x 216－y 29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E ,F 是椭圆上关于原点对称的两点,则当直线PE ,PF 的斜率都存在,并记为k PE ,k PF 时,k PE ·k PF 是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.7.(2015·泉州质检)若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异的两点A ,B ,则a 的取值范围是________.8.(2015·济宁模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ,求直线l 的方程和点M 的坐标.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [由题意A (a ,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ,由双曲线的对称性知D 在x 轴上,设D (x ,0),由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x ·b 2a a －c ＝－1,解得c －x ＝b 4a 2（c －a ）,所以c －x ＝b 4a 2（c －a ）＜a ＋a 2＋b2＝a ＋c ,所以b 4a 2＜c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2＜1⇒0＜ba＜1,因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1),选A.]2.D [∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上,∴－p2＝－2,∴p ＝4,∴y 2＝8x ,设直线AB的方程为x ＝k (y －3)－2①,将①与y2＝8x 联立,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －3）－2y 2＝8x ,得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0②,则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0,即2k 2－3k －2＝0,解得k ＝2或k =-12(舍去),将k ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝8,即B (8,8),又F (2,0),∴k BF ＝8－08－2＝43,故选D.] 3.D [易知直线AB 的方程为y ＝33(x －34),与y 2＝3x 联立并消去x 得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝33,y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D.] 4.D [设圆的圆心为C ,则C (0,6),半径为r ＝2,点C 到椭圆上的点Q (10cos α,sin α)的距离|CQ |＝（10cos α）2＋（sin α－6）2＝46－9sin 2α－12sin α ＝50－9（sin α＋23）2≤50＝52,当且仅当sin α＝－23时取等号,所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62,即P ,Q 两点间的最大距离是62,故选D.]5.A [假定焦点在x 轴上,点P 在第一象限,F 1,F 2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0,n >0),它们的离心率分别为e 1,e 2,则|PF 1|＝a ＋m ,|PF 2|＝a －m ,在△PF 1F 2中,4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cosπ3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2＝4,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋m c 2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433,当且仅当a ＝3m 时,等号成立 ,故选A.]6.B [设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(不妨假设y 1>0,y 2<0),直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ,且直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝x消去x ,得y 2－ty －m ＝0,所以y 1y 2＝－m .又OA →·OB →＝2,所以x 1x 2＋y 1y 2＝2,(y 1y 2)2＋y 1y 2－2＝0,因为点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧, 所以y 1y 2＝－2,故m ＝2.又F (14,0),于是S △ABO ＋S △AFO ＝12×2×(y 1－y 2)＋12×14×y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1×2y 1＝3, 当且仅当98y 1＝2y 1,即y 1＝43时取“＝”,所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.]7.解 由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,设l 1：y ＝a ,l 2：y ＝b ,则ab ≠0,且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a , Q ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ,R ⎝⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ,B 两点的直线为l ,则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明 由于F 在线段AB 上,故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.所以 AR ∥FQ . (2)设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0), 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12, S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2,所以x 1＝1,x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ,所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. 所以,所求轨迹方程为y 2＝x －1.8.(1)证明 因为|AD |＝|AC |,EB ∥AC ,故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ,所以|EB |＝|ED |, 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16,从而|AD |＝4,所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0),B (1,0),|AB |＝2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3,x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3, 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1),A 到m 的距离为2k 2＋1,所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).当l 与x 轴垂直时,其方程为x ＝1,|MN |＝3,|PQ |＝8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83). 9.(1)解 由已知c a ＝32,12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,b ＝1,c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知,A (2,0),B (0,1).设椭圆上一点P (x 0,y 0),则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时,直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2),令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2. 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时,y 0＝－1,|BM |＝2,|AN |＝2,所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 10.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0,∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0). 即抛物线的焦点为(2,0),∴p2＝2,p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2, 又∵P 、Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1,即y 1＋y 2＝－2p ,∴y 1＋y 22＝－p ,又∵PQ 的中点一定在l 上,∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p ).②解 ∵PQ 的中点为(2－p ,－p ),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0,有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0,解得0＜p ＜43,故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.11.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32,可得a 2＝4b 2,因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,所以b ＝12,a ＝1,所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0),由x 2＝2y ,可得y ′＝x ,所以直线l 的斜率为m ,因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m ).即y ＝mx －m 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0,得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1,因此x 0＝2m 34m 2＋1,将其代入y ＝mx －m 22,得y 0＝－m 22（4m 2＋1）,因为y 0x 0＝－14m . 所以直线OD 方程为y ＝－14m x ,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14, 所以点M 在定直线y ＝－14上.②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22,令x ＝0,得y ＝－m 22,所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22, 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）,所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m4,S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1,则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2,当1t ＝12, 即t ＝2时,S 1S 2取到最大值94,此时m ＝22,满足(*)式,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.12.32 [由题意,不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ,直线OB 的方程为y ＝－bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ,∴x ＝2pb a ,y ＝2pb 2a 2,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2. 设抛物线C 2的焦点为F ,则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,∴k AF ＝2pb2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB ＝－1,∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1,∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ,则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.]13.解 (1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点,所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0,①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62,则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t ),所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时,等号成立.故△AOB 面积的最大值为22.14.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0,则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2, 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1. 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.15.解 (1)由已知有c 2a 2＝13,又由a 2＝b 2＋c 2,可得a 2＝3c 2,b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0),F (－c ,0),则直线FM 的方程为 y ＝k (x ＋c ).由已知,有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22,解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1,直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c ),两个方程联立,消去y ,整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0,解得x ＝－53c ,或x ＝c .因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433.解得c ＝1,所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ,y ),直线FP 的斜率为t ,得t ＝yx ＋1,即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1),与椭圆方程联立.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ,整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6, 又由已知,得t ＝6－2x 23（x ＋1）2＞2,解得－32＜x ＜－1,或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ,得m ＝y x ,即y ＝mx (x ≠0),与椭圆方程联立,整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时,有y ＝t (x ＋1)＜0,因此m ＞0,于是m ＝2x 2－23,得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时,有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0,于是m ＝－2x 2－23,得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上,直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.16.解 (1)由已知,点(2,1)在椭圆E 上,因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2,b ＝2,所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点, 如果存在定点Q 满足条件,则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1,即|QC |＝|QD |,所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0),当直线l 与x 轴垂直时,设直线l 与椭圆相交于M ,N 两点, 则M ,N 的坐标分别为(0,2),(0,－2), 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |,有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1,解得y 0＝1,或y 0＝2, 所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点坐标只可能为(0,2), 下面证明：对任意直线l ,均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |,当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1,A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0,其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0,所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1,x 1x 2＝－22k 2＋1,因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k , 易知,点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2,y 2),又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1,k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1, 所以k QA ＝k QB ′,即Q ,A ,B ′三点共线,所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |,故存在与P 不同的定点Q (0,2),使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立.17.解 (1)由题意知2a ＝4,则a ＝2,又c a ＝32,a 2－c 2＝b 2, 可得b ＝1,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |＝λ,由题意知Q (－λx 0,－λy 0).因为x 204＋y 20＝1,又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1,即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1,所以λ＝2,即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程,可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0,由Δ＞0,可得m 2＜4＋16k 2,①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2,x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t ,将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程,可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0,由Δ≥0,可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1, 因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ,故S ≤23, 当且仅当t ＝1,即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知,△ABQ 面积为3S ,所在△ABQ 面积的最大值为6 3.18.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2＝4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32,所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①,②得a 2＝9,b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).①因AC →与BD →同向,且|AC |＝|BD |,所以AC →＝BD →,从而x 3－x 1＝x 4－x 2,即x 1－x 2＝x 3－x 4, 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2,x 3x 4＝－649＋8k2,⑤将④,⑤代入③,得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2,即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2, 所以(9＋8k 2)2＝16×9,解得k ＝±64,即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1),即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0得x ＝x 12,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0,所以|FM →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而|FA →|＝(x 1,y 1－1),于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.19.解 (1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4,b 2＝2,从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2,c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →＝0,即tx 0＋2y 0＝0,解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时,y 0＝－t 22,代入椭圆C 的方程,得t ＝±2,故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t ),即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4,t ＝－2y 0x 0,故d ＝|2x 0＋2y 2x 0|x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.20.解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设D (t ,0)(t >0),则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |,由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|,解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去).由p ＋2t4＝3,解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0),设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D ,0)(x D >0),因为|FA |＝|FD |,则|x D －1|＝x 0＋1,由x D >0得x D ＝x 0＋2,故D (x 0＋2,0).故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ,代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0,由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0,得b ＝－2y 0.设E (x E ,y E ),则y E ＝－4y 0,x E ＝4y 20.当y 20≠4时,k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4,可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0), 由y 20＝4x 0,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1),直线AE 恒过点F (1,0). 当y 20＝4时,直线AE 的方程为x ＝1,过点F (1,0),所以直线AE 过定点F (1,0).(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0),所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1,因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1,y 1).直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0),由于y 0≠0,可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0,代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0,可求得y 1＝－y 0－8y 0,x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16, 当且仅当1x 0＝x 0,即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.21.解 (1)由题意知c ＝5,e ＝c a ＝53,∴a ＝3,b 2＝a 2－c 2＝4, 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P (±3,±2)；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k ,则k ≠0,则l 2的斜率为－1k,l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0),与x 29＋y 24＝1联立,整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0,∵直线与椭圆相切,∴Δ＝0,得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0, ∴－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0, ∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0,∴k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的一个根, 同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的另一个根,∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 20－9,得x 20＋y 20＝13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3), 检验P (±3,±2)满足上式.综上：点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.22.解 (1)设点M (x ,y ),依题意得|MF |＝|x |＋1,即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1,化简整理得y 2＝2(|x |＋x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1：y 2＝4x ,C 2：y ＝0(x <0). 依题意,可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(a )当k ＝0时,此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程,得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (b )当k ≠0时,方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1).②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y －1＝k (x ＋2),令y ＝0,得x 0＝－2k ＋1k.③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1,或k >12.即当k ∈(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0,由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12,或k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点.当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12,或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k ∈(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.23.(1)证明 设直线l 1,l 2的方程分别为y ＝k 1x ,y ＝k 2x (k 1,k 2≠0),则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2,B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1,A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→,所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2,同理可得B 1C 1∥B 2C 2,C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝(|A 1B 1→||A 2B 2→|)2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.24.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6,b 2＝2, 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)(ⅰ)证明 由(1)可得,F 的坐标是(－2,0),设T 点的坐标为(－3,m ),则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ ＝1m,直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时,直线PQ 的方程是x ＝－2,也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ,得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0,其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3,y 1y 2＝－2m 2＋3,x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3,所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3,所以点M 在直线OT 上,因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)由(ⅰ)可得,|TF |＝m 2＋1, |PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1,即m ＝±1时,等号成立,此时|TF ||PQ |取得最小值. 所以当|TF ||PQ |最小时,T 点的坐标是(－3,1)或(－3,－1).B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3).由题意知F (1,0), ∵FA →＋FB →＋FC →＝0,∴x 1+x 2+x 3＝3.根据抛物线定义,有|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1+1+x 2+1+x 3+1=3+3=6.故选B.]2.A [抛物线的准线为x ＝－2,代入双曲线方程得y ＝±4a4－a 2,不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4a 4－a 2,∵△ABF 是等腰直角三角形,4a 4－a 2＝p ＝4,求得a ＝2,∴双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋16a ＝182＝3.]3.B [依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y －0＝tan 45°(x －1), 即y ＝x －1,代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0,解得x ＝0或x ＝43,所以两个交点坐标分别为(0,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13,∴OA →·OB →＝－13,同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA →·OB →＝－13.]4.B [由题意知,|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |,故E 的轨迹为以O ,A 为焦点的椭圆,故选B.]5.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 [双曲线渐近线为bx ±ay ＝0,其与圆相交,则圆心到渐近线的距离小于半径,即2ba 2＋b 2＜1,∴3b 2＜a 2,∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2,∴e ＝c a ＜233.又e ＞1,∴1＜e ＜233.]6.解 (1)由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵双曲线x 216－y 29＝1的焦点为(±5,0).∴由题意知a ＝5,b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)k PE ·k PF 为定值,该定值为－925.理由：E ,F 是椭圆上关于原点对称的两点.设E (m ,n ),则F (－m ,－n ),又设P 点坐标为(x ,y ).则m 225＋n 29＝1,x 225＋y 29＝1.两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0,即y 2－n 2x 2－m 2＝－925.(由题意知x 2－m 2≠0). 又k PE ＝y －n x －m ,k PF ＝y ＋n x ＋m ,则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值,且为－925.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞[设抛物线上的两点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的方程为y ＝x ＋b , 代入抛物线方程y ＝ax 2－1,得ax 2－x －(b ＋1)＝0,则x 1＋x 2＝1a.设AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0＝12a ,y 0＝x 0＋b ＝12a＋b .由于M (x 0,y 0)在直线x ＋y ＝0上,故x 0＋y 0＝0,由此得b ＝－1a,此时ax 2－x －(b ＋1)＝0变为ax 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1＝0.由Δ＝1＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1>0,解得a >34.]8.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),由题意,得b ＝ 3.又c a ＝12,解得a ＝2,c ＝1,故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆在第一象限相切,所以l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆相切,所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理,得32(6k ＋3)＝0,解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式,可以解得M 点的横坐标为1,故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第九章平面解析几何5文
第五节 抛物线及其性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016²新课标全国Ⅱ，5)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32 D.22.(2016²四川，3)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.(0，2)B.(0，1)C.(2，0)D.(1，0)3.(2015²陕西，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)4.(2015²新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A.3 B.6 C.9 D.125.(2014²新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3 6.(2014²安徽，3)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A.y ＝－1B.y ＝－2C.x ＝－1D.x ＝－27.(2014²四川，10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →²OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728D.108.(2014²辽宁，8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A.－43B.－1C.－34D.－129.(2014²新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A.1 B.2 C.4 D.810.(2014²上海，4)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________.11.(2014²湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等.若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________.12.(2016²新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.13.(2016²浙江，19)如图，设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1. (1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围.14.(2015²浙江，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.15.(2015²福建，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.16.(2014²浙江，22)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →. (1)若|PF →|＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值.17.(2014²福建，21)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016²河南洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝( )A.14B.1C.54D.22.(2016²忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A.2B.4C.6D.83.(2016²江西师大附中，鹰潭一中联考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线与抛物线C 相交于A ，B 两点.若线段AB 的中点为(2，1)，则直线l 的方程为( ) A.y ＝2x －3 B.y ＝－2x ＋5 C.y ＝－x ＋3 D.y ＝x －14.(2016²湖南株洲3月模拟)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________.5.(2016²山东北镇中学，莱芜一中，德州一中4月联考)抛物线C 1：y ＝12px 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.6.(2015²甘肃兰州诊断)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点.(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PF ⊥x 轴知,|PF |＝2,所以P 点的坐标为(1,2),代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2,故选D. 答案D2.解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴y 2＝4x ，则为(1，0).答案 D3.解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B. 答案 B4.解析 因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6. 答案 B5.解析 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C.答案 C6.解析 由y =14x 2得x 2=4y ,焦点在y 轴正半轴上,且2p ＝4,即p ＝2,因此准线方程为y =-p 2=-1.故选A. 答案 A7.解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →²OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12³2³m ＋12³2³(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12³14³m ＝18m ，则S AOB ＋S △AOF ＝m －n＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m ≥298m ²2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B8.解析 由点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2，0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 答案 C9.解析 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.答案 A10.解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－211.解析 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0. 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ²4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)12.解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.13.解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1消去x 得y 2－4sy －4＝0.故y 1y 2＝－4，所以，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，－2t .又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2－12t，从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t .所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t 2－1，－2t .设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得2tt 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).14.解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t ).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ，因此，点A 的坐标为(2t ，t 2).设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2. 因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ²1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0，点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |²d ＝t32. 15.方法一(1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22).由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 法二 (1)同法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2,m )在抛物线E ：y 2＝4x 上,所以m ＝±22,由抛物线的对称性,不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12， 从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 16.解 (1)由题意知焦点F (0,1),准线方程为y ＝-1.设P (x 0,y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1,得到y 0＝2,所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋m ).由PF →＝3FM →，得(－x 0，1－y 0)＝3(2k ，2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m . 由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415.由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43.又因为|AB |＝41＋k2k 2＋m ，点F (0，1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2.所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43.令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135.17.解 方法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等. 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3.又N (0，3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3.半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变. 方法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3， 所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 不妨设点A 位于x 轴上方，由|AF |＝5得x A ＝5－1＝4，所以y A ＝4,则直线方程为y ＝4－04－1(x －1),即y ＝43(x －1),与抛物线的方程联立解得x B ＝14,所以|BF |＝14＋1＝54,故选C. 答案 C2.解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， ∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案 B3.解析 易知抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x ，y 22＝4x 2两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3. 答案 A4.解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0).∵当x ＝p 2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ，∴S △ABP ＝12³12³6＝36.答案 365.解析 由题意可知，双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x ，抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，设点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12p x 20(x 0>0)，则k MF ′＝k FF ′，所以12p x 20－p 2x 0＝p2－2，所以2x 20＋p 2x 0－2p 2＝0.由y ＝12p x 2得y ′＝1p x ，所以C 1在点M 处的切线的斜率为1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，代入2x 20＋p 2x 0－2p 2＝0可得p ＝433.答案 4336.(1)解 由焦点坐标为(1，0)可知p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 当直线AB 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以S △ABO S △MNO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OF 22＝14；11 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 消y 并整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1²x 2＝1. 所以S △ABO S △MNO ＝12²AO ²BO ²sin∠AOB12²MO ²NO ²sin∠MON ＝AO MO ²BO NO ＝x 12²x 22＝14， 综上，S △ABOS △MNO ＝14，即△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.。
2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：第9章 平面解析几何 第6章
32 第六节 直线与圆锥曲线的位置关系A 组三年高考真题（2016～2014 年）1.(2015·四川 10)设直线 l 与抛物线 y 2＝4x 相交于 A B 两点与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相 切于点 M 且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条则 r 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)x 2 y 2 2.(2016·新课标全国Ⅱ 21)已知 A 是椭圆 E ： 4 ＋ 3＝1 的左顶点 斜率为 k (k >0)的直线交E 于 A M 两点点 N 在 E 上MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时 求△AMN 的面积. (2)当 2|AM |＝|AN |时证明：<k <2.3.(2016·新课标全国Ⅲ 20)已知抛物线 C ：y 2＝2x 的焦点为 F 平行于 x 轴的两条直线 l 1l 2 分别交 C 于 A B 两点交 C 的准线于 P Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上R 是 PQ 的中点证明：AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍求 AB 中点的轨迹方程.x 2 y 2 4.(2016·北京19)已知椭圆 C ： ＋ ＝1过点 A (20)B (01)两点. a 2 b 2(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上直线 PA 与 y 轴交于点 M 直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证：四边形 ABNM 的面积为定值.x 2 y 2 5.(2016·山东21)已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为 4焦距为 2 . a 2 b 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)过动点 M (0m )(m ＞0)的直线交 x 轴于点 N 交 C 于点 A P (P 在第一象限)且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q 延长 QM 交 C 于点 B .k ′ ①设直线 PM 、QM 的斜率分别为 k 、k ′证明②求直线 AB 的斜率的最小值.k 为定值.x 2y 26.(2016·四川 20)已知椭圆 E ：a ＋b ＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形2 25 7 521 2)(1)求椭圆 E 的方程；1 (2)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A B 线段 AB 的中点为 M2 直线 OM 与椭圆 E 交于 C D 证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.x 2 y 27.(2015·天津19)已知椭圆 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为 B 左焦点为 F 离心率为 .a 2b 2 5 (1)求直线 BF 的斜率；(2)设直线 BF 与椭圆交于点 P (P 异于点 B )过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q (Q 异于点 B )直线 PQ 与 y 轴交于点 M |PM |＝λ|MQ |. ①求 λ 的值；②若|PM |sin ∠BQP ＝ 求椭圆的方程.98.(2015·北京 20)已知椭圆 C ：x 2＋3y 2＝3过点 D (1,0)且不过点 E (2,1)的直线与椭圆 C 交 于 A B 两点直线 AE 与直线 x ＝3 交于点 M . (1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AB 垂直于 x 轴求直线 BM 的斜率；(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系并说明理由.x 2 y 2 9.(2015·江苏18)如图在平面直角坐标系 xOy 中已知椭圆 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2a 2b 2(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A ,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P ,C ,若 PC ＝2AB 求直线 AB 的方程.10.(2015·湖北 22)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点短杆 ON 可绕 O 转 动长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动且 DN ＝ON ＝3 2 3 6 3 1 1MN ＝3 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时带动 N 绕 O 转动M 处的笔尖画出的椭 圆记为 C 以 O 为原点AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设动直线 l 与两定直线 l 1：x －2y ＝0 和 l 2：x ＋2y ＝0 分别交于 P Q 两点.若直线 l 总与 椭圆 C 有且只有一个公共点试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在求出该最 小值；若不存在说明理由.x 2 y 2 11.(2015·山东 21) 平面直角坐标系 xOy 中已知椭圆 C ： ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为且点( ，2)在椭圆 C 上. a 2 b 2(1)求椭圆 C 的方程；x 2 y 2 (2)设椭圆 E ： ＋ ＝1 P 为椭圆 C 上任意一点过点 P 的直线 y ＝kx ＋m 交椭圆 E 于 A4a 2 4b 2 B 两点射线 PO 交椭圆 E 于点 Q . |OQ |(ⅰ)求 的值；|OP |(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.y 2 x 212..(2015·湖南 20)已知抛物线 C 1：x 2＝4y 的焦点 F 也是椭圆 C 2： ＋ ＝1(a >b >0)的一个a 2b 2焦点.C 1 与 C 2 的公共弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C 1 相交于 A B 两点与 C 2 相交于 C→ →D 两点且AC 与BD 同向.(1)求 C 2 的方程；(2)若|AC |＝|BD | 求直线 l 的斜率.x 2 y 213.(2014·山东 21)在平面直角坐标系 xOy 中椭圆 C ： ＋ ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为a 2b 2 24 103 3直线 y ＝x 被椭圆 C 截得的线段长为 .5 (1)求椭圆 C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A B 两点(A B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上且 AD ⊥AB 直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M N 两点.①设直线 BD AM 的斜率分别为 k 1k 2.证明：存在常数 λ 使得 k 1＝λk 2并求出 λ 的值； ②求△OMN 面积的最大值.14.(2014·江西 20)如图 已知抛物线 C ：x 2＝4y 过点 M (0,2)任作一直线与 C 相交于 A B 两点过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D (O 为坐标原点). (1)证明：动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y ＝2 相交于点 N 1与(1)中的定直 线相交于点 N 2证明：|MN 2|2－|MN 1|2 为定值并求此定值.15.(2014·北京19)已知椭圆 C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y ＝2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ⊥OB ,求线段 AB 长度的最小 值.B 组两年模拟精选(2016～2015 年)x 2 1.(2016·东北四校联考)设 P 是椭圆2 y 2+ 9＝1 上一点,M ,N 分别是两圆：(x +4)2+y 2＝1 和(x -5 4)2+y 2=1 上的点则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A.9 12B.811C.812D.10122.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线 y ＝x 2 的焦点 F 过点(02)做直线 l 与抛物线交于 A B 两点点 F 关于直线 OA 的对称点为 C 则四边形 OCAB 面积的最小值为( )3A.2B.C.D.32x 2 y 23.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线 y 2＝8x 的准线与双曲线a －1＝1 相交于 A 2 62 3 5 63 3 3 6 3B 两点点 F 为抛物线的焦点△ABF 为直角三角形则双曲线的离心率为()A.3B.2C.D. x 2 y 2 4.(2016·湖北八校联考)点 A 是抛物线 C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线 C 2：a －b ＝1(a ＞0 b ＞2 20)的一条渐近线的交点(异于原点) 若点 A 到抛物线 C 1 的准线的距离为 p 则双曲线 C 2 的 离心率等于()A. B. C. D.x 2 y 25.(2015·太原模拟)已知 F 1 F 2 分别是双曲线a －b ＝1(a >0 b >0)的左、右焦点 过 F 1 的直 2 2线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A B 若|AB |＝|AF 2| ∠F 1AF 2＝90° 则双曲线的离心率为( )6＋ 35＋2 2A. B. 6＋ 2 3C. D. 25＋2 2x 2 y 26.(2015·马鞍山模拟)以双曲线a －b ＝1(a ＞0 b ＞0)的中心 O (坐标原点)为圆心 焦距为直2 2径的圆与双曲线交于 M 点(第一象限)F 1F 2 分别为双曲线的左、右焦点过点 M 作 x 轴 垂线垂足恰为 OF 2 的中点则双曲线的离心率为( )A. －1B.C. ＋1D.2x 2 7.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点 P (x y )在椭圆6 y 2＋3 ＝1 上 若定点 A (5 0) 动4 9→ → → →点 M 满足|AM |＝1且PM ·AM ＝0 则|PM |的最小值是 .8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心 坐标轴为对称轴 以抛物线 y 2＝16x 的x 2 y 2 焦点为其中一个焦点以双曲线 － ＝1 的焦点为顶点.16 9(1)求椭圆的标准方程；(2)若 E F 是椭圆上关于原点对称的两点则当直线 PE PF 的斜率都存在并记为 k PE k PF 时k PE ·k PF 是否为定值？若是求出这个定值；若不是请说明理由.9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是 F 1(－10)F 2(10)过点 F 2 垂直于长轴的 直线交椭圆于 P Q 两点且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过 F 2 的直线与椭圆交于不同的两点 M N 则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若33 1＋k 2 12 1＋k 23＋4k 212k 1＋k 2{ )存在则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在请说明理由.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014 年）y ＝4x 1，1.解析设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0) 则 y ＝4x2， 相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)当 l 的斜率不存在时符合条件的直线 l 必有两条；y 1＋y 2 y 1－y 2 当 l 的斜率存在时 x 1≠x 2 则有 2· ＝2即 y 0·k ＝2－x x 1 2y 0－0由 CM ⊥AB 得 k · ＝－1y 0k ＝5－x 02＝5－x 0∴x 0＝3x 0－5即 M 必在直线 x ＝3 上将 x ＝3 代入 y 2＝4x 得 y 2＝12有－2 ＜y 0＜2 ∵点 M 在圆上∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16 又 y 20＋4＞4∴4＜r 2＜16∴2＜r ＜4故选 D.答案 Dπ2.解(1)设 M (x 1,y 1),则由题意知 y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知 直线 AM 的倾斜角为4.x 2 y2 又 A (-2,0),因此直线 AM 的方程为 y =x +2.将 x ＝y －2 代入 ＋ ＝1 得 7y 2－12y ＝0,解得 y ＝12 12 4 3 1 12 12 1440 或 y ＝ ,所以 y 1＝ .因此△AMN 的面积 S △AMN ＝2× × × ＝ .7 7 2 7 7 49x 2 y 2(2)证明将直线 AM 的方程 y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 ＋ ＝1 得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝016k 2－12 4 32（3－4k 2） 由 x 1·(－2)＝ 3＋4k2得 x 1＝ 3＋4k 2 1 故|AM |＝|x 1＋2| ＝ .由题设直线 AN 的方程为 y ＝－ (x ＋2)故同理可得|AN |＝ .k 3k 2＋42 k 由 2|AM |＝|AN |得 ＝ 即 4k 3－6k 2＋3k －8＝03＋4k 2 3k 2＋43 3 3 3 ， )1 11 1 x 0 )|设 f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则 k 是 f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以 f (t )在(0,＋ ∞)单调递增 又 f ( )＝15 －26<0f (2)＝6>0因此 f (t )在(0＋∞)有唯一的零点 且零点 k 在( 2)内所以 <k <2.1 a 2b 2 1 3.(1)证明由题设 F (2 0) 设 l 1：y ＝a l 2：y ＝b 则 ab ≠0 且 A (2，a) B (2，b ) P (－ ，a)211 a ＋b2 2 记过 A B 两点的直线为 l 则 l 的方程为 2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于 F 在线段 AB 上故 1＋ab ＝0.a －b a －b1 －ab 记 AR 的斜率为 k 1FQ 的斜率为 k 2则 k 1＝ ＝ ＝ ＝ ＝－b ＝k 2.所以 AR ∥FQ .1＋a 2 a 2－ab a a1 22 | 2|(2)解设过 AB 的直线为 l ,设 l 与 x 轴的交点为 D (x 1,0),则 S △ABF ＝ |b -a |·|FD |＝ |b -a | x 1－|a －b | ,S △PQF ＝2 .|a －b | 22设满足条件的 AB 的中点为 E (x y ).2 ya ＋b 当 AB 与 x 轴不垂直时由 k AB ＝k DE 可得 ＝ (x ≠1).而 ＝y .所以 y 2＝x －1(x ≠1).a ＋b x －1 2 当 AB 与 x 轴垂直时 E 与 D 重合.所以所求轨迹方程为 y 2＝x －1. 4.(1)解由椭圆过点 A (20)B (01)知 a ＝2b ＝1.x 2 c 3所以椭圆方程为 ＋y 2＝1又 c ＝ a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率 e ＝ ＝ .4 a 2(2)证明 设 P 点坐标为(x 0y 0)(x 0＜0y 0＜0)则 x 20＋4y 02＝4由 B 点坐标(01)得直线 PBy 0－1 x 0 x 0方程为：y －1＝ x 0 (x －0) 令 y ＝0 得 x N ＝ 0 从而|AN |＝2－x N ＝2＋ 01－y y 0由 A 点坐标(20)得直线 PA 方程为 y －0＝ (x －2)x 0－2y －1 2y 0令 x ＝0得 y M ＝ 从而|BM |＝1－y M ＝1＋ 2y 02－x 0 1所以 S 四边形 ABNM ＝ |AN |·|BM |2x 0－2 2(y 0－1)(2y 0 x 0－2 ＝ 2＋ 1＋x ＋4y ＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4 ＝2（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）2 a 2－c 2 2 6 66 147 1 1 ( 1 ( )2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4 ＝ ＝2.x 0y 0－x 0－2y 0＋2即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 5.(1)解设椭圆的半焦距为 c .由题意知 2a ＝42c ＝2 . x 2 y 2所以 a ＝2b ＝ ＝ .所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.42(2)①证明 设 P (x 0y 0)(x 0＞0y 0＞0).由 M (0m )可得 P (x 02m )Q (x 0－2m ). 2m －m m －2m －m 3m所以直线 PM 的斜率 k ＝ ＝ .直线 QM 的斜率 k ′＝ ＝－ .k ′ k ′x 0 x 0 x 0 x 0 此时 ＝－3.所以 为定值－3.k k ②解 设 A (x 1y 1)B (x 2y 2).直线 PA 的方程为 y ＝kx ＋m .y ＝kx ＋m ，＋ ＝1， 4 2整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝02m 2－4 2（m 2－2）由 x 0x 1＝ 2k 2＋1 可得 x 1＝ 2k 2 0（ 2k （m 2－2）＋1）x所以 y 1＝kx 1＋m ＝ ＋m .（2k 2＋1）x 02（m 2－2）－6k （m 2－2） 同理 x 2＝ y 2＝ ＋m .（18k 2＋1）x 0 2（m 2－2） （18k 2＋1）x 0 2（m 2－2）－32k 2（m 2－2） 所以 x 2－x 1＝ － ＝（18k 2＋1）x 0 －6k （m 2－2） （2k 2＋1）x 0 2k （m 2－2） （18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0－8k （6k 2＋1）（m 2－2） y 2－y 1＝ （18k 2＋1）x 0 ＋m － 2 －m ＝ （18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0（2k ＋1）x 0y 2－y 1 16k 2＋1 4 k 所以 k AB ＝x 2－x＝ ＝ 6k ＋4k1 由 m ＞0x 0＞0可知 k ＞0所以 6k ＋ ≥2 当且仅当 k ＝ 时取“＝”.kx 2 y 2 6 2m －m ∵P (x 0 2m )在椭圆 4 ＋ 2＝1 上 ∴x 0＝ 4－8m 2 故此时 ＝4－8m 2－ 0 66 即 m ＝ 符合题意.所以直线 AB 的斜率的最小值为 .21x 2 y 2 a 2 b 2 2 3 4 4b 2 b 2 6.解(1)由已知 a ＝2b 又椭圆 ＋ ＝1(a >b >0)过点 P 3， 故 ＋ ＝1,解得 b 2＝1.所x 2 以椭圆 E 的方程是 ＋y 2＝1.41(2)证明 设直线 l 的方程为 y ＝ x ＋m (m ≠0)A (x 1y 1)B (x 2y 2).2))2 2 2 2 5 5 7 595 53 { m x ) 1((x 2＋y 2＝1， 由方程组 41 )得 x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0 ① y ＝ x ＋m ， 2方程①的判别式为 Δ＝4m 2－4(2m 2－2)由 Δ>0即 2－m 2>0解得－ <m < .由①得 x 1＋x 2＝－2m x 1x 2＝2m 2－2.2)22由方程组{4 )得 C 2 D 2). ＋y 2＝1， 1－ ， ，－ 2 2y ＝－ x ，2 5 5 5所以|MC |·|MD |＝ 2 (－m ＋ 1又|MA |·|MB |＝ |AB |241 2)· 2(52＋m )＝ (2－m 2).4 ＝ [(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝ [(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 4 165 5＝ [4m 2－4(2m 2－2)]＝ (2－m 2). 16 4所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.c 7.解 (1)设 F (-c 0).由已知离心率 ＝ 及 a 2＝b 2＋c 2,可得 a ＝ c ,b ＝2c ,又因为 B (0,b )F (-a 5b －0 2cc ,0)故直线 BF 的斜率 k ＝ ＝ ＝2.0－（－c ） c (2)设点 P (x P y P )Q (x Q y Q )M (x M y M ).x 2 y 2①由(1)可得椭圆的方程为5c ＋4c ＝1 直线 BF 的方程为 y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方2 25c程联立 消去 y 整理得 3x 2＋5cx ＝0 解得 x P ＝－ 3 .1因为 BQ ⊥BP 所以直线 BQ 的方程为 y ＝－ x ＋2c ,与椭圆方程联立,消去 y2 40c 整理得 21x 2－40cx ＝0 解得 x Q ＝ 21. |PM ||x M －x P | |x P | 7 又因为 λ＝ 及 x M ＝0可得 λ＝ ＝ ＝ .|MQ | |x Q －x M | |x Q | 8|PM | 7 |PM | 7 7 15②由①有 ＝ 所以 ＝ ＝ 即|PQ |＝ |PM |.|MQ | 8 |PM |＋|MQ | 7＋8 15 7 又因为|PM |sin ∠BQP ＝15所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝ 7|PM |sin ∠BQP ＝ .(0 ＋＋5c 2 3 )(2c＋4c 2 3 ) 5 535 535 5362)4又因为y P＝2x P＋2c＝－c所以|BP|＝＝c3x2 y2因此c＝得c＝1.所以椭圆方程为5＋4＝1.x28.解(1)椭圆C 的标准方程为3＋y2＝1 所以a＝3c所以椭圆C 的离心率e＝＝.b＝1c＝2.a 3(2)因为AB 过点D(10)且垂直于x 轴所以可设A(1y1)B(1－y1)直线AE 的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)令x＝3得M(32－y1)2－y1＋y1所以直线BM 的斜率k BM＝3－1 ＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行证明如下：当直线AB 的斜率不存在时由(2)可知k BM＝1.1－0又因为直线DE 的斜率k DE＝2－＝1所以BM∥DE1当直线AB 的斜率存在时设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)y1－1设A(x1 y1) B(x2 y2) 则直线AE 的方程为y－1＝x1－2(x－2).y1＋x1－3x2＋3y2＝3，6k2x1－2 ){y＝k（x－1），)3k2－3所以x1＋x2＝x1x2＝1＋3k21＋3k2y1＋x1－3－y2直线BM 的斜率k BM＝x1－23－x2k（x1－1）＋x1－3－k（x2－1）（x1－2）－（3－x2）（x1－2）因为k BM－1＝（k－1）[－x1x2＋2（x1＋x2）－3]＝（3－x2）（x1－2）（3－x2）（x1－2）－3k2＋3 12k21＋3k2＝＝0（3－x2）（x1－2）所以k BM＝1＝k DE.所以BM∥DE综上可知直线BM 与直线DE 平行.c a29.解(1)由题意得＝且c＋＝3a 2 c222k2 ±2（1＋k2）1＋2k2（x2－x1）2＋（y2－y1）2（1＋k2）（x2－x1）22（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）4 2（1＋k2）1＋2k22（3k2＋1）1＋k2|k|（1＋2k2）()1 )1(m(x2解得a＝c＝1 则b＝1 所以椭圆的标准方程为2＋y2＝1.(2)当AB⊥x 轴时AB＝又CP＝3不合题意.当AB 与x 轴不垂直时设直线AB 的方程为y＝k(x－1)A(x1y1)B(x2y2)将AB 的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝02k2则x1 2＝ C 的坐标为1＋2k2－k且1＋2k2，2 2（1＋k2）AB＝＝＝.1＋2k2若k＝0则线段AB 的垂直平分线为y 轴与左准线平行不合题意.k1＋2k22k2k 1＋2k2从而k≠0 故直线PC 的方程为y＋＝－x－5k2＋2k（1＋2k2）从而PC＝.因为PC＝2AB所以＝解得k＝±1.此时直线AB 的方程为y＝x－1 或y＝－x＋1.10.解(1)因为|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4 当M N 在x 轴上时等号成立；同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2 当D O 重合即MN⊥x 轴时等号成立.x2 y2所以椭圆C 的中心为原点O长半轴长为4短半轴长为2其方程为＋＝1.16 41(2)①当直线l 的斜率不存在时直线l 为x＝4 或x＝－4都有S△OPQ＝×4×4＝8.2②当直线l 的斜率存在时设直线l：y＝kx＋m(k≠± 2)由{y＝kx＋m，消去y可得(1＋4k2)2x2＋8kmx＋4m2－16＝0.x2＋4y2＝16，)因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0即m2＝16k2＋4.①又由{y＝kx＋m，可得P2m m，；x－2y＝0，)(1－2k1－2k)－2m同理可得Q1＋2k1＋2k).，)1＋k 21＋k 23 a 2－b 24 16k 2＋4－m 21＋4k 2 2 16k 2＋4－m 2|m | 2 （16k 2＋4－m 2）m 2(4－ m2 m 2 1＋4k 1＋4k2 )2 2( )|m |1 1由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ＝ 和|PQ |＝ |x P －x Q | 可得 S △OPQ ＝ |PQ |·d ＝2 21 2m 2m 2m2 2 |1－2k 1＋2k | |1－4k 2| |m ||x P－x Q|＝ ·|m |·＋ ＝ .②2m 2|4k 2＋1|将①代入②得 S △OPQ ＝|1－4k 2|＝8 |4k 2－1| . 1 4k 2＋1 24 (4k 2－1) ( 4k 2－1) 当 k 2> 时S △OPQ ＝8 ＝8 1＋ >8； 14k 2＋1 2 4 (1－4k 2) ( 1－4k 2) 当 0≤k 2< 时S △OPQ＝8 ＝8 －1＋ .12 1 4k 21－4k 2)当且仅当 k ＝0 时取等号.所以当 k ＝0 时S △OPQ 的最小值为 8.综合①②可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时△OPQ 的面积取得最小值 8.3 1 11.解 (1)由题意知 ＋ ＝1.又 ＝ 解得 a 2＝4b 2＝1.a 2 4b 2a 2 x 2所以椭圆 C 的方程为 4＋y 2＝1.x 2 y 2 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1. 16 4|OQ |(ⅰ)设 P (x 0y 0) |OP＝λ 由题意知 Q (－λx 0－λy 0). | x （－λx 0）2 4 16 （－λy 0）2 4 λ2 x 4 4|OQ | |OP | 因为 ＋y 20＝1 又 ＋ ＝1 即 ＋y ＝1 所以 λ＝2 即 ＝2.(ⅱ)设 A (x 1y 1)B (x 2y 2).将 y ＝kx ＋m 代入椭圆 E 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0 由 Δ＞0可得 m 2＜4＋16k 2① 8km4m 2－16 则有 x 1＋x 2＝－x 1x 2＝ .1＋4k 2所以|x 1－x 2|＝ . 1＋4k 2因为直线 y ＝kx ＋m 与 y 轴交点的坐标为(0m ) 1 所以△OAB 的面积 S ＝ |m ||x 1－x 2|＝2 1＋4k 2＝1＋4k 2＝2 .m 2 设 ＝t 将 y ＝kx ＋m 代入椭圆 C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0 1＋4k 2－t 2＋4t 3 3 3 6 a 2－b 2 a 5a 5 4 105 2 2 5a 5 3 x 2＝4y)9 6由 Δ≥0可得 m 2≤1＋4k 2.②由①②可知 0＜t ≤1因此 S ＝2（4－t ）t ＝2 故 S ≤2 当且仅当 t ＝1即 m 2＝1＋4k 2 时取得最大值 2 .由(ⅰ)知△ABQ 面积为 3S 所以△ABQ 面积的最大值为 6 .12.解 (1)由 C 1：x 2＝4y 知其焦点 F 的坐标为(01).因为 F 也是椭圆 C 2 的一个焦点,所以 a 2 －b 2＝1.①又 C 1 与 C 2 的公共弦的长为 2 C 1 与 C 2 都关于 y 轴对称且 C 1 的方程为 x 2＝4y 由此易2)4a 2 b 2y 2 x 2 联立① ②得 a 2＝9 b 2＝8.故 C 2 的方程为 9 ＋ 8＝1.(2)如图设 A (x 1y 1)B (x 2y 2)C (x 3y 3)D (x 4y 4). → → → →因AC 与BD 同向 且|AC |＝|BD | 所以AC ＝BD 从而 x 3－x 1＝x 4－x 2即 x 1－x 2＝x 3－x 4于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线 l 的斜率为 k 则 l 的方程为 y ＝kx ＋1.由{y ＝kx ＋1， 得 x 2－4kx －4＝0.而 x 1x 2 是这个方程的两根所以 x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝－4.④y ＝kx ＋1，8 ＋ 9＝1)16k 64而 x 3x 4 是这个方程的两根所以 x 3＋x 4＝－ x 3x 4＝－ ⑤162k 2 9＋8k 2 4 × 64 9＋8k 2162 × 9（k 2＋1） 将④⑤代入③得 16(k 2＋1)＝ ＋ 即 16(k 2＋1)＝（9＋8k 2）2 6 9＋8k 26 （9＋8k 2）2 所以(9＋8k 2)2＝16×9 解得 k ＝± 4 3即直线 l 的斜率为± 4. 13.解 (1)由题意知 ＝ 2可得a 2＝4b 2.椭圆 C 的方程可简化为 x 2＋4y 2＝a 2.将 y ＝x 代入可得 x ＝± 因此 × ＝ 可得 a ＝2.因此 b ＝1.x 2所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y 2＝1.y 1(2)①设 A (x 1y 1)(x 1y 1≠0)D (x 2y 2)则 B (－x 1－y 1)因为直线 AB 的斜率 k AB ＝x 12 )x 1又 AB ⊥AD 所以直线 AD 的斜率 k ＝－y 1.设直线 AD 的方程为 y ＝kx ＋my ＝kx ＋m ，＋y 2＝148mk 2m所以 x 1＋x 2＝－ 因此 y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝ .1＋4k 2 y 1＋y 21 y 11＋4k 2 由题意知 x 1≠－x 2 所以 k 1＝x 1＋x 2＝－ ＝ 1.4k 4xy 1所以直线 BD 的方程为 y ＋y 1＝ (x ＋x 1).4x 1y 1令 y ＝0得 x ＝3x 1即 M (3x 10).可得 k 2＝－ .2x 111 所以 k 1＝－ k 2即 λ＝－ .22 1因此存在常数 λ＝－ 使得结论成立.2y 1 3②直线 BD 的方程 y ＋y 1＝ (x ＋x 1)令 x ＝0得 y ＝－ y 14x 1 4341 3 9可得△OMN 的面积 S ＝ ×3|x 1|× |y 1|＝ |x 1||y 1|.2 4 8x |x 1| 9 因为|x 1||y 1|≤ ＋y 21＝1当且仅当 ＝|y 1|＝ 时等号成立此时 S 取得最大值 4 2 2 89所以△OMN 面积的最大值为 .8 14.证明(1)依题意可设 AB 方程为 y ＝kx ＋2,代入 x 2＝4y ,得 x 2＝4(kx ＋2),即 x 2－4kx －8＝0.设 A (x 1y 1)B (x 2y 2)则有 x 1x 2＝－8y 1 x ＝x 2， 直线 AO 的方程为 y ＝ x ；BD 的方程为 x ＝x 2.解得交点 D 的坐标为{y ＝ .)x 1y 1x 1x 2 －8y 1 y 1x2 x 1 注意到 x 1x 2＝－8 及 x 21＝4y 1则有 y ＝ ＝ ＝－2x 因此 D 点在定直线 y ＝－2(x ≠0)上.4y 1(2)依题设 切线 l 的斜率存在且不等于 0设切线 l 的方程为 y ＝ax ＋b (a ≠0)代入 x 2＝4y)2 2 9 （－x 1x 2） 8 → )→ 得 x 2＝4(ax ＋b )即 x 2－4ax －4b ＝0由 Δ＝0 得(4a )2＋16b ＝0化简整理得 b ＝－a 2.故切线 l 的方程可写为 y ＝ax －a 2.2 2分别令 y ＝2、y ＝－2 得 N 1、N 2 的坐标为 N 1(a a ，2) N 2(－ ＋a ，－2)＋a2 2 2 2则|MN 2|2－|MN 1|2＝(a －a ) ＋42－(a a )＝8 即|MN 2|2－|MN 1|2 为定值 8.＋x 2 y 215.解 (1)由题意 椭圆 C 的标准方程为 4 ＋ 2＝1.所以 a 2＝4b 2＝2从而 c 2＝a 2－b 2＝2.因此 a ＝2c ＝ . c 2 故椭圆 C 的离心率 e ＝ ＝ .a 2(2)设点 A B 的坐标分别为(t 2)(x 0y 0)其中 x 0≠0.2y 0 20 20 因为 OA ⊥OB 所以OA ·OB ＝0 即 tx 0＋2y 0＝0 解得 t ＝－ x0 .又 x ＋2y ＝42y 0 20 4y 20 20 x4－x 02 2 2（4－x ） xx 28＋ ＋4(0＜x 20≤4). xx 8 因为 ＋ ≥4(0＜x 20≤4)且当 x 20＝4 时等号成立所以|AB |2≥8. 2 x 故线段 AB 长度的最小值为 2 .B 组两年模拟精选(2016～2015 年)1.解析如图 由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点 由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10连接 PA PB 分别与圆相交于 M N 两点此时|PM |＋|PN |最小 最小值 为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接 PA PB 并延长分别与圆相交于 M N 两点此时 |PM |＋|PN |最大 最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12 即最小值和最大值分别为 812.] 答案 C2.解析不妨设 A (x 1y 1)B (x 2y 2)(x 1<0<x 2)即点 A 在点 B 左侧当直线斜率不存在时 不满x 1＋x 2＝k ， y 1y 2＝41 1 1 9 ∴S OCAB ＝S △OAB ＋S △OFA ＝ ×2×(x 2－x 1)＋ × ×(－x 1)＝x 2＋ (－x 1)≥2 ＝3.2 2 4 8 答案 D3.解析由题意知抛物线的准线 x ＝－2△ABF 是等腰直角三角形)2 a 2＋16 182 c 2－a 2 23 2 2，x 2 y 2如图易知 A (－24)代入 － ＝1a 2 16c 即得 a ＝ ∴双曲线的离心率为 e ＝ ＝ ＝ ＝3.答案 Aa apb b p b4.解析不妨设点 A 在第一象限 A 的坐标为(2p)C 2的渐近线为 y ＝± x得 · ＝p 即 ＝a答案 C＝2e ＝ 5.a a 2 a5.解析设|AF 1|＝ x |AF 2|＝ y 则有 y － x ＝2a ①又因为∠ F 1AF 2＝90°所以 x 2＋ y 2＝4c 2 ②F 2A ⊥BF 1 又因为|AB |＝|AF 2|＝y 所以 BF 2＝ y 则|BF 1|－|BF 2|＝x ＋y － 2y ＝2a ③联立 c 2 3 ①②③得e 2＝ ＝所以e ＝ 6＋ 3 故选B. a 23－2 2答案 B6.解析过点 M 作 x 轴垂线交 x 轴于点 A 由|MF 2|2＝|F 2A |·|F 1F 2|得|MF 2|＝c 由双曲线定义 |MF 1|－ |MF 2|＝ 2a 得|MF 1|＝ 2a ＋ c 由|MF 1|2＋ |MF 2|2＝ |F 1F 2|2＝ 4c 2得 c 2－ 2ac － 2a 2＝ 0 即 e 2－2e －2＝0得 e ＝ ＋1. 答案 C→7.解析由|AM |＝1 可知点 M 的轨迹为以点 A 为圆心 1 为半径的圆过点 P 作该圆的切线 → →则|PA |2＝|PM |2＋|AM |2得|PM |2＝|PA |2－1所以要使|PM |的值最小 则要|PA |的值最小 而|→ → PA |的最小值为 a －c ＝3此时|PM |＝2 . 答案 2 x 2 y 28.解(1)由抛物线 y 2＝16x 的焦点为(40)可得 c ＝4.可设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a ＞b ＞0).x 2 y 2a 2b 2 ∵双曲线 － ＝1 的焦点为(±50).∴由题意知 a ＝5b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.16 9x 2 y 2故椭圆标准方程为 ＋ ＝1.25 99(2)k PE ·k PF 为定值该定值为－ . 25理由：E F 是椭圆上关于原点对称的两点. m 2 n 2x 2 y 2 设 E (m n )则 F (－m －n )又设 P 点坐标为(x y ).则 ＋ ＝1 ＋ ＝1.25 9 25 9－3m －6 m 2＋1 3m 2＋ 4 12 m 2＋13m 2＋4m 2＋1)x 2－m 2 y 2－n 2 y 2－n 2 9两式相减可得 ＋ ＝0即 ＝－ .25 (由题意知 x 2－m 2≠0).9 x 2－m 2 25 y －n y ＋n y 2－n 2 9 9又 k PE ＝x －m k PF ＝ ＋m 则 k PE ·k PF ＝＝－ .∴k PE ·k PF 为定值且为－ . －m x x 2 y 2x 2 2 25 259.解(1)设椭圆的方程是 ＋ ＝1(a ＞b ＞0)a 2b 22b 2 x 2 y 2由交点的坐标得 c ＝1,由|PQ |＝3,可得 ＝3,解得 a ＝2,b ＝ 3,故椭圆的方程是 ＋ ＝1.a 4 3(2)设 M (x 1y 1)N (x 2y 2)不妨设 y 1＞0y 2＞0 设△F 1MN 的内切圆半径是 R 则△F 1MN 的周长是 4a ＝8 S △F 1MN 最大R 就最大1S △F 1MN ＝ |F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 22由题知直线 l 的斜率不为 0可设直线 l 的方程为 x ＝my ＋1 x ＝my ＋1， ＋ ＝1，4 3－3m ＋6 m 2＋1 解得 y 1＝ y 2＝ 3m 2＋412则 S △F 1MN ＝ 令 t ＝ 则 t ≥1 则 S △F 1MN ＝ 11 1令 f (t )＝3t ＋ f ′(t )＝3－3t ＋ t t t 2 当 t ≥1 时f ′(t )≥0 f ′(t )在[1 ＋∞)上单调递增1212有 f (t )≥f (1)＝4 S △F 1MN ≤ 4 ＝3 即当 t ＝1 m ＝0 时 S △F 1MN ≤ 4 ＝3 S △F 1MN ＝4R 所以3 9πR max ＝ 此时所求内切圆面积的最大值是4 169π 故直线 l ：x ＝1 △F 1MN 内切圆的面积最大值是16.。
2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习习题：第九章 平面解析几何 第4讲 含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、填空题1。
（2015·安徽卷改编)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切,则b的值是________.解析圆方程可化为（x－1）2＋(y－1）2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心,以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴错误!＝1。
解得b＝2或b＝12。
答案2或122。
若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________。
解析圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1,圆C2的方程可化为（x－3)2＋（y－4）2＝25－m，所以圆心C2(3,4）,半径r2＝错误!,从而C1C2＝错误!＝5。
由两圆外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋错误!＝5,解得m＝9.答案93.(2016·苏北四市模拟）已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝错误!相交于A，B 两点，O为坐标原点，当S＝1时，直线l的倾斜角为________。
△AOB解析由于S△AOB＝错误!×错误!×错误!sin ∠AOB＝sin ∠AOB＝1,∴∠AOB＝错误!,∴点O到直线l的距离OM为1，而OP＝2，OM＝1，在直角三角形OMP 中∠OPM＝30°,∴直线l的倾斜角为150°.答案150°4.（2016·青岛一模)过点P（1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长AB＝________。
解析如图所示,∵P A，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线,∴AB⊥OP。
∵P(1，错误!），O（0,0），∴OP＝错误!＝2。
又∵OA＝1，在Rt△APO中，cos ∠AOP＝错误!，∴∠AOP＝60°，∴AB＝2OA sin∠AOP＝错误!.答案 35。
（2015·重庆卷）若点P(1，2）在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为________。
2017高考数学(理)一轮复习配套课件：第九章平面解析几何9.9
(3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形．
第三页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线 l：y＝kx＋m 与二次曲线 C：f(x，y)＝0 交于 A，B 两点，设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由yf（＝xk，x＋y）m，＝0得 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则 x1＋x2＝________，
错的地方，切记)，即kΔ≠＝0，（2k2－4）2－4k4>0，解得 k∈(－1，
0)∪(0，1)，而当 k＝±1 时，直线 l 恰好与抛物线相切，似与题 意不符．本节课时作业第 8 题对本题已知条件数据作了修改， 使满足题意的直线 l 是存在的，进而可求得直线 l 的斜率．
第十四页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
Q－1＋k22，2k，又 F(1，0)，∴|FQ|＝ －1＋k22－12＋2k2＝2，
解得 k＝±1.故填±1.
第十三页，编辑于星期六：二十一点 四十七分。
【点拨】(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思 路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美 观，对称性强”，但消去 x1，x2，y1，y2 时，要求灵活性高，整 体意识强．(2)本题解答看似正确，但细想会发现：缺少对“直 线与抛物线相交于 A，B 两点”这一几何条件的检验(这是易出
x1＋x2＝2x0，③ y1＋y2＝2y0，④
∵M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，∴P－m4 ，34m， 代入抛物线方程得196m2＝18·－m4 ，
解得 m＝0 或－8，经检验都符合．故填 0 或－8.
2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何阶段滚动检测
【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何阶段滚动检测(建议用时：90分钟)一、选择题1.(2015·东北三省四市联考)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为( ) A.22613B.263C.83D.138解析 由题意知双曲线的a ＝3，c ＝22，所以e ＝c a ＝223＝263.答案 B2.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )A.32B.2C.52D.3解析 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.答案 A3.甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( ) A.3种B.6种C.9种D.12种解析 甲、乙各选两个景点有C 23C 23＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种.∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种). 答案 B4.(2016·北京海淀区模拟)若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A.3·2－2B.2－4C.3·2－10D.2－8解析 ∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3·2－10.答案 C5.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) A.15B.25C.35D.45解析 第一步先排语文书有A 22＝2(种)排法.第二步排物理书，分成两类.一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A 24＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法.因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A 55＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.答案 B6.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为( ) A.14B.79120C.34D.2324解析 基本事件的总数是C 310，在三种门票中各自选取一张的方法是C 15C 13C 12，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是C 15C 13C 12C 310＝5×3×2120＝14，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－14＝34.答案 C7.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( ) A.16B.13C.12D.23解析 依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2. 且P (ξ＝1)＝C 12C 16＋C 16C 15C 39＝12， P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，P (ξ＝0)＝1－12－112＝512，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.答案 D8.甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动，若每个社区至少有一名义工，则甲、乙两人被分配到不同社区的概率为( )A.56B.16C.1727D.1027解析 因为甲、乙两人被分到同一个社区的情况有A 33＝3×2×1＝6种，而将四名义工分配到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的情况有C 24·A 33＝36种，故甲、乙两人被分配到不同社区的情况共有36－6＝30种，故所求概率为3036＝56.答案 A9.已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( ) A.－180B.180C.45D.－45解析 因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10， 所以a 8＝C 810·22·(－1)8＝180. 答案 B10.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 X 的所有可能取值为1，2，3，∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2， ∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，由E (X )＞1.75，即p 2－3p ＋3＞1.75，得p ＜12或p ＞52(舍)，∴0＜p ＜12.答案 C 二、填空题11.(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________. 解析 ∵T k ＋1＝(－1)k C k 10x10－k y k，∴－C 310＋(－C 710)＝－2C 310＝－240. 答案 －24012.已知离散型随机变量X 的分布列如下表.若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.解析 由题意得，a ＋b ＋c ＋112＝1，① ∵E (X )＝0，∴－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，即－a ＋c ＋16＝0.②∵D (X )＝(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，即a ＋c ＝23.③联立①②③解得a ＝512，b ＝14.答案512 1413.从⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为________.解析 ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式通项为T k ＋1＝C k20(4x )20－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k20x 5－34k ，其中k ＝0，1，2，…，20. 而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为P ＝621＝27. 答案 2714.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X 为该毕业生得到面试的公司个数.若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 解析 由题意知P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13， ∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0，1，2，3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案 53三、解答题15.李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数.比较E (X )与x 的大小.(只需写出结论)解 (1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. (2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ＝A B ∪A B ，A ，B 独立.根据投篮统计数据，P (A )＝35，P (B )＝25.P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝35×35＋25×25＝1325.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.(3)E (X )＝x .16.为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮检测都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元).已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列及数学期望.解 (1)记“该产品不能销售”为事件A ，则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以该产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知X 的所有可能取值为－320，－200，－80，40，160.P (X ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256， P (X ＝－200)＝C 14·⎝ ⎛⎭⎪⎫143·⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝364， P (X ＝－80)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (X ＝40)＝C 34·14·⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764， P (X ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以X 的分布列为E (X )＝－320×256－200×64－80×128＋40×64＋160×256＝40. 17.如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y2＝4的直径.l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0). 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k ， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号.所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 18.某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元.则X 1的分布列为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×9＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为：∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×3＋0×15＝200(万元).D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.。
2017高考试题分类汇编之解析几何和圆锥曲线理
2017年高考试题分类汇编之解析几何（理）一、选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1.（2017课标I 理）已知F 为抛物线x y C 4:2=的核心，过F 作两条相互垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于BA ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，那么DE AB +的最小值为（ ）16.A14.B12.C10.D2.（2017课标II 理）假设双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为（ ）2.A3.B 2.C 332.D3.（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）.A 3 .B 3 .C 23 .D 594.（2017课标III 理）已知椭圆:C 22221x y a b+=)0(>>b a ，的左、右极点别离为21,A A 且以线段21A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为（ ）.A 3.B 3.C 3.D 135.（2017天津理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左核心为F .假设通过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为（ ）.A 22144x y -= .B 22188x y -= .C 22148x y -= .D 22184x y -=6.（2017课标III 理）已知双曲线:C 22221x y a b -=)0,0(>>b a 的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共核心，那么C 的方程为（ ） .A 221810x y -= .B 22145x y -= .C 22154x y -= .D 22143x y -=二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）7.(2017北京理)假设双曲线221y x m-=，那么实数=m _________.8.（2017课标I 理）已知双曲线C ：22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右极点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于N M ,两点.假设060=∠MAN ，那么C 的离心率为________.9.（2017课标II 理）已知F 是抛物线C:28y x =的核心，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第九章平面解析几何3文
第三节 椭圆及其性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.342.(2016·新课标全国Ⅲ，12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.343.(2015·广东，8)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A.2B.3C.4D.94.(2015·福建，11)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，15.(2014·大纲全国，9)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝16.(2015·浙江，15)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.7.(2014·江西，14)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.8.(2015·新课标全国Ⅱ,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.9.(2015·安徽，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .10.(2015·陕西，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，-1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.11.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，试确定椭圆离心率e 的取值范围.12.(2014·新课标全国Ⅱ，20)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .13.(2014·四川，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积.14.(2014·安徽，21)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |. (1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西大学附中月考)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝12.(2016·衡水中学检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，l ：x ＝－a 2c，且PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF 1F 2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 3.(2015·郑州质量预测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且2|PF 1|＝3|QF 1|，则椭圆的离心率为( ) A.35 B.45 C.34 D.3254.(2015·日照模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) A.32 B.232 C.932 D.23275.(2015·江西八所重点中学联考)直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.2556.(2015·东北三省四市教研联合体模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，144.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，过点P (－2，0)的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 面积的最大值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 如图,由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b .在Rt △OFB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ,代入解得a 2＝4c 2,故椭圆离心率e＝c a ＝12，故选B. 答案 B2.解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.答案 A3.解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.答案 B4.解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A. 答案 A5.解析 由已知e ＝ca ＝33， 又△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋(|AF 2|＋|BF 2|)＋|BF 1|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 2|＋|BF 1|)＝2a ＋2a ＝43，解得a ＝3，故c ＝1，b ＝a 2－c 2＝2， 故所求的椭圆方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案 A6.解析 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，kFQ ＝y0x 0－c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c （2c 2－a 2）a 2，y 0＝2bc2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2（2c 2－a 2）2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝ca，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 答案227.解析 由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去). 答案338.解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.9.(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6，又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .10.(1)解 由题设知c a ＝22,b ＝1,结合a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.11.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13.进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53. 12.解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c .y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28,故a ＝7,b ＝ 2 7.13.解 (1)由已知可得，ca ＝63，c ＝2，所以a ＝ 6. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →，即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2). 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3＝－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m .解得m ＝±1.此时，四边形OPTQ 的面积S OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3. 14.解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ).化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形.从而c ＝22a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2a ＝4c ，得a ＝2c ， 4a2＋3a 2－c 2＝1，得a ＝22，b ＝6， 因此，椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.答案 A2.解析 由题意得|PQ |＝|F 1F 2|＝2c ，得P 的横坐标为2c 2－a 2c ，－a ＜2c 2－a2c＜a即：－ac ＜2c 2－a 2＜ac ，－e ＜2e 2－1＜e ，得e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 A3.解析 由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|＝2a －2c ,|QF 1|＝23|PF 1|＝23(2a －2c ).QF 2＝2a －23(2a －2c )＝2a 3＋43c .取PF 1的中点M ，连接F 2M ，则F 2M ⊥PF 1，|F 2M |2＝|F 1F 2|2－|F 1M |2＝|F 2Q |2－|MQ |2，所以4c 2－(a －c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＋43c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73a －73c 2，化简得5e 2－8e ＋3＝0，所以e 1＝1(舍去)，e 2＝35，即椭圆的离心率为35，故选A.答案 A4.解析 将y ＝1－x 代入ax 2＋by 2＝1，整理得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，x 1＋x 2＝2b a ＋b ，y 1＋y 2＝1－x 1＋1－x 2＝2a a ＋b ，因此AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋b ，a a ＋b ，aa ＋b b a ＋b ＝a b ＝32.答案 A5.解析 直线l ：x －2y ＋2＝0与x 轴的交点F 1(－2，0)，与y 轴的交点B (0，1)，由于椭圆的左焦点为F 1，上顶点为B ，则c ＝2，b ＝1，∴a ＝b 2＋c 2＝5，e ＝c a＝25＝255.答案 D6.解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，所以c a ＝22.又椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，144，所以14a 2＋78b 2＝1.同时结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题知F (-1,0)，显然直线AB 的斜率存在且不为0,设为k ,则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x ＋2），消去y 得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，故Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8(1－2k 2)>0， 所以0<k 2<12，且x 1＋x 2＝－8k 21＋2k ，x 1x 2＝8k 2－21＋2k，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·8（1－2k 2）（1＋2k 2）2.点F 到直线AB 的距离为d ＝|k |1＋k2，所以S △ABC ＝12·|k |1＋k 2·1＋k 2·8（1－2k 2）（1＋2k 2）2 ＝2·－2k 4＋k24k 4＋4k 2＋1＝2·－12＋12×6k 2＋14k 4＋4k 2＋1. 令t ＝6k 2＋1∈(1，4)，则k 2＝t －16.所以S △ABC ＝2·－12＋92×t t 2＋4t ＋411 ＝2·－12＋92×1t ＋4t ＋4≤2·－12＋92×14＋4＝24，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，k ＝±66时取等号.所以△ABF 面积的最大值为24.。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第九章 平面解析几
第四节 双曲线及其性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝12.(2015·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0 )的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D.x 2－y 23＝13.(2015·湖南，6)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.534.(2015·四川，7)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 35.(2015·重庆，9)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12 B.±22C.±1D.± 26.(2015·湖北，9)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A.对任意的a ，b ，e 1<e 2B.当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C.对任意的a ，b ，e 1>e 2D.当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 27.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A.2B.62 C.52D.1 8.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15C.4D.179.(2014·广东，8)若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等10.(2014·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝111.(2014·江西，9)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝112.(2016·北京，12)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.13.(2016·山东，14)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.14.(2016·浙江，13)设双曲线x 2－y 23＝1的左、焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________.15.(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________.16.(2015·北京，12)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________.17.(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66).当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.18.(2015·山东，15)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·邯郸市质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝－52x ，则它的离心率为( ) A.52 B.32 C.355 D.232.(2016·郑州质量预测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，a ∈R ，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点P 为双曲线上一点满足|OP |＝3a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则此双曲线的离心率为( ) A.213 B.73 C.273 D.7333.(2016·河南适应性模拟练习)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝kx (k >0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a 2＝1C.x 24b 2－y 2b 2＝1D.x 25b 2－y 2b2＝14.(2015·河北唐山模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，在双曲线C 上存在点P ，满足△PF 1F 2的周长等于双曲线C 的实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52 5. (2015·河北石家庄一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 36.(2016·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其右顶点是A ，若双曲线C右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________. 7.(2015·河北高阳中学第一次月考)F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于________.8.(2015·北京朝阳期末)已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是______________，离心率是________.9.(2015·山东枣庄四校联考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在点P ，满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中点O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率的取值范围是________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案 A2.解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2，0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，选D.答案 D3.解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3b a＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.答案D4.解析 右焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，∴y ＝±23，∴A (2，23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3. 答案 D5.解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F (c ，0)，左、右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则2A C k ＝b 2ac ＋a ， 1A B k ＝b 2aa －c，又A 1B 与A 2C 垂直，则有1A B k ·2A C k ＝－1，即b 2ac ＋a ·b 2aa －c＝－1，∴b 4a 2c 2－a2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. 答案 C 6.解析e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m a ＋m，即e 1<e 2.故选B. 答案 B7.解析 由双曲线方程知b 2＝3，从而c 2＝a 2＋3，又e ＝2，因此c 2a 2＝a 2＋3a2＝4，又a >0，所以a ＝1，故选D.答案 D8.解析 根据双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a .又(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，所以4a 2＝b 2－3ab ，即(a ＋b )(4a －b )＝0，又a ＋b ≠0，所以b ＝4a ，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋42＝17. 答案 D9.解析 若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等.故选D. 答案D10.解析 由题意可得b a＝2，c ＝5，所以c 2＝a 2＋b 2＝5a 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，则所求双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案 A11.解析 设双曲线的右焦点为F ，则F (c ，0)(其中c ＝a 2＋b 2)，且c ＝|OF |＝r ＝4，不妨将直线x ＝a 代入双曲线的一条渐近线方程y ＝b ax ，得y ＝b ，则A (a ，b ).由|FA |＝r ＝4，得（a －4）2＋b 2＝4，即a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以c 2－8a ＝0，所以8a ＝c 2＝42，解得a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 A12.解析 由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以b a＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2. 答案 1 213.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b2a＝3×2c .又∵b 2=c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0,两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2-3c a-2=0,即2e 2-3e -2＝0,解得e =2.答案 214.解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2， 解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)15.解析 由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案 x 24－y 2＝116.解析 由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2.得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3. 答案 317. 解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.答案 12 618.解析 把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c ，0)， ∴kF 2P ＝3b c －2a .由题意，得3b c －2a ＝b a. ∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca＝2＋ 3. 答案 2＋ 3B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 该双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，故b a ＝52，即c 2－a 2a ＝52，e ＝c e ＝32.答案 B2.解析 设P (x 0，y 0)(x 0≥a )，则x 20＋y 20＝9a 2，x 20a 2－y 20b2＝1，二者联立得x 20＝9a 4＋a 2b 2c2，又因为|PF 1|＝（x 0＋c ）2＋y 20 ＝（x 0＋c ）2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－1＝c ax 0＋a ，同理可得|PF 2|＝c a x 0－a ，由题意知|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，所以c 2a 2x 20－a 2＝4c 2，即c 2a 2×9a 4＋a 2b 2c 2－a 2＝4c 2，整理得7a 2＝3c 2，所以c a ＝213. 答案A3.解析 由题意知k ＝b a ，所以5b a ＝c a ，c ＝5b ，a ＝2b ，双曲线方程为x 24b 2－y 2b2＝1，故选C.答案 C4.解析 利用双曲线定义和几何性质建立基本量的关系.不妨设点P 在双曲线的右支上，则PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＋2c ＝6a ，两式相加得PF 1＝4a －c >a ＋c ⇒3a >2c ，所以离心率1<e ＝c a<32，故选A. 答案A5.解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p 2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0所以e 4－6e 2＋1＝0，又e ＞1，解得e＝1＋2，故选C. 答案C6.解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ，要使△ABD 为正三角形，则只需过右顶点A ，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b ax 的斜率.∴33＞b a ，∴b ＜33a . 即b 2＜13a 2，则c 2＜a 2＋13a 2，即c ＜233a ，则e ＜233，又e ＞1，所以1＜e ＜233.答案 1＜e ＜2337.解析 设点P 到焦点F 2的距离为d ，则d －9＝±8，解得d ＝17或d ＝1(不符合，舍去)，所以d ＝17. 答案 178.解析 由双曲线的焦点可知c ＝5，因为线段|PF 1|的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且|PF 2|＝4，点P 在双曲线右支上.所以|PF 1|＝（25）2＋42＝36＝6，所以|PF 1|－|PF 2|＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，离心率e ＝ca ＝ 5.答案 x 2－y 24＝159.解析 设P (x 0，y 0)，则以|OP |为边长的正方形的面积S ＝|OP |2＝x 20＋y 20＝2ab ，又x 20＋y 20≥a 2，所以2ab ≥a 2，则b a ≥12，故e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥54，所以e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第九章 平面解析几何2 文
第二节 圆的方程及点、线、圆的位置关系A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A.－43B.－34 C. 3 D.22.(2016·北京，5)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 23.(2016·山东，7)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离4.(2015·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.435.(2015·北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝26.(2014·湖南，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21 B.19C.9D.－117.(2014·浙江，5)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－88.(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.49.(2014·安徽，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π310.(2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C.[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，2211.(2016·新课标全国Ⅰ，15)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.12.(2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________.13.(2016·浙江，10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.14.(2015·湖南，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.15.(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.16.(2015·湖北，16)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B在A 的上方)，且|AB |＝2. (1)圆C 的标准方程为________.(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.17.(2014·湖北，17)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________；(2)λ＝________. 18.(2014·重庆，14)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________.19.(2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.20.(2015·广东，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1. (2016·四川资阳模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A.52－4B.17－2C.6－2 2D.17 2.(2016·河南洛阳统考)直线y ＋4＝0与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A.相切 B.相交且直线不经过圆心 C.相离 D.相交且直线经过圆心 3.(2016·吉林长春质量监测)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A.[1-3，1＋3]B.(-∞，1-3]∪[1＋3，＋∞)C.[2-22，2＋22]D.(-∞，2-22]∪[2＋22，＋∞)4.(2016·石家庄质量检测)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A.[4，6]B.(4，6)C.[5，7]D.(5，7)5.(2015·淄博模拟)过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A.x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B.x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C.x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D.x 2＋y 2－265x －125y －375＝06.(2015·聊城模拟)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝07.(2015·黑龙江佳木斯第三次调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 8.(2015·东营模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A.6B.25C.26D.369.(2015·山东胶东示范校质量检测)已知直线y ＝－x ＋a 与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋4y ＋4＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 的面积S ＝2，则实数a ＝________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 答案 A2.解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C3.解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B. 答案 B4.解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，② 联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B. 答案 B5.解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D6.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m .从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C. 答案 C7.解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ,所以圆心为(-1,1),半径r ＝2－a ,圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2,故r 2－d 2＝4,即2－a －2＝4,所以a ＝-4，故选B. 答案 B8.解析 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知|OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.故选B. 答案 B9.答案 过P 点作圆的切线PA 、PB ，连接OP ，如图所示.显然，直线PA 的倾斜角为0，又OP ＝（－3）2＋（－1）2＝2，PA ＝3，OA ＝1，因此∠OPA ＝π6，由对称性知，直线PB 的倾斜角为π3.若直线l 与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D.答案 D10.解析 过M 作圆O 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN ＝45°，则∠OMB ≥∠OMN ＝45°，所以∠AMB ≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A.答案 A11.解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.答案 4π12.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23).过A ，B 作l 的垂线方程分别为y -3＝-3(x ＋3)，y －23＝-3x ，令y ＝0，则x C ＝-2，x D ＝2，∴|CD |＝2-(-2)＝4. 答案 413.解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (-2，-4) 514.解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2. 答案 215.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝216.解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2) 方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0, 2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1. 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 17.解析 设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，y 2＝1－x 2，λ2＝|MB |2|MA |2＝（x －b ）2＋y 2（x ＋2）2＋y 2＝x 2－2bx ＋b 2＋1－x 2x 2＋4x ＋4＋1－x 2＝b 2＋1－2bx 5＋4x ＝－b 2＋b 2＋52b ＋15＋4x.∵λ为常数，∴b 2＋52b ＋1＝0，解得b ＝－12或b ＝－2(舍去).∴λ2＝－b 2＝14，解得λ＝12或λ＝－12(舍去).答案 (1)－12 (2)1218. 解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x +1)2+(y -2)2＝9，所以圆心为C (－1，2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6. 答案 0或619.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.20.解 (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y ＝mx ，易知直线l 的斜率存在，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0， 所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94，因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2，所以m 2<45，所以y 20＝m 2x 20<45x 20，所以3x 0－x 20<45x 20，解得x 0>53或x 0<0，又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M (x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3，即M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点T (4，0)，斜率为k 的直线.结合图形，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253按逆时针方向运动到⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，则k PT ＝2534－53＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34在这里暂取k ＝34，因为257<34，所以k PT <k .结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当－257≤k ≤0或k ＝34时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±34，综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±34时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点.21.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ,y ),则CM →＝(x ,y -4)，MP →＝(2-x ,2-y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2-y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A (2，－3)，半径为1，圆C 2的圆心，坐标(3，4)，半径为3，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和.即（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4，故选A. 答案 A2.解析 圆心(2,－1)到直线y ＝－4的距离为|－4－(－1)|＝3，而圆的半径为3，所以直线与圆相切，选A. 答案 A3.解析|m ＋1＋n ＋1－2|（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即：(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2. 答案 D4.解析 用圆的几何性质求解.因为圆心(5，1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6，故选B. 答案5.解析 y ＝－4－2x 代入(x ＋1)2＋(y －2)2＝4整理得：5x 2＋26x ＋33＝0，x 1＋x 2＝－265，y 1＋y 2＝－4－2x 1－4－2x 2＝125，弦长＝222－⎝⎛⎭⎪⎫|2＋0＋0＋4|22＋12＝455，满足条件面积最小的圆为两交点的中点为圆心，弦长为直径的圆，故圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.答案A6.解析 该直线可整理为a (x ＋1)＋(－x －y ＋1)＝0，故定点C 为(－1，2)，所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案 C7.解析 两圆圆心间的距离d ＝（2＋2）2＋1＝17，两圆半径的差为1，和为5，因为1＜17＜5，故两圆相交，选B. 答案 B8.解析 题意可知（x －5）2＋（y ＋4）2的最大值为(5，－4)到(2，0)的距离5＋1＝6，故(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36. 答案9.解析 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，所以C (2，－2)，r ＝2.设∠ACB ＝θ(0<θ<π)，则△ABC 的面积S ＝12×r ×r sin θ＝12×2×2sin θ＝2，解得sin θ＝1，故θ＝π2.所以△ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，故圆心到直线的距离d ＝r cos θ2＝2.由点C 到直线x ＋y －a ＝0的距离公式得d ＝|2＋（－2）－a |2＝2，整理得|a |＝2，故a ＝2或a ＝－2.答案 2或－2。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编第九章平面解析几何3理
第三节 椭圆及其性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜12.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.343.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝14.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.5.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值.7.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .8.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.9.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.10.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.11.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.12.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 13.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·青岛模拟)已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A.3 2B.2 6C.27D.7 2.(2016·安徽安庆模拟)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A.2 B.2或83C.2或6D.2或83.(2015·黄冈质检)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.22 C.12 D.324.(2015·武汉模拟)已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝15.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知点P (x ，y )在椭圆x 264＋y 239＝1，若定点A (5，0)，动点M 满足|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是______.6.(2016·福建四地六校第三次联考)已知椭圆的中心在原点，，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4，1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A 、B . (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)若直线l 不过点M ，求证：直线MA 、MB 的斜率互为相反数.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 2.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13.]3.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]4. 63[联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 5.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t . 由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k 3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)， 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2. 因此k 的取值范围是(32，2).6.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2.故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.7.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 8.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2. 所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎪⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角.故点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 9.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b21＋4k 2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.10.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).11.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]12.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.]13.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)·(b 2－3)＝0，∴b 2＝3.长轴长为2b 2＋4＝27.]2.D [显然m ＞0且m ≠4,当0＜m ＜4时,椭圆长轴在x 轴上,则1m －141m＝22,解得m ＝2;当m ＞4时,椭圆长轴在y 轴上,则14－1m 14＝22，解得m ＝8.] 3.A [不妨设|PF 2|＝1,则|PF 1|＝2,|F 1F 2|＝2c ＝3,由椭圆的定义得2a ＝3,因此e ＝c a＝2c 2a ＝33.] 4.B [∵a ＝4,e ＝34,∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.11 ∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.] 5. 2 2 [由|AM →|＝1可知点M 的轨迹为以点A 为圆心,1为半径的圆,过点P 作该圆的切线，则|PA |2＝|PM |2＋|AM |2;得|PM |＝|PA |2－1,∴要使得|PM →|的值最小,而|PA →|的最小值为a －c ＝3，此时|PM →|＝2 2.]6.(1)解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2，又因为M (4，1)在椭圆上，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1.(2)解 将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.(3)证明 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，只要证明k 1＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝（y 1－1）（x 2－4）＋（y 2－1）（x 1－4）（x 1－4）（x 2－4）分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)(x 1－4)＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2（4m 2－20）5－8m （m －5）5－8(m －1)＝0，所以直线MA 、MB 的斜率互为相反数.。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第九章 平面解析几何1 理
第一节 直线与方程A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________.2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·福建福州模拟)设不同直线l 1:2x －my －1＝0,l 2:(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·河北邢台模拟)已知点P (x ，y )为曲线y ＝x ＋1x上任一点，点A (0，4)，则直线AP 的斜率k 的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(3，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(1，＋∞)3.(2016·广西南宁调研)已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A.－4B.20C.0D.244.(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行,则tan 2α的值为( )A.45B.43C.34D.235.(2016·四川乐山模拟)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝a ＋1,B ＝{(x ,y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15},求a 为何值时,A ∩B ＝∅.6.(2015·盐城模拟)经过两条直线2x －3y ＋3＝0,x －y ＋2＝0的交点,且与直线x －3y －1＝0平行的直线的一般式方程为______________________.答案精析A 组 三年高考真题(2016～2014年)1.5x ＋y －3＝0 [y ′＝－5e －5x ，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.]2.5 [易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.]3.－3 [由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －b x 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.]2. A [由题意知k AP ＝y －4x ＝1－4x ＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫1x －22－3≥－3.] 3. A [由两直线垂直得－a 4×25＝－1， ∴a ＝10，将垂足坐标代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12，∴a ＋b ＋c ＝－4.]4.B [直线的斜率为12，即直线l 的斜率为k ＝tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝134＝43，选B.] 5.解 集合A 、B 分别为平面xOy 上的点集，直线l 1：(a ＋1)x －y －2a ＋1＝0(x ≠2)， l 2：(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋1）（a －1）＝（－1）·（a 2－1），－1×（－15）≠（a －1）（－2a ＋1），解得a ＝±1. ①当a ＝1时，显然有B ＝∅，所以A ∩B ＝∅；②当a ＝－1时,集合A 为直线y ＝3(x ≠2),集合B 为直线y ＝－152,两直线平行,所以A ∩B ＝∅；③由l 1可知(2，3)∉A ，当(2，3)∈B 时，即2(a 2－1)＋3(a －1)－15＝0，可得a ＝52或a ＝－4，此时A ∩B ＝∅. 综上所述，当a ＝－4，－1，1，52时，A ∩B ＝∅. 6. x －3y ＝0 [两条直线2x －3y ＋3＝0,x －y ＋2＝0的交点为(－3,－1)，所以所求直线为y ＋1＝13(x ＋3),即x －3y ＝0.]。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第九章 平面解析几何1 文
第一节 直线与方程A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. (2016·北京，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A.－1B.3C.7D.82.(2015·安徽，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或123.(2014·福建，6)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A.x ＋y －2＝0B.x －y ＋2＝0C.x ＋y －3＝0D.x －y ＋3＝04.(2014·四川，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45] D.[25，45]5.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河南南阳一模)已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12 2.(2016·辽宁师大附中期中)已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a 等于( )A.1或－3B.－1或3C.1和3D.－1或－33.(2016·广东珠海综合测试)“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·山东烟台二模)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A.2B.－2C.12D.－125.(2015·滨州模拟)当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·苏州模拟)已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4. 即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7.答案 C2.解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.解析 依题意,得直线l 过点(0,3),斜率为1,所以直线l 的方程为y －3＝x －0,即x －y ＋3＝0.故选D.答案 D4.解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|PA |＋|PB |＝|AB |cos ∠PAB ＋|AB |sin∠PAB ＝10·2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠PAB ＋π4∈[10，25]，故选B. 答案 B5.解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案 22 B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 由a ＋2b ＝1得a ＝1－2b ，代入直线方程得(2x －1)b ＝x ＋3y ，此式对任意b 恒成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－16，即直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16. 答案 C2.解析 由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a ＋2，－2≠1a ＋2， 所以a ＝1或－3.答案 A3.解析 直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直的充要条件是4a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝34，所以“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直”的充分不必要条件，故选A.答案 A4.解析 函数y ＝x ＋1x －1的导函数为y ′＝－2（x －1）2，所以曲线在(3，2)处的切线的斜率为－12，又直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得a ＝－2，选B. 答案 B5.解析 l 1和l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1， ∵0＜k ＜12，∴k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故l 1和l 2交点在第二象限. 答案 B6.解析 设l 的方程为y －1＝k (x －1)，因此A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，0，B (0，1－k )，|MA |2＋|MB |2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2时取“＝”，得k ＝－1. 答案 x ＋y －2＝0。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编第九章平面解析几何
第六节 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·重庆,10)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F ,右顶点为A ,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点,过B ,C 分别作AC ,AB 的垂线,两垂线交于点D ,若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞,－1)∪(1,＋∞) C.(－2,0)∪(0,2) D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)2.(2014·辽宁,10)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.433.(2014·新课标全国Ⅱ,10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.944.(2014·福建,9)设P ,Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( )A.5 2B.46＋ 2C.7＋ 2D.6 25.(2014·湖北,9)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2＝π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C.3D.26.(2014·四川,10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728D.107.(2016·全国Ⅲ,20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.8.(2016·全国Ⅰ,20)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.9.(2016·北京,19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32,A (a ,0),B (0,b ),O (0,0),△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.10.(2016·江苏,22)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l ：x －y －2＝0,抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p )； ②求p 的取值范围.11.(2016·山东,21)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32,抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ,记△PFG 的面积为S 1,△PDM 的面积为S 2,求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.12.(2015·山东,15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ,A ,B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为________. 13.(2015·浙江,19)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ,B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).14.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程.15.(2015·天津,19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0),离心率为33,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ,|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.16.(2015·四川,20)如图,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.17.(2015·山东,20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32,左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ,B两点,射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.18.(2015·湖南,20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2 6. (1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC →与BD →同向. ①若|AC |＝|BD |,求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明：直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.19.(2014·北京,19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y ＝2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系,并证明你的结论.20.(2014·山东,21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ,且l 1和C 有且只有一个公共点E . (ⅰ)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.21.(2014·广东,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.22.(2014·湖北,21)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1),求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.23. (2014·安徽,19)如图,已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0),过原点O 的两条直线l 1和l 2,l 1与E 1,E 2分别交于A 1,A 2两点,l 2与E 1,E 2分别交于B 1,B 2两点.(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1,l 2)与E 1,E 2分别交于C 1,C 2两点.记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2,求S 1S 2的值.24.(2014·四川,20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x ＝－3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q . (ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； (ⅱ)当|TF ||PQ |最小时,求点T 的坐标.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北张家口模拟)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A.9B.6C.4D.32.(2016·山东日照下学期第一次模拟)已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ,B 两点,点F 为抛物线的焦点,△ABF 为直角三角形,则双曲线的离心率为( )A.3B.2C. 6D. 33.(2016·嘉兴一模)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B两点.设O 为坐标原点,则OA →·OB →等于( )A.-3B.-13C.-13或-3D.±134.(2015·合肥模拟)如图所示,A 是圆O 内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的中垂线CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.(2016·山东枣庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交,则双曲线C 的离心率的取值范围是________.6.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点,以双曲线x 216－y 29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E ,F 是椭圆上关于原点对称的两点,则当直线PE ,PF 的斜率都存在,并记为k PE ,k PF 时,k PE ·k PF 是否为定值？若是,求出这个定值；若不是,请说明理由.7.(2015·泉州质检)若抛物线y ＝ax 2－1上恒有关于直线x ＋y ＝0对称的相异的两点A ,B ,则a 的取值范围是________.8.(2015·济宁模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ,求直线l 的方程和点M 的坐标.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [由题意A (a ,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ,由双曲线的对称性知D 在x 轴上,设D (x ,0),由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x ·b 2a a －c ＝－1,解得c －x ＝b 4a 2（c －a ）,所以c －x ＝b 4a 2（c －a ）＜a ＋a 2＋b2＝a ＋c ,所以b 4a 2＜c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2＜1⇒0＜ba＜1,因此渐近线的斜率取值范围是(－1,0)∪(0,1),选A.]2.D [∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上,∴－p2＝－2,∴p ＝4,∴y 2＝8x ,设直线AB的方程为x ＝k (y －3)－2①,将①与y2＝8x 联立,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －3）－2y 2＝8x ,得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0②,则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0,即2k 2－3k －2＝0,解得k ＝2或k =-12(舍去),将k ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝8,即B (8,8),又F (2,0),∴k BF ＝8－08－2＝43,故选D.] 3.D [易知直线AB 的方程为y ＝33(x －34),与y 2＝3x 联立并消去x 得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝33,y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝3827＋9＝94.故选D.] 4.D [设圆的圆心为C ,则C (0,6),半径为r ＝2,点C 到椭圆上的点Q (10cos α,sin α)的距离|CQ |＝（10cos α）2＋（sin α－6）2＝46－9sin 2α－12sin α ＝50－9（sin α＋23）2≤50＝52,当且仅当sin α＝－23时取等号,所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62,即P ,Q 两点间的最大距离是62,故选D.]5.A [假定焦点在x 轴上,点P 在第一象限,F 1,F 2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0,n >0),它们的离心率分别为e 1,e 2,则|PF 1|＝a ＋m ,|PF 2|＝a －m ,在△PF 1F 2中,4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cosπ3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2＝4,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫m c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋m c 2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433,当且仅当a ＝3m 时,等号成立 ,故选A.]6.B [设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(不妨假设y 1>0,y 2<0),直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ,且直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝x消去x ,得y 2－ty －m ＝0,所以y 1y 2＝－m .又OA →·OB →＝2,所以x 1x 2＋y 1y 2＝2,(y 1y 2)2＋y 1y 2－2＝0,因为点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧, 所以y 1y 2＝－2,故m ＝2.又F (14,0),于是S △ABO ＋S △AFO ＝12×2×(y 1－y 2)＋12×14×y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1×2y 1＝3, 当且仅当98y 1＝2y 1,即y 1＝43时取“＝”,所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.]7.解 由题设F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,设l 1：y ＝a ,l 2：y ＝b ,则ab ≠0,且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a , Q ⎝⎛⎭⎪⎫－12，b ,R ⎝⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ,B 两点的直线为l ,则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明 由于F 在线段AB 上,故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2.所以 AR ∥FQ . (2)设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0), 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12, S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2,所以x 1＝1,x 1＝0(舍去). 设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ,所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. 所以,所求轨迹方程为y 2＝x －1.8.(1)证明 因为|AD |＝|AC |,EB ∥AC ,故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ,所以|EB |＝|ED |, 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16,从而|AD |＝4,所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0),B (1,0),|AB |＝2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3,x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3, 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1),A 到m 的距离为2k 2＋1,所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).当l 与x 轴垂直时,其方程为x ＝1,|MN |＝3,|PQ |＝8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83). 9.(1)解 由已知c a ＝32,12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2,解得a ＝2,b ＝1,c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由(1)知,A (2,0),B (0,1).设椭圆上一点P (x 0,y 0),则x 204＋y 0＝1.当x 0≠0时,直线PA 方程为y ＝y 0x 0－2(x －2),令x ＝0得y M ＝－2y 0x 0－2. 从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0得x N ＝－x 0y 0－1.∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时,y 0＝－1,|BM |＝2,|AN |＝2,所以|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值. 10.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0,∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0). 即抛物线的焦点为(2,0),∴p2＝2,p ＝4.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p，x 2＝y 222p ，∴k PQ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2, 又∵P 、Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1,即y 1＋y 2＝－2p ,∴y 1＋y 22＝－p ,又∵PQ 的中点一定在l 上,∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ,－p ).②解 ∵PQ 的中点为(2－p ,－p ),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0,有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0,解得0＜p ＜43,故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.11.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32,可得a 2＝4b 2,因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,所以b ＝12,a ＝1,所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1. (2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0),由x 2＝2y ,可得y ′＝x ,所以直线l 的斜率为m ,因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m ).即y ＝mx －m 22.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0,得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1,因此x 0＝2m 34m 2＋1,将其代入y ＝mx －m 22,得y 0＝－m 22（4m 2＋1）,因为y 0x 0＝－14m . 所以直线OD 方程为y ＝－14m x ,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14, 所以点M 在定直线y ＝－14上.②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22,令x ＝0,得y ＝－m 22,所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22, 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1）,所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m4,S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1,则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2,当1t ＝12, 即t ＝2时,S 1S 2取到最大值94,此时m ＝22,满足(*)式,所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.12.32 [由题意,不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ,直线OB 的方程为y ＝－bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ,∴x ＝2pb a ,y ＝2pb 2a 2,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2. 设抛物线C 2的焦点为F ,则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,∴k AF ＝2pb2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB ＝－1,∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1,∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ,则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.]13.解 (1)由题意知m ≠0,可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点,所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2＞0,①将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2②由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62,则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t ),所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22.当且仅当t 2＝12时,等号成立.故△AOB 面积的最大值为22.14.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0,则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k. 若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2, 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1. 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.15.解 (1)由已知有c 2a 2＝13,又由a 2＝b 2＋c 2,可得a 2＝3c 2,b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0),F (－c ,0),则直线FM 的方程为 y ＝k (x ＋c ).由已知,有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22,解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1,直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c ),两个方程联立,消去y ,整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0,解得x ＝－53c ,或x ＝c .因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433.解得c ＝1,所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ,y ),直线FP 的斜率为t ,得t ＝yx ＋1,即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1),与椭圆方程联立.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ,整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6, 又由已知,得t ＝6－2x 23（x ＋1）2＞2,解得－32＜x ＜－1,或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ,得m ＝y x ,即y ＝mx (x ≠0),与椭圆方程联立,整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时,有y ＝t (x ＋1)＜0,因此m ＞0,于是m ＝2x 2－23,得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时,有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0,于是m ＝－2x 2－23,得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上,直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.16.解 (1)由已知,点(2,1)在椭圆E 上,因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2,b ＝2,所以椭圆E 方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点, 如果存在定点Q 满足条件,则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1,即|QC |＝|QD |,所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为(0,y 0),当直线l 与x 轴垂直时,设直线l 与椭圆相交于M ,N 两点, 则M ,N 的坐标分别为(0,2),(0,－2), 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |,有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1,解得y 0＝1,或y 0＝2, 所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点坐标只可能为(0,2), 下面证明：对任意直线l ,均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |,当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立,当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1,A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0,其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0,所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1,x 1x 2＝－22k 2＋1,因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k , 易知,点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2,y 2),又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1,k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1, 所以k QA ＝k QB ′,即Q ,A ,B ′三点共线,所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |,故存在与P 不同的定点Q (0,2),使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立.17.解 (1)由题意知2a ＝4,则a ＝2,又c a ＝32,a 2－c 2＝b 2, 可得b ＝1,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |＝λ,由题意知Q (－λx 0,－λy 0).因为x 204＋y 20＝1,又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1,即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1,所以λ＝2,即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程,可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0,由Δ＞0,可得m 2＜4＋16k 2,①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2,x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t ,将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程,可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0,由Δ≥0,可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1, 因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ,故S ≤23, 当且仅当t ＝1,即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知,△ABQ 面积为3S ,所在△ABQ 面积的最大值为6 3.18.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2＝4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32,所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①,②得a 2＝9,b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).①因AC →与BD →同向,且|AC |＝|BD |,所以AC →＝BD →,从而x 3－x 1＝x 4－x 2,即x 1－x 2＝x 3－x 4, 于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1＋x 2＝4k ,x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3,x 4是这个方程的两根,所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2,x 3x 4＝－649＋8k2,⑤将④,⑤代入③,得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2,即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2, 所以(9＋8k 2)2＝16×9,解得k ＝±64,即直线l 的斜率为±64.(ⅱ)由x 2＝4y 得y ′＝x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1),即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0得x ＝x 12,即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0,所以|FM →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而|FA →|＝(x 1,y 1－1),于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.19.解 (1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4,b 2＝2,从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2,c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →＝0,即tx 0＋2y 0＝0,解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时,y 0＝－t 22,代入椭圆C 的方程,得t ＝±2,故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t ),即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4,t ＝－2y 0x 0,故d ＝|2x 0＋2y 2x 0|x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.20.解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.设D (t ,0)(t >0),则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |,由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|,解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去).由p ＋2t4＝3,解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0),设A (x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D (x D ,0)(x D >0),因为|FA |＝|FD |,则|x D －1|＝x 0＋1,由x D >0得x D ＝x 0＋2,故D (x 0＋2,0).故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行,设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ,代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0,由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0,得b ＝－2y 0.设E (x E ,y E ),则y E ＝－4y 0,x E ＝4y 20.当y 20≠4时,k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 04＝4y 0y 0－4,可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 0－4(x －x 0), 由y 20＝4x 0,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1),直线AE 恒过点F (1,0). 当y 20＝4时,直线AE 的方程为x ＝1,过点F (1,0),所以直线AE 过定点F (1,0).(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0),所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1,因为点A (x 0,y 0)在直线AE 上,故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1,y 1).直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0),由于y 0≠0,可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0,代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0,可求得y 1＝－y 0－8y 0,x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16, 当且仅当1x 0＝x 0,即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.21.解 (1)由题意知c ＝5,e ＝c a ＝53,∴a ＝3,b 2＝a 2－c 2＝4, 故椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P (±3,±2)；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k ,则k ≠0,则l 2的斜率为－1k,l 1的方程为y －y 0＝k (x －x 0),与x 29＋y 24＝1联立,整理得(9k 2＋4)x 2＋18(y 0－kx 0)kx ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0,∵直线与椭圆相切,∴Δ＝0,得9(y 0－kx 0)2k 2－(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0, ∴－36k 2＋4[(y 0－kx 0)2－4]＝0, ∴(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0,∴k 是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的一个根, 同理－1k是方程(x 20－9)x 2－2x 0y 0x ＋y 20－4＝0的另一个根,∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝y 20－4x 0－9,得x 20＋y 20＝13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13(x ≠±3), 检验P (±3,±2)满足上式.综上：点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.22.解 (1)设点M (x ,y ),依题意得|MF |＝|x |＋1,即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1,化简整理得y 2＝2(|x |＋x ).故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1：y 2＝4x ,C 2：y ＝0(x <0). 依题意,可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①(a )当k ＝0时,此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程,得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (b )当k ≠0时,方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1).②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y －1＝k (x ＋2),令y ＝0,得x 0＝－2k ＋1k.③(ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1,或k >12.即当k ∈(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0,由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12,或k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点.当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12,或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k ∈(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.23.(1)证明 设直线l 1,l 2的方程分别为y ＝k 1x ,y ＝k 2x (k 1,k 2≠0),则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 1，2p 1k 1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 1，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2,B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1,A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→,所以A 1B 1∥A 2B 2.(2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2,同理可得B 1C 1∥B 2C 2,C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝(|A 1B 1→||A 2B 2→|)2.又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2.故S 1S 2＝p 21p 22.24.解 (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6,b 2＝2, 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)(ⅰ)证明 由(1)可得,F 的坐标是(－2,0),设T 点的坐标为(－3,m ),则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ ＝1m,直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时,直线PQ 的方程是x ＝－2,也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ,得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0,其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3,y 1y 2＝－2m 2＋3,x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3,所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3,所以点M 在直线OT 上,因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)由(ⅰ)可得,|TF |＝m 2＋1, |PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24（m 2＋1）m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1,即m ＝±1时,等号成立,此时|TF ||PQ |取得最小值. 所以当|TF ||PQ |最小时,T 点的坐标是(－3,1)或(－3,－1).B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3).由题意知F (1,0), ∵FA →＋FB →＋FC →＝0,∴x 1+x 2+x 3＝3.根据抛物线定义,有|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1+1+x 2+1+x 3+1=3+3=6.故选B.]2.A [抛物线的准线为x ＝－2,代入双曲线方程得y ＝±4a4－a 2,不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，4a 4－a 2,∵△ABF 是等腰直角三角形,4a 4－a 2＝p ＝4,求得a ＝2,∴双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋16a ＝182＝3.]3.B [依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y －0＝tan 45°(x －1), 即y ＝x －1,代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0,解得x ＝0或x ＝43,所以两个交点坐标分别为(0,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13,∴OA →·OB →＝－13,同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA →·OB →＝－13.]4.B [由题意知,|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |,故E 的轨迹为以O ,A 为焦点的椭圆,故选B.]5.⎝⎛⎭⎪⎫1，233 [双曲线渐近线为bx ±ay ＝0,其与圆相交,则圆心到渐近线的距离小于半径,即2ba 2＋b 2＜1,∴3b 2＜a 2,∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2,∴e ＝c a ＜233.又e ＞1,∴1＜e ＜233.]6.解 (1)由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵双曲线x 216－y 29＝1的焦点为(±5,0).∴由题意知a ＝5,b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)k PE ·k PF 为定值,该定值为－925.理由：E ,F 是椭圆上关于原点对称的两点.设E (m ,n ),则F (－m ,－n ),又设P 点坐标为(x ,y ).则m 225＋n 29＝1,x 225＋y 29＝1.两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0,即y 2－n 2x 2－m 2＝－925.(由题意知x 2－m 2≠0). 又k PE ＝y －n x －m ,k PF ＝y ＋n x ＋m ,则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值,且为－925.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞[设抛物线上的两点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的方程为y ＝x ＋b , 代入抛物线方程y ＝ax 2－1,得ax 2－x －(b ＋1)＝0,则x 1＋x 2＝1a.设AB 的中点为M (x 0,y 0),则x 0＝12a ,y 0＝x 0＋b ＝12a＋b .由于M (x 0,y 0)在直线x ＋y ＝0上,故x 0＋y 0＝0,由此得b ＝－1a,此时ax 2－x －(b ＋1)＝0变为ax 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1＝0.由Δ＝1＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋1>0,解得a >34.]8.解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),由题意,得b ＝ 3.又c a ＝12,解得a ＝2,c ＝1,故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆在第一象限相切,所以l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆相切,所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理,得32(6k ＋3)＝0,解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式,可以解得M 点的横坐标为1,故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
2017高考复习数学(理)(北师大全国)精练九 平面解析几何 含解析
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟,满分150分.单元检测九平面解析几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积最大时,直线y＝(k－1）x＋2的倾斜角α的值为( )A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!2．已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动,则点Q（x′,y′)＝(x＋y，xy)的轨迹是（)A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．(2015·潍坊模拟）设F是椭圆错误!＋y2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于12(M＋m)的点的坐标是( ）A．（0,±2) B．(0，±1）C．(错误!，±错误!) D．（错误!，±错误!)4．已知双曲线错误!－错误!＝1的离心率为e,抛物线x＝2py2的焦点为(e,0），则p的值为（）A．2 B．1 C。
错误! D.错误!5．若AB是过椭圆错误!＋错误!＝1中心的弦,F1为椭圆的焦点，则△F1AB 面积的最大值为( ）A．6 B．12 C．24 D．486．（2015·武汉调研）已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4错误! x的焦点,P为C上一点，若｜PF|＝4错误!,则△POF的面积为（）A．2 B．2错误!C．2 3 D．47．（2015·北京海淀区期末练习)双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，且F2恰好为抛物线y2＝4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）A 。
【高考冲刺】高考数学(理)真题专项汇编卷(2017—2019) 知识点9：平面解析几何
高考数学（理）真题专项汇编卷（2017—2019）知识点9：平面解析几何1、若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =( )A ．2B ．3C ．4D ．82、设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( )A B C ．2D3、双曲线2214:2x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF =，则PFO △的面积为( )A B C ．D ．4、已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F -,，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( ) A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5、已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( )C.26、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于,M N两点，则FM FN ⋅=uuu r uuu r( )A.5B.6C.7D.87、已知双曲线:C 2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为,M N 若OMN △为直角三角形，则MN =( )A.32B.3C.D.48、直线 20x y ++=分别与x 轴， y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A. []2,6B. []4,8C. D. ⎡⎣9、设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点， O 是坐标原点，过2F 作C 的一条逐渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为( )B. 210、设12,F F 为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.11、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u u r u u u u r，则C 的离心率为________．12、已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为,A B ，与x 轴的交点为P ．(1).若4AF BF +=，求l 的方程；(2).若3AP PB =u u u r u u u r，求AB ．13、已知曲线2:,2x C y D =为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,.A B(1).证明：直线AB 过定点：(2).若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.14、设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 得直线l 与C 交于,A B 两点，点M的坐标为()2,0.(1).当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程; (2).设O 为坐标原点，证明: OMA OMB ∠=∠15、已知斜率为k 的直线l 与椭圆:C 22143x y +=交于点,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m > . (1)证明: 12k <(2)设F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r证明，||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列，并求该数列的公差答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．2答案及解析： 答案：A解析：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==Q ，||2c PA ∴=，PA ∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即222c a =，2222c e a ∴==．2e ∴=，故选A ．3答案及解析： 答案：A解析：由222,26a b c a b ===+=PO PF =Q ，6P x ∴， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a=上，11332622PFO P S OF y ∴=⋅==△．4答案及解析： 答案：B 解析：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5答案及解析： 答案：D解析：l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，故得(1,),(1,)b b A B aa---，所以2b AB a=，24b a=，2b a =，所以225c a b e a +=== 故选D 。
高考数学(文)真题专项汇编卷(2017—2019) 知识点9：平面解析几何
知识点9：平面解析几何1、已知F 是双曲线22:145C x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为( )A ．32B ．52C ．72D ．922、已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( )C.23、若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =( )A ．2B ．3C ．4D ．84、双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( )A ．2sin 40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒5、已知椭圆C 的焦点为12(10)(10)F F -，，，，过2F 的直线与C 交于A B ，两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=6、已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )A.1B.217、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点()4,0到C 的渐近线的距离为( )A.B. 2C.2D.8、设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( ) AB C ．2D9、设A B ，是椭圆 C :2213x y m+=长轴的两个端点，若 C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则 m 的取值范围是( )A. (][)0,19,⋃+∞B. ([)9,⋃+∞ C. (][)0,14,⋃+∞D. ([)4,⋃+∞10、设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．11、设12,F F 为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.12、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的右支与焦点为F 的抛物线()220x py p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为__________.13、已知椭圆 2222:1x y M a b +=(0)a b >>k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B (1)求椭圆 M 的方程；(2)若 1k =，求AB 的最大值；(3)设 (2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭共线，求k . 14、设抛物线2:2C y x =，点()2,0A ，()2,0B -过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN ∠=∠.15、已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证: BDE △与BDN △的面积之比为4:5.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∆∴=⋅=⨯⨯=．故选B ． 2答案及解析： 答案：D解析：l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a =±，故得(1,),(1,)b bA B a a ---，所以2b AB a =，24ba=，2b a =，所以c e a === 故选D.3答案及解析： 答案：D解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．4答案及解析： 答案：D解析：由已知可得tan130,tan50b ba a-=︒∴=︒， 故选D ． 5答案及解析： 答案：B 解析：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 6答案及解析： 答案：D解析：由题设知12211290,60,2F PF PF F F F c ∠=︒∠=︒=，所以21,PF c PF ==.由椭圆的定义得122PF PF a +=2c a +=，所以1)2c a =，故椭圆C 的离心率1c e a ===.故选D. 7答案及解析： 答案：D解析：∵c e a === ∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=∴点()4,0到C 的渐近线的距离d ==故选D. 8答案及解析： 答案：A解析：设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||2cPA ∴=，PA ∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即222c a =，2222c e a ∴==．e ∴=，故选A ．9答案及解析： 答案：A解析：当03,m <<焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120,AMB ∠=︒则60a tan b ≥︒=>得01;m <≤ 当3,m >焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120,AMB ∠=︒则tan 60a b ≥︒=>得9,m ≥ 故m 的取值范围为(][)0,19,,⋃+∞选A. 10答案及解析： 答案：()2214x y -+=解析：抛物线24y x =中，24,2p p == 焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为222(1)2x y -+=，为22(1)4x y -+=. 11答案及解析：答案： 解析：由已知可得2222236,36,16,4ab c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．122212,4MF MF a MF +===．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F SF F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M的坐标为(．12答案及解析：答案：2y x =±解析：设1122(,),(,)A x y B x y .由22x py =得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线的准线方程为2py =-.由抛物线定义得12AF BF y y p +=++.∵2pOF =，结合42AF BF OF p +==，得12y y p +=.将22x py =代入22221x y a b -=得22221py y a b -=，即222210y pyb a-+=，则221222221pb p a y y p a b+===.∴2221b a =，∴222a b =，∴双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为2y x =±. 13答案及解析：答案：(1)椭圆方程为2213x y +=(2)AB(3)1k =解析：(1).由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=.(2).设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得 2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212333,24m m x x x x -+=-=，，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB =，故AB. (3).设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，则221133x y +=①， 222233x y +=②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+， 直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得 2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++.故33447171(,),(,)4444QC x y QD x y =+-=+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.14答案及解析：答案：(1).当l 与x 轴垂直时， l 的方程为2x =，可得M 的坐标为(2,2)或()2,2- 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =-- (2).当l 与x 轴垂直时， AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN ∠=∠ 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y ，则120,0x x >>.由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2240ky y k --=，可知12122,4y y y y k +==-直线,BM BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++① 将12122,2y yx x k k=+=+及1212,y y y y +的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===所以0BM BN k k +=，可知,BM BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠ 综上， ABM ABN ∠=∠. 15答案及解析：答案：(1).∵焦点在x 轴上， ∴2a =，2c e a ==，∴c = ∴2221b a c =-=，∴1b =，∴22141x y +=.(2)令(),0D t ，∴M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝，∴AMk ==∵DE AM ⊥，∴DE k =-，∴):DE l y x t =--， ∵() 2,0B，,N t ⎛ ⎝，∴):2BN l y x =-，联立DE l 与BN l:))2y x t y x =--=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得425EE t x y ⎧⎪⎪⎨+==⎪⎪⎩∴54N E y y =， 又∵45BDE E BDN N S y S y ∆∆==， ∴BDE △与BDN △的面积之比为4:5.。
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第四节 双曲线A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)2.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.23.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.34.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝15.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝16.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B.2 3C.6D.4 37.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B.2C. 3D. 28.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 9.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝110.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等11.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3B.3C.3mD.3m12.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.313.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝014.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.2315.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.16.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.17.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.18.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.19.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.20.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________.21.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.x 2100－y225＝12.(2015·河南开封模拟)已知a >b >0 ，椭圆 C 1 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线 C 2 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1 与 C 2 的离心率之积为32， 则C 1 、 C 2 的离心率分别为( ) A.12，3 B.22，62 C.64，2 D.14，2 33.(2015·青岛一中月考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A.a 2＝132B.a 2＝13C.b 2＝12D.b 2＝24.(2015·河北石家庄一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 35.(2016·山东日照模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，其右顶点是A ，若双曲线C右支上存在两点B ，D ，使△ABD 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.6.(2016·四川成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，则双曲线的离心率是________.7.(2016·豫晋冀三省调研)已知双曲线C 的中心在原点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为________.8.(2016·广东茂名模拟)已知抛物线y 2＝4x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若(OA →＋OB →)·AF →＝0，则双曲线的实轴长为________. 9.(2016·湖南常德3月模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点为M ，右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足：MA →＋MB →＝2MF →，MA →·MB →＝0，则该双曲线的离心率是________.10.(2016·重庆万州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).点M (3，m )在双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]2.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]3.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]4.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]5.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.]6.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.] 7.D[如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 8.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y＝±33，所以－33<y 0<33.] 9.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝ba x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]10.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]11.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]12.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53.] 13.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]14.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a .∵e ＝c a ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a ＝14，故选A.]15.2 [由已知得|AB |＝2b2a,|BC |＝2c ,∴2×2b2a＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 16.2 3 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .] 17.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 18. 5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a2＝5，∴e ＝ 5.]19.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 20.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB＝13，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am 3b －a ＋－am3b ＋a2－m＝－3， 化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.] 21.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2，因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.A [由题意知：b a ＝12,c ＝5,所以a 2＝20,b 2＝5,则双曲线的方程为x 220－y 25＝1,故选A.]2.B [由题意知，a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 2＝2b 2，则C 1、C 2的离心率分别为e 1＝22，e 2＝62，故选B.] 3.C [由题意知,a 2＝b 2＋5,因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ,联立方程消去y ,得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0,∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 4.C [因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p 2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0所以e 4－6e 2＋1＝0，又e ＞1，解得e ＝1＋2，故选C.]5.1＜e ＜233 [双曲线c 的渐近线方程为y ＝±ba x ,要使△ABD 为正三角形,则只需过右顶点A ,且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点,即只需该直线的斜率大于渐近线y ＝b a x 的斜率.∴33＞b a ，∴b ＜33a .即b 2＜13a 2，则c 2＜a 2＋13a 2，即c ＜233a ，则e ＜233， 又e ＞1，所以1＜e ＜233.]6.133 [由渐近线方程可设a ＝3k ,b ＝2k ,(k ＞0),∴c ＝13k ，双曲线离心率为e ＝ca＝133.] 7.3＋1 [设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，连接MF 1，则在Rt △MF 1F 2中，有|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a＝23－1＝3＋1.] 8. 22－2 [抛物线y 2＝4x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F (1，0)，由(OA →＋OB →)·AF →＝0知AF ⊥x 轴，不妨设A 点在第一象限，则A 点坐标为(1，2). 设双曲线的左焦点为F ′，则|FF ′|＝2.由勾股定理得|AF ′|＝2 2. 由双曲线定义知2a ＝|AF ′|－|AF |＝22－2.]9. 2 [因为MA →＋MB →＝2MF →,所以F 为AB 的中点,所以AB ⊥x 轴,即|AB |＝2b 2a,又MA →·MB →＝0,所以MA ⊥MB ,所以|MF |＝b 2a ,所以a ＋c ＝b 2a,即c 2－ac －2a 2＝0,所以e 2－e －2＝0.解得e ＝2.]10.(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明 由(1)可知，在双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0).∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，又∵点M (3，m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,m 2＝3.∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23×m 3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 由(2)知MF 1⊥MF 2，∴△MF 1F 2为直角三角形.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，m ＝±3，M (3，3)或(3，－3)， 由两点间距离公式得|MF 1|＝（－23－3）2＋（0－3）2＝24＋123， |MF 2|＝（23－3）2＋（0－3）2＝24－123，S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|＝12×24＋123·24－123＝12×12＝6.即△F 1MF 2的面积为6.。