轴对称变换的应用
初中数学辅助线添加技巧：轴对称
初中数学辅助线添加技巧：轴对称方法总结1．图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．在近年来全国各地的中考题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点模型．思路：图形的折叠问题分为两类题型：一是考察图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；二是考察图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹角．2．轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或将分散条件集中起来，从而达到解题目的．那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？以下给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形．（1）线段或角度存在2倍关系时，可考虑对称；（2）有互余、互补关系的图形，可考虑对称；（3）角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称；（4）路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解．所以最短路径问题，需要考虑轴对称．几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下所示．3．轴对称的基本模型（1）（2）（3）（4）典例精析例1．如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F，交BC边上的高AE于点G，求证：EG=EC．GFED CBA证明：连接AD．21GFEDCBA∵点D 为AB 垂直平分线上一点， ∴DA DB =，∴22.5BAD B ∠=∠=︒， 又AE BC ⊥，∴45DAE ADE ∠=∠=︒， ∴DE AE =， ∵DF AC ⊥ ∴290C ∠+∠=︒， 又∵190C ∠+∠=︒， ∴12∠=∠， ∴AEC DEG △≌△， ∴EG GC =．点拨：本题用到了基本模型（4），线段的垂直平分线“模型”是典型的轴对称基本模型． 例2．（1）如图1，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B'处，点A 落在点A'处．若AE =a ，AB =b ，BF =c ，请写出a ，b ，c 之间的一个等量关系 ．（2）如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，，将其折叠，使点A 落在边CB 上A'处，折痕为CD ，则∠A'DB =（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°（3）如图3，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在A'处，且点A'在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．（4）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）图4图3图2图1N MABCDE ABCDEF ABCDA解（1）222c a b =+（提示B'E =BF =FB =c ） （2）D ；（3）3；（4（n ≥2，且n 为整数）． 点拨：本例中几个题都是折叠问题，折叠与轴对称是密不可分的，对于折叠问题，我们的思路通常是确定对应边、对应角及折痕，折叠前后的图形全等，且折痕是对应点连线的垂直平分线，求线段长通常确定一个直角三角形或两个相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质求解．例3．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，求折痕MN 的长度．NM A BCDEF解：方法一：过点M 作MHAD 交CD 于点H ，连接DE ．H NM A BCD EF∵正方形ABCD ，MN 是折痕，∴,MN DE MH AD ⊥=， ∵E 是BC 中点， ∴4BE CE ==， 易证MHN DCE △≌△， ∴MN DE =，在Rt DCE △中，CD =8，EC =4，∴DE ==，∴MN =．方法二：延长NE 交AB 的延长线于点H ，由题意可知EN =DN ，CE =4．K HN M A B CDEF在Rt NEC △中，设DN =x ， ∵222EN EC CN =+， ∴()22248x x =+- ∴5x =，∴5,3DN CN ==．易证,5,10NEC HEB HE NE HN ===△≌△， ∵ABCD ，∴DNM HMN ∠=∠． ∵DNM HNM ∠=∠， ∴HMN HNM ∠=∠． ∴10MH NH ==． 作NK AB ⊥于K ，∴3KB NC BH ===． ∴4MK =． ∵8KN =，∴MN ==点拨：本例是一道典型的考查折痕的问题，方法一应用了折痕垂直平分对应点所连线段，再用正方形中一个经典模型：并将MN 转化；方法运用了折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形．例4．在四边形ABCD 中，AB =30，AD =48，BC =14，CD =40，90ABD BDC ∠+∠=︒，求四边形ABCD 的面积．40144830A B CD解：作BD 的垂直平分线l ，以l 为对称轴，作ABD △关于l 的轴对称图形A'DB △．l A'40144830A B CD∴,30,48,ABD A'DB S S A'D AB A'B AD A'DB ABD =====∠=∠△△． ∴90A'DC A'DB BDC ABD BDC ∠=∠+∠=∠+∠=︒． ∴A'DC △是直角三角形．∴50A'C ，在A'BC △中，50,48,14A'C A'B AD BC ====． 而22222214481962304250050BC A'B A'C +=+=+===， ∴由勾股定理逆定理可知90A'BC =∠︒． ∴A'BC A'DC ABCD A'BCD S S S S ==+△△四边形四边形 1111481430403366009362222A'B BC A'D CD =+=⨯⨯+⨯⨯=+=． 点拨：题目给出两角互余，考虑直接将两角挪在一起，构成直角，进而得到特殊三角形，特殊图形具有特殊性质，便于我们做题．而此题我们利用轴对称达到这一目的．应用了基本模型（1），因此说互余、互补关系的图形与轴对称有着很奇妙的关系，也是轴对称的应用．例5．在四边形ABCD 中，连接AC ，BC =CD ，60BAC ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥．ABCD证明：以AC 所在直线为对称轴将ADC △翻折到AD'C △的位置，连接BD'．D'ABCD则,CD'CD BC ACD ACD'==∠=∠．∵60BCD'BAC ACD'BAC ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， ∴D'BC △为等边三角形．∴AD CD AD'D'B AB +=+≥，等号成立时AC 平分BAD ∠．点拨：本题中出现角度差为特殊角60°，提示我们可以进行对称变换“构造”出60°角．例6．问题：已知△ABC 中，∠BAC =2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD =CD ，BD =BA .探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC =90°时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；当推出∠DAC =15°时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.（2）当∠BAC ≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.ABC解：（1）图形补全如下图所示，ABCD①当∠BAC =90°时， ∵∠BAC =2∠ACB ， ∴∠ACB =45°，在△ABC 中，∠ABC =180°－∠ACB －∠BAC =45°， ∴∠ACB =∠ABC ， ∴AB =AC （等角对等边）； ②当∠DAC =15°时， ∠DAB =90°－15°=75°，∵BD =BA ，∴∠BAD =∠BDA =75°， ∴∠DBA =180°－75°－75°=30°，∴∠DBC =45°－30°=15°，即∠DBC =15°， ∴∠DBC 的度数为15°； ③∵∠DBC =15°，∠ABC =45°， ∴∠DBC =15°：∠ABC =45°=1：3， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．（2）猜想：∠DBC 与∠ABC 度数的比值与（1）中结论相同．证明：如图，作∠KCA =∠BAC ，过B 点作BK ∥AC 交CK 于点K ，连接DK ．654321l K ABCD E∴四边形ABKC 是等腰梯形， ∴CK =AB ， ∵DC =DA ， ∴∠DCA =∠DAC ， ∵∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCD =∠3， ∴△KCD ≌△BAD ， ∴∠2=∠4，KD =BD ， ∴KD =BD =BA =KC ． ∵BK ∥AC ， ∴∠ACB =∠6，∵∠BAC =2∠ACB ，且∠KCA =∠BAC ， ∴∠KCA =2∠ACB ， ∴∠5=∠ACB ，∴∠5=∠6， ∴KC =KB ， ∴KD =BD =KB ， ∴∠KBD =60°，∵∠ACB =∠6=60°－∠1， ∴∠BAC =2∠ACB =120°－2∠1，∵∠1+（60°－∠1）+（120°－2∠1）+∠2=180°， ∴∠2=2∠1，∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3．点拨：本题出现倍角关系，又有轴对称的基本模型（2）、（3），所以很容易想到用对称解决问题．本题的难点在于轴对称的选择．例7．（1）在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，2CM =，点P 是BD 上一动点，则PM PC +的最小值是 ．（2）若将（1）中的正方形换成菱形且60ABC ∠=︒，其它条件不变，则PM PC +的最小值是 ．(2)(1)M CDPAB PABCDM解：（1）2）点拨：求线段和最小时，可以利用对称性求解． 例8．阅读下列材料：问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=︒，试判断AB ＋CD 与AD 之间的大小关系。
数学中的对称性与变换的性质与应用
电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。
二年级下册数学图形的运动---轴对称、平移、旋转
创意性图案1
将正方形进行轴对称和平移，可以设计出 具有对称性的连续方形图案。
创意性图案2
将三角形进行旋转和平移，可以设计出具 有旋转对称性的复杂图案。
创意性图案3
将圆形进行平移和旋转，可以设计出具有 流动感的圆形图案。
欣赏经典数学图案作品
ห้องสมุดไป่ตู้经典作品1
经典作品3
埃舍尔的《相对性》利用轴对称和平 移等变换，展示了视觉上的错觉和数 学的魅力。
• 平移的要素：平移的方向和距离。
关键知识点总结回顾
旋转的定义
在平面内，将一个图形绕一个定 点沿某个方向转动一个角度，这
样的图形运动称为旋转。
旋转的性质
旋转不改变图形的形状和大小，只 改变图形的位置和方向。
旋转的要素
旋转中心、旋转方向和旋转角度。
学生自我评价报告
知识掌握情况
我已经掌握了轴对称、平移和旋转的基本概念和性质，能够识别和判断这些图形运 动。
选择基本图形
选择一个简单的图形，如正方形、三角形 或圆形，作为设计的基础。
应用轴对称
通过轴对称，可以创建出镜像效果，使得 图形具有对称美感。
应用平移
通过平移，可以将基本图形在平面上移动 到不同位置，形成连续的图案。
应用旋转
通过旋转，可以将基本图形绕某一点旋转 一定角度，创造出更丰富的图案效果。
创意性图案设计展示
绘制轴对称图形步骤
01
确定对称轴的位置和方向。
02
在对称轴的一侧绘制图形的一部 分。
03
根据轴对称的性质，在对称轴的 另一侧绘制出与已绘制部分完全 相同的图形。
04
检查绘制的图形是否满足轴对称 的定义，即沿对称轴折叠后两侧 是否能够完全重合。
轴对称变换在解题中作用
轴对称变换在解题中的作用大家知道,如果将平面图形f1绕这平面内一直线l翻转180°后与图形f2重合,就说f1与f2两图形关于l成轴对称,简称f1与f2关于l对称。
直线l称为对称轴。
若图形f关于直线l与f成轴对称,就说f是一个轴对称图形。
将图形f1变换到与它关于直线l成轴对称的图形f2,这样的几何变换就叫关于直线l的轴对称变换。
可归纳成下列方法:方法一:若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形,可以尝试找出对称轴,从对称轴上想办法。
具体说,涉及一点与一直线,尝试过点作直线的垂线;涉及一点及一圆,尝试将点与圆心用直线连接起来;涉及两条相交直线,尝试作它们交角的平分线;有两条平行直线,尝试作一条与它们垂直的直线或者作与它们等距的一条平行线;若涉及一圆及一直线,尝试过圆心作直线的垂线;若涉及不同心的两个圆,可尝试作它们的连心线。
[例1]以o为圆心的两个同心圆,与已知直线顺次交于a、b、c、d四点。
求证:∠aob=∠cod分析:证几何题时,最难的步骤是添加辅助线,如果较多的解题经验,是会想到由圆心作已知直线的垂线的,但若运用了几何变换的观点,只要注意到问题的图形是一个轴对称图形,就需要太多的机制和经验,也能迅速想到试作图形的对称轴。
证明:作om⊥ad,垂足为m(如图),则∠aom=∠dom,∠bom=∠com两式相减,可得∠aom=∠cod方法二:问题中的图形或其中一部分是一个轴对称图形,尝试添加一些对称的线,使图形结构更加完整,从而显示出解题途径。
[例2]已知正方形abcd的边ab的延长线上有一点e,ad的延长线上有一点f,满足ae=ac=af,若直线ef交bc于g,交cd于h。
求证:eg=gc=ch=hf分析:本题图形关于正方形的对角线ac对称,所以关键在于证明eg=gc。
但已知ae=ac,故可试连ec,通过证明∠ceg=∠ecg得出eg=gc。
证明:连ac,由对称性得gc=hc,ke=kf,kg=kh,相减得eg=fh。
轴对称ppt课件
对于轴对称的函数图像，其面积在沿 对称轴翻转后保持不变。
轴对称的拓扑性质
连通性
轴对称的图形在拓扑上具有连通 性，即可以通过连续变换从一个
部分到达另一个部分。
闭包
轴对称的图形在拓扑上的闭包也 是轴对称的。
分离性
轴对称的图形在拓扑上具有分离 性，即可以将图形分成互不相交
的两个部分。
轴对称的代数几何性质
轴对称ppt课件
目录
• 轴对称概述 • 轴对称的几何性质 • 轴对称的代数性质 • 轴对称的物理性质 • 轴对称的数学性质 • 轴对称的应用实例
01
轴对称概述
定义与性质
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直 线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
性质
轴对称图形具有对称轴，并且沿着对 称轴折叠后两旁的部分能够完全重合 。
轴对称的应用
01
02
03
美学
轴对称在建筑、雕塑、绘 画等领域有着广泛的应用 ，能够给人以美的感受。
工程
在工程设计中，轴对称图 形可以简化计算和设计过 程，提高效率。
数学
在数学中，轴对称是研究 几何图形的重要性质之一 ，对于图形的分类和性质 研究具有重要意义。
天坛
天坛的圜丘坛和祈年殿也采用了轴对称设计 ，体现了古代建筑的美学和哲学思想。
自然界中的轴对称现象
要点一
蝴蝶
蝴蝶的翅膀具有明显的轴对称特征，这种对称性不仅美观 ，还有助于飞行。
要点二
雪花
雪花的形状也具有轴对称性，这种对称性在自然界中广泛 存在。
工程中的轴对称应用
桥梁
桥梁的梁体设计往往采用轴对称结构，以提高桥梁的稳定性和承载能力。
轴对称的应用
实际问题数学化
如图，P为∠MON内一定点，分别在 OM与ON上找点A、B，使△ABP的周 长最小.
解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2， 连接P1P2 ， P1P2与OM、ON分别交于A、 B，点A、B即为所求.
在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ 在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ 利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化 等量转化. 等量转化
轴对称变换在解决问题中所起的作 用是什么呢？ 实现了线段长度的等量转化，将直 线同侧两定点问题转化为直线异侧 两定点问题.
问题2
如图，公园内两条小河汇合，两河形 成的半岛上有一处古迹P，现计划在两 条小河上各修建一座小桥，并在半岛 上修三条小路，连通两座小桥与古迹， 这两座小桥应建在何处，使所修建的 道路最短？
（1）实际问题数学化 如图，已知点A、B在直线l的同侧. 在l上找点P，使PA+PB最小.
解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1， AB1与直线l交于P，点P即为所求. 理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以 AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线 时AB1最短，所以P点为所求.
如果P1是异于点P的一点，你能证明 AP1+BP1> AP+BP吗？
证明：连接B1P1. 由轴对称性质， BP1=B1P1，BP=B1P. 所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1， 在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1， 即 AP1+BP1 > AP+BP.
问题3
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某 一天要从马厩牵出马，先到草地某一 处牧马，再到河边饮马，然后牵马回 到帐篷，请你帮他确定这一天所走的 最短路线.
轴对称的作用用途有
轴对称的作用用途有轴对称（也称为镜像对称）是指一个图形分别关于某条直线对称对折后，两部分重叠在一起，即左右对称。
轴对称的作用和用途在多个领域中具有重要意义，下面将详细介绍轴对称的作用和用途。
1. 几何学中的作用和用途：轴对称在几何学中具有重要的作用和用途。
例如，在做图形的复制、放大和缩小时，通过轴对称可以准确地绘制出图形的对称部分，从而保持图形的整体对称性。
对称的图形也常用于设计中，因为对称的图形给人以平衡、美观的感觉。
2. 艺术与设计中的作用和用途：在艺术与设计领域中，轴对称被广泛应用。
例如，在绘画和雕塑中，通过轴对称可以创造出平衡和和谐的效果，使作品更具有吸引力。
轴对称还可以用来设计装饰品、家具、建筑等，为其增加美感和艺术性。
同时，通过轴对称可以突出某些重要的元素，使设计更加突出。
3. 自然科学中的作用和用途：轴对称在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，轴对称是生物体的一种常见形态，包括人类和许多其他动植物。
生物体的轴对称起到了平衡身体结构、提供运动和保护内部器官的作用。
轴对称也在晶体学中起到重要的作用，因为晶体的结构通常具有轴对称性，这是物质性质研究和应用的基础。
4. 计算机图形学中的作用和用途：在计算机图形学中，轴对称的概念被广泛运用于图像处理和计算机辅助设计等领域。
通过使用轴对称算法，可以实现图像的镜像反转、图像修复和图像特征提取等操作，提高图像处理和分析的效果。
轴对称还可以应用于3D模型的对称构建，减少模型的复杂度，并提高计算效率。
5. 数学中的作用和用途：轴对称是数学中一种重要的对称性质，具有广泛的应用。
在代数学和几何学中，轴对称的概念被广泛运用于研究对称性和变换等问题。
轴对称在线性代数、群论、微积分等数学分支中都有着重要的应用。
此外，轴对称还被应用于函数的分析和绘制中，例如，对称函数的图像在坐标系中具有轴对称性。
另外，轴对称还在解析几何学中有重要的应用，例如，通过轴对称可以推导出很多关于点、直线和曲线等的性质。
生活中轴对称图形
如果一个图形关于一个点对称，那么 这个图形被称为中心对称图形。
平面关于直线对称的性质
平面关于直线的对称平面
如果一个平面π与一条直线l相对称，那么平面π的对称平面满足其上的任意一点到直线l的距离相等，并且 这两平面的法线向量相同。
轴对称与中心对称的关系
轴对称图形一定是中心对称图形，但中心对称图形不一定是轴对称图形。
生活中轴对称图形
目录
• 轴对称图形的定义与特性 • 生活中的轴对称图形实例 • 轴对称图形的形成原理 • 轴对称图形的应用 • 轴对称图形的拓展学习
01
轴对称图形的定义与特 性
定义
轴对称图形
如果一个图形关于一条直线对称 ，那么这个图形被称为轴对称图 形。
轴对称
如果一个图形沿一条直线折叠后 ，直线两旁的部分能够完全重合 ，那么这个图形就具有轴对称性 。
现代艺术中的轴对称图形：如现 代建筑、平面设计、雕塑等。
谢谢观看
音乐
在音乐中，许多乐曲的结构和旋律都具有轴对称 性，如对位法、曲式结构等。
舞蹈
在舞蹈中，许多舞蹈动作和编排都具有轴对称性， 如芭蕾舞、现代舞等。
05
轴对称图形的拓展学习
探索更多的轴对称图形实例
自然界中的轴对称图 形：如蝴蝶、蜜蜂、 花朵等。
艺术作品中的轴对称 图形：如绘画、雕塑 等。
建筑中的轴对称图形： 如中国的故宫、法国 的凡尔赛宫等。
04
轴对称图形的应用
在几何学中的应用
几何定理
轴对称图形在几何学中常被用于 证明各种定理和性质，如角平分
线定理、勾股定理等。
图形变换
轴对称是图形变换的一种形式，通 过轴对称可以将图形进行平移、旋 转等操作，从而得到新的图形。
作轴对称图形 知识讲解
作轴对称图形知识讲解责编：杜少波【学习目标】1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【高清课堂：389300 作轴对称图形，用坐标表示轴对称】要点二、用坐标表示轴对称1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系已知P点坐标，则它关于x轴的对称点的坐标为，如下图所示：即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系已知P点坐标为，则它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系P点坐标关于直线的对称点的坐标为．P点坐标关于直线的对称点的坐标为．【典型例题】类型一、作轴对称图形1、（2016•临夏州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【思路点拨】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【总结升华】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.A B C为所求.【答案】△'''类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）【高清课堂：389300 作轴对称图形，例4】2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.【答案与解析】见下图作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.举一反三：【变式】（2014秋•花垣县期末）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．则C→D→E→C为所求的行走路线．【高清课堂：389300 作轴对称图形，例4练习2】3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开(从点P 到点Q)；将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队(即选择点P 和Q)，可以使得将军走的总路程MP ＋PQ ＋QN 最短?【答案与解析】见下图作法：作N 关于OB 的对称点N '，再作N N '''∥BO 且N N '''＝a (N ''在N '的左侧)；连接MN ''交OB 于点P ，再在OB 上取点Q 使得PQ ＝a (Q 在P 的右侧)，此时，MP ＋PQ ＋QN 最小．【总结升华】MP ＋PQ ＋QN 最小，其中PQ 是定值a ，问题转化为MP ＋QN 最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可.类型三、用坐标表示轴对称4、（2014秋•江津区期中）已知点A （2a ﹣b ，5+a ），B （2b ﹣1，﹣a+b ）．（1）若点A 、B 关于x 轴对称，求a 、b 的值；（2）若A 、B 关于y 轴对称，求﹙4a+b ﹚2014的值．【思路点拨】（1）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a ﹣b=2b ﹣1，5+a ﹣a+b=0，解可得a 、b 的值；（2）根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a ﹣b+2b ﹣1=0，5+a=﹣a+b ，解出a 、b 的值，进而可得答案．【答案与解析】解：（1）∵点A 、B 关于x 轴对称，∴2a﹣b=2b ﹣1，5+a ﹣a+b=0，解得：a=﹣8，b=﹣5；（2）∵A、B 关于y 轴对称，∴2a﹣b+2b ﹣1=0，5+a=﹣a+b ，解得：a=﹣1，b=3，﹙4a+b ﹚2014=1．【总结升华】此题主要考查了关于x 、y 轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 举一反三：【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的值为（ ）．A ． 5-B ． 1-C ． 1D ． 5【答案】B ；提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）.。
《图形的旋转》平移旋转和轴对称
这种组合在实际生活中并不常见，因为在实际应用中，旋转和轴对 称两种操作通常会分开进行。
应用
在几何学中，旋转轴对称组合常用于研究图形的旋转对称性质，如 圆形、椭圆形的性质等。
05
实际应用案例
平移旋转在机械制造中的应用
平移旋转在机械制造中有着广泛的应用。通过平移和旋转，可以方便地对机械零件 进行精确加工和调整。
《图形的旋转》平移旋转和 轴对称
2023-11-08
目 录
• 平移 • 旋转 • 轴对称 • 平移旋转和轴对称的组合应用 • 实际应用案例
01
平移
定义
平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离 。
平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。
性质
平移前后，图形的对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行 且相等。
描述
这种组合在实际生活中很常见，比 如汽车在公路上行驶，除了位置的 移动，车身也会围绕自己的轴线旋 转，保持方向不变。
应用
在几何学中，平移旋转组合常用于 研究图形的性质和变化，如平行四 边形的性质、三角形的稳定性等。
平移轴对称组合应用
定义
平移轴对称组合是指将平移和轴 对称两种操作结合起来，使图形 在平面上进行移动的同时，绕某
应用
在几何学中，旋转被广泛应用于图形 的位置和形状的变换。
在物理学中，旋转运动被广泛应用于 物体的运动和平衡状态的研究。
在机械工程中，旋转运动被广泛应用 于机器人的关节和传动装置。
在艺术领域，旋转被广泛应用于舞蹈 、音乐和绘画的表现形式。
03
轴对称
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是 它的对称轴。
哪些问题适用轴对称变换来解
哪些问题适用轴对称变换来解根据问题的某些特征，运用轴对称思想去添加辅助线，把已知图形的部分或全部补为对称形，再利用轴对称性质，常能较易地从图形各元素的对应关系发现其间的内在联系，找到解题的思路．具有如下特征的几何题，常可用轴对称变换去解决．一、图形含有角平分线，以角平分线为对称轴，利用轴对称变换作辅助线．例1 三角形边长分别为6、8及10，其中最大的锐角平分线把原三角形分成两个三角形．求这两个三角形中较大的三角形面积．解：如图1，以较大锐角的角平分线AD为轴，对较大△ABD作轴对称变换，点B的对称点E必落在AC的延长线上．连结DE，由轴对称图形性质，知△ABD≌△AED，得AE=AB=10，因此CE=AE-AC=4．由已知可知∠DCE=90°，即△DEC是直角三角形．设DC=x，则DE=DB=8-x．由勾股定理得(8-x)2=x2+42，解得x=3，即DC=3．二、图形含有垂线(或高线)，以垂线(或高)为对称轴，利用轴对称变换作辅助线．例2 如图2，已知AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B的度数．解：由于AH⊥BC，以AH为轴作对称变换，点B的对称点D必落在HC上．连结AD，由轴对称图形性质，知△ABH≌△ADH，得AB=AD，BH=DH，∠ABD=∠ADB．已知 AB＋BH=HC，∴AD＋DH=DH＋DC，即AD=DC．∴∠C=∠DAC．∴∠ADB=∠DAC＋∠C=2∠C．∴∠B=∠ADB=2×35°=70°．另外，证明与特殊图形(等腰三角形、正方形等)有关的线段和、差问题，也可用轴对称变换作辅助线．例3 已知AB是等腰直角△ABC的斜边， AD是∠A的平分线．求证：AC＋CD=AB．这道题具有多个特征，可用上述任一法作辅助线来证．如图3，以AD为对称轴，点C(或B)的对称点必落在AB(或AC的延长线)上；以AC(或BC)为对称轴，点B(或A)的对称点必落在BC(AC)的延长线上，等等．请同学们自证．。
例谈轴对称性质的应用
学习指导２０２４年１月下半月㊀㊀㊀例谈轴对称性质的应用◉贵州省威宁县第十一中学㊀王光杰㊀㊀轴对称属于全等变换,对称轴两旁的部分是全等的,据此,可以推出关于轴对称的诸多性质,如 对称点的连线被对称轴垂直平分 对应线段相等,对应角相等 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 等．只有明确这些性质,知道其应用于哪一方面,才能在中考中稳操胜券．１用 对称点的连线段被对称轴垂直平分 求线段长㊀㊀由于在对称轴两侧的部分能够互相重合,因此,当对称点连线后,两对称点到交点的距离相等,对称点的连线被对称轴垂直平分．图１例１㊀如图１,已知点M是øA O B内任意一点,点M１,M关于O A对称,点M２,M关于O B对称,连结M１M２,分别交O A,O B于C,D两点,连接M C,M D,若M１M２＝１０c m,求әM C D的周长．分析:根据轴对称图形的性质,即 对称点的连线被对称轴垂直平分 ,可得O A垂直平分MM１,O B垂直平分MM２．依据 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ,可得M C＝M１C,MD＝M２D．于是әM C D的周长就转化为线段M１M２的长．理由如下．由点M１,M关于O A对称,可知O A垂直平分M１M,则M C＝M１C．同理,MD＝M２D．所以әM C D的周长为M C＋C D＋M D＝M１C＋C D＋M２D＝M１M２＝１０c m．点评:此题的图形也是下面问题的作图方法,即在已知角内有一点M,在角的两边上求作两个点,使点M与这两点构成的三角形周长最小．图２变式练习１㊀如图２,点P是øA O B外一点,点M,N分别是øA O B两边上的点,点P关于O A的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于O B的对称点R落在线段MN的延长线上．若P M＝２．５c m,P N＝３c m,MN＝４c m,求线段Q R的长．答案:４．５c m．２用 对称点的连线段被对称轴垂直平分 求角度㊀㊀轴对称的性质有多种应用,不仅能求得图形中线段的长,而且可以求得角度,还可以用于证明．图３例２㊀如图３,在әA B C中,直线l交A B于点M,交B C于点N,点B关于直线l的对称点D在线段B C上,且A DʅMD,øB＝２８ʎ,求øD A B的度数．分析:因为点B关于直线l的对称点是点D,根据对称点的连线被对称轴垂直平分,得直线l是线段D B的垂直平分线,所以MD＝M B．根据等边对等角,得øMD B＝øB＝２８ʎ．根据三角形外角的性质,得øAMD＝øMD B＋øB＝５６ʎ．在R tәA DM中,根据三角形内角和定理,得øD A B＝９０ʎ－５６ʎ＝３４ʎ．点评:利用 对称点的连线被对称轴垂直平分 这一线段垂直平分线的性质,得到等腰三角形,自然就有等角了．图４变式练习２㊀如图４,在әA B C中,øA C B＝９０ʎ,A C＝B C,E为外角øBC D平分线上一动点(不与点C重合),点E关于直线B C的对称点为F,连接B E,连接A F并延长交直线B E于点G．(１)求证:A F＝B E．(２)用等式表示线段F G,E G与C E的数量关系,并证明．答案:(１)略;(２)G E２＋G F２＝２C E２．３用 对应线段相等,对应角相等 求线段长对应线段相等,对应角相等 是轴对称最基本的性质,在折叠问题中这个性质的应用最多．下面就是利用此性质解答的折叠问题．例３㊀如图５所示,A D是әA B C的中线,øA D C＝６０ʎ,把әA D C沿直线A D折过来,点C落在点Cᶄ的位置．６５２０２４年１月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀图５(１)在图中找出点C ᶄ,连接B C ᶄ;(２)如果B C ＝４,求B C ᶄ的长．分析:我们知道,翻折前后图６的两个图形关于折痕成轴对称图形,点C 与C ᶄ是对称点,所以可以用 作垂线 截相等 描点 的方法作出点C ᶄ(如图６);根据成轴对称的两个图形中对应线段相等,对应角相等 ,可得D C ᶄ＝D C ＝B D＝２,øC ᶄD A ＝øC D A ＝６０ʎ,从而得到等边三角形C ᶄB D ．(１)作C O ʅA D 并延长C O 至点C ᶄ,使O C ＝O C ᶄ,点C ᶄ即为所求．(２)连接C ᶄD ,则C D ＝C ᶄD ,øA D C ＝øA D C ᶄ＝６０ʎ,所以øB D C ᶄ＝６０ʎ．由B D ＝D C ＝２,可得B D ＝C ᶄD ＝２,则øC ᶄB D ＝øB C ᶄD ＝６０ʎ,可知әC ᶄB D 为等边三角形,所以B C ᶄ＝B D ＝２．点评:因为轴对称图形中 对应线段相等,对应角相等 ,所以图形折叠后与中线相结合,可得到等腰三角形,而等腰三角形是初中学习的重要图形,有关它的性质比较多．例４㊀如图７Ｇ１,әA B C 的点C 与C ᶄ关于A B 对称,点B 与B ᶄ关于A C 对称,连接B B ᶄ,C C ᶄ,交于点O ．图７Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７Ｇ２㊀㊀(１)如图７Ｇ１,若øB A C ＝３０ʎ,①求øB ᶄA C ᶄ的度数;②观察并描述:әA B C ᶄ可以由әA B ᶄC 通过什么变换得来?求出øB O C ᶄ的角度．(２)如图７Ｇ２,若øB A C ＝α,点D ,E 分别在A B ,A C 上,且C ᶄD ʊBC ʊB ᶄE ,B E ,CD 交于点F ,设øB F D ＝β,试探索α与β之间的数量关系,并说明理由．分析:(１)①因为点C ,C ᶄ关于A B 对称,点B ,B ᶄ关于A C 对称,由 对应线段相等,对应角相等 ,得øC A B ＝øB A C ᶄ＝øC A B ᶄ＝３０ʎ,所以øB ᶄA C ᶄ＝９０ʎ．②图７Ｇ１中,设A C 交B B ᶄ于点J ．әA B C ᶄ可以由әA B ᶄC 绕点A 顺时针旋转６０ʎ得到．因为A C ＝A C ᶄ,A B ＝A B ᶄ,øC A C ᶄ＝øB A B ᶄ＝６０ʎ,所以øA B ᶄO ＝øA C O ＝６０ʎ．因为øA J B ᶄ＝øO J C ,所以øB ᶄO C ＝øB ᶄA J ＝３０ʎ．故øB O C ᶄ＝３０ʎ．(２)β＝２α．理由:由轴对称的性质,得B C ＝B C ᶄ,D C ᶄ＝D C ,øA B C ᶄ＝øA B C ．因为D C ᶄʊB C ,由 两直线平行,内错角相等 ,得øC ᶄD B ＝øA B C ＝øC ᶄB D ,由等角对等边,得C ᶄD ＝C ᶄB ,所以B C ＝B C ᶄ＝C ᶄD ＝D C ．根据四边相等的四边形是菱形,得四边形B C D C ᶄ是菱形,所以C D ʊB C ᶄ．同理B E ʊC B ᶄ．所以øF C B ＋øC B C ᶄ＝１８０ʎ,即øF C B ＋２øA B C ＝１８０ʎ．同理øF B C ＋２øA C B ＝１８０ʎ,也即øB F D ＝øF B C ＋øF C B ,所以øD F B ＝１８０ʎ－２øA B C ＋１８０ʎ－２øA C B ＝３６０ʎ－２(øA B C ＋øA C B )＝２øB A C ．所以β＝２α．４用对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 求角度或周长㊀㊀轴对称的 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 这一性质不经常用,常用在探究性质的问题中．图８例５㊀如图８,әA B C 与әA ᶄB ᶄC ᶄ关于直线MN 对称,әA ᶄB ᶄC ᶄ和әA ᵡB ᵡC ᵡ关于直线E F 对称,直线MN 与E F 交于点O ,试探究øB O B ᵡ与直线MN ,E F 所夹锐角α的数量关系．分析:连接O B ᶄ,O B ᵡ,O B ,根据 对称点与对称轴上任一点连线的夹角被对称轴平分 ,可得两组相等的角,即øM O B ＝øM O B ᶄ,øF O B ᶄ＝øF O B ᵡ,据此可得øB O B ᵡ＝２øM O B ᶄ＋２øF O B ᶄ＝２(øM O B ᶄ＋øF O B ᶄ)＝２øM O F ＝２α．点评:此题也反映出轴对称与旋转的关系,即当两条对称轴相交时,两次轴对称相当于一次绕着交点图９旋转对称轴夹角的２倍度数．变式练习３㊀如图９,点P在øA O B 的内部,点C 和点P 关于O A 对称,点P 关于O B 对称的点是D ,连接C D 交O A 于点M ,交O B 于点N ．(１)①若øA O B ＝６０ʎ,则øC O D ＝ʎ;②若øA O B ＝α,求øC O D 的度数．(２)若C D ＝４,则әP MN 的周长为．答案:(１)①１２０;㊀②２α．㊀(２)４．轴对称是图形变换之一,属于全等变换,是中考的必考内容,它常与其他图形结合起来考查,要求学生会运用运动的观点看问题．Z７５。
人教版初中八年级上册数学精品课件 第十三章 轴对称 画轴对称图形 画轴对称图形
1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__(_–_5__, _–_6__). 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称，则a=__–_2__, b =___5__.
探究新知
问题3： 如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?
y
A′(–2,3)
A (2,3)
巩固练习 连接中考
1.如图，点A的坐标（–1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为 （ A）
A．（1，2） B．（–1，–2） C．（1，–2） D．（2，–1）
巩固练习
连接中考
2.在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，–1），点A与点B关 于x轴对称，则点A的坐标是（ A ）
A．（4，1）
B．（–1，4）
O
你能说出点A 与点A'坐标的 关系吗？
x
探究新知
做一做: 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
y
(x , y)
关于 y轴 对称
( –x, y )
B(–4,2) O
C '(3,4)
B '(–4,–2)
x
C (3,–4)
探究新知 归纳总结
关于y轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：横反纵同）
导入新知
如图，是一幅老北京城的示 意图，其中西直门和东直门是关 于中轴线对称的.如果以天安门 为原点，分别以长安街和中轴线 为x轴和y轴建立平面直角坐标系. 根据如图所示的东直门的坐标， 你能说出西直门的坐标吗？
素养目标
2.掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴 对称图形的方法．
1. 理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律．
初一下册数学课件利用轴对称设计图案
05
轴对称设计图案的实例展示
简单图案的设计
总结词
简单明了，易于理解
详细描述
利用轴对称设计简单的图案，如线条、三角 形、正方形等，这些图案简洁明了，可以帮 助学生理解轴对称的基本概念。
复杂图案的设计
总结词
细节丰富，需要一定观察力
详细描述
在简单图案的基础上增加更多的细节和元素 ，如将线条变为几何图形，或将三角形、正 方形组合成更复杂的图案，这些图案可以帮
助学生深入理解轴对称的特点和应用。
创意图案的设计
ห้องสมุดไป่ตู้要点一
总结词
创意无限，激发想象力
要点二
详细描述
鼓励学生发挥创意，利用轴对称设计出独特的图案。这些 图案可以是抽象的、具象的或带有象征意义的，旨在激发 学生的想象力和创造力，培养他们的创新思维。
06
总结与展望
轴对称在数学中的地位与作用
轴对称是数学中一个重要的概念，它 在几何学、代数、解析几何等领域都 有广泛的应用。
如何进一步探索轴对称的特性与应用
01
02
03
04
深入理解轴对称的概念和性质 ，掌握轴对称变换的基本原理
和方法。
了解轴对称在各个数学领域中 的应用，如代数、几何、解析
几何等。
通过实际操作和案例分析，加 深对轴对称的理解和掌握，提
高解决实际问题的能力。
探索轴对称在其他学科领域中 的应用，如物理学、工程学等 ，拓宽知识视野和应用能力。
函数图像中的轴对称
总结词
函数图像中的轴对称是指函数图像关于某一直线对称，这种对称性在函数的研究中有重 要应用。
详细描述
在函数的研究中，轴对称是一个重要的概念。一些常见的函数，如正弦函数和余弦函数，它 们的图像都是轴对称的。这种对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，以及解决
关于任意轴的对称变换的5步
关于任意轴的对称变换的5步摘要：1.引言2.对称变换的概念3.任意轴对称变换的5 个步骤3.1 选择一个轴3.2 将物体绕轴旋转180 度3.3 确定旋转后的物体位置3.4 将物体沿着轴翻转3.5 确定翻转后的物体位置4.对称变换在数学和物理中的应用5.总结正文：对称变换是一种重要的几何变换，它在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将详细介绍关于任意轴的对称变换的5 个步骤。
首先，我们需要了解对称变换的概念。
对称变换是指将一个物体或图形通过某种变换，使得其与某个轴对称。
在几何学中，轴对称变换是一种保持物体形状不变，但改变其位置的变换。
接下来，我们来介绍任意轴对称变换的5 个步骤。
第一步，选择一个轴。
对称轴可以是任意一条直线，如水平轴、垂直轴或斜轴。
选择对称轴的依据是它能够将物体分为两部分，使得这两部分关于轴对称。
第二步，将物体绕轴旋转180 度。
这意味着物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴旋转180 度。
需要注意的是，旋转的方向和角度要根据所选轴来确定。
第三步，确定旋转后的物体位置。
这一步需要根据物体的初始位置和旋转的角度来确定旋转后的物体位置。
如果物体在轴的左侧，旋转180 度后，它将位于轴的右侧；如果物体在轴的右侧，旋转180 度后，它将位于轴的左侧。
第四步，将物体沿着轴翻转。
翻转的目的是使物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴对称。
翻转后的物体应与旋转后的物体重合。
第五步，确定翻转后的物体位置。
这一步需要根据物体的旋转位置和翻转方向来确定翻转后的物体位置。
翻转后的物体可能与初始位置重合，也可能与初始位置相反。
对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。
在数学中，对称变换可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、周长等；在物理中，对称变换可以用于分析物体的受力情况，以及研究物体在相互作用过程中的运动规律。
总之，任意轴对称变换是一种在数学和物理中具有重要意义的几何变换。
轴对称变换
轴对称变换轴对称变换是一种常见的几何变换方式，它在我们的日常生活中无处不在。
无论是建筑设计、艺术创作，还是图形处理、物体制造，轴对称变换都扮演着重要角色。
本文将从不同领域的角度，分别介绍轴对称变换的应用。
在建筑设计中，轴对称变换常常被用于对称建筑的设计。
对称建筑体现了一种和谐、平衡的美感，它通过轴对称变换实现对称效果。
例如，古代的宫殿、寺庙和城堡等建筑物往往具有左右对称的结构。
通过轴对称变换，设计师可以在图纸上只绘制一半的建筑结构，然后通过轴对称变换复制另一半，从而节省了时间和精力。
在艺术创作中，轴对称变换也被广泛运用。
许多古代艺术作品，如中国的对联、剪纸和泥塑等，都采用了轴对称的构图方式。
这种构图方式通过轴对称变换使作品呈现出一种平衡、和谐的美感。
此外，现代艺术家也喜欢运用轴对称变换来创作独特的艺术作品。
他们通过将图像沿着某条轴进行镜像对称，创造出奇特、离奇的艺术效果，给人以强烈的视觉冲击力。
在图形处理中，轴对称变换是一种非常重要的操作。
图像处理软件通常都提供了轴对称变换的功能，使用户可以轻松地对图像进行镜像对称。
这对于修复照片中的缺陷、改善图像的美观度非常有帮助。
此外，轴对称变换还被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）领域。
在CAD软件中，轴对称变换可以帮助工程师快速复制和对称设计图形，提高设计效率。
在物体制造中，轴对称变换也起到了重要的作用。
许多物体的制造过程都需要进行轴对称变换。
例如，汽车零部件、家电产品等的制造往往需要对称的设计。
通过轴对称变换，制造商可以在设计阶段更好地控制产品的对称性，提高产品的质量和可靠性。
此外，轴对称变换还广泛应用于机械加工工艺中。
在机械加工过程中，通过轴对称变换可以使物体在加工过程中保持平衡，从而提高加工精度和效率。
轴对称变换在建筑设计、艺术创作、图形处理和物体制造等领域都具有重要的应用价值。
它不仅能够帮助设计师和工程师提高工作效率，还能够为我们带来更美丽、更和谐的世界。
轴对称原理的应用
轴对称原理的应用什么是轴对称原理轴对称原理是指一个物体或系统在轴对称变换下具有某些特殊性质或保持不变的性质。
轴对称即物体或系统相对于某个轴上的点旋转180度后，仍然保持不变或具有某些对称性质。
轴对称原理的应用领域轴对称原理广泛应用于各个领域，以下是其中几个典型的应用领域：1. 建筑设计•在建筑设计中，轴对称原理被广泛应用于对称建筑物的设计。
通过轴对称的设计，可以使建筑物的外观更加均衡、美观，并且能够给人一种稳定感。
•同时，轴对称原理也可以应用于建筑物内部的平面布局设计，例如将公共服务设施放置在建筑物的中央轴线上，从而实现空间的最大化利用和方便的交通流线。
2. 工程制图•在工程制图中，轴对称原理被用于标注和绘制零件图纸。
通过对称标注的方式，可以避免重复性的工作，并且提高了图纸的可读性和理解性。
•同时，在工程制图中，轴对称原理也被应用于零件的设计。
通过轴对称的设计，可以减少零件的制造成本，并且提高零件的精度和稳定性。
3. 产品设计•在产品设计中，轴对称原理可以提供一种对称美感。
许多产品的外观设计都采用了轴对称的原理，例如汽车、家具、家电等。
通过对称的设计，可以使产品更加稳定、优雅，并且能够引起消费者的共鸣。
•同时，在产品的内部结构设计中，轴对称原理也可以应用于轴承、齿轮等零部件的布置和设计。
通过轴对称的设计，可以提高产品的运行稳定性、减少能量损耗，并且延长产品的使用寿命。
4. 生物学研究•在生物学研究中，轴对称原理被用于研究生物体的对称性和发育机制。
许多生物体具有一定的轴对称性，通过研究轴对称原理，可以揭示生物体的发育过程和系统结构。
•同时，在医学领域，轴对称原理也被应用于人体的解剖学研究和手术操作。
通过轴对称的研究和操作方式，可以提高手术的精确度、减少手术的创伤，并且缩短手术的恢复时间。
总结轴对称原理是一个在许多领域广泛应用的原理。
它不仅可以实现建筑物和产品的优化设计，提高生物体和医疗手术的研究和操作水平，还可以节约资源，提高效率，实现可持续发展。
《轴对称图形》图形的变换
例子
将一张纸沿其垂直中线进 行翻折，得到的形状与原 来的形状完全重合。
应用
在几何学中，翻折是一种 常见的图形变换方法，可 以用来研究图形的对称性 和形状。
两种变换的组合运用
定义
将绕某一点旋转一定角度和沿某一直线翻折一定角度两种变换组 合起来运用。
例子
将一个正方形先绕其中心点旋转90度，再沿其垂直中线进行翻折 ，得到的形状与原来的形状完全重合。
01
02
03
定义
将图形围绕某一点旋转一 定的角度，使图形在旋转 过程中所形成的形状与原 来的形状完全重合。
例子
将一个等边三角形绕其中 心点旋转120度，得到的 形状与原来的形状完全重 合。
应用
在几何学中，旋转是一种 常见的图形变换方法，可 以用来研究图形的性质和 形状。
沿某一直线翻折一定角度
定义
将图形沿某一直线进行翻 折，使图形在翻折过程中 所形成的形状与原来的形 状完全重合。
THANKS
应用
在几何学中，两种变换的组合运用可以用来研究图形的复杂性质 和形状。
03
轴对称图形变换的应用
艺术领域
01
图案设计
很多艺术和图案设计都会利用轴对称来创造美观和平衡的效果。例如
，旋转对称的图案在纺织品、壁纸和地毯设计中被广泛应用。
02 03
雕塑艺术
在雕塑艺术中，轴对称被用来增强作品的视觉效果和平衡感。例如， 古希腊和罗马的雕塑往往是对称的，这种对称性增加了它们的艺术价 值和吸引力。
轴对称图形是指一个平面图形沿着一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形。
掌握轴对称图形的特点
轴对称图形的特点是图形具有对称性，即图形 的左半部分和右半部分关于某条直线对称。
第三节 轴对称的综合应用(含答案)...八年级数学 学而思
第三节轴对称的综合应用下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法：续表利用轴对称变换解题轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来，或将分散条件集中起来，从而达到解题目的．那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形．(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称．(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称． (3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称．(4)路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间， 从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解．所以最 短路径问题，需考虑轴对称．例1．如图 3 -3—1所示，已知四边形ABCD 中，AC 平分AB CE BAD ⊥∠,于,E 且),(21AD AB AE +=如果,120ο=∠D 则=∠B检测1.如图3-3-2所示，在△ABC 中，BD ABC A ,40,100οο=∠=∠是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使.AD DE =求证：.CE AB BC +=例2．（广西百色中考）如图3-3-3所示，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线,AB l ⊥且△ABC 与ABC ∆关于直线l 对称，D 为线段BC 上一动点，则CD AD +的最小值是( ) 4.A 23.B 32.C 32.+D检测2.在直角坐标系中有A ，B 两点，要在y 轴上找一点C ，使得它到A ，B 的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是( )例3．（北京校级期末）如图3-3-5，点P 是∠AOB 内任意一点．OP= 5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是( )233--333--ο25.A ο30.B ο35.C ο40.D检测3.已知,30ο=∠AOB 点P 在∠AOB 的内部，1P ,6=OP 与P 关于OB 对称，2P 与P 关于OA 对称，则21OP P ∆的周长为；若OA 上有一动点M ，OB 上有一动点N ．则△PMN 的最小周长为例4．如图3-3-6所示，在等腰△ABC 中，AB= AC ，顶角,20ο=∠A 在边AB 上取点D ．使,BC AD =求.BDC ∠633-- 733--检测 4.如图3-3-7所示，在△ABC 中，M BCA BAC ,44ο=∠=∠为△ABC 内一点，使得,16,30οο=∠=∠MAC MCA 求∠BMC 的度数．第三节 轴对称的综合应用(建议用时:30分钟)实战演练1．如图3-3-1所示，四边形ABCD 中，,90,120οο=∠=∠=∠D B BAD 在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小时，则ANM AMN ∠+∠的度数为( )ο130.A ο120.B ο110.C ο100.D533--2．如图3-3-2所示，在△ABC 中，,90oACB =∠以AC 为一边在△ABC 外侧作等边△ACD ．过点D 作,AC DE ⊥垂足为F ．DE 与AB 相交于点E ，连接CE ，,15cm AB =P cm BC ,9=是射线DE 上的一点．连接PC ，PB ，若△PBC 的周长最小，则最小值为( )cm A 21. cm B 22. cm C 24. m D c .27.133-- 233-- 333--3．如图3-3-3所示，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为( )6.A 8.B 10.C 12.D4．如图3-3-4所示，已知∠AOB 的大小为P ,α是∠AOB 内部的一个定点，且,2=OP 点E ．F 分别是OA ，OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α为( )ο30.A ο45.B ο60.C ο90.D5．如图3-3-5所示，△ABC 中，BC AD BAC ⊥=∠,120ο于D ．且,DC BD AB =+则∠C 的大小是( )ο20.A ο25.B ο30.C D ．大于o 30433-- 533-- 633--6．如图3-3-6所示，已知四边形ABCD 中,//,BC AD 若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC．则AB 的长与AD+ BC 的长的大小关系是( )BC AD AB A +>. BC AD AB B +=. BC AD AB C +<. D ．无法确定7．如图3-3-7所示，△ABC 中，AD ABC ,45ο=∠是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于F ，则∠CAF 的大小是8．如图3-3-8所示，△ABC 中，AD BC AC C ,,90==∠ο平分∠CAB 交BC 于⊥DE D ,AB 于E ，且,10cm AB =则△DEB 的周长是 .cm 9．如图3-3-9所示，在△ABC 中，AE 是BAC ∠的外角的平分线，D 是AE 上任意一点，则AC AB + DC DB + （用,,,=<>号连接）．733-- 833-- 933--10.如图3-3 - 10所示，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于,40,,ο=∠+=B CD AC AB D 那么∠C的大小是 11．如图3-3 -11所示，在△ABC 中，AD 平分.,AC BD AB BAC =+∠则C B ∠∠:的值为12.如图3-3 - 12所示，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若,4,3==EF EH 那么线段AD 与AB 的比等于1033-- 1133-- 1233-- 1333--13.如图3-3 - 13所示，.,QAO CAO CBO ABO ∠=∠∠=∠求证：.MCO ACO ∠=∠14.如图3-3- 14所示，已知△ABC 中，CE BD A ,,60ο=∠分别平分∠_ABC 和∠ACB，BD, CE 交于点0，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明，1433--15.如图3-3 -15所示，已知在△ABC 内有一点=∠=∠=∠ABP CAP BAP P o,80,=∠CBP ,20ο求ACP ∠的度数，拓展创新16．如图3 -3 -16所示，,30ο=∠AOB 点P 位于AOB ∠内，,3=OP 在射线OA ．OB 上找点M ．N ．使△PMN 的周长最小．1633--1533--拓展1．在16题的条件下，求△PMN 的最小周长是拓展2．若将16题的条件∠AOB 的值改为,45ο则△PMN 的最小周长是极限挑战17.如图3-3 - 17所示．P 为△ABC 内部一点，使得,8,30οο=∠=∠PBA PBC 且=∠PAB ,22ο=∠PAC 则APC ∠的度数为1733--答案。
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解：三人的速度一定且相同，要使比赛时
P
O
N P2
间最短，只需 三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称 知识，作点P关于 OA、OB的对称点P1 、 P2 ，连接P1P2 ，交OA于M，交OBN于，则点M和点N应分 B 别是乙、丙的位置。这样连接MP、NP则三人 行的路程和为MN+MP+NP = MN+M P1+ N P2
●
P
O
R P″
B
小结
作业
数学思考
如果P1是异于点P的一点，你能证明 AP1+BP1> AP+BP吗？
证明：连接B1P1. 由轴对称性质， BP1=B1P1，BP=B1P. 所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1， 在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1， 即 AP1+BP1 > AP+BP.
解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON 的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON 分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.
请你出谋划策
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区 （如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建 立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个 接口应建在哪,才能使得所用管道最短? B 小区 A小区
（3）对画图找点的引导 辅助问题： 如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找 点P，使PA+PB最小. 解略.
（4）求解问题1
解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1， AB1与直线l交于P，点P即为所求. 理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以 AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线管 道
已知:直线l和l的同侧两点A、B. 求作:点P,使它在直线l上,并使AP+BP最小. B 作法: A 1.作点A关于直线l的对称 点 A’; l 2.连结A’B,交l于点 P. P P' ∴ 点P就是所求的点. A' 证明: 在l 上任取另一点P’, 连结AP、AP’、BP’、A’P’. ∵ 直线 l是点A、A’的对称轴，点P、P’在对称轴上，
A
B
变:如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河 岸的距离分别为AC、BD，且AC≠BD，若牧童从A 处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮 水，所走路程最短？ A′ C M D
A B
变:如图，已知，∠AOB内有一点P，求作 △PQR，使Q在OA 上，R在OB上，且使△PQR 的周长最小. P′ A Q
∴AP=A’P,AP’=A’P’. ∴AP+BP=A’P+BP=A’B.
在△A’BP’中，A’B<A’P’+BP’, ∴AP+BP <A’P’+BP’,
即AP+BP 最小.
迁移与应用
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸 的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD 的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河 边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程 最短？最短路程是多少？ A′ 1000m D N M C
哈尔滨市延寿县寿山中学 2011.11.1 王成
讲解新课
问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站， 分别向A，B两城镇供气（即两城市之间没有 管道）.泵站修在什么地方，可使所用的输气 管线最短?
实际问题数学化
（1） 如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上 找点P，使PA+PB最小.
（2）对“线段和最小”的理解 在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，比较 AP1+BP1与AP2+BP2的大小.
= P1P2
应用所学的知识解决问题
问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一 天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马， 再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮 他确定这一天所走的最短路线.
实际问题数学化
如图，已知∠MON内有两定点A、B，分别在 OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小.
问题的求解
问题2
如图，已知甲、乙、丙三做接力游戏，开始时, 甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA边上，丙 站在OB边上，游戏规则：甲将接力棒传给乙， 乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处。如 果三人速度相同，试作图求出乙丙站在何处， 他们比赛所用时间最短。
如图，P为∠AOB内一定点，分别在OA与OB上找点, M，N使△MPN的周长最小. A P1 M