高中数学第三章3.2复数的四则运算第二课时复数的乘方与除法运算教学案苏教版选修75
3.2 复数的四则运算(2)教案(优秀经典公开课比赛课件)
3.2 复数的四则运算（2）教案教学目标：1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义．2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．教学重点：复数乘方运算．教学难点：复数运算法则在计算中的熟练应用．教学方法：类比探究法．教学过程：一、 复习回顾1．复数的加法，减法和乘法．2．共轭复数：共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．二、建构数学乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *．（1）m n m n z z z ＋＝ （2） ()m n mn z z ＝ （3） 1212()n n n z z z z ＝．除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0，2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 三、数学应用 例1 计算2i 34i－－． 解 解法一 设2i 34i －－＝x ＋y i ，即(3－4i)( x ＋y i)＝2－i ； 所以342341x y y x ⎧⎨⎩＋＝－＝－所以2515x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝ 所以2i 34i －－＝25＋15i例4 设132ω＝－，求证：（1）210ωω＋＋＝（2）31ω＝．证明 （1）221313(2222ω＝－＋＝－ 所以213131102222ωω＋＋＝－＋－－＝（2）221313(2222ω＝－＋＝－－ 所以321313(122ωωω＝＝－＋－－＝思考 写出13=x 在复数范围内的三个根？结论4 23213i 22101ωωωωωω＝－＋＋＋＝＝＝ ， 23213i22101ωωωωωω＝－－＋＋＝＝＝四、巩固练习课本P117练习第2，3题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的乘方法则和运算律．2．复数的除法法则和运算律．3．几个常用的结论．六、教学反思：。
高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书第3章 3.2 第2课时 复数的乘方与除法 Word版含答案
第课时 复数的乘方与除法
.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) .了解幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 复数的乘方与除法
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.
.复数的乘方与(∈*)的周期性
()复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何∈及，∈*，则＝＋，()＝，()＝.
()虚数单位(∈*)的周期性 .
－＝＋，－＝＋＝，＋＝，
.复数的除法
把满足(＋)(＋)＝＋(＋≠)的复数＋(，
∈)叫做复数＋除以复数＋的商，且＋＝＝＋(＋≠).
.判断正误：
()两复数的商一定是虚数.( )
() ＝.( )
()复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
()若∈，则＝.( )
【答案】()× ()√ ()√ ()×
.复数＋＝.
【解析】＝＝＝，＝·＝－.
∴原式＝－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
计算下列各式的值.
()＋＋＋…＋＋；
()＋(－)；
()＋(＋)－.
【自主解答】()＋＋＋…＋＋＝＋＋＋＝.
()∵－＝＋＝＋，且(±)＝±.
∴＋(－)
＝(＋)＋[(－)]
＝()＋(－)＝.
()＋(＋)－
＝×＋＋[(＋)]－
＝＋()－。
高中数学 32 复数的四则运算教案(pdf)苏教版选修1-2 教案
确定的复数!
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加 减 法 一 样 #可 按 与 多 项 式 相 乘 类 似 的 办 法 进 行 !
$ 个虚数是否也有唯一的相反数呢$
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类比实数的相反数 的 概 念#引 导 学 生 联 想 并 规 定 如 下!
分 配 律 #教 学 时 可 引 导 学 生 进 行 简 单 的 证 明 !
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3.复数的四则运算-苏教版选修1-2教案
3. 复数的四则运算-苏教版选修1-2教案引言复数是一个常见的数学对象，它在物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本教案主要讲解复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
在苏教版选修1-2中，涉及到复数的知识点比较多，但是只要理解了基本的四则运算，就可以举一反三，轻松应对相关的题目。
复数的定义复数是一种可以写成实数和虚数相加的数，它的基本形式为 a+bi，其中 a 和 b 都是实数，i 是一个虚数单位，满足 i²=-1。
复数的四则运算复数加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的和为 (a+c)+(b+d)i。
换句话说，就是实部相加，虚部相加。
复数减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的差为 (a-c)+(b-d)i。
换句话说，就是实部相减，虚部相减。
复数乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘积为 (ac-bd)+(ad+bc)i。
复数乘法的运算规则可以用 FOIL 规则来表示：F(OIL)=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bc)i+(ad)i+(bd)i²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的商为 (ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
复数除法有点复杂，它需要用到分数的乘法和有理化技巧。
具体地，我们将要除数和被除数同时乘以共轭数，即 (c-di)。
这样，被除数的分母就变成了实数，于是我们就可以进行分数的除法，最终得到商的形式。
总结本教案主要介绍了复数的四则运算，包括加、减、乘、除。
复数的定义比较简单，就是实数和虚数相加的形式，需要特别注意虚数单位 i 的运算规则。
复数的运算比较复杂，需要灵活运用分数的乘法和有理化技巧，掌握相关的运算规律后，就可以提高解题效率，并应用到其他相关的知识点中。
高中数学 3.2复数的四则运算学案 苏教版选修2-2
3．2 复数的四则运算二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________ ；②减法法则：______________ ；③乘法法则：______________ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________ ．(2)复数的正整数指数幂的运算律：① ____________________ ；② ____________________ ；③ ____________________ ．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1 计算(2＋3i)＋(4－5i)－ (－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ++=-++乘法运算律：1221123123(1);(2)()()z z z z z z z z z z ==；(3)1231213()z z z z z z z +=+；(4)m nm nz z z+=；(5)()m n mn z z =；(6)1212()m m nz z z z =例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(12-)3；)6＋)6． 分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用n i 化简后， 在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理． 解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=2015i -+；(2)原式=331(1)(2--+= －1；(3)原式=661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦＋661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦= －2． 点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i 的周期性：i 4n ＋1=i ；i4n ＋2= －1；i4n ＋3= －i ；i 4n=1(n Z ∈)；②若12ω=-，则=ω212--，=ω31，1＋=ω+ω20．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：① z z =；② 1212z z z z ±=±；③ 对于复数z ，z 是实数z z ⇔=；④ 若z 为纯虚数，则0z z +=．例3 已知复数22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数，求m 的值． 分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数． 解：由22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数得：2212,(13).m m m m ⎧+=⎪⎨+=--⎪⎩解得：1,1.m m =±⎧⎨=⎩从而m =1． 即m =1时，12,z z 是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4 已知f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，求f (－z )的值．分析：先利用f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，得到复数z 满足的等式，然后设z =a ＋b i(,a b R ∈)，利用复数相等得到关于实数a ，b 的方程组，解方程组即可． 解：f (z ) = 2z ＋z －3i ，∴ f (z ＋i )=2()()3z i z i i +++-=22z z i +-．又f (z ＋i )=6–3i ，∴22z z i +-=6– 3i ，即2z z +=6－i ． 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，∴2()()6a bi a bi i -++=-，即3a －bi =6－i ．由复数相等的定义知：36,1.a b =⎧⎨-=-⎩解得：2,1.a b =⎧⎨=⎩∴z =2＋i ．∴ f (－z )=2(－2－i )＋(－2＋i )－3i = －6－4i ．点评：本题中要求f (－z )的值关键先求出z ，求复数z 时通常设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．(5)复数的除法满足(c ＋di )(x ＋yi )=(a ＋bi )的复数x ＋yi (x ，y ∈R )叫复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商，记为：(a ＋bi )÷(c ＋di )或者dic bia ++． 一般地，我们有di c bi a ++=22)(b a i ad bc bd ac di c di c di c bi a +-++=--⋅++=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++． 例5 已知2222227832a ab b a b ia b abi i+++-=+++，求实数a ，b ．分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到．因此我们先得将已知等式变形．解：已知左边=22()()[][]a b abi a b abi a b abi a b abi a b abi+-+++-=++++=()a b abi +-，右边=(278)(32)657856(32)(32)13i i ii i i ---==-+-，所以()a b abi +-=5－6i ．由复数相等的定义知：532623a b a a ab b b +==⎧⎧⎧⎨⎨⎨==⎩⎩⎩=解得或= 点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法．表面上看对已知等式作如下的变形：2222(2)(32)()(278)a ab b a b i a b abi i ++++=++-，再施行复数运算较为简便．但事实上不如上述解答简捷．这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a ，b 对称的式子，因此就得到如此简捷的解法． 4．自我检测(1)(1－2i)–(2–3i)＋(3–4i)－…＋(2007－2008i)=______________． (2)已知复数,230i z +=满足0035,z z z z +=-则复数z = ______________． (3)设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =______________． (4)复数()221i i +=______________． (5)复数32(1)i i +=______________． 三、课后巩固练习A 组1． 若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=_______. 2． 计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位). 3． 若复数z 满足1iz i =+,则z =_______.4． 设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-,则a b +的值为____. 5． 若复数z 满足(2)z i z =-，则z =______________． 6．已知2()2a i i -=，那么实数a =______________．7．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =______________．8．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，则22b a +=______________．9．)2321(i +-)2321(i --)2321(i -6=______________．10．设,,,,a b c d R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是______________． 11．设复数：z 1=1＋i ，z 2=x ＋2i (x ∈R )，若z 1 z 2为实数，则x = ______________． 12．若复数z 满足方程220z +=，则3z =______________．13．416x -分解为一次式的乘积为______________．14．复数－7＋24i 的平方根为______________．15．已知复数z 满足3i )z ＝3i ，则z =______________．16．已知复数1z i =-，则21z z =-______________．17．11ii+-表示为a ＋bi (a ，b ∈R )，则a ＋b = ． 18．计算：(1)31()i i -； (2)(2)12i i i +-； (3)1＋22i；(4)(1)(12)1i i i -++； (5) 201311⎪⎭⎫⎝⎛-+i i ； (6)()()221111iii i -+++-；3； (8)3123i i ++；19．计算： (1) (1－i )＋(2－i 3)＋(3－i 5)＋(4－i 7)；(2) (22－22i )2＋(22＋22i )2； (3) (a ＋bi )(a －bi )(－a ＋bi )(－a －bi )．20．计算： (1)ii i 1212++；(2)1i i + (3)212i i-+-+． B 组21．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是______________． 22．已知z =，则z 100＋z 50＋1=______________．23．i 1i 2i 3i 4…i2001= ，(1－i )11的实部为 ，)2321(i +-2001的虚部为 ．24．已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =______________． 25．复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a为_____ ．26．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，则z 的实部是_________．27.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-，复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，则2z =———．28．复数11212i i+-+-的虚部是______________． 29．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为______________． 30．已知11mni i=-+，其中m ，n 是实数，则m ni +=___________． 31．复数11z i=-的共轭复数是______________．32．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=____________ ． 33．若i z i1+2=，则复数z =__________ ．34．设z 1=2＋3i ，z 2=4－5i ，则2121z z z z -= ______________． 35．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz ，则z =______________． 36．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z =4，z ·z ＝8，则zz=______________． 37．设211z z iz =-，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 ．38．若f (z )=z ，z 1=3＋4i ，z 2=－2＋i ，则)(21z z f -的值为______________． 39．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，求x y +的值． 40．已知x ，y ∈R ，复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18)2(+-i y 相等，求x ，y 的值． 41．已知复数z =1＋i ，求实数a ，b ，使22(2)az bz a z +=+．42．已知1(3)(4)z x y y x i =++-，2(42)(53)z y x x y i =--+(,)x y R ∈．设12z z z =-，且132z i =+，求12,z z ．C 组43．已知12()1,23,5,f z z z i z i =-=+=-求12()f z z -．44．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i )t ＋2xy ＋(x －y )i =0(x ，y ∈R )． (1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程实根的取值范围．45．求同时满足下列两个条件的所有复数： (1)10z z +是实数，且1＜10z z+≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数． 46．设z 为虚数，1w z z=+是实数，且－1＜w ＜2，若设z =a ＋bi (b ≠0)． (1)求a 2＋b 2的值，及a 的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0，∴20,(1)0.(2) x ax cbx d⎧++=⎨+=⎩由(2)得dxb=-，代入(1)得d2－abd＋b2c=0．以上解法是否正确?请给出你的评价．3.2 复数的四则运算（1）1004-1005i （2）9+6i （3）-1 （4）-4 （5）21.(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=2.i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-3.1i -4.由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=a b ，,=8a b +5．1+i 6．-1 7．-1 8．5 9．1 10．ad +bc =0 11．-2 12．i 22± 13．(x +2)(x -2)(x +2i )(x -2i )14．3+4i 或-3-4i 15．34 16．2 17. 1 18．(1) -8i (2) -1 (3) -1 (4) 2-i (5) i (6) -1 (7) i (8)1710i+ (9) i 19．(1)10；(2)0；(3)(a 2+b 2)220．(1)i ；(2)12i-；(3) 0 17．0 22．-i 23．i ，-32，0 24．1 25.2 26.1 27.1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ 28．15 29．38 30．2+i 31．1122i - 32．i - 33． i 2+ 34．44i 35．i -136．±i 37．1 38．5+3i39．解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x yi i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.40．x = -2，y =12 41．2,1,a b =-⎧⎨=-⎩或4,2,a b =-⎧⎨=⎩42．z 1=5-9i ，z 2=-8-7i 43． 4-4i 44．(1)设实根为t ，则t 2+2t +2xy +(t +x -y )i =0，根据复数相等的充要条件，得t 2+2t +2xy =0，且t +x -y =0.消去t 得：(x -1)2+(y +1)2=2；(2)所求点的轨迹是以(1,-1)t=y-x 与圆有公共点，≤-4≤t ≤0.45．设,,z x yi x y Z =+∈，则222210101010()x y z x yi x y i z x yi x y x y+=++=++-+++， 因为10z z +为实数，所以2210y y x y-+=0，所以y =0或x 2+y 2=10.当y =0时，1010z x z x +=+，因为1010x x x x+≥+≤-或 又1＜10z z+≤6，所以y =0不合题意. 当x 2+y 2=10时，1010210x z x x z +=+=，所以1＜2x ≤6,又因为x ∈Z ,所以x =1,2,3 分别代入检验，得z =1±3i ，或z =3±i . 46．(1)222211()()a b w z a bi a b i z a bi a b a b =+=++=++-+++, 因为-1＜w ＜2，所以w 为实数，所以220bb a b-=+， 又因为b ≠0,所以a 2+b 2=1.此时w =2a ∈(-1,2),所以1(,1)2a ∈-.(2)221(1)[(1)][(1)]1(1)(1)1z a bi a bi a bi bu i z a bi a b a-----+-====-++++++, 因为b ≠0，所以u 是纯虚数.(3)222222112()222(1)311(1)(1)b b a w u a i a a a a a a a -⎡⎤-=--=+=+=++-⎢⎥++++⎣⎦因为1(,1)2a ∈-，所以11(,2)2a +∈，所以1(1)21a a ++≥+， 当且仅当a =0时取等号，所以w -u 2的最小值为1.。
《3.2 复数的四则运算》教学案二
《3.2复数的四则运算》教学案(二)教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学重难点复数的除法运算教学过程：一、复习巩固：1、复数加减法的运算法则：(1)运算法则：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ；z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
2、复数的乘法：(1)复数乘法的法则：(a +bi )(c +di )=ac +bci +adi +bdi 2=(ac -bd )+(bc +ad )i 。
(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。
3、共轭复数的概念、性质：定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。
复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即设z =a +bi (a ，b ∈R )，那么2-2z z a z z bi +==；。
12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i+=i - 44142430,()n n n n i i i i n N ++++++=∈【巩固练习】1．计算:( 1+2 i )2 _____=i 34-+ 2．计算i 3(1)+_____=-2+2i3．若z C ∈且z i (3)1+=，则z _____=.-3-i4．已知m R ∈且m i R 3()+∈，则m _____.=±5．已知z i 122=-+，求z z z 322339+++的值. 86．计算: i +2i 2+3i 3+…+2008i 2008；解:原式=(i -2-3i +4) +(5i -6-7i +8)+…+(2005i -2006-2007i +2008)=502(2-2i ) =1004-1004i . 7.已知复数222(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入第2课时复数四则运算(1)教案苏教版选修2_2
第2课时复数的四则运算（1）【教学目标】理解复数代数形式的四则运算，能运用运算律进行复数的四则运算【问题情境】我们知道，i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么，任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？【合作探究】一、复数加法，减法运算法则：已知两复数,(1)加法法则：(2)减法法则：即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).注:①复数的减法是加法的逆运算；②易知复数的加法满足_____________律______________律；③复数的加减法可类比多项式的加减法进行；④复数的加减运算仍是一个复数.二、复数乘法运算法则：已知两复数, 则=__________________注:①复数的乘积仍然是一个复数；②复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并③易知复数的乘法满足_______________律、_____________律以及______________律三、共轭复数共轭复数的定义:_ _____________________________________________________________ 当复数中____________________时，有【展示点拨】例1.计算 (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)例2.计算 (－2－i )(3－2i)(－1+3i)例3.计算例4：已知复数，实数满足，求的值.【学以致用】1.若且,则2.已知且,则3.在复数集C内分解因式， =____________；4.已知,求复数5.已知复数是的共轭复数，求x的值第2课时复数的四则运算（1）【基础训练】1.计算： __________， =____________2.计算： ________________3.若，则______________4.若，则______________5.计算： _________________6.若是方程的1个根，则_________， _________，此方程的另一个根是____________ 【思考应用】7.已知，求复数.8.计算9.已知复数与都是纯虚数，求复数.10.已知成等比数列，求复数.【拓展提升】11.已知，并满足，求复数和.12.已知且，求和.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
数学：3.3.2《复数的运算2》江苏教案(苏教版选修2-2)
• §3.2复数的四则运算（二）
一． 教学目标
1.通过几个特殊的复数（i i i i i 2
321,2321,1,1,--+--+），再次巩固复数的四则运算法则； 2.通过个例，再次体会复数的四则运算是一种新的规定．．
，不是多项式运算法则合情推理的结果。
二． 重点、难点
掌握几个特殊的复数；加强对新事物的科学认识（可以用类比来记忆新事物，但使用之前应
推理、证明）。
三． 知识链接
应用复数的运算法则，计算下列各个结果：
1.,+∈N n n i
4= , 14+n i = , 24+n i = , 34+n i = ； 2.2)1(i += ；2)1(i -= ；
3.解方程)(,13
C x x ∈=
四． 学习过程
例1. 设i 2
321+-=ω，求证： ○
1012=++ωω ○213=ω ○3ωω=2，ωω=2
例2.计算：○11002321）（i +- ○2i
i i i +-+-+1)1(1)1(77
高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：
例3. 32-i 是关于x 的方程022
=++q px x 的一个根，求实数q p ,的值。
五、达标检测
1.若规定n n i
i 1=-，当)()(+-∈+=N n i i n f n n ,则集合{}+∈N n n f ),(=
2.在复数范围内分解因式：
○144b a - ○242
+x ○3522++x x ○4ab c b a 22
22+++
3.已知i z 2472--=，求复数z .
反思总结：
后继探究（判断）：i i 2323->+。
高中数学：3.3.2复数的运算1江苏教案苏教版选修22
• §复数的四则运算（一）一． 教学目标1．理解复数代数形式的四则运算法则； 2. 能运用运算律进行复数的四则运算。
二． 重点、难点重点：了解复数的四则运算是一种新的规定，不是多项式运算法则合情推理的结果； 掌握复数代数形式的四则运算法则；难点：理解复数代数形式的四则运算法则；会应用法则解方程、因式分解等。
三． 知识链接实系数一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++根与判别式∆的关系四． 学习进程（一）自主学习，合作探讨阅读讲义第106~109页，完成下列问题：在引入虚单位i 的进程中，规定．．i 与实数一路能够依如实数的运算法则进行四则运算， 在对复数的加法进行运算时，又作一次新的规定．．．．。
1. 规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则1z +2z = = 2.规定．．：若bi a yi x di c +=+++)(）（，则记作)()(di c bi a yi x +-+=+。
由复数相等的概念知b y d a x c =+=+,，即x = ，y = ，从而记bi a z +=1，di c z +=2，得21z z -= = 3.规定．．bi a z +=1，di c z +=2，则21z z = = 4.实验证复数的乘法知足互换律、结合律、分派律。
5.规定．．：若）（）（0)(≠++=++di c bi a yi x di c ，则=+yi x 6.由复数的四则运算法则可知，两个复数进行四则运算的结果仍为高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：7.复数bi a z +=的共轭复数z = ，特别的，实数a 的共轭复数是 8．规定．．：复数的乘方是相同复数的积，即2)())((bi a bi a bi a +=++，3)())()((bi a bi a bi a bi a +=+++等。
按照复数乘法的运算律，容易验证：C z z z ∈21,,，且+∈N n m ,时，有n m z z = ，nmz )(= ，nz z )(21= 。
高中数学：3.2.1《复数的四则运算》教案(苏教版选修2-2)
主备人
胡广宏
授课人
授课日期
课题
§3.2.1复数的四则运算
课型新授Biblioteka 教学目的：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，
……
(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.
相加得(共有1001个式子)：
原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)
=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例3计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)
例4.计算(a+bi) (a-bi)
5*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
课后作业：课本第111页习题3. 2 6 , 7 , 8
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
教学重点：复数加法运算．
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算(二)学案苏教版选修1_2
3.2 复数的四则运算（二）学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i 幂的周期性．知识点一 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性思考 计算i 5，i 6，i 7，i 8的值，你能推测i n (n ∈N *)的值有什么规律吗？1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，有z m z n ＝z m ＋n，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝__________，i4n ＋1＝__________，i4n ＋2＝__________，i4n ＋3＝__________.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.类型一 i 的运算性质 例1 计算下列各式的值． (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 017.(2)(1－1i )2 014＋(1－i)2 014.(3)(－12＋32i)3.反思与感悟 (1)虚数单位i 的性质： ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i ＝－i 等一些重要结论简化运算．(3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω.跟踪训练1 计算下列各式： (1)i2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50. (2)(－1－3i)3＋(－1＋3i)3.类型二 复数的除法例2 (1)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝__________.(2)复数z ＝i －32＋i的共轭复数是____________．反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式． 跟踪训练2 (1)设i 是虚数单位，则i3＋i －1＝________.(2)复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 类型三 复数四则运算的综合应用 例3 计算下列各式：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)2＋23＋－－.反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． (2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．①a ＋b i b －a i ＝a ＋b b i －a i 2＝a ＋ba ＋b i＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；②记住一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，(1±i)2＝±2i 等．跟踪训练3 复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .1．设i 为虚数单位，则复数5－6ii＝____________. 2.＋23＋4i＋＋24－3i＝______________.3．如果复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b ＝________.4．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 11，z 2＝i 1·i 2…i 12，则z 1·z 2＝________. 5．计算：(1)若2＋a i 1＋2i＝－2i ，求实数a 的值；(2)若复数z ＝2i1－i，求z ＋3i.1．熟练掌握乘除法运算规则．求解运算时要灵活运用i n的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i，－b＋a i＝i(a＋b i)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”．答案精析问题导学 知识点一思考 i 5＝i ，i 6＝－1，i 7＝－i ，i 8＝1，推测i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．1．z mn2．1 i －1 －i 知识点二思考 通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘c －d i ，化简后可得结果． 题型探究例1 解 (1)原式＝1－i 2 0181－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.(2)1－1i ＝1＋i 2i ＝1＋i 且(1±i)2＝±2i.∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i 3－21 007i 3＝0.(3)(－12＋32i)3＝(－12＋32i)2(－12＋32i)＝(－12－32i)(－12＋32i)＝1.跟踪训练1 解 (1)i 2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[2－2]25＝i 2＋(4i)4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i. (2)原式＝23(－12－32i)3＋23(－12＋32i)3＝23×1＋23×1＝16. 例2 (1)1＋i (2)－1－i 解析 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝－2＋2i ＝1＋i.(2)∵z ＝－3＋i2＋i＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z 的共轭复数z ＝－1－i. 跟踪训练2 (1)－1 (2)2＋i 解析 (1)∵i ＋1i －1＝＋2－－＋＝2i－2＝－i ， ∴i 3＋i －1＝i 3(－i)＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i1＋2i ＝＋－5＝10－5i 5＝2－i ，∴复数z ＝2＋i.例3 解 (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2＝＋231＋23i＋(5－1)－2i2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22＋3－－－＝22＋4i－＋＝22＋2]2·i 2＝2·(2i)2·i＝－42i.跟踪训练3 解 ＋2＋－2＋i＝2i ＋－2＋i＝3－i 2＋i＝－－＋－＝1－i.∵a 是纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋a 1－i＝－2i ＋m＋－＋＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，得m ＝4，∴a ＝4i. 达标检测 1．－6－5i 解析5－6ii ＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i.2.725＋4925i 解析 原式＝－3＋4i 3＋4i ＋3＋4i4－3i＝－3＋－25＋－4－3i＝7＋24i 25＋i ＝725＋4925i. 3．－23解析2－b i1＋2i＝－b－5＝2－2b －＋b5＝2－2b 5－4＋b 5i.由题意知，2－2b＝4＋b ，得b ＝－23.4．1解析 z 1＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 8)＋(i 9＋i 10＋i 11)＝0－1＝－1.z 2＝i 1＋2＋…＋12＝i 78＝－1，∴z 1z 2＝1.5．解 (1)依题意，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－ 2. (2)∵z ＝2i1－i＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i ， ∴z ＋3i ＝－1＋2i.。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.2 复数的四则运算》
复数的除法运算
教学目标：
知识与技能目标：
理解并掌握复数的代数形式的除法运算法那么，熟练进行复数除法的运算。
了解共轭复数的定义及性质
过程与方法目标：
理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法那么的运用。
教学过程：
一、复习回忆，新课引入：
问题1、完成练习：〔1〕〔2〕〔3〕问题2、总结复数加、减、乘法运算法那么
加法：
减法：
乘法：
问题3、的共轭复数：
共轭复数性质：，，
二、师生互动、新课讲解：
问题4、复数满足，求
问题5、复数除法定义：
满足的复数叫做除以的商，其中是实数，记为或
思考：〔1〕计算
〔2〕类比化简无理分式的方法，你能给出问题4中其他的解法吗？问题6、除法法那么：
，cdi≠0
总结：分子分母同乘以分母的共轭复数，即把分母“实数化〞
三、稳固练习
问题7、计算：
练习：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕
〔6〕
变式1：，求实数
变式2：假设，，且为纯虚数，求实数的值
四、课堂小结
本节课你有哪些收获？。
《3.2 复数的四则运算》教学案一
《3.2复数的四则运算》教学案(一)教学目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
教学习重难点重点：复数的加、减、乘法运算难点：复数的加、减、乘法运算教学过程：一、复习回顾：1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念：复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈复数的实部a ，虚部b 。
实数： ()0;b a R =∈虚数： ()0;b a R ≠∈纯虚数： 00a b =⎧⎨≠⎩复数相等a bi c di +=+⇔a c b d =⎧⎨=⎩特别地，a+bi =0⇔a =b =0。
问题1：a =0是z =a +bi (a 、b ∈R )为纯虚数的必要不充分条件问题2:一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大。
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。
虚数不可以比较大小。
二、问题引入：我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：a b b a +=+ ab ba =()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i =-21，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！三、知识新授：1、复数加减法的运算法则：(1) 运算法则：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，那么：z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ； z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i 。
即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。
(2)复数的加法满足交换律、结合律即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
高中数学第3章3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法学案苏教版选修2_2
第2课时 复数的乘方与除法1．复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何z ∈C 及m ，n ∈N *，则z m z n ＝z m ＋n，(z m )n ＝z nm ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.(2)虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.2．复数的除法把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，且x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －adc ＋d i(c ＋d i≠0)．1.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－iD [(1＋i )3(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i ，选D.] 2．复数1＋i 1－i＋i 3＝________.0 [1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，i 3＝i 2·i＝－i.∴原式＝i －i ＝0.] 3．(2－i)÷i＝________.－1－2i [(2－i)÷i＝2－i i ＝(2－i )(－i )i (－i )＝－1－2i.]【例1】 (1)1＋i ＋i 2＋…＋i2 014＋i2 015；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i 2 014＋(1－i)2 014； (3)i2 006＋(2＋2i)8－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 50.[解] (1)1＋i ＋i 2＋…＋i2 014＋i2 015＝1＋i ＋i 2＋i 3＝0.(2)∵1－1i ＝1＋i 2i＝1＋i ，且(1±i)2＝±2i.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i 2 014＋(1－i)2 014＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝0.(3)i 2 006＋(2＋2i)8－⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(1－i )225＝i 2＋(4i)4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i.1．虚数单位i 的性质 (1)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)．(2)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i ＝－i 及乘方运算律简化运算．1．(1)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________． (2)i 为虚数单位，复数z ＝i2 012＋i2 015在复平面内对应的点位于第________象限．(1)(0,1) (2)四 [(1)∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i＝i ＋i 2i ＋1＝i ，对应的点为(0,1)．(2)i2 012＝i503×4＝1，i2 015＝i503×4＋3＝－i ，∴复数z ＝1－i 在复平面上对应点为(1，－1)，位于第四象限．]【例2】 (1)11－i＝________；(2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝________； (3)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝________.[思路探究] (1)直接利用除法法则计算；(2)转化为复数的除法计算；(3)先计算括号内的，再乘方运算．(1)－1＋2i (2)3＋4i (3)－1 [(1)1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i.(2)由(3－4i)z ＝25，得z ＝253－4i ＝25(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25(3＋4i )25＝3＋4i. (3)∵1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝(－i)2＝－1.]1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)把除式写为分式．(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数． (3)对分子、分母分别进行乘法运算． (4)把运算结果化为复数的代数形式． 2．解题时注意以下常用结论(1)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，(1±i)2＝±2i. (2)i n，(－i)n的值是以4为周期的一列值． (3)a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i＝i.2．(1)i 为虚数单位，复数21－i＝________； (2)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.(1)1＋i (2)1＋i [(1)21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i.(2)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i.][1．复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？ [提示] 相同，先乘除，后加减． 2．如何理解复数的除法运算法则？[提示] 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．【例3】 计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22；(2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[思路探究] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[解] (1)i －231＋23i＋(5＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝(1＋23i )i1＋23i＋(25＋10i －1)－2i2＝i ＋24＋10i －i ＝24＋10i.(2)原式＝22(1＋i )3(5－4i )i(5－4i )(1－i )＝22(1＋i )4i (1－i )(1＋i ) ＝22[(1＋i )2]2·i 2＝2·(2i)2·i ＝－42i.1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． 2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用 (1)a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i b i －a i 2＝(a ＋b i )ia ＋b i＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化． (2)记住一些简单结论，如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ，(1±i)2＝±2i 等．3．(1)设i 是虚数单位，复数i 3＋2i 1＋i ＝________.(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝________.(1)1 (2)2＋3i [(1)i 3＋2i 1＋i ＝－i ＋2i (1－i )2＝－i ＋i －i 2＝1.(2)∵(z －2i)(2－i)＝5，∴z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝10＋5i5＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.]1．本节课重点是复数的乘方运算及除法运算，复数的除法即分子、分母同乘以分母的共轭复数．2．在乘方运算中，注意i n的周期性，其周期为4.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两复数的商一定是虚数．( ) (2)i2 005＝i.( )(3)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减．( ) (4)若z ∈C ，则z 2＝z 2.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．设i 是虚数单位，复数103－i 的虚部为________．1 [103－i ＝10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝3＋i.]3．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则 z 1z 2＝________. 4－3i [∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－i(2＋i )2，∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.]4．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.[解] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋2i )·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.。
高中数学 3.2 复数的四则运算配套教学课件3 苏教版选修22
i4n ＝1 ，i4n1 ＝ i ，i4n2 ＝－1 ， i4n3 ＝－i．
第二页，共14页。
3．常用(chánɡ
y(ò1n)ɡ)(结1±论i：)2＝± 2 i；
(2)
1＝ i
－i；11＋ －ii
＝
i；
1－i 1＋i
＝
－i
.
＝－ 1 ＋ 3 i，故1＋＋2＝0；3＝1
(3)
22
2＝
第三页，共14页。
问题1 计算
(1－i)10 (1＋i)10
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解 法一：用结论(jiélùn)2得
(1－i)10 (1＋i)10
＝
(－2 i)5 (2 i)5
＝－1
法二：用结论(jiélùn)3得
(1－i)10 (1＋i)10
＝(－i)10＝－1
第五页，共14页。
问题(wèntí)2 计算
3 2
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（1） a4－b4
（2） x2＋2 x＋5
巩固练习：在复数范围(fànwéi)内因式分解：
（1）x 2＋4 （2） a2＋b2＋c2＋2ab
第十二页，共14页。
4．已知 z2＝－7－24 i， 求复数 z
第十三页，共14页。
1. 关于复数运算的几个常用结论． 2. 在复数范围内因式分解(yīn shì fēn jiě)． 3. 待定系数法求复数．
高中数学 选修(xuǎnxiū)2-2
3.2 复数(fùshù)的四则运算 （３）
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1.除法运算＝ (a＋b i)(c－d c＋d i (c＋d i)(c－d
i) ＝ ac＋bd i) c2＋d 2
＋ bc－ad c2＋d 2
江苏省镇江市高中数学 3.2复数的四则运算导学案2(无答
复数的四则运算
课题：复数的四则运算(第2课时)
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3．情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、
实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
【学习重点】复数加法、减法运算。
【学习难点】复数加法、减法运算的运算律。
【学习流程】
复习回顾
1、虚数单位：
2、复数的定义：
3、复数的代数形式：
4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
5、复数集与其它数集之间的关系：
6、两个复数相等的定义：
重点点拨：
复数加法、减法运算的运算律。
例题分析
例1．计算：。
例2．计算：。
巩固练习：
1．已知复数，，，则___________。
2．计算=________________________。
3．设，，当时，复数=________。
4．已知，，若，=__________________。
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？
笔记栏：学后反思。
2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算学案苏教版
3.2 复数的四则运算第1课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ，z 2z 1＝(c ＋d i)(a ＋b i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i.故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[例1] 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________．解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝ ________．解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2， ∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立．解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a ，b 都是实数，∴由 az ＋2bz ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）.两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________．解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．解析：(x＋i)i＝－1＋x i＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.答案：25．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．解析：∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.第2课时 复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若a ·b ＝c (a ≠0)，则b ＝c a .反之，若b ＝c a，则a ·b ＝c .那么在复数集中，若z 1·z 2＝z 3，有z 1＝z 3z 2(z 2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)，则z 1z 2如何运算？ 提示：通常先把(a ＋b i )÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后可得结果，即a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）ic 2＋d 2 ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N *，有 (z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n；(z m )n ＝z mn； (z 1·z 2)n ＝z n 1·z n2．2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法运算及法则把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．由a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝（ac ＋bd ）＋（bc －ad ）i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i2 016的值．[思路点拨] 利用i n的性质计算，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i 2 016·i 1－i ＝1－i 1－i ＝1.法二：∵i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)，∴1＋i ＋i 2＋…＋i2 016＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i 2 015＋i 2 016)＝1.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．1．若z ＝－1－i 2，则z 2 014＋z 102＝________． 解析：∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i ， ∴z 2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51 ＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i ＋i ＝2i.答案：2i2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6 ·… ·i 12，则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i ＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋…＋12＝i （4＋12）×92＝i 72＝(i 4)18＝1，∴z 1＝z 2. 答案：＝[例2] 计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22； (2)（2＋2i ）3（4＋5i ）（5－4i ）（1－i ）. [思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝（1＋23i ）i 1＋23i＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22（1＋i ）3（5－4i ）i （5－4i ）（1－i ）＝22（1＋i ）4i （1－i ）（1＋i ）＝22[（1＋i ）2]2i 2＝2·(2i)2i ＝－42i.[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助． b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.3．设复数z ＝2i －1＋i，则复数z 2的实部与虚部的和为________． 解析：∵z ＝2i －1＋i ＝2i （－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝2i （－1－i ）2＝－i ＋1， ∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.实部为0，虚部为－2.因此，实部与虚部的和为－2.答案：－24．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z ＝________．解析：∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15＋25i 5＝3＋5i. 答案：3＋5i 5．化简：()－1＋3i 3（1＋i ）6＋－2＋i 1＋2i ＝________． 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋（－2＋i ）（1－2i ）5＝i ＋i ＝2i. 答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i ； (3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________． 解析：z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝－1＋i. 答案：－1＋i2．设i 是虚数单位，复数103－i的虚部为________． 解析：103－i ＝10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝3＋i. 答案：13．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2，则z 1z 2＝________． 解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－i（2＋i ）2， ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i ＝－i （3－2i ）（2＋i ）23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算1－i （1＋i ）2 ＝________． 解析：1－i （1＋i ）2 ＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i 2＝－12－12i. 答案：－12－12i 5．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________．解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8①则i S ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9＝i （1－i 8）1－i－8i ＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－8i （1＋i ）2＝4－4i.答案：4－4i二、解答题6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2i ）·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220 ＝[]（1＋2i ）·1＋（－i ）52－i 10 ＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.7．复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a . 解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根．(1)求a 、b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. ∴a 、b 的值为a ＝－2，b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然方程成立． ∴1－i 也是方程的一个根.。
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第二课时 复数的乘方与除法运算问题1：在实数中，若a ·b ＝c (a ≠0)，则b ＝c a .反之，若b ＝ca，则a ·b ＝c .那么在复数集中，若z 1·z 2＝z 3，有z 1＝z 3z 2(z 2≠0)成立吗？提示：成立．问题2：若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)，则z 1z 2如何运算？提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后可得结果，即a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i ≠0)．对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N *，有 (z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n ； (z m )n ＝z mn ；(z 1·z 2)n ＝z n 1·z n 2.2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 3．复数的除法运算及法则把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i.由a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i ，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．[对应学生用书P41]虚数单位i 的幂的周期性[例1] 求1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014的值．[思路点拨] 利用i n 的性质计算，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，还可以利用等比数列求和来解．[精解详析] 法一：1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014 ＝1－i 2 0151－i ＝1－i 2 014·i 1－i ＝1＋i1－i＝i.法二：∵i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)， ∴1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 009＋i 2 010＋i 2 011＋i 2 012)＋i 2 013＋i 2 014 ＝1＋i －1＝i.[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．1．若z ＝－1－i 2，则z 2 014＋z 102＝________.解析：∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i ，∴z 2 014＋z 102＝(－i)1 007＋(－i)51 ＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3 ＝i ＋i ＝2i. 答案：2i2．设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6 ·… ·i 12，则z 1与z 2的关系为z 1________z 2(用“＝”或“≠”填)．解析：∵z 1＝i 41－i 91－i ＝i 41－i1－i＝1，z 2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i4＋12×92＝i 72＝(i 4)18＝1，∴z 1＝z 2. 答案：＝复数的除法[例2] 计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22；(2)2＋2i34＋5i5－4i1－i.[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．[精解详析] (1)原式＝1＋23i i 1＋23i ＋(5＋i 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝i ＋5－1－i ＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝221＋i35－4i i5－4i1－i＝221＋i 4i 1－i 1＋i ＝22[1＋i 2]2i2＝2·(2i)2i ＝－42i.[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.3．设复数z ＝2i－1＋i ，则复数z 2的实部与虚部的和为________．解析：∵z ＝2i －1＋i ＝2i －1－i －1＋i －1－i ＝2i －1－i2＝－i ＋1，∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i. 实部为0，虚部为－2.因此，实部与虚部的和为－2. 答案：－24．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z ＝________. 解析：∵z (2－i)＝11＋7i ， ∴z ＝11＋7i2－i ＝11＋7i 2＋i 2－i2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.答案：3＋5i5．化简：()－1＋3i 31＋i6＋－2＋i1＋2i＝________. 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3i 2i 3＋－2＋i 1－2i 5＝i ＋i ＝2i. 答案：2i1．复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．2．注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)； (2)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ；(3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.[对应学生用书P42]一、填空题1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝________. 解析：z ＝2i1－i＝2i 1＋i 1－i 1＋i ＝2i 1＋i2＝－1＋i.答案：－1＋i2．设i 是虚数单位，复数103－i 的虚部为________．解析：103－i ＝103＋i3－i 3＋i＝3＋i.答案：13．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i 2＋i 2，则z 1z 2＝________. 解析：∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－i 2＋i2，∴z 1z 2＝－2－3i 2＋i23－2i＝－i 3－2i 2＋i23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 答案：4－3i4．(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算1－i1＋i 2＝________.解析：1－i 1＋i2＝1－i 2i ＝1－i i －2＝－1－i 2＝－12－12i. 答案：－12－12i5．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________. 解析：设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8① 则i S ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9 ＝i 1－i 81－i －8i＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i 1＋i 1－i 1＋i ＝－8i 1＋i 2＝4－4i.答案：4－4i 二、解答题6．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[]1＋2i ·1＋－i52－i 10＝(1＋i)2－i 10 ＝1＋2i. 7．复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a .解：z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4.∴a ＝4i.8．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a 、b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2.∴a 、b 的值为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0， 把1－i 代入方程，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然方程成立． ∴1－i 也是方程的一个根.。