2019中考数学复习高频考点定义新运算类型考题真题专项练习(无解析)
定义新运算练习题(含解析)
定义新运算练习题1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
2．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
3．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
4.如果2△3＝2＋3＋4＝9，5△4＝5＋6＋7＋8＝26，照这样计算，求9△5。
5．定义一种新运算：3△2＝3＋33＝36，5△4＝5＋55＋555＋5555＝6170，那么7△4的结果是。
6．定义新运算：若2※3＝2＋3＋4，5※4＝5＋6＋7＋8，求2※（3※2）的值。
7.规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数．例如5△2＝5，3○6＝3，求[（8○3）△5]×（4○7）。
附加题：8.2▽4＝8，5▽3＝13，3▽5＝11，9▽7＝25．按此规律计算，求10▽12。
定义新运算-解析1．定义一种新的运算*：规定a*b＝30×a＋20×b，例如5*6＝30×5＋20×6＝270，计算3*8＝＝。
【分析】根据规定a*b＝30×a＋20×b，计算3*8时，a＝3，b＝8。
运用新定义计算。
【解答】a*b＝30×a＋20×b3*8＝30×3＋20×8＝2502．定义新运算a△b＝（a＋b）×（a﹣b），则6.2△3.8＝。
【分析】△的运算是两数和与两数差的乘积；据此解答即可。
【解答】6.2△3.8＝（6.2＋3.8）×（6.2﹣3.8）＝10×2.4＝243．定义新运算：△表示一种运算符号，其意义是a△b＝2.5a﹣b，计算（4△5）△6。
【分析】根据a△b＝2.5a﹣b，把4△5改写为2.5×4﹣5，算出结果，再用这个结果的2.5倍减6，即是（4△5）△6的结果。
九年级数学中考复习新定义专题练习
九年级数学中考复习新定义专题练习1.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为 .2.（2019•德州）已知：[x ]表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x }＝x ﹣[x ]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝ ．3. 用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么，2△6 = ，2()3-△(3)-= ． 4. 如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．5. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°6.（2019•枣庄）对于实数a 、b ，定义关于“⊗”的一种运算：a ⊗b ＝2a +b ，例如3⊗4＝2×3+4＝10．（1）求4⊗（﹣3）的值；（2）若x ⊗（﹣y ）＝2，（2y ）⊗x ＝﹣1，求x +y 的值．7. 阅读材料：规定一种新的运算：a c =b ad bc d -．例如：1214-23=-2.34××= （1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值．8. 对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 2,1），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．9. 对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．10. 对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝-3×（-3-5）-1=23．（1）求（-2）⊙312的值； （2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝（用含m ，n 的式子表示）．11. （2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝＝1，y ＝＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．12. 已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点.（1）当圆O 的半径为1时，①点11(,0)2P ,2P,3(0,3)P 中，圆O 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是圆O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图参考答案：1. -202. 1.13. 24 -64. 45. 60°6. (1) 5 (2) 137. （1）8 （2）x=18. （1）P2，P3；（2）4≤r≤6(3) -5+√2≤x A≤3 或√2-1≤x A≤19. （1）﹣5 （2）1 （3）k=1，﹣1，﹣2，﹣410. （1）-4（2）答案不唯一，例如：m⊕n＝m(n+1)11. （1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①y＝2x﹣1；②点E（，6）或（6，15）．12. （1）P1 P2（2）-√3≤x≤√3（3）2√2-1≤r≤3。
新定义(新运算+新概念)--2019中考真题汇编
001（2019•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1002（2019•重庆）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（）A．5 B．10 C．19 D．21003（2019•深圳）定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若x﹣2dx＝﹣2，则m＝（）A．﹣2 B．C．2 D．004（2019•百色）阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x，y．如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦P A的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．设B（m，n），则m，n满足的等式是（）A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9005（2019•柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（）A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5006（2019•玉林）定义新运算：p⊕q，例如：3⊕5，3⊕（﹣5），则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（）A．B．C．D．007（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设x，易知，故x＞0，由x2＝（）2＝3322，解得x，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A．5+3B．5C．5D．5﹣3008（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p，那么三角形的面积为S．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（）A．6B．6C．18 D．009（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10 B．6 C．5 D．4010（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．011（2019•德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝．012（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5013（2019•烟台）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024014(2019•达州）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为1，﹣1的差倒数，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．C．D．。
19.2新定义运算_中考真题(含参考答案)_全国中考数学真题分类特训
3.2 新定义运算中考真题1. 题型特点新定义题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新运算、新概念等．定义的新运算与已经学习过的运算有严格区别，不一定符合运算规律和运算顺序，定义的新概念有其自身的内涵和外延，且每个新定义只能在本题中使用的一类题目．这类题主要考查考生的阅读理解能力，接受能力、应变能力和创新能力．新定义题的呈现方式主要是：(1)新运算定义型问题，是用某些特殊的符号如⊗，※，[]，…等表示算式的运算，解答时必须先理解定义的含义，将其转化为一般的加、减、乘、除、乘方、开方等运算，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是定义一个新的概念(规则)，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名称，并探究其性质的一种题型．2. 解题思路解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题的关键：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2017·四川宜宾)规定：[x]表示不大于x的最大整数，(x)表示不小于x的最小整数，[x)表示最接近x的整数(x≠n＋0.5，n为整数)，例如：[2.3]＝2，(2.3)＝3，[2.3)＝2.则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝6；②当x＝－2.1时，[x]＋(x)＋[x)＝－7；③方程4[x]＋3(x)＋[x)＝11的解为1＜x＜1.5；④当－1＜x＜1时，函数y＝[x]＋(x)＋x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．思路点拨根据题意可以分别判断各个结论是否正确，从而可以解答本题．①当x＝1.7时，[x]＋(x)＋[x)＝[1.7]＋(1.7)＋[1.7)＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当x＝－2.1时，[x ]＋(x )＋[x )＝[－2.1]＋(－2.1)＋[－2.1)＝(－3)＋(－2)＋(－2)＝－7，故②正确；③当1＜x ＜1.5时，4[x ]＋3(x )＋[x )＝4×1＋3×2＋1＝4＋6＋1＝11，故③正确；④∵－1＜x ＜1，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当x ＝0时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋(x )＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1.∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13； x ＋1＝4x 时，得x ＝13； 当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋(x )＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误．故答案应为：②③.完全解答②③.归纳交流本例题属于定义新运算型问题，考查对新定义的理解以及有理数的运算、一次方程、不等式，以及一次函数知识．解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题．【例2】(2017·江苏南通)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为________； (2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”；(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．备用图图3.21 思路点拨 (1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，证出△BCD ∽△ABC 即可；(3)分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB ＝AC 2＋BC 2＝5，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN ＝12(AC ＋BC －AB )＝1，由角平分线定理得出DE DF ＝CE CF ＝43，求出CE ＝73，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF ＝3512； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512即可． 完全解答 (1)3；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图(1)所示：图3.22(1)则△AMN ∽△ABC ，△CEF ∽△CBA ，△BGH ∽△BAC ，∴MN ，EF ，GH 是等边三角形ABC 的“内似线”．(2)∵AB ＝AC ，BD ＝BC ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .∴△BCD ∽△ABC .∴BD 是△ABC 的“内似线”．(3)设D 是△ABC 的内心，连接CD ，则CD 平分∠ACB .∵EF 是△ABC 的“内似线”，∴△CEF 与△ABC 相似．分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43时，EF ∥AB ， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.作DN ⊥BC 于N ，如图(2)所示：图3.22(2)则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，∴DN ＝12(AC ＋BC －AB )＝1. ∵CD 平分∠ACB ，∴DE DF ＝CE CF ＝43. ∵DN ∥AC ，∴DN CE ＝DF EF ＝37，即1CE ＝37. ∴CE ＝73. ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB .∴EF AB ＝CE AC ，即EF 5＝734. 解得EF ＝3512； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时，同理，得EF ＝3512； 综上所述，EF 的长为3512. 归纳交流本例题属于定义新概念型问题，理解新概念“内似线”是解题的基础，本例题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识．【例3】(2017·浙江绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图(1)，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.(2)如图(2)，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．(1)(2)图3.23思路点拨(1)①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图(2)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图(3)中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可．完全解答(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．∴BD＝AC＝12＋12＝ 2.图3.24(1)②如图(1)中，连接AC，BD.∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD.∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴AD ＝CD .(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图(2)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，图3.24(2)∴AE ＝AB ＝5.②当BF ＝AB 时，如图(3)中，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，图3.24(3)∴BF ＝AB ＝5.∵DE ∥BF ，∴DE ∶BF ＝PD ∶PB ＝1∶2.∴DE ＝2.5.∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.归纳交流本例题属于几何图形新定义型问题，考查正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．一、 填空题1. (2017·河北)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1,2}＝1，因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝________.2. (2017·四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′⎝⎛⎭⎫1x ，1y 称为点P 的“倒影点”，直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x的图象上．若AB ＝22，则k ＝________. 3. (2017·上海)我们规定：一个正n 边形(n 为整数，n ≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6＝________.二、 解答题4. (2017·浙江湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2 011，求x 的值；(2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．5. (2017·湖南益阳)在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3,5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数y＝－2x的图象上，直线AB 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，12，求此抛物线的表达式．6. (2017·江西)我们定义：如图(1)，在△ABC 中，把AB 边绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 边绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′.当α＋β＝180°时，我们称△A ′B ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B ′C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．(1)(2)(第6题)特例感知： (1)在图(2)，图(3)中，△AB ′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”．①如图(2)，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝________BC ；②如图(3)，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________．(3)(4)(第6题)猜想论证： (2)在图(1)中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用：(3)如图(4)，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△P AB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．7. (2017·江苏扬州)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图(1)，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于AO 2－BO 2的值，可记为AB △AC ＝AO 2－BO 2.(1)(2) (3)(第7题) (1)在图(1)中，若∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AO 是BC 边上的中线，则AB △AC ＝________，OC △OA ＝________；(2)如图(2)，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝120°，求AB △AC ，BA △BC 的值；(3)如图(3)，在△ABC 中，AB ＝AC ，AO 是BC 边上的中线，点N 在AO 上，且ON ＝13AO .已知AB △AC ＝14，BN △BA ＝10，求△ABC 的面积．8. (2017·江苏无锡)操作：“如图(1)，P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外)，过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q 的操作称为点的T变换．(1)(2)(第8题)(1)点P(a，b)经过T变换后得到的点Q的坐标为________；若点M经过T变换后得到点N(6，－3)，则点M的坐标为________．(2)A是函数y＝32x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B.①求经过点O，点B所在直线的函数表达式；②如图(2)，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．9. (2017·山东济宁)定义：点P是△ABC内部或边上的点(顶点除外)，在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．(第9题(1))例如：如图(1)，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠PCB ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：y ＝33x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．(1)如图(2)，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(3，0)时，求点P 的坐标；(第9题(2))(2)如图(3)，当点M 的坐标是(3，3)，点N 的坐标是(2,0)时，求△MON 的自相似点的坐标；(第9题(3))(3)是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．10. (2017·江苏常州)如图(1)，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)(2)(第10题) (1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)； ②若M ，N ，P ，Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，当对角线AC ，BD 还要满足________时，四边形MNPQ 是正方形．(2)如图(2)，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．中考真题1. 题型特点：“新定义”试题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．2. 命题呈现方式：(1)新运算定义型问题，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用其去创造性地思考并解决问题；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词等．3. 解题方法：解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解题关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2016·浙江杭州)设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b ＝()a ＋b 2－()a －b 2则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是________．A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③思路点拨根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．①根据题意，得a@b＝(a＋b)2－(a－b)2∴(a＋b)2－(a－b)2＝0.整理，得(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝0，即4ab＝0，解得a＝0或b＝0，正确；②∵a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝4ab＋4ac，a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c正确．③a@b＝a2＋5b2，a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，令a2＋5b2＝(a＋b)2－(a－b)2，解得，a＝0，b＝0，故错误；④∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a－b)2≥0，则a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2＋2ab≥4ab.∴4ab的最大值是a2＋b2＋2ab.此时a2＋b2＋2ab＝4ab，解得a＝b，∴a@b最大时，a＝b，故④正确．故答案应选C.完全解答C.归纳交流本例题属于新运算定义问题，考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【例2】(2016·湖北荆州)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M(1,3)的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x＋2，y＝－x＋4.问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝14(x －m )2＋n 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．(1)直接写出点D (m ，n )所有的特征线；(2)若点D 有一条特征线是y ＝x ＋1，求此抛物线的解析式；(3)点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的点D 的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？思路点拨(1)根据新概念“特征线”的意义直接求出点D 的特征线；(2)由点D 的一条“特征线”和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式；(2)分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．完全解答(1)∵点D (m ，n )，∴点D (m ，n )的特征线是x ＝m ，y ＝n ，y ＝x ＋n －m ，y ＝－x ＋m ＋n .(2)点D 有一条特征线是y ＝x ＋1，∴n －m ＝1.∴n ＝m ＋1.∵抛物线解析式为y ＝14(x －m )2＋n ， ∴y ＝14(x －m )2＋m ＋1. ∵四边形OABC 是正方形，且点D 为正方形的对称轴，D (m ，n )，∴B (2m,2m )．∴(2m －m )2＋n ＝2m ，将n ＝m ＋1带入得到m ＝2，n ＝3.∴D (2,3)．∴抛物线解析式为y ＝14(x －2)2＋3. (3)如图(1)，当点A ′在平行于y 轴的点D 的特征线时，(1)根据题意可得，D (2,3)，∴OA ′＝OA ＝4，OM ＝2. ∴∠A ′OM ＝60°.∴∠A ′OP ＝∠AOP ＝30°.∴MN ＝OM 3＝233. ∴抛物线需要向下平移的距离＝3－233＝9－233. 如图(2)，当点A ′在平行于x 轴的点D 的特征线时，设A ′(p,3)， (2)则OA ′＝OA ＝4，OE ＝3，EA ′＝42－32＝7.∴A ′F ＝4－7.设P (4，c )(c ＞0)．在Rt △A ′FP 中，(4－7)2＋(3－c )2＝c 2，∴c ＝16－473. ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，16－473. ∴直线OP 解析式为y ＝4－73x . ∴N ⎝⎛⎭⎪⎫2，8－273. ∴抛物线需要向下平移的距离＝3－8－273＝1＋273.即抛物线向下平移9－233或1＋273距离，其顶点落在OP 上． 归纳交流本例题属于定义新概念问题，理解新概念“特征线”是解题的基础. 本例题通过二次函数背景，考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．【例3】(2016·山东德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图(1)，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(1)(2)如图(2)，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足P A ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(2)(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)思路点拨(1)如图(1)中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH ＝FG 即可．(2)四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC ＝BD ，再证明EF ＝FG 即可．(3)四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG ＝90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP ＝∠BDP ，即可证明∠COD ＝∠CPD ＝90°，再根据平行线的性质即可证明．完全解答(1)如图(1)中，连接BD .(1)∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD . ∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD . ∴EH ∥FG ，EH ＝GF .∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)四边形EFGH 是菱形．证明如下：如图(2)中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD .即∠APC ＝∠BPD ，在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD .∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD . ∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)四边形EFGH 是正方形．证明如下：如图(2)中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N . (2)∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．归纳交流本例题属于几何图形新定义问题．考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．一、 选择题1. (2016·湖南岳阳)对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b }＝b ；如：max{4，－2}＝4，max{3,3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )．A. 0B. 2C. 3D. 42. (2016·广东广州)定义运算：a ★b ＝a ()1－b .若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )．A. 0B. 1C. 2D. 与m 的有关3. (2016·广东梅州)对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( )． A. x ＝4 B. x ＝5C. x ＝6D. x ＝74. (2016·山西)宽与长的比是m ＝－3(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是( )．(第4题)A. 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH二、 填空题5. (2016·四川宜宾)规定：log a b (a >0，a ≠1，b >0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n ＝n ，log N M ＝log a M log a N(a >0，a ≠1，N >0，N ≠1，M ＞0)， 例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001 000＝ ________.6. (2016·四川乐山)高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x ]＋[－x ]＝0；③若[x ＋1]＝3，则x 的取值范围是2≤x <3；④当－1≤x <1时，[x ＋1]＋[－x ＋1]的值为0,1,2.其中正确的结论有________(写出所有正确结论的序号)．7. (2016·四川成都)实数a ，n ，m ，b 满足a <n <m <b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B (如图)，若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB 则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”．当b －a ＝2时，a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝________.8. (2016·甘肃兰州)对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l: y ＝x －3交 x 轴于点 M ，⊙M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线 l 运动(BD 在直线 l 上)，BD ＝2，AB ∥y ，当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为________．(第8题)三、解答题9. (2016·江苏扬州)如图(1)，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D .(第9题(1)(1)求证：BC AB ＝EF DE； (2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC )与邻边(即腰AB 或AC )的比值也就确定，我们把这个比值记作T (A )，即T (A )＝∠A 的对边底边∠A 的邻边腰＝BC AB ，如T (60°)＝1. ①理解巩固：T (90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T (α)的取值范围是________；②学以致用：如图(2)，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T (160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)(第9题(2))10. (2016·重庆A)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12,2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F (t )的最大值．11. (2016·浙江绍兴)对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5)．已知点A的坐标为(1,0)．(1)分别写出点A经1次、2次斜平移后得到的点的坐标．(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C.①若A，B，C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由，②若点B由点A经n次斜平移后得到t且点C的坐标为(7,6)，求出点B的坐标及n的值，(第11题)12. (2016·湖南长沙)若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 与顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k ≤2时，求抛物线L: y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．13.(2016·浙江宁波)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图(1)，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线；(2)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图(2)，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．(1)(2)(第13题)14. (2016·黑龙江大庆)若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：u2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．(1)求抛物线C2的解析式．(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ 的最大值．(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1,4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．(第14题)15. (2016·北京)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．(1)已知点A的坐标为(1,0)．①若点B的坐标为(3,1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(2)⊙O的半径为2，点M的坐标为(m,3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．(第15题)中考真题【题型特点】1. “新定义”试题是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．2. “新定义”试题呈现方式有：(1)新运算定义型问题，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算；(2)新概念(规则)定义型问题，就是给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用其去创造性地思考并解决问题；(3)几何图形的新定义型问题，是指对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词等．【解题思路】解题时把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解的题关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据．即“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．【例1】(2015·湖北武汉)定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1].【思路点拨】已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．具体如下：根据题中的新定义化简已知等式得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝5，4a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 则2]【完全解答】10.【归纳交流】本题是一道新运算定义问题，考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．【例2】 (2015·浙江衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1(a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数)与y ＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数)满足a 1＋a 2＝0，b 1＝b 2，c 1＋c 2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y ＝－x 2＋3x －2可知，a 1＝－1，b 1＝3，c 1＝－2，根据a 1＋a 2＝0，b 1＝b 2，c 1＋c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)写出函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”；(2)若函数y ＝－x 2＋43mx －2与y ＝x 2－2nx ＋n 互为“旋转函数”，求(m ＋n )2015的值； (3)已知函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)的图象与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，B ，C 关于原点的对称点分布是A 1，B 1，C 1，试证明：经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)互为“旋转函数．” 【思路点拨】(1)根据“旋转函数”的定义求出a 2，b 2，c 2，从而得到原函数的“旋转函数”；(2)根据“旋转函数”的定义得到43m ＝－2n ，－2＋n ＝0，再解方程组求出m 和n 的值，然后根据乘方的意义计算；(3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A (－1,0)，B (4,0)，C (0,2)，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A 1(1,0)，B 1(－4,0)，C 1(0，－2)，则可利用交点式求出经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝12(x －1)(x ＋4)＝12x 2＋32x －2，再把y ＝－12(x ＋1)(x －4)化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断．【完全解答】(1)∵a 1＝－1，b 1＝3，c 1＝－2，∴－1＋a 2＝0，b 2＝3，－2＋c 2＝0，∴a 2＝11，b 2＝3，c 2＝2.∴函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”为y ＝x 2＋3x ＋2；(2)根据题意，得43m ＝－2n ，－2＋n ＝0，解得m ＝－3，n ＝2，∴(m ＋n )2015＝(－3＋2)2015＝－1.(3)当x ＝0时，y ＝－12(x ＋1)(x －4)＝2， 则C (0,2)，当y ＝0时，－12(x ＋1)(x －4)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝4，则A (－1,0)，B (4,0)，∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，∴A 1(1,0)，B 1(－4,0)，C 1(0，－2)．设经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝a 2(x －1)(x ＋4)，把C 1(0，－2)代入得a 2·(－1)·4＝－2，解得a 2＝12， ∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数表达式为y ＝12(x －1)(x ＋4)＝12x 2＋32x －2. 而y ＝－12(x ＋1)(x －4)＝－12x 2＋32x ＋2， ∴a 1＋a 2＝－12＋12＝0，b 1＝b 2＝32，c 1＋c 2＝2－2＝0， ∴经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y ＝－12(x ＋1)(x －4)互为“旋转函数”． 【归纳交流】本题通过定义“旋转函数”概念，考查二次函数图象及性质、二次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数表达式以及关于原点对称的两点的坐标特征等．【例3】 (2015·浙江嘉兴)类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)概念理解如图(1)，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(1)(2)问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．②如图(2)，小红画了一个Rt △ABC ，其中∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A ′B ′C ′，连接AA ′，BC ′.小红要是平移后的。
2019年全国中考数学真题分类汇编(新定义型)
一、选择题1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】 当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14.∴c 的取值范围为c ＜－2 .2.（2019·济宁）−1，－1的差类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（） A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．－5.5 【答案】A【解析】二、填空题18．（2019·娄底）已知点P ()00,x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =例如：点（0，1）到直线y ＝2x+6的距离d ==y x =与4y x =-之间的距离为___________． 【答案】．【解析】在直线y x =上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线4y x =-的距离就是两平行直线y x =与4y x =-之间的距离．d ===． 16．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y ＝x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y ＝－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P (m ，0)（m ＞0），∵PM＋1，PQ ＝－(－1)＝＋1，∴PM ＝PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．17．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝ ． 【答案】85或14． 【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=，故答案为：85或14．三、解答题1.（2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；14214m 214m 214m②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．2.（2019·重庆B 卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行()()21++++n n n 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为343332++在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为252423++在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由. 解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。
2019年中考数学总复习新定义问题专题综合训练题含答案和解析语文
2019年 中考数学总复习 新定义问题 专题综合训练题1．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max{a ，b}表示a ，b 中的较大值，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x ，－x}＝2x ＋1x的解为( ) A ．1－ 2 B ．2－ 2 C ．1＋2或1－ 2 D ．1＋2或－12. 定义[a ，b ，c]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的特征数， 下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④3. 我们知道，一元二次方程x 2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2＝－1 (即方程x 2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定： 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝ i 2·i＝(－1)·i＝－i, i 4＝( i 2)2＝(－1) 2＝1，从而对任意正整数n ，我们可以得到i 4n ＋1＝i 4n ·i＝(i 4)n ·i ＝i ，同理可得i 4n ＋2＝－1, i 4n ＋3＝－i , i 4n ＝1，那么i ＋ i 2＋ i 3＋ i 4＋…＋ i 2019＋ i 2019 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．i4. 对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( )A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝75. 现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：(4，2，3，4，2)，通过变换可生成新序列S 1：(2，2，1，2，2)，若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是( )A ．(1，2，1，2，2)B ．(2，2，2，3，3)C ．(1，1，2，2，3)D ．(1，2，1，1，2)6. 设[x )表示大于x 的最小整数，如[3)＝4，[－1.2)＝－1，则下列结论中正确的是____．(填写所有正确结论的序号)①[0)＝0； ②[x)－x 的最小值是0； ③[x)－x 的最大值是1； ④存在实数x ，使[x)－x ＝0.5成立．7. 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2（n <10），f （n ）（n ≥10），其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f (123)＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1(123)＝F (123)＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝____，F 2019(4)＝____；(2)若F 3m (4)＝89，求正整数m 的最小值．8. 定义一种新运算：a b ＝b 2－ab ，如：12＝22－1×2＝2，则(－12)3＝____．9. 定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4－1＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4－3＝13.(1)请你想一想：a⊙b＝ ；(2)若a≠b，那么a⊙b____b ⊙a (填“＝”或“≠”)；(3)若a ⊙(－2b )＝4，请计算(a －b )⊙(2a ＋b )的值．10. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 ．11. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如，平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆．(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，A(0，2)，B 是x 轴上一动点，当点B 在x 轴上运动时，点C 在坐标系中运动，点C 运动形成的轨迹是直线DE ，且DE⊥x 轴于点G, 则直线DE 的表达式是 .(2)当△ABC 是等边三角形时，在(1)的条件下，动点C 形成的轨迹也是一条直线. ①当点B 运动到如图2的位置时，AC ∥x 轴，则C 点的坐标是 ； ②在备用图中画出动点C 形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式；③设②中这条直线分别与x ，y 轴交于E ，F 两点，当点C 在线段EF 上运动时，点H 在线段OF 上运动(不与O ，F 重合)，且CH ＝CE ，求CE 的取值范围．12. 对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T (x ，y )＝ax ＋by 2x ＋y(其中a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T (0，1)＝a ×0＋b ×12×0＋1＝b .(1)已知T (1，－1)＝－2，T (4，2)＝1.①求a ，b 的值；②若关于m 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧T （2m ，5－4m ）≤4，T （m ，3－2m ）＞p 恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；(2)若T (x ，y )＝T (y ，x )对任意实数x ，y 都成立(这里T (x ，y )和T (y ，x )均有意义)，则a ，b 应满足怎样的关系式？13. 实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B(如图)，若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝2时，求a ，b 的大黄金数与小黄金数之差m －n.参考答案:1. D 解析：根据x 与－x 的大小关系，取x 与－x 中的最大值化简所求方程，求出解即可．2. B3. A4. B5. D 【解析】根据题意可知，S 1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择．A.∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；B.∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S 1，故选项错误；D.符合定义的一种变换，故选项正确．故选D.6. ③④7. 解：(1)37，26 (2)68. －9 【解析】先根据新定义计算出－12＝6，然后计算再根据新定义计算63即可．－12＝22－(－1)×2＝6，63＝32－6×3＝－9，所以(－12)3＝－9.9. 解：(1) 4a ＋b(2) ≠(3)因为a ⊙(－2b)＝4，所以4a －2b ＝4，所以2a －b ＝2，(a －b)⊙(2a ＋b)＝4(a －b)＋(2a ＋b)＝4a －4b ＋2a ＋b ＝6a －3b ＝3(2a －b)＝3×2＝6解析：(1)观察前面的例子可得a ⊙b ＝4a ＋b ；(2)根据定义a ⊙b ＝4a ＋b ，b ⊙a ＝4b ＋a ，因为a ≠b ，所以a ⊙b ≠b ⊙a ；(3)根据定义先将a ⊙(－2b )＝4化简，再将(a －b )⊙(2a ＋b )化简并把上面得到的式子代入计算．10. 30°或150°11. 解：(1)x ＝2 (2)①(433，2) ②画图略，y ＝3x －2 ③493≤EC<233 12. 解：(1)①根据题意得T(1，－1)＝a －b 2－1＝－2，即a －b ＝－2； T ＝(4，2)＝4a ＋2b 8＋2＝1，即2a ＋b ＝5，解得a ＝1，b ＝3 ②根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3（5－4m ）4m ＋5－4m≤4①，m ＋3（3－2m ）2m ＋3－2m ＞p②，由①得m≥－12； 由②得m ＜9－3p 5，∴不等式组的解集为－12≤m ＜9－3p 5， ∵不等式组恰好有3个整数解，即m ＝0，1，2，∴2＜9－3p 5≤3， 解得－2≤p＜－13(2)由T(x ，y)＝T(y ，x)，得到ax ＋by 2x ＋y ＝ay ＋bx 2y ＋x，整理得(x2－y2)(2b－a)＝0，∵T(x，y)＝T(y，x)对任意实数x，y都成立，∴2b－a＝0，即a＝2b 13. 解：AB＝b－a＝2，设AM＝x，则BM＝2－x，由题意得x2＝2(2－x)，解得x1＝－1＋5，x2＝－1－5(舍去)，则AM＝BN＝5－1，∴MN＝m－n＝AM＋BN －2＝2(5－1)－2＝25－4。
中考数学复习新定义题型专题训练
中考数学复习新定义题型专题训练典例精析：例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111234任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111236341245209 ；根据对上述式子的观察思考：如果理想分数111n a b=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的点评：本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.2.若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112=--，1-的差倒数为()11112=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，…，依次类推，则 2020x =.例2.我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，比如：232534245=⨯-⨯=-，如果有23x01x->，则x 的取值范围为 . 分析：根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：x 1>.点评：本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12=((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （ ）A.(),100902-B.(),101002-C.(),100902D.()101002、2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =+，例如：()11f 4145==+，114f 14514⎛⎫== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值为， ()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值二阶行列式运算法则”，计算填空：； ⑵.x 3x 2x 4x 3+---= ；⑶.2x x 26x 2x-=+，则x = .4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+ ，则⎛⋅ ⎝= .5.对于两个不相等的实数a,b，定义一种新的运算如下，)a b a b 0=+> ，如：32= ()654 的值.6.我们定义a b ad bc c d =-，比如：()121623661236-=-⨯-⨯=--=-；若x,y 均为点评：本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.追踪练习：1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 .⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为 ．2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB∠是⊙O 上关于点A,B 的滑动角.3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内ABCD 的准内点．⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（ ）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（ ）.例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()22a ab a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*，因为42>，所以2424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则*12x x = .分析：∵12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =23233-⨯=；②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =22333⨯-=-.故应填：3或3-. 点评：本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：1. 对实数a ☆b ()()-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3128，计算[2☆()-4]× [()-4☆()-2]= .2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念：若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.若1212x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.例如：点()1P 1,2和()2P 3,5。
2019新定义题型中考专题复习课
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类型之四
定义一种新函数
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类型之四
定义一种新函数
课堂小结：
解题策略和解法总结：“新定义 型专题”关键要把握两点： 一是掌握问题原型的特点及其问 题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过 认真思考合理进行思想方法的迁移 ．
（三）定义一种新图形
（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于
这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=
求证：△ABC是“好玩三角形”；
3 2
C
B
A
专题突破二
弄清新概念图形的定义，把新概念图形分解转化，化为熟 悉的图形或条件，运用熟悉的知识加以解决.
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类型之四
定义一种新函数
请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数 y＝－x2＋3x2)若函数 y＝－x ＋3mx－2 与 y＝x2－2nx＋n 互为“旋转函数”，求(m＋ n)2015 的值；
1 (3)已知函数 y＝－2(x＋1)(x－4)的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 1 C1 的二次函数与函数 y＝－ (x＋1)(x－4)互为“旋转函数”． 2
[解析] (1001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9.
解答此类问题时，要弄清楚新数的定义，在新定义下进行运算.
·新课标
（一）定义一种新数
任给a、b 两数，按规则c = a + b + ab 扩充 一个新数c，称这样的新数c 为“吉祥数”．又在a、 b、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个“吉 祥数”，…，每扩充一个“吉祥数”称为一次操 作． 现有数1和4，按上述规则操作三次得到的最大 “吉祥数”是多少？ ．
2019年中考数学试题分类大全50_新概念型问题精品文档6页
一、选择题1．（2019安徽蚌埠）记n S =n a a a +++ 21，令12nn S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。
已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2019，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为A ．200４B ．2019C ．2019D ．2019 【答案】C2．（2019浙江杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ]的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④ 【答案】B 3．（2019浙江宁波）《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础. 它是下列哪位数学家的著作(A)欧几里得 (B)杨辉 (C)笛卡尔 (D)刘徽 【答案】A 4．（2019 山东东营）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑．动对称变换．．．．．过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( ) (A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分 (C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行 【答案】B5．（2019鄂尔多斯）定义新运算： a ⊕b=⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≤-)0()(1b b a ba b a a 且，则函数y=3⊕x 的图象大FE DCBA致是【答案】B6．（2019四川达州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n ），规定以下两种变换： ①(,)(,)f m n m n =-，如(2,1)(2,1)f =-； ②(,)(,)g m n m n =-- ，如(2,1)(2,1)g =--.按照以上变换有：()()()3,43,43,4f g f =--=-⎡⎤⎣⎦，那么()3,2g f -⎡⎤⎣⎦等于 A.（3，2） B.（3，-2） C.（-3，2） D.（-3，-2） 【答案】A 二、填空题1．（2019安徽蚌埠）若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]3322,3-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π等），则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-200120002001132312121 _________________。
精选中考数学新定义题型25道练习汇总
精选中考数学新定义题型25道练习汇总1、某数学兴趣研究小组碰到一些新的数学符号。
规定),min(b a 表示b a ,两个数中较小的数，比如2)3,2min(=，3)3,3min(=；规定),max(b a 表示b a ,两个数中较大的数，比如3)3,2max(=，3)3,3max(=。
试根据上述规定，请回答下列问题：(1) max(-π，-4)=_________，min(max(1,2),4)=__________(2) )2,32min(2+-x x =__________.(3) 若2)2,2max(+=+a a a , 则a 的取值范围是__________.(4) 若0>x ，则),1min(x x取得最大值时，x 的值为_______.2、规定)(x f 是一个记号，和初中数学中函数的y 含义类似，比如x y 2=可以写成：x x f 2)(=。
我们定义x x x f +=1)(，例如。
54414)4(=+=f 试计算下列算式的值： )2020()2019()2()1()0()20191()20201(f f f f f f f ++++++++ΛΛ=_________。
3、对于任意非0的实数b a ,，规定运算“★”如下，a ★abba b -=。
则2★1+3★2+4★3+……+2020★2019=_________.4、我们规定一种运算符号：bc ad dc b a -=。
例如：.232414231-=⨯-⨯=按照这个规定：(1)计算：。
______4235-=(2)当5212242=+--x x 时，。
_____=x5、定义一种求和运算∑bai ，其含义为：a 叫做下界，b 叫做上界，i 表示从下界a 开始一直取遍每个数直到上界b ，∑表示将i 取到的结果全部相加。
比如：1003211001Λ+++=∑=i i 。
根据该规定试计算：∑=+20201)1(1i i i 的结果为__________。
2019中考真题精选1 新定义型问题
3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，
ac bd
y）满是x=
，y=
，那么称点T是点A，B的融合点。例如：A（-1，8），B（4，一2），
3
3
1 4
8 (2)
当点T（x.y）满是x=
=1，y=
=2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。
3
x
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数
f
x
1 x2
x
（x＜0），
f
1
1
12
1
0,
f
2
1
2 2
2
7 4
（1）计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________；
（2）猜想：函数
f
x
1 x2
x
（x＜0）是________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
（1）将指数 34＝81 转化为对数式
；
M
（2）证明 loga ＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
N
（3）拓展运用：计算 log69+log68﹣log62＝
．
4
新定义型问题参考答案
1.【答案】B 【解析】 当 y=x 时，x=x2+2x+c，即为 x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2 是该方程的两
2019 中考真题精选 1——新定义型问题
1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不 动点．如果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值范围是（ ）
中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)
中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。
（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。
创新题型《新定义新概念新运算》(精选50题)
D．对于椭圆 上点 处的曲率半径随着 的增大而碱小
14．已知有限集合 ，定义集合 中的元素的个数为集合 的“容量”，记为 ．若集合 ，则 ______；若集合 ，且 ，则正整数 的值是______．
15．对于一个函数 ，若存在两条距离为 的直线 和 ，使得 在 时恒成立，称函数 在 内有一个宽度为 的通道．则下列函数在 内有一个宽度为1的通道的有______．（填序号即可）
①函数 在定义域 上是闭函数；②函数 不是 上的闭函数；③若一个函数是定义域 上的闭函数，则满足定义中条件（2）的区间 是唯一的；④函数 是 上的闭函数，且满足定义中的条件（2）的区间 为
37．定义区间 长度为 ，已知函数 的定义域与值域都是 ，则区间 取最大长度时 的值为___________.
38．设函数 的定义域为 ，若函数 满足下列两个条件，则称 在定义域 上是闭函数.① 在 上是单调函数；②存在区间 ，使 在 上值域为 .如果函数 为闭函数，则 的取值范围是__________.
A．11B．10C．9D．8
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 分钟后物体的温度 可由公式 求得.把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 分钟后，物体的温度是 ，则 约为（）（ ）
A． B． C． D．
10．设函数 的定义域为D，如果对任意 ，都存在唯一的 ，使得 （m为常数）成立，那么称函数 在D上具有性质业 ．现有函数：
①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．
其中正确结论的个数是()
A．0B．1 C．2D．3
22.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：
2019年中考数学知识点《新定义型》精选考题练习(含答案解析)
①试确定y与x的关系式. ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
解：（1）∵ −1+ 7 =2， 5 &，4）是点A.B的融合点。..…3分
3+t
（2）①由融合点定义知x=
，得t=3x-3....... 4分
3
又∵y= 0 + (2t + 3) ，得t= 3y − 3 ...….5分
a1 的差倒数，a3 是
a2 的差倒数，a4 是
a3 的差倒数，…，依此
类推，那么 a1＋a2＋…＋a100 的值是（）
A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5
【答案】A
11
13
1
11
【解析】由题意知：a2＝
1−
(−2)
＝
3
；a3＝
1−
1
＝
2
，a4＝
1−
3
＝－2；a5＝ 1−
(−2)
＝
3
；…；可知
足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组 邻边分
别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中
的四边形 PMNQ 满足 MN∥PQ，设 P(m，0)（m＞0），∵PM＝ m2 + ( 1 m2 −1)2 ＝ 1 m2 ＋1，PQ＝ 1 m2
2
2
（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分 （Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分）
综上所述，符合题意的点为E1（ 3 ，6），E2（6，15）. ……10 分 2
中考常见的定义新运算题型
中考常见的定义新运算题型新定义“新定义” 问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．一、定义新运算1．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）＝（y，x）．如f（2，3）＝（3，2）；②g（x，y）＝（－x，－y），如g（2，3）＝（－2，－3）．2．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[4/3]＝0，[3.14]＝3．3．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a ＋b．4．对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义一种运算：A⊕B＝（x1＋x2）＋（y1＋y2）．例如，A（－5，4），B（2，－3），A⊕B＝（－5＋2）＋（4－3）＝－2．5．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若n－1/2≤x＜n＋./2，则<x>＝n，如<0.46>＝0，<3.67>＝4．6．对于实数a、b，定义一种运算“?”为：a?b＝a2＋ab﹣2．7．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．【典型例题】——定义新运算001．（13定西）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32﹣3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是．【解析】解：∵a★b＝a2﹣3a＋b，∴x★2＝ x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，解得：x1＝4，x2＝－1，则实数x的值是－1或4．故答案为：－1或4．【总结】根据新定义，表示出x★2，即可建立等量关系求出x的值．。
(精编版)2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题
2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末)用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10.则（-2）☆3的值为A．10 B．-15C. -16 D．-20答案：D二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有a∆b=a2b；当a＞b时，都有a∆b=ab2．那么，2△6 =，(-)△(-3)=．答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB>BC，M是弧ABC的中点，MF23⊥AB于F，则AF=FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC=60︒，AB=8，BC=6，MFADCBCEB D是AB上一点，BD=1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC=________°．答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，A图1图2两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a b例如：=ad-bc．c d1234=1×4-2×3=-2.5264的值．（1）按照这个规定，请你计算2x -4-21=5时求x 的值．2（2）按照这个规定，当x +2答案（1）5264=20-12=8 (2)（2）由2x -4x +2-21=52得1(2x -4)+2(x +2)=5 (42)解得，x =1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x =;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值．答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5∴x =52k +3∵k 是整数∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =a (a +b )-1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(-3)⊙(-5)＝-3⨯(-3-5)-1=23．（1）求(-2)⊙3的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝（用含m ，n 的式子表示）．1211=-2⨯(-2+3)-122=-4.（2）答案不唯一，例如：m ⊕n =m (n +1).答案解：（1）(-2)⊙39．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B的“确定圆”的示意图．．．．（1）已知点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,3)，则点A，B的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线y=x+b上只存在一个点B，使得的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P(m，0)为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y=-AB点A，B3x+3上，3若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．解：（1）25π；…………………2分（2）∵直线y=x+b上只存在一个点B，使得点A,B的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A的半径AB=3且直线y=x+b与⊙A相切于点B，如图，∴AB⊥CD，∠DCA=45°．①当b>0时，过点B作∵在C E AB'BD3l'xy l则点B在第二象限．BE⊥x轴于点E，Rt∆BEA中，∠BAE=45°，AB=3，32 2．∴BE=AE=（-∴B 3232，）．22②当b<0时，则点B'在第四象限．'同理可得B（322，-322）．32323232，）（，-）或．2222…………………6分（-综上所述，点B的坐标为（3）m≤-5或m≥11．y 1)与B(x2，y2)，10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点A(x1，如果满足x1+x2=0，y 1-y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C(3，4)y （1）下列各点中，与点C互为反等点；D(-3，-4)，E（3，4），F（-3，4）（2）已知点G（-5，4），连接线段CG，若在存在两点P，Q互为反等点，求点P的横取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线个交点互为反等点，求r的取值范围．解：(1)F……1分(2)-3≤xp ≤3且xp≠0……4分(3)4<r≤5……7分-6-5-4-3-2-1O6543211-1-2-3-4-5-623456线段CG上x坐标xp的段CG的两11.（2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=5，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．解：（1）①线段AB的伴随点是:P2,P3.………………………………………………2分②如图1，当直线y=2x+b经过点（-3，-1）时，b=5，此时b取得最大值.…………………………………………………………4分如图2，当直线y=2x+b经过点（-1，1）时，b=3，此时b取得最小值.………………………………………………………5分∴b的取值范围是3≤b≤5.………………………………………6分图2图11≤t≤2.……………………………………8分212．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为（2）t的取值范围是-图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫,⎪．2⎭⎝211，0)，E (0，1)，F (0，)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；22（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y =-x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．y65432165F 4321解：（1）点A 和线段BC 的“中立点”的是点7D ，点；………2O 分123456x12（2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、34半径为1的圆上运动.5因为点K 在直线y =- x +1上，6设点K 的坐标为（x ，- x +1），7则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.8所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）.………5分（3）（说明：点N 与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.）所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2.………8分13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点P '在C ，给出如下定义：若CC 上，则称P 为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点O (0,0)，M (1,2)，N (0,-3)中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y =-x 上，若P 为标的取值范围；（2）yTC P’OxA 的反射点，求点P 的横坐PC 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．A 的反射点是M ，N ．………………1分②设直线y =-x 与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交解（1）①点从左至右依次为D ，E ，F ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，G ，如图．可求得点D 的横坐标为-32．22232，，．222点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点P '在A 上，则OP =OP '.同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为-∵1≤OP '≤3，∴1≤OP ≤3．反之，若1≤OP ≤3，A 上存在点Q ，使得OP =OQ ，故线段PQ 的A 相交．因此点P 是A 的反射点．322，或≤x ≤-22垂直平分线经过原点，且与∴点P 的横坐标x 的取值范围是-232．………………4分≤x ≤22（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是-4≤x ≤4．………………7分14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设k =AQ +BQ ，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，CQ2AQ 2BQ（或）．CQ CQ特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ =BQ ，k =已知在平面直角坐标系xOy 中，Q (-1,0)，C (1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =2时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②A 2(1+2,0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r =1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =3时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线y =-3x +b 与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．yyA 1O QCA 2xO QCx图1备用图解：（1）①2．…………………………………………………………………………1分②是．……………………………………………………………………………2分（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ．∵Q (-1,0)，C (1,0)，r =1，∴CQ =2，CM =1．∴MQ =3．此时k =2MQ=3．……………………………………………………3分CQ图9图10②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）．作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴MQ +NQ =(MN +NQ )+NQ =2ND +2NQ =2DQ ．∵CQ =2，∴k =MQ +NQ 2DQ==DQ ．CQ CQ∴当k =3时，DQ =3．此时CD =CQ 2-DQ 2=1．假设⊙C 经过点Q ，此时r = 2．∵点Q 在⊙C 外，∴r 的取值范围是1≤r ＜2．……………………………………………5分（3）-3＜b ＜33．………………………………………………………………7分15.（2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA ⋅PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．(1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（2,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O ②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是⊙C 的“特．．．出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x的“特征点”是；b 的取值范围；轴，y 轴分别交征点”，直接写2,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分②如图，在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m ≤2.直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H.因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=22.可得b1=22.同理可得b2=-22.∴b的取值范围是:-22≤b≤22.…………………………………………………6分(2)x>3或x<-3.…………………………………………………………………………8分16.（2018北京平谷区中考统一练习）在点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为Hy43E21D–4–3–2–1O–1–2–3–412y=x+b234xy=x+b1平面直角坐标系xOy中，(x2,y2)，且x1≠x2，的两条对角线分别平行菱形”.AB为边的“坐标菱形”以CD为边的“坐标菱形”y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标（1）已知点A（2,0），B（0,23），则以的最小内角为_______；（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，为正方形，求直线CD表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3,m) .若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．解：（1）60； (1)（2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E．∴D（4,5）或(-2,5)． (3)∴直线CD的表达式为y=x+1或y=-x+3． (5)（3）1≤m≤5或-5≤m≤-1． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L2如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值给出Q 2Q 1PL 1图1O'MNPQ 1PQ2L 2心”．同心为总心”为O'．PQ 1为“曲似比”，点P 为“曲PQ2例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r 1、r 2（都是常数）的两个圆C 1、C 2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因r O 'M r1=是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为1，有“曲O 'N r 2r2C 2C 1图2（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx 与抛物线y =x 2、y =12x 分别交于点A 、B ，如图3所2示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“y =“y =过点使⊙不存12x ”改为212，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与mx ”m之间的关系式．解：（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．依题意可得A （k ,k 2）,B （2k ,2k 2）．………………………………………………2分因此D （k ,0），C （2k ,0）．∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，8∴AD ∥BC ．∴OA OD k 1===．OB OC 2k 21．…………3分26B∴两抛物线曲似，曲似比是4A2（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切．则OA=OC=2k，又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2，∴k2+（k 2）2=（2k）2．∴k=±3．（舍负）由对称性可取k=-3．综上，k=±3．…………………………6分（3）m的取值范围是m＞1，k与m之间的关系式为k 2=m2-1．………8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离.例如：点P（-3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4.（1）①点A（2，-5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y=-x-2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存．写出⊙O的半径解：（1）①在点M，使点M的最大距离为5，直接．r的取值范围.y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–55………………………1分②12345x±5………………………3分（2）∵点C的最大距离为5，∴当x<5时，y=±5，或者当y<5时，x=±5.………………4分分别把x=±5，y=±5代入得：当x=5时，y=-7，当x=-5时，y=3，当y=5时，x=-7，当y=-5时，x=3，∴点C（-5，3）或（3，-5）.………………………5分（3）5≤r≤52.…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy中，点A（0, 6），点B在x轴的正半轴上.若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X 矩形”.下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为.（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围.y y77A6655P4433备用图22Q11答案：（1）6；…………………………………………………………………………1分O123B45x（2）①B（6,0）………………………………………………………………………分x-1-1O1234526-1-1N（1,5）或N（5,1）…………………………………………………………4分y=5；……………………………………………………………………………5分x923或r>.…………………………………………………8分22②0<r<32-20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时，在点P 1（1,0），P 2（3,1），P 3（7,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；2（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E （2,2），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标x A的取值范围．答案：解：（1）P 2，P 3；………………2分（2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点；综上所述，4≤r ≤6．………………4分（3）-5+2≤x A≤-3，或2-1≤x A≤1．………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，31，），P 2（0，－2），P 3（5，0）中，⊙O 的“离心点”是；22②点P （m ，n ）在直线y =-x +3上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；①在点P 1（（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线y =-1x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .如果线段AB 上的2所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①P 2，P 3；……2分2②设P （m ,－m ＋3），则m +(-m +3)=5.…3分2解得m 1=1，m 2=2.……4分故1≤m ≤2.……6分（2）圆心C 纵坐标y C的取值范围为：1-25≤y C＜1-5或3＜y C≤4.……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且1≤PA≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．QA已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足tan ∠BAO =12，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．y5432y5432–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x解：（1）（2，0）(答案不唯一).………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得tan ∠OAM =1，并在AM 上取点N ，使2AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M 'N '，则由题意，线段MN 和M 'N '上的点是满足条件的点B .yNM AOx作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°.∴∠OAM =∠HMC .1∴tan ∠HMC =tan ∠OAM =.2MH HC 1∴==.HA MH 2设MH =y ，则AH =2y ，CH =H C M'N'1y ，2544∴AC =AH +CH =y =2，解得y =，即点M 的纵坐标为.5528又由AN =2AM ，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为，548故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：≤t ≤.……………3分5584由对称性，在线段M 'N '上，点B 的纵坐标t 满足：-≤t ≤-.……………4分558448∴点B 的纵坐标t 的取值范围是-≤t ≤-或≤t ≤.5555（3）-4-3≤b ≤-1或1≤b ≤4-3.………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(11，1)、N(1，)中，是“关系点”的；22(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写．．．．．．出⊙C的半径r的取值范围．解：(1)A、M.……………………………………………………………………………………2分(2)过点P作PG⊥x轴于点G…………………………………………………………………3分设P（x，2x）∵OG2+PG2=OP2………………………………………………………………………………4分∴x2+4x2=1∴5x2=1y1∴x=521O P5±∴x=5∴P(x–1G1–155，255)或P(-55，-25)……………………………………………………5分565或17<r≤541…………………………………………………………7分(3)r=y76543211234567891011x沟区第一学期期末调研试卷）以点P的一条射线PN，以它为对称轴向左右对PN1，PN2，∠N1PN2为点P的我们规定：“摇–4–3–2–1O–1 24、（2018北京门头–2为端点竖直向下–3–4称摆动形成了射线–5摆角”，射线PN摇摆–6PN2）.扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，在平面直角坐标系xOy中，点P(2,3).（1）当点P的摇摆角为60︒时，请判断O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(2+3,0)属于点P的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；5,0)（2）如果过点D(1,0)，点E(的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W的圆心坐标为(a,0)，半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60︒时的摇摆区域内，求a的取值范围．y备用图解：（1）点B，点C；…………………………………………2分O3分（2）90° (x)（3）当⊙W运动到摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1∵点P(2,3)的摇摆角为60°∴∠KPF=30︒，PF=3在Rt△PFK中，tan∠KPF=tan∠30︒=可求得KF=3∵∠KPF=30︒，∴∠PKF=60︒KF在PFyPQW，在Rt△PFK中，sin∠QKF=sin∠60︒=QKWO K W Fx可求得KW =233∴OW =OF -KF +KW =2-3+23=2-1333当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OW =2+133∴2-13≤a ≤2+1333yPQ'xF W K'O25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得P 、Q 之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点.（1）当O 的半径为1时，12①点P 3(0,3)中，1(,0),P 2(1,3),P O 的关联点有_____________________.O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.y 54321-5-4-3-2-1y 5432112345-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5xO-1-2-3-4-512345x备用图备用图答案：（1）P 1、P2………2分（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于P 1,P 2两点.线段P 1P 2上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此-3≤x ≤3.y543P1211P22345xO-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5…………………………………………………………6分（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点∴该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，22-1为半径的圆.综上所述，22-1≤r≤3.………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN，∵OM =ON =4，∴Rt △OMN 是等腰直角三角形．过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． ..........................................................3由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． .................................4∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ．.................................................5②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n =52；..... 6当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0； ................. 7∴m －n 的取值范围是0＜m －n ≤52．. (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(x 1,y 1)，点Q 的坐标为(x 2,y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．yQP Ox（1）已知点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(-3,0)，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为(0,3)，点D 在直线y =43上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线y =-3上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三x角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标x N的取值范围．解：（1）120º；……………………………………………………………2分（2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，43)或(-3，43)，进∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为(3，一步得直线CD的表达式为y =3x +3或y =-3x +3.…………………………………………5分（3）-3≤x N≤-1或1≤x N≤3.……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为d P.特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0.当⊙O 的半径为2时：（1）若点C -⎛1⎫,0⎪，D (3,4)，则d C =_________，d D =_________；⎝2⎭（2）若在直线y =2x +2上存在点P ，使得d P=2，求出点P 的横坐标；（3）直线y=-3x+b(b>0)与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得2≤dP<3，3请你直接写出b的取值范围.答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(2,2)，B(2,-2)．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q'落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P(4,-1)．①在Q1(1,-1)，Q2(1,1)两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；②若点M在直线y=x-1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；（2）已知点C(3,3)，⊙C的半径为r，点D(4,0)，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE 与⊙C相切，求半径r的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A(-2,0)，点B(1,1)，点C(-1,-2)，则A、B、“横长”a=|1-(-2)|=3，A、B、C三点的“纵长”C三点的y4321B4xA–4–3–2–1O123–1C–2–3–4b =|1-(-2)|=3.因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5)，S (3，-2)，T (-4，-3)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l ：y =1x +m 上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．2y 543245x5432yD A–5–4–3–2–1O 123–1–2–3–4–511D A–5–4–3–2–1O 123–1–2–3–4–545x（备用图）解：（1）点R ………………………1分（2）−2或3………………………3分（3）①画出如图所示的图像………………………5分②m ≥y 54321A D–5–4–3–2–1O 123–1–2–3–4–545x5或m ≤-2………………………7分231、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（-22，）中，直线m 的平行点是；22②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线y =3x 的平行点，直接写出n 的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3……………………………………………………………………2分②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°.所以OB=2.直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q.连接OQ1，作Q1N⊥y轴于点N，可知OQ1=10.在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3.所以BQ1=2.在Rt△BHQ1中，可求NQ1=NB=2.所以ON=22.所以点Q1的坐标为（2，22）.同理可求点Q2的坐标为（-22，-2）.……………………………4分如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为（22，2）点Q4的坐标为（-2，-22）.………………………………………………………6分综上所述，点Q的坐标为（2，22），（-22，-2），（22，2），（-2，-22）.（2）-32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线y=距离相等.如图1所示，若点P是抛物线y=4343≤n≤.……………………………………………………………8分3312x上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y=-1的412x上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH.4基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y=关联点.121x的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线y=x2的44-4)中，抛物线y=0)，M2(1，2)，M3(4，5)，M4(0，（1）在点M1(2，12x的关联点是______；41)，点A(t+1，3)C(t.（2）如图2，在矩形ABCD中，点A(t，①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线y =②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线y =12x 的关联距离d 的取值范围；412x 的关联点，则t 的取值范围是__________.4(1)M 1，M 2；-----------------------------------------------------------------2分（2）①当t =4时，A (41，，3)，D (4，3)，)，B (51)，C (5，此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线y =∴d =MF .∴AF ≤d ≤CF .∵AF =4，CF =29，∴4≤d ≤29.---------------------------------------------------------------------------------- 5分②-23≤t ≤23-1.------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”.13（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－2，2），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为5，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线y =-12x 的下方，44x +4与3x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围.解：（1）①F ，M .………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分）（2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H .∵PH =1，QH =n ，PQ =5222∴由勾股定理得，PH +QH =PQ 即1+n =22(5)2解得，n =2或－2.………………………………………………………4′（3）由y =-∴可得AB =5I.如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .则DT ⊥AB ，∠DTB =90°∵sin ∠OBA =D O4x +4，知A （3，0），B （0，4）3y BT H 1AxOA DT=AB BD图2(1)6∴可得DT =DH 1=5∴m 1=y6…………………………………………………5′5BII.如图2（2）,当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13……………………6′综合I ，II 可得：-13≤m ≤-34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点P (x 1,y1)与Q D OAH 2x66或≤m ≤13………………………………8′55图2(2)(x 2，y 2)之间的“直距”定义为：DPQ=x 1-x 2+y 1-y2.例如：点M （1，-2），点N （3，-5），则D MN已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则DAO=1-3+-2-(-5)=5.=_______，D BO =_______；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得DCO 为2，请你求出点C 的坐标；（3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出D EO的取值范围.y654321答案.（1）DAO=1，DBO=5；………………分54321O 123456x7261（2）如图：23解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x 4+2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则x +-2x +2=2，则点C 的坐标为（0，2）或(,-).7+2.解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x8564323点C 与点O 之间的“直距D CO”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2）或(,-).………………5分（3）D EO的取值范围为4-22≤DEO≤5+32………………7分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任4323意两点(a ,b 1)，(a +1,b 2)，b 2-b 1≥k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y =-x +2，当x 取值a 和a +1时，函数值分别为b 1=-a +2，b 2=-a +1，故b 2-b 1=-1≥k ，因此函数y =-x +2是限减函数，它的限减系数为-1．（1）写出函数y =2x -1的限减系数；（2）m>0，已知y=1（-1≤x≤m,x≠0）是限减函数，且限减系数k=4，求m的取值范围．x（3）已知函数y=-x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y=-x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥-1，直接写出P点横坐标n的取值范围．答案28．解：（1）函数y=2x-1的限减系数是2；（2）若m>1，则m-1>0，（m-1，11）和（m，）是函数图象上两点，m-1m111-=-<0，与函数的限减系数k=4不符，∴m≤1．m m-1m(m-1)若0<m<111，（t-1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t≤m，2t-1t111-=，t t-1-t(t-1)11111∵-t(t-1)>0，且-t(t-1)=-(t-)2+≤-(m-)2+<，2424411∴->4，与函数的限减系数k=4不符.t t-11∴m≥．2111若≤m≤1，（t-1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0<t≤m，2t-1t111-=，t t-1-t(t-1)111∵-t(t-1)>0，且-t(t-1)=-(t-)2+≤，2441111=≥4，当t=时，等号成立，故函数的限减系数k=4．∴-t t-1-t(t-1)2∴m的取值范围是（3）-1≤n≤1．1≤m≤1．236．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数a,b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.（1）若a=2,b=1,直接写出a,b的“如意数”c；（2）如果a=m-4,b=-m,求a,b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0232（3）已知a=x-1(x≠0)，且a,b的“如意数”c=x+3x-1,，则b=(用含x的式子表示).解：（1）c=22+1.2分（2）a =m -4,b =-m∴c =(m -4)⨯(-m )+(m -4)+(-m )=-m 2+4m -4∴c ≤0⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分（3）b =x +26分4分c =-m 2+4m -4=-(m -2)237.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整数，例如：[9]=3，[10]=3.[][](1)仿照以上方法计算：4=_______;26=________.[]（2）若x =1，写出满足题意的x 的整数值______________.[a ]表示不大于a 的最大整数，称[a ]如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次10=3→3=1，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________.解：(1)2, 5(2)1,2,3(3) 3(4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.[][]x -1a -2b x +y a 2-b 2（1）下列分式:①2；②2；③2；④.其中是“和谐分式”是(填写序号即可)；222x -y x +1a -b (a +b )x -1（2）若a 为正整数，且2为“和谐分式”，请写出a 的值;x +ax +44a 2a b-÷时，（3）在化简23ab -b b 4小东和小强分别进行了如下三步变形:22234a 2a 44a 24a4a b -4a (ab -b )=-⨯=-小东：原式=2232ab -b 3b b ab 2-b 3b 2ab-b b ()24a 2a 44a 24a 4a -4a (a -b )-⨯=2小强：原式=2-2=32ab -b b b b (a -b )b (a -b )b 显然，小强利用了其中的和谐分式,第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简.解：（1）②………………1分（2）4，5………………3分（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母. ………………4分4a 2-4a 2+4ab 原式=2(a -b )b =4a 4ab 4a=………………5分=(a -b )b 2(a -b )b ab -b 239．（2018北京市西城区八年级期末附加题）我们把正n 边形（n ≥3）的各边三等分，分别以居中的那条。
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2019中考数学复习高频考点 定义新运算类型考题真题专项练习
一.选择题.
1. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”．如“947”
就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1、3、4、5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是（ ） A ．1
4
B ．
310
C ．12
D ．34
2. 对于非零的两个实数a 、b ，规定a
b b a 1
1-=
⊕，
若1)12(2=-⊕x ，则x 的值为（ ） A ．65 B ．45 C ．23 D ．6
1-
3. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对
称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线。
有下列命题： ①直线y=0是抛物线24
1x y =的切线；
②直线x=－2与抛物线24
1x y =相切于点（－2，1）；
③若直线y=x+B 与抛物线24
1x y =相切，则相切于点（2，1）；
④若直线y=kx －2与抛物线24
1x y =相切，则实数k=2.
其中正确的命题是（ ）
A ．①②④
B ．①③
C ．②③
D ．①③④
4. 定义：f(a ，b)=(b ，a)，g （m ，n ）=（－m ，－n ），例如f (2，3)=(3，2)，g （－1，－4）
=（1，4）则g （f （－5,6））等于（ ） A ．（－6,5）
B ．（—5，—6）
C ．（6，—5）
D ．（—5，6）
5.规定：如果关于的一元二次方程
（
）有两个实数根，且其中
一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
现有下列结论. ①方程
是倍根方程；
②若关于的方程
是倍根方程，则
；
③若关于的方程（）是倍根方程，则抛物线与轴的
公共点的坐标是和
；
④若点
在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程。
上述结论中正确的有( )
A:
B:
C:
D:
6.设，是实数，定义关于的一种运算如下：，则下列结论：①
若
，则
或
；②
；③不存在实数，，满足
；
④设，是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当时，
的值最大。
其中正确
的是（ ）.
A: ②③④ B: ①③④ C: ①②④ D: ①②③ 7. 在平面直角坐标系中，任意两点，。
规定运算：①
；②
；③当
且
时，。
有下列四个命题：（1）若
，
，则
，
；（2）若
，则
；（3）若
，
则
；（4）对任意点、、，均有成立。
其中正确命题的个
数为（ ）.
A. 1个
B. 2个
C.3个
D.4个
8. 在平面直角坐标系中，任意两点，。
规定运算：①
；②
；③当
且
时，。
有下列四个命题：（1）若
，
，则
，
；（2）若
，则
；（3）若
，
则
；（4）对任意点、、，均有成立。
其中正确命题的个
数为（ ）.
A. 1个
B. 2个
C.3个
D.4个
9. 定义：平面内的直线1l 与2l 相较于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l ，2
l 的距离分别为a 、b ，则称有序非负实数对(a ,b )是点M 的“距离坐标”.根据上述定义，
距离坐标为(2,3)的点的个数是( ) A ．2
B ．1
C ．4
D ．3
二．填空题.
1. 规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[3
2
]＝0，[3．14]＝3．按此规定
[10＋1]的值为 ．
2. 若11221212(,)(,)=+x y x y x x y y ，则(4,5)(6,8)= .
3.我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一平面内有两个边长 相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时重心距为2，那么当它们的一对角 成顶角时重心距为 .
4. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．．．．．．现有一个对角线分别为6和8的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ．
5. 将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b
c d ，定义
a c
b d
=a d －bc ，上述极好就叫做二阶行列式．若
1 181 1x x
x x +-=-+，则 x = ． 6. 已知实数、、满足，有下列结论：①若
，则
，②若
，则
，③若
，则
，④若、、中只有两个数相等，则。
其
中正确的是 。
（把所有正确结论的序号都选上）
7. 如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、 弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长 是 .
8. 新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关 联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程11
x -＋1m
＝1的解
为__ __．
9. 若规定一种运算为：a ★b ＝2(b －a )，如3★5＝2(5－3)＝22．则2★ 3 ＝_________． 三.解答题.
1. 如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ct an α, 即ct an α=
BC
AC
=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，
解下列问题：
（1）ct an 30◦= ；
（2）如图，已知t anA =4
3
，其中∠A 为锐角，试求ct anA 的值．
2. 观察图形，解答问题：
第19题图
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图① 图②
图③
三个角上三个数
的积 1×(－1)×2=－2
(－3)×(－4)×(－5)=－60
三个角上三个数
的和 1＋(－1)＋2=2 (－3)＋(－4)＋(－5)=－
12 积与和的商
－2÷2=－1,
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y 和图⑤中的数x ．
y
x 22题图
3. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB ．则点P 为△ABC 的准外心．
应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD=1
2
AB ，求∠APB 的度数．
探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．
C
A
B
P
D
B
C
A
图1
图2
4. 如果一条抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形成为这条抛物线的“抛物线三角形”. (1) “抛物线三角形”一定是_________三角形；
(2)若抛物线2(0)y x bx b =-+>的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值； (3)如图，△OAB 是抛物线2(0)y x b x b =-+''>的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由.
5. 如图，定义：若双曲线=(>0)k y k x
与它的其中一条对称轴y =x 相交于A 、B 两 点，则线段AB 的长称为双曲线=(>0)k y k x
的对径． （1）求双曲线1=y x
的对径；
（2）若某双曲线=(>0)k y k x
的对径是102，求k 的值； （3）仿照上述定义，定义双曲线=(<0)k y k x
的对径．
6. 如图1，矩形MNPQ 中，点E 、F 、G 、H 分别在NP 、PQ 、QM 、MN 上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则称四边形EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形。
图2、图3、图4中，四边形ABCD 为矩形，且AB =4，BC =8。
理解与作图：
（1）在图2、图3中，点E 、F 分别在BC 、CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD 的反射四边形EFGH . 计算与猜想：
（2）求图2、图3中反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是
A
B O y
x
否为定值？
启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想。