沪科版数学九年级下册24.4 直线与圆的位置关系 同步教案

直线与圆的位置关系
教学目标：
1.从具体的事例中认识和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义．会用定义来判断直线与圆的位置关系．
2.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力.
3.使学生了解切线长的概念和切线长定理.会根据切线长的知识解决简单的问题.
教学重、难点：
重点：
1.直线和圆的三种位置关系.
2.切线的性质定理和判定定理概念.
3.切线长定理概念.
难点：
1.直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用.
2.理解运用切线的判定定理解决问题.
3.切线长定理的应用.
教学过程：
一、直线和圆的三种位置关系
1.复习导入、回顾旧知
点和圆的位置关系有哪几种？
如何判定点和圆的位置关系？
2.创设情境，提出问题
首先利用唐诗中的“大漠孤烟直，长河落日圆”体会这里蕴涵的数学意境，再让学生观察太阳升起的过程，我们能发现什么？引出课题.
3.探究发现，建构知识
练习一
让学生动手在纸上画一个圆，把直尺的一边看作直线，移动直尺．通过实验，观察直线和圆的位置关系会有哪几种情况？公共点最少时有几个？最多时有几个？引导学生说直线与圆的公共点个数的变化情况，由此给出相离、相切、相交的定义．
设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；
(2)当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；
(3)当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
(4)当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；
(5)当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含.
利用刚学过的知识判断直线与圆的位置关系
(1)直线与圆最多有两个公共点．( )
(2)若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内．( )
(3)若A.B 是⊙O 外两点，则直线AB 与⊙O 相离．( )
根据例题引出“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样类比迁移进行数量分析？
接下来复习提问什么叫点到直线的距离，连结直线外一点与直线上所有点的线段中，最短的是垂线段．
思考问题：设⊙o 的半径为r ，直线a 到圆心o 的距离为d ，在直线和圆的不同位置关系中，d 与r 具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d 与r 的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？
4.例题解析
例1如图24-43，.Rt △ABC 的斜边AB=10cm ，.∠A=30°.
（1）以点C 为圆心作圆，当半径为多少时，AB 与⊙C 相切？
（2）以点C 为圆心、半径r 分别为4cm 和5cm 作两个圆，这两个圆与斜边AB 分别有怎样的位置关系？
解（1）过点C 作边AB 上的高CD.
∵∠A=30°，.AB=10cm ，. ∴11105cm 22===()BC AB
在Rt △BCD 中，有
5sin 5sin 603cm 2o ==()CD BC B 532时，AB 与⊙C 相切.
（2）由（1）可知，圆心C 到AB 的距离
532d 当r ＝4cm 时，d>r ，⊙C 与AB 相离；
当r ＝5cm 时，d<r ，.⊙C 与AB 相交．
二、切线的判定和性质
（一）切线的性质定理
做一做：画一个圆O 及半径OA ，画一条CD 经过⊙O 的半径的外端点A ，
且垂直于这条半径OA ，这条直线与圆有几个交点？
从图中可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l 是圆的切线．
切线的判定方法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
思考：
如图1，直线AB 垂直于半径OC ，直线AB 是⊙O 的切线吗？
如图2，直线AB 垂直于半径OC ，直线AB 是⊙O 的切线吗？ 图
1C B A O
图2C B
A
O
如上图，如果直线CD 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么半径OA 与CD 垂直吗？
由于CD 是⊙O 的切线，圆心O 到直线CD 的距离等于半径，所以OA 是圆心O 到AB 的距离，因此CD AB ⊥.
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
例2如图24-45，点P 为⊙O 上任一点，过点P 作直线l 与⊙O 相切．
作法
1.连接OP ．
2.过点P 作直线l ⊥OP.
则直线l 即为所作.
（二）切线的判定定理
推导定理：根据“直线和⊙O 相切⇔d=r”，如图所示，.因为d=r ⇒直线和⊙O 相切，
这里的d是圆心O到直线的距离，即垂直，并由d=r就可得到经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
分析：垂直于一条半径的直线有几条？
经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？
去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？
思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？
总结：①这条直线与⊙O有公共点；
②过这点的半径垂直于这条直线．
思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？
①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
③上面的判定定理.
思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
2.定理应用
例3已知：如图24-46，∠ABC=45°，.AB是⊙0的直径，AB=AC.
求证：AC是⊙O的切线．
证明∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
三、切线长定理
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1.切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O 的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2.观察
利用PPT来展示P的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3.猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB．
4.证明猜想，形成定理．
猜想是否正确.需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角．
例4如图24-47，点P为⊙O外一点，过点P作直
线与⊙O相切．
作法
1．连接OP.
2．以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，.B.
3．连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作．
例5已知：如图24-49，四边形ABCD的边AB，.BC
CD，.DA和⊙O分别相切于点E，.F，.G，.H.
求证：AB+CD=DA+BC.
证明∵AB，.BC，.CD，.DA都与⊙O相切，E，.F，.G，.H是切点，∴AE=AH，.BE=BF，.CG=CF，.DG=DH.
四、课堂小结
通过本节课你学会了什么，引导学生进行课堂小结，因此得出：
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
(1)根据定义，定义法：由直线与圆的公共点的个数来判断；
(2)根据性质，数量法：由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．
让学习了圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力，并能通过作简单的辅助线去解决某些问题.
理解切线长定理，会灵活运用它解决问题.。