材料力学梁的弯曲变形第2节 确定梁位移的积分法
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学-弯曲变形
错！
错！
当弯矩方程需要分段建立时，在相邻梁
段的交接处，应具有相同的挠度和转角。
例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和 最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。
P125 例6-1
边界条件
x = 0 时： w0
w 0
M (x) F (l x) EIw M (x) F (l x)
C1x
D1
DB段（ a ≤x ≤l ）：
M 2 (x)
Fb l
x
F(x
a)
EIw2
Fb l
x
F
(x
a)
EIw2
EIq 2
Fb l
x2 2
F
(x a)2 2
C2
EIw2
Fb l
x3 6
F
(x
a)3 6
C2 x
D2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
等直梁： E I w ＝－ M(x)
E I 为常量 EIq M (x) dx C 积 分
EIw [ M (x) dx] dx Cx D 法
积分常数由边界条件、连续条件确定。
挠曲线上某些点的已知位移（挠度和 转角）条件 —— 边界条件
wA ＝ 0 wB ＝ 0
wA ＝ 0
qA ＝ 0
挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠 度和转角 —— 连续条件
wB (q ) ＋ wB (FB ) ＝ 0
wB ＝
ql 4
8EI
－
FBl 3
3EI
＝
0
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
材料力学(土木类)第五章 梁弯曲时的位移(2)
逆时针） （逆时针）
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
3 3 3
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角 截面的挠度和转角。 自由端 截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
原荷载可看成为图a和 两种荷载的叠加 两种荷载的叠加， 解：原荷载可看成为图 和 b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 的变形和相关量如图所示。
Fl θ C1 = 2 EI
2
3
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时 截面的挠度和转角为： 截面的挠度和转角为
Fl 3 Fl 2 4 Fl 3 wB1 = wC1 + θ C1 ⋅ BC = + × 2l = 向下） （向下） 3EI 2 EI 3EI Fl θ B1 = θ C1 = 2 EI
q ( x) x 2 dθ B = dθ ( x) = dx 2 EI
范围对q(x)dx的作用进行叠加，相当于 的作用进行叠加， 在x=0, l范围对 范围对 的作用进行叠加 对上两式在前述范围内积分， 对上两式在前述范围内积分，即：
wB = ∫ d wB = ∫
0
l
l
0
11q 0 l q ( x ) x (3l − x ) dx = 6 EI 120 EI
上次课回顾： 上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 度量梁变形的两个基本位移量： 2、挠曲线近似微分方程
EIw′′ = − M ( x )
3、挠曲线近似微分方程的积分 、
EIw ' ( x ) = ∫ ( − M ( x )) dx + C1
EIw ( x ) =
梁位移
EI z
2
y(x) 1 (1 Plx2 1 Plx3)
EI z 2
6
ymax
y(l)
1 EIz
(1 2
Pl3
1 6
Pl3)
Pl3 3EIz
()
max
(l)
1 EIz
(Pl2
1 2
Pl2)
Pl2（逆时针） 2EIz
9
例2：求此梁的转角方程和挠度方程，确定最大转角，挠度。
由于梁变形后横截面仍垂直于轴线，因此任一截面的转角，
也可用截面形心处挠曲线的切线与x轴的夹角来表示。
则有： (切线) dy(x) tg
dx
因很小，可写成 tg
(x) dy(x) y
dx
即：任一横截面的转角 等于该截面处挠度y 对x的一阶导数，只
要知道梁的挠曲线方程，则可确定任一点的挠度和截面的转角。
分布力等时， 应该分段积分。每一个分段中都有两个积分常数，
它们要满足连续变形条件。
7
例1：9.1 求挠度方程和转角方程，并确定最大值。
解：确定支座反力：
RA P MA Pl
弯矩方程：
M (x) Pl Px
挠度、转角方程：
EIz (x) (Pl Px)dx C
因分段（x=a）处曲线连续变形，
y11
(a) (a)
y2
2
(a) (a)
C1
C2
Pb 6l
(b2
l2)
y1
y2 (x)
(x)
材料力学：梁弯曲时的位移
Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
C1=0 C2=0
(3)
(4)
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Flx Fx 2 w' EI 2 EI
Flx 2 Fx3 w 2 EI 6 EI
24
F
A B x
w
max
l
θ max
y
max 及 wmax都发生在自由端截面处
M ( x) EI
12
(1 w' )
2
3
2
M
M
在规定的坐标系中，x 轴水平向右 为正，y 轴竖直向下为正。 曲线向下凸 时 ： w’’< 0 , M > 0 曲线向上凸 时 : w’’ > 0 , M < 0
y
M>0
w" 0
o
M
x
M
M<0
因此, M 与 w’’ 的正负号相反 y
w" 0
挠曲线方程为
w w( x)
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，w 为该点的挠度。
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
5
三、挠度与转角的关系：
A
C
B
x
w挠度
挠曲线
y
C'
转角
tg w' w' ( x)
6
四、挠度和转角符号的规定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自 x 转至 切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
w 挠度
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
04-8.2 积分法求梁的变形
材料力学大连理工大学王博积分法求梁的变形积分法计算梁的变形每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，须确定它们积一次分： 积两次分：挠曲线微分方程： EIMw"=C x EIMw'+==⎰d θ⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛=DCx x x EI M w d d积分常数的确定1.边界条件 —— 约束条件挠曲线必须正确地通过约束点2. 连续条件 —— 相邻挠曲线必须光滑连接x = 0, w = 0 x = l , w = 0 x = 0 , w = 0 θ = 0lxBAlxBA例题1：写出确定积分常数的条件边界条件 : x = 0, w 1 = 0w 1′ = 0 x=a+l , w 2= Δl CDa l l xABC Dyq12连续条件 : x = a , w 1= w 2例题2已知：EI = 常数求：1. 挠度、转角方程 2. w max , θmax3. 画挠曲线大致形状 解：1. 建立坐标系EIw = -Flx 2/2 + Fx 3/6+C x+DEIw ′ = -Flx +Fx 2/2+CEIw ″ = M(x)= - Fl + Fx 4.列挠曲线近似微分方程并积分M(x)= -Fl+Fx （0<x ≤l ）3.列弯矩方程2. 求支反力 Fxy F lx BA F AM AF A =F （↑）, M A =Fl （ ）5. 确定积分常数6. 确定转角方程和挠曲线方程7. 求w max , θmaxx = 0 , w = 0 D = 0x = 0 , w’ = 0 C = 0xy FlxB A )2(2x l EI Fxw'--==θ)3(62x l EIFx w --=EIFll x B 2,2max-===θθ33max Fl x l ,w EI ==-（ ） （ ）EIw = -Flx 2/2 + Fx 3/6 +C x+DEIw ′ = -Flx +Fx 2/2+C例题3已知：EI = 常数求：1. 挠度、转角方程 2. w max , θmax 3. 画挠曲线大致形状 解：1. 建立坐标系F A =2F /3（↑）, F B =F /3（↑） EIw 1= F A x 3/6＋C 1 x ＋D 1 EIw 1′= F A x 2/2＋C 1EIw 1″= F A x 4.列挠曲线近似微分方程并积分M 1=F A x （0≤x ≤a ） 3.列弯矩方程 EIw 2″= F A x －F (x －a )EIw 2′= F A x 2/2 －F (x －a )2/2 ＋C 2EIw 2= F A x 3/6 －F (x －a )3/6＋C 2x ＋D 2M 2= F A x －F (x －a ) （ a ≤x ≤3a ） 2.求支反力2aay xA F C BxxF A F B5. 确定积分常数x= 0 , w 1= 0 —D 1= 0x = 3a , w 2 = 0 —C 1 = C 2 = －5Fa 2/96. 确定转角方程和挠曲线方程EI θ1=Fx 2/3－ 5Fa 2/9 EIθ2=Fx 2/3－F (x －a )2/2－ 5Fa 2/9 EIw 1=Fx 3/9－ 5Fa 2x /9 EIw 2=Fx 3/9－F (x －a )3/6－ 5Fa 2x /9 （0≤x ≤ a ） （ a ≤ x ≤3a ）x =a , w 1′= w 2′ —C 1 = C 2w 1 = w 2 — D 1 = D 2 = 0EIw 1= F A x 3/6＋C 1 x ＋D 1EIw 2= F A x 3/6 －F (x －a )3/6＋C 2x ＋D 22aa y x A F C Bx xF A F B2aay xA F CB xxF AF B8.画挠曲线大致形状 可根据约束和载荷画出7. 求w max , θmax)(95,02max ↵===EI Fa x A θθEIFa a x B 94,32==θ00'22=⇒=θw )(4838.03max↓=EIFa w ax 367.1=简支梁在挠曲线无拐点时 可用中点挠度代替最大挠度对比, 梁的中点D接近最大挠度（误差1％）1，最大挠度的计算2aay xAF CB F A F B1.5a1.367a w maxw D)(4838.0,367.13max↓==EIFa w a x )(4792.03↓=EIFa w D 讨论：2.画挠曲线大致形状依据如下条件：1. 约束条件2. 载荷情况，作出M图3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定M>0,则凹M<0,则凸一段M= 0,直线一点M= 0,拐点4. 光滑连续特性《咏挠曲线》挠挠挠曲线弯矩图光连和支座正负有凹凸13FlFlMM e M eA B C Dl l l哪一个是正确的？DCA BMM e。
工程力学第2节 确定梁位移的积分法
例10-3 如图图示简支梁， l 4m ，弯曲刚度EI 1640N m2。在无限接近右支座 B 处受到矩为的集中 力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方 程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和 位移方程 x
Me FA FB l
梁的弯矩方程为
5
3
4
令 x 0，得B截面的挠度为
ql yB （ ） 30 EI
Me 2 x C (1) 将上式一次积分得转角 y' 2EIl
Me M ( x) x l
转角方程
Me 2 y' x C 2EIl
(1)
再次积分，可得挠度方程：
Me 3 y x Cx D (2) 6EIl 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0 M el D0 C 6EI M e 2 M el 2 0 . 00915 x 0.0488 x 2EIl 6EI M e 3 M el 3 x 0.0488x y x x 0.00305 6EIl 6EI
再次积分，可得挠度方程：
1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24
1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6 1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
补充例 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨 度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠度。 解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为
x q( x) q l
(0 x l )
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挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
y
M (x) EI
dx
C
积分二次得挠度方程：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
转角方程
y
M (x) EI
dx
C
挠度方程
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
• 式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面
位移）确定：
简支梁： yA 0, yB 0
悬臂梁： A 0, yA 0
• 由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
例6-1 如图所示车床上被加工圆轴，l 240 m ， d 22 m，E 210GPa 。已知切削力 F 240 N ，试
qx5 ql3 x ql 4
y
120 EIl 24EI 30EI
令 x 0，得B截面的挠度为
yB
ql （） 30EI
求自由端 B 的转角和挠度，并计算因弯曲变形而引起
的直径误差。
解： 弯矩方程
M (x) F(l x)
挠曲线微分方程
y
F(l EI
x)
一次积分得转角
x
1 (Flx 1 Fx2) C
EI
2
转角方程 Fl x F x2 C (1)
EI 2EI
挠度方程
y Fl x2 F x3 Cx D (2) 2EI 6EI
D0
1 (1 qlx2 1 qx3 ql3 )
EI 4
6
24
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ql3 x)
EI 12
24
24
故有
yC
5ql4 384EI
()
A
ql 3 24
(顺 时 针 转 动)
例6-3 如图图示简支梁，l 4m，弯曲刚度 EI 1640 N m2。在无限接近右支座 B 处受到矩为的集中
边界条件： x 0 时
Fx (2l x)
yA 0 ，A 0
C0 D0
2EI y Fx2 (3l x)
6EI
B
yB
Fl2 2EI
1.91103 rad 0.109o
yB
Fl3 3EI
3.06104 m
0.306mm
因弯曲变形而引起圆轴直径误差 d 2yB 0.612 mm
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ) Cx D
EI 12
24
1 (1 qlx2 1 qx3) C
EI 4
6
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ) Cx D
EI 12
24
边界条件：x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
C ql3 24EI
1 EI
(
x3 6l
q)dx C
qx4 24EIl
C
再次积分，即得挠度方程
y
1 EI
(
qx4 )dx 24EIl
Cx
D
qx5 120EIl
Cx
D
边界条件：x l 时， A 0 ，yA 0
C ql3 24 EI
梁的挠度方程
ql 4 D
30 EI
(2) 梁的最大挠度 最大挠度点的条件
C 0
y max
C
令 Me x2 Mel 0.00915x2 0.0488 0
2EIl 6EI
解得
xC
l 2.31m 3
ymax
Me 6EIl
xC3
Mel 6EI
xC
0.00305xC3
0.0488xC
M el2 9 3EI
75.1 mm
( )
补充例 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨 度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠度。
解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为
q(x) x q
l
AB梁的弯矩方程为
x
M (x) x3 q (0 x l) 6l
将上式一次积分得转角方程
力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方
程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和
位移方程
x
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程为
M (x) Me x
l
将上式一次积分得转角
y'
Me
x2 C
(1)
2EIl
转角方程
y' Me x2 C (1)
例6-2 如图所示简支梁，跨度为 l，受均布载荷 q 作用，梁的抗弯曲刚度 EI 已知，求跨中截面 C 的
挠度及截面 A 处的转角。
解：梁的弯矩方程为：
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
x
C
将上式一次积分得转角：
1 (1 qlx2 1 qx3) C
EI 4
6
再次积分，可得挠度方程：
2EIl
再次积分，可得挠度方程：
y
Me 6EIl
x3
Cx
D
( 2)
边界条件：x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
D0
C Mel 6EI
Me x2 Mel 0.00915x2 0.0488
2EIl 6EI
y Me x3 Mel x 0.00305x3 0.0488x 6EIl 6EI
y M (x) EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
y
M (x) EI
dx
C
积分二次得挠度方程：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
转角方程
y
M (x) EI
dx
C
挠度方程
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
• 式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面
位移）确定：
简支梁： yA 0, yB 0
悬臂梁： A 0, yA 0
• 由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
例6-1 如图所示车床上被加工圆轴，l 240 m ， d 22 m，E 210GPa 。已知切削力 F 240 N ，试
qx5 ql3 x ql 4
y
120 EIl 24EI 30EI
令 x 0，得B截面的挠度为
yB
ql （） 30EI
求自由端 B 的转角和挠度，并计算因弯曲变形而引起
的直径误差。
解： 弯矩方程
M (x) F(l x)
挠曲线微分方程
y
F(l EI
x)
一次积分得转角
x
1 (Flx 1 Fx2) C
EI
2
转角方程 Fl x F x2 C (1)
EI 2EI
挠度方程
y Fl x2 F x3 Cx D (2) 2EI 6EI
D0
1 (1 qlx2 1 qx3 ql3 )
EI 4
6
24
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ql3 x)
EI 12
24
24
故有
yC
5ql4 384EI
()
A
ql 3 24
(顺 时 针 转 动)
例6-3 如图图示简支梁，l 4m，弯曲刚度 EI 1640 N m2。在无限接近右支座 B 处受到矩为的集中
边界条件： x 0 时
Fx (2l x)
yA 0 ，A 0
C0 D0
2EI y Fx2 (3l x)
6EI
B
yB
Fl2 2EI
1.91103 rad 0.109o
yB
Fl3 3EI
3.06104 m
0.306mm
因弯曲变形而引起圆轴直径误差 d 2yB 0.612 mm
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ) Cx D
EI 12
24
1 (1 qlx2 1 qx3) C
EI 4
6
y 1 ( 1 qlx3 1 qx4 ) Cx D
EI 12
24
边界条件：x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
C ql3 24EI
1 EI
(
x3 6l
q)dx C
qx4 24EIl
C
再次积分，即得挠度方程
y
1 EI
(
qx4 )dx 24EIl
Cx
D
qx5 120EIl
Cx
D
边界条件：x l 时， A 0 ，yA 0
C ql3 24 EI
梁的挠度方程
ql 4 D
30 EI
(2) 梁的最大挠度 最大挠度点的条件
C 0
y max
C
令 Me x2 Mel 0.00915x2 0.0488 0
2EIl 6EI
解得
xC
l 2.31m 3
ymax
Me 6EIl
xC3
Mel 6EI
xC
0.00305xC3
0.0488xC
M el2 9 3EI
75.1 mm
( )
补充例 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨 度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠度。
解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为
q(x) x q
l
AB梁的弯矩方程为
x
M (x) x3 q (0 x l) 6l
将上式一次积分得转角方程
力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方
程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和
位移方程
x
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程为
M (x) Me x
l
将上式一次积分得转角
y'
Me
x2 C
(1)
2EIl
转角方程
y' Me x2 C (1)
例6-2 如图所示简支梁，跨度为 l，受均布载荷 q 作用，梁的抗弯曲刚度 EI 已知，求跨中截面 C 的
挠度及截面 A 处的转角。
解：梁的弯矩方程为：
M (x) 1 qlx 1 qx2 22
x
C
将上式一次积分得转角：
1 (1 qlx2 1 qx3) C
EI 4
6
再次积分，可得挠度方程：
2EIl
再次积分，可得挠度方程：
y
Me 6EIl
x3
Cx
D
( 2)
边界条件：x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
D0
C Mel 6EI
Me x2 Mel 0.00915x2 0.0488
2EIl 6EI
y Me x3 Mel x 0.00305x3 0.0488x 6EIl 6EI