热力学与统计物理最难的一章的课件

< TC
时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略 该能级上的粒子数是很大的数值，
解决办法
N = N ε =0 + N ε >0
N 0 = N ε =0 = N − N ε >0
1
3 ∞ ε 2 dε T 32 2πV N ε > 0 = 3 ( 2m ) 2 ∫ ε = N( ) 0 TC h kT e －1 3 3 T 2 T 2 N 0 = N [1 − ( ) ], 即n0 = n[1 − ( ) ] T0 T0
§ 8.2
弱简并玻色气体和费米气体
本节以分子的平动自由度为例，讨论弱简并条件（ 本节以分子的平动自由度为例，讨论弱简并条件（ e−α或 nλ3虽小但不可忽略）下的玻色气体和费米气体的性质， 虽小但不可忽略）下的玻色气体和费米气体的性质， 为书写方便起见，我们将两种气体的性质同时讨论。 为书写方便起见，我们将两种气体的性质同时讨论。 在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的 在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 符号适用于玻色气体。 符号适用于玻色气体。 假设分子只有平动自由度
1
将展开式代入N、 的表达式中 的表达式中， 将展开式代入 、U的表达式中，得：
π 3 2πmkT 3 2 1 −α −α U= ( ) VkTe [1 m 5 e ] 2 2 h 2 2
2πmkT 3 2 −α 1 −α N = g( ) Ve [1 m 3 e ] 2 h 2 2 2
两式相除， 两式相除，再取近似
表明： －－凝聚温度 表明：在T<TC 时，有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚 （ TC－－凝聚温度）,凝聚 －－凝聚温度） 凝聚 体不但能量、动量为零，而且由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。 体不但能量、动量为零，而且由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。
n0
n
1.0
1.0
T
0
TC
四、玻色－爱因斯坦凝结 玻色－ 1.现象 现象 2.条件 条件 a.玻色子 玻色子 b.
e
βε l
ωl
−1
=
εl
ωl
8πV 2 p dp 3 h
因为
p = hk
ε = hω
ω dω
在体积为V的空窖内， 在体积为 的空窖内，在ω到ω+d ω的圆频率 的空窖内 到 的圆频率 范围内， 范围内，光子的量子态数为 V2 dω π 2 c 3 e hω / kT − 1
4πV ( 2 m) 3 / 2 h3
µ (0)
ε 1 / 2 dε = N ∫
0
将上式积分，可解得 将上式积分，可解得µ(0)为 为
h2 2 N 3/ 2 µ ( 0) = (3π ) 2m V
令µ(0)=p2(0)/2m，可得 ，
p (0) = (3π 2 N 1/ 3 ) h V
上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能， 上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观 粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能。 粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能。在弱简并 情形下附加内能的数值是小的。不过值得注意， 情形下附加内能的数值是小的。不过值得注意，费米气体的附加内 能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为， 能为正而玻色气体的附加内能为负。可以认为，粒子的统计关联使 费米粒子间出现等效的排斥作用， 费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作 用。
3 ∞ ε 2 dε 2πV ( 2m ) 2 ∫ ε l =N 3 0 h e kTc －1 1
3 ∞ x 2 dx 2π 令x = ,∴ 3 ( 2mkTC ) 2 ∫ x =n 0 e － kTc h 1
ε
1
x 2 dx π 2.612＝I 而 ∫ x ＝ 0 e － 1 2 n −1 ∞ x dx ∞ 1 上式由公式： =∑ n 上式由公式： I ( n ) = ∫ x 0 e － 1 k =1 k
4πV ( 2m ) 3 / 2 ∫ h3 0
∞
ε 1 / 2 dε
ε −µ
=N
e
kT
+1
（8.5.4） ）
由上式可知， 是温度 和电子密度N/V的函数。 是温度T和电子密度 的函数。 由上式可知， µ是温度 和电子密度 的函数 现在讨论T=0时电子的分布。以 µ(0)表示 时电子气 时电子的分布。 表示0K时电子气 现在讨论 时电子的分布 表示 体的化学势。 体的化学势。 ε < µ ( 0) f =1 T=0K时 时
N = ∑ al = ∑
l l
ε l −µ
ωl
e kT Q当粒子数一定时， T ↓, 则µ ↓ 当粒子数一定时， 设当T = Tc 时，µ＝0
3 ∞ ε 2 dε 2πV = 3 ( 2m ) 2 ∫ ε l − µ 0 h −1 e kT －1 −1
1
则令上面 N式中µ＝0，从而计算 Tc . ，
： ε＝ 1 2 2 ( p x + p y + p z2 ) 2m
的范围内， 状态数： 在体积V内，在ε到ε＋dε的范围内，可能的微观 状态数： 2πV 3 1 2πV 2 D(ε )dε = g 3 ( 2m) ε 2 dε → h 其中g是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度 是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。 其中 是由于粒子可能具有的自旋而引进的简并度。 考虑到平动自由度的能级是准连续的， 考虑到平动自由度的能级是准连续的，求和可以用积 分来近似， 分来近似，于是系统的总分子为
辐射场的内能则为
V hω 3 U (ω , T )dω = 2 3 hω / kT dω π c e −1
——普朗克公式 普朗克公式
上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。
§ 8.5
金属中的自由电子气体
根据费米分布，温度为 时处在能量为 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电 根据费米分布，温度为T时处在能量为 的一个量子态上的平均电 子数为 1
f =0
ε > µ ( 0)
f 1
（8.5.5） ）
占据最低能态原则 体现了： 体现了： 泡利不相容原理
µ(0)
ε
如图8.5所示， 如图 所示，式（8.5.5）的意义是，在T=0K时，在ε< µ(0) 所示 ）的意义是， 时 的每一量子态上平均电子数为1， 的每一量子态上平均电子数为 ，在ε> µ(0)的每一量子态上平均电 的每一量子态上平均电 子数为零。这分布可以这样理解： 子数为零。这分布可以这样理解：在0K时电子将尽可能占据能量 时电子将尽可能占据能量 最低的状态， 最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一 个电子，因此电子从ε=0的状态起依次填充至 个电子，因此电子从 的状态起依次填充至 µ(0)止。 µ(0)是0K时 止 是 时 电子的最大能量，由下式确定： 电子的最大能量，由下式确定：
∞
1
∫
∞
0
3 5 y e dy n = 2,3,4, , 2 2
n −1 − y
∴Tc =
2π ( 2.612)
3 2
h2 23 n mk
当T<Tc时，要保证 N=const，则µ>0与前面结论 ， 与前面结论 矛盾
三、矛盾的原因与解决办法 关键在于当 而T
∑
→∫
时，将
ε = 0 上的粒子数忽略了
§ 8.3
玻色----爱因斯坦凝聚 玻色 爱因斯坦凝聚
本质:粒子在能动量空间中某一点的凝聚 本质 粒子在能动量空间中某一点的凝聚 1925年 爱因斯坦 年 一.理想玻色气体的化学势 理想玻色气体的化学势 玻色系统—由 个近独立,全同粒子组成 全同粒子组成。 玻色系统 由N 个近独立 全同粒子组成。温 体积V 假设自旋量子数为零. 度T ,体积 ,假设自旋量子数为零 体积 假设自旋量子数为零 由玻色分布
正确!) ⇒普朗克公式(正确 普朗克公式 正确
v v p = hk
光
ε = hω
且ε=cp（静止质量 0 =0） （静止质量m ）
∴空腔内的电磁波辐射场 实际上也是光子场 ②光子场在平衡后遵从玻色分布 由于空腔辐射平衡后仍不断发射或吸收光子，所以化 由于空腔辐射平衡后仍不断发射或吸收光子， 学势µ=0，则α=0，即光子数的守恒约束 失效， 学势 ， ，即光子数的守恒约束αδ N =0失效， 失效 光子气体的玻色分布为： 光子气体的玻色分布为：
3
3 ∞ x 2 dε 2πV 2 U = g 3 ( 2mkT ) kT ∫ α + x 0 e h ±1
3
1 上面二式的被积函数中的分母中 α + x ＝ α + x e ± 1 e （ ± e－α－x） 1 1 1 －α －α－x e 是一个小量，e 是一个小量， 也是一个小量， 展开， 也是一个小量，将 展开，取前两项 －α－x 1± e 1 1 x 1 ＝e－α－（ m e－α－x） α +x e ±1
N = ∑ al = ∑
l l
e
α + βε l
ωl
±1
→∫
∞
dω eα + βε ± 1
0
系统的总分子数为
3 ∞ ε 2 dε 2πV N = g 3 ( 2m) 2 ∫ α + βε 0 e h ±1 1
系统的内能为
h 令：x = βε
3 ∞ ε 2 dε 2πV 2 U = g 3 ( 2m) ∫ α + βε 0 e h ±1 = βε 将上两式改写为 3 ∞ x 2 dx 2πV N = g 3 ( 2mkT ) 2 ∫ α + x 0 e h ±1 1
1 ≈1m x 1± x