浙江省金华十校2009年高考模拟考试理科数学试题2009.3

浙江省金华十校2009年高考模拟考试（3月）数学（理科）试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数512()12mii m R i-=-∈+，则m 的值为 A ．0 B ．-1 C ．1 D ．2 2．二项试321()nx x +的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 A ．10 B ．3 C ．7 D ．53．已知a b c 、、成等比数列，且抛物线21y x x =+-的顶点坐标为(,)b c ，则a d ⋅等于A ．58 B ．58- C ．74 D ．74- 4．已知m l 、四异面直线，那么①必存在平面a ，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直； ③必存在平面γ，与m l 、都垂直； ④必存在平面η，过m l 、的距离都相等A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④5．为了了解某校高三学生的视力情况，随即的抽查了该校 100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右 图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为 62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为 0.32，则a 的值A ．64B ．54C ．48D ．276．已知函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且(1.1]x ∈-时，()||f x x =，则()y f x =与7log y x =的交点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．77．若函数()f x 和()g x 的定义域、值域都是R ，则不等式()()f x g x >有解的冲要条件是 A ．,()()x R f x g x ∃∈> B ．有无穷多个(),x x R ∈使得()()f x g x > C ．,()()x R f x g x ∀∈> D ．{|()()}x R f x g x ∈≤=Φ8．半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值A ．2B ．0C ．-2D ．-19．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则共有多少种参赛方案A ．112种B ．100种C ．92种D ．76种10．若ABC ∆沿三条中位线折起能拼接成一个三棱锥，则ABC ∆的形状为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定，都有可能二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。

把答案填在答题卷的相应位置。

11．双曲线2212516x y -=的离心率e =_________ 12．若关于x 的方程10x k x-+=在(0,1]x ∈没有实数根，则k 的取值范围___________。

13．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=.30BDC ︒∠=,30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =_________ 14．所有棱长均为3的正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是_____________。

15．如图所示的流程图，若输出的结果是17，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________。

16．在平面上，设,,a b c h h h 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三 角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为,,a b c P P P ，我们可 以得到结论：1a b ca b cP P P h h h ++=。

把它类比到空间，写出三棱锥 中的类似结论_____。

17．已知圆O 的方程为224,x y P +=是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的 取值范围是_____.三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分） 已知函数()sin(),(9,0,||,)2f x A ax A x R πϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值。

如图（1）在直角体型ABCP 中，//BC AP ，AB BC ⊥，CD AP ⊥，.AD DC PD E F G ==、、分别是PC PD BC 、、的中点，现将PDC ∆沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图2），且所得到的四棱锥P ABCD -的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8。

（1）求证：//AP 平面EFG ；（2）求二面角G EF D --的大小；（3）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程。

20．（本小题满分14分）两个人设计，甲，乙各射击一次中靶的概率分别是12,p p ，且11p ，21p 是关于x 的方程250()x x m m R -+=∈的两个根，若两人各射击5次，甲射击5次中靶的期望是2.5。

（1）求12p p 、的值；（2）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？ （3）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的。

则完成目的的概率是多少？ 21．（本小题满分14分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于11(,)A x y B 、22(,x y ）12(0,0)y y ><两点，M 是抛物线的准线上的一点，O 是坐标原点，若直线MA MF MB 、、的斜率分别记为:MA MF MB k a k b k c ===、、，（如图）（1）若124y y =-，求抛物线的方程 （2）当2b =时，求a c +的值已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<，直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)'()('()()h x f x g x g x g x =+-其中是的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，比较：2()a af a b ++与2(2)b af a +的大小，数学（理科）参考答案一、选择题：11．5 12．0k < 13． 14．21π 15．64 16．设,,,a b c d h h h h 是三棱锥A BCD -四个面上的高P 为三棱锥A BCD -内任一点，P 到相应四个面的距离分别为,,,a b c d p p p p 我们可以得到结论：1a b c d a b c dp p p ph h h h +++=17．1a ≤三、解答题：18．解：（1）由图像知 2.A = 8T =,28T πω== ,4πω∴=,又图象经过点（-1，0）2s i n ()04πϕ∴+=||,24ππϕϕ<∴=()2s i n ()44f x x ππ∴=+ （2）()(2)2sin()2sin()2cos()4442444xy f x f x x x πππππππ=++=++++++ s i n ()2c o s424x x πππ=+= 2[6,]3x ∈- ， 3246x πππ∴≤≤∴当,46x ππ=即23x =时，()(2)y f x f x =++4x ππ=，即4x =时，最小值为-19．（1）由几何体的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8得2AD DC PD ===取AD 中点H ，联结,FH GH ，E F G 、、分别是PC PD BC 、、的中点，//GH CD ∴，//EF CD ，//EF GH ∴∴E 、F 、F 、G 四点共面又//,AP FH FH ⊂ 平面EFHG ，//AP ∴平面EFG （2）DFH ∠ 就是二面角G EF D --的平面角在Rt HDF ∆中，112DF P D ==， 112D H A D == 45DFH ︒∴∠=，即二面角G EF D --的大小为45︒解法二：建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF的一个法向量为(,,)n x y z =则0n EF y n EG x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取(1,0,1)n =，又平面EFD 的法向量为m =（1，0，0）cos ,45||||m n m n m n m n ︒⋅∴<>==∴<⋅>=（3）设(01),PQ PB λλ=<< 则(22,2,22)AQ AP PQ λλλ=+=-+-10222(22)02AQ PC AQ PC λλλ⊥⇔⋅=⇔⨯--=⇔=又,AD PC PC ⊥∴⊥平面12ADQ λ⇔=⇔点Q 是线段PB 的中点20．解（1）由题意可知1111(5.).5 2.22B p E p p ξξ∴==⇒=甲甲～ 又2121116,3p p p ⋅=∴= （2）两类情况：共击中3次概率220111111222222111211111()()()()()()()()223322336C C C C ⨯+⨯= 共击中4次概率220222211121()()()()223336C C ⨯= 所求概率为11763636+= （3）设事件,A B 分别表示甲、乙能击中，,A B 互相独立。

12121()()()(1()(1())(1)(1)233P A B P A P B P A P B p p ∴⋅==--=--=⨯=21()3P A B ∴-⋅=为所 求概率21．解（1）设过抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p F 的直线方程为()2p y k x =-或2px =（斜率k 不存在），则 22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 得2022k pk y y p --=，212y y p ∴=- 当2p x =（斜率k 不存在）时，则212(),(,),22p p A p B p y y p -∴=-又124y y =- 2p ∴=，∴所求抛物线方程为24y x =（2）设221212(,),(,),(,).(,0)2222y y p pA yB y M t F p p -由已知直线MA MF MB 、、的斜率分别记为：MA MF MB k a k b k c ===、、，得2212121212,''2222y t y t y y ta b c x x p p p p p x x ---∴=====++且1212121222221221222212222222()()()()2()()y t y t y t y ta c p p y y p p x x p p y t y p y t y p py p y p ---+=+=+++++-++-+=++故 22212222212(2)222(2)t y y p t p b p y y p p-++===++ 2.4b a c =∴+=22．解：（I ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点（1，0）处的切线，故其斜率1(1)11k f ===所以直线l 的方程为1y x =-又因为直线l 与()g x 的图像相切 所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩得2(1)902(4m m m ∆=--=>==不合题意，舍去）（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2(1),h x f x g x x x x =+-=+-+>-所以1'()111x h x x x -=-=++ 当10x -<<时，'()0;h x > 当0x >时， '()0h x < 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减。