【数学】河南省开封高中实验学校高一数学期末综合练习1(必修三、四)
高中数学期末综合复习练习试卷(必修 )
期末综合复习练习试卷(必修3、4)(第一卷)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(填空题、解答题)两部分。
第一卷1至2页,第二卷3至6页,共21题,合计100分。
第一卷的选择题和第二卷的填空题、解答题都要答在第二卷上。
考试时间120分钟。
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、 下面的结论不正确的是( )(A )一个程序的算法、步骤是不可逆的 (B )完成一件事情的算法是惟一的(C )设计算法要本着简单方便、明确有效的原则 (D )一个算法,执行的步骤总是有限次的 2、 把389化成四进制数的末位为( ) (A )1 (B )2 (C ) 3 (D )03、 人们常用来反映数据n x x x ,,,21 的变异特征的量是( ) (A )中位数 (B )众数 (C )标准差 (D )平均值4、 观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿的体重在[2700,3000]的频率为( ) (A )0.001 (B )0.01 (C )0.003 (D )0.35、 在500mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2mL 水样放到显微镜镜下观察,则发现草履虫的概率为( )(A )0 (B )0.002 (C )0.004 (D )1 6、 函数R x x y ∈+=),2cos(π( )(A )是奇函数 (B )是偶函数 (C )既不是奇函数,又不是偶函数 (D )有无奇偶性不能确定7、 将函数x y 2tan =的图象向左平移6π个单位,得到图象的函数解析式是( ) (A ))62tan(π+=x y (B ))32tan(π+=x y(C ))62tan(π-=x y (D ))32tan(π-=x y8、在ABC ∆中,b CA a CB ==,,则=AB ( )(A )b a + (B ))(b a +- (C )b a - (D )a b -9、已知平行四边形ABCD 的顶点A (-1,-2),B (3,-1),C (5,6),则顶点D 的坐标是( )(A )(9,7) (B )(1,5) (C )(-3,-9) (D )(2,6) 10、化简)4(sin )4(cos 22απαπ---得到( )(A )α2sin (B )α2sin - (C )α2cos (D )α2cos -11、函数)20(cos 2π≤≤=x x y 的图象和直线2=y 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( )(A ) π (B )π2 (C )π3 (D )π412、已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ,若,AB PC PB PA =++则点P 与ABC ∆的位置关系是( )(A ) P 在AC 上 (B )P 在AB 边上或其延长线上 (C )P 在ABC ∆外部 (D )P 在ABC ∆内部(第二卷)一.选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分。
开封市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题答案
开封市2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学参考答案注意事项:答案仅供参考,其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.2,3(答对一空给3分)13.14.164⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题:本题共5小题,共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)(1)用a 表示“取出红球”,b 表示“取出白球”,摸球2次,样本空间为{}1=aa ab ba bb Ω,,,,包含4个等可能的样本点;……………2分摸球4次,样本空间为2=aaaa aaab aaba abaa baaa aabb abab baab abba baba bbaa abbb babb bbab bbba bbbb Ω⎧⎫⎨⎬⎩⎭,,,,,,,,,,,,,,,,包含16个等能的样本点;……………5分(2)猜想应该有()()P A P B >,……………6分{}=A ab ba ,,故()=2n A ,……………7分{}=B aabb abab baab abba baba bbaa ,,,,,,故()=6n B ,……………8分根据古典概型概率计算公式,得()21==42P A ,()63==168P B ,……………12分所以()()P A P B >,猜想正确.……………13分16.(15分)()()=1,2,2,,AB OB OA AC OC OA x x =-=-=- (1)因为……………2分22=0,AB AC x x ⋅=-+ 0x ≠又,,AB AC ⊥ 所以=.2BAC π∠所以……………6分()=21,2BC OC OB x x =---- (2),5BC == 所以,解之得=2x ±,……………8分设向量BC 和向量OA 的夹角为θ,又=1OA ,所以向量BC 在向量OA 上的投影向量为:题号12345678答案A B A D D B C C题号91011答案ABC ABD AC()cos ===BC OA BC OA BC OA BC OA OA BC OA OA BC OA OA θ⋅⋅⋅ ,……………10分当=2x 时,()=5,0BC OC OB -=- ,()cos =5=5,0BC OA OA θ-- ,……………12分当=2x -时,()=3,4BC OC OB -=- ,()cos =3=3,0BC OA OA θ ,……………14分所以向量BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为()()5,03,0-或.……………15分17.(15分)(1)……………2分汞含量分布偏向于大于1.00×10—6的方向,即多数鱼的汞含量分布在大于1.00×10—6的区域.……4分(2)依据样本数据:由60%×30=18,样本数据的第60百分位数为第18,19项数据的平均数,即1.2 1.26 1.232+=,所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.23×10—6;……………6分依据频率分布直方图:由0.60.41.00.5 1.250.80.4-+⨯=-,所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.25×10—6.……………8分两种方式得到的估计结果不一致,但相差不大,因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的,此时,通常假设数据在组内均匀分布.……………9分(3)记“两条鱼最终均在A 水池”为事件A ,则()1131=4416P A ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭,……………11分记“两条鱼最终均在B 水池”为事件B ,则()1131=4416P B ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭,……………13分所以这两条鱼最终在同一水池的概率为()()()333=+=+=16168P A B P A P B .……………15分18.(17分)(1) PAD ABCD ⊥平面平面,交线为AD ,又CD ABCD ⊂平面,CD AD ⊥,CD PAD ∴⊥平面,……………2分又AP PAD ⊂ 平面,AP CD ∴⊥,又,AP PD PD CD D ⊥= ,.AP PCD ∴⊥平面……………5分(2)取AD 中点,记为F ,连接EF BF ,,又E AP 为中点,EF PD ∴∥,BE PD ∴与所成角即为BE EF 与所成角,……………7分又,EF PCD PD PCD EF PCD ⊄⊂∴平面平面,∥平面,又BE PCD ∥平面,=EF BE E ,BEF PCD ∴平面∥平面,……………9分又=BEF ABCD BF 平面平面,=PCD ABCD CD 平面平面,CD BF ∴∥,……………11分由(1)知,CD PAD ⊥平面,BF PAD ∴⊥平面,EF PAD ⊂平面,BF EF ∴⊥,……………13分223BF AB AF =-=,1EF =,22+10BE EF BF ==,……………15分110cos .1010EF BEF BE ∴∠===所以异面直线BE PD 与所成角的余弦值为10……………17分19.(17分)111=++=sin +sin +sin 222PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ∆∆∆⋅⋅⋅(1)()1=sin ++2c AP a BP b CP θ⋅⋅⋅①式,……………3分(2)在PAB PBC PAC ∆∆∆,,中,分别由余弦定理得:222222222=+2cos =+2cos =+2cos BP c AP c AP CP a BP a BP AP b CP b CP θθθ-⋅-⋅-⋅,,,三式相加整理得:()2222cos ++=++c AP a BP b CP a b c θ⋅⋅⋅②式,……………6分结合①②式,可得()()2222cos ++++=2sin ++c AP a BP b CP a b c S c AP a BP b CP θθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,……………8分整理可得2224++=tan S a b c θ,所以原式得证.……………9分(3)若=a c ,则=A C ,所以===PAC A C PCB θθ∠--∠,所以PAC PBC ∆∆ ,……………10分所以=PC b PB ab ,又=c a ,……………11分在ABC ∆中,由余弦定理得222222+cos =22b c a A bc -,又0A π<<,所以=4A π,……………13分由(1)2224++=tan S a b c θ,得222214sin 22+2+==tan tan bc A a a a θθ⨯⨯,……………15分解之可得1tan =2θ.……………17分。
河南河南省开封高级中学高一数学上册期末试卷
河南河南省开封高级中学高一数学上册期末试卷一、选择题1.已知集合{}2log 2A xx =<∣,则A =R( )A .(0,4)B .(,0][4,)-∞⋃+∞C .[2,4]D .(,0)(4,)-∞+∞ 2.已知函数()f x 的定义域为[]3,3-,则函数()1f x -的定义域为( )A .[]2,3-B .[]2,4-C .[]4,2-D .[]0,23.已知tan 0α>且cos 0α<,则α的终边在 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.设角α的终边过点()1,2-,则()()sin sin 2cos παπαπα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭+等于( ) A .12B .1C .1-D .3-5.函数()e 6xf x x =+-的零点所在的区间为( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,46.三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个不等式( )A .如果,a b b c >>,那么a c >;B .如果0a b >>,那么22a b >;C .对任意实数a 和b ,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立;D .如果a b >,0c >,那么ac bc >.7.已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是( ) A .12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B .12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值,则实数t 的取值范围是( ) A .31326t <≤ B .32t >C .31326t <≤或52t > D .52t >二、填空题9.已知函数221,1(),1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩,则下列x 的范围满足不等式()()22333f x x f x ++>-的是( ) A .(2,1)-B .3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C .3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭10.“不等式2304kx kx ++>对一切实数x 都成立”的充分不必要条件是( ) A .0k <或3k > B .0k ≤<3C .03k <<D .0k =11.设0b a <<,则下列不等式中正确的是( ) A .0a b +>B .2211ab a b< C .11b a a b+<+ D .22ln ln a b <12.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >,0>ω,ϕπ<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A .23πϕ=-B .函数()f x 图象的对称轴为直线()7212k x k ππ=+∈Z C .将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象D .若()f x 在区间2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ⎡-⎣,则实数a 的取值范围为133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 三、多选题13.1x ∀>,2210x x -+>的否定是___________.14.在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称声强.日常生活中能听到的声音其声强范围很大,最大和最小之间的比值可达1210倍.用声强的物理学单位表示声音强弱很不方便。
河南省开封市2019-2020学年高一上学期期末考试数学答案(PDF版)
2
2
f x 在 36,57上单调递减,所以 f x f 36 87 . ………………10 分
因为 89 87 ,所以在甲合作社投入 16 万元,乙合作社投入 56 万元时,总收益最大,
最大总收益为 89 万元. ………………12 分
21.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为平面 ABCD⊥平面 ACEF,AF⊥AC, 所以 AF⊥平面 ABCD,
19.(本小题满分 12 分)
3
解:(1)BC 的中点为(1, ),………………2 分
2
由两点式可得
y 3
2 2
x3 13
,所以所求直线方程为
x
4y
5
0
.………………6
分
2
(2)BC
边所在直线斜率为 kBC
3 2
,BC
边上的高所在直线的斜率为
2 3
,……9
分
1
由点斜式可得 y 2 2 x 3 ,所以所求直线方程为 2x 3y 0 . ……………12 分
③
x
0,1
时,该不等式等价于
m
m
x2 1 x 1 x2 2 x 1
.
x 0,1 时, m x2 1 即 m x 1恒成立, m 2 ; ………………10 分
x 1
x1 恒成立,
又 BN 平面 BEF,所以 DM⊥BN,故 DM 与 BN 所成角为定值 90o. …………6 分
(2)DE=BE,DF=BF,O 为 BD 中点,可得 OE⊥BD,OF⊥BD, ∠EOF 为二面角 E-BD-F 的平面角,所以∠EOF=60o, ………………8 分
河南省开封高中实验学校2013-2014学年高一下学期数学期末综合练习2(必修三、四) Word版含答案
图1乙甲7518736247954368534321开封高中实验学校数学期末练习试题2命题人:张文伟 审题人:冯昀山一、选择题1.已知点P (ααcos ,tan )在第三象限,则角α在 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A .45,75,15B .45,45,45C .30,90,15D .45,60,30 3.已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么|3|a b -等于 ABCD .44. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A .62 B .63 C .64 D .65 5.在ABC ∆中,有如下四个命题:①BC AC AB =-;②AB BC CA ++=0;③若0)()(=-⋅+,则ABC ∆为等腰三角形;④若0>⋅,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是A .① ②B .① ③ ④C .② ③D .② ④6. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象沿x 轴方向左平移6π个单位,平移后的图象如右图所示. 则平移后的图象所对应函数的解析式是 A .sin()6y x π=+B .sin()6y x π=-C .sin(2)3y x π=+D .sin(2)3y x π=- 7.给出如下四对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”; ③甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”; ④甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中,但乙未射中目标”, 其中属于互斥事件的有( ) A .1对 B .2对 C .3对 D .4对8.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图 所示,则时速在[60,70)的汽车大约有( ) A .30辆 B . 40辆C . 60辆 D .80辆9.函数)cos[2()]y x x ππ-+是A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数10.如果下边程序执行后输出的结果是990,那么在程序中 UNTIL 后面的“条件”应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<911.下列各式中,值为12的是 A .sin15cos15 B . 22cossin 1212ππ- C .6cos 2121π+ D .21tan 22.5- 12.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为 A .16π B .8π C .4π D .2π 二、填空题13.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 14. 已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点_____15.已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = 16.已知tan2α=2,则αtan 的值为_________;6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为____________三、解答题17.已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时,(1) ka b +与3a b -垂直?(2) ka b +与3a b -平行?平行时它们是同向还是反向?18.一纸箱中放有除颜色外,其余完全相同的黑球和白球,其中黑球2个,白球3个.(Ⅰ)从中同时摸出两个球,求两球颜色恰好相同的概率;(Ⅱ)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球颜色恰好不同的概率.19.某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60) ...[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:(Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.20.已知(3sin ,cos )a x m x =+,(cos ,cos )b x m x =-+, 且b a x f∙=)((1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是-4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x的值.第19题图21.已知向量 a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|b a-(Ⅰ)求cos (α-β)的值; (Ⅱ)若0<α<2π,-2π<β<0,且sin β=-513,求sin α的值.数学期末练习试题2答案一、BDACC CBDCD DB 二、13.23,48 14.(1.5,4) 15.96 16.—34,76三、17.解:(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-(1)()ka b +⊥(3)a b -,得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==(2)()//ka b +(3)a b -,得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--,所以方向相反。
河南省开封市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2023—2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题(答案在最后)注意事项:1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足()1i 1z -=-,则z =()A .1i+ B.1i- C.1i-+ D.1i--2.设α,β为两个平面,则//αβ的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差D.极差4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数,当出现随机数1,2或3时表示甲获胜,出现4,5时表示乙获胜.因为比赛采用了3局2胜制,所以每3个随机数为一组,代表3局的结果,经随机模拟产生以下20组随机数:423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计所求概率的值为()A.0.3B.0.35C.0.6D.0.655.已知3a = ,4b = ,且a 与b的夹角2π3θ=,则a b -= ()A.13B.C.37D.6.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos cos a B b A =,且2a =,3c =,则cos C =()A.34-B.18-C.34D.187.ABCD Y 中,E 为CD 的中点,BE 与对角线AC 相交于点F ,记AB a = ,AD b =,用a ,b表示BF =()A.1233a b +B.1233a b -- C.1233a b -+D.2133a b-+ 8.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知四面体-P ABC 为鳖臑,且PA AB =,AC BC =,记二面角A PB C --的平面角为θ,则sin θ=()A.2B.3C.3 D.6二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知()0.5P A =,()0.3P B =,则下列说法中正确的是()A.如果B A ⊆,那么()0.5P A B ⋃=B.如果B A ⊆,那么()0.3P AB =C.如果,A B 互斥,那么()0.8P A B ⋃=D.如果,A B 互斥,那么()0.15P AB =10.已知复数cos isin z θθ=+,则()A.1=zz B.1z = C.21z = D.222z z +≤11.如图,在山脚A 测得山顶P 的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走m a 到达B 处,在B 处测得山顶P 的仰角为γ,则山高h =()A.()()sin sin sin a αγβγα-- B.()()sin sin sin a αγαγβ--C.()()sin sin sin sin a a γαββγα-+- D.()()sin sin sin sin a a γαββγβ-+-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量a ,b ,c在网格中的位置如右图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则()a b c -⋅= ______;⋅=a b ______.13.已知正方体的内切球体积为1,则该正方体的外接球体积为______.14.已知复数21(4)i(R)z m m m =+-∈,22cos (2sin )i(,R)z θλθλθ=++∈,且12z z =,则λ的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球,从中随机地摸出一个球,观察其颜色后放回.设事件A =“摸球2次出现1次红球”,B =“摸球4次出现2次红球”.(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间;(2)猜想()P A 和()P B 的大小关系,并验证你的猜想是否正确.16.在平面直角坐标系Oxy 中,已知向量()1,0OA = ,()2,2OB = ,()21,OC x x =-+,其中0x ≠.(1)求BAC ∠;(2)若5BC = ,求向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标.17.有一种鱼的身体吸收汞,一定量身体中汞的含量超过其体重的61.0010-⨯的鱼被人食用后,就会对人体产生危害.在一批该鱼中随机抽取30条作为样本,检测其汞含量(乘以百万分之一)如下:0.070.240.950.98 1.020.98 1.37 1.400.39 1.021.44 1.580.54 1.080.610.72 1.20 1.14 1.62 1.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31(1)依据样本数据,补充完成下列频率分布直方图,并分析这30条鱼的汞含量的分布特点;(2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数,得到的结果完全一致吗?为什么?(3)将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A 、B 水池,若这两条鱼的游动相互独立,均有14的概率游入另一个水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池的概率.18.如图,在四棱锥P ABCD -中,2AP PD ==,11=AB 90ADC APD ∠=∠=︒,平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明:AP ⊥平面PCD ;(2)若E 是棱PA 的中点,且//BE 平面PCD ,,求异面直线BE 与PD 所成角的余弦值.19.当ABC 内一点P 满足条件PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=时,称点P 为ABC 的布洛卡点,角θ为ABC 的布洛卡角.如图,在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,记ABC 的面积为S ,点P为ABC 的布洛卡点,其布洛卡角为θ.(1)证明:()2sin S a PB b PC c PA θ=⋅+⋅+⋅⋅.(2)证明:2224tan Sa b c θ++=;=,且PC=,求A及tanθ.(3)若a c2023—2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项:1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足()1i 1z -=-,则z =()A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算求解即可.【详解】由()1i 1z -=-,可得i111i z =-=+,故选:A2.设α,β为两个平面,则//αβ的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面【答案】B 【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件,由面面平行性质定理知,若//αβ,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件,故选B .【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,//a b a b αβ⊂⊂,则//αβ”此类的错误.3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案.【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ .则①原始中位数为5x ,去掉最低分1x ,最高分9x ,后剩余2348x x x x ≤≤≤ ,中位数仍为5x ,∴A 正确.②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ,后来平均数234817x x x x x '=+++ ()平均数受极端值影响较大,∴x 与x '不一定相同,B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知,C 不正确.④原极差91=x -x ,后来极差82=x -x 可能相等可能变小,D 不正确.【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数,当出现随机数1,2或3时表示甲获胜,出现4,5时表示乙获胜.因为比赛采用了3局2胜制,所以每3个随机数为一组,代表3局的结果,经随机模拟产生以下20组随机数:423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计所求概率的值为()A.0.3B.0.35C.0.6D.0.65【答案】D 【解析】【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数,从而可求出甲获胜的频率,进而可得答案【详解】由题意可知,20组随机数中甲获胜的有:423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314有13组,所以甲获胜的频率为130.6520≈,所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65,故选:D.5.已知3a = ,4b = ,且a 与b的夹角2π3θ=,则a b -= ()A.13B.C.37D.【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的定义求出a b ⋅ ,再根据a b -= 及数量积的运算律计算可得.【详解】因为3a = ,4b = ,且a 与b的夹角2π3θ=,所以1cos 3462a b a b θ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ ,所以a b -=.故选:D6.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos cos a B b A =,且2a =,3c =,则cos C =()A.34-B.18-C.34D.18【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理把边化为角,再用和差公式得A B =,所以2b a ==,再用余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得2sin ,2sin a R A b R B ==,cos cos a B b A = ,sin cos sin cos A B B A ∴=,即sin cos sin cos sin()0A B B A A B -=-=,,(0,π)A B ∈ ,(π,0),(π,π)B A B ∴-∈--∈-,0A B ∴-=,即A B =,2b a ∴==,又3c =,222+4491cos 22228a b c C ab -+-∴===-⨯⨯.故选:B .7.ABCD Y 中,E 为CD 的中点,BE 与对角线AC 相交于点F ,记AB a =,AD b=,用a,b 表示BF =()A.1233a b +B.1233a b--C.1233a b-+D.2133a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据平面几何的知识得到12EF FB =,即23BF BE = ,再根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】在ABCD Y 中,E 为CD 的中点,BE 与对角线AC 相交于点F ,所以ECF BAF ∽,所以12EF EC FB AB ==,所以23BF BE =,所以()22121123323333BF BC CE AD AB AD AB a b ⎛⎫=+=-=-=-+ ⎪⎝⎭.故选:C8.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知四面体-P ABC 为鳖臑,且PA AB =,AC BC =,记二面角A PB C --的平面角为θ,则sin θ=()A.2B.3C.3 D.36【答案】C 【解析】【分析】取PB 的中点M ,过点M 作MN PB ⊥交PC 于点N ,证明二面角A PB C --的平面角为θ就是AMN ∠,结合解三角形知识即可求解.【详解】由题意设,,,PA AB PA AC BC AC BC PC ⊥⊥⊥⊥,取PB 的中点M ,过点M 作MN PB ⊥交PC 于点N ,连接,,MN AM AN,如图所示:因为PA AB =,PA AB ⊥,点M 是等腰直角三角形PAB 斜边PB 上的中点,所以AM PB ⊥,又因为MN PB ⊥,AM ⊂平面PAB ,MN ⊂平面PBC ,平面PBC ⋂平面PAB PB =,所以二面角A PB C --的平面角为θ就是AMN ∠,设1AC BC ==,则PA AB =2PB =,PC =,112PM AM PB ===,从而30BPC ∠= ,所以323,33MN PN ==,又cos 3APN ∠==,所以242223333AN =+-⨯=,所以3AN =,所以12133cos 33AMN +-∠=,6sin 3AMN ∠=.故选:C .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知()0.5P A =,()0.3P B =,则下列说法中正确的是()A.如果B A ⊆,那么()0.5P A B ⋃=B.如果B A ⊆,那么()0.3P AB =C.如果,A B 互斥,那么()0.8P A B ⋃= D.如果,A B 互斥,那么()0.15P AB =【答案】ABC 【解析】【分析】对于AB ,由B A ⊆可得,A B A A B B == 即可;对于CD ,由,A B 互斥可得A B ⋂=∅即可.【详解】对于AB ,由B A ⊆可得,A B A A B B == ,所以()()0.5,()()0.3P A B P A P AB P B ==== ,故AB 正确;对于CD ,由,A B 互斥可得A B ⋂=∅,所以()()()0.8,()0P A B P A P B P AB =+== ,故C 正确,D 错误.故选:ABC.10.已知复数cos isin z θθ=+,则()A.1=zzB.1z = C.21z = D.222z z +≤【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ,由共轭复数概念、复数乘法即可判断;对于B ,由复数模的计算公式即可判断;对于CD ,由复数乘方、复数乘法即可判断.【详解】对于A ,()()22cos isin cos i 1s s sin in o zz θθθθθθ+-==+=,故A 正确;对于B ,1z ==,故B 正确;对于C ,()()()()2222cos isin cos sin 2sin cos i cos 2sin 2i z θθθθθθθθ=+=-+=+,故C 错误;对于D ,()()2cos 2sin 2i co 2s 2sin 2i 2cos2z z θθθθθ=++=+≤-,故D 正确.故选:ABD.11.如图,在山脚A 测得山顶P 的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走m a 到达B 处,在B 处测得山顶P 的仰角为γ,则山高h =()A.()()sin sin sin a αγβγα-- B.()()sin sin sin a αγαγβ--C.()()sin sin sin sin a a γαββγα-+- D.()()sin sin sin sin a a γαββγβ-+-【答案】AC 【解析】【分析】根据所给条件表示出∠PAB 、APB ∠、sin ABP ∠,在ABP 中利用正弦定理表示出AP 、BP ,再由锐角三角函数计算可得.【详解】由题意可知,PAQ α∠=,PBC γ∠=,PAB αβ∠=-,BAQ β∠=,分别在Rt PQ A ,Rt PC B 中,2APQ απ∠=-,2BPQ πγ∠=-,所以APB APQ BPQ γα∠=∠-∠=-,又sin sin[)]ABP APB BAP ∠=π-(∠+∠,()sin )sin sin()APB BAP γααβγβ=(∠+∠=-+-=-,在ABP 中,由正弦定理可得,sin sin AB APAPB ABP=∠∠,即sin()sin()a AP γαγβ=--,所以sin()sin()a AP γβγα-=-,在Rt PQ A 中,sin sin()sin sin()a PQ AP αγβαγα-==-,故A 正确,B 错误;在ABP 中,由正弦定理可得,sin sin AB PBAPB BAP=∠∠,即sin()sin()a PB γααβ=--,所以sin()sin()a PB αβγα-=-,在Rt PBC 中,sin sin()sin sin()a PC PB γαβγγα-==-,又sin sin CQ AB a ββ==,所以()()sin sin sin sin P C a Q P Q a C γαββγα-+-=+=,故C 正确、D 错误.故选:AC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量a ,b ,c在网格中的位置如右图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则()a b c -⋅= ______;⋅=a b ______.【答案】①.2②.3【解析】【分析】建立坐标系,求出a,b,a b -的坐标,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】建立直角坐标系如图所示:因为网格纸上小正方形的边长为1,则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=,()0,2a b ∴-= ,()00212a b c -⋅=⨯+∴⨯=,()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=.故答案为:2;3.13.已知正方体的内切球体积为1,则该正方体的外接球体积为______.【答案】33【解析】【分析】根据正方体的内切球体积计算出正方体边长,再利用正方体的外接球体积计算得到结果;【详解】设正方体的棱长为2(0)a a >,正方体的内切球半径为a ,正方体的内切球体积为34π13a =,解得133(4πa =,2221(2)(2)(2)32a a a a ++=,故正方体的外接球体积为334π)3==故答案为:14.已知复数21(4)i(R)z m m m =+-∈,22cos (2sin )i(,R)z θλθλθ=++∈,且12z z =,则λ的取值范围是______.【答案】1[,6]4-【解析】【分析】利用复数相等建立关系,再消去m 并结合二次函数求出范围即得.【详解】由12z z =,得22cos 2sin 4m m θλθ=⎧⎨+=-⎩,消去m 并整理得22114sin 2sin 4(sin )24λθθθ=-=--,显然1sin 1θ-≤≤,当1sin 2θ=时,min 14λ=-,当sin 1θ=-时,max 6λ=,所以λ的取值范围是1[,6]4-.故答案为:1[,6]4-四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球,从中随机地摸出一个球,观察其颜色后放回.设事件A =“摸球2次出现1次红球”,B =“摸球4次出现2次红球”.(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间;(2)猜想()P A 和()P B 的大小关系,并验证你的猜想是否正确.【答案】(1)答案见解析(2)()()P A P B >,猜想正确【解析】【分析】(1)根据样本空间的定义逐一列举即可得解;(2)根据古典概型概率计算公式直接计算即可比较大小.【小问1详解】用a 表示“取出红球”,b 表示“取出白球”,摸球2次,样本空间为{}Ω,,,aa ab ba bb =,包含4个等可能的样本点;摸球4次,样本空间为{}2,,,,,,,,,,,,,,,aaaa aaab aaba abaa baaa aabb abab baab abba baba bbaa abbb babb bbab bbba bbbb Ω=,包含16个等能的样本点;【小问2详解】猜想应该有()()P A P B >,{},A ab ba =,故()2n A =,{},,,,,B aabb abab baab abba baba bbaa =,故()6n B =,根据古典概型概率计算公式,得()2142P A ==,()63168P B ==,所以()()P A P B >,猜想正确.16.在平面直角坐标系Oxy 中,已知向量()1,0OA = ,()2,2OB = ,()21,OC x x =-+,其中0x ≠.(1)求BAC ∠;(2)若5BC = ,求向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标.【答案】(1)π2BAC ∠=(2)()5,0-或()3,0【解析】【分析】(1)先应用减法得出向量坐标,再应用坐标运算得出夹角;(2)根据坐标求出模长,再根据投影向量公式计算即可.【小问1详解】因为()1,2AB OB OA =-= ,()2,AC OC OA x x =-=-,220AB AC x x ⋅=-+= ,又0x ≠,所以AB AC⊥ ,所以π2BAC ∠=.【小问2详解】()21,2BC OC OB x x =-=---,所以5BC == ,解之得2x =±,设向量BC和向量OA 的夹角为θ,又1OA =,所以向量BC在向量OA 上的投影向量为:()cos OA BC OA OA BC BC OA OA OA OA OAθ⋅==⨯=⋅⨯,当2x =时,()5,0BC OC OB =-=-,()cos 55,0BC OA OA θ=-=- ,当2x =-时,()3,4BC OC OB =-=-,()cos 33,0BC OA OA θ== ,所以向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标为()5,0-或()3,017.有一种鱼的身体吸收汞,一定量身体中汞的含量超过其体重的61.0010-⨯的鱼被人食用后,就会对人体产生危害.在一批该鱼中随机抽取30条作为样本,检测其汞含量(乘以百万分之一)如下:0.070.240.950.98 1.020.98 1.37 1.400.39 1.021.44 1.580.54 1.080.610.72 1.20 1.14 1.62 1.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31(1)依据样本数据,补充完成下列频率分布直方图,并分析这30条鱼的汞含量的分布特点;(2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数,得到的结果完全一致吗?为什么?(3)将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A 、B 水池,若这两条鱼的游动相互独立,均有14的概率游入另一个水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池的概率.【答案】(1)答案见解析;(2)61.2310-⨯,61.2510-⨯,不一致,理由见解析;(3)38.【解析】【分析】(1)汞含量在1.0~1.5的样本数为12,求出频率即可补充直方图;(2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直方图估计第60百分位数即可求解;(3)记“两条鱼最终均在A 水池”为事件A ,记“两条鱼最终均在B 水池”为事件B ,根据互斥事件的概率加法公式即可求解.【小问1详解】汞含量在1.0~1.5的样本数为12,故频率为120.430=,在频率分布直方图中对应的高为0.40.80.5=,补充频率分布直方图如图所示:汞含量分布偏向于大于61.0010-⨯的方向,即多数鱼的汞含量分布在大于61.0010-⨯的区域.【小问2详解】依据样本数据:由60%3018⨯=,样本数据的第60百分位数为第18,19项数据的平均数,即1.2 1.261.232+=,所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为61.2310-⨯;依据频率分布直方图:由0.60.41.00.5 1.250.80.4-+⨯=-,所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为61.2510-⨯,两种方式得到的估计结果不一致,但相差不大,因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的,此时,通常假设数据在组内均匀分布.【小问3详解】记“两条鱼最终均在A 水池”为事件A ,则()11314416P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,记“两条鱼最终均在B 水池”为事件B ,则()11314416P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,因为事件A 与事件B 互斥,所以这两条鱼最终在同一水池的概率为()()()33316168P A B P A P B ⋃=+=+=.18.如图,在四棱锥P ABCD -中,2AP PD ==,=AB 90ADC APD ∠=∠=︒,平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明:AP ⊥平面PCD ;(2)若E 是棱PA 的中点,且//BE 平面PCD ,,求异面直线BE 与PD 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1010.【解析】【分析】(1)应用面面垂直性质定理结合线面垂直判定定理证明即可;(2)应用面面平行性质定理得出线线平行求出异面直线所成角的余弦值.【小问1详解】因为平面PAD ⊥平面ABCD ,交线为AD ,又CD ⊂平面ABCD ,CD AD ⊥,所以CD ⊥平面PAD ,又因为AP ⊂平面PAD ,所以AP CD ⊥,又因为AP PD ⊥,,PD CD D PD =⊂ 平面PCD ,CD ⊂平面PCD ,所以AP ⊥平面PCD 【小问2详解】取AD 中点,记为F ,连接EF ,BF ,又因为E 为AP 中点,所以//EF PD ,所以BEF ∠为BE 与PD 所成角(或补角),又EF ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以//EF 平面PCD ,又因为//BE 平面PCD ,EF BE E = ,EF ⊂平面,BEF BF ⊂平面,BEF 所以平面//BEF 平面PCD ,又平面BEF I 平面ABCD BF =,平面PCD 平面ABCD CD =,所以//CD BF ,由(1)知,CD ⊥平面PAD ,所以BF ⊥平面PAD ,EF ⊂平面PAD ,所以BF EF ⊥,3BF ==,1EF =,BE =所以10cos10EF BEF BE ∠===.所以异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为10.19.当ABC 内一点P 满足条件PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=时,称点P 为ABC 的布洛卡点,角θ为ABC 的布洛卡角.如图,在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,记ABC 的面积为S ,点P为ABC 的布洛卡点,其布洛卡角为θ.(1)证明:()2sin S a PB b PC c PA θ=⋅+⋅+⋅⋅.(2)证明:2224tan Sa b c θ++=;(3)若a c =,且PC =,求A 及tan θ.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)π4A =,1tan 2θ=【解析】【分析】(1)利用正弦定理的面积公式即可证明.(2)利用余弦定理和(1)中结论即可证明.(3)利用余弦定理和(2)中结论即可求解.【小问1详解】因为111sin sin sin 222PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ=++=⋅+⋅+⋅△△△()1sin 2c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅①式,所以()2sin S c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅.【小问2详解】在PAB ,PBC ,PAC △中,分别由余弦定理得:2222cos BP c AP c AP θ=+-⋅,2222cos CP a BP a BP θ=+-⋅,2222cos AP b CP b CP θ=+-⋅,三式相加整理得:()2222cos c AP a BP b CP a b c θ⋅+⋅+⋅=++②式,结合①②式,可得()()2222cos 2sin c AP a BP b CP a b c S c AP a BP b CP θθ⋅+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅,整理可得2224tan Sa b c θ++=,所以原式得证,【小问3详解】若a c =,则A C =,所以PAC A C PCB θθ∠=-=-=∠,所以PAC PBC ∽△△,所以PC bPB a==,即b =,又c a =,在ABC中,由余弦定理得222222cos 22b c a A bc +-===,又0πA <<,所以π4A =,由(2)2224tan S a b c θ++=,得222214sin 222tan tan bc A a a a θθ⨯⨯++==,解之可得1tan 2θ=.。
2019-2020学年河南省开封市新高考高一数学下学期期末综合测试试题
一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形ABCD 中,2AD = , BC =E ,F 分别是AB , CD 的中点 ,EF =则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A .150︒B .60︒C .120︒D .30︒ 2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )A .对立事件B .互斥但不对立事件C .不可能事件D .必然事件3.两个正实数a b ,满足31a b +=,则满足213m m a b+≥-,恒成立的m 取值范围( ) A .[]43-, B .[]34-, C .[]26-, D .[]62-,4.若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有的点向右平移6π个单位长度后得到的函数图象关于,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,则ϕ的值为 A .π B .34π C .56π D .23π 5.已知m ,n ,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A .若m α⊂,n ⊂α,l β⊂,m l ,n l ∥,则αβ∥B .若m α,n α,m β,n β,则αβ∥C .若m α⊂,m n A =,l m ⊥,l n ⊥,l β⊥,则αβ∥D .若m n ,m α⊥,n β⊥,则αβ∥6.已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、,面积为S ,且2S =A 等于( )A .6πB .4πC .3πD .2π 7.向量()()4,5,,1a b λ=-=,若()//a b b -,则λ的值是( )A .54-B .43-C .45-D .2-8.在△ABC 中,D 是边BC 的中点,则AD AC -=A .CB B .BC C .12CBD .12BC 9.已知等比数列{}n a 中,141,8a a =-=,该数列的公比为A .2B .-2C .2±D .3 10.设二次函数()22f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减,且()()0f m f ≤,则实数m 的取值范围是( )A .(-∞,0]B .[2,+∞)C .(-∞,0]∪[2,+∞)D .[0,2]11.不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x -≤≤-,则实数,a b 的值为( )A .8,10a b =-=-B .1,9a b =-=C .4,9a b =-=-D .1,2a b =-= 12.sin(210)-的值为A .12-B .12C .3-D .3 二、填空题:本题共4小题13.过点(0,0)O 作直线与圆22(45)(8)169x y -+-=相交,则在弦长为整数的所有直线中,等可能的任取一条直线,则弦长长度不超过14的概率为______________.14.函数2arccos 1y x =-的定义域是________15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________.16.已知角α的终边经过点()3,4P ,则cos α的值为____________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省开封市2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析
河南省开封市2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=pa n +q ,且a 2=3,a 4=15,则p ,q 的值为( )A .36p q =-⎧⎨=⎩B .21p q =⎧⎨=⎩C .36p q =-⎧⎨=⎩或21p q =⎧⎨=⎩D .以上都不对 2.要得到函数的图像,只需将函数的图像( )A .向左平移个单位长度B .向右平移个单位长度C .向左平移个单位长度D .向右平移个单位长度3.已知1sin cos 5αα+=,其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则tan2α=( )A .247-B .43-C .724D .2474.在下列区间中,函数()34x f x x =+的零点所在的区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)5.在区间[]0,π上随机取一个数x ,使得1sin 2x ≤的概率为( ) A .13B .2πC .12D .236.下列结论中错误的是( ) A .若0ab >,则2b a a b+≥ B .函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<()的最小值为2C .函数22x x y -=+的最小值为2D .若01x <<,则函数1ln 2ln x x+≤- 7.一个三棱锥A BCD -内接于球O ,且3AD BC ==,4AC BD ==,13AB CD ==O 到平面ABC 的距离是( )A .152B 15C .154D .1568.设{}n a 为等比数列,给出四个数列:①{}2n a ,②{}2n a ,③{}2na ,④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是( ) A .①③B .②④C .②③D .①②9.已知0a >,0b >,1a b +=,则14y a b=+的最小值是( ) A .72B .4C .9D .510.在OAB ∆中,P 为线段AB 上的一点,OP xOA yOB =+,且2BP PA =,则 A .23x =,13y = B .13x =,23y = C .14x =,34y =D .34x =,14y = 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2024年河南省开封高级中学高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
2024年河南省开封高级中学高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数()f x 是奇函数,且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----,若对11[,]62x ∀∈,(1)(1)f ax f x +<-恒成立,则a 的取值范围是( ) A .(3,1)--B .(4,1)--C .(3,0)-D .(4,0)-2.已知33a b ==,且(2)(4)a b a b -⊥+,则2a b -在a 方向上的投影为( ) A .73B .14C .203D .73.已知111M dx x =+⎰,20cos N xdx π=⎰,由程序框图输出的S 为( )A .1B .0C .2πD .ln 24.如图,2AB =是圆O 的一条直径,,C D 为半圆弧的两个三等分点,则()AB AC AD ⋅+=( )A .52B .4C .2D .13+5.若函数()f x 的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A .()x e xf x x +=B .()21x f x x -=C .()x e xf x x-=D .()21x f x x+=6.已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π,则a =( )A .3B .3-C .33-D .3-7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,芜草第1天长高1尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是( ) (结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg30.4771≈,lg 20.3010≈) A .2 B .3C .4D .58.已知函数,其中04?,?04b c ≤≤≤≤,记函数满足条件:(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ,则事件A发生的概率为 A .14B .58C .38D .129.已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则AB =( )A .{}2345,,,B .{}234,,C .{}1234,,,D .{}01234,,,, 10.若i 为虚数单位,则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限11.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A .向右平移5π6个长度单位 B .向右平移5π12个长度单位 C .向左平移5π6个长度单位D .向左平移5π12个长度单位12.已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-(m 为实数)为偶函数,记()0.5log 3a f =,()2log 5b f =,(2)c f m =+则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .c b a <<二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
河南省开封市2022-2023学年高一上数学期末综合测试试题含解析
,当且仅当 同向时等号成立,
所以 ,
即 的最大值为14,
由 两边平方可得:
,
所以 ,
所以 ,
即 .
故答案为:14;10
【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质,数量积的定义,考查了运算能力,属于中档题.
16、32
【解析】在正四棱锥的高和斜高所在的直角三角形中计算出斜高后,根据三角形的面积公式即可求出侧面积.
【详解】(1)原式
.
(2)原式
.
21、(1) ;(2) .
【解析】(1)利用平面向量加法的三角形法则可求出 、 的值,进而可计算出 的值;
(2)设 ,设 ,根据平面向量的基本定理可得出关于 、 的方程组,解出这两个未知数,可得出 关于 、 的表达式,然后用 、 表示 ,最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出 的值.
故选:A
2、B
【解析】根据已知条件,首先利用 表示出 ,然后根据已知条件求出 的取值范围,最后利用一元二次函数并结合 的取值范围即可求解.
【详解】∵ 且 , 则 ,且 ,∴ , 即
由 ,
∴ ,
又∵ ,
∴当 时, ,
当 时, ,
故 有最小值 .
故选:B.
3、D
【解析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.
A. B.
C. D.
12.如果角 的终边在第二象限,则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.用秦九韶算法计算多项式 ,当 时的求值的过程中, 的值为________.
14.若 ,则 的值为___________.
15.已知 , ,则 的最大值为______;若 , ,且 ,则 ______.
河南省开封市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末综合测试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题:本题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{}n a 满足11a =,()*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ,则4a =( )A .4B .-4C .8D .-82.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c .2sin c B =,则角C 的大小为( ) A .3π B .6π或56πC .56πD .3π或23π3.已知x y 与之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a=+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a ''+'=则以下结论正确的是( )A .,b ba a '>'>B .,b b a a '>'<C .,b b a a ''D .,b b a a '<'<4.在等比数列{}n a 中,若357a a a =-28a a =( ) A .3BC .9D .135.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3是a 2与a 6的等比中项,S 3=3,则S 8=( ) A .36B .42C .48D .606.下列结论不正确的是( ) A .若a b >,0c >,则ac bc > B .若a b >,0c >,则c c a b> C .若a b >,则a c b c +>+D .若a b >,则a c b c ->-7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =( ) A .1-B .1C .2-D .28.已知点()3,1A ,()1,4B -,则与向量AB 的方向相反的单位向量是( ) A .43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B .43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C .34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D .34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭9.在等比数列{}n a 中,11a =,2q ,16n a =,则n 等于()A .3B .4C .5D .610.某个算法程序框图如图所示,如果最后输出的S 的值是25,那么图中空白处应填的是( )A .4?i <B .5?i <C .6?i <D .7?i <11.在下列区间中,函数()34x f x x =-+的零点所在的区间为( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,4)12.下列各角中,与126°角终边相同的角是( ) A .126-B .486C .244-D .574二、填空题:本题共4小题 13.关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题:①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍;②()y f x =的图像关于点06⎛⎫-⎪⎝⎭,π对称,其中正确的序号是____________. 14.设()3sin cos 2sin x x x θ-=+,其中02θπ<<,则θ的值为________. 15.关于x 的不等式1(tan 1)tan 4+-+≥x x m m ,对于0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围为_______. 16.数列满足,则.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年河南省开封高中高一上数学期末统考试题含解析
即因此不存在 ,x2∈[π,+∞)(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1
所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间
【点睛】本题考查了函数的性质,对新定义的理解,要求不仅好的理解能力,还要有好的推理能力.
21、(1) ;(2)直线 过定点 ;(3)
故选A.
点睛:本题利用平行四边形法则表示和向量,因为对称,所以借助数量积定义中的投影及单位向量即可表示出和向量,解题时要善于借助图像特征体现向量的工具作用.
6、C
【解析】由条件 ,根据集合的子集的概念与运算,即可求解
【详解】由题意,可得满足 2, 的集合A为: , , , 2, ,共4个
故选C
【点睛】本题主要考查了集合的定义,集合与集合的包含关系的应用,其中熟记集合的子集的概念,准确利用列举法求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题
则 ,即 ,满足条件的a不存在,
综上,
20、(1)证明详见解析;(2)a>1;(3)证明详见解析.
【解析】(1)取特殊点可以验证;
(2)利用 的单调递减可以求实数a的取值范围;
(3)先证f(x)在 上存在零点,然后函数 在区间[0,+∞)上仅有2个零点,f(x)在[π,+∞)上不存在零点,利用定义说明区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间.
(2)若 是直线 上的动点,过 作圆 的两条切线 ,切点为 ,探究:直线 是否过定点;
(3)若 为圆 的两条相互垂直的弦,垂足为 ,求四边形 的面积的最大值.
22.已知函数 .若函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)求出 在 上的单调递增区间.
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末质量检测模拟试题含解析
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知等比数列{}n a 中,31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77b a =,则311b b +=( ) A .3B .6C .7D .82.函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为( ) A .2πB .32π C .πD .2π3.已知数列{}n a 共有5项,满足123450a a a a a >>>>≥,且对任意i 、()15j i j ≤≤≤,有i j a a -仍是该数列的某一项,现给出下列4个命题:(1)50a =;(2)414a a =;(3)数列{}n a 是等差数列;(4)集合{},15i j A x x a a i j ==+≤≤≤中共有9个元素.则其中真命题的个数是 ( ) A .1 B .2C .3D .44.函数y=2的最大值、最小值分别是( ) A .2,-2B .1,-3C .1,-1D .2,-15.已知tan 3α=,则sin 2cos sin ααα-等于( )A .13B .23C .3-D .36.已知数列前项和为,且满足,(为非零常数),则下列结论中:①数列必为等比数列;②时,;③;④存在,对任意的正整数,都有正确的个数有( )A .1B .2C .3D .47.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1200、1600人,该校为了了解本校学生视力情况,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为( )A .16B .24C .32D .408.直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为( )A .4πB .3π C .2π D .56π 9.在等比数列{}n a 中,34a =,516a =,则9a 等于( ) A .256B .-256C .128D .-12810.已知满,x y 足条件0{02x y y x ≤≥-≤,则目标函数z x y =+的最小值为A .0B .1C .D .二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2024届河南省开封高中数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析
2024届河南省开封高中数学高一第二学期期末统考模拟试题请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1.下面四个命题:①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”; ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”;③“直线a 、b 为异面直线”的必要不充分条件是“直线a 、b 不相交”;④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”; 其中正确命题的序号是( ) A .①②B .②③C .③④D .②④2. 过点P (-2,4)作圆O :(x -2)2+(y -1)2=25的切线l ,直线m :ax -3y =0与直线l 平行,则直线l 与m 间的距离为( ) A .4B .2C .D .3.在数列{a n }中,若a 112=,且对任意的n ∈N *有112n na n a n ++=,则数列{a n }前10项的和为( ) A .509256B .511256C .756512D .7555124.若cos θ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若过点()2,M m -,(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行,则m 的值为( ) A .1 B .4 C .1或3 D .1或46.已知向量,,,则( )A .B .C .5D .25 7.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙下成平局的概率为( ) A .50%B .30%C .10%D .60%8.若23x =,则x =( )A .2log 2B .lg 2lg3-C .lg 2lg 3D .lg3lg29.在ABC ∆中,已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1a n =+,b n =,1c n =-,n ∈+N ,且2A C =,则ABC ∆的最小角的正切值为( )A .13B .23C .23D .7310.己知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分別内3n a n =+,24n b n =,若,,n n n n n n na abc b a b ≥⎧=⎨⎩<,则数列{}n c 中最小项的值为( ) A .463+B .24C .6D .7二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末统考试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的 1.将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A .12π B .6π C .3π D .56π 2.函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象如图所示,为了得到()sin 2g x x =的图象,可将()f x 的图象( )A .向右平移6π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移12π个单位D .向左平移6π个单位 3.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =)3,1-,n =(cos A ,sin A ),若m 与n 夹角为3π,则a cos B +b cos A =c sin C ,则角B 等于( ) A .6π B .3π C .4π D .23π 4.两直角边分别为3的表面积是( ) A .332+ B .3π C .9234+ D .(323)π+5.已知向量()()(),1,21,30,0m a n b a b =-=->>,若//m n ,则21a b+的最小值为( ).A .12B .843+C .16D .1023+6.已知平面向量,a b 的夹角为23π,且1,2a b ==,则a b +=( ) A .3B .3C .7D .77.在正项等比数列{}n a 中,274a a =,则212822log log log a a a ++⋯+=( ) A .5B .6C .7D .88.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A .6πB .3π C .23π D .233ππ或9.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱10.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问小儿多少岁,各儿岁数要谁推,这位公公年龄最小的儿子年龄为( ) A .8岁B .11岁C .20岁D .35岁二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
人教A版高中数学必修三试卷开封高中实验学校期末练习试题1.docx
开封高中实验学校数学期末练习试题1命题人:张文伟 审题人:冯韵山一.选择题1.如果角θ的终边经过点)21,23(-,则=θtan ( ) A .21B .23-C .3D .33-2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( ) A .“至少一个白球”与“都是白球” B .“至少有一个白球”与“至少有1个红球” C .“恰有一个白球”与“恰有二个白球” D .“至少有1个白球”与“都是红球” 3.函数)3sin(π-=x y 的一个单调区间是 ( )A .)65,6(ππ-B .)6,65(ππ-C .)2,2(ππ-D .)32,3(ππ- 4.对于非零向量a 、b ,下列命题中正确的是 ( ) A .00a b a ⋅=⇒=或0b = B . ∥b a ⇒在b 上的正射影的数量为||aC . 2()a b a b a b ⊥⇒⋅=⋅ D . a c b c a b ⋅=⋅⇒=5.某班5次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下: ( )甲:90 82 88 96 94; 乙:94 86 88 90 92A .甲的平均成绩比乙好B .甲的平均成绩比乙差C . 甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好D .甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好 6.化简2cos ()4πα--2sin ()4πα-得到 ( ) A .α2sin B .α2sin - C .α2cos D .α2cos -7.已知0a b =≠,且a 与b 不共线,则a b +与a b -的关系为( )A .相等B .相交但不垂直C .平行D .垂直8.已知21tan =α,52)tan(-=-βα,则=-)2tan(αβ ( ) A .43- B .121- C .89- D .899.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球,从中任取两个球,两球同色的概率为( ) A .15 B .25 C .35 D .4510.函数sin y x =的图像是由函数sin 32y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭)的图像怎样变化而成( )A .把图像上所有点向左平行移动6π个单位,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) B .把图像上所有点向左平行移动2π个单位,再把横坐标伸长到原来的31倍(纵坐标不变)C .把图像上所有点向右平行移动2π个单位,再把横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变) D .把图像上所有点向右平行移动6π个单位,再把横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)11.点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足1233AP AB AC =+uuu ruuur uuu r ,则△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为( ) A .51 B . 52 C . 31 D . 3212.计算13599⨯⨯⨯⨯的算法流程图中:下面算法中错误的是 ( )二.填空题13.若点P )cos 2,cos (sin θθθ位于第三象限,则角θ是第 象限的角.14.半径为8 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆.现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .15.统计某校800名学生的数学期末成绩,得到频率分布 直方图如图所示,若考试采用100分制,并规定不低于 60分为及格,则及格率为 .16.半径为2的圆O 与长度为6的线段PQ 相切,切点恰好为线段PQ 的三等分点, 则OP OQ ⋅= .三.解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知矩形中ABCD ,3,4AB BC ==,1,AB e AB=2,AD e AD=(1)若12AC xe ye =+,求,x y(2)求AC 与BD 夹角的余弦值.18.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:(1)写出表中①②位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.19.已知312tan ,cos()413ααβ=+=-,且,(0,)2παβ∈.第15题(1)求22cos sin 12)4ααπα--+的值; (2)求cos β的值.20.已知32cos cos 2sin 2)(244-++=x x x x f .(1)求函数)(x f 的最小正周期.(2)求函数)(x f 在闭区间]163,16[ππ上的最小值并求当)(x f 取最小值时,x 的取值集合.21.已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R,都有f (-x ) = f (2+x )成立,设向量→a = ( sinx , 2 ) ,→b = (2sinx , 12),→c = ( cos 2x , 1 ),→d =(1,2),(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)当x ∈[0,π]时,求不等式f (→a ·→b )>f (→c ·→d )的解集.22.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量(1,2)a =-,又点(8,0)A ,(,)B n t ,(sin ,)C k t θ.(1)若AB a ⊥,且5AB OA =,求向量OB . (2)若向量AC 与向量a 共线,常数0k >,当()sin f t θθ=取最大值4时,求OA OC ⋅.答案:DCACD ADBBA C C 13. 二 14. 494515.0.8 16.-4 17. 解:(1)3,4,AB BC ==1234AC AB BC e e ∴=+=+,3,4x y ∴==(2)设AC 与BD 的夹角为θ,由2143,BD AD AB e e =+=-5,AC BD ==22122121(34)(43)169cos 5525e e e e e e AC BDAC BDθ+⋅--⋅∴===⨯=725 ∴AC 与BD 的夹角的余弦值为72518. 解: (1) ①②位置的数据分别为12、0.3; ……………………………3分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;……………………6分(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ,e ),则从6人中任取2人的所有情形为:{ab ,ac ,ad ,ae ,af ,bc ,bd ,be ,bf ,cd ,ce ,cf ,de ,df ,ef }共有15种.……………………………………………………………8分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ,则事件A 所含的基本事件的种.……………………………………………………………10分 所以93()155P A ==,故2人中至少有一名是第四组的概率为35.………12分19.解 (1)原式=cos sin 1tan 1cos sin 1tan 7αααααα--==++34(2),(0,)sin cos 255παβαα∈∴==又5sin()13αβ+=则[]33cos cos ()65βαβα=+-=-20.(1)()cos 41f x x =-, 2T π=(2)()f x 的最小值是12--,此时x 的集合是3{}4π21.解(1)设f (x )图象上的两点为A(-x ,y 1)、B(2+x , y 2),因为(-x )+(2+x )2=1f (-x ) = f (2+x ),所以y 1= y 2由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称, ∴f (x )的增区间为[)1,+∞; f (x ) 的减区间为(],1-∞ (2)∵→a ·→b =(sinx ,2)·(2sinx , 12)=2sin 2x +1≥1,→c ·→d =(cos 2x ,1)·(1,2)=cos 2x +2≥1,∵f (x )在是[1,+∞)上为增函数,∴f (→a ·→b )>f (→c ·→d )⇔f (2sin 2x +1)> f (cos 2x +2)⇔ 2sin 2x +1>cos 2x +2⇔1-cos 2x +1>cos 2x +2⇔ cos 2x <0⇔2k π+2π<2x <2k π+23π,k ∈z ⇔k π+4π<x <k π+43π, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4π<x <43π综上所述,不等式f (→a ·→b )>f (→c ·→d )的解集是:{ x |4π<x <43π } 。
2010-2023历年河南省开封实验学校高一下学期期末练习1数学试卷(带解析)
2010-2023历年河南省开封实验学校高一下学期期末练习1数学试卷(带解析)第1卷一.参考题库(共10题)1.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合计501.00(1)写出表中①②位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.2.函数的图像是由函数)的图像怎样变化而成()A.把图像上所有点向左平行移动个单位,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)B.把图像上所有点向左平行移动个单位,再把横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)C.把图像上所有点向右平行移动个单位,再把横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)D.把图像上所有点向右平行移动个单位,再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)3.函数的一个单调区间是()A.B.C.D.4.半径为2的圆O与长度为6的线段PQ相切,切点恰好为线段PQ的三等分点, 则= .5.已知.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数在闭区间上的最小值并求当取最小值时,的取值集合.6.已知矩形中ABCD,,(1)若,求(2)求与夹角的余弦值.7.点P是△ABC所在平面内的一点,且满足,则△PAC的面积与△ABC的面积之比为()A.B.C.D.8.已知,且.(1)求的值;(2)求的值.9.某班5次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下:()甲:90 82 88 96 94;乙:94 86 88 90 92A.甲的平均成绩比乙好B.甲的平均成绩比乙差C.甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好D.甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好10.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量,又点,,.(1)若,且,求向量.(2)若向量与向量共线,常数,当取最大值4时,求.第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案:(1)12,0.3;(2)3,2,1;(3) 试题分析:(1) ①位置的数据为,②位置的数据为;(2)分层抽样法求得第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情形为:{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}共有15种,故2人中至少有一名是第四组的概率为.试题解析:(1) ①②位置的数据分别为12、0.3;(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情形为:{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}共有15种.记“2人中至少有一名是第四组”为事件A,则事件A所含的基本事件的种数有9种.所以,故2人中至少有一名是第四组的概率为.考点:统计问题与概率的计算2.参考答案:A试题分析:把图像上所有点向左平行移动个单位得到的图象,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到的图象,答案选A.考点:三角函数的图象与变化3.参考答案:A试题分析:函数的单调增区间为即,减区间为即,答案选A.考点:三角函数的单调性4.参考答案:-4试题分析:设切点为T,则,TP与TQ的长度一个为2,一个为4,而,答案为-4.考点:向量的运算与性质5.参考答案:(1);(2),试题分析:(1),故周期;(2) 当即时,为减函数,所以在上减 ,所以当时,取得最小值,此时的集合是.试题解析:(1),所以(2)当即时,为减函数,所以在上减 ,所以当时,取得最小值,此时的集合是考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式;3.三角函数的性质6.参考答案:(1);(2) 试题分析:(1),;(2)设与的夹角为,由=,因此向量与的夹角的余弦值为.试题解析:(1),(2)设与的夹角为,由=与的夹角的余弦值为考点:向量的运算及性质7.参考答案:C试题分析:由于,所以即,而,,答案选C. 考点:向量的运算与三角形的面积公式8.参考答案:(1);(2) 试题分析:(1)=;(2)因为,由已知易求出,,则.试题解析:(1)原式=,则考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式9.参考答案:D试题分析:因为,,所以有,,所以答案选D.考点:样本平均数与方差10.参考答案:(1)(24,8)或(-8,-8);(2)32试题分析:(1)由可知,又即,解得,所以(24,8)或(-8,-8;(2) ,因为向量与向量共线,所以,则,①时,取最大值为,由=4,得,此时,②,时,取最大值为,由=4,得,(舍去).试题解析:(1),,又,得,所以或或(2),因为向量与向量共线,①时,取最大值为,由=4,得,此时,②,时,取最大值为,由<i。
河南省开封市高一下学期数学期末考试试卷
河南省开封市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2019·湖北模拟) 已知,则()A .B .C .D .2. (2分) (2019高三上·雷州期末) 设向量,则下列结论中正确的是()A .B .C .D .3. (2分) (2019高二上·张家口月考) 为了解某社区居民有无收看“青运会开幕式”,某记者分别从某社区岁,岁,岁的三个年龄段中的人,人,人中,采用分层抽样的方法共抽查了人进行调查,若在岁这个年龄段中抽查了人,那么为()A .B .C . 220D .4. (2分)将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位,则所得函数图像对应的解析式为()A .B .C .D .5. (2分)每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:“每个选项正确的概率是,我每题都选择第一个选项,则一定有3道题选择结果正确”这句话()A . 正确B . 错误C . 不一定D . 无法解释6. (2分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为()A . 7B . 8C . 9D . 1687. (2分) (2020高一下·林州月考) 已知角的终边过点则的值为()B .C .D .8. (2分) (2020高一下·林州月考) 半径为,圆心角为的扇形面积为()A .B .C .D .9. (2分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的x的值为()A . 3B . 126C . 127D . 12810. (2分)欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率()B .C .D .11. (2分)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,则m等于()A . -3B . 3C .D . ±312. (2分)设a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数f(x)=cos2x+2asinx﹣1的最大值为()A . 2a+1B . 2a﹣1C . ﹣2a﹣1D . a2二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)(2018·宝鸡模拟) 已知函数的最小正周期为,则当,时函数的一个零点是________.14. (1分) (2017高一下·赣榆期中) 化简: =________.15. (1分) (2017高二下·廊坊期末) 甲乙两队进行排球比赛,已知在一局比赛中甲队获胜的概率是,没有平局.若采用三局两胜制比赛,即先胜两局者获胜且比赛结束,则甲队获胜的概率等于________(用分数作答).16. (1分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0,f(x)=ex﹣ax,若函数在R上有且仅有4个零点,则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共6题;共55分)17. (10分) (2016高一下·新疆开学考) 向量 =(1,2), =(x,1),(1)当 +2 与2 ﹣平行时,求x;(2)当 +2 与2 ﹣垂直时,求x.18. (10分) (2016高二上·辽宁期中) 某班有学生50人,其中男同学30人,用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.(1)求从该班男女同学在各抽取的人数;(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受,求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.19. (10分) (2016高一下·姜堰期中) 计算下面各题(1)已知sinα= ,α∈(,π),求sin2α;(2)已知tanα= ,求tan2α的值.20. (5分)在大小相同的5个球中,只有红色和白色两种球,若从中任取2个,全是白球的概率为0.3,求所取出的2个球中至少有1个红球的概率.21. (10分) (2018高一下·广东期中) 设函数,其中,, .(1)求 f ( x ) 的解析式;(2)若关于 x 的不等式 f ( x ) − m < 2 在x ∈ [ π 4 , π 2 ] 上有解,求实数 m 的取值范围.22. (10分)某连锁经营公司所属个零售店某月的销售额和利润额资料如表:商店名称A B C D E销售额x(千万元)35679利润率y(千万元)23345(1)用最小二乘法计算利润额对销售额y的回归直线方程;(2)当销售额为4(千万元)时,估计利润额的大小.= .参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
河南省开封市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含解析
开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题(答案在最后)注意事项:1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数1i2i z +=+,则z 的虚部为()A.15-B.15 C.1i5- D.1i 5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则,化简得到31i 55z =+,结合复数的概念,即可求解.【详解】由复数()()()()1i 2i 1i 31i 2i 2i 2i 55z +-+===+++-,所以z 的虚部为15.故选:B.2.在ABC 中,13BD BC = ,设,AB a AC b == ,则AD =()A.2133a b +r rB.2133a b -+ C.4133a b -D.4133a b + 【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则,计算可得答案.【详解】由13BD BC =,可得,1()3AD AB AC AB -=-,整理可得,12133323a bAD AB AC +=+= .故选:A3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A =“2枚硬币都是正面朝上”,事件B =“2枚硬币朝上的面相同”,则下列A 与B 的关系中正确的个数为()①A B ⊆②互斥③互为对立④相互独立A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型的计算公式、互斥事件、对立事件、独立事件的概念对选项一一分析判断即可得出答案.【详解】由题意可知:一枚硬币有两个等可能结果:正面朝上、反面朝上,两枚硬币有两个等可能结果:正正、正反、反正、反反,事件A =“2枚硬币都是正面朝上”包含的情况为:正正,事件B =“2枚硬币朝上的面相同”包含的情况为:正正,反反,故A B ⊆,故①正确;②错误;事件A 的对立事件为:正反、反正、反反,故③错误;则()()121,442P A P B ===,()12P AB =,所以()()()P A P B P AB ≠,故④错误.故选:A .4.已知,m n 为空间中两条直线,,αβ为空间中两个平面,则下列说法正确的是()A.若,m m n α⊥⊥,则n α∥B.若,,m n m n αβ⊂⊂∥,则αβ∥C.若,,m n ααββ⊥⊥∥,则m n ⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥【解析】【分析】由选项A 的条件可得出线在面内或线面平行可以判断A 选项;由选项B 的条件可得出两个平面平行或相交可以判断B 选项;由选项C 的条件可得出两条直线可以平行、相交或异面可判断C 选项;根据面面垂直的判定可以判断D 选项.【详解】对于A ,若,m m n α⊥⊥,则n α∥或n ⊂α,A 错;对于B ,若,,m n m n αβ⊂⊂∥,则αβ∥或,αβ相交,B 错;对于C ,若,,m n ααββ⊥⊥∥,则,m n 相交或//m n 或,m n 异面,C 错;对于D ,若m α⊥,m n ⊥,则n ⊂α或//n α,当n ⊂α,又n β⊥,可得αβ⊥;当//n α时,如图,平面α内必然有一条直线设为l 与n 平行,由n β⊥,则l β⊥,由面面垂直的判定可得αβ⊥,所以D 正确.故选:D .5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这三条线段不能构成一个三角形的概率为()A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可.【详解】取出3条线段的情况有()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,()()()()3,5,7,3,5,11,3,7,11,5,7,11,共10种,不能构成三角形的有()()()()()()()2,3,5,2,3,7,2,3,11,2,5,7,2,5,11,2,7,11,3,5,11,()3,7,11共8种,故概率84105P ==.6.已知,O O '分别是圆柱O O '上、下底面圆的圆心,,A B 分别是上、下底面圆周上一点,若2O O O A '=',且直线O A '与OB 垂直,则直线AB 与O O '所成的角的正切值为()A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】如图,过点B 作圆柱的母线,交圆柱的上底面于点C ,连接,AC O C ',说明ABC ∠即为直线AB 与O O '所成的角的平面角,进而可得出答案.【详解】如图,过点B 作圆柱的母线,交圆柱的上底面于点C ,连接,AC O C ',则BC ⊥平面AO C ',则//BC OO ',且BC OO '=,所以四边形BCO O '为平行四边形,所以//OB O C ',因为O A OB '⊥,所以O A O C ''⊥,设22O O O A a '==',则2,,BC a OB O C a AC '====,因为BC ⊥平面AO C ',AC ⊂平面AO C ',所以BC AC ⊥,则tan 22AC ABC BC a ∠===,即直线AB 与O O '所成的角的正切值为2.故选:B.7.如图所示,为测量河对岸的塔高AB ,选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ,现测得3tan ,50m 4ACB CD ∠==,3cos ,cos 55BCD BDC ∠∠==,则塔高AB 为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先在BCD △中,利用正弦定理求得BC ,再在直角ABC 中,利用正切函数的定义,求得AB 的长,即可求解.【详解】在BCD △中,350m,cos 5CD BCD BDC ∠∠===,所以4sin 55BCD BDC ∠∠==所以()34sin sin 55CBD BCD BDC ∠∠=+∠=+=,由正弦定理sin sin CD BCCBD BDC=∠∠,可得4505BC ⨯==在直角ABC 中,因为3tan ,4ACB ∠=所以3tan 4AB BC ACB ∠=⋅==,即塔高为.故选:C .8.如图,在平面四边形ABCD 中,90,2,A AB AD BCD ∠=== 为等边三角形,当点M 在对角线AC 上运动时,MC MD ⋅的最小值为()A.-2B.32-C.-1D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用几何知识易得ABC ADC ≅△△,利用向量加法运算及数量积定义得26322MC MD MC ⎛⋅=-- ⎝⎭,然后利用二次函数求解最值即可,【详解】由题意,2AB AD ==,4560105ABC ADC ∠=∠=+= ,22BC DC BD ===,所以ABC ADC ≅△△,所以ACB ACD ∠=∠,即AC 平分BCD ∠,由MD MC CD =+ 可得2()MC MD MC MC CD MC MC CD⋅=⋅+=+⋅22263cos150622MC MC CD MC MC MC ⎛=+⋅⋅=-=-- ⎝⎭,所以当62MC =时,MC MD ⋅ 有最小值为32-.故选:B二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复数z 满足i 1i z =+,则()A.1iz =+B.z 在复平面内对应的点位于第四象限C.2z =D.2220z z -+=【答案】ABD【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出z ,再根据共轭复数的定义即可判断A ;根据复数的几何意义即可判断B ;根据复数的模的公式即可判断C ;根据复数的四则运算即可判断D.【详解】由i 1i z =+,得()21i i1i 1i i iz ++===-,则1i z =+,故A 正确;z 在复平面内对应的点为()1,1-,位于第四象限,故B 正确;z ==,故C 错误;()()22221i 21i 22i 22i 20z z -+=---+=--++=,故D 正确.故选:ABD.10.某学校为普及安全知识,对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,根据该直方图,下列结论正确的是()A.图中x 的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6【答案】ACD 【解析】【分析】根据频率分布直方图性质可得x ,判断A ;计算出得分不小于90的频率,即可判断B ;计算得分介于50至80之间的频率与0.75比较,从而判断C ;由频率分布直方图平均数计算公式计算判断D .【详解】由频率分布直方图性质可得:()0.0100.0120.0280.030101x ++++⨯=,解得0.020x =,故A 正确;得分不小于90的频率为0.012100.12⨯=,故得分不小于90的人数估计为10000.12120⨯=人,故B 错误;得分介于50至80之间的频率为0.01100.028100.030100.680.75⨯+⨯+⨯=<,所以该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80,故C 正确;该校高一学生竞赛得分的平均数估计为550.01010650.02810750.03010850.02010950.0121074.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,故D 正确.故选:ACD11.若平面上的三个力123,,F F F 作用于一点,且处于平衡状态.已知124N,2N F F == ,1F 与2F的夹角为120 ,则下列说法正确的是()A.3F =B.1F 与3F的夹角为90C.2F 与3F的夹角为90D.()1324F F F +⋅= 【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的图形运算法则,结合余弦定理和向量数量积的定义等知识进行求解即可.【详解】如图所示,设123,,F F F 分别为,,OA OB OC,将向量进行平移,OB平移至OB ',将OA反向延长至点D ,则120AOB ∠=︒,18060OAB DOB AOB '==︒-=︒∠∠∠,在OAB '△中,由余弦定理得,22212cos 60164242122OB AB OA AB OA '''=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=,所以OB '=,即3F =,故A 正确;显然,在OAB '△中,22212416OB AB OA ''+=+==,即90AB O '=︒∠,所以30COD AOB '==︒∠∠,所以1F 与3F的夹角180150AOC COD ∠=︒-∠=︒,故B 错误;2F 与3F的夹角603090BOC DOB COD =+=︒+︒=︒∠∠∠,故C 正确;()()()21324F F F OA OC OB OA B O OB B A OB OB ''+⋅=+⋅=+⋅=⋅=-=- ,故D 错误故选:AC12.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,G 为面对角线1A D 上的一个动点(包含端点),则下列选项中正确的有()A.三棱锥11B GBC -的体积为定值B.线段1A D 上存在点G ,使1A C ⊥平面1GBC C.当点G 与点1A 重合时,二面角11G BC B --的余弦值为63D.设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ,则tan θ2【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项,利用等体积法判断;对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【详解】对于A ,因为三棱锥11B GBC -的体积11111113B GBC G BB C BB C V V S DC --==⋅ ,易得平面11//ADD A 平面11BCC B ,DC ⊥平面11BCC B ,所以G 到平面11BCC B 的距离为定值DC ,又11BC S △B 为定值,所以三棱锥11B GBC -体积为定值,故A 正确.对于B ,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()1,0,0A ,()()1,1,0,0,0,0B D ,()0,1,0C ,()11,0,1A ,()10,0,1D ,()10,1,1C ,设()101DG DA λλ=≤≤ ,所以(),0,G λλ,()11,1,1AC =--,设(),,n x y z =⊥ 平面1GBC ,()11,0,1BC =- ,()1,1,1C G λλ=--,则()11010n BC x z n C G x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ,取1x =,则1,21z y λ==-,则()1,21,1n λ=- ,要使1A C ⊥平面1GBC ,即1//AC n ,1AC n =-,此时[]=01,1λ∈-,故B正确.对于C ,当点G 与点1A 重合时,此时()1,0,1G ,设()111,,m x y z =⊥平面1GBC ,()11,0,1BC =- ,()0,1,1BG =- ,则1111100m BC x z m BG y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,取11x =,则111,1z y ==,则()1,1,1n = ,设()0,1,0p =⊥平面11BB C ,设二面角11G BC B --所成角为α,所以3cos cos ,3m p m p m p α⋅====⋅,因为α为锐二面角,[]0,πα∈,所以cos 3α=,故C 不正确;对于D ,(),0,G λλ,()()1,1,0,1,1,B BG λλ=--,设()0,1,0p =⊥平面11BCC B ,设直线BG 与平面11BCC B 所成角为θ,π0,2θ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,所以sin cos ,BG pBG p BG p θ⋅===⋅==,因为sin ,tan y x y x ==在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以当sin θ取得最大值时,tan θ取得最大值,当1=2λ时,()max sin 3θ==,此时cos 3θ=,所以()max2tan 2θ=,所以D 正确故选:ABD .三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()1,2a = ,(1,)b λ=- ,若a b ⊥ ,则λ=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】解:因为a b ⊥ ,(1,2)a = ,()1,b λ=- ,所以120a b λ⋅=-+=,解得12λ=.故答案为:12.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地,天气预报6月30日后连续四天,每天下雨的概率为0.6,利用计算机进行模拟试验,产生09 之间的整数随机数,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨,6,7,8,9表示当天不下雨,每4个随机数为一组,产生如下20组随机数:95339522001874720018387958693181789026928280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.【答案】0.4##25【解析】【分析】求出表中数据四天中恰有三天下雨的情况即可得出概率.【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533,9522,0018,0018,3181,8425,2436,0753,共8组,所以估计四天中恰有三天下雨的概率为80.420=.故答案为:0.415.已知三角形ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且21,22AC AB b ab c ⋅=-= ,则a b +的取值范围是__________.【答案】(]2,4【解析】【分析】由数量积定义、余弦定理结合已知式可得224a b ab +-=,由基本不等式求解即可.【详解】21cos cos 2AC AB AC AB A bc A b ab ⋅=⋅==- ,由余弦定理可得:222cos 2b c a A bc+-=,所以224cos 2b a bc A +-=,所以2224122b a b ab +-=-,所以224a b ab +-=,所以()()()()2222223143=44a b ab a b ab a b a b a b =+-=+-≥+-++,所以()216a b +≤,又因为2a b c +>=,所以24a b <+≤,所以a b +的取值范围是(]2,4.故答案为:(]2,416.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理,科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙),若勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的表面积为25π,则正四面体ABCD 的棱长为______.【答案】4+4+【解析】【分析】设出棱长,先根据正四面体的性质求出外接球半径,再由四面体能够容纳的最大球的半径建立方程求解即可.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ,根据题意,勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切,如图,点E 为该球与勒洛四面体的一个切点,O 为该球球心,由正四面体的性质可知该球球心O 为正四面体ABCD 的中心,即O 为正四面体ABCD 外接球的球心(内切球的球心),则BO 为正四面体ABCD 的外接球的半径,勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为OE ,连接BE ,则,,B O E 三点共线,此时BE a =,由题意24π25πOE ⨯=,所以25OE =,所以52BO a OE a =-=-,如图:记M 为BCD △的中心,连接,BM AM ,由正四面体的性质可知O 在AM 上.因为AB a =,所以233BM a ==,则3AM ==,因为2222()BO BM OM AM OM =+=-,即22223633BO a OM OM ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得4BO a =,所以542a a =-,解得4a =+,即正四面体ABCD 的棱长为4+故答案为:4+【点睛】方法点睛:求解几何体外接球的半径的解题思路:一是根据球的截面的性质,利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离三者的关系222R r d =+求解,其中确定球心的位置是关键;二是将几何体补形成长方体,利用该几何体与长方体共有的外接球的特征,由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某校高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本.(1)求抽取男生、女生的人数;(2)观测样本的指标值(单位:cm ),计算得到男生样本的均值为170,方差为14,女生样本的均值为160,方差为34,求总样本的方差,并估计高一年级全体学生的身高方差.【答案】(1)30;20(2)方差为46,身高方差为46【解析】【分析】(1)根据分层抽样的概念及计算方法,即可求解;(2)记男生身高的均值记为x ,方差记为2x s ;女生身高的均值记为y ,方差记为2y s ,得到总样本的均值为166z =,结合222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-,即可求解.【小问1详解】解:由题意,高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本,所以抽取男生人数为60050301000⨯=,女生人数为40050201000⨯=.【小问2详解】解:记男生身高为1230,,,x x x ⋯,其均值记为x ,方差记为2x s ;女生身高为1220,,,y y y ⋯,其均值记为y ,方差记为2y s ,把总样本数据的均值记为z ,方差记为2s ,所以总样本的均值为30203017020160166505050z x y ⨯+⨯=+==,总样本的方差为222221{30[()]20[()]}50x y s s x z s y z =⋅⨯+-+⨯+-221{30[14(170166)]20[34(160166)]}4650=⋅⨯+-+⨯+-=,所以总样本的方差为46,据此估计高一年级学生身高的总体方差为46.18.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,,AB CD AD CD ⊥∥,122CD AD AA AB ====,点E 为1AA 的中点.(1)求证:1CD 平面BDE ;(2)设F 是直线1CD 上的动点,求三棱锥F BDE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)23.【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质得线线平行,再根据线面平行的判定即可证明;(2)利用等体积法求解即可.【小问1详解】如图所示,分别取1,DD CD 的中点,M N ,连接,,MN EM BN ,由题意得,EM AD 且EM AD =,BN AD ∥且BN AD =,所以EM BN ∥且=EM BN ,所以四边形EMNB 是平行四边形,所以EB MN ∥,又因为1∥MN CD ,所以1EB CD ∥,又因为1CD ⊄平面,BDE EB ⊂平面BDE ,所以1CD 平面BDE .【小问2详解】由(1)1CD 平面BDE ,所以1CD 上任意一点F 到平面BDE 的距离都相等,所以11F BDE D BDE B EDD V V V ---==,由题意1,DD CD AD CD ⊥⊥,又1= DD AD D ,1,DD AD ⊂平面11ADD A ,所以CD ⊥平面11ADD A ,又AB CD ,所以AB ⊥平面11ADD A ,即AB ⊥平面1EDD ,因为111122222EDD S DD AD =⋅=⨯⨯= ,所以1111221333B EDD EDD V S AB -=⋅=⨯⨯= ,所以三棱锥F BDE -的体积为23.19.如图,设,Ox Oy 是平面内相交成45 角的两条数轴,12,e e分别是与x 轴,y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP p xe ye ==+ ,则把有序数对(),x y 叫做向量p 在斜坐标系xOy 中的坐标.设向量,a b 在斜坐标系xOy中的坐标分别为((3,,.(1)求a b ⋅;(2)求向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标.【答案】(1)3(2)3,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)由题可知:1212123,,2a eb e e e ==+⋅=,再利用数量积的运算律求解即可;(2)利用向量a 在向量b 上的投影向量为1223332cos 555||b a b a b b e b b θ⋅===+求解即可.【小问1详解】由题可知:1212123,,1122a eb e e e =-=+⋅=⨯⨯=,则()()22121211223323232a b e e e e e ⋅=-⋅+=+⋅-=+-=.【小问2详解】b ==== 记a与b的夹角为θ,则向量a 在向量b 上的投影向量为()12233cos 555||b a b a b e b b θ⎛⎫⋅===+⎪⎝⎭,所以向量a在向量b上的投影向量在斜坐标系xOy 中的坐标为332,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.20.11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p ,乙发球时甲得分的概率为25,各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后,甲先发球.(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715,求p 的值;(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.【答案】(1)p 的值为23(2)32225【解析】【分析】(1)根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解;(2)根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分,根据题意的先后手情况,列出式子求解即可.【小问1详解】由题意可知,甲先发球,两人又打了2个球该局比赛结束,所对应的事件为A =“甲连赢两球或乙连赢两球”,所以()()227115515P A p p ⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭,解得23p =,即p 的值为23【小问2详解】由题意可知,若两人又打了4个球且甲获胜,所对应的事件为B =“前两球甲乙各得1分,后两球均为甲得分”,因为甲发球时甲得分的概率为23,乙得分的概率为21133-=,乙发球时甲得分的概率为25,乙得分的概率为23155-=,所以()23122232353535225P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭21.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin 353,cos sin 412b A B A a C ⋅⋅==⋅.(1)求cos B ;(2)若ABCD 为AC 的中点,求线段BD 的长.【答案】(1)8(2)3【解析】【分析】(1)先利用正弦定理化边为角,得出,b c的关系,再根据cos 12A =得出,a c 的关系,再利用余弦定理即可得解;(2)先根据三角形的面积公式求出,,a b c ,再向量化即可得解.【小问1详解】由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==,可得22222sin sin 3sin 4b A B ab b a C ac c ⋅⋅===⋅,即32b c =,又因为222227534cos 212c a b c a A bc -+-===,得2a c =,所以222234cos 28c a c b B ac +-==;【小问2详解】由(1)可知cos 8B =,由()0,πB ∈,得46sin 8B ==,所以21sin 216ABC S ac B c === ,得4,c a b ===,又因为1(),cos 62BD BA BC BA BC BA BC ABC =+⋅=⋅⋅∠=,所以3BD === ,即线段BD 的长为3.22.三棱锥D ABC -中,底面ABC 为正三角形,CD ⊥平面ABC ,E 为棱BC 的中点,且CDACλ=(λ为正常数).(1)若2λ=,求二面角C AE D --的大小;(2)记直线AC 和平面ADE 所成角为α,试用常数λ表示sin α的值,并求α的取值范围.【答案】(1)π3(2)sin α=;π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)先证明⊥AE 平面BCD ,从而可得二面角C AE D --的平面角是CED ∠,求解即可;(2)在平面BCD 内作CH DE ⊥,连接AH ,先证明CH ⊥平面ADE ,从而可得直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=,进而可得sin α=,求得10sin 2α<<,从而可求解.【小问1详解】底面ABC 为正三角形,E 为棱BC 的中点,所以BC AE ⊥,因为CD ⊥平面,ABC AE ⊂平面ABC ,所以CD AE ⊥,又因为,BC CD ⊂平面,BCD BC CD C ⋂=,所以⊥AE 平面BCD 又DE ⊂平面BCD ,所以DE AE ⊥,所以二面角C AE D --的平面角是CED ∠,而tan 212CD CD CED CE AC ∠λ====π02CED ∠<<,所以π3CED ∠=.故二面角C AE D --的大小为π3.【小问2详解】在平面BCD 内作CH DE ⊥,连接AH ,由⊥AE 平面,BCD AE ⊂平面ADE ,所以平面BCD ⊥平面ADE ,又平面BCD 平面=ADE DE ,CH ⊂平面BCD ,所以CH ⊥平面ADE ,所以直线AC 和平面ADE 所成的角CAH α∠=,在DCE △中,根据等面积法可得CE CD CH DE⋅=,所以12sin AC AC CH CE CD AC AC DE λα⋅⋅===⋅因为0λ>,所以2144λ+>2>,所以102<<即10sin 2α<<,因为π02α<<,所以π06α<<,所以直线AC 和平面ADE 所成角α的取值范围为π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
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开封高中实验学校数学期末练习试题1 命题人:张文伟 审题人:冯韵山一.选择题1.如果角的终边经过点,则 ( ) 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A .“至少一个白球”与“都是白球”B .“至少有一个白球”与“至少有1个红球”C .“恰有一个白球”与“恰有二个白球”D .“至少有1个白球”与“都是红球” 3.函数的一个单调区间是 ( )A .B .C .D . 4.对于非零向量、,下列命题中正确的是 ( ) A .00a b a ⋅=⇒=或0b = B . ∥在b 上的正射影的数量为 C . 2()a b a b a b ⊥⇒⋅=⋅ D . a c b c a b ⋅=⋅⇒=5.某班5次数学测验中,甲、乙两同学的成绩如下: ( )甲:90 82 88 96 94; 乙:94 86 88 90 92 A .甲的平均成绩比乙好 B .甲的平均成绩比乙差C . 甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好D .甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好6.化简2cos ()4πα--2sin ()4πα-得到 ( )A .B .C .D . 7.已知0a b =≠,且a 与b 不共线,则a b +与a b -的关系为( ) A .相等 B .相交但不垂直 C .平行 D .垂直8.已知,,则 ( ) A . B . C . D .9.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球,从中任取两个球,两球同色的概率为( )θ)21,23(-=θtan )3sin(π-=x y )65,6(ππ-)6,65(ππ-)2,2(ππ-)32,3(ππ-a b a ⇒||α2sin α2sin -α2cos α2cos -21tan =α52)tan(-=-βα=-)2tan(αβ43-121-89-89A .15 B .25 C .35 D .4510.函数sin y x =的图像是由函数sin 32y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭)的图像怎样变化而成( ) A .把图像上所有点向左平行移动6π个单位,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) B .把图像上所有点向左平行移动2π个单位,再把横坐标伸长到原来的31倍(纵坐标不变)C .把图像上所有点向右平行移动2π个单位,再把横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变) D .把图像上所有点向右平行移动6π个单位,再把横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) 11.点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足1233AP AB AC =+uuu ruuur uuu r ,则△PAC 的面积与△ABC 的面积之比为( ) A .51 B . 52 C . 31 D . 3212.计算13599⨯⨯⨯⨯的算法流程图中:下面算法中错误的是 ( )二.填空题13.若点P 位于第三象限,则角是第 象限的角.14.半径为8 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆.现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 .15.统计某校800名学生的数学期末成绩,得到频率分布 直方图如图所示,若考试采用100分制,并规定不低于 60分为及格,则及格率为 .)cos 2,cos (sin θθθθ第15题16.半径为2的圆O 与长度为6的线段PQ 相切,切点恰好 为线段PQ 的三等分点, 则OP OQ ⋅= .三.解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知矩形中ABCD ,3,4AB BC ==,1,AB e AB=2,AD e AD=(1)若12AC xe ye =+,求,x y(2)求AC 与BD 夹角的余弦值.18.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:(1)写出表中①②位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.19.已知312tan ,cos()413ααβ=+=-,且,(0,)2παβ∈.(1)求22cos sin 12)4ααπα--+的值; (2)求cos β的值.20.已知.(1)求函数的最小正周期. (2)求函数在闭区间上的最小值并求当取最小值时,的取值集合.32cos cos 2sin 2)(244-++=x x x x f )(x f )(x f ]163,16[ππ)(x f x21.已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R,都有f (-x ) = f (2+x )成立,设向量→a = ( sinx , 2) ,→b = (2sinx , 12),→c = ( cos 2x , 1 ),→d =(1,2),(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)当x ∈[0,π]时,求不等式f (→a ·→b )>f (→c ·→d )的解集.22.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量(1,2)a =-,又点(8,0)A ,(,)B n t ,(sin ,)C k t θ.(1)若AB a ⊥,且5AB OA =,求向量OB .(2)若向量AC 与向量a 共线,常数0k >,当()sin f t θθ=取最大值4时,求OA OC ⋅.答案:DCACD ADBBA C C 13. 二 14. 494515.0.8 16.-4 17. 解:(1)3,4,AB BC ==1234AC AB BC e e ∴=+=+,3,4x y ∴==(2)设AC 与BD 的夹角为θ,由2143,BD AD AB e e =+=-5,AC BD ==22122121(34)(43)169cos 5525e e e e e e AC BD AC BDθ+⋅--⋅∴===⨯=725 ∴AC 与BD 的夹角的余弦值为72518. 解: (1) ①②位置的数据分别为12、0.3; ……………………………3分(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;……………………6分(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ,e ),则从6人中任取2人的所有情形为:{ab ,ac ,ad ,ae ,af ,bc ,bd ,be ,bf ,cd ,ce ,cf ,de ,df ,ef } 共有15种.……………………………………………………………8分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ,则事件A 所含的基本事件的种数有9种.……………………………………………………………10分 所以93()155P A ==,故2人中至少有一名是第四组的概率为35.………12分 19.解 (1)原式=cos sin 1tan 1cos sin 1tan 7αααααα--==++34(2),(0,)sin cos 255παβαα∈∴==又5sin()13αβ+=则[]33cos cos ()65βαβα=+-=-20.(1)()cos 41f x x =-, 2T π=(2)()f x 的最小值是12--,此时x 的集合是3{}4π21.解(1)设f (x )图象上的两点为A(-x ,y 1)、B(2+x , y 2),因为(-x )+(2+x )2=1f (-x ) = f (2+x ),所以y 1= y 2由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称, ∴f (x )的增区间为[)1,+∞; f (x ) 的减区间为(],1-∞(2)∵→a ·→b =(sinx , 2)·(2sinx , 12)=2sin 2x +1≥1,→c ·→d =(cos 2x ,1)·(1,2)=cos 2x +2≥1,∵f (x )在是[1,+∞)上为增函数,∴f (→a ·→b )>f (→c ·→d )⇔f (2sin 2x +1)> f (cos 2x +2)⇔ 2sin 2x +1>cos 2x +2⇔1-cos 2x +1>cos 2x +2⇔ cos 2x <0⇔2k π+2π<2x <2k π+23π,k ∈z⇔k π+4π<x <k π+43π, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4π<x <43π综上所述,不等式f (→a ·→b )>f (→c ·→d )的解集是:{ x |4π<x <43π } 。
22.(1)(8,)AB n t =-,AB a ⊥,820n t ∴-+=又5AB OA =,22(8)564n t ∴-+=⨯得8t =±(24,8)OB ∴=或(8,8)--(2)(sin 8,)AC k t θ=-,因为向量AC 与向量a 共线,2sin 16t k θ∴=-+sin (2sin 16)sin t k θθθ=-+24322(sin )k k kθ=--+① 44,01k k ><<当时4sin k θ∴=时,sin t θ取最大值为32k, 由32k =4,得8k =,此时6πθ=,(4,8)OC =(8,0)(4,8)32OA OC ∴⋅=⋅= ②44,1k k<>当0<时,sin 1θ∴=时,sin t θ取最大值为216k -+,由216k -+=4,得6k =,(舍去)综上所述,32OA OC ∴⋅=。