第三节 厚壁圆筒应力分析
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第三节厚壁圆筒应力分析
3.3厚壁圆筒应力分析
3.3.1弹性应力
3.3.2弹塑性应力
3.3.3屈服压力和爆破压力
3.3.4提高屈服承载能力的措施
3.3.1弹性应力
i i c c o o
本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力
假设：a.理想弹塑性材料
b.圆筒体只取远离边缘区
图2-2
1、塑性区应力
平衡方程： r
r d r dr
θσσσ-= （2-26） M i s e s 屈服失效判据
：r s θσσ-=
（2-40） 联立积分，得
ln r s r A σ=
+ （2-41） :i r i r R p σ==-内壁边界条件，求出A 后带回上式得
ln r s i i r
p R σ=
- （2-42）
将（2-42）带入（2-40）得
1ln
s i i r p R θσ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
（2-43）
12ln 2
r z i i r
p R θ
σσσ⎛
⎫
+=
=
+-⎪⎭
（2-44） 将:c r c r R p σ==-代入（2-42）得
ln c c s i i R p p R =+ （2-45）
结论:
①(,//)i i s f R r p σσ= ②,(ln )
r r f r r θθσσσ=↑↑，，
③1()2z r const θσσσ=+≠（区别: 弹区1
()2
z r const θσσσ=+=）
弹性区内壁处于屈服状态:
()(
)Kc=Ro/Rc
c
c
r s r R r R θσσ==-=
由表2-1拉美公式得出
：22
c p =
（2-46）
与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的p i 与R c 的关系
2202ln )c c i i R R
p R R =-+ （2-47）
由（2-34）式(以c p 代替i p )得
220222022
11r z R r R r θσσσ⎛
⎫
=-⎪⎭
⎛
⎫=+⎪⎭=
（2-48） 若按屈雷斯卡（H . T r e s c a ）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。各种应力表达式列于表2-4中
结论:
① (,,//)c o i s f R R r p σσ= ② ()
r r f r r θθσσσσ=↑→↑↓，，
③1
()2
z r const θσσσ=+= 与r 无关
二、残余应力
当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力p i →残余应力 思考：残余应力是如何产生的？
卸载定理：卸载时应力改变量'σσσ∆=-和应变的改变量'εεε∆=-之间存在着弹性
关系E εσ∆=∆。图2-24。
思考：残余应力该如何计算？
基于M i s e s屈服准则的塑性区（R i≤r≤R c）中的残余应力为：
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=++-+-+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
r
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=-+---+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
（2-49）
22
2
22
000
2ln12ln
c i c c
z
c i i
R R R R
r
R R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=+--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
弹性区（R c≤r≤R0）中的残余应力为：
22
22
22
000
112ln
c i c c
i i
R R R R R
r R R R R R
θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=+--+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
22
22
22
000
112ln
c i c c
r
i i
R R R R R
r R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=---+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
（2-50）
22
2
00
22
00
12ln
c i
z
i c i
R R R R
R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
图2-24 卸载过程的应力和应变