第三节 厚壁圆筒应力分析
平面问题作业--厚壁圆筒应力分析
图 厚壁圆筒问题
问题描述及要求
如图所示为一厚壁圆筒，其内半径r 1=50 mm ，外半径r 2=100 mm ，作用在内孔上的压力p=10 MPa ，无轴向压力，轴向长度很大可视为无穷。
材料参数：2e11（弹性模量），泊松比：0.3；计算厚壁圆筒的径向应力σr 和切向应力σt 沿半径r 方向的分布。
根据材料力学的知识，σr 、σt 沿r 方向的分布的解析解为
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=2222
1
2221r 1r r r r p
r σ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=222212221t 1r r r r p r σ
提示：该问题符合平面应变问题的条件，故可以简化平面应变问题进行分析。
另外，根据对称性，可取圆筒的四分之一并施加垂直于对称面的约束进行分析。
利用路径操作。
（1）
步骤：
1、定义单元类型
Ok
options
2、定义材料属性
3、创建模型
4、划分单元
Size controls--lines--set
apply
拾取圆弧边输入20
mesh
5、施加约束
apply
拾取左边线
6、施加载荷
7、求解
8、显示单元
Plot--elements
9、定义路径
顺次拾取下边线结点
Plot paths Map onto path
10、作路线图
11、结果。
厚壁圆筒应力分析
温度变化引起的弹性热应力
热应力
构件之间热变形 的相互约束
构件热变形受到 外界约束
构件内部温度 分布不均匀
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续） 径向应变 周向应变 变形协调方程
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当
时，
；
当
时，
。
由此得积分常数A和B为：
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力 径向应力
轴向应力
称Lamè（拉美）公式
（2-34）
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
2.3 厚壁圆筒应力分析
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析一、应力分析方法1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒进行应力分析。
2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个方向上的应力分析。
二、应力计算公式1.轴向应力：σa=(P·r)/t其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒内径，t表示圆筒壁厚。
2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)其中，σc表示周向应力。
3. 切向应力：τ = (P · ri) / t其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。
三、实例分析假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。
现对该厚壁圆筒进行应力分析。
1.轴向应力：根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。
2.周向应力：根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。
3.切向应力：根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
未来发展方向和前景展望
THANK YOU
汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
三对截面取出微元体：
2.3.1 弹性应力
② 周向应力σϴ 径向应力σr
一对圆柱面，相距dr，σr作用于该面上。 一对纵截面，相差dθ，σϴ作用于该面上。 一对横截面，长度为1， σz作用于该面上。
根据轴对称性， σϴ和σr仅与r有关。
2.3 厚壁圆筒应力分析
Hale Waihona Puke 2.3.1 弹性应力周向应变
(mn m' n' )
(r w)d rd w rd r
上述二式为(2-27)式。
2.3 厚壁圆筒应力分析
对周向应变求导，有
2.3.1 弹性应力
dw r w d 1 dw w dr 2 dr r r dr r 1 r r
上式又称广义虎克定律。
(2 29)
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
平衡、几何和物理方程综合－求解应力的微分方程 由物理方程(2-29)式，可得
(1 ) r ( r ) E d d r d 1 dr E dr dr
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨反应器 结构示意图
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨高压反应器制造安装
2.3 厚壁圆筒应力分析
(1) 薄壁容器力学分析模型
(2) 厚壁容器力学分析模型
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方 程、物理方程三个方面进行分析。
2.3 厚壁圆筒应力分析
由上面方程组可导出下列“二阶齐次变系数微分方程”
d r 3 d r 0 2 dr r dr
厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析1、概述K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。
厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。
所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。
2、解析解一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。
（1）几何方程如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：r rd rd d r drd dr d r ωθθθωεωωωωεθ=-+==-+=))(（周向应力：径向应力：（1）θσ对r 求导，得：()θθσσωωωωωσ-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r rr dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为[]z Eσσμσεθθ+-=r (1（3） 两式相减，消去z σ得：[]θθσσμεε-+=r E ）（1-r []z r Eσσμσεθ+-=(1r（4） 将（4）代入（2）得：[]）z r Edr d σσμσεθθ+-=(1（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：⎪⎭⎫⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：[]θθθσσμσμσ-)1-r rdr d dr d +=（ （7） （3）平衡方程如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）其中()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）θσrd p r r =由于θd 很小，22sin θθd d ≈⎪⎭⎫⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 drd rrr σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得0322=+drd dr d r r r σσ （11）对（11）进行求得r σ，在代入（10）得22rBA rB A r +=-=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）将（13）代入（12）得：22020202202002)(ii i i i i RR R R p p B R R R p R p A --=--=（14）最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于各个领域，比如压力容器、热交换器等。
在使用厚壁圆筒的过程中，必须进行应力分析，以确保结构的安全性和可靠性。
首先，研究厚壁圆筒的应力分析需要考虑以下几个方面。
1.圆筒的几何形状：厚壁圆筒是由外径、厚度和长度组成的。
这些几何参数会影响圆筒内部的应力分布情况。
2.材料特性：圆筒的材料特性直接影响其应力分布。
研究厚壁圆筒时，通常会考虑材料的弹性模量和泊松比等参数。
3.加载条件：圆筒的应力分布受外部载荷的影响。
载荷的形式可以是压力、温度、重力等。
加载条件的确定对于应力分析至关重要。
接下来，我们将详细介绍厚壁圆筒的应力分析方法。
1.内外压力分析：考虑厚壁圆筒内外的压力差异。
当内外压力相等时，圆筒应力较小。
当内压大于外压时，圆筒将会受到较大的应力。
2.纵向应力分析：厚壁圆筒在纵向方向上承受的应力主要为轴向拉应力。
如果存在压力差，则拉应力沿厚度逐渐增加。
3.周向应力分析：在周向上，厚壁圆筒受到的应力主要为周向拉应力。
当圆筒内外压力不平衡时，周向应力将会增加。
4.切应力分析：切应力是圆筒内部的剪切应力分量。
在圆筒壁厚度的不同位置，切应力的大小也会有所不同。
5.应力分布图：为了更好地理解厚壁圆筒的应力分布情况，可以绘制应力分布图。
这样可以直观地了解不同部位的应力分布情况，以便进行结构优化。
总结一下，厚壁圆筒的应力分析对于确保结构安全性至关重要。
通过分析内外压力、纵向应力、周向应力和切应力，可以更好地理解圆筒的应力分布情况。
通过应力分布图，可以更直观地了解圆筒不同部位的应力情况，从而进行优化设计。
在实际工程中，应力分析的结果可以用来指导材料的选择、结构的设计以及使用中的安全操作。
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析压力容器是广泛应用于石油、化工、冶金、医药等行业的重要设备，用于存储和运输气体或液体。
在使用过程中，由于内外压差的存在，压力容器的壁会产生应力，如果超过了材料的极限承载能力，就会发生破裂事故。
因此，对压力容器的应力分析非常重要，通过分析容器内壁的应力分布情况，可以判断容器的安全性能，从而采取相应的措施保证其安全运行。
厚壁圆筒作为一种常见的压力容器结构，其应力分析是非常有代表性的。
在进行弹性应力分析时，首先需要确定内压力和外压力的大小。
通常情况下，我们假设容器的内部和外部都是完全承受压力的，即容器内部压力和外部压力均匀分布。
其次，我们需要了解容器的内径、外径、壁厚等几何参数，以及容器所使用的材料的弹性模量和泊松比等弹性性质参数。
在厚壁圆筒的弹性应力分析中，一般采用极限状态设计方法进行计算。
首先，可以根据容器内外压力差的大小，计算容器内部的径向应力和环向应力，这两个应力分量是产生破裂的主要因素。
然后，通过应力的叠加原理，将径向应力和环向应力合成为合成应力，进一步计算合成应力与容器材料的屈服强度之间的比值，根据这个比值可以评估容器的安全性能。
在实际应用中，为了保证压力容器的安全性能，通常会将容器的设计和制造有一定的安全裕量。
在计算容器的弹性应力时，需要将其与容器材料的屈服强度进行比较，以确保应力值处于安全范围内。
如果计算得到的应力值超过了材料的屈服强度，就需要重新设计容器的结构或者更换更高强度的材料，以满足安全性能的要求。
总之，压力容器的应力分析是确保容器安全运行的重要手段之一、通过对容器内壁的应力分布进行分析，可以评估容器的安全性能，并采取相应的措施保证其安全运行。
在进行压力容器的设计和制造过程中，应该遵循相应的规范和标准，确保容器的结构和材料能够承受内外压力的作用，从而保证容器在工作过程中不会发生破裂事故，保障工业生产和人身安全。
06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析
2.3.2 弹塑性应力 (1)厚壁筒的失效过程
2.3.2 弹塑性应力
仅受内压时,内壁面为危险 截面.当内压力达到某一数值 时,内壁面首先出现屈服,进入 屈服阶段. 随着内压力增大,屈服层向 外扩展,整个圆筒可看成由弹性 区和屈服区组成. 当屈服区扩展至外壁面时, 整个筒体进入了整体屈服状态. 内压力进一步增大,筒体将 进入强化阶段.
(2 45)
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
② 弹性区应力 此时,弹性区相当于一个承受内压pc的弹性厚壁 筒,直接由仅受内压的厚壁筒应力公式(见p46,表2-1) 得到"弹性筒"内壁面处的应力表达式如下:
(σ r )r = R = pc c K c2 + 1 (σ θ )r = R c = pc 2 Kc 1 Ro Kc = Rc
(2 42)
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3.2 弹塑性应力
将(2-42)式返回方程组中,可求得
2 r σθ = σ s 1 + ln Ri 3
pi
(2 43)
根据塑性力学理论,材料在塑性状态下,依然 有下列等式成立
1 σ z = (σ r + σ θ ) 2
这样,可解得塑性区内的轴向应力为
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为多层热套过程中的应力分布.
�
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力 对上述方程组求解,得到
2.3.2 弹塑性应力
2 dr 2 dσ r = σs σ r = σ s ln r + A r 3 3 σ r = pi r = Ri ∵ σ r = pc r = Rc
厚壁圆筒应力分析
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z
1 2
r
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0
2
rRi K 2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
r max pi
max
pi
K2 1 K2 1
min
pi
2 K2 1
rr min 0
r max p0
r
z
p0
K2 1 K2 1
max
p0
2K 2 K2 1
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
16
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： ①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值），
应力
7
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r
d
r
r
drd
r rd
2
dr
sin
2
0
r
r
d r
dr
（2-26）
8
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
m'1
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
厚壁圆筒应力分析-2022年学习资料
过程设备设计-表2-1厚壁圆筒的筒壁应力值-受力情况-仅受内压-仅受外压-P。0-P=0-包刀师前-置-任 半径r内壁处-外壁处-r=R-=R,-r-R-=R。-O,-p-a-K-K2+-K2百-pK2-1--Po 15
过程设备设计-Z-K2+1-0max=Pi-K2-1-60min-k2--ormin -0-=-P0-K2 -ormax--Pi-Grmax=-Po-K+1-comin-2K2-omax--Po-a仅受内压-b仅受 压-16-图2-17厚壁圆筒中各应力分量分布
过程设备设计-③除σ ，外，其它应力沿壁厚的！-不均匀程度-与径比K值有关。-以σ 。为例，外壁与内壁处的-C r-Ro-2-周向应力o。之比为：-Ger-R-K2+1-K值愈大不均匀程度愈严重，-当内壁材料开始出现屈 时，外壁材料则没有达到屈服，-因此简体材料强度不能得到充分的利用。-19
过程设备设计-二、温度变化引起的弹性热应力-1、热应力概念-2、厚壁圆筒的热应力-3、内压与温差同时作用引 的弹性应力-4、热应力的特点-5、不计热应力的条件-6、减小热应力的措施-20
过程设备设计-边界条件为：当r=R时，O,=-P,;-当r=R时，O,=一P0。-由此得积分常数A和B为： P:R2-PoRo-Ro-R2-2-33-Pi-PoR2 Ro-Ro -R2-13
过程设备设计-周向应力-P:R2-PoRo P:-PoRRo 1-三-Ro-R2-r2-径向应力-0,=:R2-PoRo Pi-PoR2Ro 1-Ro-R2 r2-2-34-轴向应力-O,-称Lamè（拉美）公 -14
过程设备设计-Eo△t-周向热应力-1-lnK,K?+1-21-八】-K2-1-径向热应力σ ，-21-1-1-2lnK,--轴向热应力0：-21-4-InK-2-38-23
厚壁圆筒应力分析
a
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
a. 微元体
b. 平衡方程
c. 几何方程 (位移－应变）
d. 物理方程（应变－应力）
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
dr dr
dr
n1
r
n
r
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
a
4
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
一、压力载荷引起的弹性应力
径向应力
rpiR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2 （2-34）
轴向应力
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
a
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
a
1
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 • 以 为例，外壁与内壁处的 • 周向应力 之比为： • K值愈大不均匀程度愈严重， • 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， • 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•二、温度变化引起的弹性热应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： •① 热应力大小与内外壁温差成正比
• 取决于壁厚，径比K值愈大 值也愈大，表2-2中的
•
值也愈大。
•②热应力沿壁厚方向是变化的
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•3、内压与温差同时作用引起的弹性应力
•（2-39 ）
•具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体
•b. 平衡方 程 •c. 几何方程 (位移－应变）
•d. 物理方程（应变－应力）
•e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 • （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体 •如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1 组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 •b. 平衡方程
•（2-26）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析
r
A
B r2
A
B r2
（2-33）
12
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
边界条件为：当 r Ri 时， r pi ； 当 r R0 时， r p0 。
由此得积分常数A和B为：
A pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2 R02
b. 平衡方程
r
dr r
drd
rrd
2 dr sin
d
2
0
sin(d/2) d / 2
图2-15
p
R1 R2 t
r
r
d r
dr
（2-26）
薄壁微元平衡方程。 拉普拉斯方程
微元体平衡方程
8
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
c. 几何方程 (应力－应变）
过程设备设计
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
静不定问题，需平衡、几何、物理等方程 分析方法： 联立求解
与薄壁容器比较， 有何异同？
2
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
过程设备设计
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
3
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
过程设备设计
pi Ri2 R02
p0 R02 Ri2
＝A
（2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
2. 周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
第三节-厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析3.3.1弹性应力 3.3.2弹塑性应力3.3.3屈服压力和爆破压力33.4提高屈服承载能力的措施3.3.1弹性应力 3.3.2弹塑性应力一、弹塑性应力描述弹塑性疗壁圆筒的儿何与载荷参数：尺，/>; RJ;陽P () 本小节的U 的：求弹性区和塑性区里的应力假设：a.理想弹塑性材料b.圆筒体只取远离边缘区第三节 厚壁圆筒应力分析内压t 塑性区t2-22处于弹塑性状态的厚壁圆筒图2-23理想弹•塑性材料的应力■应变关系1、塑性区应力平衡方程：刃-旦drMises屈服失效判据:CF e-丐=—=丁2联立积分，得<T r=-^trJnr+Ar = &：6=-Pi内壁边界条件，求出A后带回上式得将r = R e: cr r= -p c代入(2-42)得2 ! R<p(=--a s ln-+Pl结论：① b = pjbj②q, cr^=/(lnr) rt,③cr：=-(b「+ b&) H const (区别:弹区cr. =-© + b&) =const )2 2弹性区内壁处于屈服状态:（刃）Y一（6）“ =眉$Kc=Ro/Rc(2-46)(2-26) (2-40) (2-41)将(2-42)带入(2-40)得(2-42 )(2-43)(2-44 )(2-45 ) 山表2J拉美公式得出:与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的pi与Rc的关系Pi =由（2-34）式（以代代替门）得若按屈雷斯卡（H.Tresca）屈服失效判据，也可导岀类似的上述各表达式。
各种应力表达式列于表2-4中结论：② 6 a d=f(r) rT->(r z. T,与「无关二、残余应力肖厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内爪力pi —残余应力思考：残余应力是如何产生的卸载定理：卸载时应力改变量Ab = b-b和应变的改变量△£ = £-£之间存在着弹性关系= 图2・24。
厚壁圆筒应力分析.ppt
19
例题
20
讨论
21
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
22
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0
2
rRi K 2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
构件内部温度 分布不均匀
25
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。 ◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（详细推导见文献[11]附录）
26
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
max
pi
K2 1 K2 1
min
pi
2 K2 1
rr min 0
r max p0
r
z
p0
K2 K2 1
min
p0
K2 1 K2 1
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第三节厚壁圆筒应力分析
3.3厚壁圆筒应力分析
3.3.1弹性应力
3.3.2弹塑性应力
3.3.3屈服压力和爆破压力
3.3.4提高屈服承载能力的措施
3.3.1弹性应力
i i c c o o
本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力
假设：a.理想弹塑性材料
b.圆筒体只取远离边缘区
图2-2
1、塑性区应力
平衡方程： r
r d r dr
θσσσ-= （2-26） M i s e s 屈服失效判据
：r s θσσ-=
（2-40） 联立积分，得
ln r s r A σ=
+ （2-41） :i r i r R p σ==-内壁边界条件，求出A 后带回上式得
ln r s i i r
p R σ=
- （2-42）
将（2-42）带入（2-40）得
1ln
s i i r p R θσ⎛⎫
=
+- ⎪⎝⎭
（2-43）
12ln 2
r z i i r
p R θ
σσσ⎛
⎫
+=
=
+-⎪⎭
（2-44） 将:c r c r R p σ==-代入（2-42）得
ln c c s i i R p p R =+ （2-45）
结论:
①(,//)i i s f R r p σσ= ②,(ln )
r r f r r θθσσσ=↑↑，，
③1()2z r const θσσσ=+≠（区别: 弹区1
()2
z r const θσσσ=+=）
弹性区内壁处于屈服状态:
()(
)Kc=Ro/Rc
c
c
r s r R r R θσσ==-=
由表2-1拉美公式得出
：22
c p =
（2-46）
与2-45联立导出弹性区与塑性区交界面的p i 与R c 的关系
2202ln )c c i i R R
p R R =-+ （2-47）
由（2-34）式(以c p 代替i p )得
220222022
11r z R r R r θσσσ⎛
⎫
=-⎪⎭
⎛
⎫=+⎪⎭=
（2-48） 若按屈雷斯卡（H . T r e s c a ）屈服失效判据，也可导出类似的上述各表达式。
各种应力表达式列于表2-4中
结论:
① (,,//)c o i s f R R r p σσ= ② ()
r r f r r θθσσσσ=↑→↑↓，，
③1
()2
z r const θσσσ=+= 与r 无关
二、残余应力
当厚壁圆筒进入弹塑性状态后卸除内压力p i →残余应力 思考：残余应力是如何产生的？
卸载定理：卸载时应力改变量'σσσ∆=-和应变的改变量'εεε∆=-之间存在着弹性
关系E εσ∆=∆。
图2-24。
思考：残余应力该如何计算？
基于M i s e s屈服准则的塑性区（R i≤r≤R c）中的残余应力为：
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=++-+-+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
22
2
2
22
000
12ln112ln
c i c c
r
c i i
R R R R R
r
R R R R r R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=-+---+
⎢⎥⎬
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎢⎥
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎣⎦⎭
（2-49）
22
2
22
000
2ln12ln
c i c c
z
c i i
R R R R
r
R R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=+--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
弹性区（R c≤r≤R0）中的残余应力为：
22
22
22
000
112ln
c i c c
i i
R R R R R
r R R R R R
θ
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=+--+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
22
22
22
000
112ln
c i c c
r
i i
R R R R R
r R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎛⎫
'⎢⎥
=---+
⎢⎥⎨⎬
⎪ ⎪
⎪-
⎝⎭⎢⎥
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎪⎪
⎣⎦⎣⎦
⎩⎭
（2-50）
22
2
00
22
00
12ln
c i
z
i c i
R R R R
R R R R R
σ
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎪
'⎢⎥
=--+⎬
⎪ ⎪
-⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎪
⎣⎦⎭
图2-24 卸载过程的应力和应变
层材料受到压缩预应力作用。
目的：
∑↓,沿壁厚应力分布均匀,提高材料利用率。
a.使内壁σ
b.提高屈服承载能力。
方法：在内壁施加足够大的径向力。
a.直接液压法—常用
b.机械型压法
c.爆炸胀压法—新技术
应用：一般用于超高压容器。
3.3.3屈服压力和爆破压力
爆破过程
O A:弹性变形阶段
A C:弹塑性变形阶段（壁厚减薄+材料强化）
C:塑性垮塌压力（P l a s t i c C o l l a p s e P r e s s u r e）——容器所能承受的最大压力。
D:爆破压力（B u r s t i n g P r e s s u r e）
一、屈服压力 （1）初始屈服压力
令i s p p =(内壁面开始屈服)，得基于米塞斯屈服失效判据的圆筒初始屈服压力s p 。
2s p =
（2-51）
（2）全屈服压力
当筒壁达到整体屈服状态时所承受的压力，称为圆筒全屈服压力或极限压力（L i m i t p r e s s u r e ），用so p 表示。
令R c =Ro ，得
ln so s p K =
（2-52） 注意：不要把全屈服压力和塑性垮塌压力等同起来。
前者假设材料为理想弹塑性，后
者利用材料的实际应力应变关系。
二、爆破压力
厚壁圆筒爆破压力的计算公式较多，但真正在工程设计中应用的并不多，最有代表性的是福贝尔（F a u p e l ）公式。
爆破压力的上限值为
：max ln b b p K =
下限值为
：min ln b s p K =
且爆破压力随材料的屈强比
s
b σσ呈线性变化规律。
容积变化量
图2-26 厚壁圆筒中压力与变形关系
于是，福贝尔将爆破压力p b 归纳为()min max min s
b b b b b
p p p p σσ=+
- 即： 2ln
s b s b p K σσ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
（2-53） 3.3.4 提高屈服承载能力的措施
1. 自增强：
2. 对圆筒施加外压：多层圆筒结构 (套合/包扎/缠绕) 效果难以保证
注意: 实际多层厚壁圆筒有间隙，且不均匀，应力分布复杂。
故目前多数情况下，多层厚壁圆筒不以得到满意的预应力为主要目的，而是为了得到较大。