甘肃省天水市重点高中2021届高三上学期第一学段考试 数学(理)试题理科数学参考答案

参考答案1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B 11．A【解析】【分析】因为函数()lnf x x=，()2g x mx=都是偶函数，所以方程()()0f xg x-=在][(),11,x∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln,f x xg x mx==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数()lnf x x=，()2g x mx=都是偶函数，所以方程()()0f xg x-=在][(),11,x∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln,f x xg x mx==的图象在两个不同的交点，m<不合题意，当0m>时，20mx>,当()ln01f x x x=>⇒>，即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y处相切，即两函数的图象在点()00,P x y处有相同的切线，则有()()1'2,'g x mx f xx==，则有012mxx=，解得212xm=，则有()()20000111,ln ln ln222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解， 所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 12．C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x-+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C.13．x R ∀∈，x e x ≥ 14．－15．2316．2 17．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(13,3⎤-⎦. （1）())21sin 232cos 1f x x x =+-1sin 2312sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈. 故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<. sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦ 18．（1）21n a n =+；（2）()323n nT n =+.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵6336a a d -==，即2d =，3113a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+，∴3113a a -=+，2111a a -=+，416a a =+， ∵31a -是21a -，4a 的等比中项，∴()()232411a a a -=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a = ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+ （2）由（1）得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭∴1212n n T b b b =++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭。

19．（1）3π；（2）（1）因为2b sin Acos B +a sin B ,所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =+,sin sin cos B A A B =,sin 0A ≠tan B =()0,B π∈ 3B π=（2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，解得6c =或2c =-（舍去），因为S △ABD ＝1sin 2⨯⨯=BD c B ， 解得 3BD =，在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=，解得AD =.20．（1）列联表见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）分布列见解析，数学期望为45. （1）∵()224515161047.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生155325⨯=人，线上学习时间不足5小时的学生2人，所以X 的取值为0，1，2 X 的分布列为所以X 的期望()36140121010105E X =⨯+⨯+⨯= 21．(1)2；(2)()f x 在区间10,?3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞单调递减，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）因为()13ln 122f x a x x x =+-+，故可得()21322a f x x x '=--， 又因为()10f '=，故可得20a -=，解得2a =. （2）由（1）可知，()()()()23111321,222x x f x lnx x f x x x --=+-+-'=， 令()0f x '=，解得121,13x x ==， 又因为函数定义域为()0,+∞，故可得()f x 在区间10,?3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞单调递减，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.故()f x 的极大值为()10f =；()f x 的极小值为12233f ln ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.22．（1）由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-，利用作差比较，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0g x >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内没有零点，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-，因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220g cos =+>，且2033g ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， 所以()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t . （2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-，因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=， 因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t--<，所以()20f t -<，故()2f x <.。