2018年高考数学模拟试卷分项 专题07圆锥曲线 Word版 含答案
2018年数学全国1卷各省模拟题精汇版(文科)——(7)(简答题)圆锥曲线
2018年数学全国1卷各省模拟题精汇版（文科）——（7）（简答题）圆锥曲线(1) 【2018广东省惠州一中（惠州市）第三次调研20】已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22182x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.（1）求12PF PF ⋅的最小值；（2）设直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ， B 两点，若点P 在第一象限，且121PF PF ⋅=-，求ABP ∆面积的最大值. 【答案】（1）有题意可知()1F ，)2F ，设点00(,)P x y则()100,PF x y =- ，)200,PF x y =- ， ………2分 ∴2212006PF PF x y ⋅=+- ， ∵点()00,P x y 在椭圆C 上，∴2200182x y +=，即220024x y =-， ………3分 ∴22200120326444x x PF PF x ⋅=+--=-+（0x -≤≤， ………4分∴当00x =时， 12PF PF ⋅的最小值为4-． ………6分 （注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P 求解） （2）设l 的方程12y x b =+，点()11,A x y ， ()22,B x y ，由221,2 182y x b x y =++=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得222240x bx b ++-=， ………7分 令2248160b b ∆=-+>，解得22m -<<．由韦达定理得122x x b +=-， 21224x x b =-， 由弦长公式得AB == ………8分且121PF PF ⋅=-，得()2,1P ． 又点P 到直线l的距离d ==， ………9分∴1122PAB S AB d ∆===22422b b +-≤=， ………11分当且仅当b = ∴ PAB ∆面积最大值为2. ……12分(2) 【2018广东省揭阳市第二次模拟20】已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且12PF =22PF =（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线1l 与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与1l 垂直的直线2l 与椭圆1C 相交于另一点C ，求ABC △的面积的取值范围. 【答案】解：（I ）设)0,(1c F -，)0,(2c F ， 可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得c b =， 由题意知4||||221=+=PF PF a ，得2=a ，由222a c b =+，得2==c b ，所以椭圆1C 的方程为12422=+y x ， 点P 的坐标为)0,2(. （II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在， 设l 2的方程为)2(-=x k y ，由题意可知0≠k ，联立椭圆方程，得0488)12(2222=-+-+k x k x k ，设),(22y x C ，则12482222+-=⋅k k x ，得1224222+-=k k x ， 所以1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC ；由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为)2(1--=x ky ，即02=-+ky x圆心)0,0(到l 1的距离212kd +=，又圆的半径2=r ，所以1)1(2142)2||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB ， 由r d <即2122<+k ，得12>k ，112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC 1212412142222+-⋅=++⋅k k k k ， 设12-=k t ，则0>t，2ABC S t t∆==≤=+当且仅当t =k =，所以△ABC的面积的取值范围是(0,．(3) 【2018安徽省黄山市一模检测20】设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点.(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=- ，求点P 的坐标；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得122,1,(a b c F F ===\-.设(,)(0,0)P x y x y >>．则22125(,),)34PF PF x y x y x y ?--?-=+-=-u u u r u u . 又2214x y +=，联立22221474x y x y ìïï+=ïïïíïï+=ïïïî解得1x y ì=ïïïíï=ïïïîP ． ……………………5分 (2)显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ．联立22142x y y kx ìïï+=ïíïï=+ïî，即22(14)16120k x kx +++=，1212221216,1414k x x x x k k \=+=-++ 由22(16)4(14)120k k =-??V ，得234k >①. …………………………………8分 又AOB ∠为锐角⇔cos 0AOB ∠>⇔0OA OB ⋅>， 12120OA OB x x y y \?+>u u u u u u u r，又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++,221212121224(4)(1)2()4014k x x y y k x x k x x k-\+=++++=>+ 24k \< ② 综合①②可知2344k <<， ∴k的取值范围是(2,--?． …………12分(4) 【2018安徽省六安市皖西省示范高中联盟期末20】已知经过抛物线2:4C y x =的焦点F的直线l 与抛物线C 相交于两点(),,11y x A ()22,y x B ，直线BO AO ,分别交直线1:-=x m 于点N M ,．（Ⅰ）求证：4,12121-==y y x x ； （Ⅱ）求线段MN 长的最小值．BM【解析】（Ⅰ）易知)0,1(F ，设:1AB x y λ=+ -----1分则221440,4x y y x y x λλ=+⎧--=⎨=⎩得 -----2分124y y ∴=-, -----3分()22212121214416y y y y x x ∴=⋅==； -----4分（Ⅱ）设221212(,),(,)44y y A y B y ,所以1244,,AO BO k k y y ==所以AO 的方程是:14x y y =, ------6分由11441M y x y y y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩, ------7分同理由22441N y x y y y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩------8分1244||||||M N MN y y y y ∴=-=---12124||y y y y -=① ------9分且由（Ⅰ）知4,4,y y y y λ=-+=12||yy ∴-==代入①得到: 12||MNy y =-=分 ||4MN ≥, 仅当0λ=时，||MN 取最小值4, 综上所述:||MN 的最小值是4 ------12分(5) 【2018湖南师大附中月考卷五】设F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是(A) (A)2x ±y ＝0 (B)x ±2y ＝0 (C)x ±2y ＝0 (D)2x ±y ＝0【解析】不妨设P 为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得，|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 且|F 1F 2|＝2c ，由于2a 最小，即有∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理，可得，cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a 22×4a ·2c ＝32.则有c 2＋3a 2＝23ac ，即c ＝3a ， 则b ＝c 2－a 2＝2a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，即为y ＝±2x ，故选A.(6) 【2018湖南师大附中月考卷五】已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝nx (n >0)上在第一象限内的点P (2，t )到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线l 1经过点Q且垂直于x 轴． (Ⅰ)求Q 点的坐标；(Ⅱ)设不经过点P 和Q 的动直线l 2：x ＝my ＋b 交曲线C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线P A ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，试问： l 2是否过定点？请说明理由．【解析】(Ⅰ)由抛物线上的点P (2，t )到焦点的距离为52，得2＋n 4＝52，所以n ＝2，则抛物线方程为y 2＝2x ，故曲线C 在点P 处的切线斜率k ＝12，切线方程为y －2＝12(x －2)，令y ＝0得x ＝－2，所以点Q (－2，0)．(Ⅱ)由题意知l 1：x ＝－2，因为l 2与l 1相交，所以m ≠0.设l 2：x ＝my ＋b ，令x ＝－2，得y ＝－b ＋2m ，故E (－2，－b ＋2m)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b y 2＝2x 消去x 得y 2－2my －2b ＝0，则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，直线P A 的斜率为y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，同理直线PB 的斜率为2y 2＋2，直线PE 的斜率为2＋b ＋2m 4.因为直线P A ，PE ，PB 的斜率依次成等差数列，所以k P A ＋k PB ＝2k PE ，即2y 1＋2＋2y 2＋2＝2m ＋2＋b 2m ，即2m ＋42m ＋2－b＝2m ＋2＋b 2m 整理得：b 2＝4，因为l 2不经过点Q ，所以b ≠－2.所以b ＝2. 故l 2：x ＝my ＋2，即l 2恒过定点(2，0)． (7) 【2018安徽省合肥一中等六校第二次联考20】已知椭圆C 1：1(a>b>0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率； (2)若的最大值为49，求椭圆C 1的方程．【答案】(1)由题意可知，直线l 的方程为bx ＋cy －(3－2)c ＝0，因为直线l 与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1相切，所以d ＝|3c －3c ＋2c |b 2＋c 2＝1， 即a 2＝2c 2，从而e ＝22.............4分 (2)设P (x ，y )，圆C 2的圆心记为C 2，则x 22c 2＋y 2c 2＝1(c >0)，又因为PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →) ＝PC 2→2－C 2N →2 ＝x 2＋(y －3)2－1 ＝－(y ＋3)2＋2c 2＋17(－c ≤y ≤c )． ①当c ≥3时， (PM →·PN →)max＝17＋2c 2＝49，解得c ＝4，此时椭圆方程为x 232＋y 216＝1；.............10分 ②当0<c <3时，(PM →·PN →)max ＝－(－c ＋3)2＋17＋2c 2＝49， 解得c ＝±52－3.但c ＝－52－3<0，且c ＝52－3>3，故舍去．综上所述，椭圆C 1的方程为x 232＋y 216＝1. .............12分(8) 【2018河北省唐山市上学期期末】已知抛物线E ：y 2＝4x ，过点P (2，0)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同两点A ，B ，直线n 交E 于不同两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2，0)． 【答案】解：（Ⅰ）由题设可知k ≠0，所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得ky 2－4y ＋8＝0， ①由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜ 12．…2分直线n 的方程为y ＝－ 1k x ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4k y －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2．…4分所以⎩⎨⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为{k |k ＜－2或0＜k ＜12}．…6分（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝ 4 k ，则y 0＝ 2 k ，x 0＝ 2 k 2－ 2 k ，则M (2 k 2－ 2 k ， 2k )．…8分同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线MQ 的斜率k MQ ＝2k2k 2－2k －2＝－kk 2＋k －1，直线NQ 的斜率k NQ ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k MQ，所以直线MN 过定点Q (2，0)．…12分(9) 【2018东北三省三校第三次联合模拟考20】 已知抛物线2:8C x y =与直线:=1l y kx +交于,A B 不同两点分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，所得的两条切线相交于点P .(Ⅰ)求证OA OB ∙为定值:(Ⅱ)求ABP ∆的面积的最小值及此时的直线l 的方程. 【答案】解：设1122(,),(,)A x y B x y281x y y kx ⎧=⎨=+⎩消y 得2880x kx --=，方程的两个根为12,x x ， 222=440p k p ∆+>恒成立，12+=8x x k ，128x x ⋅=-,A B 在抛物线C 上，221212,88x x y y ∴==，()222121212=18864x x x x y y ∴⋅=⋅=(Ⅰ)证明：1122=(,),(,)OA x y OB x y = ，1212=+817OA OB x x y y ∴⋅=-+=-为定值.(Ⅱ)解： 2:8C x y =即218y x =，14y x '=，114AP k x =，214BP k x =21111()84x AP y x x x ∴-=-：即2111148y x x x =-，同理2221148BP y x x x =-：由 21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1212122()()()x x x x x x x -=-+，而12x x ≠故有12=42x x x k +=，1218x xy ==-，即点(4,1)P k -，AB ===点(4,1)P k -到直线:1l y kx =+的距离d =322111)22ABPS AB d k ∆∴=⋅==+21k ≥ 20k ∴=即0k =时ABP S ∆有最小值为l 为1y =.(10) 【2018福建省厦门市（3月）20】设O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F.直线():0l y kx m m =+>与C 交于,A B 两点，AF 的中点为M ，5OM MF +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1,4P PA PB ⋅=-，求证:直线l 过定点，并求出定点的坐标.【答案】解：（1）设椭圆的右焦点为1F ，则OM 为1AFF ∆的中位线，所以111,2OM AF MF AF ==，所以152AF AF OMMF a ++=== 因为c e a ==，所以c =所以b =C 的方程为:221255x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y联立221255y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=所以0∆>，212122210525,1515km m x x x x k k -+=-=++ 所以()121222215my y k x x m k +=++=+()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++ 因为()0,1,4P PA PB ⋅=-所以()()()1122121212,1,114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-所以222222525252+50151515m k m m k k k--+-+=+++ 整理得：23100m m --= 解得：2m =或53m =-（舍去）所以直线l 过定点()0,2.(11) 【2018广东省第三次调研考20】已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.(12) 【2018广东省东莞市第一次调研考21】已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()1,0F ，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，6AB BC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆E 交于,M N 两点， 连接MO （O 为坐标原点）并延长交椭圆E 于点Q ， 求MNQ ∆面积的最大值及取最大值时直线l 的方程． 【答案】解：（Ⅰ）由题知),0(),0,(a C a A -，故)76,7(aa B -，……………1分 代入椭圆E 的方程得1493649122=+ba ，……………2分 又122=-b a ，……………3分 故3,422==b a ，……………4分 椭圆134:22=+y x E ；……………5分（Ⅱ）由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设1:+=my x l ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得096)43(22=-++my y m ，……………8分 设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ，由Q 与M 关于原点对称知， 431124)(||2222122121++=-+=-==∆∆m my y y y y y S S MONMNQ 11131222+++=m m ，……………10分1，4∴，即3MNQ S ∆≤，当且仅当0=m 时等号成立，MNQ ∆∴面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1=x ……………12分(13) 【2018广东省佛山市质量检测（一）20】已知椭圆1C ：22221x y a b+=()00ab >>，的右顶点与抛物线2C ：22(0)y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线2C 所得的弦长为（Ⅰ）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过点A (-2，0)的直线l 与2C 交于M ,N ，点M 关于x 轴的对称点'M ，证明：直线M ’N 恒过一定点.(14) 【2018广东省广州市综合测试（一）20】已知两个定点()1,0M 和()2,0N ，动点P 满足PN =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若A ，B 为（1）中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ．当123k k =时，求k 的取值范围．(15) 【2018广东省深圳市南山区上学期期末20】如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ， 且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． （1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条切线， 切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n+为定值．【答案】 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x ----------------------------------------------------------1分 由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅AC ，|BC |＝2|AC |∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1)，----------------------------3分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------4分（2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q 在直线320x y +-=上，---------------------------------------------------------6分∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆203(,)在椭圆E 的内部，∴满足条件的点Q 存在，且有两个．--------------------------------------------------8分 【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①------------------------------------------------6分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③ ∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个． ---------------8分】（3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上， ------------------------------------------9分且圆的直径为OP,则圆心为1122x y(,)，其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=， ------------------------------10分即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上，∴M 、N 坐标也满足方程----2243O :x y += -----------⑤⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=， ------------------------------11分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值. ---------------------------------12分 【解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则221PM OM x k ,k y =-=-----------9分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243x x y y ,+=--------------④ 同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+= ---------------⑤------------------10分把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴直线MN 的方程为1143x x y y +=， ------------------------------------------11分 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值． -----------------------------------12分】(16) 【2018广东省省际名校（茂名市）下学期联考（二）20】已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外. （1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S .【答案】解：（1）连接11,C A C B，∵112C A C B AB ==，∴1C AB ∆为等腰直角三角形. ∵FAB ∆为等腰直角三角形，∴四边形1FAC B 为正方形. ∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 则2C 的方程为()()22224x y -+-=.（2）如图，,1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O .在1Rt OC N ∆中，∵11OC C N =ON ∴11sin 2C ON ∠=，∴130C ON ∠=︒. ∴OEH ∆与OFG ∆为正三角形.∵11C EN C FN ∆≅∆，且112C E C F ==，∴NE NF ==∴四边形EFGH的面积226OFC CEH S S S ∆∆=-==.(17) 【2018广东省五校1月联考20】已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M （m ，0）（m ＞）作斜率不为0的直线l ，交椭圆E 于A ，B 两点，点P （，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求△OAB 面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），∵抛物线y 2=﹣4x 的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F 与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，∴c=1， ……… （1分）又椭圆E 的离心率为，得a=， ……… （2分）于是有b 2=a 2﹣c 2=1．故椭圆Γ的标准方程为：． ……… （3分）（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l 的方程为：x=ty+m ，由整理得（t 2+2）y 2+2tmy+m 2﹣2=0 ……… （4分），， ……… （5分），==（t 2+1）y 1y 2+（tm ﹣t ）（y 1+y 2）+m 2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍） ……… （8分）当m=1时，|AB|=|y 1﹣y 2|=， ……… （9分）点O 到直线AB 的距离d=， ……… （10分）△OAB 面积s==．∴当t=0，△OAB 面积的最大值为， ……… （12分）(18)【2018河北省邯郸市教学质量检测21】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点12⎛- ⎝⎭.过点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 的右顶点，探究：PM PN k k +是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.（其中，PM k ，PN k 分别是直线PM 、PN 的斜率）【答案】（Ⅰ）依题意，2222211414162a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩解得a =1b =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（Ⅱ）依题意，P .易知当直线MN 的斜率不存在时，不合题意.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN的方程为(y k x =， 代入2222x y +=中，得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由222232()4(12)(482)0k k k k k ∆=+-+++>,得14k <-，12x x +=，212248212k k x x k ++=+，故PM PN k k +=+=2k =22)42k k k +-=1= 综上所述，PM PN k k +为定值1.(19)【2018河北省衡水中学第十次模拟20】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c . （1）求椭圆的方程； （2）若直线l ：12y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点， 与以12F F 为直径的圆交于C ，D两点，且满足4AB CD=，求直线l 的方程. 【答案】解：（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=. （2）由题设，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，∴圆心(0,0)到直线l的距离d =由1d <，得m <(*).∴CD ===. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m -+-=， 由根与系数的关系得12x x m +=，2123x x m =-，∴AB ==.由AB CD=1=，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-或12y x =-. (20)【2018湖北省武汉市四月调研19】已知直线2y x =与抛物线Γ：22y px =交于O 和E 两点，且OE =（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(2,0)Q 的直线交抛物线Γ于A 、B 两点，P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M 、N 两点，问M 、N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【答案】解：（1）由22y px =与2y x =，解得交点(0,0)O ，(,)2pE p ，∴OE ==2p =. ∴抛物线方程为：24y x =.（2）设AB ：2x ty =+，代入24y x =中，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则2480y ty --=， ∴121248y y t y y +=⋅⋅⋅⎧⎨⋅=-⋅⋅⋅⎩①②.设0(2,)P y -，则PA ：1001(2)2y y y y x x --=++， 令0y =，得01011()2M y y x y x y -=+③同理由BP 可知：02022()2N y y x y x y -⋅=+④由③×④得0102()()M N y y y y x x --⋅011022(2)(2)y x y y x y =++201201221122()4y x x y y x y x y y =+++ 2222212210012122()44444y y y y yy y y y y =+⋅+⋅+⋅ 2221201201212124164y y y y y y y y y y +=⋅++（其中128y y =-.）20120124[(()]y y y y y y =-++， 从而4M N x x ⋅=为定值.(21) 【2018广东省惠来一中下学期第一次阶段考试20】已知圆O ：221x y +=过椭圆C ：12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的短轴端点，椭圆C 的离心率为23． （1）求椭圆C 的方程；（2）圆O 的一条切线t kx y +=交椭圆C 于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值． 【答案】解：（1）∵圆O 过椭圆C 的短轴端点，∴b=1，又∵23==a c e ，∴a=2.∴椭圆C 的标准方程为． …………3分（2）由题意可设切线MN 的方程为y=kx+t ，即kx ﹣y+t=0，则，得k 2=t 2﹣1．①…………5分 联立得方程组，消去y 整理得（k 2+4）x 2+2ktx+t 2﹣4=0．…………6分其中△=（2kt ）2﹣4（k 2+4）（t 2﹣4）=﹣16t 2+16k 2+64=48＞0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则，，…………7分则．② …………8分将①代入②得，∴，…………9分而，等号成立当且仅当，即．…………11分综上可知：（S △OMN ）max =1． …………12分(22) 【2018广东省深圳市第一次调研考20】已知椭圆C 22221x y a b+=（a>b>0)的离心率为12，直线l ：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I ）求椭圆C 的方程和点T 的坐标；（Ⅱ)O 为坐标原点，与OT 平行的直线'l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求△0AB 的面积最大时直线'l 的方程.(23)【2018河南省八市学评下学期第一次测评20】已知椭圆错误！未找到引用源。
2018高三各地优质文科二模试题分项汇编：圆锥曲线(含解析)
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专题七圆锥曲线一、选择题1．【2018广东佛山高三二模】已知双曲线的左焦点为，右顶点为，虚轴的一个端点为，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】 A【解析】由题意得不妨设，则，因为为等腰三角形，所以只能是即，（舍去负值），选 A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2018湖南株洲高三二模】已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】 D详解：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，圆的圆心，半径为，渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，可得：可得又可得可得：，由可得所以双曲线的离心率的取值范围是．故选D．点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的简单性质的应用，考查转化思想已经计算能力．3．【2018延安高三模拟】已知，为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D.【答案】 D即有|MF2|=3|MF1|=3a，由OM为三角形MF1F2的中线，可得（2|OM|）2+（|F1F2|）2=2（|MF1|2+|MF2|2），即为4b2+4c2=2（a2+9a2），即有c2+b2=5,再根据得到双曲线的离心率为.故选：D ．点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．4．【2018安徽淮北高三二模】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为两点，以为直径的圆过点，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】 C。
圆锥曲线高考真题专练(含答案),推荐文档
【解析】由已知得圆
的圆心为 （ -1 ，0）, 半径 =1，圆 的圆心为 (1,0), 半径
=3.
设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为 R.
（Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴ |PM|+|PN|=
=
=4，
由椭圆的定义可知，曲线 C是以 M， N为左右焦点，场半轴长为 2，短半轴长为
的椭圆 ( 左
由题设得 A( 1,0) ， B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：
x2 y2 1（ y 0 ）. 43
（ II ）当 l 与 x 轴不垂直时， 设 l 的方程为 y k( x 1)(k 0) ，M ( x1, y1) ，N ( x2 , y2 ) .
y k( x 1)
x02 3 p2
3p p
得： A(
3 p,
3p )
，直线
m:
y
2
2x p
x
3y
3p 0
2
3p 2
2
x2 2 py
x2 y
x y
3 x
3 p
3p p
切点 P(
,)
2p
p3
3
36
直线 n : y p
3 (x
3p )
3
x 3y
p0
63
3
6
坐标原点到 m, n 距离的比值为
3p : 3p 3。 26
已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C ： x2 y2 1在 y 轴正半轴上的焦点， 过 F 且 2
则 x1
2, x2
2 ，直线 MA ， MB 的斜率之和为 kMA kMB
y1
y2 .
x1 2 x2 2
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
2018年高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。
（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。
解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。
（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。
2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB． （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线解析版
FM ＝ (0 ， 2) ， FN ＝ (3 ， 4) ．
则 FM FN = （0 ，2 ） ? （3 ， 4 ） =8 ．
故选： D
x2 6.（全国卷一理）（ 11）已知双曲线 C：
y2 1 ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的
3
两条渐近线的交点分别为 M、N.若 △ OMN 为直角三角形，则 |MN |=
2018 年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）
一、选择题
1.（浙江卷）（ 2）双曲线 x2 3
2
y =1 的焦点坐标是
A ． (- 2 ，0) ，( 2 ， 0) B ． (- 2， 0)， (2， 0) C． (0， - 2 )， (0， 2 ) D． (0， - 2)， (0， 2)
解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在
4）已知椭圆
C
：
x a2
y 4
1的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为
1 A．
3
1 B．
2
2 C．
2
解：椭圆的一个焦点为（ 2，0），可得 a2-4=4，解得 a
22 D．
3
2 2，
c c 2, e
a
2
．
2
故选： C
5.（全国卷一理）（
8）设抛物线
C： y2=4x 的焦点为
F，过点（ –2， 0）且斜率为
故选： B
x2 7.（全国卷二文）（ 6）双曲线 a2
y2 b2
1( a
0, b
0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
A ． y 2x
B． y 3x
C． y
2x
2
高三数学-2018届高三数学专项训练(2018)《圆锥曲线》精品
C． 9
D． 16
12．给出下列结论 , 其中正确的是
（）
A．渐近线方程为 y
b x a 0,b 0 的双曲线的标准方程一定是
a
x2 y2 a2 b2 1
B．抛物线 y
1 x2 的准线方程是 x 1
2
2
C．等轴双曲线的离心率是 2
D．椭圆 x2 m2
y2 n2
1 m 0, n 0 的焦点坐标是 F1
x1 1· x2 1 x1·x 2
x1 x21ຫໍສະໝຸດ 44 ………………（ 10 分） k2
m n mn ，即 1
1 1
mn
综上可知 1 1 为定值。………………（ mn
20．（本小题满分 12 分）
12 分）
解：（1） AM 2AP, NP AM 0. ∴ NP为 AM的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|. ………………………… 2 分
由椭圆的对称性知 | OC|=| OB|, 由 AC · BC =0 得 AC⊥ BC，
A
O
x
∵ | BC|=2| AC| ，∴ | OC|=| AC| ，∴△ AOC是等腰直角三角形，∴ C 的坐标为（ 1，1），
∵ C 点在椭圆上∴ 12 4
1 b2
1 , ∴ b2 = 4 , 所求的椭圆方程为 3
二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）
m2 n2 ,0 , F2 m2 n2 ,0
13．如果正△ ABC 中 , D
AB，E
AC , 向量 DE
1 BC , 那么以 B , C 为焦点且过点 D , E 的双曲线
2
的离心率是
2
14．已知椭圆 x m
.
备战2018年高考数学优质试卷分项版专题07圆锥曲线文 新人教A版 Word版 含答案
专题 圆锥曲线一、选择题1．【2018黑龙江佳木斯一中调研】在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ， tan 2ABC ∠=， 6AB =， 2CD =，以A 、B 为顶点的椭圆经过C 、D 两点，则此椭圆的离心率为（ ）A. 2 C. 12 D. 2【答案】A∴CA == CB ==∵椭圆是以A B 、为顶点，且经过C D 、两点∴2a CA CB =+=，即a =； 26c AB ==，即3c =∴c a ==故选A2．【2018湖北八校联考】如图，已知椭圆C 的中心为原点O , ()5,0F -为C 的左焦点， P 为C 上一点，满足OP OF =且6PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.2213616x y += B. 2214015x y += C.2214924x y += D. 2214520x y += 【答案】C3．【2018湖南五市十校联考】设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点， 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）【答案】B【解析】点P 到原点的距离为PO c ==，又因为在12PF F 中， 1222F F c PO ==，所以12PF F 是直角三角形，即1290F PF ∠=.由双曲线定义知122PFPF a -=，又因为123PF PF =，所以123,PF a PF a ==.在12Rt PF F 中，由勾股定理得()()22232a a c +=，解得c a =. 故选A.4．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C ： 28x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A 的0y 值，代回抛物线方程求得0x 的值。
2018年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线
2018年高考数学选择试题分类汇编——圆锥曲线（2018湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A. 4B. 6C. 8D. 12（2018浙江理数）（8）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题（2018全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2018陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2018辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==（2018辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2018辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12(D)12【答案】D【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
最新-2018年全国高考数学试题分类汇编(圆锥曲线部分)-人教版[整理] 精品
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2018年全国高考数学试题分类汇编——圆锥曲线第一部分，选择题。
1． (2018全国卷Ⅰ文第6题) 已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 （ ）（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332 2 (2018全国卷Ⅰ理第6题) 已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （ ）（A ）23 （B ）23 （C ）26 （D ）332 3. （2018全国卷II 文第5题）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 54.(2018全国卷II 文第6题) 双曲线22149x y-=的渐近线方程是 ( )(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±5. (2018全国卷II 理第6题) 已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 ( )(A)(B)(C)65(D)566. (2018全国卷III 理第9题，文第9题) 已知双曲线2212yx-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为 （ ）（A ）43 （B ）53（C（D7. (2018全国卷III 理第10题，文第10题) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ） （A（B（C）2 （D18. （2018辽宁卷第11题） 已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线xy 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．219.（2018江苏卷第6题）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) ( A )1617( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 010. （2018江苏卷第11题） 点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线,经直线y =－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( ) ( A )33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2111. （2018广东卷第5题）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m= ( )（Ｂ）32 （Ｃ）83 （Ｄ）2312. （2018重庆卷理第9题，文第9题） 若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2+2y 的最大值为 ( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b ；(B) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb b ；(C) 442+b ； (D) 2b 。
2018年全国3卷高考模拟理科数学分类汇编---圆锥曲线
2018年全国3卷省份高考模拟理科数学分类汇编----解析几何1.（成都七中模拟）已知圆，考虑下列命题：①圆上的点到的距离的最小值为；②圆上存在点到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆上存在一点，使得以为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为( )CA. 0B. 1C. 2D. 3【解析】对于①，圆心到的距离减去半径的值为，即圆上点到的距离的最小值为，①错；对于②，到点与到直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，当时，圆方程，可得圆与抛物线有两个交点，故②正确；对于③，当时，圆上存在点，使得以为直径的圆与直线相切，故③正确，正确命题个数为，故选C. 【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查圆的几何性质、抛物线的定义与方程，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，判断存在性结论时，也可以考虑特值法处理，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.2.（成都七中模拟）若双曲线的渐近线与圆相切，则________________.【答案】【解析】由得渐近线方程为，即圆心到渐近线的距离等于半径，，故答案为.3.（成都七中模拟）已知椭圆的左右顶点分别为、，为椭圆上不同于，的任意一点.(1)求的正切的最大值并说明理由；(2)设为椭圆的右焦点，直线与椭圆的另一交点为，的中点为，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）直线，的倾斜角分别为，，先证明，则，从而可得结果；（2）设过焦点的直线方程为，，，，联立，则，利用两点间距离公式求得，再利用韦达定理以及焦半径公式求得，解方程可得结果.试题解析：(1)设椭圆上的点，则，∴，设直线，的倾斜角分别为，，则，，，∴当且仅当时，最大值为.(2)由题可知，斜率一定存在且，设过焦点的直线方程为，，，，联立，则，∴，∴，∴，而，∵，∴，∴，∴，∴.4.(成都市模拟)已知双曲线：右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）AA. B. C. D.【答案】A【解析】可设的面积为由题意可得，解得由，可得即为代入双曲线的方程，可得解得故选A.5.（成都市模拟）已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________．【答案】【解析】由题，直线圆心到直线的距离为由题意以为直径的圆截直线所得的弦长为，则即答案为，6.(成都市模拟)已知椭圆：的左右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）由已知，有，可得. 设点的纵坐标为.可得的最大值。
专题7圆锥曲线(2018年4月版)2018届高考高三数学(文)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版
专题 圆锥曲线一、单选题1．【2018河北衡水武邑高三上学期五调】已知抛物线22(0)y p x p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2213yx-=相交于,M N 两点,若M N F ∆为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p =（ ）A. B. C. D. 6【答案】A点睛：本题考查了抛物线的标准方程及双曲线的对称性应用，关键是分析出△MNF 为等腰直角三角形，利用tan ∠FMN=1建立等式即可解出p 的值.2．【2018河南安阳高三一模】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点， P 为椭圆上一点，且()110P F O F O P ⋅+=（O 为坐标原点），若12P F P F =，则椭圆的离心率为（ ）A.-B. 2C.D. 2-【答案】A【解析】以1,O F O P 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由()110P F O F O P ⋅+=知此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴1O P O F =，∴12F P F ∆是直角三角形，即12P F P F ⊥，设2P F x =，则，∴c e a===，故选A ．3．【2018贵州遵义高三上学期联考二】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线.已知A B C ∆的顶点()2,0A ， ()0,4B ， A C B C =，则A B C ∆的欧拉线方程为（ ） A. 230x y +-= B. 230x y -+= C. 230x y --= D. 230x y -+= 【答案】D点睛：本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，本题解题的关键是利用好欧拉线的几何性质实现几何问题的代数化.4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线221yx m+=的离心率为（ ）A.22B.2C.2D. 【答案】B【解析】由题意得216m =，解得4m =或4m =-．当4m =时，曲线方程为2214yx +=，故离心率为2c e a ====当4m =-时，曲线方程为2214yx -=，故离心率为c e a====．2B ．5．【2018广东茂名高三山学期第一次综合测试】已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221xym-=交于A , B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.2【答案】D6．【2018重庆九校联盟高三上学期联考一】已知抛物线2:2C y p x =经过点()1,2M ，则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ） A.18B.14C.12D. 1【答案】B【解析】依题意得2221112212222224p p y x x y p p =⨯⇒=⇒=⇔=⇒=⇒=，故选：B7．【2018福建三明高三上学期二模】已知等腰梯形A B C D 中//A B C D , 24A B C D ==,60B A D ∠=，双曲线以,A B 为焦点，且经过,C D 两点，则该双曲线的离心率等于（ ）A.B.C.D.1【答案】D【解析】等腰梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A ，B 为焦点，且经过C ，D 两点， 双曲线过点C 时，e 1c A B aC A C B===-，故选：D ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．【2018吉林普通高中高三二调】已知双曲线22221(0,0)x y a b ab -=>>的左右焦点分别为12,F F , P 为双曲线上一点， 且122P F P F =,若121c o s 4F P F ∠=，则该双曲线的离心率等于A. 2B.52C. 2D. 1【答案】C点睛：双曲线求离心率关键是其几何性质的应用。
2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编(含答案解析)
2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》试题汇编（含答案解析）1．（2018•红河州二模）设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．2．（2018•江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．3．（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．4．（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2018•红桥区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值．6．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．7．（2018•枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．8．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；最大时，求直线MN的方程．②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S△FNS9．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．10．（2018•宣城二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？11．（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．12．（2018•江西二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值．13．（2018•虹口区二模）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．14．（2018•揭阳一模）已知A是椭圆T：上的动点，点P（0，），点C与点A关于原点对称．（I）求△PAC面积的最大值；（II）若射线AP、CP分别与椭圆T交于点B、D，且=m，=n，证明：m+n为定值．15．（2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线MN过定点．16．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．17．（2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．18．（2018•成都模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．19．（2018•齐齐哈尔一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e=；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（I）求椭圆C的方程；（II）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．20．（2018•唐山一模）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x=﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM ⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC=60°，求m的值．21．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．22．（2018•洛阳三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．24．（2018•辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．25．（2018•上饶三模）已知椭圆C1：（a＞1）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．（1）求点M的轨迹C2的方程；（2）当直线AB与椭圆C1相切，交C2于点A，B，当∠AOB=90°时，求AB的直线方程．26．（2018•上海模拟）已知点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°．圆O的方程是x2+y2=b2．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．27．（2018•江苏一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率．28．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y=1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．29．（2018•太原一模）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2018•成都模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）过点B作直线L交曲线C′与P，Q两点，P，P′关于x轴对称，请问：直线P′Q 是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标31．（2018•秦州区校级一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（2，0），点P（1，﹣）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为﹣1直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|（F1为椭圆的左焦点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．32．（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．33．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．34．（2018•朝阳三模）如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．35．（2018•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞0，b＞0）的离心率为，且过点（1，）．F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF=FC，求的值；（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．36．（2018•芜湖模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，|F1F2|=2，△PF1F2的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．37．（2018•马鞍山二模）在直角坐标系中，己知点A（﹣2，0），B（2，0），两动点C（0，m），D（0，n），且mn=3，直线AC与直线BD的交点为P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F（1，0）作直线l交动点P的轨迹于M，N两点，试求的取值范围．38．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．39．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．40．（2018•湖北模拟）如图，已知抛物线x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，圆S：x2+y2﹣py=0，直线l：y=kx+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A、B、C、D，（1）若线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k的值；（2）若直线l′过抛物线焦点且垂直于直线l，直线l′与抛物线交于点M、N，设AD、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ过定点．参考答案与试题解析1．【分析】（1）设出M坐标，通过直线MN的斜率为，转化求解C的离心率．（2）通过原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，推出b2=6a，结合|MN|=7|F1N|，转化求解a，b．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故……………………………………………………（12分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．2．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．3．【分析】（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，问题得以解决．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由斜率公式化简即可得到定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．4．【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），用k表示D的坐标，分析可得=．解可得a2的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在定点M，且设M（0，m），分析易得k AM+k BM=0，即，变形分析可得2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．5．【分析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合．即可得到所求最大值；方法二、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB 的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y M y N＜0，求得，再由弦长公式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．6．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解出即可得出．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．7．【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k ≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．由抛物线的定义，得．由题意，．解得，或p=2（舍去）．所以C的方程为y2=x．（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），则y=kx+1﹣k．由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．由题意，直线PB的斜率为．同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．所以，直线l的斜率必存在．直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．所以直线l过定点（0，﹣1）．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．则==．（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．所以l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．由判别式△=1﹣4kt＞0，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，则==．由题意，．故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．由题意，判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②则==．由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查直线过定点问题，考查分类讨论思想的应用．8．【分析】（I）把A代入抛物线方程求出p，根据椭圆的性质列方程组求出a，b；（II）①设MN方程为y=kx+b，根据根与系数的关系和向量的数量积公式求出b 即可得出结论；②根据弦长公式计算|SR|，求出F到直线MN的距离d，得出三角形的面积关于k的函数，根据单调性得出k的值．【解答】解：（I）把A（2，1）代入抛物线C1可得：4=2p，p=2．∴抛物线C1的方程为x2=4y．故F（0，1），又F（0，1）是椭圆C2：的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2，∴，解得a=3，b=2，∴椭圆C2的标准方程为：=1．（II）①∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴直线MN斜率必存在．设直线MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得：x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1x2=﹣4b，∴y1y2==b2，∴=x1x2+y1y2=b2﹣4b=﹣4，即b=2．∴直线MN的方程为y=kx+2．∴直线MN过定点Q（0，2）．②联立方程组，消去y可得：（9+8k2）x2+32kx﹣40=0，设R（x3，y3），S（x4，y4），则x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|RS|==，又F（0，1）代直线MN的距离d=，=|RS|×d=，∴S△FSR令=t，则t≥，==，∴S△FSR取得最大值，此时k=0．由对勾函数的性质可知当t=时，S△FSQ∴直线MN的方程为y=2．【点评】本题考查了抛物线、椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．9．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，进而可得，则椭圆的方程可以为以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，据此解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，按直线l的斜率是否存在分2种情况讨论，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，易得△AOB的面积，当直线l的斜率存在时，设ly=kx+m，联立直线与椭圆的方程，用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得△AOB的面积，综合2种情况即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在．10．【分析】（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．则，结合．可得当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．由于AB斜率为k存在且k≠0，故，则∵则要使为定值，则当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【点评】本题考查了椭圆的方程，性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．11．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．12．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c的值，结合椭圆的定义可得2a=+=2，即可得a的值，由椭圆的定义计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，按直线AB的斜率是否存在分2种情况讨论：①，直线AB的斜率不为零，②当AB的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，椭圆E：+=1的两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．则c=1，又由椭圆经过点，则2a=+=2，即a=，b==1，则E的方程为；（2）证明：根据题意，分2种情况讨论：①，当直线AB的斜率不为零时，可设AB：x=my+t代入得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=8（m2+2﹣t2），设P（x，y），由，得，∵点P在椭圆E上，∴，即，∴4t2=m2+2，，原点到直线x=my+t的距离为．∴四边形OAPB的面积：．②当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积，∴四边形OAPB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．13．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF 1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．14．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），表示出△PAC面积，即可求出最大值，（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系可得m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，根据根与系数的关系，求出m，n，即可求出m+n的值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），依题意得点C（﹣x1，﹣y1），则S=|OP|•2|x1|=|x1|，△PAC∵点A在椭圆T：+y2=1上，∴|x1|≤2，∴S=|x1|≤1（当且仅当x1=±2时等号成立）△PAC∴△PAC面积的最大值为1；（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得，而由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，x2=﹣，代入①、②，得，两式相除，得k=，代入④，整理得9m2﹣30m+4x12+9=0；对于射线CP，同样的方法可得9n2﹣30n+4x12+9=0，故m，n是方程9x2﹣30x+4x12+9=0的两个根，由韦达定理，m+n=；当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，设其方程为y=kx+，由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，设B（x2，y2），由韦达定理，得x1x2=﹣，又k=，代入上式得x2=，由=m，得（﹣x1，﹣y1）=m（x2，y2﹣），故﹣x1=mx2，∴m=﹣=对于射线CP，同样的方法可得n=，∴m+n==．当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0，1）时，则B、C重合于点（0．﹣1），D、A重合，由=m，=n，得m=，n=3，这时m+n=；若点A为椭圆T的下顶点（0，﹣1），同理可得m+n=；综上可知m+n为定值，该值为．【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，向量的基本运算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得。
2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题07圆锥曲线
专题 圆锥曲线一、选择题1．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C ： 28x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A. 2 B. 2± C. 4 D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A 的0y 值，代回抛物线方程求得0x 的值。
要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。
2．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. y =± 【答案】D【解析】3c e a ==，则222229c a b a a+==，所以228b a =，即b =，所以by x a=±=±，故选D 。
3．【2018福建四校联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下左右顶点分别为,,,A B C D ，且左右焦点为12,F F ，且以12F F 为直径的圆内切于菱形ABCD ，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12 B. 12 C. 12+ D. 12- 【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【2018福建四校联考】设点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6，则双曲线的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 0x =0y ±=【答案】B点睛：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即bx x a=±)，应注意其区别与联系. 5．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线()222210,0x y a b a bΩ-=>>：的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A. ()1,3B. ()3,+∞C. (1,D. ()+∞ 【答案】B【解析】2b FM a = ， AF c a =+，∴()()22212AM FM b c a c ak e AF a c a a c a a--=====->++，∴3e >.选B.6．【2018陕西西安长安区联考】已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.【答案】C【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，则OD A B ⊥，因为OA OB AB +≥ ，所以2OD AB ≥，所以AB ≤ ，因为22144OD AB += ，所以21OD ≥ ，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点，所以24OD < ，所以214OD ≤< ，即214≤<，解得k ≤<C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．7．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E ： 22x a﹣22y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（ ）【答案】B11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===则()()22223b a a +=，整理得222b a =则双曲线的离心率c e a ===故答案选B点睛：题目中P 关于原点的对称点为Q ，那么四边形1PFQF 为平行四边形，再根据双曲线定义和已知条件判定直角三角形，利用c e a ==8．【2018河北衡水武邑中学三调】若直线():00l mx ny m n n +--=≠将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为（ ） A. 0或32 B. 0或43 C. 43- D. 43【答案】B9．【2018山西名校联考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅= ， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e =（ ）D. 2【答案】C【解析】由于1120AF F F ⋅= ，则2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()()12,0,,0F c F c -， 22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 42122b AF AF c a ⋅== ， 2b ac = ， 22a c ac -=， 21e e -= ， 210e e +-= ，e = ，01e <<，则e =，选C.10．【2018云南昆明一中一模】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB = ，则AF =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B 【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴== ，34AF BF ∴==，故选B.11．【2018广西贵州摸底联考】已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程是（ ） A.2214x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y += 【答案】B【解析】21,263,1,8,3e a a c b ==∴===∴22198x y +=，选B. 12．【2018河南名校联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）A.B.C.D.13．【2018江西南昌摸底】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F , P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为 （ ）【答案】C点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出2F 的坐标，渐近线方程为by x a=，对称点为(),P m n ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.14．【2018江西南昌摸底】已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅ 的值为A. 3B. 2 D. 3- 【答案】A【解析】动直线l 与圆O ： 224x y +=相交于A ， B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B -， (A -，∵M 是线段AB 的中点，∴32M ⎛- ⎝⎭，设(),C x y ，∵52C BC A =，∴()()52,132x y y ---=-，∴())5212{ 52x x y y--=---=，解得13{x y =-=，∴133C ⎛- ⎝⎭，∴133315,,3332222O CO M ⎛⎫⎫⋅=-⋅-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．15．【2018贵州黔东南联考】把离心率e =的曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ，则圆O 与黄金双曲线C （ ） A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点 【答案】D16．【2018辽宁凌源二中联考】抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A. 43-B. 43C. 43±D. 169- 【答案】A【解析】令y=1,代入24y x =，得14x =，即114A （，）,由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F(1,0),所以 直线AB 的斜率为1041314k -==--，故选A17．【2018河南郑州一中联考】已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF ∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）1+1 【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.18．【2018山西五校联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】2AF 垂直于x 轴，则2F A 为双曲线的通径的一半， 22b F A a =， A 的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222221222211b a c c b c a b AF a b a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=⇒-=⇒=+⇒==222b a a += ， 3,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭232a F Q ∴=，又22232a b F Q F A a >⇒> ，故有23;2a b AQ a ==- A 在第1象限上即在右支上，则有11232AF AQ F F +> ，即2222223343623762227b a a b a ac c c a c e a a a a +++->⨯⇒>⇒>⇒=< ，故选B. 二、填空题19．【2018四川德阳联考】已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点， 12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且123PFPF =，则椭圆的离心率为___________.【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知()22213c x =，所以4ca =，故填4. 20．【2018河南名校联考】已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是__________． 【答案】4【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。
2018年高考数学模拟试卷分项第02期专题07圆锥曲线20171220182
专题圆锥曲线一、选择题1．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C：x2y 的焦点为F，A x，y是C0 08上一点，且AF 2y，则x（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】D【解析】x 2 8y，如图，由抛物线的几何意义，可知AF Al 2y y2，所以0 0y，0 2所以x 0 4 ，故选D。
点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A的y值，代回抛物线方程求得x的值。
要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。
2．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线C：x y2 2（a 0 ，b 0）的离心2 2 1a b率为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A. yx B. y2x C. y2x D. y2 2x【答案】Dc【解析】e 3 ，则a c a b2 2 2，所以b 2 8a2 ，即b 2 2a，2 2 9a ab所以y x2 2x，故选D。
a13．【2018福建四校联考】已知椭圆 xy2222 1(ab 0) 的上下左右顶点分别为 A ,B ,C ,D ， a b且左右焦点为 F F ，且以 1, 2 F F 为直径的圆内切于菱形 ABCD ，则椭圆的离心率 e 为1 2（ ）A.12B.31 2C.15 2D. 15 2【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见 有两种方法：①求出 a ，c ，代入公式e c ； a②只需要根据一个条件得到关于 a ，b ，c 的齐次式，结合 b 2＝a 2－c 2转化为 a ，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a 2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可 得 e (e 的取值范围)．4．【2018福建四校联考】设点 F 是双曲线 xy22 221( 0, 0)a b 的右焦点，点 F 到渐近线a b的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6，则双曲线的渐近线方程为( )2A. 2 2x y 0B. x 2 2yC. x35y 0D. 35xy【答案】Bxy的 渐 近 线 方 程 为 y b x22点 睛 ： 双 曲 线2210,， 而 双 曲 线abab ayx的渐近线方程为 ya x (即 xb x22ab)，应注意其区别与联系. 2210,a b b axy225．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线：的右焦点 F 作 x 轴221 a 0,b 0ab的垂线，与在第一象限的交点为 M ，且直线 AM 的斜率大于 2，其中 A 为 的左顶点，则的离心率的取值范围为（）A.1, 3B.3,C. 1,2 3D. 2 3,【答案】B 【解析】b2FM，AF c a ，∴aFM b2 c 2 a2 c a，∴e 3.选B.k e1 2AMAF a c a a c a a6．【2018陕西西安长安区联考】已知直线x y k 0(k 0) 与圆x 2 y 2 4 交于不同的两3点 A , B ,O 是坐标原点，且有4 OA OBAB3，那么 k 的取值范围是A. 3,B.2,C.2,2 2D.3,2 2【答案】 C【解析】试题分析：设 AB 的中点为 D ，则 ODAB ，因为3OA OB AB3，所以32OD AB3，所以 AB2 3OD，因为21 2OD AB44 ，所以 2OD 1，因为直线 x y k 0(k0) 与 圆 x2y24 交 于 不 同 的 两 点 ， 所 以2OD4 ， 所 以 2k21OD 414，即2，解得 2k2 2 ，故选C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用． 7．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线 E ：x2 a2﹣ y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）， 点 F 为 E 的左焦点， 点 P 为 E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为 Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ， 则 E 的离心率为（ ） A. 2 B. 3C. 2D. 5【答案】B1 , , 1 ,PF a OP b OF cOPF1 904在 A中， OPF1PQ 2b , QF3a , PFa11则2222ba 3a ，整理得b 2 2a 2则双曲线的离心率e c b213 aa2故答案选 B点睛：题目中 P 关于原点的对称点为Q ，那么四边形PFQF 为平行四边形，再根据双曲线定1义和已知条件判定直角三角形，利用e cb21即可求出双曲线的离心率。
2018年高考数学 专题07 圆锥曲线分项试题(含解析)理
专题圆锥曲线一、选择题1．【2018河南洛阳市联考】设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A. B. C. D. 无法确定【答案】B2．【2018浙江温州一模】正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方体的边长为，椭圆的焦点在正方形的内部，，又正方形的四个顶点都在椭圆上，，，，故选B.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，构造出关于的不等式，最后解出的范围.3．【2018吉林百校联盟联考】已知抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 到其准线l 的距离为2，过焦点且倾斜角为60︒的直线与抛物线交于M ， N 两点，若'MM l ⊥， 'NN l ⊥，垂足分别为'M ， 'N ，则''M N F ∆的面积为（ ）【答案】B4．【2018的左、右焦点为1F 、2F ，在双曲线上存在点P PF PF F F +≤,则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. 12e <≤ B. 2e ≥ C. 12e <≤ D. 【答案】B【解析】因为OP 为12PF F ∆的边12F F 的中线，可知()1PO PF PF =+，双曲线上存在点P 满足PF PF F F +≤2PO c ≤，由PO a ≥，可知42a c ≤，则2e ≥，选B.5．【2018湖南两市九月调研】如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C. 【答案】C由点F 是AC 的中点，有：所以24p =.解得2p =. 抛物线24y x = 设()()1122,,,A x y B x y ，则所以13x =.AF : 与抛物线24y x =联立得： 231030x x -+=.故选C.6．【2018辽宁辽南协作校一模】设F1和F2为双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A. y=±x C.【答案】B7．【2018广东省海珠区一模】22650+-+=相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（）x y x【答案】C，即0bx ay ±=，圆22:650C x y x +-+=化为标准方程()()2234,3,0x y C -+=∴，半径为2， 双曲线的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，， ()222222224,54b a b c a c a a ∴==-∴-=，∴双曲线离心率对于 C. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点到直线距离公式可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出,a c 之间的关系求出离心率e 的．8．【2018 (0,0)a b >>上存在一点P 为边长的正方形的面积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）【答案】C考点：双曲线的离心率．9．【2018广西柳州市一模】已知点P 是以12,F F 为焦点的椭圆点，若1221,2PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率e =（ ）【答案】A【解析】∵点P 是以F 1，F 2（a ＞b ＞0）上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1=2，，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=2x ，由椭圆定义知x+2x=2a ，∴|PF 2|PF 1|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2，∴解得，∴点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．10．【2018湖南省永州市一模】已知点P 为双曲线12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 为12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有） A. (]1,2 B. ()1,2 C. (]0,2 D. (]2,3【全国市级联考】湖南省永州市2018届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题 【答案】A【解析】双曲线定义，得围为(]1,2，故选A.11．【2018广东珠海市九月摸底】已知抛物线 C ：y 2=4x ，过点 P (-2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是【答案】A12．【2018陕西西工大附中六模】线28y x =-的准线分别交于,A B 两点， O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为曲线的离心率为( )【答案】B【解析】y2=−8x的准线方程为l:x=2，y2=−8x的准线分别交于A,B两点,△ABO∴，∴c=2a，本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、填空题13．【2018浙江温州一模】已知直线：与圆：交于，两点（其中是坐标原点），则圆心到直线的距离为__________，点的横坐标为__________．【答案】 1 314．【2018广西三校联考】双曲线的焦距为________ .【答案】8即由题意(25−k )(9−k )<0， ∴9<k <25，∴2c =25−k +k −9=16， ∴c =4， ∴2c =8， 故答案为815．【2018吉林百校联盟联考】已知双曲线C ：为1F ， 2F ，过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直的直线l 与C 的两条渐进线分别交于M ， N 两点，若，则双曲线C 的渐进线方程为__________.联立直线方程与渐近线方程：解方程组可得交点N的坐标为：据此有：则双曲线C 的渐进线方程为点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．(2)程.16．【2018湖南两市九月调研】已知F 为双曲线定点A为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3AB FA =，则此双曲线的离心率为__________．联立两直线：，消去x 得：由3AB FA =，得y 4?B b =，所以17．【2018海南省八校联考】已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，过F 的直线l 与直线垂直，且直线l 与抛物线C 交于A ， B 两点，则．【解析】F 是抛物线2:16C y x =的焦点，∴()4,0F ，又过F 的直线l 与直线∴直线l 的方程为：带入抛物线2:16C y x =，易得： 2340480x x -+=三、解答题18．【2018河南洛阳尖子生联考】如图，点是抛物线：（）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点，是抛物线上的动点，直线，斜率分别为，．（1）求抛物线的方程； （2）若，点是抛物线在点，处切线的交点，记的面积为，证明为定值． 【答案】（1）（2）试题解析：（1）设，由题知，所以，所以代入（）中得，即，所以抛物线的方程是．（2）过作轴平行线交于点，并设，，由（1）知，所以，又，所以，直线：，直线：，解得因直线方程为，将代入得，所以．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.19．【2018浙江温州一模】已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.果.试题解析：（1）根据抛物线的定义知，，∵，∴，∴．（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，∵，即，∴，即，∴，∴，，，，∴，令，，则．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.20．【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程C 为： (0)a b >>椭圆的右焦点为()1,0，离心率为l ： y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且（1）椭圆的方程及求AOB ∆的面积；（2）在椭圆上是否存在一点P ，使OAPB 为平行四边形，若存在，求出若不存在说明理由.【答案】（1（2）不存在P试题解析： （12a ∴= 2223b a c ∴=-= ∴椭圆方程为：设A(11,)x y ，B ()22,x y ，则A , B 的坐标满足消去y 化简得， ()2223484120k x kmx m +++-=，0>得22430k m -+> ()()()212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++,OA OB K K ⋅即22243m k -=,()()()()()2221212224843AB 14134k m kx x x x kk -+⎡⎤=++-=+⎣⎦+=)22342k +=O 到直线y kx m =+的距离(2224134AOBk Sk +=+22132434k +=+（2）若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上，则OP OA OB =+，设()00P x y ，，,由于P 在椭圆上，化简得 22243m k -= ② 联立方程①②知0m =，故不存在P 在椭圆上的平行四边形.点睛：直线和圆锥曲线的位置关系往往都是联立，韦达定理，弦长公式，最主要是计算一定要细心.21．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的方程： (2)设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.【答案】（1）（2）(1)，即，又 ，既 故椭圆的方程为.(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为由可得，设点，则，①，②由于直线的方程为所以令，可得①②带入到上式既可解得， 所以直线与轴相交于定点.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。
2018高三数学全国二模新编(理科)专题07圆锥曲线
【2018高三数学(shùxué)各地优质二模试题分项精品】一、单选题1．【2018黑龙江大庆高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．2．【2018广东惠州高三4月模拟】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】C设切点，由的导数为，则的斜率为.∴，则.∴，∴故选C．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.3．【2018河南郑州高三二模】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )A. 23B. 42C. 12D. 52【答案(dá àn)】A【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线l与抛物线交于，则有，抛物线的极坐标方程为，所以，，所以112FPF Q P+=，即证。
4．【2018陕西咸阳高三二模】双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（）A. B. C. D.3 2【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为：，其斜率为：，其中(qízhōng)一条渐近线与直线210x y -+=平行，则：，则双曲线的离心率： .本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 5．【2018湖南衡阳高三二模】已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A. 3B.C.12D. 1 【答案】D6．【2018陕西高三二模】已知点分别为双曲线的左、右两个焦点，点P 是双曲线右支上一点，若P 点的横坐标时，有，则该双曲线的离心率为( )A.B.C. 2D.【答案】A7．【2018陕西高三二模】已知,点是外一点(yī diǎn)，则过点的圆的切线的方程是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】22C :4630x y x y +---=，即（故圆心是，半径是4，点 点()M 2,0-是C 外一点，显然是过点的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于 则的斜率是直线MP 的方程是：故解得： 故切线方程是故选C ．【点睛】本题考查了圆的切线方程问题，考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离，解题时应注意切线斜率不存在的情况.8．【2018河南商丘高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线的右支上存在点，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．【2018四川德阳高三二诊】如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】设，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得又，可得分别(fēnbié)过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，则同理可得，故选B.10．【2018河南商丘高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆相切，记到直线的距离分别为，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B11．【2018四川德阳高三二诊】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．12．【2018重庆(zhònɡqìnɡ)高三4月二诊】已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点P在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 5 D.【答案】D点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式cea；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为,a c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．13．【2018甘肃兰州高三二模】在平面(píngmiàn)直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】C14．【2018安徽马鞍山高三二模】已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析(jiě xī)】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.15．【2018安徽马鞍山高三二模】如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C16．【2018广东(guǎng dōng)茂名高三二模】以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件可得，，∴，即，∴故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17．【2018河北唐山高三二模】椭圆右焦点为F，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率（）A.22B. C. D.12【答案】B18．【2018河北邯郸高三一模】设双曲线：22221(0,0)x ya ba b-=>>的左顶点与右焦点分别为，F，以线段AF为底边作一个等腰，且AF边上的高.若AFB∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e，则下列判断正确的是（）A. 存在唯一的e，且B. 存在(cúnzài)两个不同的e ，且一个在区间内，另一个在区间内C. 存在唯一的e ，且D. 存在两个不同的e ，且一个在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内，另一个在区间内【答案】A【解析】由题意可设，可得AFB ∆的垂心H ，因为AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的e ，且3,22e ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当时无零点，选A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断． 19．【2018安徽合肥高三质检二】已知双曲线的左，右焦点分别为1F ， 2F ， A ，是双曲线C 上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.525【答案】B【解析】如图，设A ， B 是双曲线C 左支上的两点，点睛(diǎn jīnɡ)：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，利用和cea转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．20．【2018湖南郴州高三二模】如图，F是抛物线 ()的焦点，直线l过点F且与抛物线及其准线交于A,B,C三点，若,，则抛物线C的标准方程是（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】C【解析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则|BC|=3a，|BD|=a，∴，在直角三角形ACE中，∵|AB|=9，|AC|=9+3a，∴3|AE|=|AC|，∴=9+3a，即a=3，∵BD∥FG，∴，即，解得p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故选：C．二、填空题21．【2018黑龙江大庆高三质检二】已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则__________．【答案】.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果(rúguǒ)问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 22．【2018河南郑州高三二模】已知椭圆的右焦点为,且离心率为12， 的三个顶点都在椭圆上，设ABC 三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且123k k k 、、均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．【答案】【点睛(diǎn jīnɡ)】点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
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专题 圆锥曲线一、选择题1．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线C ： 28x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A. 2 B. 2± C. 4 D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点A 的0y 值，代回抛物线方程求得0x 的值。
要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。
2．【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. y =± 【答案】D【解析】3c e a ==，则222229c a b a a+==，所以228b a =，即b =，所以by x a=±=±，故选D 。
3．【2018福建四校联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下左右顶点分别为,,,A B C D ，且左右焦点为12,F F ，且以12F F 为直径的圆内切于菱形ABCD ，则椭圆的离心率e 为（ ）A.12 B. 12 C. 12+ D. 12- 【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【2018福建四校联考】设点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6，则双曲线的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 0x =0y ±=【答案】B点睛：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的渐近线方程为a y x b =±(即bx x a=±)，应注意其区别与联系. 5．【2018广西贺州桂梧高中联考】过双曲线()222210,0x y a b a bΩ-=>>：的右焦点F 作x 轴的垂线，与Ω在第一象限的交点为M ，且直线AM 的斜率大于2，其中A 为Ω的左顶点，则Ω的离心率的取值范围为（ ）A. ()1,3B. ()3,+∞C. (1,D. ()+∞ 【答案】B【解析】2b FM a = ， AF c a =+，∴()()22212AM FM b c a c ak e AF a c a a c a a--=====->++，∴3e >.选B.6．【2018陕西西安长安区联考】已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是A.)+∞ B. )+∞ C. D.【答案】C【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，则OD A B ⊥，因为OA OB AB +≥ ，所以2OD AB ≥，所以AB ≤ ，因为22144OD AB += ，所以21OD ≥ ，因为直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点，所以24OD < ，所以214OD ≤< ，即214≤<，解得k ≤<C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．7．【2018湖南株洲两校联考】已知双曲线E ： 22x a﹣22y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（ ）【答案】B11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===则()()22223b a a +=，整理得222b a =则双曲线的离心率c e a ===故答案选B点睛：题目中P 关于原点的对称点为Q ，那么四边形1PFQF 为平行四边形，再根据双曲线定义和已知条件判定直角三角形，利用c e a ==8．【2018河北衡水武邑中学三调】若直线():00l mx ny m n n +--=≠将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为（ ） A. 0或32 B. 0或43 C. 43- D. 43【答案】B9．【2018山西名校联考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅= ， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e =（ ）D. 2【答案】C【解析】由于1120AF F F ⋅= ，则2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()()12,0,,0F c F c -， 22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 42122b AF AF c a ⋅== ， 2b ac = ， 22a c ac -=， 21e e -= ， 210e e +-= ，e = ，01e <<，则e =，选C.10．【2018云南昆明一中一模】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB = ，则AF =（ ）A. 3B. 4C. 6D. 7 【答案】B 【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴== ，34AF BF ∴==，故选B.11．【2018广西贵州摸底联考】已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13，则椭圆的方程是（ ） A.2214x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y += 【答案】B【解析】21,263,1,8,3e a a c b ==∴===∴22198x y +=，选B. 12．【2018河南名校联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ）A.B.C.D.13．【2018江西南昌摸底】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F , P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为 （ ）【答案】C点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出2F 的坐标，渐近线方程为by x a=，对称点为(),P m n ，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1﹣，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.14．【2018江西南昌摸底】已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅ 的值为A. 3B. 2 D. 3- 【答案】A【解析】动直线l 与圆O ： 224x y +=相交于A ， B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为2y =+，根据题意可得()2,0B -， (A -，∵M 是线段AB 的中点，∴32M ⎛- ⎝⎭，设(),C x y ，∵52C BC A =，∴()()52,132x y y ---=-，∴())5212{ 52x x y y--=---=，解得13{x y =-=，∴133C ⎛- ⎝⎭，∴133315,,3332222O CO M ⎛⎫⎫⋅=-⋅-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．15．【2018贵州黔东南联考】把离心率e =的曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆O ，则圆O 与黄金双曲线C （ ） A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点 【答案】D16．【2018辽宁凌源二中联考】抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A. 43-B. 43C. 43±D. 169- 【答案】A【解析】令y=1,代入24y x =，得14x =，即114A （，）,由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点F(1,0),所以 直线AB 的斜率为1041314k -==--，故选A17．【2018河南郑州一中联考】已知点A 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）右支上一点， F 是右焦点，若AOF ∆（O 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e 为（ ）1+1 【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.18．【2018山西五校联考】设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭，22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】2AF 垂直于x 轴，则2F A 为双曲线的通径的一半， 22b F A a =， A 的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则222222221222211b a c c b c a b AF a b a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=⇒-=⇒=+⇒==222b a a += ， 3,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭232a F Q ∴=，又22232a b F Q F A a >⇒> ，故有23;2a b AQ a ==- A 在第1象限上即在右支上，则有11232AF AQ F F +> ，即2222223343623762227b a a b a ac c c a c e a a a a +++->⨯⇒>⇒>⇒=< ，故选B. 二、填空题19．【2018四川德阳联考】已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点， 12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且123PFPF =，则椭圆的离心率为___________.【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知()22213c x=，所以4ca =，故填4. 20．【2018河南名校联考】已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是__________． 【答案】4【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。