学而思初二数学秋季班第13讲.几何综合.提高班.学生版

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初二秋季·第13讲·提高班·学生版

全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种：

1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；

2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；

3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

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名校期末试题点拨——几何部分

题型一：全等三角形与轴对称

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4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；

5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型

1.最值问题：“将军饮马”模型；

2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。 三、尺规作图

部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。

【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，

∠1=95°，则∠2的度数为（ ）

A ．24°

B ．25°

C ．30°

D ．35°

⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ． 典题精练

2

1C'

B'

F

E C

B

A 第二次操作

第一次操作

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【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，

则满足条件的点P 有（ ）．

A ．1个

B ．3个

C ．5个

D ．6个

⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？

【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找

一点P ，使BP +PE 的值最小；

⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；

⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；

⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．

图4

图3

图2

图1

P D

C

B A

O

P C B

A

P E D C

B A

P E D C

B

A

【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO

交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明； l

D C

B

A

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⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.

一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；

2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；

4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2

22c b a =+；

5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比

为1：3：2）；

6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 思路导航

题型二：直角三角形与勾股定理

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二、直角三角形的判定

1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；

2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；

3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；

4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．

【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，

D 1

E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．

E

D

C

B

A

【例6】 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是

AB 延长线上一点，且CE =BF ．

图1

C A

E

G B

F

D

图2

D

A B

C

E

思考验证：

⑴求证：DE =DF ；

典题精练