31随机向量及其分布

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jБайду номын сангаас
三、 二维连续型随机向量的概率分布
1. 定义 设（X，Y）的分布函数为 F（x, y），如 果存在非负函数 f(x, y)，使得对于任意实数 x, y 有
yx
? ? F (,x y) ?
f (,u v)dudv
?? ??
则称（X，Y）为二维连续型随机向量，f(x, y)为
（X,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。
i,j =1,2,…；且取这些值时的概率表示为
pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…)， 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律。
3. （X，Y）的联合分布律 pij 的性质：
（1）pij≥0；i,j=1,2,…;
?
?
?
?
pij ? 1
(2)
i?1 j?1
2 .概率密度 p(x, y) 的性质
（1）f（x, y）≥0
?? ??
?? (2)
f ( x,)y dxdy ? F (? ? , ? ? )1?
：
? ? （5）（X，Y）的联合分布函数为：F ( x, y ) ?
p ij
其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i, j来求和的xi。? x y j ? y
例题3
设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地取一个
数，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一个数，
试求（X，Y）的分布律
y
x
1
2
3
4
p1 1? P{X ? 1, Y ? 1}
? P{X ? 1}P{Y ? 1 | X ? 1} ? 1 ? 0 ? 0
4
p12 ? P{X ? 1, Y ? 2}
? P{X ? 1}P{Y ? 2 | X ? 1} ? 1 ? 2 ? 1
p13
?
1 ?
4
1 3
?
1 12
43 6
同理可得
p21
?
2? 4
一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数
1. 定义：设 （X，Y），x、y为两个任意实数，则称二
元函数
F（x, y）=P{X≤x, Y≤y}
为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称X、Y的 联合分布函数。
2. 几何意义： F（x,y）表示随机点（ X，Y）落在以 （x,y）为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X） ，纬度（Y），高度（Z）是定义在Ω 上的三个随机变量。即 每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机 向量。
二维随机向量的样本空间
(1) 二维随机向量（X，Y）的
一个可能值可以用平面上的一
个点表示
D
(2)样本空间是平面上的一些
离散点或者平面区域D
概率。
3 矩形区域内的概率计算：
对于任意的x1＜x2，y1＜y2， P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}＝F（x2, y2）-F(x2,y1)
-F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
4 . F（x,y）的基本性质：
（1）F(x,y) 是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1＜x2时，F（x1 ,y）≤F（x2 , y）；
对于任意固定的x，当y1＜y2时，F（x ,y1）≤F( x, y2) （2）0≤F（x,y）≤1, F(-∞，-∞)=0，F（+∞，+∞）=1
对任意固定的y，F（-∞，y）=0 对任意固定的x，F（x，-∞）=0 （3）F（x,y）关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即
F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）= F（x,y） （4）对于任意的x1＜x2, y1＜y2有下列不等式
1 1/4
0
0
0
2 1/8 1/8
0
0
3 1/12 4 1/16
1/12 1/16
1/12 0 1/16 1/16
例4 一袋中有四个球，上面分别标有数字 1，2，2，3
从袋中任取一球后不放回， 再从袋中任取一个球，以
X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，
求 ( X,Y) 的分布列。
解 X 可能取值分别都为 1，2，3 由乘法公式得
第三章 随机向量及其分布
定义 设E：Ω ={ω } ，X1，X2，…，Xn是定 义在Ω 上的n个随机变量，称随机变量组 （X1，X2，…，Xn）为定义在 Ω 上的n维随机
向量。考虑最多的是二维随机向量(X,Y)
X(e)
e Y(e)
随机向量的例子
1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。
解: 由分布函数的性质,
F (? ? , ? ? ) ? 1, F (? ? , ? ? ) ? 0, F (? ? , ? ? ) ? 0, 得
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 1
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
A(B ? ? )(C ? ? ) ? 0
2
2
1 解得 A ? ? 2
B??
2
? ? ? ? ? P{X ??3,Y 4} ? F (3,4) ?
?
C?
1
2
9
2 ( 4 ? 2 )( 2 ? 4 ) ? 16
二、 离散型随机向量的概率分布
1. 定义 若随机向量（ X，Y）所有可能取值只有有限对或 可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机向量。
2. （X，Y）的联合分布列 若（X，Y）的所有可能取值为（xi, yj），
（4）(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：
Y X
y1
x1
p11
x2
p21
：
：
xi
pi1
xi+1 pi+11
：：
y2 … yj
p12 … p 1j
p22 … p 2j
：
：
yj+1 … p 1j+1 … p 2j+1 …
：
pi2 … pij
pi+12 … pi+1j
：
：
pij+1 … pi+1j+1 …
1 3
?
1 6
11 1
p31
?
? 4
3
?
12
p22
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
12 1
p32
?
? 4
3
?
6
p23
?
2 ?
4
1 3
?
1 6
p33
?
1?0 4
?
0
所以 ( X,Y) 的分布列为
XY 1
2
1
0
1/ 6
3 1 / 12
可见
pij ? 0
2
1/ 6
1/ 6
1/ 6 ? ? pij ? 1
3
1/12 1/ 6 0
F（x2 , y2）-F（x2 , y1）-F（x1 ,y2）+ F（x1 ,y1）≥0
思考: F(-? ,+)? =?
例1、设（X，Y）的分布函数
F (x,
y)
?
A( B
?
arctan
x 3
)(C
?
arctan
x) 4
求 A,B,C 的值及概率P{X≤3,Y≤4}
(?? ? x ? ? ,?? ? y ? ?