热传导方程的初边值问题

例4 周期初始温度分布 求解热传导方程txx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布(,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。

解4(,)1cos2t u x t e x -=+.初始高斯温度分布例 5求解定解问题22220,(,0)(,0),()kx u u a x t tx u x e x -⎧∂∂-=-∞<<+∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩，其中常数0k >.解22()4(,)()x s a tu x t s eds ϕ--+∞-∞=⎰222()4x s ks a teeds --+∞--∞=⎰2222(41)24ka t s xs x a teds +-+-+∞-∞=⎰22222224(41)()41414x ka t ka t s xka t ka t a teds +-+++-+∞-∞=⎰222222(41)()41441k ka t x x s ka t a t ka t e eds+---+∞++-∞=⎰2241kx ka t e-+=2241kx ka t -+=.§3初边值问题设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布),(t x u 满足以下初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧≤<==≤≤=<<<<=-Tt t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0),()0,(0,0),,(212ϕ 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解.将边值齐次化令())()()(),(121t g t g lxt g t x U -+= 再作变换U u V -=引入新的未知函数,易知它满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤-=<<<<-=-T t t l V t V l x x U x x V T t l x U t x f V a V t xx t 0,0),(,0),0(,0),0,()()0,(0,0,),(2ϕ 我们先考虑齐次方程,齐次边界的情形⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 解 设),()(),(t T x X t x u =代入方程),()()()(2t T x X a x X t T ''=',)()()()(2x X x X t T a t T ''='这等式只有在两边均等于常数时才成立. 令此常数为λ-,则有,02=+'T a T λ （3.4） ,0=+''X X λ （3.5）先考虑（3.5）,根据边界条件(3.3),)(x X 应当满足边界条件0)(,0)0(==l X X （3.6）情形A ：当0<λ时,方程（3.5）的通解可以写成12(),X x C C e =+要使它满足边界条件（3.6）,就必须,021=+C C,021=+---lle C eC λλ由于,011≠-=------llllee eeλλλλ只能,021==C C 故在0<λ的情况得不到非平凡解. 情形B ：当0=λ时,方程（3.5）的通解可以写成,)(21x C C x X +=要满足边界条件（3.6）,,0,0211=+=lC C C 即021==C C .)(x X 也只能恒等于零.情形C ：当0>λ时,方程（3.5）的通解具有如下形式：,sin cos )(21x C x C x X λλ+=由边界条件,0)0(=X 知,01=C 再由,sin )(2l C l X λ=可知,为了使,02≠C 就必须,0sin =l λ于是),2,1(, ==k k l πλ),2,1(,222 ===k lk k πλλ （3.7）这样就找到了一族非零解),2,1(,sin)( ==k x lk C x X k k π（3.8） 称x lk C x X k k πsin)(=为常微分方程边值问题 ⎩⎨⎧==<<=''-0)()0(0,)()(l X X lx x X x X λ 的固有函数（特征函数）.而222l k πλ=称为相应的固有值（或特征值）.将固有值k λ代入方程（3.4）中,,02222=+'T lk a T π 可得tl k a k k eB t T 2222)(π-= （3.9）于是得到一列可分离变量的特解),2,1(,sin),(2222==-k x lk eA t x u tl k a k k ππ （3.10） 由于方程（3.1）及边界条件（3.3）都是齐次的,故可利用叠加原理构造级数形式的解,sin ),(),(112∑∑∞=-∞===k k tak k k x e A t x u t x u k λλ （3.11）其中222lk k πλ=.由（3.2）,为使在0=t 时,),(t x u 取到初值)(x ϕ,应成立,sinsin )0,()(11∑∑∞=∞====k k k k k x lk A xA x u x πλϕ （3.12）得出⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ. （3.13） 得到问题（3.1）－（3.3）的解,sin ),(12∑∞=-=k k ta k x eA t x u k λλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk l A 0sin )(2ξξπξϕ.定理 若,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则,sin ),(12∑∞=-=k k tak x eA t x u k λλ （3.14）是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-)3.3(0,0),(),0()2.3(,0),()0,()1.3(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 的古典解（经典解）.证明 由],,0[l C ∈ϕ得ϕ在],0[l 上可积.02|||()sin |l k k A d l lπϕξξξ=⎰ M d l l=≤⎰ξξϕ0|)(|2 对任意,0>δ当δ≥t 时,成立22()21(),k k n m n m a t a k k m nA e x M e t xλλδλ++--∂≤∂∂（任意整数,0m n ≥） 又对任意,0>p 而级数21k a p kk eλδλ∞-=∑收敛,所以21(sin )k m n a tk m n k A e t xλ+∞-=∂∂∂∑在δ≥≤≤t l x ,0上一致收敛.于是21(,)()k m n m n a tk m n m n k u x t A e t x t xλ++∞-=∂∂=∂∂∂∂∑，即级数∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ,当δ≥≤≤t l x ,0时,关于x 及t 具有任意阶的连续偏导数,并且求偏导与求和可以交换.由于级数的每一项都满足方程及边界条件,从而函数),(t x u 在δ≥t 时,确实满足方程及边界条件.再由0>δ的任意性,得),(t x u 在0t >时满足方程及边界条件, 且)).,0(],0([),(+∞⨯∈∞l C t x u再证)0(),(),(lim 0000l x x t x u t x x ≤≤=+→→ϕ由条件),()0(],,0[1l l C ϕϕϕ=∈02|||()sin |l k k A x xdx l l πϕ=⎰02|()cos |||l k l k l x xdx a k l l k πϕππ'==⎰()222111sin ,2k a tk k k A ex Ca C a k k λ-⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭由Bessel 不等式,知()()22012()l k k a x dx lϕ∞='≤∑⎰, 从而得到∑∞=-1sin 2k k k ta x A ek λλ在0,0t x l ≥≤≤上一致收敛, 1k k A ∞=∑在0x l ≤≤上一致收敛于()x ϕ,从而得),(t x u 在0,0t x l ≥≤≤上连续. 于是)0(),(sin sin lim ),(lim 0010100200l x x x A x A et x u k k k k k k ta t x x t x x k ≤≤===∑∑∞=∞=-→→→→++ϕλλλ.3.1初边值问题解的渐近性态定理 假设初始函数)(x ϕ满足,0)()0(],,0[1==∈l l C ϕϕϕ则当t趋于无穷大时,问题（3.1）－（3.3）的唯一的古典解指数衰减地趋于零,确切地说,当+∞→t 时,对一切],0[l x ∈,,0|),(|12→≤-t a Ce t x u λ其中C 是一个与解无的正常数. 证明 古典解是唯一的,∑∞=-=1sin ),(2k k t a k x e A t x u k λλ是唯一的古典解,其中222l k k πλ= ,2,1,sin )(20==⎰k d lk l A l k ξξπξϕ)(x ϕ在],0[l 上有界,设M x ≤)(ϕ,则有0022||()sin 2l lk k A d Md M l l lπϕξξξξ≤≤=⎰⎰ 当1≥t 时∑∞=-≤12),(k ta k k eA t x u λ∑∞=-≤122k t a k e M λ∑∞=---=1)(12122k ta ta k eMeλλλ∑∞=---≤1)(12122k ata k e Meλλλ∑∞=--≤1222122k kl a ta eMeπλta Ce12λ-≤.3.2非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(,0)0,(),(2t l u t u x u t x f u a u xx t . 齐次化原理：若);,(τt x w 是下述问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥===<<>∂∂=∂∂=τττττττt t l w t w x f t x w l x t x wa t w t ,0);,();,0(),(|);,(0,,222 （*） 的解（其中0≥τ为参数）,则⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ是非齐次问题⎪⎩⎪⎨⎧≥===><<=-0,0),(),0(,0)0,(0,0,),(2t t l u t u x u t l x t x f u a u xx t 的解.证明 显然0),(),0(,0)0,(===t l u t u x u ,ττd t w t x f d t w t t x w tut t ⎰⎰∂∂+=∂∂+=∂∂00),();,(,0222222⎰∂∂=∂∂t d x w a x u a τ则u 满足),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂.),(t x u 是非齐次问题的解. 现在来求问题（*）的解.作变换τ-='t t 则问题（*）化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+'=<<>'=∂∂-'∂∂='0,0);,();,0(),(|0,0,00222t t l w t w x f w l x t x wa t w t τττττ （**） 我们已知问题（**）的解为,sin )();,(12∑∞='-='k k t a k x e B t x w k λττλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.于是,sin )();,(1)(2∑∞=--=k k t a k x e B t x w k λτττλ故⎰=td t x w t x u 0);,(),(ττ,sin )(1)(2∑⎰∞=--=k k tt a k x d e B k λτττλ是非齐次问题的解.初边值问题⎪⎩⎪⎨⎧====-,0),(),0(),()0,(),,(2t l u t u x x u t x f u a u xx t ϕ的解为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k t t a k k k ta k x d e B x eA t x u k k λττλτλλ其中222l k k πλ=,⎰=l k d l k l A 0sin )(2ξξπξϕ,⎰=l k d lk f l B 0sin ),(2)(ξξπτξτ.3.3非齐次初边值问题的特征函数展开法⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤=≤<<<=-T t t l u t u l x x x u Tt l x t x f u a u xx t 00),(),0(,0),()0,(0,0),,(2ϕ （3.15） 方法步骤 把),(t x u ,方程的非齐次项),(t x f 和初值都按照特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin展开：,sin)(),(1∑∞==k k x l k t T t x u π ,sin)(),(1∑∞==k k x lk t f t x f π ,sin)(1∑∞==k k x l k x πϕϕ 由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin在区间],0[l 上的正交性,可得 ⎰=l k xdx l k t x f l t f 0sin ),(2)(π, ⎰=l k xdx l k x l 0sin )(2πϕϕ.而函数)(t T k 暂时还是未知的.为确定)(t T k ,把上述展开式问题（3.15）代入方程和初始条件,由特征函数系⎭⎬⎫⎩⎨⎧x lk πsin的完备性,从而得到)(t T k 适合下列微分方程和初始条件. ,sin )(sin )()()(1122∑∑∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'k k k k k x l k t f x l k t T l k a t T πππ ,sin sin )0(11∑∑∞=∞==k kk k x l k x l k T πϕπ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧===+',2,1,)0()()()()(22k T t f t T l k a t T k k k k kϕπ)()(2222)()(t f e t T ek t lk a k t l k a ππ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 从0到t 积分⎰=-tlk a k k k t lk a d ef T t T e)()(2222)()0()(τττππ ⎰---+=tt lk a k t lk a k k d ef et T 0)()()(2222)()(ττϕτππ故非齐次初边值问题解),(t x u 的表达式为,sin )(sin ),(1)(122∑⎰∑∞=--∞=-+=k k tt a k k k a k x d e f x et x u k kλττλϕτλλ这与前面的结果一致. 能量衰减估计⎪⎩⎪⎨⎧≥==≤≤=><<=-00),(),0(,0),()0,(0,0,02t t l u t u l x x x u t l x u a u xx t ϕ 用u 乘以方程两端,在],0[l 上积分,0)(02⎰=⋅-⋅lxxtdx u ua u u220011,22lll t d u udx u dx u dx t dt∂⋅==∂⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰=+-=-lx lx x lx l xx dx u a dx u u a u u a udx u a 022020202,,20222⎰⎰-=l x l dx u a dx u dt d ⎰=xx d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤x x d t u t x u 0),(),(ξξ⎰≤lx d t u 0),(ξξ2/1022/1021),(⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰l l x d d t u ξξξ2/10221),(⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰l x dx t x u l ,⎰≤lx d u l t x u 022),(ξ,⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤l x ll x l dx u l dx dx u l dx u 02200202, ⎰⎰-≤-l l x dx u l dx u 022021 于是,2022202⎰⎰-≤ll dx u la dx u dt d002222≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰l tl a dx u e dt d , 0)0,(0202222≤-⎰⎰lltl a dx x u dx u e ,⎰⎰⎰--=≤lt l a ltl a ldx x edx x uedx t x u2202202)()0,(),(2222ϕ.定理 (Cauchy-Schwarz 不等式)设g f ,在],[b a 上可积，则有212212))(())((|)()(|dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤。