2.2.1分析法
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1 s = (a + b + c), 2
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC, ,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过 例3:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线 垂足为E, 的垂线, E,过 SC的垂线 的垂线, SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F, F,求证 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF 证明:要证AF⊥SC 只需证:SC 平面AEF 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE 只需证:AE⊥SC 只需证:AE 平面SBC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE 只需证:AE⊥BC 只需证:BC 平面SAB 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC 只需证:BC⊥SA 只需证:SA 平面ABC 只需证:SA⊥平面ABC
),它 例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 已知数列{a 的通项a 的前n 数列{ 是首项为3, 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. 公差为1的等差数列. (1)求 的解析式; (1)求an与sn的解析式; ),的大小 的大小. (2)试比较 (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
F E
A
C
B
因为:SA 平面ABC ABC成立 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. SC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例 . 已 知 α , ≠ k π + ( k ∈ Z ) ,且 β 2 sinθ+ cosθ = 2sinα
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
求证:
Q ⇐ P1
1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
百度文库
特点:“由因导果”
a + b 回顾基本不等式： ≥ 回顾基本不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明. (a>0,b>0)的证明. 的证明
证明: 证明: 因为;( a − b ) ≥ 0 因为;
2
a+b 证明:要证; 证明:要证; ≥ ab 2 只需证; 只需证;a + b ≥ 2 ab
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例1 求证：3 + 7 < 2 5
证明：因为 3 + 7和2 5都是正数，所以要证
3+ 7 <2 5
（ （ 只需证， 3 + 7） < 2 5）
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
注意利用分析法的解题步骤: 注意利用分析法的解题步骤: 第一种:按分析步骤倒序写之, 第一种:按分析步骤倒序写之,即依然是 因为所以之综合法步骤; 因为所以之综合法步骤; 第二种, 第二种,根据分析步骤寻求结论成立的 充分条件或等价条件, 充分条件或等价条件,按分析过程直接 叙述,必有以下字眼: 叙述,必有以下字眼: “欲证,只需证,即证,即证,....而...成 欲证,只需证,即证,即证,....而...成 欲证 ,.... 所以原命题成立. 立,所以原命题成立.”
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个
2 2
只需证： + 2 21 < 20 10 只需证： < 25 21 只需证：21 < 5
因为21 < 25显然成立，所以
3 + 7 < 2 5成立
练一练： 练一练：
求证：a − a − 1 < a − 2 − a − 3( a ≥ 3)
例2:设a,b,c为一个三角形的三 边,且s2=2ab, 试证：s<2a
2.2直接证明与间接证明 综合法和分析法(2) 2.2.1 综合法和分析法(2)
复习
一般地， 一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等， 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证， 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法 综合法。 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中， 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后， 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止， 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC, ,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过 例3:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线 垂足为E, 的垂线, E,过 SC的垂线 的垂线, SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂 S 足为F, F,求证 足为F,求证 AF⊥SC
证明:要证AF 证明:要证AF⊥SC 只需证:SC 平面AEF 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE 只需证:AE⊥SC 只需证:AE 平面SBC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE 只需证:AE⊥BC 只需证:BC 平面SAB 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC 只需证:BC⊥SA 只需证:SA 平面ABC 只需证:SA⊥平面ABC
),它 例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它 已知数列{a 的通项a 的前n 数列{ 是首项为3, 的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3, 公差为1的等差数列. 公差为1的等差数列. (1)求 的解析式; (1)求an与sn的解析式; ),的大小 的大小. (2)试比较 (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.
F E
A
C
B
因为:SA 平面ABC ABC成立 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. SC成立 所以. AF⊥SC成立
π 例 . 已 知 α , ≠ k π + ( k ∈ Z ) ,且 β 2 sinθ+ cosθ = 2sinα
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
求证:
Q ⇐ P1
1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
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特点:“由因导果”
a + b 回顾基本不等式： ≥ 回顾基本不等式： 2
ab
(a>0,b>0)的证明. (a>0,b>0)的证明. 的证明
证明: 证明: 因为;( a − b ) ≥ 0 因为;
2
a+b 证明:要证; 证明:要证; ≥ ab 2 只需证; 只需证;a + b ≥ 2 ab
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
特点：执果索因. 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例1 求证：3 + 7 < 2 5
证明：因为 3 + 7和2 5都是正数，所以要证
3+ 7 <2 5
（ （ 只需证， 3 + 7） < 2 5）
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
也可以是经过 证明的结论
注意利用分析法的解题步骤: 注意利用分析法的解题步骤: 第一种:按分析步骤倒序写之, 第一种:按分析步骤倒序写之,即依然是 因为所以之综合法步骤; 因为所以之综合法步骤; 第二种, 第二种,根据分析步骤寻求结论成立的 充分条件或等价条件, 充分条件或等价条件,按分析过程直接 叙述,必有以下字眼: 叙述,必有以下字眼: “欲证,只需证,即证,即证,....而...成 欲证,只需证,即证,即证,....而...成 欲证 ,.... 所以原命题成立. 立,所以原命题成立.”
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个
2 2
只需证： + 2 21 < 20 10 只需证： < 25 21 只需证：21 < 5
因为21 < 25显然成立，所以
3 + 7 < 2 5成立
练一练： 练一练：
求证：a − a − 1 < a − 2 − a − 3( a ≥ 3)
例2:设a,b,c为一个三角形的三 边,且s2=2ab, 试证：s<2a
2.2直接证明与间接证明 综合法和分析法(2) 2.2.1 综合法和分析法(2)
复习
一般地， 一般地，利用已知条件和某些已经学 过的定义、定理、公理等， 过的定义、定理、公理等，经过一系列 的推理、论证， 的推理、论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法 综合法。 结论成立，这种证明方法叫做综合法。
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
一般地，从要证明的结论出发， 一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中， 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后， 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止， 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．