探讨一次函数和二次函数中恒成立问题
高中数学恒成立问题的解题方法和思路
课程篇随着高中数学知识点的难度不断增加，很多学生在恒成立问题的解题方法上都了解得不够透彻，其中恒成立问题所涉及的数学知识范围也比较广，例如：一次函数、二次函数。
因为高中数学知识涉及的内容和范围非常大，所以在恒成立问题解决方面所涉及的思路也非常多，这让很多学生遇到恒成立问题相关题型非常难解，从而影响了数学整体成绩。
一、掌握高中数学恒成立问题的解题方法和思路的意义在数学学习中恒成立的问题主要出现在函数知识点中，即在已知的条件下，无论在题型中变量如何变化，其结果和命题都能够成立，这就是恒成立。
恒成立问题在数学学习中主要考查的就是学生抽象思维能力、对问题的推理能力以及对相应数形结合思想的应用等，所以恒成立问题能够最大限度地提高学生的综合学习能力。
学生在数学学习的过程中主要是依靠学生的逻辑思维解答相应的题目，这就是数学与高中其他科目不同的地方，所以学生若是想要提高数学的成绩，就需要寻找有效的解题方式和思路，并在解答的过程中灵活运用相应的公式，这样就能解决恒成立的相关问题。
二、高中数学恒成立问题的解题方法和思路1.一次函数的恒成立下面将利用案例来解释一次函数的恒成立问题：问题：一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4，在函数中对任意值x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，就其实数n的取值范围。
解题分析：在f（x）=（n-6）x+2n-4的图象中可以得知，若对x∈［-1，1］，f（x）>0恒成立，则f（-1）>0且f（1）>0，由此可以得出n>103，由此可以解得实数n的取值范围是［103，+∞］。
本次解题的主要思想就是利用一次函数f（x）=（n-6）x+2n-4的图象，这样在不等式中，就可以直接化解为一元一次不等式组的问题，从而也为学生提供了更加便捷的思路，让整个考题更加简单，思路更加清晰。
2.二次函数的恒成立在高中数学教学过程中，二次函数的知识点是非常重要的，在数学考试中也占有非常大的比例，所以教师在进行二次函数的恒成立解析过程中，需要更加细致地进行讲解。
例谈二次函数中的恒成立问题
－
２ ３
时
，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ
＝
ｆ （ｍ ＋ １） ＝ ２ ｍ２
＋
３ｍ
＞
０ ，解之得 ｍ ＜
－
３ ２
；当 ｍ ≤
－
ｍ ２
≤
ｍ ＋ １ ，即 －
２ ３
≤ ｍ ≤ ０ 时 ，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ ＝ ｆ
－
ｍ ２
＝
－
ｍ２ ４
－１ ＞
０不
成立
．综上
，ｍ
＜
－
３ ２
或
ｍ
＞
２ ２
．
点评 上述变式的解题思路没有多少变化 ，
至有的不能分离 ，就要用方法 ３ ，直接研究含参数
的区间最值 ．
变式 已知函数 ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对
于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＞ ０ 成立 ，则实
数 ｍ 的取值范围是 ．
分析 本题不宜选择分离变量 ，因为变量的
正负讨论起来比较繁琐 ，所以宜用方法 ３ ．
ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ， ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，则实数 ｍ 的取值范围 是 ．
解法 １ 对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有
ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，只需满足 ｆ （ｘ ）ｍａｘ ＜ ０ ．二次函数 开口向上 ，闭区 ｌ 的 垂 直 距 离 ， 于 是 有
ａ２ ＋ ｂ２
≥
｜ ｒ４ ＋ ２ ｒ２ ＋ １ ｜ ＝ ｒ６ ＋ ｒ２
（ ｒ２ ＋ １）２ ＝ ｒ２ （ｒ４ ＋ １ ）
２ （ｒ２ ＋ １）２ ２ ｒ２ （ｒ４ ＋ １）
恒成立问题常见求解技巧
恒成立问题常见求解技巧“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③变换主元法；④数形结合法（图像法）.一、构造函数法：（一）一次函数法给定一次函数()(0)f x kx b k =+≠，若在在区间[],m n 上恒有()0f x >，则()0()0f m f n >⎧⎨>⎩； 若在在区间[],m n 上恒有()0f x <，则()0()0f m f n <⎧⎨<⎩. 例. 若不等式221(1)x m x ->-对[]2,2m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。
（二）二次函数法1. 20(0)ax bx c a ++>≠对x R ∈恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；20(0)ax bx c a ++<≠对x R ∈恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩； 2. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用二次函数的图像求解。
例. 已知函数y =R ，求实数m 的取值范围.例. 不等式212x px p x ++>-对(1,)x ∈+∞恒成立，求实数p 的取值范围。
二．变量分离法若在等式或者不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，切容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或者不等号两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。
理论依据是：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.例. 当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围。
与二次函数有关的“恒成立”问题的求解策略
ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
二次函数恒成立问题的方法
二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指在抛物线或二次函数的图像上,要求其对应的二次函数在该点处必须恒成立。
这个问题的解决方法有很多,下面我们将介绍其中两种常用的方法。
方法一:利用配方求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以将抛物线或二次函数进行配方,从而将其转化为一次函数的形式。
具体来说,我们可以将二次函数写成以下形式: f(x) = ax^2 + bx + c将点P的坐标代入该式中,得到:ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k(x-g)其中,a、b、c、h、g、k都是已知常数,而a、b、c、h、g、k中的任意一个都可以作为点P的坐标。
然后,我们只需要要求出k(x-g)的值即可。
由于k(x-g)是一个二次函数,因此我们可以将其进行配方,得到:k(x-g) = k[(x-h)^2 - 4gh]将k(x-g)代入上式中,得到:k[(x-h)^2 - 4gh] = k[(x-h)^2 - (x-g)^2 + 2gh]化简后得到:k[(x-h)^2 - (x-g)^2] = -2gh因此,如果二次函数在点P处恒成立,则-2gh必须在点P处成立。
我们可以通过对-2gh求导,得到:f"(x) = 2ax + 2b当-2gh在点P处成立时,即f"(x) = 2ax + 2b = 0时,我们才能要求出k(x-g)的值,从而使得二次函数在点P处恒成立。
方法二:利用图像法求解当要求二次函数在点P处恒成立时,我们可以通过图像法求解。
具体来说,我们可以将抛物线或二次函数绘制在平面直角坐标系中,然后找到点P和该函数的图像之间的交点,该交点的横坐标就是要求出的k(x-g)的值。
假设我们已经找到了与二次函数在点P处的交点C,该交点的横坐标为c。
那么,我们可以将点P的坐标代入一次函数f(x) = ax^2 + bx + c中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c - 2gh将ax^2 + bx + c - 2gh代入上式中,得到:ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + c + 2gh化简后得到:2a = 0因此,a = 0。
“恒成立”问题的(2)
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问 题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒
成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使
变换主元法 3.变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
3. 变换主元法：
【例2】对任意 a [1,1] ，不等式 恒成立，求
解：令
x 2 (a 4) x 4 2a 0
x
的取值范围.
，则原问题转化为
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2
a=b=0
a >0
ａ≥[f (x)] max ３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________; ａ≤[f (x)] min ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。
变量分离法 2.变量分离法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
数学恒成立问题
“恒成立”问题的一般解法郸城希望高中 樊战胜“恒成立”问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。
“恒成立”问题常常涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等多种数学思想和方法，因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中主要可分为以下几种类型：1、一次函数型；2、二次函数型；3、分离变量型；4、函数的性质型；5、数形结合型 例题解析1、一次函数型给定一次函数b ax x f y +==)(（0≠a ）,若)(x f y =在[m,n]内恒有)(x f >0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或（2）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可以等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有)(x f <0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、 当||m ≤2时，不等式2112x m x ->-()恒成立，求x 的范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及m ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将m 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m 的一次函数f m x m x ()()()=---2121大于0恒成立的问题。
略解：原不等式可化为)12()1(2---x m x >0,设f m x m x ()()()=---2121,则)(m f 在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-->+--0122032222x x x x 解得：-+<<+172132x2、二次函数型若二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识结合二次函数的图象求解。
一次函数和二次函数中的“恒成立问题”[权威资料]
![一次函数和二次函数中的“恒成立问题”[权威资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/e4dd322482c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b3da.png)
一次函数和二次函数中的“恒成立问题”恒成立问题是历年高考中的一个热点问题，在数学研究中有着很重要的价值，在一次函数和二次函数中有着很重要的应用，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着函数与方程、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，培养思维的灵活性、创造性。
函数在给定条件的恒成立问题表现形式通常有以下几种：函数的定义域为全体实数R、不等式的解为一切实数、在给定区间上某关系式恒成立、表达式的值恒大于a等……一、一次函数型给定一次函数y=f（x）=kx+b（a≠0），或者原题可化为一次函数型，则由数形结合思想可以利用一次函数知识求解。
若y=f（x）在[x1，x2]内恒有f（x）>0，则根据函数的图像（直线）可得结论等价于f（x■）>0f（x■）>0 。
同理，若在x■，x■内恒有f（x）<0，则有f（x■）<0f（x■）<0。
例1.已知一次函数f（x）=（m-6）x+3m-4，若对任意x？缀[-2，2]，恒有f（x）>0成立，求m的取值范围。
分析：本题是一次函数恒成立的问题，首先满足其基本解题策略是利用数形结合思想，通过图像可知函数图像位于x轴上方，不论图像是上升还是下降，都要满足在区间两个端点处函数值大于0。
m≠6f（-2）>0f（2）>0 ，即m≠6-2m+12+3m-4>02m-12+3m-4>0。
解得m>■且m≠6。
例2. 当|a|？燮1时，若不等式x■+（a-6）x+9-3a>0恒成立，求x的取值范围。
分析：本题是关于x的二次函数，出现了两个字母：x 及a，还可看作是关于变量a的函数，则问题可转化为在[-1，1]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题，这样更为简捷。
原不等式转化为（x-3）a+x2-6x+9>0。
令f（a）=（x-3）a+x2-6x+9，则由题意可知：f（-1）=-（x-3）+x2-6x+9>0f（1）=x-3+x2-6x+9>0，整理得x2-7x+12>0x2-5x+6>0，解得x>4或x3或x<2。
二次函数恒成立问题
6 的取值范围是(－∞，0)∪0，7.
感悟总结
f ( x) 0在区间[a, b]上恒成立 在区间[a, b]上f ( x) min 0，转化为 求二次函数在区间上的最值问题
方法
解读
适合题型
(1)ax2＋bx＋c≥0 对任意实数 x
a>0， 恒成立的条件是 Δ≤0；
2
变式训练
若不等式 mx2＋2mx＋1>0 的解集为 R，则 m 的取值范围是 ________．
解析：①当 m＝ 0 时， 1>0 显然成立． m>0， ②当 m≠ 0 时，由条件知 2 Δ ＝ 4 m － 4m<0. 得 0<m<1，由①②知 0≤ m<1. 答案： [0,1)
题型二 二次函数在区间上恒成立问题
典型例题
函数 f ( x) x 2 ax 3 a ，当 x [2,2]时， f ( x) 0 恒成 立，求 a 的取值范围.
f ( x) x 2 ax 3 a
要使 x 2,2时， f ( x) 0恒成立， f ( x) min 0 即可.
a 7 （1） 当 2 ， 即 a 4 时，f (2) 7 3a 0 a ， 2 3 又 a 4 a 不存在.
f ( x) x 2 ax 3 a a （2）当 2 2，即 4 a 4 时， 2
a a2 f ( ) a 3 0 6 a 2 2 4
解：构造函数 f ( x ) 2 x 问题等价于f(x)max≤0,
2
9 x m, x [2, 3],
y
2 9 f ( x ) 2( x ) m 81 , x [2,3], 4 8
恒成立问题常见类型及解法
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
范围是______．
【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题.
【解析】因为x＞0 ，所以 x 1 2（当且仅当x=1时取等
x
号），所以有
x2
x 3x
1
x
1 1
3
2
1
3
1 5
，即
x x2 3x 1
的最大值为 1，故a≥1 .
x
5
5
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法 1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等 式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立 c≥f(x)max; c≤f(x)恒成立 c≤f(x)min. 2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法 解决.
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例5
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
关于高中数学中的恒成立问题的分析
关于高中数学中的恒成立问题的分析作者：陈影眉来源：《中学理科园地》2011年第03期摘要：本文针对高中数学中的恒成立问题，从解题过程角度进行分类，并通过实例探讨各类恒成立问题的解法。
关键词：高中数学；恒成立问题类型；解法含有参数的恒成立不等式问题是高中数学的重要内容，往往也是难点。
因为它能够与多种数学知识想结合如与一次函数，二次函数，三角函数，数列，指对数函数等等，可以以一考多。
在解题中又可用到“函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转换思想”等多种数学思想方法，下面就从多种角度对这类题目进行分析，得到解决恒成立的问题常用的方法。
一、利用一次函数性质法一次函数f（x）=ax+b（a≠0），在x∈［m,n］内有f（x）＞0恒成立,求a的取值范围则根据函数的图像，见图1，图2：可得：在［m,n］内f（x）＞0恒成立等价于f（m）＞0f（n）＞0例１已知函数f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f ′（x）-ax-5，其中f ′（x）是f （x）的导函数。
对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；解由题意g（x）=3x2-ax+3a-5，这一问表面上是一个给出参数a的范围，解不等式g （x）＜0的问题，实际上，把以x为变量的函数g（x），改为以a为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令φ（a）=(3-x)a+3x2-5，（-1≤a≤1），则对-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，从而转化为对-1≤a≤1，φ（a）＜0恒成立，又由φ（a）是a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到。
为此只需φ（1）＜0φ（-1）＜0即3x2-x-2＜03x2+x-8＜0解得-＜x＜1故x∈-，1时，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0。
二、利用二次函数性质法1、二次函数：给定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）大于0恒成立，则有a＞0Δ＜0，如图3所示.（注：f（x）≥0恒成立?圳a＞0Δ≤0）例2 已知函数f（x）=x2+ax+3-a，在R上f（x）≥0恒成立，求a的取值范围。
关于“恒成立”问题的解题归纳
究单 调性求 为 一 ３ ） ＝ － ２ １ ，敲 ≥ ｌ ４ １ 。 二 、分离参数法
（ ２ ）若不等式／ ＜ Ｂ 在区间Ｄ上恒成立，则等价于在区阆 上／（
§ 的 上界小 于 Ｂ。 （ ３ ）若 不 等式 厂 ｆ
转换为 求函数最值 （ １ ）若 不等 式 ＞ 在送 间 上恒成 立 ，则等价 于在 区闻 上 厂 （ ） ＞ ，
、
∞ 曲的下 界大 于 。
（ ＿ １ ） 冁 调 递 增 ， （ ２ ） 减 ， （ ２ ， ３ ） 单 调 递 增 ， 故 只 需 ｛ 嚣 ： 舱 ｌ ４ ５ 。
（ ４ ） 若不 等式 ／（ ） ＞ ） ， 其 中
的最小 值大 于 曲 莅 ｅ Ｄ上的最大 使 ，∞ Ｊ ｒ （ 瑚 下界 硼 上界 。
（ ５ ）若不等式厂 （ ） ＜ 烈 ） ，其中 ∈
（ ３ ）解不等式ｇ （ Ｚ ） ＞ 砷 （ 或 （ Ａ ） ＜ － 厂 （ ） ，得Ａ的取值范围。 逶用题 型 ：（ １ ） 参数与变 爨很好 分 离且不 需要分类 讨论 ；（ ２ ）函数 的最值 ∈ 恒成立，贱等价于／ 瑚ｈ ｃ 上 易求 出 。
＜ Ｂ．
） 在 ｅ 恒 成 立 ，则等 价 于在 区 间 Ｄ上 求麓 函数
：
厂 （ ） 一 ） 的最小值 大于零 ， § 砖的下界＞ ０ 。
（ ｉ ）将参数与变量分离， 即化为ｇ （ Ｚ ） ＞ ／ （ （ 或 ｆ Ａ ） ｃ ／ （ ）恒成立的形式：
（ ２ ）求 厂 （ 在 ｓ Ｄ上 的最大 （ 或最 小 ）值 ；
刀恒 成立 ， 则等 价 于 曲 在 Ｃ ¨ 上
函数恒成立问题讲义
数学恒成立问题的类型及求解策略恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，也为历年高考的一个热点。
现将高中数学中常见的恒成立问题进行归类和探讨。
一、 一次函数型：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
例2.若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
二、 二次函数型若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例1 对于x ∈R ，不等式0m 3x 2x 2≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解：不妨设m 3x 2x )x (f 2-+-=，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使)R x (0)x (f ∈≥，只需0≤∆，即0)m 3(4)2(2≤---，解得]2(m 2m ，-∞∈⇒≤。
高中数学恒成立问题的一般解法
高中数学恒成立问题的一般解法高三数学复习中，我们经常会遇到恒成立问题，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质、图象，渗透着换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的分析问题、解决问题的能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在分析题目过程中，特别要注意与能成立问题的区别，以防导致解题错误。
常见恒成立问题大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
当然，这几种类型在方法的运用上面都有异曲同工之处，一般主要用变量分离，数形结合，函数最值，根的分布的思想方法进行处理即可解决问题。
一、一次函数型（注意改换主元的方法运用）例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+p ·x+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数，即改换主元。
可将p 视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.评析：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）及它的单调性可得ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例2、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
高考恒成立问题专题研究
专题研究之一 ----- 不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
恒成立与存在性问题
01
总结词
一次函数性质简单，常用于基础问 题。
总结词
一次函数在定义域内单调，不存在 极值点。
03
02
总结词
一次函数图像为直线，单调性明显。
总结词
一次函数在定义域内单调，恒成立 与存在性问题较易解决。
04
二次函数的恒成立与存在性问题实例
总结词
二次函数开口方向由二次项系数决定。
总结词
二次函数在区间$[-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-
利用三角函数的周期性、对称性、数形结合 等方法，判断三角函数在某个区间内是否存 在极值点或零点。
三角函数存在性问题的应 用
在解决实际问题中，如物理、工程等领域， 常常需要判断某个三角函数是否满足某些条
件，如是否存在最优解或可行解。
03
恒成立与存在性问题的解 法
分离参数法
总结词
分离参数法是一种通过将参数分离到不等式的两边，从而简化问题的方法。
判别式法
总结词
判别式法是一种通过引入判别式来解决 问题的方法。
VS
详细描述
判别式法的基本思想是通过引入判别式来 简化方程的解的求解过程。这种方法在处 理一元二次方程和二元二次方程组时非常 有效。通过判别式，我们可以更容易地找 到方程的解，并且可以更好地理解解的性 质和分布。
04
实例分析
一次函数的恒成立与存在性问题实例
详细描述
分离参数法的基本思想是将参数从不等式中分离出来，单独放在不等式的另一 边，这样可以更容易地找到参数的取值范围，从而解决问题。这种方法在处理 包含参数的不等式问题时非常有效。
数形结合法
总结词
数形结合法是一种通过将问题转化为 图形问题，从而直观地理解问题的方 法。
恒成立问题的求解方法探究
恒成立问题的求解方法探究作者：谢小兴来源：《中学教学参考·语英版》2011年第02期恒成立问题是指题设中含有恒成立条件的问题，由于此类问题具有“变”中有“不变”的特点，又涉及高中数学中的多个分支，易混淆.因此本文就此类问题的求解给出方法，供参考.一、构造函数，利用函数的相应性质来解决问题1.构造一次函数【例1】若x∈(-2,2)，不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k的取值范围.解：令f(x)=kx+3k+1,则转化为f（x）＞0在x∈(-2,2)恒成立.若k=0，则f(x)＞0恒成立；若k≠0，（x）为一次函数，利用单调性，则等价于f(-2)＞0且f(2)＞0，解得k＞-15.2.构造二次函数【例2】若关于x、y的二元不等式-m(4xy-对一切非负的x、y 恒成立，试求实数m的取值范围.解：设f(x，-m(4xy-，则等价于当m为何值时，f(x，y)在区间上的函数值恒为非负数的问题.当y=0时，f(x，，所以m∈R；当y≠0时，令t=xy(t≥0)，构造函数g(t)=f(x，-，问题转化为二次函数g(t)在区间［0，+∞）上函数值恒为非负数的问题，由Δ≤0或Δ≥0，＜0，，解得m≤14或m≥0.3.构造形如f(x)=ax+bx的函数通过换元、变形将原问题转化为形如f(x)=ax+bx的函数最值问题，通常需要用到如下结论：（1）f(x)=ax+bx为奇函数；（2）当a＞0,b＜0时，f(x)在（0，+∞）上递增；（3）当a＞0,b＞0时，f(x)在（0，ba）上递减，在ba，+∞上递增.【例3】不等式a＞，对于∈恒成立,求a取值范围.解：令∈1,2,则构造f(t)=t+2t;又t∈1,2，函数f(t)为减函数，所以，要使a＞f(t)恒成立，只需a＞f(t)恒成立，只需a＞f(t)=3即可，所以a ＞3.4.构造两个函数通过构造两个函数，将恒成立问题转化为两个函数的大小关系恒成立问题，再运用数形结合的思想，借助函数图形的位置关系，通过精确计算来解决.【例4】若不等式-＜0在t∈（0，12）上恒有意义，求m的取值范围.解：由-＜0在t∈（0，12）上恒有意义知，＞＞0，所以0＜m＜1,构造函数，，则等价于当t∈（0，12）时，函数的图像恒在函数的上方.只需满足g(12)≥f(12)，即，所以m≥116,因此116≤m＜1.二、分离参数若f(x)＞g(a)在x的取值范围内恒成立，则g(a)＜反之，f(x)＜g(a)在x的取值范围内恒成立，则g(a)＞【例5】若｜x-3｜-｜x+1｜＜a在R上恒成立，求a的取值范围.解：令f(x)=｜x-3｜-｜x+1｜，则f(x)=｜x-3｜-｜x+1｜-4(x≥3)；-2x(-1＜x＜-1)，；知由f(x)＜a在R上恒成立，所以a＞，即a∈(4,+∞).【例6】设θ∈，-2m-2＜0恒成立，求m的取值范围.解：原不等式可化为2(1-m)(1-＜(1-令x=1-，则0≤x≤1,且2（1-m）x＜①若x=0,不等式成立；②若0＜x≤1，则有2（1-m）＜x+x2.记在（0，1）上为减函数，∴，从而（1-m）＜x+x2在x∈(0,1)上恒成立，当且仅当2（1-m）＜即m＞-12.（责任编辑金铃）。
函数中“恒成立”问题求解对策十种
函数中“恒成立”问题求解对策十种门德荣本文对此类问题的解题技巧，仅介绍几种常用的方法，供学习参考。
一. 利用函数思想例 1. 已知f a x a x a x ()()log log =--++161323，当[]x ∈01，时，f （a ）恒为正数，求a 的取值范围。
分析：从表面结构看f （a ）是一个以log 3a 为变量的二次函数，而实质是变量x 的一次函数，因此可构造x 的一次函数求解。
解：原式变形为g x a a x a ()(log log )log =-++-32332611因为g x ()在区间[]01，上恒正，所以g g ()()0010>>且，即1032->l o g a 且1303->log a解得1333<<a二. 分离参数法 例 2. 设r b a x ><<>00220，，，如果对满足x ay b22221+=的x ，y ，不等式xrx y2220-+≥恒成立，求r 的取值范围。
解：令x a y b ==cos sin θθ， 因为x >0，故不妨设-<<πθπ22，代入x rx y 2220-+≥得a arb r ab aba 22222222022cos cos sin cos cos θθθθθ-+≥≤-+即上式对-⎛⎝⎫⎭⎪ππ22，内的一切θ都成立，故对上述区间内的 f ab aba ()cos cos θθθ=-+22222的最小值也成立因为-<<πθπ22所以cos θ>0 所以f aab bb aab()()cos cos θθθ≥-=-12222222··当cos θ=-b ab22时等号成立（因为022<<b a ，所以b ab221-≤）所以f ()θ的最小值是b aab22-所以r b aab≤-22三. 判别式法例 3. 已知函数f x x m x m ()()()=-+++2525在其定义域内恒为非负，求方程2121xm m +=-+||的根的取值范围。
恒成立问题再论文
恒成立问题再探讨摘要:含参数的恒成立问题是最近几年高考的热点,它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的性质图象,渗透着换元化归、数形结合、函数与方程等思想方法,特别是求参数范围这一类型是一个难点。
本文将从一个教师的角度结合教学实例对解决此类问题的方法进行一些探讨。
关键词:判别式分离变量数形结合本文主要介绍恒成立问题的三种重要解法,其中判别式法虽应用方便,但只能用于一元二次不等式;数形结合比较直观,往往出现在选择题里面;分离变量比较常用,也是同学们比较容易出错的地方,所以我们将结合教学实践重点对它进行探讨。
一、判别式法例1.设f(x)=x2-2ax+2,(a∈r),(1)当x∈r时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围;(2)当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a 的取值范围。
分析:(1)当x∈r时,f(x)≥a恒成立,即当 x∈r时,x2-2ax+2≥a恒成立,即当x∈r时,x2-2ax+2-a≥0恒成立;实数a需且只需δ=4a2-4(2-a)≤0,所以-2≤a≤1(2)当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,即当x∈[-1,+∞)时,x2-2ax+2≥a恒成立。
即当x∈[-1,+∞)时,x2-2ax+2-a≥0恒成立的充要条件是①δ≤0?圯a∈[-2,1]②δ>0a0∴m≤■=t-1当t≥4,t∈n时恒成立记h(t)=t-1,t∈[4,+∞), (这里是把m看成了t的函数,所以我们是用t把m表示出来,下一步再求h(t)的最小值就是了)函数h(t)=t-1,t∈[4,+∞)的图象表示在t∈[4,+∞)上的一条射线,所以要使问题恒成立,只要m≤hmin(t)=h(4)=3 ∴m≤3,∴mmax=3评注:本例不适宜用三次函数的最值来处理,宜用参变量分离。
例3.函数f(x)=■,x∈[1,+∞)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围。
分析:若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,即对x∈[1,+∞),f(x)=■>0恒成立,考虑到不等式的分母x∈[1,+∞),只需 x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)时恒成立而得考虑参数分离只需a>-x2-2x在x∈[1,+∞)时恒成立,考虑定抛物线g(x)=-x2-2x在x∈[1,+∞)的最大值gmax(x)=g(1)=-3,得a>-3评注:本例只要适当挖掘隐含条件,无论是用二次函数的最值来处理,还是用参变量分离来处理均可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一
一
卢 ） ＞ ０
（ ２ ）Ｎａ ＜ ０ ｌ ｆ ￣， ｆ（ ） ＞ ０ 在 Ｅ［ ， 口］上恒成立铮
上 恒 成 立
、
次 函 数型
燕
给定一次 函数ｙ － ｆ ＜ ） ＝ ｋ ｘ ＋ ｂ （ ｋ ≠０ ） ， 若＇ ， ： ） 在 ［ ｍ， ｎ ］ 内恒 ） ＞ ０ ， 则根据函数的图像 （ 线段 ） ：
［ － ２ ， ２ ］ 上恒成立 ， 故有 ：
Ｊ
。 ≤ ， 又 。 ・ ‘ ４ ’ ． ・ 存 在 。 ② 当 一 ２ ≤ 一 号 ≤ ２ ， 即 ４ ≤ Ⅱ ≤ ４ 时 ， ｇ （ 口 ） 詈 ） ： 一 ａ ２ 一 。 ＋ ３ ≥ ０ ＇ ． ． － 一 ６ ≤ ｎ ≤ ２ ，
一
如
，
解 得 ： ｛ ｘ ＞ ３ 或 ｇ ￣ ｘ ＜ ｌ 一 ，
②｛ 一 ２ ） ＞ Ｉ ０
ｌ ２ ２
． 一 ５ ≤ Ⅱ ≤ 一 ２ 一 ２
．
＜ 一 １ 或ｘ ＞ ３
二、 二 次 函 数 型
Ｉ 一 — ａ — ＞２ Ｉ 或一 ≤一 ２
综上所述 ， 一 ５ ≤ｎ ≤２ 、 ／ 一 ２ 上 面 介 绍 了一 次 函数 和 二 次 函数 中 的恒 成 立 问 题 的解法 ，在解题 过程 中要灵活运用题设条件综合 分析 ， 选择适 当方法准确而快速地解题。 （ 作 者单 位 ： 安 徽 省 宣城 市 第 三 中 学 ）
０
技 法点 拨
数和二次函 数中 恒成
■ 黄守 清
数学教学中常常遇到恒成立问题 ，学 生解决这 类 问题往往 比较吃力 。 恒成立问题 有很 多种类型 ， 涉
ｆ 一 姐 或 ｉ ≤ 一 ｂ ≤ 卢 或 ｉ 一 ｂ ＞ ７ ９ ， ， １ （ ） ＜ ０ 在 ［ ，
：
方法一 ：
ｆ ｉ ｘ … － ２ ｌ ） ＜ ＞ ０ ０ ￣ 一 一【 Ｉ 。 ｘ － ． 一 憾 ２ ） ＞ ０ ’
一
方法二 ：
。
，
２ 、 ／ ≤ｏ ≤一 ２ ＋ ２ 、 ／
』 Ａ ＝ ａ Ｌ４ （ １ － ａ ） ＞ ０
ｌ 八２ ） ≥０
４ ｘ ＋３ ＞。 最 １ ］ ／ ｘ Ｌ
， Ｔ ≤ 一 ４
一一 一
ｉ
ｉ ｊ
－
ｉ
综 上所 述 ， 一 ７ ≤０ ≤２
－
２ ０ ２
２ ０ ２
：
（ ３ ） 厂 （ ） ＝ ： ＋ ｃ ＋ ３ 一 ａ 一 ２ １ ＞
０ ， 即／ （ ） ＋ 麟＋ １ ～ ａ≥０ 在 ［ 一 ２ ， ２ ］ 上成立 。 ４ （ １ － ａ ） ≤０ ． 一 ２ —
・ ．
例１ ： 对 于满足 Ｉ ≤２ 的所 有实数ｐ， 求ｖ 使 － 不等式 ｘ ％ ｐ ｘ ＋ １ ＞ ２ ｐ ＋ ｘ 恒成立的 的取值范 围。 解 ： 原不 等式可化 为（ 一 １ ） ｐ 把２ — ２ ｘ＋ １ ＞ ０ ， 令
一
ｆ （ Ｐ ） ＝ （ 一 １ ） ｐ 概 ２ ｘ ＋ ｌ ， 则原问题等价＝ ｊ， 也 可 △ 并 成 。
） ＜ ０ ， 则有 。
．
叶３ ，
） 在［ 一 ２ ， ２ １ ３ ｃ
的最小值 为 （ ｏ ）
同理 ， 若在 ［ ｍ， ｎ ］ 内恒
① 当一 ＜ 一 ２ ， 即。 ＞ ４ 时， ｇ （ 。 ） 一 ２ ） ： ７ — ３ 。 １ ＞ ０ ，
ｊ ≤ 一 ≤ ｛ 一
【 Ａ ＜ ０
例２ ： 已知函
／
卢 ） ＜ ｏ
） ＝ ９ ５ ＋ ａ ｘ ＋ ３ 一 ａ ， （ １ ） 在Ｒ 上， （ ） ≥
／
ｊ
，
；
ｎ
０ 恒成立 ， 求。 的取值 范围。（ ２ ） 若 Ｅ［ 一 ２ ， ２ ］ 时 ） ＞０ 恒成立 ， 求。 的取值 范 围 。（ ３ ） 若 ∈［ 一 ２ ， ２ ］ 时，
０ ｍ
Ｄ
ｍ
ｌｘ ｆ ） ＞２ ￣ 恒成立， 求。 的取值范围。
解： （ １ ） Ａ ： ａ ２ — ４ （ ３ － ａ ） ＝ ａ ％４ ａ － １ ２ ０ ， ． ・ ． 一 ６ ≤ｎ ≤２
（ ２ ） ＝ ａ ａ ２
一
日 Ｊ 得 上 述结 论 ， 寺价 十 ：
①
又 ’ － ～ ４ ≤ 。 ≤ ４ ・ 一 ４ ≤ ｎ ≤ ２ 。 ③ 当 一 号 ＞ ２ ， ￣ Ｐ ａ ＜ － ４
、 ＼
～
，
／／
时 ， ｇ （ ａ ） 三 厂 （ ２ ） ＝ ７ ＋ ０ ＞０ ／ ， ． ・ ． ａ ≥一 ７ ， 又’ ． ０ ＜ 一 ４ ， ． ・ ． 一 ７≤
类 型１ ： 设， （ ） ＝ ａ ｘ Ｚ ＋ ｂ ＋ ｃ （ ｏ ≠０ ） 。 （ １ ） ） ＞ ０ 在 ∈Ｒ 上恒成立甘口 ＞ ０ 且△ ＜ ０ ； （ ２ ） ） ＜ ０ 在 Ｅ Ｒ上 恒成 立 甘 口 ＜ ０ 且△ ＜ ０ 。
类 型２ ： 设， （ ） ＝ ２ ＋ ６ ＋ ｃ （ 。 ≠０ ） 。 （ １ ）当ａ ＞ ０ 时， 厂（ ） ＞ ０ 在 ∈［ ， 口］上恒成立铮
） ＞ ０ Ｉ Ａ ＜ ０
恒成 立 铮
及 一次 函数 、 二次 函数 的性质和 图象 ， 蕴含着换 元 、 化归、 数形结 合 、 函数 与方 程等思想方法 ， 解决恒成 立 问题有利于提高学生 的综合解题能力 ，在培养思 维的灵活性 、 创造性等方面起到了积极 的作用。 本文 将从一次 函数和二次 函数来讨论部分函数恒成立 问