2018版高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系习题课

4.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与
β的位置关系为( ) A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.可能重合
解析 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点
分布于平面β的两侧，则α与β相交.
答案 C
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1 的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与 AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面
EFGH ， 平 面 EFGH∩ 平 面 ABCD ＝ GH ， ∴ EF ∥ GH. 又
∵EF∥AB，∴GH∥AB.
答案 A
6.已知直线a，b，平面α，且a∥α. (1)如果a，b相交，那么b与α的位置关系是________. (2)如果b∥α，那么b与a的位置关系是________. 答案 (1)b∥α，或b与α相交 (2)b∥a，或b与a相交，或b与a异面
规律方法 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平 行，证明线面平行时，可以先转化为线线平行，再根据线面 平行的判定定理证明.证明平面与平面平行时，关键是证明直 线与平面平行.
【训练1】 如图，三棱柱ABC－A′B′C′中，M、N分别为BB′， A′C′的中点.求证：MN∥平面ABC′.
证明 取B′C′的中点P，连接MP，NP， 则MP∥BC′，NP∥A′B′. 因为A′B′∥AB，所以NP∥AB. 又因为AB⊂平面ABC′，NP⊄平面ABC′， 所以NP∥平面ABC′. 同理MP∥平面ABC′. 又因为NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′. 因为MN⊂平面MNP，所以MN′平面ABC′.
解 D点为AA′的中点.证明如下： 取BC的中点F，连接AF，EF， 设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF. 易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA. 因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA， 且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO. 在平行四边形A′EFA中， 因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)， 所以D点为AA′的中点.
法二 添加辅助线，由“线线平行⇒线面平行”来证明. 连接 BM 并延长交 A1B1 于点 P，连接 PC1，则可证△B1MP∽△AMB， ∴BM1MA ＝PMMB.而BM1MA ＝CN1BN(已知)，∴PMMB＝CN1BN. 由平行线截线段成比例定理得 MN∥PC1. 而 PC1⊂平面 A1B1C1D1，MN⊄平面 A1B1C1D1，∴MN∥平面 A1B1C1D1.
题型二 平行中的探索性问题 【例2】 已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在 PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥ 面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
解 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平 行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF. ∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， ∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC. 又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC， 又BF⊂平面BGF.∴BF∥平面AEC. ∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点. 又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点. 而GF∥CE，∴F为PC的中点. 因此，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
规律方法 对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结 合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确 性.这两种方法都可培养创造性思维.
【训练2】 如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′，D是AA′ 上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在 AA′上的位置，并给出证明.
[课堂小结] 在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高 维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面 面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的 性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总 是受具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而 不受制于规律，如图是平行关系相互转化的示意图.
题型一 利用平行关系的转化证题 【例 1】 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是
面对角线 AB1，BC1 上两点，且BM1MA ＝CN1BN. 求证：MN∥平面 A1B1C1D1.
证明 法一 由“面面平行⇒线面平行”来证明. 在平面 Hale Waihona Puke Baidu1B 内，作 MK∥A1B1，交 BB1 于点 K，连接 KN(如图). ∵A1B1∥AB，∴MK∥AB. 由平行线截线段成比例定理知BM1MA ＝BK1BK. 而BM1MA ＝CN1BN(已知)，∴BK1BK＝CN1BN，∴KN∥B1C1. ∵A1B1∩B1C1＝B1，MK∩KN＝K，∴平面 MKN∥平面 A1B1C1D1. 而 MN⊂平面 MKN，∴MN∥平面 A1B1C1D1.
习题课 直线、平面平行的判定及其性质
目标定位 1.理解直线与平面、平面与平面平行的判定定 理.2.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质 定理.3.能运用上述定理证明一些空间位置关系的简单命题.
自主预习
1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D.上述三种情况都存在
解析 设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无 数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平 行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行. 答案 D
2.三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面 ABC，则( )
A.EF与BC相交 C.EF与BC异面
规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的 推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作 出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反 例即可.
课前自测
课堂互动
B.EF与BC平行 D.以上均有可能
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥BC. 答案 B
3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( ) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析 直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交， 故选B. 答案 B