因式分解第三课时
因式分解(三)-- 提公因式法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投影仪
教师活动
学生活动
情景设置：
学生阅读“读一读”后，完成练习
下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解，因式分解用的是哪个公式？
⑴（x+2）（x-2）=x2- 4；
⑵x2- 4=（x+2）（x-2）；
⑶x2– 4 + 3x=（x+2）（x-2）+ 3x；
作业
第92页第2⑶⑷⑸、3题
板书设计
复习例5板演
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……例6……
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教学后记
例题5：把下列各式分解因式：
⑴6a3b–9a2b2c﹢⑵-2m3+8m2-12m
思路点拨：通过例5，教会学生如何找公因式，讲清要决定系数与字母，具体方法加以强调。在提出“一”号后,括到括号里的各项都要变号.
解：⑴6a3b–9a2b2c﹢
=3a2b·2a-3a2b·3bc
=3a2b（2a-3bc）
完成“想一想”，要放手让学生去做
课题
10.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配
因式分解（三）--提公因式法
教学目标
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系
2、了解公因式的概念，掌握提公因式的方法
3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力
重点
掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。
难点
1、正确找出公因式
2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解
关键是确定多项式各项的公因式,然后,将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积,最后再提公因式,把公因式写在括号外面,然后再确定括号里的因式,这个因式(括号里的)的项数与原多项式的项数相同,如果项数不一致就漏项了.
七年级下册8、4因式分解第3课时分组分解法及因式分解的其他办法习题新版沪科版
8 【2021·兰州树人中学月考】下面是某同学对多项式
(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x＝y，则
原式＝(y＋2)(y＋6)＋4
(第一步)
＝y2＋8y＋16
(第二步)
＝(y＋4)2
(第三步)
＝(x2－4x＋4)2.
(第四步)
回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？_不__彻__底___(填“彻底”
2 把下列各式分解因式： (1)1＋x＋x2＋x； 解：原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2；
(2)xy2－2xy＋2y－4； 原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)；
(3)a2－b2＋2a＋1. 解：原式＝(a2＋2a＋1)－b2 ＝(a＋1)2－b2 ＝(a＋1＋b)(a＋1－b) ＝(a＋b＋1)(a－b＋1)．
沪科版 七年级下
第8章 整式乘法与因式分解
8.4.
分组分解法及因式 分解的其他办法
3
习题链接
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答案呈现
9 10
1 【中考·济南外国语学校期末】观察“探究性学习”小组 的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)．
因式分解(共4课时)
2 分解多项式
我们将了解如何对多项式进行因式分解，以便简化表达式和解决问题。
3 因式分解规则
我们将介绍因式分解的基本规则和步骤，以便正确地进行因式分解。
因式分解的基本方法
本课时将介绍因式分解的基本方法，包括找出最大公因子、拆分成平方数、利用差的平方等。
最大公因子
通过找出表达式中的最大公因 子，我们可以进行因式分解， 简化计算过程。
平方数拆分
利用平方数的性质，我们可以 将表达式分解成易于进行后续 计算的形式。
差的平方
我们将学习如何通过差的平方 公式来进行因式分解，以解决 特定类型的问题。
一元二次方程的因式分解
在这一课时中，我们将研究一元二次方程的因式分解方法，这是因式分解的一个重要应用。
1
数论应用
我们将学习如何利用因式分解和数论解决整数性质和因子的问题。
2
数学建模
通过数学建模问题，我们将运用因式分解的技巧解决实际世界中的复杂问题。
3
计算机科学
我们将了解因式分解在计算机科学领域的应用，包括编码、密码学和算法优化。
结论和要点
本课程通过深入讲解因式分解的定义、基本方法和应用，帮助学生掌握这一重要数学概念，并将其应用到不同 领域的实际问题中。
几何问题
我们将通过几何问题来练习因式分解的应用，如面积计算和图形性质分析。
物理问题
通过物理问题，我们将学习如何应用因式分解解决运动和力学相关的问题。
经济问题
我们将了解如何利用因式分解解决经济学中的问题，如成本分析和利润计算。
因式分解的扩展应用
在这一课时中，我们将进一步探索因式分解的扩展应用，包括数论、数学建模和计算机科学等领域。
人教版八年级数学上册《整式的乘法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第3课时)
加长了bm,加宽了qm. 你能用几种方法表示扩大后的算绿说地明面它积们？
（a b）（p q） = ap aq bp bq
相等吗？
b
p
p
b
q
q
ap aq bp bq
合作探究 （a b）（p q） = ap aq bp bq
如何计算：( x y) (2x 3y) 呢？
当a＝－1，b＝1时， 原式＝－8＋2－15＝－21.
小试牛刀
4、若多项式(x2＋mx＋n)(x2－3x＋4)展开后不含x3项和x2项，试求 m+2n的值．
解：(x2+mx+n)(x2－3x+4) ＝x4 －3x3+4x2 +mx3－3mx2＋4mx+ nx2 －3nx+4n ＝x4＋(m－3)x3＋(n－3m＋4)x2＋(4m－3n)x＋4n. ∵展开后不含x3和x2项， ∴所以m－3＝0且n－3m＋4＝0， 解得m＝3，n＝5 ∴m+2n＝3+2×5＝13.
典例精析
例1 计算:(1)(3x+1)(x+2)； (2)(x-8y)(x-y)；
(3) (x+y)(x2-xy+y2). 解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2
结果中有同类项 的要合并同类项.
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2； (2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2
计算时要注意 符号问题.
=x2-9xy+8y2；
典例精析
(3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3.
第3课时 整式与因式分解(导学案)
第3课时整式与因式分解1.掌握字母表示数的意义和代数式、整式的概念,会分析具体问题中的数量关系,并用代数式表示.2.会求代数式的值,会解释代数式的实际背景或几何背景.3.掌握单项式、多项式及其相关概念,并能运用其解决有关问题.4.熟练掌握幂的运算法则,能熟练进行简单的整式加、减、乘、除运算(多项式乘法仅限于一次式相乘),会熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算.5.掌握因式分解的意义,能运用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行多项式的因式分解.1.(1)代数式:用把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式.(2)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,并按代数式中的计算所得的结果叫做代数式的值.2. 整式的有关概念(1)单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或字母也是单项式.(2)多项式:几个 的和叫做多项式.不含字母的项叫做 .(3)同类项:所含字母 ,且相同字母的指数也分别 的项叫做同类项.3. 整式的运算(1)整式的加减法:实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号.①合并同类项法则:就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 .②去括号法则:+(a-b+c )= , -(a-b+c )= .(2)整式的乘除法①幂的运算:a m ·a n = ,a m ÷a n = ,(a m )n = ,(ab )n = (m ,n 为整数). ②整式的乘法单项式乘以单项式:如212x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭·(4xy 4)= . 单项式乘以多项式:m (a-b+c )= .多项式乘以多项式:(m+n )(a+b )= .③整式的除法单项式除以单项式,如(-12a 3bc 2)÷(3abc )= .多项式除以单项式,如(9a 3b 2-6a 2b 3c )÷(3a 2b )= .4. 因式分解:把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.因式分解是整式乘法的逆变形.例1 (2014·山东济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a 克,再称得剩余电线的质量为b 克,那么原来这卷电线的总长度是 米.【解析】 本题是以实际背景为素材,考查列代数式.根据1米长的电线,称得它的质量为a 克,只需根据剩余电线的质量除以a ,即可知道剩余电线的长度.故总长度是1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭米. 【全解】 1b a ⎛⎫+⎪⎝⎭米 举一反三 1. (2014·吉林长春)为落实“阳光体育”工程,某校计划购买m 个篮球和n 个排球,已知篮球每个80元,排球每个60元,购买这些篮球和排球的总费用为 元.2. (2014·湖北咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品,已知一个足球x 元,一个篮球y 元.则代数式500-3x-2y 表示的实际意义是 .【小结】 列代数式的关键是准确分析出数量关系,并按代数式的书写要求列出.本题解答的关键是求出每克电线的长.例2 (2014·贵州黔西南州)当x=1时,代数式x 2+1= .【解析】 此题考查了代数式求值的知识,解答本题直接代入即可得出答案.原式=1+1=2.【全解】 2举一反三3. (2014·江苏盐城)已知x (x+3)=1,则代数式2x 2+6x-5的值为 .4. (2014·安徽)已知x 2-2x-3=0,则2x 2-4x 的值为( ).A. -6B. 6C. -2或6D. -2或305. (2014·湖北十堰)已知:a 2-3a+1=0,则a+1a-2的值为( ).A.+1 B. 1 C. -1 D. -5 【小结】 (1)代数式求值的方法主要有:直接代入、化简代入、整体代入、变形代入、设参代入、降次代入等.(2)代数式求值一定要先化简,化简过程中注意运算顺序和乘法公式的运用.例3 (2013·云南德宏)-4a 2b 的次数是( ).A. 3B. 2C. 4D. -4【解析】考查了单项式的次数.∵单项式-4a2b中所有字母指数的和为2+1=3,∴此单项式的次数为3.故应选A.【全解】A举一反三6. (2014·广东佛山)多项式2a2b-a2b-ab的项数及次数分别是().A. 3,3B. 3,2C. 2,3D. 2,27. (2013·湖南岳阳)单项式-5x2y的系数是.8. (2013·山东济宁)如果整式x n-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于().A. 3B. 4C. 5D. 6【小结】准确理解整式的有关概念是解这类问题的关键.需要注意的是确定单项式的次数时,不要忘记单个字母指数是1.多项式的次数不是所有项次数的和.例4(2014·安徽)x2·x4等于().A. x5B. x6C. x8D. x9【解析】本题考查幂的运算性质.根据同底数幂相乘法则,得x2·x4=x6.所以应选B.【全解】B举一反三9. (2014·浙江湖州)计算2x(3x2+1),正确的结果是().A. 5x3+2xB. 6x3+1C. 6x3+2xD. 6x2+2x10. (2014·湖南益阳)下列式子化简后的结果为x6的是().A. x3+x3B. x3·x3C. (x3)3D. x12÷x211. (2014·福建福州)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=1 3.【小结】对于幂的运算:(1)熟练掌握运算法则是解题的关键;(2)注意理清指数的变化,分清运算类型是解题的重点.对于整式的运算,要抓住以下几点:(1)运用好转化的思想方法,多项式的运算转化为单项式的运算;(2)注意运算顺序和灵活运用乘法公式;(3)恰当地进行逆向思维能使解题更加方便、快捷.例5(2014·安徽)下列四个多项式中,能因式分解的是().A. a2+1B. a2-6a+9C. x2+5yD. x2-5y【解析】本题显然只有选项B符合完全平方公式因式分解.故选B.【全解】B举一反三12. (2014·贵州毕节)下列因式分解正确的是().A. 2x2-2=2(x+1)(x-1)B. x2+2x+1=(x-1)2C. x2+1=(x+1)2D. x2-x+2=x(x-1)+213. (2014·山东潍坊)分解因式:2x(x-3)-8=.14. (2014·陕西)因式分解:m(x-y)+n(x-y)=.【小结】分解因式的步骤:(1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定要先提取公因式,然后再考虑是否能用公式法分解.(2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方公式.分解因式时要注意:(1)提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准;(2)若有一项被全部提出,括号内的项“1”不要漏掉;(3)分解要彻底,还要注意不要保留中括号形式等.参考答案【自主梳理】知识网络数字因数和次数最高项单项式(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2重点积累1. (1)运算符号(2)运算顺序2. (1)积(2)单项式常数项(3)相同相同3. (1)①不变②a-b+c-a+b-c(2)①a m+n a m-n a mn a n b n②-2x3y5ma-mb+mc ma+mb+na+nb③-4a2c3ab-2b2c4.积【真题精讲】1.(80m+60n)解析:因为费用=单价×数量,所以篮球的费用为80m元,排球的费用为60n元.故总费用为(80m+60n)元.2.小金买了3个足球和2个篮球后剩余的钱数.3.-34. B5. B 解析:将a2-3a+1=0左右两边同时除以a,得a-3+1a=0,得a+1a=3,所以原式=3-2=1.6. A7.-58. C9. C10. B11.原式=(x2+4x+4)+(2x-x2)=x2+4x+4+2x-x2=6x+4,当x=13时,原式=6×13+4=6.12. A13. 2(x+1)(x-4)14. (x-y)(m-n)。
多项式的因式分解(第3课时)(课件)-七年级数学下册课件(苏科版)
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用公式法
完全平方公式 : a2±2ab＋b2＝(a±b)2
公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.
课堂检测
1.下列各式能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
2．若关于x的多项式x2＋mx＋1可分解成(x＋n)2，则n等于( A )
④a2－8a+( 16 ) =a2－2∙( a )∙( 4 )+( 4 )2=( a－4 ) 2
例题讲解
练一练：
2.将下列各式分解因式.
(1)a2－18a+81
(2)4a 2 +9b 2 +12ab
解：原式＝a2－2·a·9＋92
原式＝4a2+12ab+9b2
＝(a－9)2
加法交换律
＝(2a)2+2·2a·3b＋(3b)2
第九章 · 整式乘法与因式分解
9.5
多项式的因式分解
第3课时 用完全平方公式分解因式
学习目标
1．进一步理解完全平方公式的形式和特征，会
运用完全平方公式分解因式；
2．通过对比乘法公式和公式法因式分解的联系，
进一步ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ展逆向思维．
知识回顾
我们已经学过哪些分解因式的方法？
提公因式法： ab+ac+ad = a (b+c+d)
20232－4046×2022＋20222
解：原式＝20232－2×2023×2022＋20222
＝(2023－2022)2
＝1
新知巩固
中考数学一轮总复习 第3课时 因式分解(无答案) 苏科版
第3课时：因式分解【课前预习】 （一）知识梳理 1、因式分解的概念：2、因式分解的常用方法：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法.3、配方的思想方法. （二）课前练习1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.2(2)(3)56x x x x ++=++ B.1()1ax ay a x y -+=-+ C.2323824a b a b =⋅ D.24(2)(2)x x x -=+-2.分解因式：① ab a 222-= ；② 442++a a = ；③ 4x 2－25= ；④ =+-342a a ；⑤ =--4432x x .3.在多项式142+x 中，添加一个单项式使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是___________. 4.若x 是实数，说明代数式3x 2-6x+9的值大于0. 【解题指导】例1 把下列各式分解因式：①29xy x -； ②21222m m -+； ③24212x x --； ④625a b a b -； ⑤3216x -例2 把下列各式分解因式：① ()()23a b c c b -+-； ② ()()269a b a b -+-+； ③ 22216)4(x x -+；④ ()()2223234x x x x +-++； ⑤ y x y x 2222-+-； ⑥ 22944x y x y -+-．例3：已知2y x -=，31x y -=-，求2243x xy y -+的值.例4：（1）若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值（ ） A. 大于零 B. 小于零 C. 大于或等于零 D. 小于或等于零（2）已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A.Q P > B. Q P = C. Q P < D.不能确定【巩固练习】1．把下列各式分解因式：（1）4x 2－16＝ ；（2）2x 2＋4x ＋2＝ ；（3）x 2－6x －7＝ ； 2．若3=+y x ，1=xy ，则=+22y x ___ ___． 3、若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．4、若代数式26x x b -+可化为 2()1x a --，则b a -的值是 ． 5、下列因式分解错误的是（）A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+6、下列多项式为5x 2+17x -12的因式的是（ ）A ． 1x +B ．1x -C ．4x +D ．4x - 7、把下列各式因式分解：（1）34x x -； （2）22310x xy y --； （3）4254x x -+； （4）()()2710a b a b -+-+；☆（5）)()()(y x c x y b y x a -+---；☆（6）321a a a -+-； ☆(7) 2244x y x --+☆8、已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【课后作业】 班级 姓名一、必做题：1、把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y -2、列因式分解错误的是() A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +4、分解因式：① 328x x -=__________；② _____________223=---x x x ； ④ 2221a b b ---= ；⑤ =+-+)(3)(2y x y x ．5、如果214x ax -+是完全平方式，则a = . 6、如果()()2222x mxy ny x y x y ++=+-，那么m = ,n = .7、把下列各式因式分解：①22242x xy y -+； ②22253x xy y +-； ③ 2224)1(x x -+；④ ()()21236a b a b +-++8、利用因式分解计算：①2991981++； ②⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222411311211…⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2210119119、给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．10、已知：3a b +=，2ab =，求下列各式的值： （1）22a b ab +； （2）22a b +.二．选做题：1、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+2、已知二次三项式215x kx --能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 可以为 .3、对于任意自然数n ，(n ＋11)2－n 2是否能被11整除？为什么？4、已知2222450243.a a b b a b ++-+=+-，求的值5、已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．b图甲 图乙。
因式分解公式法(三)
因式分解公式法第3课时课题：3.3公式法(三) 课型：新授 备课人：唐思梁教学目标：A 层、了解“二次三项式”的特征,学习运用十字相乘法进行因式分解的方法。
B 层、理解“十字相乘”法的理论根据，掌握用十字相乘法因式分解的基本步骤。
C 层、会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式，培养学生灵活的应用能力。
教学重点：用“十字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。
教学难点: 二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。
教学过程:一、自主学习１、把下列各式因式分解：3ax ²+6ax+3a (y ²－x ²)²-4x ²y ² 222816()x x -+2、请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= （x+2）（x-1）= （x-2）（x+1）= （x-2）（x-1）=二、 师生共探１、提出问题： 你能分解x ²+3x+2吗？---------- 十字交叉相乘 将首项分成积的形式（注意正负、号），竖着写在左边. x ²＝x ·x 尾项也分成积的形式（注意正负、号），竖着写在右边. 2＝1·2 交叉相乘，把交叉相乘结果相加，相加或相减得中项（注意正负、号）. 2x + x ＝3x 抄的时候打上括号横着抄.（x+1）（x+2）解：x ²+3x+2＝（x+1）（x+2）2、分解因式 x ² + 6x – 7首项分成x ²＝x ·x ，竖着写在左边 尾项分成－7＝7·（－1），竖着写在右边交叉相乘，得－x + 7x ，相加或相减得 +6x 想一想，右边能不能写成－7＝（－7）·1 ？打上括号横着写 （x+7）(x-1)解：x ² + 6x – 7 = （x+7）(x-1)3、分解因式. x ²-8x+15 x ²-2x-3x ⇓⇓7⨯x 1-x x12⨯三、拓展提高1、 试将 -x ²-6x+16 分解因式。
八年级数学上第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解第3课时公式法__平方差公式新新人教1
答案显示
1．a2－b2＝__(a_＋__b_)_(_a_－__b_)__，即两个数的平方差，等于这 两个数的__和______与这两个数的___差_____的积．
2．(2020·金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式 的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式； 解：答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6.
(2)用文字写出反映上述算式的规律； 解：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性． 证明：设m，n为整数(m＞n)，两个奇数可分别表示为2m＋ 1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)． ①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数， ∴4(m－n)一定是8的倍数； ②当m，n是一奇一偶时，m＋n＋1一定为偶数， ∴4(m＋n＋1)一定是8的倍数． 综上所述，任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－ m)(a＋2)(a－2)．
七年级数学下册 9.6因式分解(二)(第3课时)教案 苏科版
9.6乘法公式的再认识——因式分解(二)第3课时综合运用法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1. 进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式.2. 学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法.3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止.4. 通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.5. 综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想.6. 进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观.说明以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式.教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题具体分析的方法，体会到成功的喜悦.二、教学重点、难点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.三、教具、学具投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示四、教学过程(一)设置情境情境1 比一比，看谁算得快(投影)(1)65.52－34.52 (2)1012－2×101×1＋1(3)482＋48×24＋122 (4)5×552－5×452说明学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式.要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法.思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式)情境2 分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案)②a4－2a2b2＋b4说明由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况.如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题.思考 (1)在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流)情境3 把下列各式分解因式(练习)(1)ab2－2a2b－ab (2)a2－1 (3)a2b2－4ab＋4 (4)a3－a说明练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨.思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明.(2)请写出平方差公式和完全平方公式.(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？情境4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法.提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征.(2)整理知识结构图提公因式法：关键是确定公因式因式分解运用公式法平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2说明公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式.结论多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全.(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1. 先提取公因式后利用公式例1 把下列各式分解因式(课本P93例5)(1)18a2－50 (2)2x2y－8xy＋8y (3)a2(x－y)－b2(x－y)分析①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解.②注意(3)的公因式是(x－y)解：(1)18a2－50=2(9a2－25) (2) 2x2y－8xy＋8y=2(3a＋5)(3a－5) =2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2(3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b) (2) (3)可由学生口述，教师板书说明 (1)本题要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解.(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总结，培养学生良好的学习惯.(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解.2. 两个公式先后套用例2 (课本P94例6)把下列各式分解因式(1)a4－16 (2)81x4－72x2y2＋16y4解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2)(2)81x4－72x2y2＋16y4=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b=(9x2－4y2)2=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2←注意这不是结果=(3x＋2y)2(3x－2y)2说明：(1)本题还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.例3 (供选择)分解因式(1)(a2＋b2)－4a2b2(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1解：(1)(a2＋b2)－4a2b2 (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1 =(a2＋b2)2－(2ab)2 =[(x2－2x)＋1]=[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab] =(x2－2x＋1)2=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab) =[(x－1)2]2=(a＋b)2(a－b)2 =(x－1)4说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式.(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想.(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想.(三)因式分解的应用例4 阅读下列材料，然后回答文后问题已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值.分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入.解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]=2(x－3y)2(2x＋y)当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题：(1)上述问题体现了思想，这种思想在求值问题中经常用到.(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值.(由学生完成).说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题中的应用.例5 已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积.解：用代数式表示阴影部分的面积为：(2a)2－πa2 即4a2－πa2当a=10, π取3.14时，4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86(四)练习1、辨析分解因式 a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因.说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”2. 选择题：多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是( )A、①②B、③④C、①④D、②③3.填空：请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是，分解因式的结果是 .本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式.4. 把下列各式分解因式(1)3ax2－3ay4 (2)－2xy－x2－y2 (3)3ax2＋6axy＋3ay2(4)x4－81 (5)(x2－2y)2－(1－2y)2(6)x4－2x2＋1 (7)x4－8x2y2＋16y4分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评.五、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解.(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止.(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.六、作业：必做：课本P95习题9.6 5、6选做：1. 分解因式(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b) (2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4(3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)22. 已知x＋y=4 xy=2 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值3. 利用图形面积因式分解①a2＋3ab＋2b2②a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac。
(湘教版)七年级数学下册：第3章《因式分解》教学案(第3课时)
教学目标：1.知识与能力：进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.2.过程与方法进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.3.情感态度与价值观通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地对多项式进行因式分解.教学难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解.教学过程：一、创设问题情境，导入新课1.什么叫做公因式？如何找公因式？2.说出下列多项式各项的公因式（1）2ax+4ay (2) 9x3+6x2 +3x (3) 4a2-6a(4) 4x2y-12xy (5) -5a2x+15ax2 (6) –x3+2x2-3x［师］上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、我会自主学习1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）；（2）b+a=___________（a+b）；（3）（b－a）2=_________（a－b）2；（4）（y－x）3 =__________（x－y）3；（5）－m－n=__________（m+n）；（6）－s+t 2=__________（s －t 2）.2.下列多项中各项的公因式是什么？（1）x （x －2）－3（x －2） （2）x （x －2）－3（2－x ）（3）22))(())((a b c a b a c a ----+ （4）)(18-)(1222y x y x y x xy ++试一试：把上述多项式因式分解.分析：虽然a （x －y ）与b （y －x ）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y ）与（y －x ）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y －x =－（x －y ）.（m －n ）3与（n －m ）2也是如此.［师］从因式分解的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？生］不是，是两个多项式的乘积.三、我会合作探究3. 把下列各式因式分解：（1）a （x －y ）+b （y －x ）;（2）6（m －n ）3－12（n －m ）2 （3）22))(())((a b c a b a c a ----+（4）)(18)(1222y x y x y x xy +++-四、我会归纳总结本节课进一步学习了用提公因式法因式分解，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的因式分解.怎样确定多项式的公因式？（1）各项系数绝对值的最大公因数；（2）因式中相同的字母的最低次幂；（3）因式中相同多项式的最低次幂.五、快乐摘星台。
多项式的因式分解-第3课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
（2）(x-y)2-1=________(x_-_y_+_1_)_(_x_-_y_-1__) ___________.
01 知问识题精引讲入
Q2：下列四项式能否因式分解
（1）ax+bx+ay+by；
（2）x2-2xy+y2-1.
提公因式？ 运用公式？
× 【结论】不能因式分解？
没有公因式！ (灬ꈍ ꈍ灬)
或者 第一步：分组提公因式 （选择x、y作为公因式） 原式=(ax-bx)+(ay-by) =x(a-b)+y(a-b) 第二步：提公因式(a-b) =(a-b)(x+y)
02 知识精讲
【1】因式分解——二二分组： （2）ac2+bd2-ad2-bc2
【解答】
第一步：分组提公因式
第三步：运用平方差公式
平方差公式——两项 完全平方公式——三项 but now——四项
01 知问识题精引讲入
Q3：完成下列表格 因式分解 (a+b)(x+y)
(x-y+1)(x-y-1)
原式 x(a+b)+y(a+b)
(x-y)2-1
24.2 解一元二次方程 - 第3课时因式分解法课件(共20张PPT)
D
知识点2
用适当的方法解方程
②
解一元二次方程的方法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其 中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接 开方法和因式分解法适合于某些特殊方程.
例2
用适当的方法解方程：(1) (3x＋2)2－8(3x＋2)＋15＝0； (2)（5x + 1）2 = 1；
第 二十四章 一元二次方程
24.2 解一元二次方程 第3课时 因式分解法
学习目标
学习重难点
用因式分解法解特殊的一元二次方程.
选用恰当的方法解一元二次方程.
难点
重点
1.理解用因式分解法解方程的依据，能用因式分解法解特殊的一元二次方程.2.会选用恰当的方法解一元二次方程.
解：(1) 因式分解，得[(3x＋2)－3] [(3x＋2)－5]＝0， 即 (3x－1)(3x－3)＝0， ∴x1＝ ，x2＝1.（2）开平方,得 5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2=
例2
（3）2x2－7x－6＝0； （4） x2 - 12x = 4
随堂演练
2. 解下列方程：(1)9(x－1)2=5；(2)x2+5x+7=3x+11；(3)3x2－6x=－3.
随堂演练
解：（2）化简，得 x2+2x=4，x2+2x+1=5， (x+1)2=5
(3)化简，得
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0.
即x － 1 = 0 或 x － 1 哪些解一元二次方程方法？这些方法是否能解所有的一元二次方程.
导入新知
8.4 因式分解(第3课时)-课件
3x3 x 4 8x 2 16
2
4
2
3x x 2x 2
3
2
3x 3 x 2 x 2
2
2
本题考察了提取公因式法和完全平方公式和平方差公式 的运用.每一步分解后，都要细心观察，看是否还可以继续 分解下去.
分解彻底了吗 33ax2 6axy 3ay2
2 7 n m 3n 3m 3 2 21n m n m 1
分解因式时，通过化简合并后有时会出现新的公因式， 这种情况往往容易被同学们忽略.在用公式法分解后，也有 可能会出现这样的现象.
解：原式
3x x
3
3 3x7 24x5 48x3
3 3x7 24x5 48x3
1x2 x6
解法1：
x2 – x6
解：原式=
解法2：
x2 – x 6
解：原式=
x 2 – ( x 3) 2
x2 (1–x4)
= (x+x3)(x–x3) = x2(1+x2)(1+x)(1–x)
= x2 (1+x2)(1–x2)
= x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x)
8.4 因式分解（第3课时）
滁州二中 赵长荣
复习回顾 提公因式法
ma+mb+mc= m(a+b+c)
（逆用）公式法
a2+2ab+b2= (a+b) 2 a2-2ab+b2= (a-b) 2 a2-b2= (a+b) (a-b)
快速解答 把下列各多项式分解因式： 13ax2 6axy 3a 2x2 81
人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《因式分解(第3课时)》示范教学课件
公因式
多项式
公因式
乘积
和
差
积
多项式 与 有什么特点？
思考
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的 2 倍．
你能将 与 分解因式吗？
思考
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
下列式子能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）． A． B． C． D．
运用完全平方公式分解因式
完全平方式
步骤
公式
一“提”
三“检查”
二“套”
问题
A
归纳
可套用完全平方公式的式子的特点 （1）含有三部分； （2）有两部分可以分别写成某个数（或式子）的平方，并且这两部分的符号相同； （3）第三部分是这两个数（或式子）的乘积的 2 倍．
例 1 分解因式： （1） ； （2） ．
例 1 分解因式： （1） ； （2） ．
归纳
因式分解的步骤 一“提”：看有无公因式，若有，则提取公因式； 二“套”：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式； 三“检查”：检查分解因式是否彻底，若不彻底则继续分解．
例 4 求证：若 n 为正整数，则代数分解因式： （1） ； （2） ．
例 2 分解因式： （1） ； （2） ．
归纳
可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
因式分解
第3课时
人教版八年级数学上册
1．提公因式法 一般地，如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将_______写成_______与另一个因式的______的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2．运用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的___的___． ＝___________．
第3课时 综合运用提公因式法与公式法因式分解
(3)m n - ( + ) = [4m n -( + ) ]= (2mn+m +n )(2mn-m -n )=- (m+n) (m-n) .
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
15.已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)·(x+y)-2y2的值.
解:(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2
式分解后又出现新的公因式,再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下:
x2-4y2-2x+4y
=(x2-4y2)-(2x-4y)
=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2).
像这种将一个多项式先适当分组,再进行因式分解的方法叫做分组分解法.
利用分组分解法解决下面的问题:
(3)(a2-2ab+b2)-16.
解:(1)-49x2+x2y2=x2(y2-49)=x2(y+7)(y-7).
(2)ac2(2b+3c)2-ab2(3c+2b)2=a(2b+3c)2(c2-b2)=a(2b+3c)2(c+b)(c-b).
(3)(a2-2ab+b2)-16=(a-b)2-42=(a-b-4)(a-b+4).
14.因式分解:
2
(1)8(a +1)-16a;
2
(2)x +3x(x-3)-9;
(3)m n - ( + ) .
2
2
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因式分解教学设计
教学目标
知识与能力
能够确定多项式各项的公因式，会用提公因式和公式法把多项式因式分解。
会用公式法及公因式正确判定因式分解是否完成。
过程与方法
经历通过整式乘法和乘法公式逆向得出分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
情感态度与价值观
培养积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯。
教学重难点
重点：会用提取公因式和公式法因式分解。
难点：会同时运用提取公因式和公式法进行因式分解，及正确判断因式分解是否完成。
教学课时：一课时
教法：讲解练习法
教学设计
一、复习旧知，引入新课
将下列各式因式分解
设计意图：通过练习让学生熟练掌握因式分解并让学生会判断因式分解是否完成。
二、提出问题，讲授新课
思考：如何判定因式分解是否结束？
设计意图：问题的提出意在让学生掌握因式分解必须要彻底，会进一步的用公式法进行因式分解。
三、例题讲解
设计意图：以上例题的设置时为了使学生掌握在因式分解过程中，提取公因式和公式法同时使用的方法。
四、随堂练习，巩固深化
1、将下列各式因式分解
设计意图：通过反复练习让学生能力很熟练的掌握因式分解的方法。
五、课堂小结，提炼升华
1、在因式分解过程中公因式和公式法同时使用。
2、对多项式进行因式分解的过程中，若有公因式应先提取公式在用公式进行分解；若没有公因式则考虑用公式法进行分解。
3、分解因式要进行到每一个多项式都不能再分解为止。
六、布置作业
P
5、6
78 、。