必修2圆的一般方程 补充作业
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程
高中数学必修2课后限时训练28 圆的一般方程一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案：C解析：两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C. 2．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32C ．±32D ．不存在 答案：A解析：由题意得直线kx －y ＝4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A. 3．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上D ．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A解析：圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－b a>0，所以直线不经过第四象限，故选D.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为( )A ．5 2B ．102C ．15 2D ．202答案：B解析：圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2. 6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0解析：只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________． 答案：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析：设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案：－2解析：由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 三、解答题10．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解析：解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.[点评] (1)形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r ＝5(m －2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．11．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．解析：方法1：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．方法2：(定义法)由方法1知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2， 由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．12．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。
高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 作业(系列四)
圆的一般方程A 组 基础巩固1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1,2) D ．(－12，－1) 解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为(－12，－1)． 答案：D2．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2.答案：B3．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x －3y ＝0C ．x 2＋y 2－2x ＋3y ＝0D ．x 2＋y 2＋2x ＋3y ＝0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分别把A ，B 两点坐标代入四个选项，只有A 完全符合，故选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ F ＝0，2D ＋F ＝－4，3E ＋F ＝－9，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－3，F ＝0，故方程为x 2＋y 2－2x －3y ＝0.解法三(几何法)：由题意知，直线过三点O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB 所对的圆心角为90°，知线段AB 为圆的直径，即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，12|AB|＝132为半径的圆，其方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫1322，化为一般式得x 2＋y 2－2x －3y ＝0.答案：A4．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析：圆心为(2,2)，则圆心到直线距离为d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值为d －R ＝2 2.∴(d ＋R)－(d －R)＝82－22＝6 2.答案：C5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0解析：由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C. 答案：C6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设点P 的坐标为(x ，y)，由|PA|＝2|PB|得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π.答案：B7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为__________． 解析：本题考查圆的一般方程及其面积．因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，即12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1，所以k ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，得圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________解析：由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－29．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是__________． 解析：所给圆的半径长为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是3π4. 答案：3π410．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解析：圆心C(－D 2，－E 2)， ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限，∴－D 2＜0即D ＞0.则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4. 故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.B 组 能力提升11．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上的所有点都在第二象限，则a 的取值范围为A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：本题考查圆的性质．由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a)2＋(y －2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜02a ＞0|－a|＞2|2a|＞2，解得a ＞2，故选D.答案：D12．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有相异的两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则直线PQ 的斜率k PQ ＝__________.解析：本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系．由题意知圆心(－1,3)在直线kx ＋2y －4＝0上，所以k ＝2，即直线kx ＋2y －4＝0的斜率为－k 2＝－1，又直线PQ 与直线kx ＋2y －4＝0垂直，所以k PQ ＝1.答案：113．已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点P 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解析：设点P 的坐标为(x ，y)，点A 的坐标为(x 0，y 0)，由于点B 的坐标为(8,6)，且P 为AB的中点，所以x ＝x 0＋82，y ＝y 0＋62.于是有x 0＝2x －8，y 0＝2y －6. ∵点A 在圆C 上运动，∴点A 的坐标满足方程：(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4.∴(2x －8＋1)＋(2y －6)2＝4，整理得，(x －72)2＋(y －3)2＝1. ∴点P 的轨迹是以(72，3)为圆心，1为半径的圆． 14．已知以点C(t ，2t)(t ∈R ，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．求证：△OAB 的面积为定值．解析：由于圆C 过原点，故可设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.由于圆心为C(t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4t. 令y ＝0，得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)．令x ＝0，得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B(0，4t)， ∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(定值)．。
高中数学 第26课时 圆的一般方程综合刷题增分练 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题
第26课时 圆的一般方程课时目标1.会用待定系数法求圆的一般方程．2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．3．通过对含参数的二元二次方程的研究，探索二元二次方程表示圆的等价条件． 4．通过本节学习，初步体会求动点轨迹的方法和方程的思想．识记强化圆的一般方程的形式为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，它配方可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4.(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，它表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．2 2π D．4π 答案：C解析：求得圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的半径r ＝2，即得其周长为2 2π，故选C. 2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F 答案：A解析：∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－F2在y ＝x 上，∴D ＝E .3．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A.5B ．3＋ 5C ．14－6 5D ．14＋6 5 答案：D解析：由题意，知圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝9的圆心为(－2,1)，半径r ＝3.圆心(－2,1)到坐标原点的距离为－22＋12＝5，故x 2＋y 2的最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 答案：C解析：令a ＝0，a ＝1得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 5．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－∞，12) B ．(－∞，0)C ．(12，＋∞) D．(－∞，12]答案：A解析：由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0，得(x －12)2＋(y ＋12)2＝12－m .∵该方程表示圆，∴12－m ＞0，即m ＜12.6．圆x 2＋y 2－4x －5＝0上的点到直线3x －4y ＋k ＝0的最大距离是4，则k 的值是( ) A ．－1 B ．－11C ．1或－11D ．－1或－11 答案：D解析：∵d ＝|6＋k |5，∴d ＋r ＝4，又r ＝3.∴k ＝－1或－11.二、填空题(每个5分，共15分)7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值X 围是________．答案：(－∞，1)解析：由题意，知直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4.将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，所以a －b ＜1.8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程是________． 答案：x ＋y －4＝0解析：直线AB 的方程与点P 和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．9．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．答案：(0，－1)解析：∵r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．三、解答题10．(12分)已知点A (－4,0)，直线l ：x ＝－1与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ，PF 分别与C 交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线．解：(1)设点M (x ，y )，依题意，|MA ||MB |＝x ＋42＋y2x ＋12＋y2＝2，化简得x 2＋y 2＝4，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4， 令y ＝0得x ＝±2，不妨设E (－2,0)，F (2,0)． 设P (－1，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线PE 的方程为y ＝y 0(x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x ＋2x 2＋y 2＝4得(y 20＋1)x 2＋4y 20x ＋4y 20－4＝0，所以－2x 1＝4y 20－4y 20＋1，即x 1＝2－2y 20y 20＋1，y 1＝4y 0y 20＋1.直线PF 的方程为y ＝－y 03(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 03x －2x 2＋y 2＝4得(y 20＋9)x 2－4y 20x ＋4y 20－36＝0，所以2x 2＝4y 20－36y 20＋9，即x 2＝2y 20－18y 20＋9，y 2＝12y 0y 20＋9.所以k AS ＝y 1x 1＋4＝4y 0y 20＋12－2y 20y 20＋1＋4＝2y 0y 20＋3， k AT ＝y 2x 2＋4＝12y 0y 20＋92y 20－18y 20＋9＋4＝2y 0y 20＋3，所以k AS ＝k AT ，所以A ，S ，T 三点共线．11．(13分)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．解：(1)方法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0.方法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5，则△ABC 是等腰三角形，所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2，所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧9－3D ＋F ＝04＋2D ＋F ＝016－4E ＋F ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1E ＝52.F ＝－6所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.能力提升12．(5分)已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22答案：A解析：直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝3 22，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为3 22－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎪⎫3 22－1＝12×2 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3 22－1＝3－ 2. 13．(15分)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的是圆． (1)求t 的取值X 围；(2)求其中面积最大的圆的方程．解：(1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1，由r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，得。
人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1圆的一般方程第二课时练习与答案
人教A版数学必修二第四章圆与方程4.1圆的一般方程第二课时练习与答案第四章 圆与方程4.1 圆的方程第二课时 4.1.2 圆的一般方程测试题一、选择题1、若圆的一般方程为06622=+++x y x ，则圆的圆心和半径长分别是（ ）A 、（1，1），3B 、（1，2），3C 、（3，0），3D 、（－3，0），32、以)1,2(-为圆心，与y 轴相切的圆的标准方程为（ ）A 、012422=+-++y x y xB 、012422=++-+y x y xC 、014222=--++y x y xD 、042422=+-++y x y x3、下列各点中，在圆034422=++-+y x y x 内的的点是（ ）A 、（－1，1）B 、（0，0）C 、（0，－1）D 、（2，－1）4、过点A （1，0），B （－1，53+），且圆心在直线02=+-y x 上的圆的方程是（ ）A 、016222=+--+y x y xB 、072222=--++y x y xC 、042222=-+-+y x y xD 、01422=--+y y x5、已知圆心为)3,2(-，其一条直径的两个端点分别在X 轴和Y 轴上，则此圆的方程是（ ）A 、0396422=-+-+y x y xB 、0396422=--++y x y xC 、06422=+-+y x y xD 、06422=-++y x y x6、过点)1,1(-A 和)5,1(-D ，圆心在Y 轴上的圆的方程为（ ）A 、06422=--+y y xB 、06422=-++y y xC 、06422=-++x y xD 、06422=--+x y x二、填空题7、如果一个圆的圆心在（2，3）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是_________;8、已知圆的方程为,0222=++ay y x 则其半径和圆心坐标分别是________________________;9、圆,02222=-++y x y x 的周长为____________________;10、方程,052422=-+-+k y kx y x 表示的曲线是圆，则k 的取值范围是__________________。
高中数学必修2单元配套练习试题4.1.2圆的一般方程及参考答案解析
4.1.2圆的一般方程姓名:___________班级:______________________1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 ( )A.(4,－6),r＝16B.(2,－3),r＝4C.(－2,3),r＝4D.(2,－3),r＝162.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是( )A.RB.(－∞,1)C.(－∞,1]D.[1,＋∞)3.方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是 ( )A.两直线B.圆C.一点D.不表示任何曲线4.如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称,则必有( )A.D＝EB.D＝FC.F＝ED.D＝E＝F5.两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )A.x＋y＋3＝0B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0D.4x－3y＋7＝06.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点,则( )A.D＝0,E＝0,F≠0B.F＝0,D≠0,E≠0C.D＝0,F＝0,E≠0D.E＝0,F＝0,D≠07.若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限,那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A. C.9.圆心是(－3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为 .10.已知圆C:x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB为圆C的一条直径,点A(0,1),则点B的坐标为________.11.若实数x,y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0,的最大值是__________.12.求经过两点P(－2,4),Q(3,－1),并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.13.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围.程.参考答案1.C【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3),半径 4.r ==故选C. 考点:圆的一般方程.2.B【解析】由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k ＞0,得k ＜1.考点:圆的一般方程.3.C【解析】原方程变形为222)(1)0x y ++-=（,所以方程表示的曲线是一个点(−2,1),故选C.考点:方程的曲线.4.A【解析】由题知圆心(2D - , 2E -)在直线y ＝x 上,即2E -＝2D -, ∴D＝E.故选A.考点:圆的一般方程.5.C【解析】两圆的圆心分别为(2,－3)、(3,0),直线方程为y ＝3(x －3),即3x －y －9＝0,故选C.考点:圆的一般方程及直线方程.6.C【解析】点(0,0)在圆上,代入圆的方程可得F ＝0.因为圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴切于原点,所以圆心的横坐标为0,即02D -=,∴D＝0.由D 2＋E 2－4F ＞0,可得E 2＞0,∴E≠0,故选C.考点:圆的一般方程.7.D【解析】圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,32b -),则a ＜0,b ＞0.直线y ＝1x a -－b a ,其斜率k ＝1a -＞0,在y 轴上的截距为－b a＞0,所以直线不经过第四象限,故选D. 考点:圆与直线.8.B【解析】x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径为.由圆的几何性质可知:过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC⊥BD ,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝==.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×故选B. 考点:圆的弦长及四边形的面积.9.x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0【解析】圆的半径r == ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73,整理得,x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0.考点:圆的一般方程.10.(2,－3)【解析】由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0,得(x －1)2＋(y ＋1)2＝5,所以圆心为C(1,－1).设B(x 0,y 0),由中点坐标公式得0002,12,x y +=⎧⎨+=-⎩解得002,3,x y =⎧⎨=-⎩所以点B 的坐标为(2,－3).考点:圆心及中点坐标.3【解析】实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点. =,几何意义为:动点(x,y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方得:(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,半径R ＝3的圆,原点在圆内.连接CO,由圆的几何性质可知,所求的最大值为|OC|+R 3.考点:利用曲线的几何意义求最值.12.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,将P(－2,4),Q(3,－1)代入圆的方程得2420,310,D E F D E F --=⎧⎨-+=-⎩ 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1,x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根.由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36,解得D ＝－2,E ＝－4,F ＝－8或D ＝－6,E ＝－8,F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点:求圆的方程.13.(1)－17＜m ＜1 (2)0 【解析】(1)要使方程表示圆,则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0,即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0,整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r===,.考点:圆的方程与轨迹.14.x2＋y2－2x＋4y－20＝0【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2,－6),∴42200, 26400,D E FD E F+++=⎧⎨+--=⎩①②设圆在x轴上的截距为x1、x2,它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根,得x1＋x2＝－D.设圆在y 轴上的截距为y1、y2,它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根,得y1＋y2＝－E.由已知,得－D＋(－E)＝－2,即D＋E－2＝0. ③由①②③联立解得D＝－2,E＝4,F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.考点:圆的方程.。
人教A版高中数学必修2课时作业(24) 圆的一般方程
课时作业（二十四）圆的一般方程一、选择题1．圆的方程是x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( )A．(－1,1) B．(1,－1)C．(－1,0) D．(0,－1)答案：D2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是( ) A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16答案：B3．当a取不同的实数时,由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆,则( )A．这些圆的圆心都在直线y＝x上B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上C．这些圆的圆心都在直线y＝x或直线y＝－x上D．这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A4．如果圆x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a,b,c不全为零)与y轴相切于原点,那么( )A．a＝0,b≠0,c≠0B．b＝c＝0,a≠0C．a＝c＝0,b≠0D．a＝b＝0,c≠0答案：B5．已知两定点A(－2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|＝2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A．π B．4πC．8π D．9π答案：B二、填空题6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0,AB为圆C的一条直径,若点A的坐标为(0,1),则点B的坐标为________．答案：(2,－3)7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上,则a ＝________.答案：－28．已知A,B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点,且│AB│＝6,若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1,－1),则圆心M 的轨迹方程是____________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝9三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0,圆心在直线x ＋y －1＝0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2, ∵圆心在直线x ＋y －1＝0上,∴－D 2－E 2－1＝0,即D ＋E ＝－2.① 又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2, ∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限,∴－D 2＜0即D ＞0,－E 2>0即E<0. 则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.10．设△ABC 顶点坐标A(0,a),B(－3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时,圆M 是否过某一定点,请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆M 过点A(0,a),B(－3a,0),C(3a,0), 所以⎩⎨⎧ a 2＋aE ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a. 所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a)y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y)a －(x 2＋y 2＋3y)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0.解得x ＝0,y ＝－3.所以圆M 过定点(0,－3)．。
必修二圆的方程练习题
必修二圆的方程练习题一、填空题1. 已知圆的半径为5，圆心在原点，则圆的方程为______。
2. 圆心在点(3, 2)，半径为4的圆的方程为______。
3. 若圆的方程为x² + y² 6x + 8y + 15 = 0，则圆心坐标为______，半径为______。
4. 已知圆的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 16，则圆心坐标为______，半径为______。
5. 若圆的方程为x² + y² + 2x 4y 20 = 0，则圆心到原点的距离为______。
二、选择题A. x² + y² = 6B. x² + y² = 9C. x² + y² = 12D. x² + y² = 15A. (2, 3)B. (3, 2)C. (1, 2)D. (2, 2)A. 圆心在原点B. 圆的半径为5C. 圆心在x轴上D. 圆心在y轴上A. (x 3)² + (y + 4)² = 25B. (x + 3)² + (y 4)² = 25C. (x 3)² + (y 4)² = 25D. (x + 3)² + (y + 4)² = 25A. 圆心在第一象限B. 圆心在第二象限C. 圆心在第三象限D. 圆心在第四象限三、解答题1. 已知圆的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 25，求圆上的三个点坐标。
2. 已知圆心在点(4, 3)，且圆上有一点(2, 1)，求圆的方程。
3. 已知圆的方程为x² + y² 6x + 8y + 15 = 0，求圆上距离原点最远的点的坐标。
4. 若圆的方程为(x 3)² + (y + 4)² = 36，求圆上距离y轴最远的点的坐标。
高中数学必修2圆的方程练习题
高中数学必修2圆的方程练习题第四章圆与方程一、选择题1.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()．A。
相交 B。
外切 C。
内切 D。
相离答案：A解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(-1,-4)和(2,-2)，半径分别为√21和√5，两圆相交。
2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0和x2+y2+4x-4y-1=0的公共切线有()．A。
1条 B。
2条 C。
3条 D。
4条答案：B解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(2,-1)和(-2,1)，半径分别为√2和√2，两圆相交，故公共切线有两条。
3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是()．A。
(x-2)2+(y+1)2=1 B。
(x-2)2+(y-1)2=1C。
(x-1)2+(y+2)2=1 D。
(x+1)2+(y-2)2=1答案：B解析：圆C关于原点对称，则圆心必在直线y=x上，设圆C的圆心为(x0,x0)，则(x0+2)2+(x0-1)2=1，解得x0=1或x0=2，但由于圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，故圆心在第二象限，因此x0=2，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.与直线l:y=2x+3平行，且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是()．A。
x-y±5=0 B。
2x-y±5=0C。
2x-y-5=0 D。
2x-y+5=0答案：D解析：将圆的方程化简，得到它的圆心为(1,2)，半径为√2，故直线l与圆的切点为(1+√2,2+2√2)和(1-√2,2-2√2)，l的斜率为2，故l的方程为y=2x+b，将圆心代入该方程得到b=-1，故直线方程为y=2x-1，与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程为2x-y+5=0.5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于()．A。
数学人教B必修二刷题首选卷：2.3.2 圆的一般方程 Word含解析含答案
►2．3．2 圆的一般方程1．若圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋10y ＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是( )A ．(－1，5)， 3B ．(1，－5)， 3C ．(－1，5)，3D ．(1，－5)，3 答案 B解析 解法一(化为标准方程)：(x －1)2＋(y ＋5)2＝3； 解法二(利用一般方程)：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2为圆心，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2，－D2＝1，－E2＝－5，r ＝3．2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋54a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a>1C ．－2<a<23 D ．－2<a<0 答案 A解析 当a 2＋4a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2＋a －1>0时表示圆的方程，故－a ＋1>0，解得a<1．A ．x 2＋y 2＋8x ＋6y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －6y ＝0C ．x 2＋y 2＋8x －6y ＝0D ．x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0 答案 D解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0，于是所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0．4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0 答案 D解析 设圆心为(a ，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C 的方程为：(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，所以D 正确．轨迹问题5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4π C．8π D．9π答案 B解析设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C的轨迹方程．解设另一底角顶点为C(x，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即(x－3)2＋(y－20)2＝(3－3)2＋(5－20)2，整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225．当x＝3时，A，B，C三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．一、选择题1．方程x2＋y2－2x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m＜1 B．m＜2 C．m≤12D．m≤1答案 A解析由圆的一般式方程可知(－2)2－4m＞0，∴m＜1．2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A ．－2或2B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或0 答案 C解析 将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝0或a ＝2．3．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)，PQ 中点为M(x ，y)，根据中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为Q(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．4．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12 B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12 C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2 答案 C解析 已知圆的圆心为(1，0)，半径等于2，圆心关于直线2x －y ＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C ．5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0 D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0答案 B解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0．二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案 (－1，－3) x ＋3y ＝0解析 将圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9，故圆心为C(－1，－3)．因为k CO ＝3，所以所求直线的斜率为k ＝－33，直线的方程为y ＝－33x ，即x ＋3y ＝0．7．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________．答案 －10解析 由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－a 2应在直线2x ＋y －1＝0上，代入解得a ＝－10，符合D 2＋E 2－4F>0的条件．8．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于________．答案 －3解析 设A(0，y 1)，B(0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m>0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，而∠ACB ＝90°，知C(2，－1)，AC ⊥BC ，即得k AC ·k BC ＝－1，即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4代入上面的结果得m －2＋1＝－4，∴m ＝－3，符合m<1的条件． 三、解答题9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 解 解法一：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．因为A ，B ，C 三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将点D 的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．解法二：因为k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1，所以AB ⊥BC ，所以AC 是过A ，B ，C 三点的圆的直径，|AC|＝(1－7)2＋(2＋6)2＝10，线段AC 的中点M 即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝(4－4)2＋(3＋2)2＝5＝12|AC|，所以点D 在圆M 上，所以A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．10．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．。
必修2圆的一般方程
的曲线是圆呢？
请举例
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 E 2 4F 配方可得： ( x ) ( y ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 E 2 4F 2
D E , ） 2 2
) 为半径的圆
(C)4
A (D)3
(4)点
A(3,5) 是圆
2 y 2 4 x 8 y 80 = 0 的一条弦的中点, x
则这条弦所在的直线方程是
x y 8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. 练习： 求过点A(5,1),圆心为(8,3)的圆的方程 .
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
1 D 2 E 2 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3
C.m 1 1 D. m 或m 1 4 4
10. [课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 y 2 Dx Ey F = 0 x D 2 E 2 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
高中数学必修二课时作业(圆的一般方程1)附解析
圆的一般方程1．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,162．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝03．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 4．若点(2a ，a －1)在圆x2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a的取值范围是( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43) C ．(－34，＋∞) D ．(34，＋∞) 5．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__________________.6．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是__________7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝__________ ________.8．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．答案圆的一般方程1．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16[答案] B[解析] 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，展开得x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，比较系数知D ，E ，F 分别是－4,8,4.2．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C ．3．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 [答案] C[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 4．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43) C ．(－34，＋∞) D ．(34，＋∞) [答案] D[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34. 5．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__________________.[答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．6．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__________ ________.[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x－y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__________ ________.[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2. 8．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心C 的轨迹方程．[解析] (1)要使方程表示圆，则4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0，整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1. (2)r ＝124 m ＋3 2＋4 1－4m 2 2－4 16m 4＋9 ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7 m －37 2＋167. ∴0＜r ≤477. (3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m＜1，∴207＜x＜4.故圆心C的轨迹方程为(x－3)2＝14(y＋1)(207＜x＜4)．。
高中数学必修二(人教A版)练习4.1.2 圆的一般方程 Word版含答案
圆的一般方程一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．圆＋－＋＝的圆心坐标是( )．(，) ．(－，)．(－，－) ．(，－)．若方程＋－＋＋＝表示圆，则的取值范围是( )．>．<．≥．≤．方程＋＋＋＋＝表示以(－，)为圆心，为半径的圆，则，，的值分别为( )．，－，．－，，．－，－，．，－，－．经过(，)，(，)，(，)三点的圆的方程为( )．＋＋－－＝．＋＋＋－＝．＋＋＋＝．＋－－＝．若圆＋＋＋＋＝与轴切于原点，则( )．＝，＝，≠．＝，≠，≠．＝，＝，≠．＝，＝，≠．圆＋－＋＋＝关于直线＝＋成轴对称图形，则－的取值范围是( )．(－∞，) ．(－∞，)．(－，＋∞) ．(，＋∞)．与圆：＋－＋－＝有相同的圆心，且半径是圆的半径的一半的圆的方程为( ) ．＋－＋＋＝．＋－＋＋＝．＋－＋－＝．＋－＋＋＝二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．圆心在直线－－＝上的圆与轴交于(，－)，(，－)两点，则圆的一般方程为．．圆＋＋－＋＝上两点，关于直线－＋＝对称，则＝．．直线与圆＋＋－＋＝(<)相交于，两点，且弦的中点的坐标为(，)，则直线的方程为．．已知点(，－)，(，)，(，)，(＋，)，当四边形的周长最小时，过，，三点的圆的圆心坐标为．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)下列方程分别表示什么图形？若表示圆，则写出圆心和半径．()＋＋－＋＝；()＋＋＋＝；()＋＋＋＝;()＋＋＝(≠)；()＋＋－＋＝.．(分)已知圆：＋＋＋＋＝，直线：＋＋＝.()求的取值范围；()若圆过点(，)，且与圆关于直线对称，求圆的方程．．(分)若曲线：＋＋－＋－＝上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为( )．(－∞，－)．(－∞，－)．(，＋∞)．(，＋∞)．(分)已知圆的方程为＋＋(－)＋(＋)＋－＝，根据下列条件确定实数的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．()圆的面积最小；()圆心距离坐标原点最近．．圆的一般方程．[解析] 易知圆＋－＋＝的圆心坐标是(，－)．．[解析] 由题意得＋－>，∴<.．[解析] 由题意得解得＝，＝－，＝－.．[解析]把三点代入验证，只有选项满足题意．．[解析]由于点(，)在圆上，代入圆的方程可得＝.因为圆＋＋＋＋＝与轴切于原点，所以圆心的横坐标为，即－＝，∴＝.由＋－＞，可得＞，即≠.故选.．[解析]根据圆的一般方程中＋－>，得(－)＋－×>，解得<.由圆关于直线＝＋对称，可知圆心(，－)在直线＝＋上，即－＝＋，解得＝－，故－<.．[解析]。
人教A版高中数学必修二412_圆的一般方程(有答案)
人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1. 圆x2+y2−4x+6y＝0的圆心坐标是()A.(2, 3)B.(−2, 3)C.(−2, −3)D.(2, −3)2. 方程x2+y2+2ax−by+c＝0表示圆心为C(2, 2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A.−2, 4, 4B.−2，−4, 4C.2，−4, 4D.2，−4，−43. 已知圆C过点M(1, 1)，N(5, 1)，且圆心在直线y＝x−2上，则圆C的方程为()A.x2+y2−6x−2y+6＝0B.x2+y2+6x−2y+6＝0C.x2+y2+6x+2y+6＝0D.x2+y2−2x−6y+6＝04. 设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不确定5. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为()A.−2或2B.或C.2或0D.−2或06. 圆x2+y2−2y−1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是()A.(x−1)2+y2＝2B.(x+1)2+y2＝2C.(x−1)2+y2＝4D.(x+1)2+y2＝4二、填空题圆心是(−3, 4)，经过点M(5, 1)的圆的一般方程为________.设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________.三、解答题判断方程x2+y2−4mx+2my+20m−20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.参考答案与试题解析人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1.【答案】D【考点】圆的一般方程圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】试题分析：由圆x2+y2−4x+6y=0的方程；代入圆心坐标公式(−D2,−E2)，可得；(2,−3)【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】−a=2方程x2+y2+2ax−by+c=0可化为(x+a)2+(y−b2)2=a2+b24−c，所以b2=2，解得a=−2,b=4,c=4，选A．|a2+b24−c=4【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的切线方程【解析】3设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，由已知有{(1−a)2+(1−b)2=r2(5−a)2+(1−b)2=y2b=a−2，解得{a=b=1，所以圆的标准方程为2(x−3)2+(y−1)2=4，即x2+y2−6x−2y+6=0，选A．【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】试题分析：将原点坐标(0,0)代入圆的方程得：(a−1)2>0________，（因为0<a<1，所以原点在圆外，故选B．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】平行向量的性质指数式、对数式的综合比较三角函数的最值【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于α的方程．求出方程的解得到α的值即可．【解答】把圆的方程化为标准式为：(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)则圆心到直线x−y+a=0的距离d=2()2=√22即|a−1|=1，化简得a−1=1或a−1=−1．解得：a=2或a=0所以α的值为0或2.故选C．6.【答案】A【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】圆x 2+y 2−2y −1=0的标准方程为x 2+(y −1)2=2，所以圆心为(0,1)，半径为√2，圆心关于直线y =3的对称点是(1,0)，所以圆x 2+y 2−2y −1=0关于直线:y =对称的圆的方程是(x −1)2+y 2=2，选A ．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】加加加2+y 2+6x −8y −48=0【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】圆的半径y =√(−3−5)2+(4−1)2=√73…圆的标准方程为(x +3)2+(y −4)2=73整理得x 2+y 2+6x −8y −48=0【解答】此题暂无解答【答案】x 2+y 2−4x +2y +1=0【考点】轨迹方程圆的一般方程椭圆的定义【解析】I 2f 】设PA 的中点M 的坐标为(x,y )P (x 1y 1)，圆x 2+y 2−4x +2y −11=0的圆心为A 坐标为(2,−1)，由已知有{x 1+22=x y 1−22=y ，则{x 1=2x −2y 1=2y +2，又P 点在圆上，所以x 12+y 12−4x 1+2y 1−11=0，所以(2x −2)2+(2y +2)2−4(2x −2)+2(2y +2)−11=0，即x 2+y 2−4x +2y +1=0【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】见解析【考点】圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】试题分析：将原方程化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，讨论5(m −2)2，再求出圆心坐标和半径．试题解析：原方程可化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，因此，当m=2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m,−m)，半径为I=√5|m−2|【解答】此题暂无解答。
北师大版高中数学必修二学圆的一般方程课后训练
2.2 圆的一般方程练习1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()．A．(1，－1) B.1,1 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．(－1,2) D.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是()．A．0＜m＜1 B．m＞1C．m＜0 D．m＜13．(2011安徽高考，文4)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()．A．－1 B．1C．3 D．－34．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于()．A．8 B．－4C．6 D．无法确定5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()．A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝06．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________________．8．若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________.9．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，求(a－2)2＋(b －2)2的最小值．10．求经过A (4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．参考答案1. 解析：将圆方程化为212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋(y ＋1)2＝454， 即可得到圆心坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 答案：D2．解析：由D 2＋E 2－4F ＝42＋(－2)2－4×5m ＝20－20m ＞0，得m ＜1.答案：D3. 解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，可得圆心(－1,2)．∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a ＝0，可得a ＝1.答案：B4. 解析：因为圆上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而32m -+＝0，即m ＝6. 答案：C5. 解析： ∵x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，∴圆心C (－1,0)．又过点C 的直线与x ＋y ＝0垂直，∴其斜率为1.∴所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.答案：C6. 解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y )，则114,22,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即1124,22,x x y y =-⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：A7. 解析：依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 半径r ＝|AC |52=， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋223522y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0.答案：x 2＋y 2＋4x －3y ＝08.解析：圆的半径r=， ∴当a ＝－2时，r 最小，从而圆面积最小．答案：－29. 解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a －b ＋1＝0.∵(a ，b )与点(2,2)的距离，∴∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10. 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.①∵圆经过A (4,2)，B (－1,3)两点，则有164420,1930,D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即42200, 3100. D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩②③ 令①中的x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，由韦达定理得y 1＋y 2＝－E .令①中的y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－D .由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2，即－E －D ＝2，也就是D ＋E ＋2＝0.④由②③④可得2,0,12.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.。
北师大版高中数学高一必修2作业 第二章2.2 圆的一般方程
[学业水平训练]1.方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( )A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B ．以(1，2)为圆心，11为半径的圆C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D ．以(－1，2)为圆心，11为半径的圆解析：选D.由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11.所以方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示圆心为(－1，2)，11为半径的圆．2.圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1，2) D ．(－12，－1) 解析：选D.由(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，化简得x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0， 圆心为(－12，－1)． 3.已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(－1，1)解析：选A.由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0， 得圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2 ＝124－3k 2. 所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－k 2，－22)，即(0，－1)，故选A.4.已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：选B.把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a －1)2>0(0<a <1)，所以点(0，0)在圆外．5.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心为(－1，2)，代入直线3x ＋y ＋a ＝0中，得a ＝1.6.点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．解析：因为点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a 2＋3a －3＝0，（－2a ）2＋02－4（a 2＋3a －3）＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2或a ＝1，a ＜1，所以a ＝－2. 答案：－27.动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是________．解析：因为x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0可化为(x －1)2＋y 2＝k 2－2k ＋3， 所以半径r ＝k 2－2k ＋3 ＝（k －1）2＋2≥ 2.答案：[2，＋∞)8.若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a ＝________．解析：若方程x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0的曲线关于直线y ＝x 的对称曲线仍是其本身，则它是一个圆心在此直线上的圆，而圆心坐标是(－a 22，－1－a 22)， 则－a 22＝－1－a 22，解得a ＝±22. 答案：±229.求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10.设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程．解：(1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (2，0)，半径r ＝3.(2)由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.[高考水平训练]1.如果过A (2，1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0解析：选A.由x 2＋y 2－2x －4y ＝0配方得，(x －1)2＋(y －2)2＝5.因为所求直线l 将圆平分，故直线过圆心(1，2)，则直线l 的方程为y －12－1＝x －21－2， 即x ＋y －3＝0.2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝1，则圆心为(2，0)，所以(x 2＋y 2)max ＝(22＋0＋1)2＝9. 答案：93.设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)．4．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2，3)．(1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．解：(1)因为点P (a ，a ＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4，5)，所以|PQ|＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C坐标为(2，7)，所以|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.因为圆的半径是22，所以点Q在圆外，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.。