2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的直角三角形问题(含2019试题-含详解)

到结论．
3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答
（1）由 y = 1 x2 − 3 x − 4 = 1 (x + 2)(x − 8) ，得 A(－ 2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．
42
4
（2）直线 DB 的解析式为 y = − 1 x + 4 ． 2
（1）求点 A、B、C 的坐标； （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N．试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平 行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标； 若不存在，请说明理由．
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图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13 山西 26”，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P 运动到 OB 的中点时，
四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形．拖动点 P 在线段 EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠பைடு நூலகம்DQ 可以成
为直角．
请打开超级画板文件名“13 山西 26”，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P 运动到 OB 的中点时，
解方程 − 1 m2 + m + 8 = 8 ，得 m＝4，或 m＝0（舍去）． 4
此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．
所以 MN＝NQ＝4．所以 BC 与 MQ 互相平分．
所以四边形 CQBM 是平行四边形．
图2
图3
（3）存在两个符合题意的点 Q，分别是(－2,0)，(6,－4)． 考点伸展
4−
1 (x + 2)(x − 8) 4
=
2．
GD HB
−x
解得 x＝－2．此时 Q(－2,0)．
图3
图4
例 1 2019 年广州市中考第 24 题
因动点产生的直角三角形问题
例 1 20 13 年山西省中考第 26 题
如图 1，抛物线 y = 1 x2 − 3 x − 4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC， 42
以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)，过点 P 作 x 轴 的垂线 l 交抛物线于点 Q．
四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形．拖动点 P 在线段 EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成
为直角．
思路点拨
1．第（2）题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQ＝DC 列方程．
2．第（2）题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图，先得
由点 P 的坐标为(m, 0)，可得 M (m, − 1 m − 4) ， Q(m, 1 m2 − 3 m − 4) ．
2
42
所以 MQ＝ (− 1 m + 4) − (1 m2 − 3 m − 4) = − 1 m2 + m + 8 ．
2
42
4
当 MQ＝DC＝8 时，四边形 CQMD 是平行四边形．
第（3）题可以这样解：设点 Q 的坐标为 (x, 1 (x + 2)(x − 8)) ． 4
①如图 3，当∠DBQ＝90°时，
QG
=
BH
=
1
．所以
− 1 (x + 2)(x − 8) 4
=
1．
GB HD 2
8− x
2
解得 x＝6．此时 Q(6,－4)．
②如图 4，当∠BDQ＝90°时，
QG
=
DH
=
2 ．所以