中考数学复习讲练：二次函数图象及性质(word解析版)

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(word完整版)初中数学专题训练--二次函数--二次函数图像性质及其应用

专题十一二次函数图象及其性质、考点扫描1、理解二次函数的概念：y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a 工0）2、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标（—4ac b ）、对称轴x —和开口2a‘ 4a2a方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数 y = ax 2（a z 0）的图象得到二次函数y = a （x-h ）2 + k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4、会用待定系数法求二次函数的解析式；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、考点训练1、一次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点 M （ b ， c ）在（）aA .第一象限B •第二象限C .第三象限D •第四象限A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3、二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.y=x 2+3B. y=x 2-3C. y= （x+3） 2D. y= （x-3） 2 4、二次函数y=- （x-1 ） 2+3图像的顶点坐标是（）A . （-1, 3）B . （1，3）C . （-1, -3）D . （1，-3）5、（ 2006年南充市）二次函数 y=ax 2+bx+c ，b 2=ac ，且x=0时y=-4则y 的最值是（）A .最大值-4B .最小值-4C .最大值-3D .最小值-36、二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图所示，则下列结论：① a>0；②c>0；孑③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7、（ 2006年常德市）根据下列表格中二次函数 y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y?的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0 （a 工0，a ，b ，c 为常数）的一个解 x 的范围是（）2、（ 2005年武汉市）已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图 2所示, ?则下列结论：①a 、b 同号; ②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0;④当y=-2时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（A. 6<x<6.17 B 6.17<x<6.18x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04C. 6.18<x<6.19 D . 6.19<x<6.20& (06年长春)函数y=x2+bx-c的图象经过点(1, 2), _则b-c的值为 ______________ .9、 (06年宿迁市)将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y=x2, ?则平移前抛物线的解析式是 _________ .10、 (06年锦州市)已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写岀一个满足条件的二次函数的表达式 _________ .三、例题剖析1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax2+c (a z 0)的图象过正方形ABOC?的三个顶点A , B , 6_则ac的值是 ________ .2、观察下面的表格:x012ax22ax2+bx+c46(1)求a, b, c的值，并在表格内的空格中填上正确的数;(2)求二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴.3、13. ( 2006年南通市)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A, B, C三点，当x >0时，？其图象如图所示.(1)求抛物线的解析式，写岀抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0.3 3 14、( 06年长春市)如图，P为抛物线y= x2- x+ 上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点4 2 4作PA垂直x轴于点A, PB垂直y轴于点B,得到矩形PAOB若AP=1,求矩形PAOB勺面积.四、综合应用1 ( 2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.(1) 写出y与x的关系式；(2 )当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.2、( 06年常州市)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a (x-1) 2+k?的图像与x轴相交于点A、B,顶点为C,点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD?是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式.y«■11 1t ft i t1 1 j .J 5 x-一、考点扫描专题十二二次函数的应用二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二、例题剖析1、（2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2 ,BF=1 .试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.2、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.（1）求岀日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？？此时每日销售利润是多少元？3、在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V o （m/s）竖直向上抛出，？在不计空气阻力的情况下，其上1升咼度s （m）与抛出时间t （s）满足：S=Vt- — gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V o=1Om/s，2则该物体在运动过程中最高点距离地面__________ m.4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数. ？有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h）的汽车的刹车距离S （m）可由公式S=A V^确定；雨天行驶时，这一公式为100S=^V2.如果车行驶的速度是60km/h，?那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差__________ 米.505、（06年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10 .在EF上取一点M， ?分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN〜矩形ABCD .令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？cA3H科<711E M6、（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，？某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克）25 24 2322销售量y （千克）2000 2500 3000 3500（1 ）在直角坐标系内，作岀各组有序数对（ x ，y ）所对应的点•连接各点并观察所得的图形，判断 y 与x之间的函数关系，并求岀 y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润 P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求岀当x 取何值时，P 的值最大？7、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6米，宽度OM 为12米，现在O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写岀点M 及抛物线顶点P 的坐标；（2）求岀这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上•为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.三、综合应用1、如图10，点A 在抛物线y -x 2上，过点A 作与x 轴平行的直线交抛物线于点B ，延长AO,BO 分别43500 3000 2500 2000与抛物线v 1x2相交于点C,D，连接AD,BC，设点A的横坐标为m，且m>0 .8(1 )当m=1时，求点A,B,D的坐标；(2) 当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；(3) 猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论.2、如图，已知抛物线y 3X2bx C与坐标轴交于A、B、C三点，点A的横坐标为-1，过点C(0,3) 4的直线y £X 3与X轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，PH丄OB于点H .若PB=5t，且0<t<1 .4t(1)确定b, c 的值：b ________ ，c ______ ；(2)写出点B, Q, P的坐标(其中Q，P用含t的式子表示):B(—，—)，Q(—，—)，P(___，—)；(3)依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在, 说明理由.。

考点12 二次函数(精讲)(解析版)

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。

而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。

当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =．（1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−，即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+，得0422h =−+⨯，解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <，解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <，解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <，解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++．（1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴．（2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴；（2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++，解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯；（2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =；（3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+，整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ．（1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由．【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答；（2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=，解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题．（2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可．（3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−，又因为0a <，所以40a <，30a −<，所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大，又因为当1x =−时，0y =，所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)，又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，所以当0a >时，230a a −+<，解得3a >，故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−，故1a <−．综上所述，3a >或1a <−．故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上．（1）求抛物线的顶点(,0)m ；（2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；（2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可；（3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −．（1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围．【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可；（2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可．【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=，解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−，当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…，解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−；综上：10b −…或154b ≥−．【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由；（2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题．（2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题．（3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题．【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+，所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=，又因为1522−+=，所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称，故m n =．（2）因为m n =，328m n −=，所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =，所以m ，n ，p 中只能p 为负数．将(0,3)代入函数解析式得，3c =，所以二次函数解析式为243y ax ax =−+．将1x =−代入函数解析式得，53m a =+．将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴；（2）若231y y y <<，求m 的取值范围．【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =；（2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<；当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；（3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …；（3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…，解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−，当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−，此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意；当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−，解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上．（1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围．【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…，解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…，解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<．（1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题．（2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++，所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++．令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+．因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−．又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+．因为12PM PN =，所以211(3)22m m m −=−+，解得m =，又因为132m <<，所以m =．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题．【解答】解：（1）令0x =得，8y =，所以点A 的坐标为(0,8)；令0y =得，4x =，所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++．（2）因为//CD x 轴，//CE y 轴，所以AOB ECD ∆∆∽，则CD DEOB AB=．因为38DE AB =，4OB =，所以32CD =．令点C 坐标为2(,28)m m m −++，则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=；当3m =时，2285m m −++=；所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值；（4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值．【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解；（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−，显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=，解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12；（4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−，设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩，解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ．【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ．（3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值．【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可．【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−，当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符；当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时，解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值；（3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278；（3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=，解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)，若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，当0k >时，如图所示，则21k−<−，解得02k <<；当0k <时，如图所示：则24k−>，解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标；（2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=，即()(1)0ax b x ++=，解得：1bx a=−，21x =−，令20y =，则2()0bx a b x a +++=，即()(1)0bx a x ++=，解得：1ax b=−，21x =−，又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−，如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−，即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+，即33a =，解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

二次函数图像和性质总结(附答案解析)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)

二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝，x 2＝．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2y －12 －5 0 3 4 3利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①② B．③④ C．②③ D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是()A．①③ B．② C．②④ D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2 2 ＋b24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 . ∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25 x2＋25 x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：a>0，a<0，a>0，a<0，(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①② B．③④ C．②③ D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a ＋c＝－a＋c＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③ B．② C．②④ D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92 ；(2)图中阴影部分的面积为272 ．二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．解：(1)将点(1，k＋6)代入y＝mx2＋2mx＋k，解得m＝2；(2)当m＝2时，y＝mx2＋2mx＋k＝2x2＋4x＋k.令y＝0，即2x2＋4x＋k＝0.由题意，得Δ＝b2－4ac＝16－8k≥0.解得k≤2.又k为正整数，且k＝1时，方程没有整数解，故舍去．∴k＝2；(3)在m＝2，k＝2时，y＝2x2＋4x＋2，向下平移8个单位，平移后M的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。

中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)

二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。

【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质；二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。

考点一：二次函数的概念及三种解析式概念形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-．当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点决定抛物线与x 轴的交点个数关系式实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。

(完整word版)2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按项、项、项依次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为对称轴是。

2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0）中:①、当a 〉0时，开口向，当x 〈—2b a时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a 〈0时，开口向，当x〈-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ，对称轴顶点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴顶点坐标4、y=a （x-h ） 2 +k 对称轴顶点坐标】三、二次函数图象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移,因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a：开口方向向上则a 0，向下则a 0 ｜a|越大，开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c：与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2018•湖州)已知抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a,b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（—1，0），（3,0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点(-1,0），（3,0），∴30 9330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝，解得，12ab-⎧⎨⎩＝＝,即a的值是1,b的值是-2．【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h 平移|k|个单位【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州)如图，函数y=ax2—2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得:a＜0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0,故选项正确；C、由一次函数y=ax—a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a-＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线y 1=-x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定:当x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时,M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号)．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方,进而可得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=—x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得M 大于4的x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x 值,由此可得出:若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方， ∴当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方, ∴当x ＜0时，M=y 1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=—x2+4x=—（x—2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在,结论③正确；④当M=y1=2时，有—x2+4x=2，解得:x1=2-2（舍去)，x2=2+2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（—1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a—b+c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时,-1＜x＜3,其中正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0),∴A（3，0)，故当y＞0时，—1＜x＜3，故④正确．故选:B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0）,抛物线y=(x—2）2—1的顶点为（2，—1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高,高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点（8,0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1。

补充1 二次函数图象性质与应用共55题(解析版)

二次函数图象性质与应用（55题）一、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x =向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：2(3)4y x =-+．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）A ．b 恒大于0B 【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分【详解】解：∵直线l 为二次函数∴对称轴为直线2b x a =-当a<0时，则>0b ，当>0a 时，则0b <，∴a ，b 异号，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线A ．2-B 【答案】D【分析】把抛物线2y x =求出0x =和3x =时的函数值，即可得到答案．【详解】解：∵2y x =-∴对称轴为1x =，当x =A ．抛物线的对称轴为直线C ．A ，B 两点之间的距离为【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数∴0936a =--∴1a =∴二次函数解析式为y B 选项不正确，不符合题意；∵10a =>，抛物线开口向上，当当0y =时，26x x +-=A ．第一象限【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出【详解】解：由图象开口向下可知由对称轴b x 02a=->，得∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．7．（2023·内蒙古通辽·101x <<，下列四个结论：集为02x <<．其中正确结论的个数是（A ．1B ．2【答案】C 【分析】根据函数图象可得出a 12b x a=->，0a >可判断③；由图得，12y y <时，02x <<，故综上，正确的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．A ．4个B 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、与由抛物线的对称轴为x =由图知1x =时二次函数有最小值，可判断22y ax ax c =-+，根据图像可判断【详解】①∵抛物线的开口向上，0.a ∴>∵抛物线与y 轴交点在y 0.c ∴<由02b a->得，0b <，0abc ∴>，故①正确；② 抛物线的对称轴为x ∴12b a-=，∴2b a =-，∴20a b +=，故②正确；A ．<0abc B ．【答案】C 【分析】根据开口方向，与判断A ；根据对称性可得当上，对称轴为直线1x =，可得抛物线的最小值为【详解】解：∵抛物线开口向上，与∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线x ∴12b a-=，∴20b a =-<，依题意，当2x =-时，54204k k --+-≥解得：214k ≤-，当1x =时，5104k k -++-≤，解得k ≤即214k ≤-，当1k ≥时，当2x =-时，54204k k --+-≤，解得：214k ≥-∴1k ≥综上所述，k ≤214-或1k ≥，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．A ．．C ．．【答案】A【分析】设()1,A k ，则(B ),1，代入y x b =-+，得出当1x =时，1y =-，则y =，得出对称轴为直线12b x =>，抛物线对称轴在定点()1,1-，进而即可求解．【详解】解：如图所示，A．1个B．【答案】C【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与12y y ∴<.故②正确.图象与x 轴交于点(3,0A -930a b c ∴-+=，a b c ++10220a b c ∴-+=.50a b c ∴-+=.故③正确.12b a-=-，2b a ∴=.当1x =时，0y =，0a b c ∴++=.30a c ∴+=，3c a ∴=-，443<0a c a a a ∴+=-=.A ．1个B ．2【答案】C 【分析】开口方向，对称轴，与【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线∴0,0,0a b c <<<，∴0abc <，故①正确；由图象可知，0a b c -+>，根据对称轴，得∴40a a c -+>∴30c a ->，故②正确；∵抛物线的开口向下，对称轴为直线∴抛物线的最大值为4y a =∴()11,A x y 和点()22,B x y 关于对称轴对称，∴122,2x x --,∵123m x x m <<<+,∴122,23m x x m <<--<<+解得52m -<<-，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数A ．1个B ．【答案】D 【分析】根据二次函数开口向上，与20b a =>，由此即可判断由此即可判断②；根据x 【详解】解：∵二次函数开口向上，与∴00a c ><，，∵二次函数的对称轴为直线∴12b a-=-，∴20b a =>，∴<0abc ，故①正确；∵二次函数2y ax bx =++∴二次函数2y ax bx =++∴当2x =-时，0y <，∴420a b c -+<，故②正确；∵1x =时，0y =，∴0a b c ++=，∴20a a c ++=，即3a c +由函数图象可知，当3-<综上所述，其中正确的结论有故选：D ．18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线1y mx n =+与抛物线223y ax bx =+-相交于点A ，B ．结合图象，判断下列结论：①当23x -<<时，12y y >；②3x =是方程230ax bx +-=的一个解；③若()11,t -，()24,t 是抛物线上的两点，则12t t <；④对于抛物线，223y ax bx =+-，当23x -<<时，2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与x 轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解．【详解】解：根据函数图象，可得当23x -<<时，12y y >，故①正确；∵()3,0A 在223y ax bx =+-上，∴3x =是方程230ax bx +-=的一个解；故②正确；∵()3,0A ，()2,5B -在抛物线223y ax bx =+-上，∴93304235a b a b +-=⎧⎨--=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩∴2223y x x =--当0y =时，2230x x --=解得：121,3x x =-=∴当=1x -时，0y =，当4x =时，0y >，A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程D ．点()11,x y ，()22,x y 在抛物线上，当【答案】C【分析】根据对称轴为=1x -得到判断B 选项；根据当2x =时，即可判断D 选项．【详解】解：A ．抛物线2y ax =故选项错误，不符合题意；B ．抛物线()20y ax bx c a =++≠A ．4个【答案】B【分析】抛物线y 可以得到b 的正负情况，从而可以判断1x =时，0y <，即再根据1022b a <-<【详解】解：∵抛物线∴0a >，∵抛物线2y ax =+A．1【答案】C【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线轴为直线2x =．则下列结论正确的有（①0abc <；②0a b c -+>；③方程20cx bx a ++=的两个根为④抛物线上有两点()11,P x y 和Q A ．1个B ．2个【答案】B【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：202ba-=>，∴0b >，∴<0abc ，故①正确；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点则另一个交点(20)-，，∴=1x -时，0y >，A ．1个B ．2个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得到0a b c ++<，推得30a c +<()23,y 到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得次函数2y ax bx c =++与直线不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点A ．1-B ．2-【答案】B【分析】连接AC ，交y 轴于点进而代入求解即可．【详解】解：连接AC ，交y 当0x =时，则y c =，即OB c =，∵四边形OABC 是正方形，∴22AC OB AD OD c ====，AC ∴点,22c c A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴224c c a c =⨯+，解得：2ac =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．30．（2023·湖北·统考中考真题）拋物线①0abc <；②240b ac ->；③3b 1m ≤-．其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】二次函数整理得223y ax ax a =+-，推出00b c <>，，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x 轴的交点个数可判断②正确；由23b a c a ==-，，代入32b c +可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．【详解】解：①由题意得：()()223123y ax bx c a x x ax ax a =++=+-=+-，∴23b a c a ==-，，∵a<0，∴00b c <>，，∴0abc >，故①错误；②∵抛物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．∴20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，∴240b ac ∆=->，故②正确；③∵23b a c a ==-，，∴32660b c a a +=-=，故③正确；④∵抛物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．∴抛物线的对称轴为：=1x -，当点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上，且12y y <，∴1m ≤-或()2112(1)m mm m -<-<⎧⎨--->--⎩，解得：0m <，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；A．4【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与A．①②③A．5B．4【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与对称轴和特殊点判断④；最值判断【答案】A【分析】设直线319y x =+与抛物线241y x x =+-对称轴左边的交点为P ，设抛物线顶点坐标为Q ，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出1x 的范围，根据二次函数的性质得出()23224x x +=⨯-=-，进而即可求解．【详解】解：如图所示，设直线319y x =+与抛物线241y x x =+-对称轴左边的交点为P ，设抛物线顶点坐标为Q联立231941y x y x x =+⎧⎨=+-⎩解得：54x y =-⎧⎨=⎩或431x y =⎧⎨=⎩∴()5,4P -，由()224125y x x x =+-=+-，则()2,5Q --，对称轴为直线2x =-，设123m y y y ===，则点,,A B C 在y m =上，∵123y y y ==且123x x x <<，∴A 点在P 点的左侧，即15x <-，232x x <-<，当5m =-时，23x x =对于319y x =+，当5y =-，8x =-，此时18x =-，二、多选题37．（2023·湖南·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A ．0a >B ．0c >C ．240b ac -<D ．930a b c ++=【答案】BD【分析】根据图象的开口方向可判断选项A ；根据图象与y 轴的交点位置，可判断选项B ；根据抛物线和x 轴的交点个数可判断选项C ；3x =时函数值的情况，可判断选项D ．【详解】解：A 、由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A 错误；B 、图象与y 轴的交点在原点上方，故0c >，故B 正确；C 、因为抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac ->，故C 错误．D 、当3x =时，930y a b c =++=，故D 正确；故选：BD ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．三、填空题38．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =-++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________．【答案】2【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =-++上，∴2323am am =-++，(2)0am m --=，解得：2,0m m ==(舍去)故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意求解是解题关键．39．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管长度应为____________．【答案】19【答案】178(,)55和33(5【分析】先根据题意画出图形，先求出2DEB DCB ∠=∠，而∠线的解析式5y x =-+，设a 的值，即可求出E 点坐标；当得到DBC ∠为直角三角形，要找的点，应为OC OB =点坐标．【详解】解：根据D 点坐标，有设BC 所在直线解析式为有550b k b =⎧⎨+=⎩，解得BC 当E 点在线段BC 上时，设DEB DCE CDE∠=∠+∠而2DEB DCB∠=∠∴DCE CDE∠=∠∴CE DE=因为：(,5)E a a -+，C 有22(55)a a +-+-=解得：175a =，5a -+所以E 点的坐标为:17(5当E 在CB 的延长线上时，在BDC 中，2(5BD =∴222BD BC DC +=∴BD BC⊥如图延长EB 至E '，取则有DEE ' 为等腰三角形，∴DEE DE E''∠=∠又∵2DEB DCB∠=∠∴2DE E DCB'∠=∠则E '为符合题意的点，∵5OC OB ==∴45OBC ∠=E '的横坐标：175(5+-综上E 点的坐标为：17(故答案为：178(,)55或(【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E 点的位置，是求解此题的关键．45．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线点，且3n ≥．下列四个结论：①0b <；②244ac b a -<；③当3n =时，若点(2,t ④若关于x 的一元二次方程。

2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)(可编辑修改word版)

2019 年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a、b、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按项、项、项依次排列2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的图象是一条，其定点坐标为对称轴是。

b2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0 时，开口向，当x<- 2a 时，y随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a<0 时，开b口向，当x<-2a 时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴顶点坐标2、y= ax2 +k，对称轴顶点坐标3、y=a(x-h) 2 对称轴顶点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴顶点坐标】三、二次函数图象的平移⎨⎨【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移，因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数 y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系： a:开口方向向上则 a 0,向下则 a 0 ｜a ｜越大，开口越b:对称轴位置，与 a 联系一起，用左右判断，当 b=0 时，对称轴是c:与 y 轴的交点：交点在 y 轴正半轴上，则 c 0，在 y 轴负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物线过点【名师提醒：在抛物线 y= ax 2+bx+c 中，当 x=1 时，y= 当 x=-1 时y=,经常根据对应的函数值判断 a+b+c 和 a-b+c 的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例 1 （2018•湖州）已知抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求 a ，b 的值．【思路分析】根据抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），可以求得 a 、b 的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线 y=ax 2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0）， ⎧a - b - 3＝0 ∴ ， ⎩9a + 3b - 3＝0解得， ⎧a ＝1，⎩b ＝- 2即 a 的值是 1，b 的值是-2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州）如图，函数y=ax2-2x+1 和y=ax-a（a 是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A.B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=- -2＞0，故选项正确；2aC、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=- -2＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；2aD、由一次函数y=ax-a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2-2x+1 的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2 例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线 y 1=-x 2+4x 和直线 y 2=2x ．我们规定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y 1 和 y 2，若 y 1≠y 2，取 y 1 和 y 2 中较小值为 M ；若 y 1=y 2，记 M=y 1=y 2．①当 x ＞2 时，M=y 2；②当 x ＜0 时，M 随 x 的增大而增大；③使得 M 大于4 的 x 的值不存在；④若 M=2，则 x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号）．【思路分析】①观察函数图象，可知：当 x ＞2 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方，进而可得出当 x ＞2 时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当 x ＜0 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0 时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出 M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线 y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2 时的 x 值，由此可得出：若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当 x ＞2 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方， ∴当 x ＞2 时，M=y 1，结论①错误；②当 x ＜0 时，抛物线 y 1=-x 2+4x 在直线 y 2=2x 的下方， ∴当 x ＜0 时，M=y 1，∴M 随 x 的增大而增大，结论②正确； ③∵y 1=-x 2+4x=-（x-2）2+4， ∴M 的最大值为 4，∴使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；2 2 2 ④当 M=y 1=2 时，有-x 2+4x=2，解得：x 1=2- （舍去），x 2=2+ ；当 M=y 2=2 时，有 2x=2，解得：x=1．∴若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与 a 、b 、c 的关系例 4 （2018•滨州）如图，若二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 A 、点 B （-1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c ； ②a-b+c ＜0； ③b 2-4ac ＜0；④当 y ＞0 时，-1＜x ＜3，其中正确的个数是（）A.1 B ．2 C ．3D ．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下， ∴x=1 时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为 a+b+c ，故①正确；②当x=-1 时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有 2 个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A、点B（-1，0），∴A（3，0），故当y＞0 时，-1＜x＜3，故④正确．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2-1 可以由抛物线y=x2 平移而得到，下列平移正确的是（）A.先向左平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度B.先向左平移2 个单位长度，然后向下平移1 个单位长度C.先向右平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度D.先向右平移2 个单位长度，然后向下平移1 个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2 顶点为（0，0），抛物线y=（x-2）2-1 的顶点为（2，-1），则抛物线y=x2 向右平移2 个单位，向下平移1 个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6 （2018•衢州）某游乐园有一个直径为16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 米处达到最高，高度为5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 18.米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出 a 值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 y=1.8 时 x 的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=- 1 x 2+bx+ 16，代入点（16，0）可求出 b 值，再利用配方法将二次函数表达式变 5 5 形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a （x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入 y=a （x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=- 1，5∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- 1 （x-3）2+5（0＜x ＜8）．5（2）当 y=1.8 时，有- 1（x-3）2+5=1.8，5 解得：x 1=-1，x 2=7，∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内．（3）当 x=0 时，y=- 1 （x-3）2+5= 16．5 5设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为1216，∵该函数图象过点（16，0），y=- x +bx+5 5∴12160=- ×16 +16b+ ，解得：b=3，5 5∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- 1x2+3x+16=-5 51（x- 15）2+289．5 2 20∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为289米．20【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8 时x 的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．考点六：二次函数综合题例7（2018•郴州）如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l 与x 轴的交点为D．在直线l 上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC 的面积为S．①求S 关于t 的函数表达式；⎨-9 + 3b + c ＝0 ⎨c ＝3 ②求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标．【思路分析】（1）由点 A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接 PC ，交抛物线对称轴 l 于点 E ，由点 A 、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在点 M ，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据点 C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P 、M 的坐标；当 t≠2 时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合 CE≠PE 可得出此时不存在符合题意的点 M ；（3） ①过点 P 作 PF ∥y 轴，交 BC 于点 F ，由点 B 、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，根据点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表达式；②利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将 A （-1，0）、B （3，0）代入 y=-x 2+bx+c ，⎧-1- b + c ＝0⎩，解得： ⎧b ＝2， ⎩∴抛物线的表达式为 y=-x 2+2x+3．（2）在图 1 中，连接PC，交抛物线对称轴l 于点E，∵抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2 时，点C、P 关于直线l 对称，此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，∴点 C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（2，3），∴点M 的坐标为（1，6）；当t≠2 时，不存在，理由如下：若四边形CDPM 是平行四边形，则CE=PE，∵点 C 的横坐标为0，点 E 的横坐标为0，∴点P 的横坐标t=1×2-0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2 中，2⎩ ⎩过点 P 作 PF ∥y 轴，交 BC 于点 F ．设直线 BC 的解析式为 y=mx+n （m≠0），⎧3m + n ＝0⎧m ＝-1 将 B （3，0）、C （0，3）代入 y=mx+n ， ⎨n ＝3 ，解得： ⎨n ＝3 ，∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3． ∵点 P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3）， ∴点 F 的坐标为（t ，-t+3），∴PF=-t 2+2t+3-（-t+3）=-t 2+3t ，∴ S = 1 PF • OB = - 3 t 2 + 9 t = - 3 t - 3 2 + 27 ．（）2 2 2 2 2 83②∵ - ＜0 ，2∴当t = 32 27时，S 取最大值，最大值为．8∵点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3），∴线段 BC= =3 ，227 ⨯ 2∴P 点到直线 BC 的距离的最大值为 8 =3 8 ，此时点 P 的坐标为（ 3 15，2 4）．OB 2+ OC 29 20 【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出 S 关于 t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出 P 点到直线BC 的距离的最大值．【备考真题过关】一、选择题1. （2018•长沙）若对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点P （x 0-3，x 2-16），则符合条件的点P （）A. 有且只有 1 个B. 有且只有 2 个C. 有且只有 3 个D ．有无穷多个2. （2018•河北）对于题目“一段抛物线 L ：y=-x （x-3）+c （0≤x≤3）与直线 l ：y=x+2有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c=1，乙的结果是 c=3或 4，则（）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确3. （2018•青岛）已知一次函数 by= x+c a 的图象如图，则二次函数 y=ax 2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4. （2018•临安区）抛物线y=3（x-1）2+1 的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）5.（2018•上海）下列对二次函数y=x2-x 的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y 轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的6.（2018•成都）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（）A.图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y 轴的右侧C.当x＜0 时，y 的值随x 值的增大而减小D．y 的最小值为-37.（2018•宁波）如图，二次函数y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P 的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b 的图象大致是（）A．B．C．D．8.（2018•白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤ 当-1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤9.（2018•凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A.4a+b=0B.a+b＞0C．a：c=-1：5D．当-1≤x≤5 时，y＞010.（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2-4ac＞0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a-2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3C．4 D．511. （2018•阜新）如图，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点（-1，0）和（4，0），那么下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2-4ac＜0C．对称轴是直线x=2.5D．b＞012．（2018•哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1 向左平移1 个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=-5（x+1）2-1 B．y=-5（x-1）2-1C．y=-5（x+1）2+3 D．y=-5（x-1）2+313．（2018•曲靖一模）抛物线y=2（x+3）2向右平移2 个单位后，得到抛物线y=2（x-h）2，则h 为（）A．-1 B．1C．-5 D．514．（2018•潍坊）已知二次函数y=-（x-h）2（h 为常数），当自变量x 的值满足2≤x≤5 时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为（）A．3 或6 B．1 或6C．1 或3 D．4 或615．（2018•黄冈）当a≤x≤a+1 时，函数y=x2-2x+1 的最小值为1，则a 的值为（）A．-1 B．2C．0 或2 D．-1 或2二、填空题16．（2018•广州）已知二次函数y=x2，当x＞0 时，y 随x 的增大而（填“增大”或“减小”）．17．（2018•哈尔滨）抛物线y=2（x+2）2+4 的顶点坐标为．18.（2018•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有．①abc＞0②方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1=-1，x2=3③2a+b=0④当x＞0 时，y 随x 的增大而减小19.（2018•乌鲁木齐）把拋物线y=2x2-4x+3 向左平移1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为．20.（2018•淮安）将二次函数y=x2-1 的图象向上平移3 个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．21.（2018•自贡）若函数y=x2+2x-m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为．22.（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx 交x 轴的负半轴于点A．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C 的长为．23．（2018•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A ．点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A′恰好落在抛物线上．过点 A′作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C ．若点 A′的横坐标为 1，则 A′C 的长为．24．（2018•淄博）已知抛物线 y=x 2+2x-3 与 x 轴交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），将这条抛物线向右平移 m （m ＞0）个单位，平移后的抛物线于 x 轴交于 C ，D 两点（点 C 在点 D 的左侧），若 B ，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为．三、解答题25．（2018•宁波）已知抛物线 y=- 1x 2+bx+c 经过点（1，0），（0 32 （1）求该抛物线的函数表达式；，）．2（2）将抛物线 1 2平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的 y=- x +bx+c2方法及平移后的函数表达式．26．（2018•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A ，B ，抛物线 y=ax 2+bx-3a 经过点 A ，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C ．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．27．（2018•十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80 间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60 元且不超过150 元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20 元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？28．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．29．（2018•葫芦岛）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3 元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80 元．销售单价x（元） 3.5 5.5销售量y（袋）280120（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果每天获得160 元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？30. （2018•德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1 与抛物线y=-x2+bx+c 交于A、B 两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y 轴交于点C，与x 轴交于另一点D．（1）求m、n 的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P 为线段AD 上的一动点（不与A、D 重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD 上是否存在点Q，使得以A、D、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．0 00 0 0 2019 年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质参考答案【备考真题过关】一、选择题1. 【思路分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点 P （x 0-3，x 2-16），即可求得点 P 的坐标，从而可以解答本题．【解答】解：∵对于任意非零实数 a ，抛物线 y=ax 2+ax-2a 总不经过点 P （x 0-3，x 2- 16），∴x 2-16≠a （x -3）2+a （x -3）-2a∴（x 0-4）（x 0+4）≠a （x 0-1）（x 0-4）∴（x 0+4）≠a （x 0-1）∴x 0=-4 或 x 0=1，∴点 P 的坐标为（-7，0）或（-2，-15）故选：B ．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2. 【思路分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=-4+4c=0，求出 c ，再根据 x 的范围判定即可．【解答】解：把 y=x+2 代入 y=-x （x-3）+c 得：x+2=-x （x-3）+c ，即 x 2-2x+2-c=0，所以△=（-2）2-4×1×（2-c ）=-4+4c=0，解得：c=1，当 c=1 时，y=-x 2+3x+1，当 0≤x≤3 时，抛物线和直线 y=x+2 没有交点，即甲、乙都错误；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x 的一元二次方程是解此题的关键．3.b0、c＞0，由此即【思路分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出＜a可得出：二次函数y=ax2+bx+c 的图象对称轴x=- b2a＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．b【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c＞0，a∴二次函数y=ax2+bx+c 的图象对称轴x=- b 2a故选：A．＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经b过的象限，找出＜0、c＞0 是解题的关键．a4.【思路分析】已知抛物线顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y=3（x-1）2+1 是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．5.【思路分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A 不正确；B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x= 1，选项B 不正确；2C、代入x=0 求出y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项C 正确；D、由a=1＞0 及抛物线对称轴为直线x= 1，利用二次函数的性质，可得出当x＞21时，y 随x 值的增大而增大，选项 D 不正确．2综上即可得出结论．【解答】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项 A 不正确；B 、∵ - b = 1 ，2a 2∴抛物线的对称轴为直线 x= 1 ，选项 B 不正确；2C 、当 x=0 时，y=x 2-x=0，∴抛物线经过原点，选项 C 正确；D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线 x= 1 ，2 ∴当 x 1 y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确．＞时， 2故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．6. 【思路分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=2x 2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当 x=0 时，y=-1，故选项 A 错误，该函数的对称轴是直线 x=-1，故选项 B 错误，当 x ＜-1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误，当 x=-1 时，y 取得最小值，此时 y=-3，故选项 D 正确，故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7. 【思路分析】根据二次函数的图象可以判断 a 、b 、a-b 的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当 x=-1 时，y=a-b ＜0，∴y=（a-b）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．8.【思路分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称轴判定b 与0 的关系以及2a+b=0；当x=-1 时，y=a-b+c；然后由图象确定当x 取何值时，y＞0．【解答】解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，故正确；b②∵对称轴x =-=1，2a∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵当x=-1 时，y=a-b+c＜0，∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1 时，有最大值；当m≠1 时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当-1＜x＜3 时，y 不只是大于0．故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c）．9.【思路分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由对称轴x=2 可知，− b=2，2a∴4a+b=0，故 A 正确；（B）令x=0，y=c，令x=1，y=a+b+c，∴a+b+c＞c，即a+b＞0，故 B 正确；（C）由A 选项可知：b=-4a令x=-1，所以a-b+c=0，∴a+4a+c=0，∴c=-5a，故 C 正确；（D）由图可知：抛物线过（-1，0），对称轴为x=2，故抛物线过（5，0）∴当-1≤x≤5 时，y≥0，故 D 错误故选：D．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10.【思路分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），b∴-=-1，a+b+c=0，2a∴b=2a，c=-3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x 轴有交点，∴b2-4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x 轴交于（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确，∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，-1.5＞-2，则y1＜y2；故④错误，∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【思路分析】直接利用二次函数图象与系数的关系进而分析得出答案．【解答】解：A、∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交在正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，故此选项错误；B、∵抛物线与x 轴有2 个交点，∴b2-4ac＞0，故此选项错误；C、∵抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点（-1，0）和（4，0），∴对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；D、∵a＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，∴a，b 异号，∴b＞0，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握各项符号判断方法是解题关键．12.【思路分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．【解答】解：将抛物线y=-5x2+1 向左平移1 个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2 个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．13.【思路分析】根据平移的性质“左加右减”，即可得出关于h 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：根据题意得：3-2=-h，解得：h=-1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变化，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键．14.【思路分析】分h＜2、2≤h≤5 和h＞5 三种情况考虑：当h＜2 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5 时，由此时函数的最大值为0 与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5 时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：如图：当h＜2 时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5 时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5 时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h 的值为1 或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5 和h＞5 三种情况求出h 值是解题的关键．15.【思路分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1 时x 的值，结合当a≤x≤a+1 时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y=1 时，有x2-2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1 时，函数有最小值1，∴a=2 或a+1=0，∴a=2 或a=-1，故选：D．。

(完整版)中考数学一轮复习-二次函数的图像和性质(含答案),推荐文档

1、二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式
2、在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向，当x< 时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，
②、当a<0时，开口向当x< 时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
注意2：注意几个特殊形式的抛物线的特点
a:开口方向向上则a0,向下则a0；｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2= （0-3）2+1= ，故y2-y1= ，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）

人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

2021年中考复习数学专题训练：二次函数的图象及性质(含答案)

2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质一、选择题1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是()A. (3，1)B. (3，－1)C. (－3，1)D. (－3，－1)3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上的两点，则x1<x2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．54. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.25. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a ＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④6. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x–m)2–m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当–1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是A．①B．②C．③D．④7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．18. （2020·湖北孝感）将抛物线：y =-2x +3向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x 轴对称，则抛物线的解析式为( ) A.y =--2 B.y =-+2 C.y =-2 D.y =+2二、填空题9. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.10. 如图所示，抛物线y ＝ax 2－3x ＋a 2－1经过原点，那么a 的值是________．11. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．12. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，=-．则M、N的大小关系为M__________N．(填“>”、“=”或“<”)N a b13. 如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x 轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题15. 已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的解析式．16. 把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图5－ZT －4所示的二次函数的图象．(1)求此二次函数的解析式；(2)在平移后的抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．17. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.18. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性质-答案一、选择题1. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.2. 【答案】A【解析】∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是(3，1)．3. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．4. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.5. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a ＋b －c<0，故③错误．④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ，由图可得，当x ＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x ＝－1，所以由对称性可知，当x ＝1时，y<0，即a ＋b ＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.6. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=1m m -x2=1m m - 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确，故选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>.0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】A【解析】利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线得解析式：y =-2(x +1)+3，整理得y =+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y =--2.故选A. 二、填空题9. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).10. 【答案】－1 [解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.11. 【答案】3212. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．13. 【答案】2[解析]当y=0时，-x 2+x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-x 2+x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-x 2+x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)，将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得解得∴直线AD 的解析式为y=x +1.当x=0时，y=x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-x 2+x +2=1，解得x 1=1-，x 2=1+， ∴点P 的坐标为(1-，1)，点Q 的坐标为(1+，1)，∴PQ=1+-(1-)=2.14. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题15. 【答案】解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A(1，0)，∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x －3)．把(0，3)代入解析式，得3＝3a ，∴a ＝1，∴y ＝(x －1)(x －3)，即该抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.16. 【答案】解：(1)此二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点M 的坐标为(m ，n)．∵△ABM 的面积为20，∴12AB·|n|＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m2＋2m －3＝10，解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，∴点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)；当n ＝－10时，m2＋2m －3＝－10，此方程无解．故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．17. 【答案】解:(1)D(-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)，根据题意，得解得∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.18. 【答案】（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,42 1.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得32a=-，72b=，0c=．所以23722y x x=-+．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－y M′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12y x=，设点P的坐标为1(,)2x x，那么237(,)22M x x x-+．解方程23712()222x x x--+=，得123x=，22x=．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2 图3（3）如图3，△AOB 与△COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作EK ⊥OD 于K ．设点A ′移动的水平距离为m ，那么OG ＝1＋m ，GB ′＝m ．在Rt △OFG 中，11(1)22FG OG m ==+．所以21(1)4OFG S m ∆=+．在Rt △A ′HG 中，A ′G ＝2－m ，所以111'(2)1222HG A G m m ==-=-．所以13(1)(1)22OH OG HG m m m =-=+--=．在Rt △OEK 中，OK ＝2 EK ；在Rt △EHK 中，EK ＝2HK ；所以OK ＝4HK ．因此4432332OK OH m m ==⨯=．所以12EK OK m ==．所以211332224OEH S OH EK m m m ∆=⋅=⨯⋅=．于是22213111(1)44224OFG OEH S S S m m m m ∆∆=-=+-=-++2113()228m =--+．因为0＜m ＜1，所以当12m =时，S 取得最大值，最大值为38．。

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题1 二次函数的图象与性质(一)(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y=−12x2+24xC．y=−12x2+25x D．y=−12x2+26x【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y=−12x2+26x（2≤x＜52）B．y=−12x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y=−12x2+27x﹣52（2≤x＜52）【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．答案及解析专题1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型还需使实际问题有意义．【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：①y＝3−√3x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a ≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析可得答案．【解答】解：是关于x的二次函数的有①③故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【分析】根据二次函数的定义可得答案．【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；故答案为：①②③．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，∴|a2+1|＝2且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，解得：k＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；D、常数项是20000，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，化成二次函数的一般式是解题关键．【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数的定义以及各项系数，掌握a，b，c的确定是解题的关键．（1）理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；（2）分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；（3）列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），∴每星期售出商品的利润y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式．【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．故选：D．【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键．【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x≤140，（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x≤140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则{y=260−x(50≤x≤80)y=420−3x(80＜x＜140)；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550进而得出答案；（2）前100件单价为P ，当进货件数大于等于550件时，P ＝51，则当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x50得到P 为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，表示出L 与x 的函数关系式，然后令x ＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550，根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．故答案为：≥550；（2）当0＜x ≤100时，P ＝60当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x 50当x ≥550时，P ＝51所以P ={60(0＜x ≤100)62−x 50(100＜x ＜550)51(550≤x)；（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝（P ﹣40）x ={20x(0＜x ≤100)22x −x 250(100＜x ＜500)当x ＝500时，L ＝22×500−500250=6000（元）；当x ＝1000时，L ＝（51﹣40）×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m 宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m ．设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．y ＝﹣x 2+50xB ．y =−12x 2+24xC ．y =−12x 2+25xD ．y =−12x 2+26x【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．【解答】解：设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是：y ＝x •12（50+2﹣x ）=−12x 2+26x ．故选：D ．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（）A ．y =−12x 2+26x （2≤x ＜52） B ．y =−12x 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．y =−12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．【解答】解：y关于x的函数表达式为：y=12（50+2﹣x）x=−12x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案．【解答】解：由题意可得：S＝（16+x）•40−x−16−x2＝（16+x）（12﹣x）＝﹣x2﹣4x+192．故答案为：S＝﹣x2﹣4x+192．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S=12ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S=25−c2 4．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．【解答】解：如图所示，∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0＜t≤3），即S=12t2（0＜t≤3）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，∴y=1810x2+52，故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．【分析】设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．【解答】解：设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，∴y＝AE•AF＝（4﹣x）（4+x）＝16﹣x2．故答案为：y＝16﹣x2（0≤x＜4）．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出y关于x的函数关系式是解题的关键．。

中考数学专题14 二次函数的图象和性质(解析版)

第三篇函数专题14二次函数的图象和性质知　识　点名师点晴1．二次函数的概念会判断一个函数是否为二次函数．2．二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线．3．二次函数的性质会按在对称轴左右判断增减性．二次函数概念、图象和性质4．二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式．二次函数与二次方程的关系 5．判别式、抛物线与x 轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．会用数形结合思想解决此类问题．能根据图象信息，解决相应的问题．归纳 1：二次函数中各系数a 、b 、c 的几何意义基础知识归纳： a 决定开口方向，a ＞0开口向上，a ＜0开口向下，ab 乘积决定对称轴的位置（左同右异）， c 决定与y 轴的交点位置．基本方法归纳：根据a 、b 、c 的符号逐步分析判断．注意问题归纳：当只有ac 或者bc 时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．【例1】（2019辽宁省沈阳市，第10题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b=0【答案】D．【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，函数与x轴有两个不同的交点，当x=﹣1时，y＞0．【详解】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，∴b=﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b=﹣2a，D正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．考点：二次函数图象与系数的关系．归纳2：二次函数图象与几何变换基础知识归纳：二次函数的平移．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化．注意问题归纳：平移规律是“左加右减，上加下减．【例2】（2019黑龙江省哈尔滨市，第6题，3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x﹣2）2﹣3 D．y=2（x+2）2﹣3【答案】B．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣2）2+3．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．线动型．归纳3：二次函数图象性质的综合应用基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与其他函数图象交点，与三角形和四边形的综合，面积问题．基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2019广安，第26题，10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =﹣x 2+3x +4，y =﹣x ﹣1；（2）18；（3）点M 的坐标为：（2，﹣323）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．【分析】（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）PE +PF =2PF =2（﹣x 2+3x +4+x +1）=﹣2（x ﹣2）2+18，即可求解；（3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【详解】（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l 的表达式056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩11k n =-⎧⎨=-⎩为：y =﹣x ﹣1，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；（2）直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即：则PE =PE ，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点F （x ，﹣x ﹣1），PE +PF =2PF =2（﹣x 2+3x +4+x +1）=﹣2（x ﹣2）2+18．∵﹣2＜0，故PE +PF 有最大值，当x =2时，其最大值为18；（3）NC =5，分两种情况讨论：①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点M （x ，﹣x ﹣1），由题意得：|y M ﹣y P |=5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|=5，解得：x =2或0或4（舍去0），则点M 坐标为（2，﹣323）或（4，﹣5）；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为（0，），设点P 坐标为（m ，﹣m 2+3m +4）、则32点M （n ，﹣n ﹣1），N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，即：0，，解得：n =0或﹣4（舍去0），故点M （﹣4，3）；2m n +=2334122m m n -++--=故点M 的坐标为：（2，﹣323）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．探究型；6．存在型；7．分类讨论；8．压轴题．【2019年题组】一、选择题1．（2019衢州，第6题，3分）二次函数y =（x ﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3）【答案】A ．【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】∵y =（x ﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3）．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x ﹣h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．考点：二次函数的性质．2．（2019湖北省咸宁市，第7题，3分）已知点A （﹣1，m ），B （1，m ），C （2，m ﹣n ）（n ＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A ．y =x B ．y C ．y =x 2 D ．y =﹣x 22x=-【答案】D ．【分析】由点A （﹣1，m ），B （1，m ）的坐标特点，可知函数图象关于y 轴对称，于是排除选项A 、B ；再根据B （1，m ），C （2，m ﹣n ）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，故D 选项正确．【详解】∵A （﹣1，m ），B （1，m ），∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x ，y 的图象关于原点对称，因此选项A 、B 错误；2x=-∵n ＞0，∴m ﹣n ＜m ；由B （1，m ），C （2，m ﹣n ）可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象上点的坐标特征．3．（2019辽宁省沈阳市，第10题，2分）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．abc ＜0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．a ﹣b +c ＜0D ．2a +b =0【答案】D ．【分析】由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x =1，函数与x 轴有两个不同的交点，当x =﹣1时，y ＞0．【详解】由图可知a ＞0，与y 轴的交点c ＜0，对称轴x =1，∴b =﹣2a ＜0；∴abc ＞0，A 错误；由图象可知，函数与x 轴有两个不同的交点，∴△＞0，B 错误；当x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞0，C 错误；∵b =﹣2a ，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a ，b ，c ，△，对称轴之间的关系是解题的关键．考点：二次函数图象与系数的关系．4．（2019辽宁省葫芦岛市，第8题，3分）二次函数y =ax 2+bx 的图象如图所示，则一次函数y =ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ． D ．【答案】D ．【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】由二次函数图象，得出a ＜0，0，b ＜0，A 、一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故A 错误；2ba＜B ．一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故B 错误；C ．一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故C 错误；D ．一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y =kx +b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．考点：1．一次函数的图象；2．二次函数的图象．5．（2019重庆，第5题，4分）抛物线y =﹣3x 2+6x +2的对称轴是（）A ．直线x =2B ．直线x =﹣2C ．直线x =1D ．直线x =﹣1【答案】C ．【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】∵y =﹣3x 2+6x +2=﹣3（x ﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x =1．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线y =a （x ﹣h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x =h ．考点：二次函数的性质．6．（2019陕西，第10题，3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y =x 2+（2m ﹣1）x +2m ﹣4与y =x 2﹣（3m +n ）x +n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为（）A ．m ，n B ．m =5，n =﹣657=187=-C ．m =﹣1，n =6 D ．m =1，n =﹣2【答案】D ．【分析】根据关于y 轴对称，a ，c 不变，b 变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【详解】∵抛物线y =x 2+（2m ﹣1）x +2m ﹣4与y =x 2﹣（3m +n ）x +n 关于y 轴对称，∴，21324m m nm n-=+⎧⎨-=⎩解之得．12m n =⎧⎨=-⎩故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键．考点：二次函数图象与几何变换．7．（2019黑龙江省哈尔滨市，第6题，3分）将抛物线y =2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A ．y =2（x +2）2+3B ．y =2（x ﹣2）2+3C ．y =2（x ﹣2）2﹣3D ．y =2（x +2）2﹣3【答案】B ．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y =2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y =2（x ﹣2）2+3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．线动型．8．（2019黑龙江省齐齐哈尔市，第10题，3分）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ，结合图象分析下列结论：12=-①abc ＞0；②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2+bx +a =0的两根分别为x 1，x 2；13=-12=⑤0；244b aca-＜⑥若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3=0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，其中正确的结论有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C ．【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ，∴抛物线12=-y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a =b 由图象知：a ＜0，c ＞0，b ＜0，∴abc ＞0故结论①正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），∴9a ﹣3b +c =0∵a =b ，∴c =﹣6a ，∴3a +c =﹣3a ＞0故结论②正确；∵当x 时，y 随x 的增大而增大；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴结论③错误；12-＜12-＜∵cx 2+bx +a =0，c ＞0，∴x 2x +1=0c a ba+∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴ax 2+bx +c =0的两根是﹣3和2，∴1，6，∴x 2x +1=0即为：﹣6x 2+x +1=0，解得x 1，x 2；b a =c a =-c a b a +13=-12=故结论④正确；∵当x 时，y 0，∴012=-244ac b a -=＞244b ac a -＜故结论⑤正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y =ax 2+bx +c =a （x +3）（x ﹣2）∵m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3=0的两个根，∴m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）=﹣3的两个根，∴m ，n （m ＜n ）为函数y =a （x +3）（x ﹣2）与直线y =﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m ＜﹣3且n ＞2故结论⑥成立．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．考点：1．根与系数的关系；2．二次函数图象与系数的关系；3．抛物线与x 轴的交点；4．综合题．9．（2019湖北省鄂州市，第9题，3分）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x =1．下列结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③（a +c ）2﹣b 2＜0；④a +b ≤m （am +b ）（m 为实数）．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【分析】①由抛物线开口方向得到a ＞0，对称轴在y 轴右侧，得到a 与b 异号，又抛物线与y 轴正半轴相交，得到c ＜0，可得出abc ＞0，选项①错误；②把b =﹣2a 代入a ﹣b +c ＞0中得3a +c ＞0，所以②正确；③由x =1时对应的函数值y ＜0，可得出a +b +c ＜0，得到a +c ＜﹣b ，x =﹣1时，y ＞0，可得出a ﹣b +c ＞0，得到|a +c |＜|b |，即可得到（a +c ）2﹣b 2＜0，选项③正确；④由对称轴为直线x =1，即x =1时，y 有最小值，可得结论，即可得到④正确．【详解】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，①错误；②当x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞0．∵，∴b =﹣2a ，把b =﹣2a 代入a ﹣b +c ＞0中得3a +c ＞0，所以②正确；12ba-=③当x =1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴a +c ＜﹣b ，当x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＜0，∴a +c ＞b ，∴|a +c |＜|b |，∴（a +c ）2＜b 2，即（a +c ）2﹣b 2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴x =1时，函数的最小值为a +b +c ，∴a +b +c ≤am 2+mb +c ，即a +b ≤m （am +b ），所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．考点：二次函数图象与系数的关系．10．（2019湖北省随州市，第10题，3分）如图所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC ，对称轴为直线x =1，则下列结论：①abc ＜0；②a b c =0；③12+14+ac +b +1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【分析】①由抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线的对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，则可对①进行判断；②根据对称轴是直线x =1，可得b =﹣2a ，代入a b c ，可对②进行判断；12+14+③利用OA =OC 可得到A （﹣c ，0），再把A （﹣c ，0）代入y =ax 2+bx +c 即可对③作出判断；④根据抛物线的对称性得到B 点的坐标，即可对④作出判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x 1，∴b =﹣2a ＞0．2ba=-=∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；∵b =﹣2a ，∴a b =a ﹣a =0．12+∵c ＞0，∴a b c ＞0，所以②错误；12+14+∵C （0，c ），OA =OC ，∴A （﹣c ，0），把A （﹣c ，0）代入y =ax 2+bx +c 得ac 2﹣bc +c =0，∴ac ﹣b +1=0，所以③错误；∵A （﹣c ，0），对称轴为直线x =1，∴B （2+c ，0），∴2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．抛物线与x 轴的交点；4．综合题．11．（2019内蒙古通辽市，第10题，3分）在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c =0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数）；⑤4ac ﹣b 2＜0．其中错误结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A ．【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知：a ＞0，c ＜0，对称轴x 0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；2ba=-＜②由对称轴可知：1，∴b =2a ．2ba-=-∵x =1时，y =a +b +c =0，∴c +3a =0，∴c +2a =﹣3a +2a =﹣a ＜0，故②正确；③（1，0）关于x =﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x =﹣3时，y =9a ﹣3b +c =0，故③正确；④当x =﹣1时，y 的最小值为a ﹣b +c ，∴x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴am 2+bm +c ≥a ﹣b +c ，即a ﹣b ≤m （am +b ），故④错误；⑤抛物线与x 轴有两个交点，∴△＞0，即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确．故选A ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．考点：二次函数图象与系数的关系．12．（2019辽宁省大连市，第10题，3分）如图，抛物线y x 2x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与14=-12+y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ．AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为（）A B ．C D ．【答案】B ．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B ，C ，D 的坐标，由点A ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P ，Q 的坐标，进而可求出线段PQ 的长．【详解】当y =0时，x 2x +2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=4，∴点A 的坐标为（﹣2，0）；14-12+当x =0时，y x 2x +2=2，∴点C 的坐标为（0，2）；14=-12+当y =2时，x 2x +2=2，解得：x 1=0，x 2=2，∴点D 的坐标为（2，2）．14-12+设直线AD 的解析式为y =kx +b （k ≠0），将A （﹣2，0），D （2，2）代入y =kx +b ，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y x +1．2022k b k b -+=⎧⎨+=⎩121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12=当x =0时，y x +1=1，∴点E 的坐标为（0，1）．12=当y =1时，x 2x +2=1，解得：x 1=1，x 2=1P 的坐标为（11），点Q 的坐标14-12+为（11），∴PQ=1（1故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P ，Q 的坐标是解题的关键．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．抛物线与x 轴的交点；3．压轴题；4．（2019内蒙古包头市，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A （﹣3，﹣2），B （0，﹣2），C （﹣3，0），M 是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN ⊥MC 交y 轴于点N ，若点M 、N 在直线y =kx +b 上，则b 的最大值是（）A ．B ．C ．﹣1D ．078-34-【答案】A ．【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y =kx +b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，∴∠A =∠ABO =90°．又∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∴∠AMC =∠MNB ，∴△AMC ∽△NBM ，∴，设BN =y ，AC AMMB BN=AM =x ．则MB =3﹣x ，ON =2﹣y ，∴，即：y x 2x ，∴当x 23x x y =-12=-32+33212222b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，y 最大（）2．12=-⨯32339228+⨯=∵直线y =kx +b 与y 轴交于N （0，b ）当BN 最大，此时ON 最小，点N （0，b ）越往上，b 的值最大，∴ON =OB ﹣BN =2，此时，N 9788-=（0，）78-b 的最大值为．78-故选A ．【点睛】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．考点：1．一次函数的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．动点型；4．二次函数的最值；5．最值问题；6．压轴题．13．（2019四川省南充市，第10题，3分）抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（12，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（2n ，y 2）在该抛物线上，当n 时，则y 1＜y 2；②关于32-12＜x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0无实数解，那么（）A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确 D ．①错误，②错误【答案】A ．【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【详解】①∵顶点坐标为（，m ），n ，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x 的对称点为（1﹣1212＜12=n ，y 1），∴点（1﹣n ，y 1）与（2n ，y 2）在该抛物线上．32-∵（1﹣n ）﹣（2n ）=n 0，∴1﹣n 2n ．32-12-＜32-＜∵a ＞0，∴当x 时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；12＞②把（，m ）代入y =ax 2+bx +c 中，得m a b +c ，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0中，△=b 2﹣1214=12+4ac +4am ﹣4a =b 2﹣4ac +4a （a b +c ）﹣4a =（a +b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1=0无1412+实数解，故此小题正确．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．考点：1．根的判别式；2．二次函数的性质；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．抛物线与x 轴的交点．14．（2019四川省资阳市，第10题，4分）如图是函数y =x 2﹣2x ﹣3（0≤x ≤4）的图象，直线l ∥x 轴且过点（0，m ），将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（）A ．m ≥1B ．m ≤0C ．0≤m ≤1D ．m ≥1或m ≤0【答案】C ．【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的m 的值，则m 的范围可知．【详解】如图1所示，当t 等于0时．∵y =（x ﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x =0时，y =﹣3，∴A （0，﹣3），当x =4时，y =5，∴C （4，5），∴当m =0时，D （4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m =1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m ≤1．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题的关键．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．动线型；3．二次函数的最值；4．最值问题．15．（2019莱芜区，第11题，3分）将二次函数y =x 2﹣5x ﹣6在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y =2x +b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为（）A ．或﹣12 B ．或2 C ．﹣12或2 D ．或﹣12734-734-694-【答案】A ．【分析】如图所示，过点B 作直线y =2x +b ，将直线向下平移到恰在点C 处相切，则一次函数y =2x +b 在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．【详解】如图所示，过点B 的直线y =2x +b 与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点．令y =x 2﹣5x ﹣6=0，解得：x =﹣1或6，即点B 坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x 2﹣5x ﹣6=2x +b ，整理得：x 2﹣7x ﹣6﹣b =0，△=49+4（﹣6﹣b ）=0，解得：b ，当一次函数过点B 时，734=-将点B 坐标代入：y =2x +b 得：0=12+b ，解得：b =﹣12．综上，直线y =2x +b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为﹣12或．734-故选A ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．考点：1．一次函数的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．二次函数图象与几何变换；5．抛物线与x 轴的交点；6．线动型．16．（2019广西梧州市，第12题，3分）已知m ＞0，关于x 的一元二次方程（x +1）（x ﹣2）﹣m =0的解为x 1，x 2（x 1＜x 2），则下列结论正确的是（）A ．x 1＜﹣1＜2＜x 2B ．﹣1＜x 1＜2＜x 2C ．﹣1＜x 1＜x 2＜2D ．x 1＜﹣1＜x 2＜2【答案】A ．【分析】可以将关于x 的方程（x +1）（x ﹣2）﹣m =0的解为x 1，x 2看作是二次函数m =（x +1）（x ﹣2）与x 轴交点的横坐标，而与x 轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得：即可以求出x 1与x 2，当函数值m ＞0时，就是抛物线位于x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围，再根据x 1＜x 2，做出判断．【详解】关于x 的一元二次方程（x +1）（x ﹣2）﹣m =0的解为x 1，x 2，可以看作二次函数m =（x +1）（x ﹣2）与x 轴交点的横坐标．∵二次函数m =（x +1）（x ﹣2）与x 轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m ＞0时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时x ＜﹣1，或x ＞2；又∵x 1＜x 2，∴x 1=﹣1，x 2=2，∴x 1＜﹣1＜2＜x 2．故选A ．【点睛】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x 的方程（x +1）（x ﹣2）﹣m =0的解为x 1，x 2的问题转化为二次函数m =（x +1）（x ﹣2）与x 轴交点的横坐标，借助图象得出答案．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．抛物线与x 轴的交点．二、填空题17．（2019江苏省徐州市，第17题，3分）已知二次函数的图象经过点P （2，2），顶点为O （0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为．【答案】y （x ﹣4）2．12=【分析】设原来的抛物线解析式为：y =ax 2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P 的坐标代入即可．【详解】设原来的抛物线解析式为：y =ax 2（a ≠0）．把P （2，2）代入，得2=4a ，解得a ．12=故原来的抛物线解析式是：y x 2．12=设平移后的抛物线解析式为：y （x ﹣b ）2．12=把P （2，2）代入，得2（2﹣b ）2．12=解得b =0（舍去）或b =4．所以平移后抛物线的解析式是：y （x ﹣4）2．12=故答案为：y （x ﹣4）2．12=【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象与几何变换；4．动线型．18．（2019江苏省无锡市，第14题，2分）某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个符合题意的答案即可）．【答案】y =x 2（答案不唯一）．【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．【详解】y =x 2中开口向上，对称轴为x =0，当x ＞0时y 随着x 的增大而增大．故答案为：y =x 2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．考点：1．一次函数的性质；2．正比例函数的性质；3．反比例函数的性质；4．二次函数的性质．19．（2019江苏省镇江市，第12题，2分）已知抛物线y =ax 2+4ax +4a +1（a ≠0）过点A （m ，3），B （n ，3）两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a +1的最小值是．【答案】．74【分析】根据题意得4a +1≥3，解不等式求得a ，把x 代入代数式即可求得．12≥12=【详解】∵抛物线y =ax 2+4ax +4a +1=a （x +2）2+1（a ≠0），∴顶点为（﹣2，1），过点A （m ，3），B （n ，3）两点，∴a ＞0，∴对称轴为直线x =﹣2，线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ，∴a 2+a +1的最12≥小值为：（）21．1212++74=故答案为：．74【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a +1≥3是解题的关键．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数的最值；4．最值问题．20．（2019浙江省台州市，第16题，5分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A ，B ，C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC =90°，BD =4，且，则m +n 的最大值为．23m n =【答案】．253【分析】过B 作BE ⊥l 1于E ，延长EB 交l 3于F ，过A 作AN ⊥l 2于N ，过C 作CM ⊥l 2于M ，设AE =x ，CF =y ，BN =x ，BM =y ，得到DM =y ﹣4，DN =4﹣x ，根据相似三角形的性质得到xy =mn ，y x +10，由32=-，得到n m ，于是得到（m +n ）最大m ，然后根据二次函数的性质即可得到结论．23m n =32=52=【详解】过B 作BE ⊥l 1于E ，延长EB 交l 3于F ，过A 作AN ⊥l 2于N ，过C 作CM ⊥l 2于M ，设AE =x ，CF =y ，BN =x ，BM =y ．∵BD =4，∴DM =y ﹣4，DN =4﹣x ．∵∠ABC =∠AEB =∠BFC =∠CMD =∠AND =90°，∴∠EAB +∠ABE =∠ABE +∠CBF =90°，∴∠EAB =∠CBF ，∴△ABE ∽△BFC ，∴，即，∴xy =mn ．AE BEBF CF=x m n y =∵∠ADN =∠CDM ，∴△CMD ∽△AND ，∴，即，∴y x +10．AN DN CM DM =4243m x n y -==-32=-∵，∴n m ，∴（m +n ）最大m ，∴当m 最大时，（m +n ）最大m ．23m n =32=52=52=∵mn =xy =x （x +10）x 2+10x m 2，∴当x 时，mn 最大m 2，∴m 最大32-32=-32=10103322=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭50332==，∴m+n 的最大值为．103=51025233⨯=故答案为：．253【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．综合题．21．（2019湖北省武汉市，第15题，3分）抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2+c =b ﹣bx 的解是．【答案】x 1=﹣2，x 2=5．【分析】由于抛物线y =ax 2+bx +c 沿x 轴向右平移1个单位得到y =a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ，从而得到抛物线y =a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c 与x 轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），然后根据抛物线与x 轴的交点问题得到一元二方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c =0的解．【详解】关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2+c =b ﹣bx 变形为a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c =0，把抛物线y =ax 2+bx +c 沿x 轴向右平移1个单位得到y =a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ，因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0），所以抛物线y =a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c 与x 轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），所以一元二方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c =0的解为x 1=﹣2，x 2=5．。

中考数学复习计划专题训练——二次函数图像及性质

2021 年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质考点 1：二次函数的极点、对称轴、增减性1.关于二次函数y=2x2+4x-1，以下说法正确的选项是 ()A.图像与 y 轴的交点坐标为〔 0，1〕B.图像的对称轴在y 轴的右侧C.当时， x<0 的值随 y 值的增大而减小的最小值为 -32.如图，函数y=ax2-2x+1 和 y=ax-a〔a 是常数，且a≠0〕在同一平面直角坐标系的图象可能是()3.二次函数y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的局部对应值以下表：x-1013y-3131以下结论：①抛物线的张口向下 ; ②其图象的对称轴为x=1; ③当 x<1 时,函数值 y 随 x 的增大而增大 ; ④方程 ax2有一个根大于4,其中正确的结论有()+bx+c=0个个 C. 3个 D. 4个4.二次函数y=-(x-h)2〔h 为常数〕，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，那么h 的值为 ()或 6或 6或 3或 65.当 a≤ x≤ a+1时，函数 y=x2-2x+1 的最小值为 1，那么 a 的值为〔〕或 2或 26.关于抛物线 y=ax2+(2a-1)x+a-3，当 x=1 时， y，那么这条抛物线的极点必然在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点 2：抛物线特色和a,b,c 的关系1.二次函数图形以以下图，以下结论：① abc；②；③；④点 (-3,y1),(1,y2 ) 都在抛物线上，那么有 y1 y2. 其中正确的结论有 ( )个个个个2.如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一局部 ,且过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,以下结论正确的选项是 ()<4ac>0b=0b+c=03.如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A〔 -1，0〕，B〔 3，0〕，以下结论：① 2a -b=0；②；③当-1，y 向右平移 1 个单位，获取抛物线y=0；④当 a=1，将抛物线先向上平移 2 个单位，再-2，其中正确的选项是 ()A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④4.抛物线 y=ax2+bx+c〔a≠0〕图象以以下图，以下结论错误的选项是〔〕A．abc＜ 0 B．a+c＜b C．b2+8a＞ 4ac D．2a+b＞0考点 3：抛物线的平移、旋转、轴对称1.把抛物线 y=2x2-4x+3 向左平移 1 个单位长度，获取的抛物线的剖析式为_____.2.将抛物线 y=-5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所获取的抛物线为 () =-5(x+1)2-1=-5(x-1)2-1=-5(x+1)2+3=-5(x-1)2+33.抛物线 y=-x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点〔点 A 在点 B 的左侧〕，将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位长度，平移后的抛物线与 x 轴交于 C， D 两点〔点 C 在点 D 的左侧〕，假设 B，C 是线段 AD 的三均分点，那么点 C 的坐标为 _____.抛物线y=〔x﹣2〕2﹣ 1 能够由抛物线 y=x2平移而获取，以下平移正确的选项是〔〕4.A．先向左平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度B．先向左平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度C．先向右平移 2 个单位长度，尔后向上平移 1 个单位长度D．先向右平移 2 个单位长度，尔后向下平移 1 个单位长度5.假设抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2,称此抛物线为定弦抛物线 ,某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1,将此抛物线向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 ,获取的抛物线过点()A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)考点 4：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有 1 个交点，那么 m 的值为 ___.2.抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数 ,a ≠经0)过点 (-1,0),(0,3),其对称轴在 y 轴右侧 ,有以下结论 :①抛物线经过点 (1,0);②方程 ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根 ;③-3<a+b<3.其中 ,正确结论的个数为 ()3.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c(a ≠图0)象的对称轴为x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B(﹣1，0)，那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜ 0；③b2﹣ 4ac＜ 0；④当 y＞0 时，﹣ 1＜x＜ 3．其中正确的个数是 ()A．1B．2 C．3 D．44.二次函数 y=ax2+bx+c〔 a≠0〕的大体图象以以下图，极点坐标为〔 -2，-9a〕，以下结论：①4a+2b+c ＞0；② 5a -b+c=0；③ 假设方程 a(x+5)(x-1)=-1有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，那么 -5＜x1＜ x2＜1；④ 假设方程 |ax 2+bx+c|=1 有四个根，那么这四个根的和为 -4．其中正确的结论有〔〕个个个个5.二次函数 y=x2-x+ 1m-1 的图象与 x 轴有交点，那么 m 的取值范围是〔〕4≤5 ≥2＜5＞2二次函数的综合应用考点 1：线段、周长问题1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的极点坐标为〔2， 0〕，且经过点〔 4，1〕，如图，直线 y= x 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y=﹣1．〔 1〕求抛物线的剖析式；〔 2〕在 l 上可否存在一点 P，使 PA+PB获取最小值假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．2.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A〔﹣ 1， 0〕，B〔4，0〕，C〔0，3〕三点， D 为直线 BC 上方抛物线上一动点， DE⊥BC于 E．〔 1〕求抛物线的函数表达式；〔 2〕如图 1，求线段 DE长度的最大值；3．如图 1，抛物线 y ＝﹣ x 2+bx+c 交 x 轴于点 A 〔，0〕和点 B ，交 y 轴于点 C 〔 0，4〕，一次函数y ＝kx+m的图象经过点 B ，C ，点 P 是抛物线上第二象限内一点．（ 1〕求二次函数和一次函数的表达式；（ 2〕过点 P 作 x 轴的平行线交 BC 于点 D ，作 BC 的垂线 PM 交 BC 于点 M ，设点 P 的横坐标为 t ，△PDM的周长为 l ．① 求 l 关于 t 的函数表达式；② 求 △ PDM 的周长的最大值时点P 的横坐标；考点 2：图形面积问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c交 x 轴于点 A〔﹣ 4，0〕、 B〔2，0〕，交 y 轴于点 C〔0，6〕，在 y 轴上有一点 E〔0，﹣ 2〕，连接 AE．〔 1〕求二次函数的表达式；〔 2〕假设点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；2.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)〔 a>0〕与 x 轴交于 A、 B 两点，抛物线上还有一点C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1〕求线段 OC的长度；（2〕设直线 BC与 y 轴交于点 M ，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的剖析式；（3〕在〔2〕的条件下，直线 BC下方抛物线上可否存在一点 P，使得四边形 ABPC面积最大假设存在，央求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．考点 3：特别三角形的存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c交 x 轴于点 A〔﹣ 4，0〕、B〔2， 0〕，交y 轴于点 C〔 0， 6〕，在 y 轴上有一点 E〔 0，﹣ 2〕，连接 AE．（1〕求二次函数的表达式；（2〕抛物线对称轴上可否存在点 P，使△AEP为等腰三角形假设存在，请直接写出所有 P 点的坐标，假设不存在请说明原由．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A〔﹣ 1，0〕 B〔3， 0〕两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的极点．〔 1〕求抛物线的剖析式和直线 AC 的剖析式；〔 2〕试试究：在抛物线上可否存在点 P，使以点 A，P，C 为极点， AC 为直角边的三角形是直角三角形假设存在，央求出吻合条件的点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．考点 4：特别四边形的存在性问题1.如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕经过点 A〔3，0〕， B〔﹣ 1，0〕， C〔 0，﹣ 3〕．（1〕求该抛物线的剖析式；（2〕假设点 Q 在 x 轴上，点 P 在抛物线上，可否存在以点 B，C，Q，P 为极点的四边形是平行四边形假设存在，求点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由2.如图 1 所示，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A(-4，0)，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A，C.(1)求抛物线的剖析式；()如图 2 所示， M 是线段 OA 上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AC和抛物线分别交于点 P、 N.②假设点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一动点，在坐标平面内可否D 坐标，假设不存存在点D，使以点D，F，P，M为极点的四边形是菱形假设存在，请直接写出点在请说明原由.3.以以下图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a -2ax-3a与 x 轴交于 A，B 两点〔点 A 在点 B 的左侧〕，经过点 A 的直线 y=kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC.⑴求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴。

中考数学复习考点知识讲解与练习22 二次函数图象与性质(基础篇)

中考数学复习考点知识讲解与练习专题22 二次函数图象与性质（基础篇）纵观各省市中考题，二次函数为必考点，大题以压轴题形式出现，而压轴题往往分为两到三个小问题，第一问多以求二次函数解析式，二三小题多以图形变换相结合，另外考点以填空或选择题的形式出现，重在对学生二次函数的图象与性质作为考查点，鉴于此，二次函数为中考重中之中的复习内容，无论对中等生还是优秀学生都为巩固学习之内容，本中考数学复习考点知识讲解与练习专题从基础到综合，分为基础训练篇，巩固提升篇，以数形结合为主线，汇编一系列中考数学复习考点知识讲解与练习专题对学生补弱提优。

本专缉为老师提供有代表性的常考题，帮助学生为中考冲刺，力争学生能得以全面提升。

一、单选题1．把抛物线224y x =-+的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A ．22(2)7y x =--+B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)7y x =-++D ．22(2)1=-++y x2．点(2,),(4,)M a N b --是所给函数图像上的点，则能使a b >成立的函数是（）A ．23y x =-+B ．22(3)4y x =-++C ．23(2)1y x =--D ．2y x=- 3．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,3-，以下结论：①240b ac -<；②420a b c -+<；③23c b -=；④3a c +=，其中正确的个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．关于二次函数()2231y x =-+-，下列说法正确的是（）．A ．其图象的顶点坐标是()3,1-B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．其图象与x 轴有两个交点D ．其图象开口向上5．二次函数2y a bx c =++图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象上的点()16,y -，()2223,m m y ++则下列选项正确的是（） A ．12y y > B ．12y y ≥ C ．12y y < D ．12y y6．抛物线227y x x =--与x 轴的交点坐标为(,0)m ，则代数式2242019m m -++的值为（）A ．2033B ．2012C ．2026D ．2005 7．已知()13,y ，()25,y 是抛物线221y xx =--图象上两点，则1y ，2y 的大小关系（） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．无法确定8．已知二次函数()22=++-y ax x a a 的图象经过原点，则a 的值为（）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定9．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）的顶点为P ，且抛物线经过点(1,0),(,0)A B m -，(2,)(13,0)C n m n -<<<．下列结论：①0abc >，②30a c +<，③(1)20a m b -+>，④1a =-时，存在点P 使PAB △为直角三角形．其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（）A ．30010y x =-B ．()3006040y x =--C ．()()300106040y x x =+--D ．()()300106040y x x =--+11．如图，已知ABC 中，2,30,AB AC B P ︒==∠=是BC 边上一个动点，过点P 作PD BC ⊥，交ABC 其他边于点D ．若设PD 为x ，BPD △的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．12．在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若二次函数21y ax =+，当x 取1x ，2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为_____．14．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50?m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为______2m ．15．若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数245y x x =+-的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是____16．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为 ______ ．（填正或负）17．抛物线224y x x =-上三点分别为()()()1233,,0,,3,y y y -，则123,,y y y 的大小关系为_________（用“＞”号连接）18．已知抛物线2y x 4x 3=-+的顶点坐标为_____________19．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，根据图像可知：当k ______时，方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根．20．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x 2-2x+2上运动，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为_________．21．如图，抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(1,1)A -，(2,4)B ，则使得关于x 的不等式2ax bx c <+成立的x 的取值范围是________.22．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为223y x x =--，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为____________．23．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．24．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．三、解答题25．如图，抛物线282(0)3=-+>y ax ax a 的顶点为A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交抛物线于点C ．若直线OA 与直线BC 交于点D ，且C 为线段BD 的中点．（1）求抛物线的对称轴和点D 的坐标．（2）求出a 的值．26．某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）直接写出月销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间的函数关系式：______；月销售利润w （元）与售价x （元/千克）之间的函数关系式：______；（2）该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克多少元？（3）售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．27．如图，抛物线21y x =-+与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），作ABCD ，点C 在y 轴负半轴上，点D 在第四象限的抛物线上．（1）求点A 、B 、D 的坐标（2）平移抛物线21y x =-+，平移后的新抛物线的顶点落在点B 上，新抛物线交线段CD 于点E ，求ED 的长．28．如图，直线3y x 交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、C ，与x 轴交于另一点(1,0)B ，顶点为D ．（1）求抛物线对应函数表达式；（2）过A 点作射线AE 交直线AC 下方的抛物线上于点E ，使45DAE ∠=︒，求点E 的坐标；（3）作CG 平行于x 轴，交抛物线于点G ，点H 为线段CD 上的点，点G 关于GHC ∠的平分线的对称点为点M ，若-=HG HC ，求点H 坐标及三角形HGM 的面积．。

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二次函数图象及性质
命题点二次函数的图象及性质
1.）二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点（1，1）,则代数式1-a-b的值为（）
A. -3
B. -1
C. 2
D. 5
2. 若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx=5的解为（）
A. x1=0,x2=4
B. x1=1,x2=5
C. x1=1,x2=-5
D. x1=-1,x2=5
3. 已知二次函数y=x2+(m-1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）
A. m=-1
B. m=3
C. m≤-1
D. m≥-1
4. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
x-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12
给出以下结论：
①二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为-3；
②当-1
2
<x<2时，y<0;
③二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.
则其中正确结论的个数是（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
5. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线___________.
6. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___________.
7. 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数，且a≠0).
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.
8. 如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）.
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；
（3）点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式.
【答案】
命题点二次函数的图象及性质
1. B【解析】∵二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），∴a+b-1=1，∴a+b=2，∴1-a-b=1-（a+b）=1-2=-1.
2. D【解析】由题意知此抛物线的对称轴是直线x=2，故b=-4，得方程x2-4x=5，解得x1=-1,x2=5.
3. D【解析】∵当x＞1时,y随x的增大而增大，∴对称轴的值不能大于1才能满足题意，即
x=-
1
2
m-
≤1,解得m≥-1.
4. B【解析】由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以当x=1时，二次函数y=a2+bx+c有最小值，最小值为-4，故①错误；根据表格数据，当-1＜x＜3时，y＜0，所以，
-1
2
＜x＜2时，y＜0正确，故②正确；二次函数y=a2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别
为（-1，0）、（3，0），它们分别在y轴两侧，故③正确；综上所述，结论正确的是②③. 5. x=-1【解析】∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴
对称，则此抛物线的对称轴是直线x=
42
2
-+
=-1，即x=-1.
6. 0或1【解析】①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数.根据题意得：b2-4ac=4-4m=0，解得m=1.
7. （1）证明：y=a(x-m)2-a(x-m)＝ax2-(2am+a)x+am2+am.
∵当a≠0时，［-(2am+a)］2-4a(am2+am)=a2>0.
∴方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根.
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；…………………………（3分）
（2）解:①y=a(x-m)2-a(x-m)=a(
21
2
m
x
+
-)2-
4
a
,
∴点C的坐标为（21
2
m+
,-
4
a
）.
当y＝0时，a(x-m)2-a(x-m)=0，解得x1=m,x2=m+1，∴AB=1.
当△ABC的面积等于1时，1
2
×1×|-
4
a
|=1.
∴1
2
×1×（-
4
a
）＝1或
1
2
×1×
4
a
=1.
∴a ＝-8或a =8.………………………………………………………………………………（6分） ②当x =0时，y =am 2+am ,∴点D 的坐标为(0,am 2+am ). 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，
12×1×|-4a |＝1
2×1×|am 2+am |. ∴12×1×（-4a ）＝12×1×（am 2+am ）或12×1×4a ＝1
2
×1×（am 2+am ）. ∴m =-
12或m =122--或m =12
2
-+.……………………………………………………（9分） 8. 解：（1）根据解图，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标为（1，0）.……………………………………………………………………………………………（2分）（2）抛物线的对称轴是直线x =1，
根据解图知，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2.…………（4分）（3）∵对称轴是x =1，点B （-1，2）在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标是（3，2）.…………………………………………………………………（5分）设直线AC 的函数关系式为y =kx +b （k ≠0），则
0223k b k b =+=+⎧⎨⎩，解得2
4
k b ==-⎧⎨
⎩. ∴直线AC 的函数关系式是y =2x -4.…………………………………………………………（6分）
第8题解图。