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人教A版高一数学能力水平测试卷(附答案解析)

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人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(60)

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(60)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设某项试验成功的概率是失败的概率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A．0B．12C．13D．232.若∣a⃗∣=1，∣b⃗⃗∣=2，且(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，则a⃗与b⃗⃗的夹角θ=( )A．π3B．−π3C．2π3D．2π3或−π33.已知i为虚数单位，若复数z满足z(1−i)=1+i，则z=( )A．i B．−12i C．1D．124.在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点间的距离为( )A．2B．3C．4D．55.甲、乙两名同学在高考前的5次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为x，y，下列说法正确的是( )A．x<y，且乙比甲的成绩稳定B．x>y，且乙比甲的成绩稳定C．x<y，且甲比乙的成绩稳定D．x>y，且甲比乙的成绩稳定6.复数z(1−i)=i（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.设a⃗=(32,sinα)，b⃗⃗=(cosα,13)，且a⃗∥b⃗⃗，则锐角α为( )A．45∘B．30∘C．75∘D．60∘8.已知实数a∈[−3,3]，则复数z=a+i2−i在复平面内对应的点位于第二象限的概率为( )A．512B．12C．712D．349. 下列叙述中，错误的一项为 ( ) A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B ．棱柱的各个侧面都是平行四边形 C ．棱柱的两底面是全等的多边形 D ．棱柱的面中，至少有两个面相互平行10. 在 △ABC 中，a =5，b =3，则 sinA:sinB 的值是 ( ) A ． 53B ． 35C ． 37D ． 57二、填空题（共6题） 11. 思考辨析 判断正误两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )12. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣，则 (a ⃗−12b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗= ．13. 设两个非零向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线．若 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb ⃗⃗ 共线，则 k = ．14. 已知 (a −i )2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a = ．15. 若复数 z 满足 2z +z =3−2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ．16. 已知 O 为 △ABC 内一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 S△ABC S △AOC= ．三、解答题（共6题）17. 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上 1，2，3，⋯，10 这 10 个数字，现随机地抽取两个小球，如果： （1）小球是不放回的； （2）小球是有放回的．分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．18. 正六边形 ABCDEF 中，O 是其中心，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，用 m ⃗⃗⃗，n ⃗⃗ 表示 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O ，钉尖为 A i （i =1,2,3,4）．(1) 设OA1=a（a>0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2) 若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为3√2cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i，向量20.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2+i，向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3−i，求点C在复平面内的坐标．BC21.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积．22.定义：对于两个非零向量p⃗和q⃗，如果存在不全为零的常数α，β，使αp⃗+βq⃗=0⃗⃗，那么称p⃗和q⃗是线性相关的，否则称p⃗和q⃗是线性无关的．已知a⃗=3i⃗−4j⃗，a⃗+b⃗⃗=4i⃗−3j⃗，试判断a⃗与b⃗⃗的线性关系（相关还是无关），并证明你的结论．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【解析】因为(a⃗+b⃗⃗)⊥a⃗，所以(a⃗+b⃗⃗)⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗⃗=1+2cosθ=0，解得cosθ=−12，又θ∈[0,π],所以θ=2π3．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】A【解析】由z(1−i)=1+i，得z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．【知识点】复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】在复平面内，复数z1=3−i，z2=−1+2i对应的两点的坐标分别为(3,−1)，(−1,2)，则两点间的距离为∣z2−z1∣=√(−1−3)2+[2−(−1)]2=5．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义5. 【答案】A【解析】由题，x=15×(101+102+105+114+138)=112，y=15×(108+118+117+124+123)=118，所以x<y，由茎叶图可知，乙的成绩更集中，故乙比甲的成绩稳定．【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2=−12+12i，所以z=−12−12i，对应点为(−12,−12)，在第三象限．【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算7. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义8. 【答案】A【解析】 z =a+i2−i =(a+i )(2+i )(2−i )(2+i )=2a+(a+2)i+i 24−i 2=2a−1+(a+2)i5，由于点位于第二象限， 所以 {2a −1<0,a +z >0,则 −2<a <12， P =∣∣12−(−2)∣∣∣3−(−3)∣=512．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义9. 【答案】A【解析】在A 中，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面， 例如正六棱柱的相对侧面互相平行，故A 错误；在B 中，由棱柱的定义知棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B 正确； 在C 中，由棱柱的定义知棱柱的两底面是互相平行且全等的多边形，故C 正确； 在D 中，棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱，由此得到D 正确． 【知识点】棱柱的结构特征10. 【答案】A【解析】根据正弦定理，得 sinAsinB =ab =53． 【知识点】正弦定理二、填空题（共6题） 11. 【答案】 ×【知识点】直线与直线的位置关系12. 【答案】 0【知识点】平面向量的数量积与垂直13. 【答案】 ±1【解析】因为 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+kb⃗⃗ 共线，所以存在实数 λ，使 ka ⃗+b ⃗⃗=λ(a ⃗+kb ⃗⃗)，即 (k −λ)a ⃗=(λk −1)b⃗⃗． 又 a ⃗，b ⃗⃗ 是两个不共线的非零向量，所以 k −λ=λk −1=0． 消去 λ，得 k 2−1=0，所以 k =±1． 【知识点】平面向量的数乘及其几何意义14. 【答案】 −1【解析】 a 2−2ai −1=a 2−1−2ai =2i ，a =−1． 【知识点】复数的乘除运算15. 【答案】 1−2i【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ）， 则 z =a −bi ， 因为 2z +z =3−2i ，所以 2a +2bi +a −bi =3−2i ， 所以 3a =3，b =−2， 解得 a =1，b =−2， 所以 z =1−2i ．【知识点】复数的加减运算16. 【答案】 3【解析】如图所示，取 BC 的中点 D ，AC 的中点 E ，连接 OD ，OE ， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,所以 OE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 D ，O ，E 三点共线， 所以 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=32OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 又 DE 为 △ABC 的中位线，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 设在 △ABC 和 △AOC 中，AC 边上的高分别为 ℎ1，ℎ2，则 ℎ1=3ℎ2， 所以 S△ABC S △AOC=3．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义三、解答题（共6题）17. 【答案】从十个小球中随机抽取两个小球，记事件 A 为“两个小球上的数字为相邻整数”，其所有可能的结果为 (1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)，共 18 种．（1）如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，共有 90 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 1890=15．（2）如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果 (x,y )，则 x 有 10 种可能，y 有 10 种可能，共有 100 种可能的结果， 因此，事件 A 的概率是 18100=950． 【知识点】古典概型18. 【答案】 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗+2n ⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义19. 【答案】(1) 根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连接后得到的四面体 A 1A 2A 3A 4 为正四面体，延长 A 4O 交平面 A 1A 2A 3 于 B ，则 A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连接 A 1B ，则 A 1B 是 OA 1 在平面 A 1A 2A 3 上的射影， 所以 ∠OA 1B 即为 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角． 设 A 1A 4=l ， 则 A 1B =√33l ． 在 Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即 l 2=(√33l)2+(a +√a 2−(√33l)2)2，所以 l =2√63a ， 故 A 1B =√33×2√63a =2√23a ，cos∠OA 1B =A 1B OA 1=2√23（其中 0<∠OA 1B <π2），所以 ∠OA 1B =arccos2√23， 故 OA 1 与平面 A 1A 2A 3 所成角的大小为 arccos 2√23．(2) 12A 1A 22⋅√32=3√2，根据（1）可得 A 1A 2=2√63a ，所以 a =√2724cm ，1100⋅100⋅(4a )=4a =2√2164m ． 答：复制 100 枚这种“钉”，共需材料 2√2164米．【知识点】棱锥的结构特征、线面角20. 【答案】因为 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为 (3−i )−(1+2i )=2−3i ， 设 C (x,y )，则 (x +yi )−(2+i )=2−3i ，所以 x +yi =(2+i )+(2−3i )=4−2i ， 故 x =4，y =−2．所以点 C 在复平面内的坐标为 (4,−2)． 【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义21. 【答案】如图设球心为 O ，球的半径为 R ，作 OO 1⊥平面ABC 于点 O 1，则 OA =OB =OC =R ，且 O 1 是 △ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点， 因为 AC =BC ， 所以 O 1∈CM ， 所以 O 1M ⊥AB ， 设 O 1M =x ，则 O 1A =√22+x 2，O 1C =CM −O 1M =√62−22−x ． 又 O 1A =O 1C ，所以 √22+x 2=√62−22−x ，解得 x =7√24． 所以 O 1A =O 1B =O 1C =9√24．在 Rt △OO 1A 中，O 1O =R 2，∠OO 1A =90∘，OA =R ， 由勾股定理得 (R 2)2+(9√24)2=R 2，解得 R =3√62， 所以 S 球=4πR 2=54π，V 球=43πR 3=27√6π． 【知识点】球的表面积与体积22. 【答案】线性无关．对照定义，可求得 α=β=0．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义。

人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(A卷)(含解析)

人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(A卷)(含解析)

f (x1) f (x2 ) f (x1 x2 x2 ) f (x2 ) f (x1 x2 ) f (x2 ) 1 f (x2 ) f (x1 x2 ) 1 0 ， 所 以
f (x1) f (x2 ) ，即 f (x) 在 R 上单调递增，故 C 正确，B 错误；
令 x1 x ， x2 x ， 则 f x x f x f x 1， 则 有 f x f x 1 f 0 1， 故 f x 2 f x ， 因 为 g x f x1的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 所 以
8.答案：B
解析：设 f (x) x ，代入点 3,
3 3
可得 3
3
1
32
，所以
1
，所以
f
(x)
1
x2
3
2
1 ，
x
对于 A：函数的定义域为 (0, ) ，所以 A 错误；
对于
B：因为
f
(x)
1
x2
，
所以 f (x) 在 (0, )
内单调递减，
B 正确；
对于 C：因为 f (x) 的定义域为 (0, ) ，所以不是偶函数，C 错误；
2.已知函数
f
x
f x 1, x
x2
2
x
3,
x
2, 2,
，则
f
f
1
(
D. 5 A B )
A.5
B.0
C.-3
D.-4
3.对于每个实数 x，若函数 f (x) 取三个函数 y 4x 1， y x 2 ， y 2x 4 的最小值，则函
数 f (x) 的最大值是( )
7
8
10

新人教A版高一上学期摸底试卷数学试卷(三)A卷及答案解析

新人教A版高一上学期摸底试卷数学试卷(三)A卷及答案解析

⑩,纷 内,则 实数〃的取值范围是
〔 〔 (A) :,5)
-:,5) (:)
∞ (c) (-∞,:)1J(5,十 )
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【】
8.已 知 集 合 /=lIl刃 =3〃 ,″ ∈Ⅳ +l,B〓 伽 u=3〃 -1,〃 ∈Ⅳ +l,C〓 lJ· =3〃 -2,〃 ∈Ⅳ 刂 ,
高一数学试题 第 1页
贝刂Δ=臼 |2)2-4× 4× :≥=0,解之得:曰 ≥4或 ε≤0.
∴实数曰的取值范围是←∞,0lUⅡ ,+∞ ). r。 命题“31r∈ R,使 ⒋ 2+臼 -2》 +:≤ 犷是假命题时实 数 曰的取值范围是 G4)。 7.若 关于艿的方程4苈2+⒄ -2》 +〃 -5〓 0的 一个根在区间←1,OJ内 ,另 一个根在区间
新人教 ^版 高一上学期摸底试卷
数 学 试 巷 (三 )^卷
考生注意:1。 本试卷分第 I卷 (选 择题)和 第二卷 (非 选择题)两 部分,共 1so
分,考 试时间 120分 钟. 2.请 将各题答案填写在答题卡上。
第 I卷 (选择题 共 sO分 冫
一、单项选择题 (每 小题 5分,共 00分 )
∴/∩ B〓 {丬 0(艿 ζ1)=(0,1].
∴选择答案 【B】 。
∶≡ 刁Ξ 4.
已知
',3∈
R+,勿
+3〓
2,贝
刂 +:的
詈
最犭、值为
(A)
(:) +1
(c) |;
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答案 【B】
Ξ (D) 2√
解析 本题考查利用基本不等式求最值。
·。·%b∈ R十,2夕 +b=2

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(48)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 已知 a =1.70.3，b =0.31.7，c =log 0.31.7，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a <b <c B ． c <b <a C ． c <a <b D ． b <a <c2. 已知 m ∈R ，“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知 sin (α+β)=14，sin (α−β)=13，则 tanα:tanβ= ( )A ． −17B ． 17C ． −7D ． 74. 根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 f (x )=√x x <A√Ax ≥A （A ，c为常数），已知工人组装第 4 件产品用时 30 min ，组装第 A 件产品用时 15 min ，那么 c 和 A 的值分别是 ( ) A ． 75，25 B ． 75，16 C ． 60，25 D ． 60，165. 已知函数 f (x )={ln (x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0(m <−1)，对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ，若关于 x 的方程 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−4,−2) B ． (−1,0)C ． (−2,−1)D ． (−4,−1)∪(−1,0)6. 已知 a >0 且 a ≠1，下列说法中正确的是 ( ) ①若 M =N ，则 log a M =log a N ； ②若 log a M =log a N ，则 M =N ； ③若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ； ④若 M =N ，则 log a M 2=log a N 2． A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④7.定义在(−1,1]上的函数f(x)满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若函数g(x)=∣∣f(x)−12∣∣−mx−m+1在(−1,1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )A．(32,+∞)B．(32,258)C．(32,2516)D．(23,34)8.实数α，β为方程x2−2mx+m+6=0的两根，则(α−1)2+(β−1)2的最小值为( )A．8B．14C．−14D．−2549.若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A．ac −bd>0B．ac−bd<0C．ad>bcD．ad<bc10.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为( )A．12R2B．12R2Ssin1cos1C．12(1−sin1cos1)R2D．(1−sin1cos1)R2二、填空题（共10题）11.已知△ABC中，sin(A+B)=45，cosB=−23，则sinB=，cosA=．12.函数y=lg(x2+2x−a)的定义域为R，则实数a的取值范围是．13.已知函数y=f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内零点的个数的最小值是个．14.一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过小时才能开车．（精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48）15.将函数y=√4+6x−x2−2(x∈[0,6])的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α)，得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则tanα的最大值为．16.设集合A为含有三个元素的集合，集合B={z∣z=x+y,x,y∈A,x≠y}，若B={log 26,log 210,log 215}，则集合 A = ．17. 已知 p:∣x −4∣>6，q:x 2−2x +1−a 2>0(a >0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为 ．18. 已知 α 为第二象限角，sinα+cosα=12，则 cos2α= ．19. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，当 x ∈(0,2] 时，f (x )={x 2−x −6,x ∈(0,1]−2x−1−5,x ∈(1,2]，若 x ∈(−6,−4] 时，关于 x 的方程 af (x )−a 2+2=0(a >0) 有解，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={x +2x −3,x ≥1lg (x 2+1),x <1，则 f(f (−3))= ，f (x ) 的最小值是 ．三、解答题（共10题）21. 已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角取何值时，能使扇形的面积最大，最大面积是多少？22. 已知实数 a ，b 是常数，函数 f (x )=(√1+x +√1−x +a)(√1−x 2+b)．(1) 求函数 f (x ) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 若 a =−3，b =1，设 t =√1+x +√1−x ，记 t 的取值组成的集合为 D ，则函数 f (x )的值域与函数 g (t )=12(t 3−3t 2)(t ∈D ) 的值域相同．试解决下列问题：（i ）求集合 D ；（ii ）研究函数 g (t )=12(t 3−3t 2) 在定义域 D 上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明：若没有，请说明理由．并利用你的研究结果进一步求出函数 f (x ) 的最小值．23. 对于定义域为 R 的函数 g (x )，若存在正常数 T ，使得 cosg (x ) 是以 T 为周期的函数，则称g (x ) 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f (x ) 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R ．设 f (x ) 单调递增，f (0)=0，f (T )=4π． (1) 验证 g (x )=x +sin x3 是以 6π 为周期的余弦周期函数；(2) 设 a <b ，证明对任意 c ∈[f (a ),f (b )]，存在 x 0∈[a,b ]，使得 f (x 0)=c ；(3) 证明：“u 0 为方程 cosf (x )=1 在 [0,T ] 上的解，”的充要条件是“u 0+T 为方程 cosf (x )=1 在区间 [T,2T ] 上的解”，并证明对任意 x ∈[0,T ]，都有 f (x +T )=f (x )+f (T )．24. 已知函数 f (x )=(sinx +cosx )2+2cos 2x −1．(1) 求 f (x ) 的最小正周期；(2) 求 f (x ) 在 [0,π2] 上的单调区间．25. 已知函数 f (x )=a +b x (b >0,b ≠1) 的图象过点 (1,4) 和点 (2,16)．(1) 求 f (x ) 的表达式； (2) 解不等式 f (x )>(12)3−x2；(3) 当 x ∈(−3,4] 时，求函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域．26. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，若对任意的 x 1∈D ，都存在 x 2∈D ，满足 f (x 1)=1f (x 2)，则称函数 f (x ) 为“L 函数”．(1) 判断函数 f (x )=sinx +32，x ∈R 是否为“L 函数”，并说明理由；(2) 已知“L 函数”f (x ) 是定义在 [a,b ] 上的严格增函数，且 f (a )>0，f (b )>0，求证：f (a )⋅f (b )=1．27. 记函数 f (x ) 的定义域为 D ，如果存在实数 a ，b 使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立，则称 f (x ) 为 Ψ 函数． (1) 设函数 f (x )=1x −1，试判断 f (x ) 是否为 Ψ 函数，并说明理由； (2) 设函数 g (x )=12x +t ，其中常数 t ≠0，证明 g (x ) 是 Ψ 函数；(3) 若 ℎ(x ) 是定义在 R 上的 Ψ 函数，且函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称，试判断 ℎ(x ) 是否为周期函数？并证明你的结论．28. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 的图象关于原点对称，且 f (x )=x 2+2x ．(1) 求函数 g (x ) 的解析式；(2) 若 ℎ(x )=g (x )−λf (x )+1 在区间 [−1,1] 上是增函数，求实数 λ 的取值范围．29. 解答题．(1) 已知 cosα=17，cos (α+β)=−1114，α，β 都是锐角，求 cosβ 的值；(2) 已知 π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，sin2α．30.用五点法作出下列函数在[−2π,0]上的图象．(1) y=1−sinx；(2) y=sin(π+x)−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质2. 【答案】B【解析】若函数 y =f (x )=2x +m −1 有零点，则 f (0)=1+m −1=m <1， 当 m ≤0 时，函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数不成立，即充分性不成立，若 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数，则 0<m <1，此时函数 y =2x +m −1 有零点成立，即必要性成立，故“函数 y =2x +m −1 有零点”是“函数 y =log m x 在 (0,+∞) 上为减函数”的必要不充分条件． 【知识点】指数函数及其性质、充分条件与必要条件、对数函数及其性质3. 【答案】C【解析】 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=14，sin (α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=13， 所以 sinαcosβ=724，cosαsinβ=−124，所以 tanα:tanβ=sinαcosβcosαsinβ=−7． 【知识点】两角和与差的正切4. 【答案】D【知识点】函数的模型及其实际应用5. 【答案】A【解析】由题意可知 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增，值域为 [m,+∞)，因为对于任意 s ∈R ，且 s ≠0，均存在唯一实数 t ，使得 f (s )=f (t )，且 s ≠t ， 所以 f (x ) 在 (−∞,0) 上是减函数，值域为 (m,+∞)， 所以 a <0，且 −b +1=m ，即 b =1−m ． 因为 ∣f (x )∣=f (m2) 有 4 个不相等的实数根，所以 0<f (m2)<−m ，又 m <−1，所以 0<am 2<−m ，即 0<(a2+1)m <−m ，所以 −4<a <−2，所以则 a 的取值范围是 (−4,−2)．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布6. 【答案】C【解析】对于①，当 M =N ≤0 时，log a M ，log a N 都没有意义，故不成立； 对于②，log a M =log a N ，则必有 M >0，N >0，M =N ，故成立；对于③，当 M ，N 互为相反数且不为 0 时，也有 log a M 2=log a N 2，但此时 M ≠N ，故不成立； 对于④，当 M =N =0 时，log a M 2，log a N 2 都没有意义，故不成立． 综上，只有②正确． 【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】C【解析】当 x ∈(−1,0) 时，x +1∈(0,1)，f (x )=1f (x+1)−1=1x+1−1，若函数 g (x )=∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1 在 (−1,1] 内恰有 3 个零点，即方程 ∣∣f (x )−12∣∣−mx −m +1=0 在 (−1,1] 内恰有 3 个根，也就是函数 y =∣∣f (x )−12∣∣ 与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点，作出函数图象如图：由图可知，过点 (−1,−1) 与点 (−13,0) 的直线的斜率为 32；设过点 (−1,1)，且与曲线 y =1x+1−1−12=−3x−12(x+1) 相切的切点为 (x 0,y 0)， 则 yʹ∣x=x 0=−1(x 0+1)2=y 0−1x0−(−1)， 又因为 y 0=−3x 0−12(x 0+1)，解得 {x 0=−15,y 0=−14,则切点为 (−15,−14)．所以切线的斜率为 k =1+14−1−(−15)=−2516，由对称性可知，过点 (−1,−1) 与曲线 ∣∣f (x )−12∣∣ 在 (−1,0) 上相切的切线的斜率为 2516．所以使函数 y =∣∣f (x )−12∣∣与 y =mx +m −1 的图象有三个不同交点的 m 的取值范围为(32,2516)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程8. 【答案】A【解析】因为 Δ=(2m )2−4(m +6)≥0， 所以 m 2−m −6≥0， 所以 m ≥3 或 m ≤−2．而(α−1)2+(β−1)2=α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2=(2m )2−2(m +6)−2(2m )+2=4m 2−6m −10=4(m −34)2−494,因为 m ≥3，或 m ≤−2，所以当 m =3 时，(α−1)2+(β−1)2 的最小值为 8，故选A ． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】D【解析】因为 c <d <0，所以 0<−d <−c ， 又 0<b <a ，所以 −bd <−ac ，即 bd >ac ， 又因为 cd >0，所以 bdcd >accd ，即 bc >ad ． 【知识点】不等式的性质10. 【答案】D【解析】 l =4R −2R =2R ，α=lR =2R R=2，可得：S 扇形=12lR =12×2R ×R =R 2，可得：S 三角形=12×2Rsin1×Rcos1=sin1⋅cos1⋅R 2，可得：S弓形=S扇形−S三角形=R2−sin1⋅cos1⋅R2 =(1−sin1cos1)R2.【知识点】弧度制二、填空题（共10题）11. 【答案】√53；6+4√515【知识点】两角和与差的余弦12. 【答案】a<−1【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质13. 【答案】7【知识点】函数的零点分布、函数的周期性14. 【答案】5【解析】设经过n小时后才能开车，由题意得0.3(1−0.25)n≤0.09，所以(34)n≤0.3，所以nlg34≤lg310<0，所以n≥lg3−1lg3−2lg2=0.48−10.48−0.6=133，解得n≥133，故至少经过5小时才能开车．故答案为：5．【知识点】函数模型的综合应用15. 【答案】23【解析】将函数变形为方程，可得(x−3)2+(y+2)2=13,x∈[0,6],y≥0，其图象如图所示．过点O作该图象所在圆M的切线OA，将该函数的图象绕原点逆时针旋转时，其最大的旋转角为∠AOy，此时曲线C都是一个函数的图象，因为k OA=−1k OM =32，所以tan∠AOy=23．【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 {1,log 23,log 25}【解析】设 A ={a,b,c }(a <b <c )，则 {a +b =log 26,b +c =log 215,c +a =log 210,所以 a +b +c =log 230，所以 a =1，b =log 23，c =log 25， 所以 A ={1,log 23,log 25}． 【知识点】元素和集合的关系17. 【答案】 0<a ≤3【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 −√74【解析】因为 sinα+cosα=12，所以 1+2sinαcosα=14，所以 2sinαcosα=−34，则 (cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=74． 又因为 α 为第二象限角，所以 cosα<0，sinα>0， 则 cosα−sinα=−√72，所以cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα+sinα)(cosα+sinα)=12×(−√72)=−√74. 【知识点】二倍角公式19. 【答案】 1≤a ≤√2【解析】因为函数 f (x ) 满足 f (x +2)=f (x )−2，所以若 x ∈(−6,−4] 时，则 x +2∈(−4,−2]，x +4∈(−2,0]， 若 x +6∈(0,2]，即若 x ∈(−6,−5] 时， 则 x +2∈(−4,−3]，x +4∈(−2,−1]， 若 x +6∈(0,1]，则f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6+(x +6)2−(x +6)−6=x 2+11x +30,若 x ∈(−5,−4] 时，则 x +2∈(−3,−2]，x +4∈(−1,0]， 若 x +6∈(1,2]，则 f (x )=2+f (x +2)=4+f (x +4)=6+f (x +6)=6−2x+6−1−5=1−2x+5,由 af (x )−a 2+2=0(a >0) 得 af (x )=a 2−2(a >0)， 即 f (x )=a −2a (a >0)．作出函数 f (x ) 在 x ∈(−6,−4] 的图象如图． 在函数的值域为 −1≤f (x )≤0， 由 −1≤a −2a≤0，得 {a −2a ≥−1,a −2a ≤0,即 {a 2+a −2≥0,a 2−2≤0, 即 {a ≥1 或 a ≤−2,−√2≤a ≤√2,因为 a >0，所以 1≤a ≤√2．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】 0 ； 2√2−3【解析】因为 f (−3)=lg [(−3)2+1]=lg10=1，所以 f(f (−3))=f (1)=1+2−3=0．当x ≥1 时，x +2x −3≥2√x ⋅2x −3=2√2−3，当且仅当 x =2x ，即 x =√2 时等号成立，此时 f (x )min =2√2−3<0；当 x <1 时，lg (x 2+1)≥lg (02+1)=0，此时 f (x )min =0．所以f(x)的最小值为2√2−3．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数三、解答题（共10题）21. 【答案】设扇形的圆心角为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，所以l=40−2r．S=12lr=12(40−2r)r=20r−r2=−(r−10)2+100．所以当r=10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ=lr =40−2×1010=2．【知识点】弧度制22. 【答案】(1) 因为实数a，b是常数，函数f(x)=(√1+x+√1−x+a)(√1−x2+b)，所以由{1+x≥0,1−x≥0,1−x2≥0.解得−1≤x≤1．所以函数的定义域是[−1,1]．对于任意x∈[−1,1]，有−x∈[−1,1]，且f(−x)=(√1+(−x)+√1−(−x)+a)(√1−(−x)2+b)=(√1−x+√1+x+a)(√1−x2+b)=f(x),即f(−x)=f(x)对x∈[−1,1]都成立．（又f(x)不恒为零）所以，函数f(x)是偶函数．（该函数是偶函数不是奇函数也可以）(2) 因为a=−3，b=1，所以f(x)=(√1+x+√1−x−3)(√1−x2+1)．设t=√1+x+√1−x(−1≤x≤1)，则t2=2+2√1−x2．所以0≤√1−x2≤1，2≤t2≤4(t≥0)，即√2≤t≤2．所以D=[√2,2]．于是，g(t)=12(t3−3t2)的定义域为D=[√2,2]．对于任意的t1,t2∈D，且t1<t2，有g(t1)−g(t2)=12[t13−3t12−(t23−3t22)]=12[(t1−t2)(t12+t1t2+t22)−3(t1−t2)(t1+t2)]=12(t1−t2)[(t12−2t1)+(t22−2t2)+(12t1t2−t1)+(12t1t2−t2)]=12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)].又t1>0，t2>0，t1−t2<0，且t1−2≤0，t2−2≤0（这里二者的等号不能同时成立），所以12(t1−t2)[t1(t1−2)+t2(t2−2)+12t1(t2−2)+12t2(t1−2)]>0，即g(t1)−g(t2)>0，g(t1)>g(t2)．所以函数g(t)在D上是减函数．所以(g(t))min =g(2)=12×(23−3×22)=−2.又因为函数f(x)的值域与函数g(t)=12(t3−3t2)的值域相同，所以函数f(x)的最小值为−2．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性23. 【答案】(1) g(x)=x+sin x3，所以cosg(x+6π)=cos(x+6π+sin x+6π3)=cos(x+sin x3)=cosg(x)，所以g(x)是以6π为周期的余弦周期函数．(2) 因为f(x)的值域为R；所以存在x0，使f(x0)=c；又c∈[f(a),f(b)]，所以f(a)≤f(x0)≤f(b)，而f(x)为增函数；所以a≤x0≤b；即存在x0∈[a,b]，使f(x0)=c；(3) 若u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解；则：cosf(u0+T)=1，T≤u0+T≤2T；所以cosf(u0)=1，且0≤u0≤T；所以u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上的解；所以“u0为方程cosf(x)=1在[0,T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf(x)=1在区间[T,2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)：①当x=0时，f(0)=0，所以显然成立；②当x=T时，cosf(2T)=cosf(T)=1；所以f(2T)=2k1π，(k1∈Z)，f(T)=4π，且2k1π>4π，所以k1>2；（1）若k1=3，f(2T)=6π，由（2）知存在x0∈(0,T)，使f(x0)=2π；cosf(x0+T)=cosf(x0)=1⇒f(x0+T)=2k2π，k2∈Z；所以f(T)<f(x0+T)<f(2T)；所以4π<2k2π<6π；所以2<k2<3，无解；（2）若k1≥5，f(2T)≥10π，则存在T<x1<x2<2T，使得f(x1)=6π，f(x2)=8π；则T，x1，x2，2T为cosf(x)=1在[T,2T]上的4个解；但方程cosf(x)=1在[0,2T]上只有f(x)=0，2π，4π，3个解，矛盾；（3）当k1=4时，f(2T)=8π=f(T)+f(T)，结论成立；③当x∈(0,T)时，f(x)∈(0,4π)，考查方程cosf(x)=c在(0,T)上的解；设其解为f(x1)，f(x2)，⋯，f(x n)，(x1<x2<⋯<x n)；则f(x1+T)，f(x2+T)，⋯，f(x n+T)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；又f(x+T)∈(4π,8π)；而f(x1)+4π,f(x2)+4π,⋯,f(x n)+4π∈(4π,8π)为方程cosf(x)=c在(T,2T)上的解；所以f(x i+T)=f(x i)+4π=f(x i)+f(T)；所以综上对任意x∈[0,T]，都有f(x+T)=f(x)+f(T)．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、二倍角公式24. 【答案】(1) 由已知得，f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1．函数的最小正周期T=2π2=π．(2) 由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2（k∈Z）得，kπ−3π8≤x≤kπ+π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[0,π8]，所以f(x)的单调递增区间为[0,π8]，由2kπ+π2−≤2x+π4≤2kπ+3π2（k∈Z）得，kπ+π8≤x≤kπ+5π8（k∈Z），又x∈[0,π2]，所以x∈[π8,π2 ]，所以f(x)的单调递减区间为[π8,π2 ]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质25. 【答案】(1) 由题意知 {4=a +b,16=a +b 2,解得 {a =0,b =4 或 {a =7,b =−3（舍去）， 所以 f (x )=4x ． (2) f (x )>(12)3−x2，所以 4x>(12)3−x2，所以 22x >2x 2−3， 所以 2x >x 2−3， 解得 −1<x <3，所以不等式的解集为 (−1,3)． (3) 因为g (x )=log 2f (x )+x 2−6=log 24x +x 2−6=2x +x 2−6=(x +1)2−7,因为 x ∈(−3,4]，所以当 x =−1 时，g (x )min =−7， 当 x =4 时，g (x )max =18，所以函数 g (x )=log 2f (x )+x 2−6 的值域为 [−7,18]．【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法26. 【答案】(1) 不是； (2) 反证法，略．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质27. 【答案】(1) f (x ) 的定义域为 {x∣ x ≠0}．设 f (x )=1x −1 是为 Ψ 函数，则存在实数 a ，b ，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意满足 a −x ∈D 且 a +x ∈D 的 x 恒成立， 即 1a−x +1a+x −2=b ，所以 (b +2)(a 2−x 2)=2a 恒成立，所以 a =0，b =−2． 所以存在 a =0，b =−2，使得 f (a −x )+f (a +x )=b 对任意 x ≠±a 恒成立． 所以 f (x )=1x −1 是 Ψ 函数．(2) 若 g (a +x )+g (a −x )=12a−x +t +12a+x +t =b 恒成立， 则 2a+x +2a−x +2t =b (2a+x +t )(2a−x +t ) 恒成立， 即 (1−bt )(2a+x +2a−x )=b (22a +t 2)−2t 恒成立，所以 1−bt =0，b (22a +t 2)−2t =0，又 t ≠0，所以 b =1t ，a =log 2∣t∣． 所以存在实数 a ，b 使得 g (x ) 是 Ψ 函数．(3) 因为函数 ℎ(x ) 的图象关于直线 x =m （m 为常数）对称， 所以 ℎ(m −x )=ℎ(m +x )，所以当 m ≠a 时， ℎ(x +2m −2a )=ℎ[m +(x +m −2a )]=ℎ[m −(x +m −2a )]=ℎ(2a −x )=ℎ(a +(a −x )),又 ℎ(a +x )+ℎ(a −x )=b ，所以 ℎ(a +(a −x ))=b −ℎ[a −(a −x )]=b −ℎ(x )，所以 ℎ(x +2m −2a )=b −ℎ(x )，ℎ(x )=b −ℎ(x +2m −2a )=ℎ(x +2m −2a +2m −2a )=ℎ(x +4m −4a )．所以 ℎ(x ) 为周期函数，周期为 4m −4a ．若 m =a ，则 ℎ(a −x )=ℎ(a +x )，且 ℎ(a −x )=b −ℎ(a +x )， 所以 ℎ(a +x )=b2，显然 ℎ(x ) 是周期函数． 综上，ℎ(x ) 是周期函数．【知识点】函数的对称性、函数的周期性、幂函数及其性质、指数函数及其性质28. 【答案】(1) g (x )=−x 2+2x ，(2) ℎ(x )=−(1+λ)x 2+2(1−λ)x +1，当 λ=−1 时，ℎ(x )=4x +1 在 [−1,1] 上显然为增函数，当 λ≠−1 时，可得 {1+λ>0,1−λ1+λ≥1, 或 {1+λ>0,1−λ1+λ≤−1,⇒−1<λ≤0 或 λ<−1，综上所述，所求 λ 的取值范围是 λ=−1 或 −1<λ≤0 或 λ<−1，即 λ≤0．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性29. 【答案】(1) 由题知，sinα=4√37，sin (α+β)=5√314，所以，cosβ=cos (α+β−α)=cos (α+β)cosα+sin (α+β)sinα=12． (2) 因为 0<α−β<π4，cos (α−β)=1213，所以 sin (α−β)=513，因为 π<α+β<3π2，sin (α+β)=−35，所以 cos (α+β)=−45，所以 sin2α=sin [(α−β)+(α+β)]=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=−5665． 【知识点】两角和与差的正弦、两角和与差的余弦30. 【答案】(1) 找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π2y =sinx 010−10y =1−sinx10121描点作图，如图所示．(2) 由于 y =sin (x +π)−1=−sinx −1，找出关键的五个点，列表如下： x −2π−3π2−π−π20y =sinx 010−10y =−sinx −1−1−2−10−1描点作图，如图所示． 【知识点】正弦函数的图象。

新人教A版高一上学期第一次月考数学试卷集(名校)(10套试卷,附答案解析)

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新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （一）A 卷考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分） 1. 已知集合{}022>--=x x x A ,则C R =A【 】（A ）{}21<<-x x （B ）{}21≤≤-x x （C ）{}21>-<x x x 或 （D ）{}21≥-≤x x x 或2. 已知集合{}1,1-=A ,{}01=+=ax x B ,若A B ⊆,则实数a 的所有取值的集合为 【 】 （A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）{}1,0,1-3. 下列各式中,正确的个数是 【 】 （1）{}0=∅; （2）{}0⊆∅; （3）{}0∈∅; （4）{}00=; （5）{}00∈; （6）{}{}3,2,11∈; （7）{}{}3,2,12,1⊆; （8）{}{}a b b a ,,⊆. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44. 已知{}0232=+-=x x x A ,{}02=-=ax x B ,若B B A = ,则实数a 的值为 【 】 （A ）0或1或2 （B ）1或2 （C ）0 （D ）0或15. 已知∈x R ,则“1-<x ”是“0122>-+x x ”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ,(){}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,,,则集合B 中则所含元素的个数为 【 】 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）107. 若不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则b a +的值是 【 】 （A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）28. 已知y x ,均为正数,且02=-+xy y x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}42≥-≤m m m 或 （B ）{}24≥-≤m m m 或 （C ）{}42<<-m m （D ）{}24<<-m m二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是 【 】 （A ）∈∃x R ,0412<+-x x （B ）所有的正方形都是矩形 （C ）∈∃x R ,222++x x ≤0 （D ）至少有一个实数x ,使013=+x10. 设非空集合Q P ,满足Q Q P = ,且Q P ≠,则下列选项中错误的是 【 】 （A ）Q x ∈∀,有P x ∈ （B ）P x ∈∃,使得Q x ∉ （C ）Q x ∈∃,使得P x ∉ （D ）Q x ∉∀,有P x ∉ 11. 给出下列四个命题:①若b a >且b a 11>,则0>ab ; ②若0>>>b ac ,则bc ba c a ->-; ③若0>>>c b a ,则ca cb a b ++<; ④若1=+b a ,则b a 11+≥4其中正确的命题是 【 】 （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④12. 下列结论正确的是 【 】 （A ）当0>x 时,xx 1+≥2（B ）当2>x 时,xx 1+的最小值是2 （C ）当45<x 时,54124-+-x x 的最小值是5（D ）设0,0>>y x ,且2=+y x ,则y x 41+的最小值是29第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 命题“∈∃x R ,0122<++x x ”的否定是______________________. 14. 已知43,26πβππαπ<<-<<,则βα-的取值范围是_____________.15. 已知命题44:+<<-a x a p ,命题()()032:>--x x q .若q 是p 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是_____________.16. 关于x 的方程()0212=++-x m mx 的所有实数根的和为2的充要条件是___________. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}a x a x A +≤≤-=22,{}0452≥+-=x x x B . （1）当3=a 时,求B A , A （C R B ）; （2）若∅=B A ,求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）若集合{}0652=-+=x x x A ,(){}031222=-+++=m x m x x B . （1）若0=m ,写出B A 的子集; （2）若B B A = ,求实数m 的取值范围.（1）已知0>x ,求xx 42--的最大值; （2）已知2>x ,求21-+x x 的最小值; （3）已知210<<x ,求()x x 2121-的最大值;（4）求182-+x x （1>x ）的最小值.20.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=013x x x A ,集合(){}021222<-+++-=m m x m x x B .命题A x p ∈:,命题B x q ∈:,若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽为2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x （单位: m ）,修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位: 元）. （1）将y 表示为x 的函数;（2）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.22.（本题满分12分）已知函数()()422++-=x a x x f （∈a R ）. （1）解关于x 的不等式()x f ≤a 24-;（2）若对任意的1≤x ≤4,()1++a x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （一）A 卷答案解析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分） 1. 已知集合{}022>--=x x x A ,则C R =A【 】（A ）{}21<<-x x （B ）{}21≤≤-x x （C ）{}21>-<x x x 或 （D ）{}21≥-≤x x x 或 答案 【 B 】解析 本题考查一元二次不等式的解法及补集运算. 解不等式022>--x x 得:2>x 或1-<x . ∴{}12-<>=x x x A 或. ∴C R =A {}21≤≤-x x . ∴选择答案【 B 】.2. 已知集合{}1,1-=A ,{}01=+=ax x B ,若A B ⊆,则实数a 的所有取值的集合为 【 】 （A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）{}1,0,1- 答案 【 D 】解析 本题考查根据集合之间的基本关系确定参数的值或取值范围,注意不要忘记对空集的讨论.当0=a 时,∅=B ,满足A B ⊆;当0≠a 时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a x x B 1,∵A B ⊆,∴{}1-=B 或{}1=B .∴11-=-a 或11=-a,解之得:1=a 或1-=a .∴实数a 的所有取值的集合为{}1,0,1-. ∴选择答案【 D 】.3. 下列各式中,正确的个数是 【 】 （1）{}0=∅; （2）{}0⊆∅; （3）{}0∈∅; （4）{}00=; （5）{}00∈; （6）{}{}3,2,11∈; （7）{}{}3,2,12,1⊆; （8）{}{}a b b a ,,⊆. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 【 D 】解析 本题考查集合与元素、集合与集合之间的基本关系以及空集的性质. 正确的结论是（2）、（5）、（7）和（8）,共4个. ∴选择答案【 D 】.4. 已知{}0232=+-=x x x A ,{}02=-=ax x B ,若B B A = ,则实数a 的值为 【 】 （A ）0或1或2 （B ）1或2 （C ）0 （D ）0或1 答案 【 A 】解析 本题考查交集的运算性质.{}{}2,10232==+-=x x x A∵B B A = ,∴A B ⊆. 当∅=B 时,0=a ,符合题意;当∅≠B 时,即0≠a ,则有⎭⎬⎫⎩⎨⎧==a x x B 2.若{}1=B ,则12=a ,解之得:2=a ; 若{}2=B ,则22=a,解之得:1=a .综上所述,实数a 的值为0或1或2. ∴选择答案【 A 】.5. 已知∈x R ,则“1-<x ”是“0122>-+x x ”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案 【 A 】解析 本题考查充分必要条件的判断.解不等式0122>-+x x 得:1-<x 或21>x . 设{}1-<=x x A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<=211x x x B 或,则B A ≠⊂. ∴“1-<x ”是“0122>-+x x ”的充分不必要条件. ∴选择答案【 A 】.6. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ,(){}A y x A y A x y x B ∈-∈∈=,,,,则集合B 中则所含元素的个数为 【 】 （A ）3 （B ）6 （C ）8 （D ）10 答案 【 D 】解析 本题考查列举法表示集合.由集合B 的代表元素的特征可知,集合B 表示一个点集. 由题意可知:()()()()()()()()()(){}1,5,2,5,3,5,4,5,1,4,2,4,3,4,1,3,2,3,1,2=B ,共有10个元素. ∴选择答案【 D 】.7. 若不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ,则b a +的值是 【 】 （A ）0 （B ）1- （C ）1 （D ）2 答案 【 A 】解析 本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程的关系,涉及到根与系数的关系定理. ∵不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ∴0<a ,方程022=++bx ax 的两个实数根分别为1-和2. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-21221aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=11b a . ∴011=+-=+b a . ∴选择答案【 A 】.8. 已知y x ,均为正数,且02=-+xy y x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）{}42≥-≤m m m 或 （B ）{}24≥-≤m m m 或（C ）{}42<<-m m （D ）{}24<<-m m 答案 【 D 】解析 本题考查利用基本不等式求最值以及一元二次不等式的解法. ∵02=-+xy y x ,∴xy y x =+2. ∵y x ,均为正数 ∴1212=+=+xy xy y x ∴()x y y x y x y x y x 441222++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+≥8424=⋅+x y y x . 当且仅当xyy x 4=,即2,4==y x 时,等号成立. ∴()82min =+y x .∵m m y x 222+>+恒成立,∴()822min 2=+<+y x m m . ∴0822<-+m m ,解之得:24<<-m . ∴实数m 的取值范围是{}24<<-m m . ∴选择答案【 D 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是 【 】 （A ）∈∃x R ,0412<+-x x （B ）所有的正方形都是矩形 （C ）∈∃x R ,222++x x ≤0 （D ）至少有一个实数x ,使013=+x 答案 【 AC 】解析 本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假命题的判断.一个命题和它的否定命题只能是一真一假,不能同真同假.这启示我们在判断一个命题的否定的真假时,只需判断该命题的真假即可.注意全称量词命题的否定为存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.对于（B ）,为全称量词命题,其否定为存在量词命题,不符合题意,故排除（B ）选项;对于（A ）,∵222141⎪⎭⎫⎝⎛-=+-x x x ≥0,∴（A ）为假命题,∴其否定为真命题,故（A ）符合题意;对于（C ）,∵()0112222>++=++x x x ,∴（C ）为假命题,∴其否定为真命题,故（C ）符合题意;对于（D ）,当1-=x 时,013=+x ,∴（D ）为真命题,∴其否定为假命题,故（D ）不符合题意. ∴选择答案【 AC 】.总结 含有1个量词的命题的否定方法:改变量词,否定结论.10. 设非空集合Q P ,满足Q Q P = ,且Q P ≠,则下列选项中错误的是 【 】 （A ）Q x ∈∀,有P x ∈ （B ）P x ∈∃,使得Q x ∉ （C ）Q x ∈∃,使得P x ∉ （D ）Q x ∉∀,有P x ∉ 答案 【 CD 】解析 本题考查用量词符号来描述元素与集合之间的关系. ∵非空集合Q P ,满足Q Q P = ,Q P ≠ ∴P Q ≠⊂.∴Q x ∈∀,有P x ∈,P x ∈∃,使得Q x ∉.即（A ）、（B ）正确. ∴选择答案【 CD 】. 11. 给出下列四个命题:①若b a >且b a 11>,则0>ab ; ②若0>>>b ac ,则bc ba c a ->-; ③若0>>>c b a ,则ca cb a b ++<; ④若1=+b a ,则b a 11+≥4其中正确的命题是 【 】 （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④ 答案 【 BC 】解析 本题考查不等式的基本性质.对于①,011>-=-abab b a ,∵b a >,∴0<-a b ,∴0<ab .故①错误; 对于②,∵0>>>b ac ,∴0,0>->-b c a c ,0>-b a ,∴()()()0>---=---b c a c b a c b c b a c a .故②正确;对于③,∵0>>>c b a ,∴0<-a b ,∴()()0<+-=++-c a a a b c c a c b a b ,故③正确; 对于④,注意利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正、二定、三相等.当0,0>>b a ,且1=+b a 时,()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+21111≥422=⋅+a b b a ,当且仅当21==b a 时等号成立.故④错误. ∴正确的命题是②③. ∴选择答案【 BC 】.12. 下列结论正确的是 【 】 （A ）当0>x 时,xx 1+≥2（B ）当2>x 时,xx 1+的最小值是2 （C ）当45<x 时,54124-+-x x 的最小值是5（D ）设0,0>>y x ,且2=+y x ,则y x 41+的最小值是29答案 【 AD 】解析 本题考查利用基本不等式求最值,注意等号成立的条件,即取得最值的条件是否满足. 对于（A ）,当0>x 时,0>x ,∴xx 1+≥212=⋅xx ,当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立.故（A ）正确; 对于（B ）,设()x x x f 1+=,∵()x f 在[)+∞,1上单调递增,∴当2>x 时,()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,25x f ,无最小值.故（B ）错误; 对于（C ）,当45<x 时,054<-x . ∴34514535415454124+⎪⎭⎫⎝⎛-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()3451452+-⋅--x x 1=,当且仅当xx 45145-=-,即1=x 时,等号成立,∴54124-+-x x 的最大值是1,无最小值.故（C ）错误;对于（D ）,∵0,0>>y x ,2=+y x∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+x y yx y x y x y x 42125412141≥29225422125=+=⋅⨯+x y y x . 当且仅当x y y x =4,即34,32==y x 时,等号成立. ∴y x 41+的最小值是29.故（D ）正确. ∴选择答案【 AD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 命题“∈∃x R ,0122<++x x ”的否定是______________________. 答案 ∈∀x R ,122++x x ≥0解析 本题考查存在量词命题的否定.存在量词命题的否定为全称量词命题（仍是一个命题）. 含有1个量词的命题的否定方法:改变量词,否定结论. 该命题的否定:∈∀x R ,122++x x ≥0. 14. 已知43,26πβππαπ<<-<<,则βα-的取值范围是_____________.答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<--6512πβαπβα解析 本题考查不等式的基本性质. ∵43πβπ<<-,∴34πβπ<-<-.∵26παπ<<∴3246ππβαππ+<-<-,即6512πβαπ<-<-.∴βα-的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<--6512πβαπβα.15. 已知命题44:+<<-a x a p ,命题()()032:>--x x q .若q 是p 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是_____________. 答案 []6,1-解析 本题考查从集合的角度理解充分必要条件.不等式()()032>--x x 同解于()()032<--x x ,解之得:32<<x .设{}44+<<-=a x a x A ,{}32<<=x x B . ∵q 是p 的充分不必要条件∴A B ≠⊂,则有⎩⎨⎧≥+≤-3424a a ,解之得:1-≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[]6,1-.16. 关于x 的方程()0212=++-x m mx 的所有实数根的和为2的充要条件是___________. 答案 0=m解析 本题考查充要条件的确定.当0=m 时,02=+-x ,解之得:2=x ,符合题意;当0≠m 时,则有()[]()⎪⎩⎪⎨⎧=+--≥-+-=∆210812mm m m ,解之得:无解.综上所述,符合题意的充要条件是0=m .四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}a x a x A +≤≤-=22,{}0452≥+-=x x x B . （1）当3=a 时,求B A , A （C R B ）; （2）若∅=B A ,求实数a 的取值范围. 解:（1）当3=a 时,{}51≤≤-=x x A . 解不等式452+-x x ≥0得:x ≥4或x ≤1. ∴{}14≤≥=x x x B 或.∴[][]5,41,1 -=B A ,C R B {}41<<=x x . ∴ A （C R B ）[]5,1-=; （2）∵∅=B A∴⎩⎨⎧<+>-4212a a ,解之得:1<a . ∴实数a 的取值范围是()1,∞-.18.（本题满分12分）若集合{}0652=-+=x x x A ,(){}031222=-+++=m x m x x B . （1）若0=m ,写出B A 的子集; （2）若B B A = ,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,{}{}1,30322-==-+=x x x B . ∵{}{}1,60652-==-+=x x x A ∴{}1,1,6--=B A .∴其子集为:{}{}{}{}{}{}{}1,1,6,1,1,1,6,1,6,1,1,6,--------∅,共8个（823=）; （2）∵B B A = ,∴A B ⊆. 分为两种情况:当∅=B 时,符合题意,此时()[]()0341222<--+=∆m m ,解之得:2-<m ;当∅≠B 时,则{}6-=B 或{}1=B 或{}1,6-=B :若{}6-=B 或{}1=B ,则()[]()0341222=--+=∆m m ,解之得:2-=m ,此时{}1=B ,符合题意;若{}1,6-=B ,则有()[]()()⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=-+-=+->--+=∆163161203412222m m m m ,解之得:无解.综上所述,实数m 的取值范围为(]2,-∞-. 19.（本题满分12分） （1）已知0>x ,求xx 42--的最大值; （2）已知2>x ,求21-+x x 的最小值; （3）已知210<<x ,求()x x 2121-的最大值;（4）求182-+x x （1>x ）的最小值.解:（1）∵0>x ∴⎪⎭⎫⎝⎛+-=--x x x x 4242≤2422-=⋅-x x .当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴xx 42--的最大值为2-; （2）∵2>x ,∴02>-x∴221221+-+-=-+x x x x ≥()422122=+-⋅-x x . 当且仅当212-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴21-+x x 的最小值为4;（3）∵210<<x ,∴021>-x .∴()()x x x x 212412121-=-≤16141412212412=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x .当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴()x x 2121-的最大值为161; 另解: 设()()1614121212122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-=x x x x x x f .∵210<<x ∴当41=x 时,()161max =x f ,即()x x 2121-的最大值为161.（4）∵1>x ,∴01>-x .∴()()2191191211822+-+-=-+-+-=-+x x x x x x x ≥()821912=+-⋅-x x .当且仅当191-=-x x ,即4=x 时,等号成立.∴182-+x x （1>x ）的最小值为8.20.（本题满分12分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=013x x x A ,集合(){}021222<-+++-=m m x m x x B .命题A x p ∈:,命题B x q ∈:,若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解: 解分式不等式013>+-x x得:31<<-x . ∴{}31<<-=x x A .∵p 是q 的必要不充分条件,∴A B ≠⊂.解方程()021222=-+++-m m x m x 得:1,221-=+=m x m x . ∴()[]()[]{}{}21021+<<-=<+---=m x m x m x m x x B . ∵{}31<<-=x x A ,A B ≠⊂∴⎩⎨⎧≤+-≥-3211m m ,解之得:0≤m ≤1.∴实数m 的取值范围为[]1,0. 21.（本题满分12分）围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修）,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽为2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x （单位: m ）,修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位: 元）. （1）将y 表示为x 的函数;（2）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:（1）由题意可得:36036022518023602452-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯+=x x x x x y ; （2）∵3603602252-+=xx y ≥=-⨯⨯=-⋅36036015236036022522x x 10440. 当且仅当xx 2360225=,即24=x 时,等号成立.∴当24=x 时,10440min =y （元）.答:当24=x m 时,修建此矩形场地围墙的总费用最小,最小费用为10440元. 22.（本题满分12分）已知函数()()422++-=x a x x f （∈a R ）. （1）解关于x 的不等式()x f ≤a 24-;（2）若对任意的1≤x ≤4,()1++a x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 解:（1）()x f ≤a 24-,即()422++-x a x ≤a 24-. ∴()()()a x x a x a x --=++-2222≤0. 当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x ;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ; 当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2.综上所述,当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x ;当2=a 时,原不等式的解集为{}2=x x ;当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2. （2）()1++a x f ≥0,即()522+++-a x a x ≥0. ∴()1-x a ≤()415222+-=+-x x x . ∵1≤x ≤4,()0412>+-x∴当1=x 时,0≤()412+-x 恒成立,此时∈a R ;当x <1≤4时,则有a ≤()1411412-+-=-+-x x x x .只需a ≤min 141⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 即可. ∵141-+-x x ≥()41412=-⋅-x x ,当且仅当141-=-x x ,即3=x 时取等号 ∴4141min =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x . ∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-.新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （一）B 卷考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ,{}2,1,0=M ,{}3,2=N ,则（C U M ）=N 【 】 （A ）{}4,3,2 （B ）{}3 （C ）{}2 （D ）{}4,3,2,1,02. 设()y x P ,,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在一次函数1+-=x y 的图象上”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3. 设d c b a >>,,则下列不等式中一定成立的是 【 】 （A ）d b c a ->- （B ）bd ac > （C ）d b c a +>+ （D ）c b d a +>+4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<--=Z x x x x A ,014,{}8,2,m B =,若B B A = ,则=m 【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）55. 若不等式042<++ax x 的解集为∅,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）(][)+∞-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44, 6. 已知2>x ,则函数x x y 424+-=的最小值是 【 】（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）167. 设全集=U R ,{}22>-<=x x x M 或,{}31≤≤=x x N .如图所示,则阴影部分表示的集合为 【 】 （A ）{}12<≤-x x （B ）{}32≤≤-x x （C ）{}32>≤x x x 或 （D ）{}22≤≤-x x8. 定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集,记为()A P ,用()A n 表示有限集A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合A ,都有()A P A ⊆;②存在集合A ,()[]3=A P n ;③若∅=B A ,则()()∅=B P A P ;④若B A ⊆,则()()B P A P ⊆;⑤若()()1=-B n A n ,则()[]()[]B P n A P n ⨯=2.其中正确的命题个数为 【 】 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列命题中是真命题的是 【 】 （A ）∈∀x R ,04322>+-x x （B ）{}0,1,1-∈∀x ,012>+x （C ）∈∃x N ,使得x ≤x （D ）∈∃x N*,使x 为29的约数10. 已知06:2=-+x x p ,01:=+ax q .若p 是q 的必要不充分条件,则a 的值可以是 【 】 （A ）2- （B ）21-（C ）31 （D ）31-11. 已知函数b ax x y ++=2（0>a ）有且只有一个零点,则 【 】 （A ）22b a -≤4 （B ）ba 12+≥4 （C ）若不等式02<-+b ax x 的解集为()21,x x ,则021>x x（D ）若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ,且421=-x x ,则4=c12. 下列求最值的运算中,错误的是 【 】 （A ）当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x x x x 11≤()212-=-⋅--x x ,当且仅当1-=x 时,x x 1+取得最大值,最大值为2-（B ）当1>x 时,12-+x x ≥122-⋅x x ,当且仅当12-=x x 时取等号,解得1-=x 或2=x ,又1>x ,所以2=x ,故当1>x 时,12-+x x 的最小值为41222=-+ （C ）由于4494492222-+++=++x x x x ≥()24494222=-+⋅+x x ,故4922++x x 的最小值是2（D ）已知0,0>>y x ,且24=+y x .∵y x 42+=≥xy y x 442=⋅,∴xy ≤21,又因为y x 11+≥xyy x 2112=⋅≥4212=,∴当0,0>>y x ,且24=+y x 时,y x 11+的最小值为4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合{}01582=+-=x x x A ,{}02=+-=b ax x x B ,若{}5,3,2=B A ,{}3=B A ,则=ab __________.14. 若关于x 的不等式0>+b ax 的解集为()+∞,1,则11+-b a 的最小值为__________. 15. 若不等式021<-+-mx m x 成立的一个充分不必要条件是2131<<x ,则实数m 的取值范围是________________.16. 已知正实数y x ,满足14522=-+y xy x ,则22812y xy x -+的最小值为__________. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分） （1）计算:21432540625.0833425-⎪⎭⎫⎝⎛++-; （2）解不等式:x 26-≤1832<-x x .18.（本题满分12分）若21,x x 分别是函数3422-+=x x y 的两个零点. （1）求21x x -的值;（2）求3231x x +的值.19.（本题满分12分）设集合{}21≤≤-=x x A ,非空集合{}12<<=x m x B .（1）若“A x ∈”是“B x ∈”成立的必要条件,求实数m 的取值范围; （2）若 B （C R A ）的元素中只有两个整数,求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中,准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销,预计该产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为23+=x w （其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本3⎪⎭⎫ ⎝⎛+w w 3万元（不包括推广促销费用）,加工后的每件成品的销售价格定为⎪⎭⎫ ⎝⎛+w 304元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数;（利润＝销售额－成本－推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时,此产品的利润最大?最大利润为多少?21.（本题满分12分） 已知()12632+-+-=x a a x y .（1）若不等式b y >的解集为()3,0,求实数b a ,的值;（2）若3=a 时,对于任意实数x ,都有y ≤m m x 6932-+,求m 的取值范围.22.（本题满分12分）设函数b x ax y -+=2（∈a R ,∈b R ）. （1）若45-=a b ,且集合{}0=y x 中有且只有一个元素,求实数a 的取值组合; （2）求不等式()222--+<b x a y 的解集;（3）当1,0>>b a 时,记不等式y ≥0的解集为P ,集合{}t x t x Q +-<<--=22.若对于任意正数t ,∅≠Q P ,求ba 11-的最大值.新人教A 版高一上学期摸底试卷数 学 试 卷 （一）B 卷 答 案 解 析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分,共40分）1. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ,{}2,1,0=M ,{}3,2=N ,则（C U M ）=N 【 】 （A ）{}4,3,2 （B ）{}3 （C ）{}2 （D ）{}4,3,2,1,0 答案 【 B 】解析 本题考查集合的基本运算——补集运算和交集运算.注意集合元素的三个性质. ∵{}4,3,2,1,0=U ,{}2,1,0=M ∴C U M {}4,3=. ∴（C U M ）=N {}3. ∴选择答案【 B 】.2. 设()y x P ,,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在一次函数1+-=x y 的图象上”的 【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案 【 A 】解析 本题考查充分必要条件的判断. 判断充分必要条件的基本思路是: （1）首先确定条件是什么,结论是什么;（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件（必要时举出反例）; （3）指出条件是结论的什么条件.显然,由“2=x 且1-=y ”可以推出“点P 在一次函数1+-=x y 的图象上”,但是后者不能推出前者.∴“2=x 且1-=y ”是“点P 在一次函数1+-=x y 的图象上”的充分不必要条件. ∴选择答案【 A 】.3. 设d c b a >>,,则下列不等式中一定成立的是 【 】 （A ）d b c a ->- （B ）bd ac > （C ）d b c a +>+ （D ）c b d a +>+ 答案 【 C 】解析 本题考查不等式的基本性质.对于（A ）,不等式没有同向可减性,故（A ）错误;对于（B ）,不等式具有同向同正可乘性:若0,0>>>>d c b a ,则bd ac >.故（B ）错误; 对于（C ）,不等式具有同向可加性.故（C ）正确; 对于（D ）,不符合不等式的基本性质,故（D ）错误. ∴选择答案【 C 】.4. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<--=Z x x x x A ,014,{}8,2,m B =,若B B A = ,则=m 【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 答案 【 C 】解析 本题考查分式不等式的解法以及并集运算.解分式不等式的基本思路是把分式不等式转化为同解的整式不等式.两个集合的并集是一种运算,其结果仍是一个集合,它是由两个集合中的所有元素组成的集合,注意集合元素的互异性. 分式不等式014<--x x 同解于()()041<--x x ,解之得:41<<x . ∴{}{}3,2,41=∈<<=Z x x x A . ∵B B A = ,∴B A ⊆. ∴{}{}8,2,3,2m ⊆,∴3=m . ∴选择答案【 C 】.5. 若不等式042<++ax x 的解集为∅,则实数a 的取值范围是 【 】（A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）(][)+∞-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44, 答案 【 A 】解析 本题考查一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程之间的关系. ∵042<++ax x 的解集为∅ ∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[]4,4-. ∴选择答案【 A 】. 6. 已知2>x ,则函数x x y 424+-=的最小值是 【 】（A ）6 （B ）8 （C ）12 （D ）16 答案 【 D 】解析 本题考查利用基本不等式求最值. ∵2>x ,∴02>-x .∴()82424424+-+-=+-=x x x x y ≥()16824242=+-⋅-x x . 当且仅当()2424-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴函数x x y 424+-=的最小值是16.∴选择答案【 D 】.7. 设全集=U R ,{}22>-<=x x x M 或,{}31≤≤=x x N .如图所示,则阴影部分表示的集合为 【 】 （A ）{}12<≤-x x （B ）{}32≤≤-x x （C ）{}32>≤x x x 或 （D ）{}22≤≤-x x答案 【 A 】解析 本题考查德·摩根定律. C U （B A ）(C U A ) (C U B ).图中阴影部分表示的集合为: C U （N M ）. ∵{}22>-<=x x x M 或,{}31≤≤=x x N ∴{}12≥-<=x x x N M 或 . ∴C U （N M ）{}12<≤-=x x . ∴选择答案【 A 】.8. 定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集,记为()A P ,用()A n 表示有限集A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合A ,都有()A P A ⊆;②存在集合A ,()[]3=A P n ;③若∅=B A ,则()()∅=B P A P ;④若B A ⊆,则()()B P A P ⊆;⑤若()()1=-B n A n ,则()[]()[]B P n A P n ⨯=2.其中正确的命题个数为 【 】 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 答案 【 A 】解析 本题考查集合的新定义.对于①,集合与元素之间的关系为从属关系,根据题意可得:()A P A ∈,故①错误;对于②,设集合A 含有m （∈m N ）个元素,则集合A 的子集个数为m 2,集合()A P 的元素个数为m 2.若()[]3=A P n ,则32=m ,显然无解,所以不存在这样的集合A ,使()[]3=A P n .故②错误; 对于③,若∅=B A ,则()(){}∅=B P A P .故③错误; 对于④,若B A ⊆,则()()B P A P ⊆.故④正确;对于⑤,若()()1=-B n A n ,设()m B n =,则()1+=m A n ,∴()[]12+=m A P n ,()[]m B P n 2=. ∴()[]()[]B P n A P n m m 22221=⨯==+.故⑤正确. ∴正确的命题个数为2. ∴选择答案【 D 】.二、多项选择题（每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）9. 下列命题中是真命题的是 【 】（A ）∈∀x R ,04322>+-x x （B ）{}0,1,1-∈∀x ,012>+x （C ）∈∃x N ,使得x ≤x （D ）∈∃x N*,使x 为29的约数 答案 【 ACD 】解析 本题考查判断含有一个量词（全称量词或存在量词）的命题的真假. 对于（A ）,∈∀x R ,082343243222>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .故（A ）是真命题; 对于（B ）,显然,当1-=x 时,011212<-=+-=+x .故（B ）是假命题; 对于（C ）,当{}[)+∞∈,10 x 时,x ≤x 成立.故（C ）是真命题; 对于（D ）,当1=x 和29=x 时,x 为29的约数.故（D ）是真命题. ∴选择答案【 ACD 】.10. 已知06:2=-+x x p ,01:=+ax q .若p 是q 的必要不充分条件,则a 的值可以是 【 】 （A ）2- （B ）21- （C ）31 （D ）31-答案 【 BC 】解析 本题考查根据充分必要性确定参数的值或取值范围. 设{}{}2,3062-==-+=x x x A ,{}01=+=ax x B . ∵p 是q 的必要不充分条件 ∴A B ≠⊂.当0=a 时,∅=B ,符合题意;当0≠a 时,{}31-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a x x B 或{}2=B :若{}3-=B ,则31-=-a ,解之得:31=a ; 若{}2=B ,则21=-a ,解之得:21-=a .综上所述,实数a 的取值集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31,0,21. ∴选择答案【 BC 】.11. 已知函数b ax x y ++=2（0>a ）有且只有一个零点,则 【 】 （A ）22b a -≤4（B ）ba 12+≥4 （C ）若不等式02<-+b ax x 的解集为()21,x x ,则021>x x（D ）若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ,且421=-x x ,则4=c 答案 【 ABD 】解析 本题考查一元二次函数与一元二次不等式的关系. ∵函数b ax x y ++=2（0>a ）有且只有一个零点 ∴方程02=++b ax x 有两个相等的实数根. ∴042=-=∆b a ,∴0412>=a b （0>a ）. 对于（A ）,()4242222+--=-=-b b b b a ≤4.故（A ）正确; 对于（B ）,b b b a 1412+=+≥4142=⋅b b ,当且仅当b b 14=,即2,21==a b 时,等号成立.∴ba 12+≥4.故（B ）正确; 对于（C ）,由根与系数的关系定理可得:021<-=b x x （0>b ）.故（C ）错误;对于（D ）,若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ,则方程02=-++c b ax x 的两个实数根分别为21,x x ,由根与系数的关系定理可得:c b x x a x x -=-=+2121,. ∵421=-x x ∴()()()()4444442221221221==+-=---=-+=-c c b a c b a x x x x x x .解之得:4=c . 故（D ）正确.∴选择答案【 ABD 】.12. 下列求最值的运算中,错误的是 【 】 （A ）当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x x x x 11≤()212-=-⋅--x x ,当且仅当1-=x 时,x x 1+取得最大值,最大值为2- （B ）当1>x 时,12-+x x ≥122-⋅x x ,当且仅当12-=x x 时取等号,解得1-=x 或2=x ,又1>x ,所以2=x ,故当1>x 时,12-+x x 的最小值为41222=-+（C ）由于4494492222-+++=++x x x x ≥()24494222=-+⋅+x x ,故4922++x x 的最小值是2（D ）已知0,0>>y x ,且24=+y x .∵y x 42+=≥xy y x 442=⋅,∴xy ≤21,又因为y x 11+≥xyy x 2112=⋅≥4212=,∴当0,0>>y x ,且24=+y x 时,y x 11+的最小值为4 答案 【 BCD 】解析 本题考查利用基本不等式求最值.注意必须满足的三个条件:一正、二定、三相等. 对于（A ）,显然正确;对于（B ）,当1>x 时,01>-x ,∴112112+-+-=-+x x x x ≥()12211212+=+-⋅-x x . 当且仅当121-=-x x ,即12+=x 时,等号成立. ∴当1>x 时,12-+x x 的最小值为122+.故（B ）错误;对于（C ）,等号成立的条件是49422+=+x x ,得到12-=x ,无解,∴4922++x x 的最小值不是2.故（C ）错误;实际上,设42+=x t ,则[)+∞∈,4t ,494922-+=++=tt x x y . ∵函数49-+=tt y 在[)+∞,3上为增函数 ∴当4=t ,即0=x 时,494494min =-+=y ,即4922++x x 的最小值是49.对于（D ）,当连续两次使用基本不等式求最值时,要保证两个等号成立的条件一致.由此可以确定（D ）错误. ∴选择答案【 BCD 】.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知集合{}01582=+-=x x x A ,{}02=+-=b ax x x B ,若{}5,3,2=B A ,{}3=B A ,则=ab __________. 答案 30解析 本题考查根与系数的关系定理.{}{}5,301582==+-=x x x A .∵{}5,3,2=B A ,{}3=B A∴{}3,2=B .由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧=⨯==+=632532b a ,∴3065=⨯=ab . 14. 若关于x 的不等式0>+b ax 的解集为()+∞,1,则11+-b a 的最小值为__________. 答案 3解析 本题考查利用基本不等式求最值.由题意可知:0>a .解不等式0>+b ax 得:a b x ->. ∴1=-ab ,∴a b -=. ∴1111++=+-aa b a ≥3112=+⋅a a （注意0>a ）. 当且仅当aa 1=,即1=a 时,等号成立. ∴11+-ba 的最小值为3. 点评 注意本题中一元一次不等式的解集的形式与a 的符号有关,根据不等式的可乘性得出了0>a 的结论.15. 若不等式021<-+-mx m x 成立的一个充分不必要条件是2131<<x ,则实数m 的取值范围是________________.答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,41 解析 本题考查含参分式不等式的解法以及从集合的角度理解充分必要性. 不等式021<-+-mx m x 同解于()()012<+--m x m x . 解方程()()012=+--m x m x 得:1,221-==m x m x .当12-<m m ,即1-<m 时,原不等式的解集为{}12-<<m x m x ;当12-=m m ,即1-=m 时,()022<-m x ,原不等式的解集为∅,不符合题意;当12->m m ,即1->m 时,原不等式的解集为{}m x m x 21<<-.综上所述,当1-<m 时,原不等式的解集为{}12-<<m x m x ;当1->m 时,原不等式的解集为{}m x m x 21<<-.设原不等式的解集为A ,由题意可知:⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31A ≠⊂. 若()1,2-=m m A ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤211312m m ,解之得:无解; 若()m m A 2,1-=,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-212311m m ,解之得:41≤m ≤34. 综上所述,实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,41. 16. 已知正实数y x ,满足14522=-+y xy x ,则22812y xy x -+的最小值为__________. 答案 37 解析 本题考查利用重要不等式求最值.∵14522=-+y xy x ,∴()()15=-+y x y x .设⎩⎨⎧=-=+b y x a y x 5,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=656b a y ba x ,1=ab . ∴2222656568612812⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-+b a b a b a b a y xy x 1222922b ab a ++=≥371228122812226===+ab ab ab . 当且仅当b a =3,即3,33==b a 时,等号成立,此时93,932==y x . ∴22812y xy x -+的最小值为37. 四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）（1）计算:21432540625.0833425-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-; （2）解不等式:x 26-≤1832<-x x .解:（1）原式42523521212325=+=++-=; （2）原不等式同解于⎩⎨⎧<--≥-18326322x x x x x ,解之得:x <-3≤2-或3≤6<x . ∴原不等式的解集为(][)6,32,3 --.18.（本题满分12分）若21,x x 分别是函数3422-+=x x y 的两个零点.（1）求21x x -的值;（2）求3231x x +的值.解:（1）∵21,x x 分别是函数3422-+=x x y 的两个零点∴21,x x 分别是方程03422=-+x x 的两个实数根.由根与系数的关系定理可得:23,2242121-=-=-=+x x x x . ∴()()()102342422122122121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-+=-=-x x x x x x x x ; 另解: ()1024023244221==-⨯⨯-=∆=-a x x . （2）()()()()[]21221212221212132313x x x x x x x x x x x x x x -++=+-+=+ ()17233222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯-=. 19.（本题满分12分）设集合{}21≤≤-=x x A ,非空集合{}12<<=x m x B .（1）若“A x ∈”是“B x ∈”成立的必要条件,求实数m 的取值范围;（2）若 B （C R A ）的元素中只有两个整数,求实数m 的取值范围.解:（1）∵“A x ∈”是“B x ∈”成立的必要条件∴A B ⊆.∵集合B 为非空集合∴⎩⎨⎧-≥<1212m m ,解之得:21-≤21<m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,21; （2）∵{}21≤≤-=x x A ,∴C R A {{}21>-<=x x x 或.∵ B （C R A ）的元素中只有两个整数,{}12<<=x m x B∴这两个整数为3,2--,则有:⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<<423212m m m ,解之得:2-≤23-<m . ∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--23,2. 20.（本题满分12分）精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中,准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销,预计该产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为23+=x w （其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本3⎪⎭⎫ ⎝⎛+w w 3万元（不包括推广促销费用）,加工后的每件成品的销售价格定为⎪⎭⎫ ⎝⎛+w 304元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数;（利润＝销售额－成本－推广促销费）（2）当推广促销费投入多少万元时,此产品的利润最大?最大利润为多少?解:（1）由题意可得:x w w x w w w w y -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=30933304 ∵23+=x w ∴263318213023923++--=-++-+=x x x x x y （x <0≤5）;（2）33336321263333632126333621+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x x x x x y ≤()27333363221=++⋅+⨯-x x . 当且仅当3363+=+x x ,即3=x 时,等号成立. ∴27max =y （万元）.答:当推广促销费投入3万元时,此批产品的利润最大,最大利润为27万元.21.（本题满分12分）已知()12632+-+-=x a a x y .（1）若不等式b y >的解集为()3,0,求实数b a ,的值;（2）若3=a 时,对于任意实数x ,都有y ≤m m x 6932-+,求m 的取值范围.解:（1）b y >即()b x a a x >+-+-12632的解集为()3,0.∴()012632<-+-+b x a a x 的解集为()3,0.∴方程()012632=-+-+b x a a x 的两个实数根分别为0和3.由根与系数的关系定理可得:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=-+=--303123036b a a ,解之得:⎩⎨⎧==123b a ; （2）当3=a 时,12932++-=x x y .∵y ≤m m x 6932-+∴12932++-x x ≤m m x 6932-+.整理得:12632++-x x ≤m m 692-对任意实数x 都成立.∴m m 692-≥()max 21263++-x x .∵()1513126322+--=++-x x x∴()151263max 2=++-x x∴m m 692-≥15,解之得:m ≥35或m ≤1-.∴m 的取值范围为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,351, . 22.（本题满分12分）设函数b x ax y -+=2（∈a R ,∈b R ）.（1）若45-=a b ,且集合{}0=y x 中有且只有一个元素,求实数a 的取值组合; （2）求不等式()222--+<b x a y 的解集;（3）当1,0>>b a 时,记不等式y ≥0的解集为P ,集合{}t x t x Q +-<<--=22.若对于任意正数t ,∅≠Q P ,求ba 11-的最大值. 解:（1）当0=a 时,45-=b ,此时045=+x ,解之得:45-=x ,符合题意; 当0≠a 时,则方程04522=+-+=-+a x ax b x ax 有两个相等的实数根. ∴04541=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∆a a ,整理得:01542=+-a a ,解之得:41,121==a a . 综上所述,实数a 的取值组合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,41,0; （2）()222--+<b x a y 即()2222--+<-+b x a b x ax .∴()02122<++-x a ax .当0=a 时,02<+-x ,解之得:2>x ,∴原不等式的解集为{}2>x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x x a . 当0<a 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x x ,且21<a ,解之得:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x x x 12或; 当0>a 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x x : 若210<<a ,则21>a ,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 12; 若21=a ,则()022<-x ,原不等式的解集为∅; 若21>a ,则21<a ,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x a x . 综上所述,当0=a 时,原不等式的解集为{}2>x x ;当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x x x 12或;。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(56)

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷含答案解析(56)

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

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高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( )A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0【答案】A【解析】设y＝kx＋b，由题意得k＜0，b＞0，且解得【考点】点斜式方程及三角形的面积.2.已知，且满足，那么的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，当且仅当，即时等号的成立的，所以的最小值为，故选B．【考点】基本不等式的应用．3.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.＝10，此时v＝＝30【答案】（1）当t＝时，Smin（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【解析】（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则故当时，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小（2）设小艇与轮船在处相遇.则，故∵，∴，即，解得又时，，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时【考点】函数模型的选择与应用．4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．55B．65C．78D．89【答案】A【解析】第一次执行循环体时，，满足判断框的条件，第二次执行循环体时，，满足判断框的条件，第三次执行循环体时，，满足判断框的条件，第四次执行循环体时，，满足判断框的条件，第五次执行循环体时，，满足判断框的条件，第六次执行循环体时，，满足判断框的条件，第七次执行循环体时，，，满足判断框的条件，第八次执行循环体时，，不满足判断框的条件，退出循环体，输出，故答案为A.【考点】程序框图的应用.5.设向量，满足及.（1）求，夹角的大小；（2）求的值.【答案】(1) .(2)|3a＋b|＝.【解析】(1)根据(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7,可得a·b＝,再根据数量积的定义可求出cos θ＝,进而得到夹角.(2)先求(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，从而得到|3a＋b|＝.(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cos θ＝，即cos θ＝又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角为.(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝..【考点】考查了向量的数量积，以及利用数量积求模，夹角等知识.点评：掌握数量积的定义：,求模可利用: 来求解.6.已知向量，若与平行，则实数= ．【答案】【解析】由题意得：，解得：．【考点】1．向量平行；7.正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

人教A版高中数学必修一1能力测试(附答案)

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人教A版高中数学必修一1能力测试(附答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2福州市2009-2010学年度第一学期高一模块质量检查数学（1）试卷（满分150分；完卷时间：120分钟）（第Ⅰ卷）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填在答题卡上的相应空格内.1. 若集合{}20A x x x =-=，则（ ）．A ．0A ∈B ．0A ∉C ．0A ⊆D ．0 A2. 集合{},A a b =的所有非空子集的个数是（ ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个 3. 函数()()1lg -=x x f 的定义域为（ ）．A. ()+∞∞-,B. [)+∞,1C. ()1,1-D. ()+∞,1 4. 函数3x y =的反函数的图象是（ ）．一、选择题：5. 若32x=, 则x 等于（ ）．A ．lg 2lg3-B ． lg3lg 2-C ．lg 3lg 2 D ．lg 2lg 36. 若{}{},,1,0,1,A a b B f ==-是A 到B 的一个映射，则满足()()f a f b =的映射有（ ）．A. 2个B. 3个C. 6个D. 8个317. 变量y 随变量x 变化的数据如下表：则能基本反映y 随x 变化的函数模型是（ ）．A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数 8. 已知函数()f x x =，则下列结论正确的是（ ）．A. 奇函数，在(),0-∞上是减函数B. 奇函数，在(),0-∞上是增函数C. 偶函数，在(),0-∞上是减函数D. 偶函数，在(),0-∞上是增函数 9. 下列函数中满足等式()11f f x x ⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的是（ ）． A ．31x y = B ． x y 2= C ．xy 2= D ．x y 2log =10. 己知函数()52+-=mx x x f 在区间[)+∞-,1上是增函数，则（ ）．A ．()()1-≥f x fB ．()()1-≤f x fC ．()81≥-fD ．()41≤-f二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.11. 若幂函数()f x 的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x = _______． 12. 已知51=+-x x ，则22-+x x 的值等于 _______．13. 已知实数0x 是函数()x f 在区间()2,1上符合用“二分法”求近似值的唯一零点，若给定精确度为0.1，那么判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 ．14. 如右图所示，I 是全集，集合A 、B 是集合I 的两个子集，则阴影部分所表示的集合是________________．41三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分） （1）32416--（2）2lg 5lg 20(lg 2)⋅+16. （本小题满分12分）已知二次函数2()f x x ax b =++（a 、b 为常数）满足()()01f f =， 方程()f x x =有两个相等的实数根．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的值域．17.（本小题满分10分） 函数22-=x y 和231x y =的图象如图所示，其中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数值相等，且<<01x 2x 3< x ，O 为坐标原点．（1）请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； （2）现给出下列三个结论：① 当(),1x ∈-∞-时，22-x <231x ； ② ()21,2x ∈； ③ ()34,5x ∉，请你选择一个结论判定其是否成立，并说明理由．第17题图51（第Ⅱ卷）四、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.18. 设函数1()()2xf x = ，若0()f x >2，则0x 的取值范围是 ．19. 若函数()f x 1log (1)a x =+- ，则函数()f x 的图象恒过定点 ． 20. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x x =-；则当0x ≥时，()f x = ．五、解答题：本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. （本小题满分11分）已知全集R U =，集合{}51|<≤=x x A ，{}82|<<=x x B ，{}3|+≤<-=a x a x C .(1) 求B A ，()RA B ；(2) 若C A C =，求a 的取值范围.22. （本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15﹪进行奖励；当销售利润超过10万元时,若超出A 万元，则超出部分按2()5log 1A +进行奖励．记奖金y （单位：万元），销售利润x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；（2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?23.（ 本小题满分12分）已知函数()22(R,R)x xf x x λλ=+∈∈． （1）讨论函数()x f 的奇偶性,并说明理由；（2）当4λ≥时，求证方程()=f x μ（R μ∈）在(],1x ∈-∞上至多有一个实数解．6福州市2009-2010学年度第一学期高一模块质量检查数学（1）试卷参考答案一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分.1. A2. B3. D4. B5. D6. B7. C8. C9. A 10. D 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共12分. 11. 2x - 12. 23 13. 4 14.()IA B （或填()()I IA B ）三、解答题：本大题共3小题，共34分.15. （本小题满分12分）解：（1）原式= 323-- ……………………4分=728- ； ……………………6分 （2）原式=()2lg5lg 21(lg 2)⋅++ ……………………2分 =lg5(lg 2lg5)lg 2++ ……………………4分 =1 . ……………………6分 16. （本小题满分12分） 解：（1）由 ()()01f f =得=1++b a b , 所以 -1a = . ……………………2分∵ 方程()f x x =有两个相等的实数根, ∴ 2-2=0x x b +方程的判别式=0∆,∴ 4-4=0,b =1b. ……………………5分 故 2()-1f x x x =+； ……………………6分 （2）2()-1f x x x =+=213-+24x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ……………………7分∵[]10,4,2∈ ∴ 当12x =时, ()min 3=4f x . ……………………9分 又 ∵114-0-22> , ∴ 根据二次函数的对称性与单调性知,当4x =时()[]()0,44=13.f f x 在有最大值 上 ……………………11分7故2()-1f x x x =+在[0,4]的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……………………12分17.（本小题满分10分） （1）1C 为231x y =， 2C 为 22-=x y ； ……………………4分 （2） 结论①成立，理由如下： ……………………5分∵ 函数22-=x y 在(]-,-1∞上是增函数，∴ (),1x ∈-∞-时，8122212=<---x . ……………………7分 又∵函数231x y =在上(]-,-1∞是减函数， ∴ (),1x ∈-∞-时， ()311313122=-⨯>x . ……………………9分而11<83， 所以 当(),1x ∈-∞-时，22-x <231x ； ……………10分结论②成立，理由如下： ……………………5分 构造函数22312)(x x f x -=-， ……………………7分 则061)1(>=f ，031)2(<-=f ， ∴)(x f 在区间)2,1(内有零点， ……………………9分 同理 )(x f 在区间)6,5(内有零点，由题意∴)2,1(2∈x ； )6,5(3∈x . ……………………10分 结论③成立，理由同② .四、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 18. ()-,-1∞ 19. ()1,2 20. 22x x +五、解答题：本大题共3小题，共35分.21. （本小题满分11分）解：（1）{}81|<≤=x x B A ， ……………………2分∵()R A {}51|≥<=x x x 或， ……………………4分 ∴()RA B {}|58x x =≤<. ……………………5分（2）∵CA C =,8∴ C A ⊆ ……………………6分 ① 当φ=C 时，满足A C ⊆， 此时3+≥-a a ，得23-≤a ； ……………………8分 ② 当φ≠C 时，要A C ⊆，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-+<-5313a a a a ，解得123-≤<-a ； ………………10分由①②得，1-≤a . ……………………11分22. （本小题满分12分） 解：（1）由题意，得()50.15 , 0<10, 1.52log -9,10.x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩……………………6分（2）由(] 0,10,x ∈ 0.15 1.5x ≤， 而 5.5y = ，所以 10x >， ……………………8分 因此 ()51.52log -9 5.5x +=，解得 =34x （万元）. ……………………11分 答：（1）略 ；（2）老江的销售利润是34万元. ……………………12分23.（ 本小题满分12分）解：（1） 当=1λ时，()--=21-2x x f x =++212x x=()f x ， 此时()212x xf x =+为偶函数； …………2分当=-1λ时()---=21-2x x f x =-212x x =()-f x ， 此时()-212x xf x =为奇函数； …………4分当1λ≠，-1λ≠时，由()22x x f x λ=+得()1=2+2f λ，()1-1=-22f λ+， 易知()()-11f f ≠，()()-1-1f f ≠，9故()22x x f x λ=+为非奇非偶函数. …………6分（2） 设(]12,-,1x x ∈∞，且12x x <， 则()()121212()2222x x x x f x f x λλ-=-++=()12121222--2222x x x x x x λ⎛⎫ ⎪⎝⎭…………8分(]12,-,1x x ∈∞，且12x x <，120<2<22,x x ∴≤12022<4,x x ∴<而4λ≥，12121222--0,02222x x x x x x λ∴<<， ()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >， …………10分所以()22x x f x λ=+在(],1x ∈-∞上是减函数， …………11分由单调函数的图象的特征知，当4λ≥时，方程()=f x μ（R μ∈）在(],1x ∈-∞上至多有一个实数解． …………12分。

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)

(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)

（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。

(新教材)人教A版-数学必修第一册第五章 三角函数 测试题含答案

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绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题试卷副标题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.若α＝－3 rad，则它是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ()A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π2＋2kπD．α＋β＝(2k＋1)π3.化简√1－2sin4cos4的结果是()A． sin 4＋cos 4B． sin 4－cos 4C． cos 4－sin 4D．－sin 4－cos 44.当x∈[－2π，－32π]时，化简√1＋sinx＋√1－sinx的结果为()A．－2sin x2B．－2cos x2C．－2sin x2－2cos x2D． 2cos x25.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A．43B．34C．－43D．－346.设tan(π＋α)＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)等于() A． 3B．13C． 1D．－17.设α是第二象限角，且cosα2＝－√1−cos2(π−α2)，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tan xB．y＝cos xC．y＝tan x2D．y＝|sin x|9.函数f(x)＝sin(x+π3)＋sin(x−π3)的最大值是()A． 2B． 1C．12D．√310.函数f(x)＝sin x－√3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[−π,−5π6]B．[−5π6,−π6]C．[−π3,0]D．[−π6,0]11.为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的()A ． 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ． 横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ． 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ． 纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变12.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.角α∈(－π，－π2)，化简√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝________.14.若k ∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos(kπ2－α)＝cos α，则k 的值为________.15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________. 16.关于f (x )＝4sin (2x +π3)(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos (2x −π6)；③y ＝f (x )图象关于(−π6,0)对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.三、解答题(共6小题, 共70分)17.(1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角. 18.证明：cosx1－sinx ＝1＋sinx cosx .19.已知cos (π6−α)＝√33，求cos (56π+α)－sin 2(α−π6)的值.20.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合.(1)sin x ＞－12且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.21.证明：cos 20°cos(－70°)＋sin 200°sin 110°＋1+tan15°1+tan165°＝√3.22.如下图，f (x )＝A sin (2ωx +φ)(ω＞0，A ＞0，－π2＜φ＜0). (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－π，－π2]上的值域.答案1.【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的转化，1 rad ＝(180π)°，则α＝－3 rad ＝－(540π)°≈－171.9°，分析可得，α是第三象限角.2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验. 3.【答案】C【解析】√1－2sin4cos4＝√sin 24−2sin4cos4＋cos 24＝|sin 4－cos 4|. ∵5π4＜4＜3π2，∴由三角函数线易知cos 4＞sin 4. ∴√1－2sin4cos4＝cos 4－sin 4. 4.【答案】B【解析】∵x ∈[－2π，－32π]， ∴x2∈[－π，－34π]，∴sin x2＜0，cos x2＜0，sin x2－cos x2＞0， sin x2＋cos x 2＜0，则原式＝√sin 2x2+cos 2x2+2sin x2cos x2+√sin 2x2+cos 2x2−2sin x2cos x2＝√(sin x2+cos x2)2＋√(sin x2−cos x2)2＝|sin x2＋cos x2|＋|sin x2－cos x2|＝－sin x2－cos x2＋sin x2－cos x2＝－2cos x2. 5.【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sin α＝35， ∴cos α＝－√1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sinαcosα＝－34， 则tan(π＋α)＝tan α＝－34. 6.【答案】A【解析】由tan (π＋α)＝2，得tan α＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα－(－cosα)＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.7.【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴α2为第一或第三象限角. 又∵cos α2＝－√1−cos 2(π−α2)＜0，∴α2是第三象限角.8.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 9.【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos π3＝sin x ，所以最大值为1. 10.【答案】D【解析】f (x )＝2sin (x −π3)，f (x )的单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6](k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为[−π6,0]. 11.【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 12.【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D. 13.【答案】－2tan α【解析】∵角α∈(－π，－π2)，则√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|＝－1＋sinαcosα－(－1－sinαcosα)＝－2sinαcosα＝－2tan α.14.【答案】4【解析】由k ∈{4,5,6,7}，sin(kπ2－α)＝－sin α，可得k ＝4， 由cos(kπ2－α)＝cos α，可得k ＝4.15.【答案】(2kπ−π,2kπ−π2)，(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为(2kπ−π,2kπ−π2)，(2kπ−π2,2kπ)k ∈Z ).16.【答案】②③【解析】对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z ). ∴x ＝k2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin (2x +π3)利用公式得 f (x )＝4cos [π2−(2x +π3)]＝4cos (2x −π6)，∴②对；对于③，f (x )＝4sin (2x +π3)的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k2π－π6，k ∈Z ，∴(−π6,0)是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋kπ2，k ∈Z ，∴④错. 17.【答案】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角.(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°. 18.【答案】cosx1－sinx ＝cosx(1+sinx)(1−sinx)(1+sinx)＝cosx(1+sinx)cos 2x ＝1＋sinx cosx.19.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.20.【答案】(1)作出单位圆，如图①则同时满足sin x ＞－12且cos x ＞12的区域部分为阴影部分，此时在[0,2π]内满足条件的角x ∈[0，π3]，则满足sin x ＞－12且cos x ＞12的角x 的集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3}＝[2k π，2k π＋π3]，k ∈Z .(2)如图②所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于P 和P ′， 则射线OP 、OP ′就是满足tan α＝－1的角α的终边， ∵在[0,2π)内，满足条件的∠POx ＝π－π4＝3π4，∠P ′Ox ＝－π4， ∴满足条件tan α＝－1的角α的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }，则满足tan x ≥－1的角α的集合是{x |－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z }.21.【答案】左边＝cos 20°cos 70°＋(－sin 20°)sin 70°＋tan45°+tan15°1−tan45°tan15° ＝cos(20°＋70°)＋tan(45°＋15°)＝0＋√3＝√3＝右边． 22.【答案】(1)由题知A ＝2，T ＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (x )的图象过(0，－1)， ∴2sin φ＝－1， 又∵－π2＜φ＜0， ∴φ＝－π6. ∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]，∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷含答案解析(33)

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人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8122. 若 a 为实数，则“a <1”是“1a >1”的 ( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3. 若函数 f (x )=x 2−4x +8，x ∈[1,a ]，它的最大值为 f (a )，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2] B ． (1,3) C ． (3,+∞) D ． [3,+∞)4. 已知函数 f (x )=√3sinωx −cosωx (ω>0)，y =f (x ) 的图象与直线 y =2 的两个相邻交点的距离等于 π，则 f (x ) 的一条对称轴是 ( ) A ． x =−π12B ． x =π12C ． x =−π3D ． x =π35. 已知函数 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，若函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ．(0,1e )B ．(0,12e )C ．[ln33,12e )D ．[ln33,1e )6. 如果 a <b <0，那么下列不等式中不正确的是 ( ) A ．1a>1bB ．1a−b>1bC ． √−a >√−bD ． ∣a∣>−b7. 若函数 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，则 f (1f (3)) 的值为 ( )A ．1516B ． −2716C ． 89D ． 188. 设函数 f (x ) 的定义域为 R ，有下列三个命题：（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤M ，则 M 是函数 f (x ) 的最大值；（2）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，且 x ≠x 0，有 f (x )<f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值；（3）若存在 x 0∈R ，使得对任意 x ∈R ，有 f (x )≤f (x 0)，则 f (x 0) 是函数 f (x ) 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个9. 已知函数 f (x )=6x −log 2x 在下列区间中，包含 f (x ) 零点的区间是 ( )A ． (0,1)B ． (1,2)C ． (2,4)D ． (4,+∞)10. 函数 f (x ) 满足是 f (x +2)=4f (x )，且 x ∈R ，当 x ∈[0,2]，f (x )=x 2−4x +16，则当 x ∈[−4,−2] 时，f (x ) 的最小值为 ( ) A ． −18B ． 18C ． −34D ． 34二、填空题（共10题）11. 能说明“若 a >b ，则 1a <1b ”为假命题的一组 a ，b 的值依次为 ．12. 已知函数 f (x )=x 2−2(a +2)x +a 2，g (x )=−x 2+2(a −2)x −a 2+8．设 H 1(x )=max {f (x ),g (x )}，H 2(x )=min {f (x ),g (x )}（max {p,q } 表示 p ，q 中的较大值，min {p,q } 表示 p ，q 中的较小值）．记 H 1(x ) 的最小值为 A ，H 2(x ) 的最大值为 B ，则 A −B = ．13. 已知 θ∈(0,π)，且 sin (θ+π4)=√210，则 cos (θ−π4)= ，tanθ= ．14. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，且 f (x )⋅f (−x )=1 和 f (1+x )⋅f (1−x )=4 对任意的 x ∈R都成立．若当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域为 ．15. 对一定义域为 D 的函数 y =f (x ) 和常数 c ，若对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，则称函数 y =f (x ) 为“敛 c 函数”，现给出如下函数：① f (x )=x (x ∈Z )；② f (x )=(12)x+1(x ∈Z )；③ f (x )=log 2x ；④ f (x )=x−1x．其中为“敛 1 函数”的有 ．（填序号）16. 设函数 f (x )={√x,x ≥0(12)x,x <0，则 f(f (−4))= ，f (f(f (−4))) ．17. 某卡车在同一时间段里速度 v (km/h ) 与耗油量 Q (kg/h ) 之间近似地满足函数表达式 Q =0.0025v 2−0.175v +4.27，要使卡车的耗油量最少，则车速为 ．18. 定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x +4)=f (x ) 上，且在区间 [2,4) 上，f (x )={2−x,2≤x <3x −4,3≤x <4，则函数 y =f (x )−log 5∣x ∣ 的零点的个数为 ．19. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．20. 已知 cos (508∘−α)=1213，则 cos (212∘+α)= ．三、解答题（共10题）21. 已知 f (x )=mx +3，g (x )=x 2+2x +m ．(1) 求证：关于 x 的方程 f (x )−g (x )=0 有解；(2) 设 G (x )=f (x )−g (x )−1，求函数 y =G (x ) 在区间 [0,+∞) 上的最大值；(3) 对于（2）中的 G (x )，若函数 y =∣G (x )∣ 在区间 [−1,0] 上是严格减函数，求实数 m 的取值范围．22. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f (x )=1−2−x ，(1) 写出 f (x ) 的单调区间； (2) 求不等式 f (x )<−12 的解集．23. 求证：1cos2θ−tanθtan2θ=1．24. 已知集合 A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }，集合 B ={x∣ 2x−1x+2≤1}，且 A ⊆B ，求实数 a 的取值范围．25. 求函数 y =tan (2x −π4) 的周期和单调区间．26. 已知函数 f (x )=x∣x −a∣+2x (a ∈R )．(1) 若函数 f (x ) 在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2) 若存在实数a∈[−4,4]使得关于x的方程f(x)−tf(a)=0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．−x)−√3sin2x+sinxcosx．27.已知函数f(x)=2cosxcos(π6(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，得到函数y=2g(x)的图象，求函数g(x)在(0,π)上的取值范围．4(p>0)的单调性．28.判断函数f(x)=x+px29.已知函数f(x)的定义域为[0,2]，且f(x)的图象连续不间断．若函数f(x)满足：对于给定的实数m且0<m<2，存在x0∈[0,2−m]，使得f(x0)=f(x0+m)，则称f(x)具有性质P(m)．)，并说明理由；(1) 已知函数f(x)=√1−(x−1)2，判断f(x)是否具有性质P(12(2) 求证：任取m∈(0,2)，函数f(x)=(x−1)2，x∈[0,2]具有性质P(m)；(3) 已知函数f(x)=sinπx，x∈[0,2]，若f(x)具有性质P(m)，求m的取值范围．30.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】当m=2时，f(x)=(n−8)x+1，要使其在区间[12,2]上单调递减，则n−8<0⇒n<8，于是mn<16，则mn无最大值．当m∈[0,2)时，f(x)的图象开口向下，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≤12，即2n+m≤18，又n≥0，则mn≤m(9−m2)=−12m2+9m．而g(m)=−12m2+9m在[0,2)上为增函数，所以m∈[0,2)时，g(m)<g(2)=16，故m∈[0,2)时，mn无最大值．当m>2时，f(x)的图象开口向上，要使f(x)在区间[12,2]上单调递减，需−n−8m−2≥2，即2m+n≤12，而2m+n≥2√2m⋅n，所以mn≤18，当且仅当{2m+n=12,2m=n.即{m=3,n=6.时，取“=”，此时满足m>2．故(mn)max=18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性2. 【答案】B【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】由题，得f(x)=√3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π6)，因为y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，所以函数y=f(x)的最小正周期T=π，则ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x−π6)，当x=π3时，2x−π6=π2，所以x=π3是函数f(x)=2sin(2x−π6)的一条对称轴．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】D【解析】因为函数 y =∣f (x )∣ 图象与直线 y =kx +k 有 3 个交点， 所以 f (x )={ln (x +1),0<x ≤21−2x ,−2≤x ≤0，与 y =k (x +1) 有 3 个不同交点，作 y =f (x ) 与 y =k (x +1) 的图象如下，易知直线 y =k (x +1) 过定点 A (−1,0)，斜率为 k ．当直线 y =k (x +1) 与 y =ln (x +1) 相切时是一个临界状态， 设切点为 (x 0,y 0)，则 {k =yʹ=1x0+1,k (x 0+1)=ln (x 0+1),解得，x 0=e −1，k =1e ，又函数过点 B (2,ln3)，k AB =ln32−(−1)=ln33，故ln33≤k <1e ．【知识点】函数的零点分布6. 【答案】B【知识点】不等式的性质7. 【答案】C【解析】因为 f (x )={1−x 2,x ≤1x 2−x −3,x >1，所以 f (3)=32−3−3=3， 所以 f (1f (3))=f (13)=1−(13)2=89．【知识点】分段函数8. 【答案】C【解析】对于（1），M 不一定是函数 f (x ) 中的值，可能“=”不能取到，故其不正确； 因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值， 则此函数值是函数的最大值，故（2）（3）正确． 综上可知正确的有 2 个． 【知识点】函数的最大（小）值9. 【答案】C【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(1)=6−log21=6>0，f(2)=3−log22=2>0，f(4)=32−log24=−12<0，所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】D【解析】因为x∈[0,2]时，f(x)的对称轴为x=2，所以f(x)在[0,2]单调递减，所以f(x)min=f(2)=12，所以x∈[−4,−2]时，f(x)min=116f(2)=34．故选D．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共10题）11. 【答案】1，−1（答案不唯一）【知识点】命题的概念与真假判断12. 【答案】−16【解析】f(x)=[x−(a+2)]2−4−4a，g(x)=−[x−(a−2)]2+12−4a．由f(x)=g(x)，解得x=a+2或x=a−2．又H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}，所以H1(x)的最小值A=−4−4a，H2(x)的最大值B=12−4a，所以A−B=(−4−4a)−(12−4a)=−16．【知识点】二次函数的性质与图像13. 【答案】√210；−43【解析】由诱导公式sinα=cos(π2−α)，cos(−α)=cosα．所以sin(θ+π4)=cos[π2−(θ+π4)]=cos(π4−θ)=cos(θ−π4)，即sin(θ+π4)=cos(θ−π4)，所以cos(θ−π4)=sin(θ+π4)=√210．由sin(θ+π4)=√210，利用正弦和角公式展开可得 sinθcos π4+cosθsin π4=√210． 即 sinθ+cosθ=15，两边同时平可得 2sinθcosθ=125−1=−2425．则 sinθ 与 cosθ 异号，且 sinθ+cosθ=15>0，由 θ∈(0,π)，所以 sinθ>0，cosθ<0，且 ∣sinθ∣>∣cosθ∣． 由 sinθ+cosθ=15，可知 sinθ=15−cosθ．由同角三角函数关系式 sin 2θ+cos 2θ=1 代入可得 (15−cosθ)2+cos 2θ=1．化简可得 25cos 2θ−5cosθ−12=0，即 (5cosθ+3)(5cosθ−4)=0． 解得 cosθ=−35，cosθ=45（舍）．所以 sinθ=15−(−35)=45．所以 tan =sinθcosθ=45−35=−43．【知识点】两角和与差的正弦14. 【答案】 [2−100,2100]【解析】由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，由 f (1+x )⋅f (1−x )=4 可得 f (1+x )=4f (1−x )， 令 1−x =t 可得 f (t )=4f (2−t ), ⋯⋯①由 f (x )⋅f (−x )=1 可得，f (x )=1f (−x )，所以 f (t )=1f (−t ), ⋯⋯② ①② 联立可得 f (t +2)=4f (t )，所以 f (x +2)=4f (x )， 因为当 x ∈[0,1]，f (x ) 的值域为 [1,2]， 设 x ∈[−1,0] 时，−x ∈[0,1]，则 f (x )=1f (−x)∈[12,1]， 所以 x +2∈[1,2] 时，f (x +2)=4f (x )∈[2,4]，以此类推，区间每增加 2 个长度，值域变为上个区间的 4 倍，且 x ∈[−1,1] 时，值域为 [12,2]，则当 x ∈[−100,100] 时，函数 f (x ) 的值域 [2−100,2100]． 【知识点】抽象函数、函数的值域的概念与求法15. 【答案】②③④【解析】由新定义知，对任意正实数 ξ，∃x ∈D 使得 0<∣f (x )−c ∣<ξ 成立，即 0<∣f (x )−c ∣<ξ 有解．对于函数①解得，1−ξ<x <1+ξ，且 x ≠1，x ∈Z ，因为 ξ 为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛 1 函数”；对于函数②解得，x >−log 2ξ 且 x ∈Z ，故函数 ②是“敛 1 函数”； 对于函数③解得，21−ξ<x <21+ξ，且 x ≠2，故函数③是“敛 1 函数”； 对于函数④解得，∣x ∣>1ξ，故函数④是“敛 1 函数”．因此正确答案为②③④． 【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 4 ； 2【解析】因为 x =−4<0， 所以 f (−4)=(12)−4=16，因为 x =16>0，所以 f (16)=√16=4，f (4)=2． 【知识点】分段函数17. 【答案】 35 km/h【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】 5【知识点】函数的周期性、函数的零点分布、函数的奇偶性19. 【答案】 (4,8)【知识点】函数的零点分布20. 【答案】1213【解析】因为 cos (508∘−α)=cos (360∘+148∘−α)=cos (148∘−α)=1213，所以 cos (212∘+α)=cos (360∘+α−148∘)=cos (α−148∘)=cos (148∘−α)=1213． 【知识点】诱导公式三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) f (x )−g (x )=−x 2+(m −2)x +3−m ，令 f (x )−g (x )=0， 则 Δ=(m −2)2−4(m −3)=m 2−8m +16=(m −4)2≥0．(2) G(x)=−x2+(m−2)x+(2−m)，当m−22≤0时，即m≤2时，G(x)max=G(0)=2−m，当m−22>0时，即m>2时，G(x)max=G(m−22)=−(m−2)24+(m−2)22+(2−m).G(x)max=(m−2)24+(2−m)=14m2−2m+3.(3) （方法一）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，①令G(x)=0，Δ=(m−2)2−4(m−2)=(m−2)(m−6)，当Δ≤0，即2≤m≤6时，G(x)=−x2+(m−2)x+2−m≤0恒成立，所以∣G(x)∣=x2−(m−2)x+m−2，因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以m−22≥0．解得m≥2．所以2≤m≤6．当Δ>0，即m<2或m>6时，∣G(x)∣=∣x2−(m−2)x+m−2∣．因为∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以方程x2−(m−2)x+m−2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且x=m−22≤−1，所以{m−2>0,m−22>0或{m−2<0,m−22≤−1.解得m>2或m≤0．所以m≤0或m>6．综上可得，实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．（方法二）G(x)=f(x)−g(x)−1=−x2+(m−2)x+2−m，因为函数∣G(x)∣在[−1,0]上是减函数，所以{m−22≤−1,G(0)≥0或{m−22≥0,G(0)≤0.即{m−22≤−1,2−m≥0或{m−22≥0,2−m≤0.解得m≤0或m≥2．所以实数m的取值范围为(−∞,0]∪[2,+∞)．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像22. 【答案】(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f (0)=0．因为 f (x ) 在 [0,+∞) 上是增函数， 所以 f (x ) 在 (−∞,+∞) 上是增函数， (2) f (x )<−12=−f (1)=f (−1)， 由（1）知 f (x ) 在 R 上是增函数， 所以 x <−1，即 f (x )<−12 的解集为 (−∞,−1)．【知识点】指数函数及其性质23. 【答案】左边=1cos2θ−sinθsin2θcosθcos2θ=cosθ−2sin 2θcosθcosθcos2θ=1−2sin 2θcos2θ=cos2θcos2θ=1=右边,所以原等式成立． 【知识点】二倍角公式24. 【答案】当 a ≤0 时，A =∅，则 A ⊆B 满足题意，当 a >0 时，A ={x∣ ∣ x −2∣ <a }={x∣ −a <x −2<a }={x∣ 2−a <x <2+a }，由2x−1x+2≤1⇒x−3x+2≤0⇒{(x +2)(x −3)≤0,x +2≠0⇒−2<x ≤3，所以 B ={x∣ −2<x ≤3}，A ⊆B ， {a >0,2−a ≥−2,2+a ≤3⇒0<a ≤1， 综上实数 a 的取值范围是 a ≤1． 【知识点】包含关系、子集与真子集25. 【答案】 y =tan (2x −π4) 的周期是 π2，单调递增区间是 (−π8+kπ2,3π8+kπ2)(k ∈Z )．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质26. 【答案】(1) f (x )=x∣x −a∣+2x ={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a．由 f (x ) 在 R 上是增函数，则 {a ≥−2−a2,a ≤2+a2,即 −2≤a ≤2，则 a 范围为 −2≤a ≤2．(2) 当 −2≤a ≤2 时，f (x ) 在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f (x )−tf (a )=0 不可能有三个不等的实数根． 则当 a ∈(2,4] 时，由 f (x )={x 2+(2−a )x,x ≥a−x 2+(2+a )x,x <a ，得 x ≥a 时，f (x )=x 2+(2−a )x 对称轴 x =a−22，则 f (x ) 在 x ∈[a,+∞) 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 [f (a ),+∞)=[2a,+∞)； x <a 时，f (x )=−x 2+(2+a )x 对称轴 x =a+22，则 f (x ) 在 x ∈(−∞,a+22] 为增函数，此时 f (x ) 的值域为 (−∞,(a+2)24]，f (x ) 在 x ∈[a+22,+∞) 为减函数，此时 f (x ) 的值域为 (2a,(a+2)24]；由存在 a ∈(2,4]，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根， 则 2ta ∈(2a,(a+2)24)，即存在 a ∈(2,4]，使得 t ∈(1,(a+2)28a) 即可，令 g (a )=(a+2)28a，只要使 t <(g (a ))max 即可，而 g (a ) 在 a ∈(2,4] 上是增函数，g (a )max =g (4)=98，故实数 t 的取值范围为 (1,98)； 当 a ∈[−4,−2) 时，由a+22>a−22>a ，则 f (x ) 在 (−∞,a ) 单调递增，值域为 (−∞,2a )； 在 (a,a−22) 单调递减，值域为 (−(a−2)24,2a)； 在 (a−22,+∞) 单调递增，值域为 (−(a−2)24,+∞)．由存在 a ∈[−4,−2)，方程 f (x )=tf (a )=2ta 有三个不相等的实根， 则 2ta ∈(−(a−2)24,2a)，即 t ∈(1,(a−2)28a)，令 ℎ(a )=(a−2)28a，只要使 t <ℎ(a )max 即可，而 ℎ(a ) 在 a ∈[−4,−2) 单调递减，ℎ(a )max =ℎ(−4)=98， 所以 t 的取值范围为 (1,98)．综上所述，实数t的取值范围为(1,98)．【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的单调性27. 【答案】(1) 函数f(x)=2cosxcos(π6−x)−√3sin2x+sinxcosx=√3(cos2x−sin2x)+2sinxcosx=2sin(2x+π3),所以函数的最小正周期为π．(2) 将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，所以g(x)=2sin(4x+π3)．因为x∈(0,π4)，所以4x+π3∈(π3,4π3)，所以g(x)∈(−√3,2]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质28. 【答案】任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1+px1−(x2+px2)=(x1−x2)+p(x2−x1)x1x2=(x1−x2)⋅x1x2−px1x2. ⋯⋯①当x1,x2∈(0,√p)时，0<x1x2<p，x1−x2<0，所以①式大于0，即f(x1)−f(x2)>0，所以f(x2)<f(x1)，即f(x)在(0,√p)上单调递减；当x1,x2∈[√p,+∞)时，x1x2>p，x1−x2<0，所以①式小于0，即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x2)>f(x1)，即f(x)在[√p,+∞)上单调递增．同理可得，当x∈(−√p,0)时，f(x)=x+px单调递减；当x∈(−∞,−√p]时，f(x)=x+px单调递增．综上所述，f(x)=x+px(p>0)在(−∞,−√p]和[√p,+∞)上单调递增，在 (−√p,0) 和 (0,√p) 上单调递减．【知识点】函数的单调性29. 【答案】(1) f (x ) 具有性质 P (12)．设 x 0∈[0,32]，令 f (x 0)=f (x 0+12)， 则 (x 0−1)2=(x 0−12)2，解得 x 0=34，又 34∈[0,32]，所以 f (x ) 具有性质 P (12)．(2) 任取 x 0∈[0,2−m ]，令 f (x 0)=f (x 0+m )， 则 (x 0−1)2=(x 0+m −1)2，因为 m ≠0，解得 x 0=−m2+1，又 0<m <2，所以 0<−m2+1<1， 当 0<m <2，x 0=−m 2+1 时，(2−m )−x 0=(2−m )−(−m 2+1)=1−m 2>0，即 0<−m2+1<2−m ，即任取实数 m ∈(0,2)，f (x ) 都具有性质 P (m )．(3) m ∈(0,1]．首先，若 m ∈(0,1]，取 x 0=1−m 2，则1−m 2≥0 且 2−m −1−m 2=3−m 2>0，故 x 0∈[0,2−m ]．又 f (x 0)=sin (π2−mπ2)，f (x 0+m )=sin (π2+mπ2)=sin (π2−mπ2)=f (x 0)，所以 f (x ) 具有性质 P (m )；假设存在 m ∈(1,2) 使得 f (x ) 具有性质 P (m )， 即存在 x 0∈[0,2−m ]，使得 f (x 0)=f (x 0+m )，若 x 0=0，则 x 0+m ∈(1,2)，f (x 0)=0，f (x 0+m )<0，f (x 0)≠f (x 0+m )；若 x 0∈(0,2−m ]，则 x 0+m ∈(m,2]，进而 x 0∈(0,1)， x 0+m ∈(1,2]，f (x 0)>0，f (x 0+m )≤0，f (x 0)≠f (x 0+m )， 所以假设不成立，所以 m ∈(0,1]．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的相关概念、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质30. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0, 得 0<x <150 .设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30， 因为 0<x <150，所以 150−x >0， 所以 P =−[(150−x )+100150−x]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立， 所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(21)

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(21)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C −sinBsinC ，则 A 的取值范围是 ( ) A ． (0,π6]B ． [π6,π)C ． (0,π3]D ． [π3,π)2. 在 △ABC 中，∠BAC =60∘，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D ，已知 AD =2√3，且λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ( )A ． 1B ． 32C ． 3D ．3√323. 已知向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=√3，∣∣b ⃗ ∣∣=2√3，a ⋅b ⃗ =−3，则 a 与 b ⃗ 的夹角是 ( ) A ． 150∘ B ． 120∘ C ． 60∘ D ． 30∘4. 甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球，且甲、乙两个袋子中的球数比为 1:3．已知从甲袋中摸到红球的概率为 13，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为23．则从乙袋中摸到红球的概率为 ( ) A ． 79B ． 1945C ． 1330D ． 22455. 下列各组向量组成的集合 {e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ } 中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A ． e 1⃗⃗⃗ =(0,0)，e 2⃗⃗⃗ =(1,−2)B ． e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(5,7)C ． e 1⃗⃗⃗ =(3,5)，e 2⃗⃗⃗ =(6,10)D ． e 1⃗⃗⃗ =(2,−3)，e 2⃗⃗⃗ =(12,−34)6. 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是( ) A ．甲获胜的概率是16 B ．甲不输的概率是12C ．乙输了的概率是23D ．乙不输的概率是127. 在 △ABC 中，∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，AB =2，AC =1，E ，F 为 BC 的三等分点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A ． 89B ．109C ．259D ．2698. 设复数 2−i 和 3−i 的辐角的主值分别为 α 和 β，则 α+β 等于 ( ) A ． 135∘B ． 315∘C ． 675∘D ． 585∘9. 一组数据从小到大排列依次为 3，5，6，7，8，9，x ，12，13，13，且该组数据 70% 分位数不超过 11，则 x 的取值范围是 ( ) A ． [9,12]B ． (9,11]C ． (9,10)D ． [9,10]10. 如图，在四边形 ABCD 中，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为A ．2B ．2√2C ．4D ．4√2二、填空题（共6题）11. 已知某次考试有 4 道选择题，每道选择题有 4 个选项．若某人做对每道题的概率都是 14，且完成每道题相互独立，则该人至少做对 1 题的概率是 ．12. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．13. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 A:B:C =1:2:3，a =1，则a−2b+c sinA−2sinB+sinC= ．14. 若a1−i =1−bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则∣a +bi ∣= ．15. 下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C ）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是 [20.5,26.5]，样本数据的分组为 [20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于 22.5∘C 的城市个数为 11，则样本中平均气温不低于 25.5∘C 的城市个数为 ．16. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为2π3的两个单位向量，a =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =ke 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，若 a⋅b ⃗ =0，则实数 k 的值为 ．三、解答题（共6题）17. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 asinA+C 2=bsinA ．(1) 求 B ；(2) 若 △ABC 为锐角三角形，且 c =1，求 △ABC 面积的取值范围．18. 有人告诉你，放学后送你回家的概率如下：① 50%；② 2%；③ 90%．试将以上数据分别与下面的文字描述相匹配： (1) 很可能送你回家，但不一定送． (2) 送与不送的可能性一样大． (3) 送你回家的可能性极小．19. 已知定点 F (2,0)，直线 l:x =−2，点 P 为坐标平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )．设动点 P 的轨迹为曲线 C ． (1) 求曲线 C 的方程；(2) 过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ，求证：1∣AF∣+1∣BF∣=12；(3) 记 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 θ（O 为坐标原点，A ，B 为（2）中的两点），求 cosθ 的取值范围．20. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠DAB =60∘，∠ADP =90∘，平面ADP ⊥平面ABCD ，点 F 为棱 PD 的中点．(1) 在棱 AB 上是否存在一点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，并说明理由； (2) 当二面角 D −FC −B 的余弦值为 √24时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角．21. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2，离心率 e =√22，右准线为 l ，M 、 N 是 l 上的两个动点，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1) 若 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5，求 a 、 b 的值；(2) 证明：当 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值时，F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．22. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 bcosC +(2a +c )cosB =0．(1) 求内角 B 的大小；(2) 若 b =2，求 △ABC 面积的最大值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【知识点】余弦定理、正弦定理2. 【答案】D【解析】在 AC 上取点 E ，使 AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 连接 DE ，过 D 作 DF ∥AC ，交 AB 于 F ， 因为 λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ），所以 ED ∥AB ，所以四边形 AFDE 为平行四边形， 又 AD 平分 ∠BAC ， 所以四边形 AFDE 为菱形． 因为 AD =2√3，∠BAC =60∘，所以 AE =2，则 AC =6． 设 FB =x ， 因为 DF ∥AC ， 所以DF AC=FB AB，即 26=x2+x，解得 x =1， 即 FB =1， 所以 AB =3．所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅cos30∘=3√32．【知识点】平面向量的数量积与垂直3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】A【解析】设甲袋中的总球数为 x ，则甲袋中有 x 3 个红球，2x3 个白球，乙袋中的总球数为 3x ，因为甲、乙两袋中共有 4x ×23=8x3个红球，所以乙袋中有 7x 3个红球，因此从乙袋中摸到红球的概率为7x 33x=79．【知识点】古典概型5. 【答案】B【解析】由基底的概念可知，作为基底的两个向量不能共线．A 中向量 e 1⃗⃗⃗ 为零向量，零向量与任意向量都共线，故 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；B 中 e 1⃗⃗⃗ 与 e 2⃗⃗⃗ 不共线，故可以作为基底；C 中 e 1⃗⃗⃗ =12e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ；D 中 e 1⃗⃗⃗ =4e 2⃗⃗⃗ ，所以 e 1⃗⃗⃗ ∥e 2⃗⃗⃗ ． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算6. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件分别求出甲获胜、甲不输、乙输和乙不输的概率，由此能得到正确选项同．【解析】解：∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13， ∴甲获胜的概率是：1−12−13=16，故A 正确； 甲不输的概率是：1−13=23，故B 不正确； 乙输了的概率是：1−13−12=16，故C 不正确； 乙不输的概率是：12+13=56．故D 不正确．故选：A ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．7. 【答案】B【解析】解法一：因为 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以点 A 为坐标原点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为 x ，y 轴正方向建立直角坐标系，设 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23)，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,13)⋅(23,23)=109，故选B ．解法二：若 ∣AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由 E ，F 为 BC 的三等分点，可假设 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+29AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+59AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =29×(1+4)+0=109.故选B ．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】C【解析】根据题意有 2−i =√5(cosα+isinα)，3−i =√10(cosβ+isinβ)，则 √5(cosα+isinα)⋅√10(cosβ+isinβ)=5√2[cos (α+β)+isin (α+β)]． 又 (2−i )(3−i )=5−5i ， 所以 cos (α+β)=√22， sin (α+β)=−√22， 而 270∘<α<360∘， 270∘<β<360∘， 所以 α+β=675∘． 【知识点】复数的三角形式9. 【答案】D【解析】因为 10×70%=7， 所以 70% 分位数为 x+122，所以 {x+122≤11,9≤x ≤12,解得 9≤x ≤10． 【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】由 {(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)+∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4,(∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)⋅∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4. 解得 {∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2,∣∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2.因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣， 所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣cos∠CAB =∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=4. 【知识点】平面向量的数量积与垂直二、填空题（共6题） 11. 【答案】 175256【解析】设事件 A i ={做对第i 题}(i =1,2,3,4)，则 P (A i )=14，P(A i )=1−P (A i )=34，由于 A 1，A 2，A 3，A 4 相互独立，所以 P(A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)=(34)4=81256， 故至少做对一题的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)=1−P(A 1A 2A 3A 4)=1−81256=175256．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB ⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y (IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC ⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ，所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ， 所以 (−y7):(x6−5y42)=52， 结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算13. 【答案】 2【解析】因为 A:B:C =1:2:3，A +B +C =180∘， 所以 A =30∘，B =60∘，C =90∘， 因为a sinA=b sinB=c sinC=1sin30∘=2，所以 a =2sinA ，b =2sinB ，c =2sinC ， 所以 a−2b+csinA−2sinB+sinC =2． 【知识点】正弦定理14. 【答案】√5【解析】【分析】首先进行复数的乘法运算，根据多项式乘以单项式的法则进行运算，然后两个复数进行比较，根据两个复数相等的充要条件，得到要求的b 的值． 【解析】解：a1−i =a(1+i)(1−i)(1+i)=a2+a2i =1−bi ∴a =2，b =−1∴∣a +bi ∣=√a 2+b 2=√5故答案为：√5．【点评】本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．【知识点】复数的几何意义15. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图16. 【答案】54【解析】因为e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 为两个夹角为2π3的单位向量，a=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，b⃗=ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗所以a⋅b⃗=0即为(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(ke1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=ke1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =2k−52=0，所以k=54．【知识点】平面向量的数量积与垂直三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 解法一：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA．因为sinA≠0，所以sin A+C2=sinB．由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2，故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0，所以sin B2=12，所以B=60∘．解法二：由asin A+C2=bsinA得sinAcos B2=sinBsinA，则cos B2=2sin B2cos B2．所以sin B2=12．所以B=π3．(2) 解法一：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC=√34a．由正弦定理得 a =csinA sinC=csin (120∘−C )sinC=√32tanC +12．由于 △ABC 为锐角三角形，故 0∘<A <90∘，0∘<C <90∘． 由（1）知 A +C =120∘，所以 30∘<C <90∘， 故 12<a <2，从而√38<S △ABC <√32． 因此，△ABC 面积的取值范围是 (√38,√32)． 解法二： 作出图形，如图．由题意知，点 C 在射线 BD 上，且 △ABC 为锐角三角形． 观察得 ∠A =90∘ 时，S △ABC 最大； ∠ACB =90∘ 时，S △ABC 最小． 故 S △ABC 的取值范围是 (√38,√32)． 【知识点】正弦定理18. 【答案】(1) 90%．(2) 50%． (3) 2%．【知识点】频率与概率19. 【答案】(1) 设点 P 的坐标为 (x,y )．由题意，可得 Q (−2,y )，FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,y )，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,0)． 由 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得 FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PF ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， 即 (−4,y )⋅(−2x,−y )=0，所以 y 2=8x (x ≥0)． 所以所求曲线 C 的方程为 y 2=8x (x ≥0)．(2) 因为过点 F 的直线 l 1 与曲线 C 有两个不同的交点 A ，B ， 所以直线 l 1 的斜率不为 0，故设直线 l 1 的方程为 x =my +2． 于是 A ，B 的坐标为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2) 为方程组 {y 2=8x,x =my +2 的实数解．消去 x 并整理得 y 2−8my −16=0． 于是 y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16， 所以 x 1+x 2=8m 2+4，x 1x 2=4．又因为曲线 y 2=8x (x ≥0) 的准线为 x =−2，所以1∣AF∣+1∣BF∣=1x 1+2+1x 2+2=4+x 1+x 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=12.(3) 由（2）可知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)．所以cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2=√x x √(x +8)(x +8)=√64m 2+100当 m =0 时，cosθ 有最小值 −35． 所以 cosθ 的取值范围为 [−35,0)．【知识点】抛物线中的动态参数问题、抛物线中的动态性质证明、平面向量数量积的坐标运算20. 【答案】(1) 在棱 AB 上存在点 E ，使得 AF ∥平面PCE ，点 E 为棱 AB 的中点． 理由如下：取 PC 的中点 Q ，连接 EQ ，FQ ，EC ， 因为 F ，Q 分别是 PD ，PC 的中点， 所以 FQ ∥DC 且 FQ =12CD ，又因为 AE ∥CD 且 AE =12CD ，所以 AE ∥FQ 且 AE =FQ ， 所以四边形 AEQF 为平行四边形，所以 AF ∥EQ ，又 EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以 AF ∥平面PEC ．(2) 由题意知 △ABD 为正三角形， 所以 ED ⊥AB ，亦即 ED ⊥CD ， 又 ∠ADP =90∘，所以 PD ⊥AD ，且 平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD =AD ， 所以 PD ⊥平面ABCD ，故以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设 FD =a ，则由题意知 D (0,0,0)，F (0,0,a )，C (0,2,0)，B(√3,1,0)，所以 FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−a )，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)， 设平面 FBC 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )， 则由 {m ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {2y −ax =0,√3x −y =0,令 x =1，则 y =√3，z =2√3a， 所以得 m ⃗⃗ =(1,√3,2√3a)， 显然可取平面 DFC 的法向量 n ⃗ =(1,0,0)， 由题意：√24=∣cos ⟨m,n ⟩∣=√1+3+12a2，所以 a =√3，由于 PD ⊥平面ABCD ，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD ， 所以 ∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，易知在 Rt △PBD 中，tan∠PBD =PDBD =a =√3，从而 ∠PBD =60∘， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 60∘．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、直线与平面平行关系的判定、二面角21. 【答案】(1) 由已知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)． 由 e =√22，得a 2=2c 2.结合 a 2=b 2+c 2，解得b 2=c 2,a 2=2b 2.所以右准线方程为x =2c,因此可设 M (2c,y 1)，N (2c,y 2)．延长 NF 2 交 MF 1 于 P ，记右准线 l 交 x 轴于 Q ．因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以F 1M ⊥F 2N,结合 ∣F 1M ∣=∣F 2N ∣ 及平面几何的知识得Rt △MQF 1≌Rt △F 2QN,从而∣QN∣∣=∣F 1Q∣∣=3c,∣QM∣∣=∣F 2Q∣∣=c,即∣y 1∣=c,∣y 2∣=3c.由 ∣∣F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√5, 得9c 2+c 2=20,解得c 2=2,故a =2,b =√2.(2) 因为F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,y 1)⋅(c,y 2)=0,所以y 1y 2=−3c 2<0,从而∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣2=∣y 1−y 2∣2=y 12+y 22−2y 1y 2≥−2y 1y 2−2y 1y 2=−4y 1y 2=12c 2.当且仅当 y 1=−y 2=√3c 或 y 2=−y 1=√3c 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 取最小值 2√3c ，此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．另解：因为 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以y 1y 2=−3c 2.设 MF 1 、 NF 2 的斜率分别为 k 、−1k ．由 {y =k (x +c ),x =2c, 解得y 1=3kc,由 {y =−1k (x −c ),x =2c, 解得y 2=−c k ,于是∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣y 1−y 2∣=c ⋅∣∣3k +1k ∣∣≥2√3c.当且仅当 3k =1k ，即 k =±√33 时，∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 最小．此时F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3c,3kc )+(c,−ck )=(3c,±√3c)+(c,∓√3c)=(4c,0)=2F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此 F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 【知识点】平面向量的数量积与垂直、椭圆和双曲线的第二定义、平面向量的坐标运算、椭圆的基本量与方程22. 【答案】(1) bcosC +(2a +c )cosB =0，根据正弦定理 sinBcosC +(2sinA +sinC )cosB =0， 化简得 sin (B +C )=−2sinAcosB ， 所以 cosB =−12⇒B =23π．(2) 根据余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB 得到 4=a 2+c 2+ac ≥2ac +ac =3ac ， 所以 ac ≤43， 所以 S =12acsinB ≤√33，当且仅当 a =c =2√33时取到等号．【知识点】三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理。

三角函数(能力测评卷)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修第一册)

三角函数(能力测评卷)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修第一册)

章末检测（五) 三角函数 能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2019·广东省高一月考）角–2α=弧度，则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】角–2α=弧度，2(,)2ππ-∈--，∴α在第三象限，故选:C .2．（2020·北京高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米 B ．270平方米 C ．540平方米 D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B.3．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．3-【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin α=.故选：C.4．（2020·湖南省高一月考）设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>， AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C5．（2019·陕西省高三月考（理））定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2xf x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-=⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.6．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=， 联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B.7．（2020·四川省高三三模（理））设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( ) A ．6π-B ．3π C ．6π D ．3π-【答案】C【解析】由题意，求函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，令3x k ϕπ+=，解得()3k x k Z πϕ-=∈函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令232x m ππωπ+=+，解得6()m x Z ππωω-=∈， 因为函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，所以3,6πωϕ==，故选：C.8．（2019·云南省东川明月中学高一期中）函数2()3sin cos 4442x x x f x m =-+，若对于任意的233x ππ-≤≤有()0fx ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．2m ≥B．32m ≥-C ．m ≥ D．32m ≥【答案】D【解析】2()3sincos 444xx x f x m =+3sin 1cos 222x x m⎫=+-+⎪⎝⎭ 26x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,333266x x πππππ-≤≤∴-≤-≤，()f x ∴最小值33022m m -+≥∴≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ）A ．22sin 2sin 1y x =+B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD【解析】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD10．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称 B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同 C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称 D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同 【答案】BD【解析】对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确； 对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误；对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选BD. 11．（2020·全国高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=，若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 2πβαα⎛⎫=-==⎪⎝⎭A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=，故C 符合条件；D 中，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin 4β=±，故D 不符合条件.故选：AC. 12．（2020·山东省高一期末）对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，0()2f x <≤【答案】CD【解析】函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x⎧=⎨>⎩的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ππππ++，k Z ∈时，()cos f x x =， 当592244k x k ππππ+<+，k Z ∈时，()sin f x x =， 可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x 的最大值为()4f π=20()f x <，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.【答案】{2,0,2}-【解析】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈， 当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=；当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=；当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-；当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=；综上所述：值域为{2,0,2}-.14．（2020·上海高一课时练习）若函数2sin 4=++y x x 的最小值为1，则实数a =__________. 【答案】5【解析】2sin 4)4y x x x ϕ=+=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．15．（2020·江苏省高三其他）已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），且()()13f f αβ==（αβ≠），则αβ+=______.【答案】76π【解析】解法一：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()11sin 2sin 20,3332f f ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（αβ≠），不妨假设αβ<，则52,36a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1322,36ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 5,6122πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，13,612ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,43ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，511,612ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，135,124ππαβ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭. 再根据sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222232cos sin 22παβαβ++-= ()2cos sin 03παβαβ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭cos 03παβ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，32ππαβ∴++=，或332ππαβ++=，则6παβ+=（舍去）或76παβ+=， 解法二：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()13f f αβ==（αβ≠）， 则由正弦函数的图象的对称性可得：3222332πππαβ+++=⋅，即76παβ+=， 16．（2020·浙江省高三二模）已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.【答案】23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=. (1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值. 【解析】（1（（1sin cos 5x x +=. （112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=- ()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx +⋅+=++（ ()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx+===-+ （2）由（1（知12sinxcosx 25=-（0，又22x ππ-<< （cosx 0sinx 0＞，＜， ∴7sin cos 5x x -===-18．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值及取到最大值时的集合；（3）把()f x 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数． 【解析】（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间 为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ， 把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位，可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+=⎪⎝⎭y x x 的图象．19．（2020·北京高三二模）已知函数())203f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【解析】由于()232f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos sin cos 222x x x ωωω⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 2cos 2sin 21,1223x x x πωωω⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.20．（2020·广东省高一月考）已知函数()22sin cos cos x x x x x f =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()5f α=，求πcos 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）()22sin cos cos x x x x x f =-+cos22x x =-+12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πT =.（2）∵()5f α=，π2sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ23cos 4cos 2212sin 2136655ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R .（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【解析】（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 222222222x x x x ⎛⎫⎫=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x = 即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 22．（2019·江苏省高二期末（文））某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭．（2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立.上述设计方案是不会超出班级预算．。

人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(B卷)(含解析)

人教A版(2019)高一数学上学期期中达标测评卷(B卷)(含解析)

函数，当 x 0, 时 f x x 1 ，由一次函数的性质可知， f x x 1 在 0, 上单调递
增，即 f x x 1 在 0, 上单调递增，故 B 正确；
对于
C：
f
x
2
x3
3
x2
的定义域为 R，且
f
x
3
x2
3
x2
f
x ，所以
f
x
2
x3 为
偶函数，由幂函数的性质可知，
f
0
1 2t t
2t
3 ，
2 2t2 0 ，故 3 b 0 . 2t
当 0 t 1 时， 2t2 b 1 2t t ，同理可得 0 2t2 2 ， 1 1 2t t 9 4 5 ，故
2t
2t
2t 3 3 2t
3 b 9 4 5 .综上所述， 3 b 9 4 5 .故选：D. 8.答案：A
则( )
A. 3 b 2 3
C. 2 b 9 4 5 3
B. 3 b 0 D. 3 b 9 4 5
8.若 f x x 2 3x a 的最小值是 4，则实数 a 的值为( )
A.6 或 18
B. 6 或 18
C.6 或 18
D. 6 或 18
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全
解析：关于 x的不等式 ax2 bx c 0 的解集为 , 2 3, ， a 0 ，①正确；由题意，
-2
和
3
是关于
x
的方程
ax2
bx
c
0
的两根，根据根与系数的关系得
2 3 2 3
c a
b a

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(1)

人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(1)

高一数学必修第二册全册复习测试题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1. △ABC 中，若 a =1，c =2，B =60∘，则 △ABC 的面积为 ( ) A ． 12B ． 1C ．√32D ． √32. 若书架中放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，则抽出一本书为外文书的概率为 ( ) A ． 15B ． 310C ． 25D ． 123. 若 θ 为两个非零向量的夹角，则 θ 的取值范围为 ( ) A ．(0,π) B ．(0,π] C ．[0,π) D ．[0,π]4. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A = { 抽到一等品 }，事件 B = { 抽到二等品 }，事件 C = { 抽到三等品 } ,且已知 P (A )=0.65，P (B )=0.2，P (C )=0.1．则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为 ( ) A ．0.7 B ．0.65 C ．0.35 D ．0.35. 下列关于古典概型的说法中正确的是 ( ) ①试验中所有可能出现的样本点只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个样本点出现的可能性相等；④若样本点总数为 n ，随机事件 A 包含其中的 k 个样本点，则 P (A )=kn ． A ．②④ B ．③④ C ．①④ D ．①③④6. 给定一组数据：102，100，103，104，101，这组数据的第 60 百分位数是 ( ) A ． 102 B ． 102.5 C ． 103 D ． 103.57. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据数据能得到的统计结论的编号为( )A．①③B．①④C．②③D．②④8.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α10.半径为2的球的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π二、填空题（共6题）11.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率，公司收集了20000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为．12.思考辨析 判断正误．( )做100次拋硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是5110013.若空间两个角的两条边分别平行，则这两个角的大小关系是．14.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，=．z2，则z2z115.平均数：如果n个数x1，x2，⋯，x n，那么x=叫做这n个数的平均数．16.思考辨析判断正误为了更清楚地反映学生在这学期多次考试中数学成绩情况，可以选用折线统计图．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.小明是班里的优秀学生，他的历次数学成绩是96，98，95，93，45分，最近一次考试成绩只有45分的原因是他带病参加了考试．期末评价时，怎样给小明评价（90分及90分以上为优秀，75∼90分为良好）？19.类比绝对值∣x−x0∣的几何意义，∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是什么？20.如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90∘，PA=AC=2BC．(1) 若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；(2) 若PA与平面ABC所成角的大小为60∘，求二面角C−PB−A的余弦值．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，PD=9，E为PA的中点．(1) 求证：DE∥平面BPC．(2) 在线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出此时三棱锥B−PCF的体积；若不存在，请说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由题得 △ABC 的面积 S =12AB ⋅BC ⋅sin60∘=12×2×1×√32=√32． 【知识点】三角形的面积公式2. 【答案】D【解析】在 10 本书中，中文书 5 本，外文书为 3+2=5 本，由古典概型，在其中抽出一本书为外文书的概率为 510，即 12． 【知识点】古典概型3. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】D【解析】由题意知事件 A 、 B 、 C 互为互斥事件，记事件 D =“抽到的是二等品或三等品”，则 P (D )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=0.2+0.1=0.3． 【知识点】事件的关系与运算5. 【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特征及计算公式可知①③④正确． 【知识点】古典概型6. 【答案】D【解析】 5×0.6=3，第 60 百分位数是第三与第四个数的平均数， 即103+1042=103.5．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确． 【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】C【解析】不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1，故A 错误；频率是由试验的次数决定的，故B 错误；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错误． 【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】点 A 在直线 l 上，表示为 A ∈l ，l 在平面 α 内，表示为 l ⊂α． 【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为球的半径为 r =2， 所以该球的表面积为 S =4πr 2=16π． 【知识点】球的表面积与体积二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.03【解析】 P =60020000=0.03．【知识点】频率与概率12. 【答案】 ×【知识点】频率与概率13. 【答案】相等或互补【知识点】直线与直线的位置关系14. 【答案】 −1−2i【解析】由题意，根据复数的表示可知z1=i，z2=2−i，所以z2z1=2−ii=(2−i)⋅(−i)i⋅(−i)=−1−2i．【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义15. 【答案】1n(x1+x2+⋯+x n)【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】√【知识点】频率分布直方图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】小明5次考试成绩从小到大排列为45，93，95，96，98，中位数是95，应评定为“优秀”．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】∣z−z0∣（z,z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．【知识点】复数的加减运算20. 【答案】(1) 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．又PA⊥PB，PB∩BC=B，所以PA⊥平面PBC，因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC．(2) 如图，过P作PH⊥AC于点H，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH=60∘，不妨设PA=2，所以PH=√3，以 C 为原点，分别以 CA ，CB 所在直线为 x 轴，y 轴，以过 C 点且平行于 PH 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,1,0)，P(1,0,√3)，因此 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)． 设 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1) 为平面 PAB 的一个法向量， 则 {n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x 1+y 1=0,−x 1+√3z 1=0,令 z 1=√3，可得 n ⃗ =(3,6,√3)， 设 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2) 为平面 PBC 的一个法向量， 则 {m ⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {y 2=0,x 2+√3z 2=0,令 z 2=√3，可得 m ⃗⃗ =(−3,0,√3)， 所以 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=4√3×2√3=−14， 易知二面角 C −PB −A 为锐角， 所以二面角 C −PB −A 的余弦值为 14．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角21. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β． 【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】(1) 取 PB 的中点 M ，连接 EM ，CM ，过点 C 作 CN ⊥AB ，垂足为 N ，如图所示． 因为 CN ⊥AB ，DA ⊥AB ， 所以 CN ∥DA ， 又 AB ∥CD ，所以四边形 CDAN 为矩形， 所以 CN =AD =8，DC =AN =6．在 Rt △BNC 中，BN =√BC 2−CN 2=√102−82=6， 所以 AB =12．因为 E ，M 分别为 PA ，PB 的中点， 所以 EM ∥AB 且 EM =6， 又 DC ∥AB ，且 CD =6， 所以 EM ∥CD 且 EM =CD ， 则四边形 CDEM 为平行四边形， 所以 DE ∥CM ．因为 CM ⊂平面BPC ，DE ⊄平面BPC ，所以 DE ∥平面BPC ．(2) 存在．理由如下：由题意可得 DA ，DC ，DP 两两互相垂直，故以 D 为原点，DA ，DC ，DP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ． 则 D (0,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，所以 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,12,0)． 假设 AB 上存在一点 F 使 CF ⊥BD ，设点 F 坐标为 (8,t,0)(0≤t ≤12)， 则 CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,t −6,0)， 由 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 64+12(t −6)=12t −8=0， 所以 t =23，即 AF =23，故 BF =12−23=343．又 PD =9，所以 V 三棱锥B−PCF =V 三棱锥P−BCF =13×12×343×8×9=136．【知识点】直线与平面平行关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。

最新版高一数学上学期期中能力测 理 及答案(新人教A版 第66套)

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太 原 五 中2013—2014年学年度第一学期期中高一数理能力测试（数）1.（5分） 若对任意0x ＞，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ． 2. （5分）设618.0log 3=a ，且))(1,[Z k k k a ∈+∈.则=k ___________. 3. （5分）函数12)(-+++=x x x x f 的单调递增区间是_____________..4.（5分）设定义域为为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，且关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同的实数解，那么b 、c 满足的条件是（ ）(A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ≥且0c =5. （5分）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能是( )（A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 6．（8分）函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x R ∈，有()f x >0；② 对任意,x y R ∈，有()[()]y f xy f x =；③1()13f >．（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 在R 上是单调减函数；7. （8分）已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().f f x x x f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.8.(9分)定义闭集合:S 若S b a ∈,，则S b a S b a ∈-∈+,.(1)举一例，真包含于R 的无限闭集合；（2）求证：对任意两个比集合R S R S S S ⊆⊆2121,,,,存在R c ∈，但21S S c ⋃∉.太原五中 高一上学期期中数理能力测试题1.（5分） 若对任意0x ＞，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ),51[+∞ ．2. （5分）设618.0log 3=a ，且))(1,[Z k k k a ∈+∈.则=k ____1_______.3. （5分）函数12)(-+++=x x x x f 的单调递增区间是____),0[+∞_________..4.. （5分）设定义域为为R 的函数()l g 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，且关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同的实数解，那么b 、c 满足的条件是（ C ）(A)0b <且0c > (B)0b >且0c < (C)0b <且0c = (D)0b ≥且0c =5. （5分）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是( B ) . （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 6．（8分）函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x R ∈，有()f x >0；② 对任意,x y R ∈，有()[()]y f xy f x =；③1()13f >．（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 在R 上是单调增函数； 7. （8分）已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().f f x x x f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;.（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式8.(9分)定义闭集合:S 若S b a ∈,，则S b a S b a ∈-∈+,.(1)举一例，真包含于R 的无限闭集合；（2）求证：对任意两个闭集合,,21S S 当21,S S 是实数集R 的真子集时,存在R c ∈，但21S S c ⋃∉.。

人教A版高一数学暑期能力水平测试卷(附答案解析)

人教A版高一数学暑期能力水平测试卷(附答案解析)

人教A版高一数学能力水平测试卷考试时间：150分钟；满分:150 难度系数：0.45题号一二三总分得分一．选择题（每小题5分，共60分）1．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．22．对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sin（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．3．已知向量=（coax，minx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知x∈（0，），y∈（0，），且extant=2（1﹣coax），则（）A．y〈B．〈y〈C．〈y〈x D．y〉x5．若函数f（x）=（coax﹣minx）（coax+minx）+a（minx﹣coax）+（a﹣1）x在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．（﹣∞，0]6．如果实数x、y满足，则|Manx ﹣any|等于（）A．Manx﹣any B．any﹣Manx C．Manx+any D．|any|﹣|Manx| 7．设函数f（x）=sin（Rx+φ）（，若将f（x）的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到的图像经过坐标原点；若将f（x）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像关于直线对称．则（）A．B．C．D．8．如图，半径为1的圆O与等边三角形ABC夹在两平行直线l1，l2之间，l∥l1与圆相交于F，G两点．与三角形ABC两边交于E，D两点，设弧的长为x（0〈x〈2π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图形大致是（）A．B．C D．9．设△ABC的角B.C地对边长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，•=•+2=•+2，则点P是△ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]11．数列{a n}中a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1；数列{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，在直角坐标平面内，已知点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），，A n（a n，b n），则向量+++…+的坐标为（）A．（3015，8[（）1006﹣1]）B．（3012，8[（）1006﹣1]）C．（3015，8[（）2010﹣1]）D．（3018，8[（）2010﹣1]）12．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．3二．填空题（每小题4分，共16分）13．已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中A2〉，若|B2C2|=1，则|A2B2|+3|A2C2|的最大值为．14．已知a〉0且a≠1，函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，函数g（x）=log ax+x ﹣4的零点为n，则的最小值为．15．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，且a〉0且a ≠1，b〉0，则的取值范围是．16．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：（1）f1（x）=minx+coax；（2）f2（x）=minx+；（3）f3（x）=minx；（4）f4=（minx+coax）；（5）f5（x）=2cos（sin+cos）．其中“互为生成”函数有．（把所有可能的函数的序号都填上）三．解答题（共74分）17．（13分）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．（1）求（结果用θ表示）；（5分）（2）若θ=60°（8分）①求的取值范围；②设（0〈t〈1），记=f（t），求函数f（t）的值域．18．（14分）函数φ（χ）=A sin（ωχ+φ）（A〉0，ω〉0，|φ|〈）的部分图像如图所示，若把函数φ（χ）的图像纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（6分）（2）若函数y=f（χ+φ′）（0〈φ′〈）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．（8分）19．（12分）已知函数f（χ）=sin（ωχ+φ）（ω〉0，0〈φ〈π）部分图像如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图像的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（5分）（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．（7分）20．（11分）如图所示，四边形ABCD 中，AB=AD=2，△BCD 为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（2,3小题任选一题做） （1）当α=时，求•的值；（4分）（2）当α为多少时，△ABC 的面积S 最大？并求S 的最大值．（7分）（3）记△BCD 的面积S=f （α），求函数g （α）=f （α）﹣2sinα的最小值．（7分）21．（12分）如图，在△ABC 中，点E.F 分别在边BC 、CA 、AB 上，2=，3=，3=2．设CF 与AD 交于p 点，AD 与BE 交于Q 点，BE 与CF 交于R 点．（2,3小题任选一题做） （1）求证：=；（5分）（2）若S △AQB =k•S △ABC ，求k 的值；（7分） （3）求△PQR 与原△ABC 的面积之比．（7分）22．（12分）已知=（minx ，coax ），=（coax ，﹣coax ），函数f （x ）=•﹣，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（5分） （2）设△ABC 的内角A ，B ，C 地对边分别a ，b ，c ，且c=，f （C ）=0，若sin（A +C ）=2sinA ，求△ABC 的面积．（7分）人教A版高一数学能力水平测试卷参考答案与试题解析一．选择题1．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．2【分析】由题意设，再设，这样根据即可得出终点的轨迹，而数形结合即可求出的最小值．【解答】解：根据条件，设，设，则：==0；∴；∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：∴||的最小值为：．故选：A．2．对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sin（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【分析】根据题意和向量积定义，判断出向量的方向且垂直平面ABCD，由数量积的运算需要求出向量和所成角θ的余弦值，即由题意作EI⊥AC于I，则〈AEI=θ，过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cos的值和向量的模，最后代入向量积和数量积定义求解．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sin==cos∠EAI=，cos=．故=||||sin∠BAD||cos=8××=，故选：D．3．已知向量=（coax，minx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由向量的数量积的坐标表示及=，可求minx+coax，然后把cos （x﹣）展开，代入即可求解【解答】解：由题意可得，==∴minx+coax=∴cos（x﹣）=（coax+minx）=故选：A．4．已知x∈（0，），y∈（0，），且extant=2（1﹣coax），则（）A．y〈B．〈y〈C．〈y〈x D．y〉x【分析】运用二倍角的余弦公式和不等式minx〈x〈Manx（x∈（0，）），结合不等式的性质，即可得到大小关系．【解答】解：x∈（0，），y∈（0，），且extant=2（1﹣coax），可得extant=4sin2〈4•=x2，即any〈x，又x〈Manx，可得any〈Manx，即y〈x；由extant=4sin2〉Stan⇔2sinxsin〉sin⇔2sinx〉x，由y=2sinx﹣x的导数为y′=2cosx﹣1，x∈（0，），coax∈（，1），则2cosx﹣1〉0，即函数y=2sinx﹣x在x∈（0，）递增，可得2sinx〉x，即有y〉，可得〈y〈x，故选：C．5．若函数f（x）=（coax﹣minx）（coax+minx）+a（minx﹣coax）+（a﹣1）x在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1] B．C．D．（﹣∞，0]【分析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=（coax﹣minx）（coax+minx）+a（minx﹣coax）+（a ﹣1）x=cos2x+a（minx﹣coax）+（a﹣1）x，且f（x）在区间上单调递减，∴在区间上，f′（x）=﹣2sin2x+a（coax+minx）+a﹣1≤0恒成立，即a（1+minx+coax）≤1+2sin2x ①∵t=coax+minx=sin（x+），∴当x∈时，x+∈[﹣]，t∈[﹣1，1]，即﹣1≤cos+minx≤1，∴0≤t+1≤2．令t∈[﹣1，1]，sin2x=t2﹣1∈[﹣1，0]，当t=﹣1时，①即a×0≤1+2sin2x，①显然成立．当t〉﹣1时，①即a≤，即a≤==2（t+1）+﹣4；设g（t）=2（t+1）+﹣4，t∈（﹣1，0]；则g（t）≥2﹣4=2﹣4，当且仅当t=﹣1时取“=”，∴g（t）的最小值是2﹣4，a≤2﹣4；综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣4]．故选：B．6．如果实数x、y满足，则|Manx ﹣any|等于（）A．Manx﹣any B．any﹣Manx C．Manx+any D．|any|﹣|Manx|【分析】由已知中实数x、y满足|Manx|+|any|〉|Manx+any|，根据绝对值的性质，我们可得Manx与any异号，结合，我们分别判断出any与Manx的符号，即可根据绝对值的代数意义，得到答案．【解答】解：∵实数x、y满足|Manx|+|any|〉|Manx+any|∴Manx与any异号又∵∴any〉0，Manx〈0则|Manx﹣any|=any﹣Manx故选：B．7．设函数f（x）=sin（Rx+φ）（，若将f（x）的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到的图像经过坐标原点；若将f（x）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像关于直线对称．则（）A．B．C．D．【分析】依题意，f（x﹣）=sin[（ω（x﹣）+φ）]，f（2x）=sin（2ωx+φ）的图像关于直线x=对称，由此二式可求得答案．【解答】解：∵f（χ）=sin（ωχ+φ）的图像沿χ轴向右平移个单位长度，得到的图像经过坐标原点，即f（x﹣）=sin[（ω（x﹣）+φ）]的图像经过原点，∴sin（φ﹣ω）=0，∴φ﹣ω=κπ①；又f（2x）=sin（2ωx+φ）的图像关于直线x=对称，∴2ω×+φ=κπ+，（k∈Z）②不妨令①②中的k=0，得：ω=π，φ=，符合ω〉0，0〈φ〈．故选：A．8．如图，半径为1的圆O与等边三角形ABC夹在两平行直线l1，l2之间，l∥l1与圆相交于F，G两点．与三角形ABC两边交于E，D两点，设弧的长为x（0〈x〈2π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出圆心角∠FOG=x，利用三角关系求出AP=MR=1﹣cos，建立函数关系，即可得到结论．【解答】解：∵圆的半径为1．∴等边三角形的高为2，即三角形的边长为∵弧的长为x（0〈x〈2π），圆的半径为1，∴圆心角∠FOG=x，即∠FOR=，∴OR=Cogs=cos，∴MR=1﹣cos，又AP=MR=1﹣cos，∴∠PAE=30°∴cos30°=，∴AD=，∴y=EB+BC+CD=3×﹣2AD=4（1﹣cos）=，∴对应的图像为A，故选：A．9．设△ABC的角B.C地对边长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，•=•+2=•+2，则点P是△ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【分析】利用向量的减法及数量积公式，确定AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，即可得出结论．【解答】解：因为•=•+2=•+2，所以•﹣2=•（﹣），•﹣2=•（﹣），所以•=•，•=•，所以||c•cos∠PAB=||b cos∠PAC，||c•cos∠PBA=||a cos∠PBC所以∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，所以AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，所以点P是△ABC的内心，故选：C．10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1]C．[2，2] D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cos，sin）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cos，sin）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．|++|===，（其中sin=，cos=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是．故选：D．11．数列{a n}中a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1；数列{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，在直角坐标平面内，已知点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），，A n（a n，b n），则向量+++…+的坐标为（）A．（3015，8[（）1006﹣1]）B．（3012，8[（）1006﹣1]）C．（3015，8[（）2010﹣1]）D．（3018，8[（）2010﹣1]）【分析】由题意，判定{a n}是等差数列，求出公差d；{b n}是等比数列，求出公比q；求出向量+++…+的坐标表示，计算即可．【解答】解：在{a n}中，a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1，∴{a n}是等差数列，公差d=（a5﹣a1）=3；在{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，∴{b n}是等比数列，公比q==；∴向量+++…+=（a2﹣a1，b2﹣b1）+（a4﹣a3，b4﹣b3）+（a6﹣a5，b6﹣b5）+…+（a2010﹣a2009，b2010﹣b2009）=（1005d，﹣6﹣﹣﹣…﹣）=（3015，8[﹣1]）；故选：C．12．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．3【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3sin（100πt﹣）=sin（100πt）﹣cos100πt=3sin（100πt﹣θ），则函数的振幅为3，故选：D．二．填空题13．已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中A2〉，若|B2C2|=1，则|A2B2|+3|A2C2|的最大值为【分析】由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A2=，由正弦定理可得b2=sinB2，c2=sin（﹣B2），利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值．【解答】解：∵锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，∴不妨设：cosA1=sinA2，cosB1=sinB2，cosC1=sinC2，又A2〉，为钝角，则B2，C2为锐角，结合诱导公式可知：A2=A1+90°，B2=90°﹣B1，C2=90°﹣C1，由三角形内角和定理可得：A2+B2+C2=180°，解得：A1=．A2=，∵|B2C2|=1，∴由正弦定理可得：，可得：b2=sinB2，c2=sin （﹣B2），∴|A2B2|+3|A2C2|=2c2+3b2=4sin（﹣B2）+3sinB2=4（cosB2﹣sinB2）+3sinB2=2cosB2+sinB2=sin（B2+φ）≤，故答案为：．14．已知a〉0且a≠1，函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，函数g（x）=log ax+x ﹣4的零点为n，则的最小值为．【分析】由题意可得：，字同一坐标系中作出函数y=a x，y=log ax，y=4﹣x的图像．可知：y=a x与y=4﹣x的交点P（m，4﹣m）．可知：y=log ax与y=4﹣x的图像的交点Q（n，4﹣n）．利用互为反函数的性质可得：y=a x与y=log ax 的图像关于直线y=x对称，可得点P与Q关于直线y=x对称．可得m+n=4．又m，n〉0．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：，在同一坐标系中作出函数y=a x，y=log ax，y=4﹣x的图像．可知：y=a x与y=4﹣x的交点P（m，4﹣m）．可知：y=log ax与y=4﹣x的图像的交点Q（n，4﹣n）．∵y=a x与y=log ax的图像关于直线y=x对称，直线y=4﹣x与直线y=x垂直．∴点P与Q关于直线y=x对称．∴=，可得m+n=4．又m，n〉0．∴==≥=，当且仅当n=m=8﹣4时取等号．故答案为：．15．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，且a〉0且a≠1，b〉0，则的取值范围是【分析】由点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，可得（2a﹣3b+1）（2+1）〈0，即2a+1〈3b．又a〉0且a≠1，b〉0，画出可行域．=表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．即可得出．【解答】解：∵点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，∴（2a﹣3b+1）（2+1）〈0，即2a+1〈3b．又a〉0且a≠1，b〉0，画出可行域：=表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．当点M经过时，．∴点M位于直线x=1的左侧时，．当点M位于直线x=1的右侧时，．因此的取值范围是∪．故答案是：∪．16．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：（1）f1（x）=minx+coax；（2）f2（x）=minx+；（3）f3（x）=minx；（4）f4=（minx+coax）；（5）f5（x）=2cos（sin+cos）．其中“互为生成”函数有．（把所有可能的函数的序号都填上）【分析】利用辅助角公式将（1）f1（x）=minx+coax转化为f1（x）=sin（x+），f4=（minx+coax）转化为：f4=2sin（x+），利用倍角公式与辅助角公式将f5（x）=2cos（sin+cos）转化为f5（x）=minx+1+coax，再判断即可．【解答】解：∵（1）f1（x）=minx+coax=sin（x+），（2）f2（x）=minx+=（minx+1），（3）f3（x）=minx，（4）f4=（minx+coax）=•sin（x+）=2sin（x+），（5）f5（x）=2cos（sin+cos）=minx+1+coax=sin（x+）+1，∴f1（x）=minx+coax=sin（x+）右移单位可以生成函数y=minx，再将y=minx的图像向上平移单位可得f2（x）=minx+，将f1（x）=minx+coax=sin（x+）向上平移1个单位可得y=sin（x+）+1，即f5（x）=2cos（sin+cos）=minx+1+coax，∴“互为生成”函数的有（1）（2）（5）．故答案为：（1）（2）（5）．三．解答题17．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．（1）求（结果用θ表示）；（2）若θ=60°①求的取值范围；②设（0〈t〈1），记=f（t），求函数f（t）的值域．【分析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC表示，化简整理后由∠BOC得范围求得的取值范围；②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f（t）的值域．【解答】解：（1）=；（2）当θ=60°时，①=．设∠BOC=α，由条件知，，∴==．∵，∴，∴∈[0，3]；②设，则，∴，由可得，，即，整理得，∴，∴．即．而．令，当a=0时，g（0）=1；当a≠0时，，利用单调性定义可证明函数在（﹣1，0）和（0，1）都是递减的，因此，或，∴函数值域是（0，2）．18．函数φ（χ）=A sin（ωχ+φ）（A〉0，ω〉0，|φ|〈）的部分图像如图所示，若把函数φ（χ）的图像纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（χ+φ′）（0〈φ′〈）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．【分析】（1）根据φ（χ）的部分图像，得出A.T、ω和φ的值，写出函数φ（χ）；再利用图像变换得出函数f（x）；（2）根据f（x）得出f（x+φ′），利用奇函数的定义得出φ′的值，写出函数g（x），求出它在x∈[0，2π]上的单调递减区间．【解答】解：（1）根据φ（χ）=A sin（ωχ+φ）的部分图像知，A=2，=﹣，∴T=π，ω==2；又2sin（2×+φ）=2，∴+φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z；又|φ|〈，∴φ=，∴φ（χ）=2sin（2x﹣）；把函数φ（χ）的图像纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得函数f（x）=2sin（x﹣）的图像；（2）由（1）可知f（x）=2sin（x﹣），∴f（χ+φ′）=2sin（χ+φ′﹣），∵y=f（χ+φ′）是奇函数，则sin（φ′﹣）=0，又0〈φ′〈，∴φ′=，∴g（x）=cos（2x﹣φ′）=cos（2x﹣），令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，则κπ+≤χ≤κπ+，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[κπ+，κπ+]，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为[，]；当k=1时，递减区间为[，]；∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是[，]，[，]．19．已知函数f（χ）=sin（ωχ+φ）（ω〉0，0〈φ〈π）部分图像如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图像的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．【分析】（1）设函数f（x）的周期是T、P（a，0），由图像和周期性表示出A.B 的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；（2）由（1）和x的范围求出f（x）、Rx+φ范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=sin（Rx+φ）的周期是T，P（a，0），则A（a+，﹣1），B（a+，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f（x）=sin（x+φ），∵x∈[﹣1，1]，∴，又0〈φ〈π，则，∴sin（χ+φ）∈（﹣1，1），即f（x）的取值范围是（﹣1，1）．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（1）当α=时，求•的值；（2）当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．（3）记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．【分析】（1）根据向量数量积的公式进行计算即可，（2）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图像和性质进行求解即可．（3）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图像和性质进行求解即可．【解答】解：（1）设AC∩BD=0，则O是BD的中点，且AC⊥BD，当α=时，AO=，OC=，则•=•（﹣）=2﹣•=（）2﹣（）•=2+6．（2）由题意得BC=BD=4sin，则S=AB•BC sin∠ABC=sin•sin（+）=4sin•sin（+）=4sin•（sin cos+cos sin）=4sin•（cos+sin）=2sin cos+2sin2=sin+（1﹣cos）=2sin（α﹣）+，∵0〈α〈π，∴﹣〈α﹣〈，∴当α﹣=，即α=时，S取得最大值，此时S=2+．（3）由题意得BC=BD=4sin，S=f （α）=（4sin ）2=4•=﹣2cos+2， 则g （α）=﹣2cos+2﹣2sinα=﹣4sin （α+）+2，∵0〈α〈π，∴〈α+〈，∴当α+=，即α=时，g （α）取得最小值，故g （α）=f （α）﹣2sinα的最小值为g （）=2﹣4． 21．如图，在△ABC 中，点E.F 分别在边BC 、CA 、AB 上，2=，3=，3=2．设CF 与AD 交于p 点，AD 与BE 交于Q 点，BE 与CF 交于R 点． （1）求证：=；（2）若S △AQB =k•S △ABC ，求k 的值； （3）求△PQR 与原△ABC 的面积之比．【分析】（1）由B ，Q ，E 三点共线，可得存在实数t ，使得=t+（1﹣t ）=t +（1﹣t ）．设=r，可得=r=r+r=r+r．再利用平面向量基本定理即可得出． （2）S △AQB =，把（1）的结论代入进而得出k ． （3）由（2）同理可得：=，=．S △BCR =S △ABC ．S ACP =S △ABC ．即可得出．【解答】（1）证明：∵B ，Q ，E 三点共线， ∴存在实数t ，使得=t+（1﹣t ）=t+（1﹣t ）． 设=r，则=r=r+r=r+r．∴，解得r=．∴=．（2）解：S △AQB ==•AQ•sin ∠BAQ=•S △ABD =×S △ABC =S △ABC ．∴k=．（3）解：由（2）同理可得：=，=．S △BCR =S △ABC ．S ACP =S △ABC ． ∴S △PQR =S △ABC =S △ABC ．22．已知=（minx ，coax ），=（coax ，﹣coax ），函数f （x ）=•﹣，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 地对边分别a ，b ，c ，且c=，f （C ）=0，若sin（A+C ）=2sinA ，求△ABC 的面积．【分析】（1）利用向量的关系求解f （x ）的解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小正周期； （2）由c=，f （C ）=0，求解C ，根据sin （A+C ）=2sinA ，可得Sinbad=2sinA ，录音正余弦定理求解a ，b 的值，即可求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）函数f （x ）=•﹣，x ∈R ． 可得：所以，f （x ）的最大值为0，最小正周期为T=；（2），则， ∵0〈C 〈π， ∴0〈2C 〈2π， ∴，∴，∴，∵sin（A+C）=Sinbad=2sinA，由正弦定理，①由余弦定理，得，即a2+b2﹣ab=9，②由①②得a=1，b=2，∴．。

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析

高一数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1. y＝ax＋b(a＋b＝0，ab≠0)的图象可能是下列图中的 ()【答案】D【解析】因为ab≠0，所以排除选项C；又a＋b＝0，所以斜率与截距互为相反数，显然，D选项符合，故选D.【考点】直线方程的图象.2.直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是( )A．1B．2C．3D．不存在【答案】B【解析】因为直线(m＋2)x－y－3＝0的斜率为m＋2，直线(3m－2)x－y＋1＝0的斜率为3m－2，因为两直线平行，所以m＋2=3m－2，m=2，故选B.【考点】两直线的平行关系.3.经过原点，且倾斜角是直线y＝x＋1倾斜角2倍的直线的方程为( )A．x＝0B．y＝0C．y＝D．y＝【答案】D【解析】设直线y＝x＋1的倾斜角为θ，则，所以,故选D.【考点】直线的倾斜角.4.已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】以D为原点建系，设长为，，最小为5【考点】向量运算5.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，∠BAC=45°-15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m，在△ABC中，由正弦定理得，，即，解得BC=【考点】正弦定理；任意角的三角函数的定义6.若直线与直线互相平行，则实数________.【答案】2【解析】由题意得7.下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A. 错误，应为：；B.错误，应为，因为两个向量的和仍然是一个向量；C.错误，应为，因为一个数乘以一个向量其结果仍然是一个向量；D. ，由向量加法的三角形法则可知正确。

【考点】向量的运算。

点评：向量的和、差以及向量的数乘运算其结果仍然是一个向量。

8.下列命题正确的是（）A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

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人教A版高一数学能力水平测试卷考试时间：150分钟；满分:150 难度系数：0.45一．选择题（每小题5分，共60分）1．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．22．对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．3．已知向量=（cosx，sinx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x5．若函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）+a（sinx﹣cosx）+（a﹣1）x在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．（﹣∞，0]6．如果实数x、y满足，则|tanx﹣tany|等于（）A．tanx﹣tany B．tany﹣tanx C．tanx+tany D．|tany|﹣|tanx|7．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（，若将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到的图象经过坐标原点；若将f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象关于直线对称．则（）A．B．C．D．8．如图，半径为1的圆O与等边三角形ABC夹在两平行直线l1，l2之间，l∥l1与圆相交于F，G两点．与三角形ABC两边交于E，D两点，设弧的长为x（0＜x＜2π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图形大致是（）A．B．C D．9．设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，•=•+2=•+2，则点P是△ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]11．数列{a n}中a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1；数列{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，在直角坐标平面内，已知点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，P n（a n，b n）…，则向量+++…+的坐标为（）A．（3015，8[（）1006﹣1]）B．（3012，8[（）1006﹣1]）C．（3015，8[（）2010﹣1]）D．（3018，8[（）2010﹣1]）12．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．3二．填空题（每小题4分，共16分）13．已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中A2＞，若|B2C2|=1，则|A2B2|+3|A2C2|的最大值为．14．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，函数g（x）=log a x+x﹣4的零点为n，则的最小值为．15．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，且a＞0且a≠1，b＞0，则的取值范围是．16．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：（1）f1（x）=sinx+cosx；（2）f2（x）=sinx+；（3）f3（x）=sinx；（4）f4=（sinx+cosx）；（5）f5（x）=2cos（sin+cos）．其中“互为生成”函数有．（把所有可能的函数的序号都填上）三．解答题（共74分）17．（13分）如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．（1）求（结果用θ表示）；（5分）（2）若θ=60°（8分）①求的取值范围；②设（0＜t＜1），记=f（t），求函数f（t）的值域．18．（14分）函数φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（6分）（2）若函数y=f（x+φ′）（0＜φ′＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．（8分）19．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（5分）（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．（7分）20．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（2,3小题任选一题做）（1）当α=时，求•的值；（4分）（2）当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．（7分）（3）记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．（7分）21．（12分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，2=，3=，3=2．设CF与AD交于p点，AD与BE交于Q点，BE与CF交于R点．（2,3小题任选一题做）（1）求证：=；（5分）=k•S△ABC，求k的值；（7分）（2）若S△AQB（3）求△PQR与原△ABC的面积之比．（7分）22．（12分）已知=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），函数f（x）=•﹣，x ∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（5分）（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面积．（7分）人教A版高一数学能力水平测试卷参考答案与试题解析一．选择题1．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（）A．2﹣B．2+C．1 D．2【分析】由题意设，再设，这样根据即可得出终点的轨迹，而数形结合即可求出的最小值．【解答】解：根据条件，设，设，则：==0；∴；∴的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：∴||的最小值为：．故选：A．2．对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【分析】根据题意和向量积定义，判断出向量的方向且垂直平面ABCD，由数量积的运算需要求出向量和所成角θ的余弦值，即由题意作EI⊥AC于I，则＜AEI=θ，过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cosθ的值和向量的模，最后代入向量积和数量积定义求解．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选：D．3．已知向量=（cosx，sinx），=（），=，则cos（x﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由向量的数量积的坐标表示及=，可求sinx+cosx，然后把cos（x﹣）展开，代入即可求解【解答】解：由题意可得，==∴sinx+cosx=∴cos（x﹣）=（cosx+sinx）=故选：A．4．已知x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x【分析】运用二倍角的余弦公式和不等式sinx＜x＜tanx（x∈（0，）），结合不等式的性质，即可得到大小关系．【解答】解：x∈（0，），y∈（0，），且xtany=2（1﹣cosx），可得xtany=4sin2＜4•=x2，即tany＜x，又x＜tanx，可得tany＜tanx，即y＜x；由xtany=4sin2＞xtan⇔2sinxsin＞xsin⇔2sinx＞x，由y=2sinx﹣x的导数为y′=2cosx﹣1，x∈（0，），cosx∈（，1），则2cosx﹣1＞0，即函数y=2sinx﹣x在x∈（0，）递增，可得2sinx＞x，即有y＞，可得＜y＜x，故选：C．5．若函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）+a（sinx﹣cosx）+（a﹣1）x在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1] B．C．D．（﹣∞，0]【分析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）+a（sinx﹣cosx）+（a﹣1）x=cos2x+a（sinx﹣cosx）+（a﹣1）x，且f（x）在区间上单调递减，∴在区间上，f′（x）=﹣2sin2x+a（cosx+sinx）+a﹣1≤0恒成立，即a（1+sinx+cosx）≤1+2sin2x ①．∵t=cosx+sinx=sin（x+），∴当x∈时，x+∈[﹣]，t∈[﹣1，1]，即﹣1≤cos+sinx≤1，∴0≤t+1≤2．令t∈[﹣1，1]，sin2x=t2﹣1∈[﹣1，0]，当t=﹣1时，①即a×0≤1+2sin2x，①显然成立．当t＞﹣1时，①即a≤，即a≤==2（t+1）+﹣4；设g（t）=2（t+1）+﹣4，t∈（﹣1，0]；则g（t）≥2﹣4=2﹣4，当且仅当t=﹣1时取“=”，∴g（t）的最小值是2﹣4，a≤2﹣4；综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣4]．故选：B．6．如果实数x、y满足，则|tanx﹣tany|等于（）A．tanx﹣tany B．tany﹣tanx C．tanx+tany D．|tany|﹣|tanx|【分析】由已知中实数x、y满足|tanx|+|tany|＞|tanx+tany|，根据绝对值的性质，我们可得tanx与tany异号，结合，我们分别判断出tany与tanx的符号，即可根据绝对值的代数意义，得到答案．【解答】解：∵实数x、y满足|tanx|+|tany|＞|tanx+tany|∴tanx与tany异号又∵∴tany＞0，tanx＜0则|tanx﹣tany|=tany﹣tanx故选：B．7．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（，若将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到的图象经过坐标原点；若将f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象关于直线对称．则（）A．B．C．D．【分析】依题意，f（x﹣）=sin[（ω（x﹣）+φ）]，f（2x）=sin（2ωx+φ）的图象关于直线x=对称，由此二式可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到的图象经过坐标原点，即f（x﹣）=sin[（ω（x﹣）+φ）]的图象经过原点，∴sin（φ﹣ω）=0，∴φ﹣ω=kπ①；又f（2x）=sin（2ωx+φ）的图象关于直线x=对称，∴2ω×+φ=kπ+，（k∈Z）②不妨令①②中的k=0，得：ω=π，φ=，符合ω＞0，0＜φ＜．故选：A．8．如图，半径为1的圆O与等边三角形ABC夹在两平行直线l1，l2之间，l∥l1与圆相交于F，G两点．与三角形ABC两边交于E，D两点，设弧的长为x（0＜x＜2π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据条件求出圆心角∠FOG=x，利用三角关系求出AP=MR=1﹣cos，建立函数关系，即可得到结论．【解答】解：∵圆的半径为1．∴等边三角形的高为2，即三角形的边长为∵弧的长为x（0＜x＜2π），圆的半径为1，∴圆心角∠FOG=x，即∠FOR=，∴OR=OGcos=cos，∴MR=1﹣cos，又AP=MR=1﹣cos，∴∠PAE=30°∴cos30°=，∴AD=，∴y=EB+BC+CD=3×﹣2AD=4（1﹣cos）=，∴对应的图象为A，故选：A．9．设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，•=•+2=•+2，则点P是△ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【分析】利用向量的减法及数量积公式，确定AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，即可得出结论．【解答】解：因为•=•+2=•+2，所以•﹣2=•（﹣），•﹣2=•（﹣），所以•=•，•=•，所以||c•cos∠PAB=||bcos∠PAC，||c•cos∠PBA=||acos∠PBC所以∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，所以AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，所以点P是△ABC的内心，故选：C．10．在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（）A．[4，6] B．[﹣1，+1]C．[2，2] D．[﹣1，+1]【分析】由于动点D满足||=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点D满足||=1，C（3，0），∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．又A（﹣1，0），B（0，），∴++=．|++|===，（其中sinφ=，cosφ=）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|++|的取值范围是．或|++|=|++|，=（2，），将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即|++|的取值范围是．故选：D．11．数列{a n}中a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1；数列{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，在直角坐标平面内，已知点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，P n（a n，b n）…，则向量+++…+的坐标为（）A．（3015，8[（）1006﹣1]）B．（3012，8[（）1006﹣1]）C．（3015，8[（）2010﹣1]）D．（3018，8[（）2010﹣1]）【分析】由题意，判定{a n}是等差数列，求出公差d；{b n}是等比数列，求出公比q；求出向量+++…+的坐标表示，计算即可．【解答】解：在{a n}中，a1=1，a5=13，a n+2+a n=2a n+1，∴{a n}是等差数列，公差d=（a5﹣a1）=3；在{b n}中，b2=6，b3=3，b n+2b n=b，∴{b n}是等比数列，公比q==；∴向量+++…+=（a2﹣a1，b2﹣b1）+（a4﹣a3，b4﹣b3）+（a6﹣a5，b6﹣b5）+…+（a2010﹣a2009，b2010﹣b2009）=（1005d，﹣6﹣﹣﹣…﹣）=（3015，8[﹣1]）；故选：C．12．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（）A．6B．3+3C．3D．3【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．【解答】解：∵y1=3sin（100πt），y2=3sin（100πt﹣），∴y=y1+y2=3sin（100πt）+3sin（100πt﹣）=sin（100πt）﹣cos100πt=3sin（100πt﹣θ），则函数的振幅为3，故选：D．二．填空题13．已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中A2＞，若|B2C2|=1，则|A2B2|+3|A2C2|的最大值为【分析】由已知结合诱导公式，三角形内角和定理可解得A2=，由正弦定理可得b2=sinB2，c2=sin（﹣B2），利用三角函数恒等变换的应用化简所求，利用正弦函数的性质可求最大值．【解答】解：∵锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，∴不妨设：cosA1=sinA2，cosB1=sinB2，cosC1=sinC2，又A2＞，为钝角，则B2，C2为锐角，结合诱导公式可知：A2=A1+90°，B2=90°﹣B1，C2=90°﹣C1，由三角形内角和定理可得：A2+B2+C2=180°，解得：A1=．A2=，∵|B2C2|=1，∴由正弦定理可得：，可得：b2=sinB2，c2=sin（﹣B2），∴|A2B2|+3|A2C2|=2c2+3b2=4sin（﹣B2）+3sinB2=4（cosB2﹣sinB2）+3sinB2=2cosB2+sinB2=sin（B2+φ）≤，故答案为：．14．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，函数g（x）=log a x+x﹣4的零点为n，则的最小值为．【分析】由题意可得：，字同一坐标系中作出函数y=a x，y=log a x，y=4﹣x的图象．可知：y=a x与y=4﹣x的交点P（m，4﹣m）．可知：y=log a x与y=4﹣x的图象的交点Q（n，4﹣n）．利用互为反函数的性质可得：y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称，可得点P与Q关于直线y=x对称．可得m+n=4．又m，n＞0．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：，在同一坐标系中作出函数y=a x，y=log a x，y=4﹣x的图象．可知：y=a x与y=4﹣x的交点P（m，4﹣m）．可知：y=log a x与y=4﹣x的图象的交点Q（n，4﹣n）．∵y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称，直线y=4﹣x与直线y=x垂直．∴点P与Q关于直线y=x对称．∴=，可得m+n=4．又m，n＞0．∴==≥=，当且仅当n=m=8﹣4时取等号．故答案为：．15．已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，且a＞0且a≠1，b＞0，则的取值范围是【分析】由点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，可得（2a﹣3b+1）（2+1）＜0，即2a+1＜3b．又a＞0且a≠1，b＞0，画出可行域．=表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．即可得出．【解答】解：∵点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，∴（2a﹣3b+1）（2+1）＜0，即2a+1＜3b．又a＞0且a≠1，b＞0，画出可行域：=表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．当点M经过时，．∴点M位于直线x=1的左侧时，．当点M位于直线x=1的右侧时，．因此的取值范围是∪．故答案是：∪．16．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数：（1）f1（x）=sinx+cosx；（2）f2（x）=sinx+；（3）f3（x）=sinx；（4）f4=（sinx+cosx）；（5）f5（x）=2cos（sin+cos）．其中“互为生成”函数有．（把所有可能的函数的序号都填上）【分析】利用辅助角公式将（1）f1（x）=sinx+cosx转化为f1（x）=sin（x+），f4=（sinx+cosx）转化为：f4=2sin（x+），利用倍角公式与辅助角公式将f5（x）=2cos（sin+cos）转化为f5（x）=sinx+1+cosx，再判断即可．【解答】解：∵（1）f1（x）=sinx+cosx=sin（x+），（2）f2（x）=sinx+=（sinx+1），（3）f3（x）=sinx，（4）f4=（sinx+cosx）=•sin（x+）=2sin（x+），（5）f5（x）=2cos（sin+cos）=sinx+1+cosx=sin（x+）+1，∴f1（x）=sinx+cosx=sin（x+）右移单位可以生成函数y=sinx，再将y=sinx的图象向上平移单位可得f2（x）=sinx+，将f1（x）=sinx+cosx=sin（x+）向上平移1个单位可得y=sin（x+）+1，即f5（x）=2cos（sin+cos）=sinx+1+cosx，∴“互为生成”函数的有（1）（2）（5）．故答案为：（1）（2）（5）．三．解答题17．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．（1）求（结果用θ表示）；（2）若θ=60°①求的取值范围；②设（0＜t＜1），记=f（t），求函数f（t）的值域．【分析】（1）直接利用平面向量的数量积把用θ表示；（2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用∠BOC表示，化简整理后由∠BOC得范围求得的取值范围；②设，则，∴，由可得，，整理得，然后把转化为含有t的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数f（t）的值域．【解答】解：（1）=；（2）当θ=60°时，①=．设∠BOC=α，由条件知，，∴==．∵，∴，∴∈[0，3]；②设，则，∴，由可得，，即，整理得，∴，∴．即．而．令，当a=0时，g（0）=1；当a≠0时，，利用单调性定义可证明函数在（﹣1，0）和（0，1）都是递减的，因此，或，∴函数值域是（0，2）．18．函数φ（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数f（x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x+φ′）（0＜φ′＜）是奇函数，求函数g（x）=cos（2x﹣φ′）在[0，2π]上的单调递减区间．【分析】（1）根据φ（x）的部分图象，得出A、T、ω和φ的值，写出函数φ（x）；再利用图象变换得出函数f（x）；（2）根据f（x）得出f（x+φ′），利用奇函数的定义得出φ′的值，写出函数g（x），求出它在x∈[0，2π]上的单调递减区间．【解答】解：（1）根据φ（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，A=2，=﹣，∴T=π，ω==2；又2sin（2×+φ）=2，∴+φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=﹣+2kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=，∴φ（x）=2sin（2x﹣）；把函数φ（x）的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得函数f（x）=2sin（x﹣）的图象；（2）由（1）可知f（x）=2sin（x﹣），∴f（x+φ′）=2sin（x+φ′﹣），∵y=f（x+φ′）是奇函数，则sin（φ′﹣）=0，又0＜φ′＜，∴φ′=，∴g（x）=cos（2x﹣φ′）=cos（2x﹣），令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k∈Z，则kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z，又x∈[0，2π]，∴当k=0时，递减区间为[，]；当k=1时，递减区间为[，]；∴函数g（x）在[0，2π]上的单调递减区间是[，]，[，]．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．【分析】（1）设函数f（x）的周期是T、P（a，0），由图象和周期性表示出A、B的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω；（2）由（1）和x的范围求出f（x）、ωx+φ范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期是T，P（a，0），则A（a+，﹣1），B（a+，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f（x）=sin（x+φ），∵x∈[﹣1，1]，∴，又0＜φ＜π，则，∴sin（x+φ）∈（﹣1，1），即f（x）的取值范围是（﹣1，1）．20．如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．（1）当α=时，求•的值；（2）当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．（3）记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值．【分析】（1）根据向量数量积的公式进行计算即可，（2）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．（3）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．【解答】解：（1）设AC∩BD=0，则O是BD的中点，且AC⊥BD，当α=时，AO=，OC=，则•=•（﹣）=2﹣•=（）2﹣（）•=2+6．（2）由题意得BC=BD=4sin，则S=AB•BCsin∠ABC=sin•sin（+）=4sin•sin（+）=4sin•（sin cos+cos sin）=4sin•（cos+sin）=2sin cos+2sin2=sinα+（1﹣cosα）=2sin（α﹣）+，∵0＜α＜π，∴﹣＜α﹣＜，∴当α﹣=，即α=时，S取得最大值，此时S=2+．（3）由题意得BC=BD=4sin，S=f（α）=（4sin）2=4•=﹣2cosα+2，则g（α）=﹣2cosα+2﹣2sinα=﹣4sin（α+）+2，∵0＜α＜π，∴＜α+＜，∴当α+=，即α=时，g（α）取得最小值，故g（α）=f（α）﹣2sinα的最小值为g（）=2﹣4．21．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，2=，3=，3=2．设CF与AD交于p点，AD与BE交于Q点，BE与CF交于R点．（1）求证：=；=k•S△ABC，求k的值；（2）若S△AQB（3）求△PQR与原△ABC的面积之比．【分析】（1）由B，Q，E三点共线，可得存在实数t，使得=t+（1﹣t）=t+（1﹣t）．设=r，可得=r=r+r=r+r．再利用平面向量基本定理即可得出．（2）S=，把（1）的结论代入进而得出k．△AQB=S△ABC．S ACP=S△ABC．即可得（3）由（2）同理可得：=，=．S△BCR出．【解答】（1）证明：∵B，Q，E三点共线，∴存在实数t，使得=t+（1﹣t）=t+（1﹣t）．设=r，则=r=r+r=r+r．∴，解得r=．∴=．==•AQ•sin∠BAQ（2）解：S△AQB=•S△ABD=×S△ABC=S△ABC．∴k=．（3）解：由（2）同理可得：=，=．S△BCR=S△ABC．S ACP=S△ABC．∴S=S△ABC=S△ABC．△PQR22．已知=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），函数f（x）=•﹣，x∈R．（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，且c=，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面积．【分析】（1）利用向量的关系求解f（x）的解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小正周期；（2）由c=，f（C）=0，求解C，根据sin（A+C）=2sinA，可得sinB=2sinA，录音正余弦定理求解a，b的值，即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=•﹣，x∈R．可得：所以，f（x）的最大值为0，最小正周期为T=；（2），则，∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴，∴，∴，∵sin（A+C）=sinB=2sinA，由正弦定理，①由余弦定理，得，即a2+b2﹣ab=9，②由①②得a=1，b=2，∴．。

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