2011届高三数学下册高考冲刺检测试题17
2011届高考数学最后一卷17
无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(一)数 学I命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教研中心 2011．5.24一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．．．．．．．．．． 1.已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ▲ ．2. 已知全集R U =，集合}22)21(|{},0lg |{≥=<=x x N x x M ，则=N M C U )( ▲ ． 3.一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 ▲ ．4．某鲜花店4枝玫瑰花与5枝牡丹花的价格之和不低于27元，而6枝玫瑰花与3枝牡丹花的价格之和不超过27元，则购买这个鲜花店3枝玫瑰花与4枝牡丹花的价格之和的最大值是 ▲ 元．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 开始 i ←1 , S ←0 i <10 输出S YS ←S+ ii ←i +1 结束N 第3题5.由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 ▲ ．6、已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是 ▲ ．7、半径为2的圆O 与长度为6的线段PQ 相切,切点恰好为线段PQ 的三等分点, 则OQ OP ∙= ▲ ．8、平面内有n 条直线()3≥n ，其中有且仅有两条直线平行，任意三条直线不过同一点，则这n 条直线交点个数()n f = ▲ ．9、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种，镀2金2银 的概率是 ▲ ．10.若m 、n 、l 是互不重合的直线，γβα,,是互不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,, ②若n m n m //,,,//则=⋂=⋂γβγαβα③若m 不垂直于αα不可能垂直于则m ,内的无数条直线 ④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα其中正确命题的序号是 ▲ ．11、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向).3,1(),1,3(,,====b a b OB a OA 其中若10,≤+≤+=μλμλb a OC 且0,≥μλ，C 点所有可能的位置区域的面积为 ▲ ．12、设P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上除顶点外的的任意一点，21,F F 分别为左右点，21PF F ∆内切圆交实轴于点M ，则21MF M F 值为 ▲ ．13.设()x x f x--=4log 3，则满足()0≥x f 的x 的取值范围是 ▲ ．14.设a 是整数，10≤≤b ，若()b a b a +=22，则b 值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且)111(64),11(25435432121a a a a a a a a a a ++=+++=+，（1）求{}n a 的通项公式（2）若为偶数）（为奇数）n n a a b nnn(,1log 2⎪⎩⎪⎨⎧=，为n T {}n b 的前n 项和，求n T ．16．(本题满分14分)如图，正方形ABCD 中边长为1，P 、Q 分别为BC 、CD 上的点，CPQ ∆周长为2． (1)求PQ 的最小值；(2)试探究求PAQ ∠是否为定值，若是给出证明；不是说明理由．17．(本题满分14分)如图，所有棱长都为2的正三棱柱'''D C B BCD -， 四边形ABCD 是菱形，其中E 为BD 的中点． (1) 求证：'''//D AB E C 面；（2）求证：面⊥'ACD 面'BDD ；（3）求四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分体积.A DC BPQA BCED 'D'C'B18．(本题满分16分) 经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”．它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合．例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A 产品x 和B 产品y 台，则它们之间形成的函数)(x f y =就是该企业的“产能边界函数”．现假设该企业此时的“产能边界函数”为x y 2160015-=（1）试分析该企业的产能边界，分别选用①、②、③中的一个序号填写下表：①、这是一种产能未能充分利用的产量组合；②、这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合； ③、这是一种使产能最大化的产量组合．（2）假设A 产品每台利润为()0>a a 元，B 产品每台利润为A 产品每台利润的k 倍*∈>N k k ,1．在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A 产品和B 产品各多少台才能使 企业获得最大利润？19．(本题满分16分)已知动圆P 与圆16)362(:22=++y x M 相切，且经过点)0,362(N （1）试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程；（2）设O 为坐标原点，圆D )0()(:222>=+-t t y t x ，若圆D 与曲线C 交于关于x 轴对称的两点A 、B （点A 的纵坐标大于0），且0OA OB ⋅=，请求出实数t 的值；（3）在（2）的条件下，点D 是圆D 的圆心，E 、F 是圆D 上的两动点，满足2OD OE OF =+，点T 是曲线C 上的动点，试求TE TF ⋅的最小值．20．(本题满分16分) 已知函数()xxx f ln = (1)求()x f 的单调区间；(2)若关于x 的不等式mx x <ln 对一切[]()02,>∈a a a x 都成立，求m 范围； (3)某同学发现：总存在正实数(),,b a b a <使abb a =，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出a 的范围；不正确说明理由．点()y x P i ,对应的产量组合 ()450,3501P ()300,2002P ()420,5003P实 际 意 义数学Ⅱ（理科加试题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，设AB 为⊙O 的任一条不与l 直线垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，l AC ⊥，l BD ⊥，垂足分别为C ，D ，且PD PC =．求证：（1）l 是⊙O 的切线；（2）PB 平分ABD ∠．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡010a ，矩阵B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡020b ，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线04:3=++y x l ，求直线2l 的方程．C ．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l 与C 相交于AB 两点，且14=AB（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．D ．选修4－5：不等式选讲已知)2,0(π∈x ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值．（自编题）LCDPOBA22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且1D E EO λ=． （1） 若1λ=，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值； （2） 若平面CDE ⊥平面1CDO ，求λ的值．23．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．若*N n ∈，()122nn n a b +=+（n a 、n b Z ∈）.（1）求55a b +的值；（2）求证：数列{}n b 各项均为奇数.C 1D 1A 1B 1CBDAOE无锡市2011年普通高中高考模拟试卷(一)数学参考答案一．填空题：1、i -32、{}0≤x x 3、45 4、36 5、1 6、21π++-=x y7、4- 8、222n n -- 9、38 10、（2）、（4）、（5） 11、4 12、2b13、]4,3[ 14、13,213,0-- 15、（1）由题21261264a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得112a q =⎧⎨=⎩，12n n a -=（2）1112n n n n b n --⎧⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为偶数为奇数()()()2121432121+1112432nn nn n n b n n n ⎧⎡⎤⎛⎫-+-⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎩为偶数为奇数16、设CPQ θ∠=，则cos CP PQ θ=，sin CQ PQ θ= （1）21sin cos PQ θθ=++（02πθ<<） ∴212sin 4PQ πθ=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴min 222221PQ ==-+ （2）设(), 1x θ，()1, P y ，设DAQ α∠=，PAB β∠= ∴()()2211112x y x y -+-+-+-=，即()1xy x y ++= 又tan x α=，tan y β= ∴()tan 11x yxyαβ++==-，∴4παβ+=∴()24PAQ ππαβ∠=-+=17．证明(1) 如图取''D B 的中点为F ，连AF ,C ’F , 易得AFC ’F 为平行四边形．ABCED 'D 'C 'BE C AF '//∴,又’‘面D AB AF ⊆ ∴'''//D AB E C 面（2）连接',CD AC ,因ABCD 是菱形故有BD AC ⊥又'''D C B BCD -为正三棱柱故有 'DD AC ⊥所以'BDD AC 面⊥,而'ACD AC 面⊆ 所以面⊥'ACD 面'BDD （3）设B ’D 与BD ’的交点为O ,由图得四棱锥ABCD B -'与ABCD D -'的公共部分为四棱锥O-ABCD 且易得O 到下底面的距离为1，3260sin 222120=⨯⨯⨯=ABCD S所以公共部分的体积为33213231=⨯⨯． 18、（1）点(),i P x y 对应的产量组合()1350,450P()2200,300P()3500,420P实际意义○3 ○2 ○1（2）设生产A 产品x 台，B 产品为y 台()()1516002f x ax kay ax ka x =+=+-令16002x t -=（040t ≤≤）()2211800151580022f t a t kat a t kt ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2308002a t kt a =--+ ()222251580022a t k k a ⎛⎫=-=++⎪⎝⎭1 1540k <即813k <<，得2k =时，30t =利润最大 2 1540k ≥即83k ≥，3,4,k = ，40t =利润最大19．解（1）易知点N 在圆M 内，由题意两圆内切，故4=+PN PM ，又4362<=MN ， 所以动圆的圆心P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆．其方程为134422=+y x （2）OB OA OB OA ⊥∴=⋅,0由对称性知45=∠=∠BOD AOD ，所以直线OA 的斜率1=OA K ， 直线OA 的方程为x y =由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=134422y x x y 得)1,1(A因为)1,1(A 在圆D )0()(:222>=+-t t y t x 上， 所以221)1(t t =+-，解得1=t（3）由2OD OE OF =+，知D 是线段EF 的中点，设),(11y x E ，由（2）知)0,1(D ，所以),2(11y x F --，设),( y x T 则),2)(,(1111 y y x x y y x x TF TE ------=⋅2122211)()(2y y x x x x -+---=61)23(32)41(3422])1[(222222121--=-+-=-++++--=x x x x x y x y x由22≤≤- x ，知当23= x 时，TF TE ⋅的最小值为61-20、（1）定义域()0,+∞ ()21ln 0xf x x -'=≥ ∴ln 1x ≤ ∴()f x 在(]0,e 递增，[),e +∞递减 （2）由题ln xm x>○1()max 2ln 22e a a f x a ⎧≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ○2()maxln a e a f x a ≥⎧⎪⎨=⎪⎩ ○3()max 21ea e f x e ⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2e a ≤时，ln22e m a >a e ≥时，ln am e > 2ea e <<时，1m e>理科加试21．A.（1）连结OP ，因为l AC ⊥，l BD ⊥， 所以BD AC //，又OA=OB ，PD PC =， 所以OP//BD ，从而OP l ⊥， 因为P 在⊙O 上，所以l 是⊙O 的切线．（2）连结AP ，因为l 是⊙O 的切线，所以BAP BPD ∠=∠， 又90=∠+∠PBD BPD ，90=∠+∠PBA BAP ， 所以PBD PBA ∠=∠，即PB 平分ABD ∠． B ．020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设(,)P x y 是1l 上的任意一点，其在BA 作用下对应的点为(,)x y ''， 得1l 变换到3l 的变换公式{2x axy by '='=，则240ax by ++=即为直线1:40l x y -+=，则得1,12a b ==-．此时0210B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，同理可得2l 的方程为240y x -+=，即240x y --=．C ．解（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y x +-=，圆心坐标为(2,0)，半径2R =．（2）直线l 的直角坐标方程为y x m =-，则圆心到直线l 的距离21424()22d =-=LCDPOBA所以20222m--=，可得21m -=，解得1m =或3m = D.解析：设)sin 1,(cos ),4,3(2x x n m +==，则25sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++∙+=≤∙=++=x x n m n m x x x f ，当且仅当n m //时，上式取“=”．22．解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则111111(1,0,0),(,,0),(0,1,0),(0,0,1),(,,)22442A O C D E则1111(,,),(0,1,1)442DE CD ==-由1113cos ,6DE CD DE CD DE CD ⋅<>==⋅所以异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值为36（2）设平面1CDO 的法向量为111(,,)m x y z = ，由0m CO ⋅= ，10m CD ⋅=得111111022x y y z ⎧⎪-=⎨-+=⎪⎩，取11x =，得111y z ==，即(1,1,1)m = 由1D E EO λ=，则(,,)2(1)2(1)1E λλλλλλ+++，(,,)2(1)2(1)1DE λλλλλλ=+++又设平面CDE 的法向量为222(,,)n x y z =，由0n CD ⋅= ，0n DE ⋅=得2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩ 取22x =，得2z λ=-，即(2,0,)n λ=- 因为平面CDE ⊥平面1CDO ，所以0m n ⋅=，得2λ=23． 解：（1）当5n =时，()()()525125555512222C CCC+=++++()()()()243502413555555522222C C C C C C ⎡⎤⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦41292=+故529a =，541b =，所以5570a b +=. （2）证：由数学归纳法（i ）当1n =时，易知11b =，为奇数； （ii ）假设当n k =时，()122kk k a b +=+，其中k b 为奇数；则当1n k =+时，()()()()()1121212212k k k k a b ++=+⋅+=+⋅+()()22k k k k a b b a =+++所以12k k k b b a +=+，又k a 、k b Z ∈，所以2k a 是偶数， 而由归纳假设知k b 是奇数，故1k b +也是奇数. 综上（i ）、（ii ）可知，n b 的值一定是奇数.证法二：因为()()()201212222nnn n n n n C C C C +=++++当n 为奇数时，()()()2410241222n n n n n n n b C C C C --=++++则当1n =时，11b =是奇数；当3n ≥时， 因为其中()()()241241222n n nnnCCC--+++ 中必能被2整除，所以为偶数，于是，()()()2410241222n n n n nnnb C C C C --=++++ 必为奇数；当n 为偶数时，()()()24024222nn n nnn nb C CC C =++++其中()()()2424222nn nnnCCC +++ 均能被2整除，于是nb 必为奇数.综上可知，{}n b 各项均为奇数.。
2011届高三数学下册专题检测试题6
2011届高三数学下册专题检测试题6综合测评(五)立体几何(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面几何体各自的三视图中，至少有两个视图相同的是()A．①②③B．①④C．②④D．①②④2．(2010年山东枣庄第八中学质检)等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是()A．S球>S正方体B．S球＝S正方体C．S球<S正方体D．不能确定3．正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的()A.32B.92C.34D.944．如图，△ABC 为正三角形，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC 且3AA ′＝32BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC －A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)是( )6．如图，已知△ABC 的平面直观图A ′B ′C ′是边长为2的正三角形，则原△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 3C. 6 D ．2 67．(2010年辽宁抚顺一中模拟)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．5∶38．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则点E、F满足的条件一定是()A．CE＝D1F＝1 2B．CE＋DF＝1C．BE＋D1F＝1D．E、F为棱BC、DD1上的任意位置二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.15.已知a、b是两条异面直线，a⊥b.点P∉a 且P∉b.下列命题中：①在上述已知条件下，平面α一定满足：P ∈α且a∥α且b∥α；②在上述已知条件下，存在平面α，使P∉α，a⊂α且b⊥α；③在上述已知条件下，直线c一定满足：P ∈c，a∥c且b∥c；④在上述已知条件下，存在直线c，使P∉α，a⊥c且b⊥c.正确的命题有________(把所有正确的序号都填上)．16．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一几何体的三视图如下：(1)画出它的直观图，并求其体积；(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．18．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A －PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，AP⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求三棱锥D－PBC的体积．19．(本小题满分12分)如图1所示，在边长为12的正方形AA1A′1A′中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA′1分别交BB1、CC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A′1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A1B1C1.(1)求证：AB⊥PQ；(2)在底边AC上有一点M，AM∶MC＝3∶4，求证：BM∥平面APQ.20.(本小题满分12分)四棱柱ABCD—A1B1C1D1的三视图如下．(1)求出该四棱柱的表面积；(2)求证：D1C⊥AC1.21．(本小题满分12分)一个空间几何体G －ABCD的三视图如图所示，其中A i、B i、C i、D i、G i(i＝1,2,3)分别是A、B、C、D、G五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影．在正(主)视图中，四边形A1B1C1D1为正方形，且A1B1＝2a；在侧(左)视图中，A2D2⊥A2G2；在俯视图中，A3G3＝B3G3.(1)根据三视图作出空间几何体G－ABCD的直观图，并标明A 、B 、C 、D 、G 五点的位置；(2)在空间几何体G －ABCD 中，过点B 作平面AGC 的垂线，若垂足H 在直线CG 上，求证：平面AGD ⊥平面BGC ；(3)在(2)的条件下，求三棱锥D －ACG 的体积及其外接球的表面积．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CG →＝13CB →. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求三棱锥C －DEG 的体积；(3)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求AM 的长；否则，说明理由．。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数与数列(2) (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与数列2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、等差数列{}n a 的前n 项和为)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n ，当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 中为定值的是 ▲ 。
2、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ 。
3、已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ▲ 。
4、在等差数列}{n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列}{n a 的前9项之和9S 等于 ▲ 。
5、若数列}{n a 满足⎩⎨⎧≤≤>-=+)10(2)1(11n nn n n a a a a a ，若761=a ，则2008a = ▲ 。
6、已知数列}{n a 满足12a =，132n n a a +=-（n N +∈），则n a ＝ ▲ 。
7、在等差数列{}n a 中，11101,a a <-若它的前n 项和n S 有最大值，则使n S 取得最小正数的n = ▲ 。
8、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nS S = ▲ 。
9、已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则123499100a a a a a a ++++++= ▲ 。
10、已知数列12()3n n a =⋅,将{}n a 的各项排成三角形状:记(,)A m n 表示第m 行第n 列的项,则(10,8)A = ▲ 。
11、已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和28S ＝ ▲ 。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数与不等式 (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与不等式一、填空题：（请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
）1. 若函数(1)f x +的定义域为[0，1]，则(31)f x -的定义域为 ▲ .2. 已知集合10x A x x⎧⎫-=>⎨⎬⎩⎭，13x B y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则=B A ▲ .3. 下列说法错误的是: ▲ (1)命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”(2)“1x >”是“||1x >”的充分不必要条件; (3)若p 且q 为假命题，则p 、q均为假命题;(4)命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”4. 下列三个命题中,真命题是: ▲ ①“若1xy =,则,x y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若1m ≤,则方程220x x m -+=有实根”的逆否命题.5．若函数()f x =,则a 的取值范围为 ▲ .6. 已知实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是 ▲ .7. 函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则当01a <<时，函数()(log )a g x f x =的单调减区间是 ▲ .8.已知函数22()1(,)f x x ax b b a R b R =-++-+∈∈,成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ▲ .9、已知00(,),(1,1),(5,2)A x y B C ，如果一个线性规划问题为可行域是ABC ∆边界及其内部，线性目标函数z ax by =+，在B 点处取得最小值3，在C 点处取得最大值12，则00ax by + 范围 ▲ .10、设(),()f x gx 均是定义在R 上奇函数,且当0x <时,'()()()'()0,(2)(2)0f xg x f x g x f g +<--=,则不等式()()0f x g x >的解集为 ▲ .11. 若12,x x 是方程1112()2xx-+=的两个实数解,则12x x += ▲ .12、线性目标函数z=2x －y 在线性约束条件{||1||1x y ≤≤下，取最小值的最优解是____ ▲13．若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则yx 的取值范围是 ▲ .14.已知,,x y z 满足5000x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩,且24z x y =+的最小值为6-,则常数k 的值为 ▲ .二、解答题：(请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：三角与解几 (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—三角与解几一、填空题：（本题共10个小题，每题4分，共40分）1、已知向量a 与b 的夹角为120°，且5||,2||==，则=⋅-)2( 。
2、函数1312sin)(+-=x x x f π的零点个数为 个。
3、已知函数1()11x f x x -⎧=⎨≥⎩， ， <1， 则不等式(1)(1)3x f x x +⋅+≤-的解集为 。
4、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 。
50y +-=截圆224x y +=得的劣弧所对的圆心角是 。
6、若把函数cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 。
7、已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.则椭圆C 的标准方程为 。
8、已知方程abx x x x b a x a x 则且的两根为,10,,01)2(21212<<<=+++++的取值范围 。
9、设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在0302x ≤≤，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 。
10、已知函数())2f x x π=≤≤，则()f x 的值域为 。
二、解答题：（本题共4大题，共60分）11、在平面直角坐标系中，点21(,cos )2P θ在角α的终边上，点2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- . （1）求cos 2θ； （2）求sin()αβ+的值.12、设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数， ()()f x g x 与图像关于直线1x =对称，且当[]2,3x ∈时，3()3(2)4(2)g x x x =---。
2011届高三数学下册专题检测试题3
2011届高三数学下册专题检测试题3DA．[－34，0]B．[－33，33]C．[－3，3]D．[－23，0]5．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)6．若直线xa－yb＝1(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心，则3a＋b的最小值为() A．8 B．4＋2 3C．4 3 D．4＋ 37．(2010年高考广东卷)已知圆心在x轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．8．设直线l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则直线l 1的方程为________________．9．(2010年天津一中质检)两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和直线l 2：2x ＋my －1＝0，分别根据下列情况求实数m 与n 的取值．(1)l 1与l 2平行； (2)l 1与l 2垂直．11．如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标(－2,0)，直角顶点B的坐标为(0，－22)，顶点C在x轴上．(1)求BC边所在直线的方程；(2)圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程．12．已知曲线x2＋y2－4x－2y－k＝0表示的图象为圆．(1)若k＝15，求过该曲线与直线x－2y＋5＝0的交点、且面积最小的圆的方程；(2)若该圆关于直线x＋y－4＝0的对称圆与直线6x＋8y－59＝0相切，求实数k的值．第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2010年高考课标全国卷)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.6B. 5C.62 D.522．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6C．8 D．123．(2010年高考天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.x236－y2108＝ 1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝ 1D.x 227－y 29＝1 4．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．55．(2010年河北邢台一中模拟)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．86．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋2)2＋y 2＝1和(x －2)2＋y 2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为() A．4,8 B．2,6C．6,8 D．8,127．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点与点F重合，右顶点与A、B构成等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为__________．10．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．11．(2010年高考课标全国卷)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标．。
高三数学立体几何历年高考题(2011年-2017年)完整版.doc
高三数学立体几何高考题1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）182.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π47.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）89（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1311．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。
2011届高三数学综合检测卷及答案
Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第7题）2011届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆，{}5,7U M =ð，则实数a 的值为 ▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ． 4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+ ， AQ =23AB+14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R = ▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中，点,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．（第6题）11请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2g x a x x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数与数列(3) (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与数列3一.填充题: (本题共10个小题,每题4分,共40分)1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 。
2、函数2()f x 的定义域为 。
3、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 。
4、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是 。
5、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 。
6、已知函数()2(0,)a f x x x a R x=+≠∈在区间[)2,+∞是增函数,则实数a 的取值范围为 。
7、函数221(1)1x x y x x -+=>-的值域是 。
8、若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 。
9、若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += 。
10、已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444f f f πππ+++= 。
二.附加题: (本题共2个小题,满分10分,不计入总分)11、在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 。
2011届高三数学下册高考冲刺检测试题23
2011年高考数学最后冲刺必读题解析（23）20.已知函数a x x g x x f +-=+=11)(),1ln()(22， （1）求)(x g 在))2(,2(g P 处的切线方程l ；（2）若)(x f 的一个极值点到直线l 的距离为1，求a 的值； （3）求方程)()(x g x f =的根的个数.21.设),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上的两点，已知),(11a y b x =，),(22a y b x =，若0=⋅且椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点),0(c F （c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； （3）试问：AOB ∆的面积是否为定值，如果是，请给予证明，如果不是，请说明理由. 22.已知数列{}n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 是它的前n 项和. (1) 用n S 表示1+n S ； （2）是否存在自然数c 和k 使得21>--+cS cS k k 成立.（3）令11)1l n()(22--+=x x x h ，则))1(111(2)1(212)(222222'-++=-++=x x x x x x x x h ∴当[)()0)(,11,0'≥+∞∈x ，h x 时 ∴当()()0)(0,11,'<--∞-∈x ，h x 时故)(x h 在()()，上0,1,1,--∞-单调递减，[)()在+∞,11,0，又)(x h 为偶函数，当)1,1(-∈x 时)(x h 的极小值为1)0(=h)(x h 的图象如图所示 )()()(x h a x g x f =⇒=②当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为b kx y +=，与1422=+x y 联立得： 042)4(222=-+++b kbx x k ，44,422221221+-=⋅+-=+k b x x k kb x x 04))((04121212121=+++⋅⇒=⋅+⋅b kx b kx x x y y x x ， 代入得：4222=-k b故不存在自然数k c ,，使21>--+cS cS k k 成立.20．（本小题满分12分）已知函数23()ln(23)2f x x x =+-． （1）求()f x 在[0，1]上的单调区间；（2）若对任意1[,1]3x ∈，不等式|()|ln 5a f x ->，求实数a 的取值范围．20．（1）函数f （x ）的定义域为2{|}3x x >-，233693(1)(31)'()3232332x x x x f x x x x x ---+-=-==+++…………3分∴在[0，1]上，当0)(,310<'<≤x f x 时时，()f x 单调递增； 当113x <≤时，0)(<'x f ，()f x 单调递减． ∴()f x 在[0，1]上的增区间是1[0,]3，减区间是1[1]3，．（开闭均可） …………6分 （2）由|()|ln5a f x ->，可得()ln 5a f x ->或()ln5a f x --<， 即()ln 5a f x >+或()ln5a f x -<．…………7分由（1）当1[,1]3x ∈时，11()()ln 336nmx f x f ==-， min 3()(1)ln 52f x f ==-．…………9分∵()ln 5a f x >+恒成立，∴1ln156a >-， ∵()ln 5a f x <-恒成立，∴32a <-．a ∴的取值范围为：236115ln <->a a 或…………12分21．（本小题满分12分）已知可行域0,20,0,y x y ≥⎧⎪+≥⎨+-的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率2e =． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF的垂线交直线x =Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．21．（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -及点(1M 为顶点的三角形， ∵12A M A M ⊥，∴12A A M ∆为直角三角形，…………2分∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为224x y +=．∵2a =4，∴a =2．又2e =，∴2=c，可得b = ∴所求椭圆C 1的方程是22142x y +=． …………6分（2）直线PQ 与圆C 相切．设000(,)(2)P x y x ≠±，则22004y x =-．当0x =1),0,22(),2,2(-=⋅±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；当0x ≠00002,2y x k x y k OQ PF --=∴-=∴直线OQ的方程为00x y x y =-． …………8分因此，点Q 的坐标为)422,22(00x y x --．∵,)22()22()22(4222242000000020000y x x y x x x y y x x y y x k PQ -=--=-+-=----=…………10分 ∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时候，0OP y k x =，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．…………12分 22．（本小题满分14分）已知在数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；（3）当t =2时，是否存在指数函数g （x ），使得对于任意的正整数n 有∑=+<++kk k k a a k g 1131)1)(1()(成立？若存在，求出满足条件的一个g （x ）；若不存在，请说明理由．22．（1）211'()33[(1)](2)n n n f x a x t a a n -+=-+-≥．由题意0)(='t f，即21133[(1)](2)n n n a t a a n -+-+-≥． …………1分∴11()(2)n n n n a a t a a n +--=-≥∵0t >且1t ≠，∴数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列，…………2分1122312121)1(,)1(,)1(,)1()(---+-=-⋅-=--=-∴⋅-=-=-∴n n n n n n n t t a a t t a a t t a a t t t t t a a以上各式两边分别相加得211(1)()n n a a t t t t --=-++…，∴(2)n n a t n =≥， 当1n =时，上式也成立，∴n n a t =…………5分（2）当t=2时，12(21)1222n n n n b --==- 2112112)2121211(212---=++++-=∴-n n n n n S .21222)211(22n n n n ⋅+-=--=…………7分由2008n S >，得1222()20082nn -+>，1()10052n n +>，…………8分当1500)21(,1005,1005)21(,1400>+≥<+≤nnn n n n 时当时， 因此n 的最小值为1005．…………10分（3）∵11111111()(1)(1)(21)(21)22121k k k k k k k a a +++==-++++++ 令()2k g k =，则有：11()11(1)(1)2121k k k k g k a a ++=-++++则11111()11(()(1)(1)2121nnk k k k k k g k a a ++==+=-++++∑∑2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-++++++ (1111)3213n +=-<+…………13分即函数()2x g k =满足条件．18．（本小题满分13分）已知(4,2)A 是曲线22122:1x y C a b+=（0a b >>与曲线）22:2(0)C y px p =>的一个共点，F 为曲线2C 的焦点。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷：函数(1) (详细解答)
江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。
1、函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为 ▲ 。
2、设f(x)＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f[f(21)]＝ ▲ 。
3、已知)2(x f 的定义域为]2,0[，则)(log 2x f 的定义域为 ▲ 。
4、若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则a 、b 、c 从大到小的顺序是 ▲ 。
5、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ▲ 。
6、若不等式｜3x －b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为 ▲ 。
7、定义运算法则如下：1112322181,lg lg ,2,,412525a b a ba b a b M N -⊕=+⊗=-=⊕=则M ＋N ＝ ▲ 。
8、设10<<a ，函数2()log (22)x xa f x a a =--，则使()0f x <的x 取值范围是 ▲ 。
9、设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是 ▲ 。
10、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 ▲ 。
11、若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 ▲ 。
12、设(32()log f x x x =++，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的▲ 条件。
2011年全国高考数学试卷(含标准答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A) 22(B) 33(C) 63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2011届高三数学下册高考冲刺检测试题22
2010年高考数学最后冲刺必读题解析（22）(20)（本题满分14分）数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项的和n S 满足()12-=n n n S a S .（Ⅰ）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）设22+=n nn S S log b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足6≥n T 的最小正整数n . (20)解（Ⅰ）()12-=n n n S a S()21()(1)2n n n n S S S S n -∴=--≥11,n n n n S S S S --∴=-即1111,n n S S --= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是1为首项，1为公差的等差数列. ………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知212,log n n n S b n n+=∴=， ()()221234562log log 6,12342n n n n T n +++⎛⎫∴=⨯⨯⨯⨯⨯=≥ ⎪⎝⎭ 128)1)(2(≥++∴n n n N +∈ 10≥∴n ,所以满足6≥n T 的最小正整数为10. ………………………………14分(21)（本题满分15分）已知函数()().a x x x h ,x ln x x f +-=-=222（Ⅰ）求函数()x f 的极值；（Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围.(21)解: （Ⅰ）xx x f 22)('-= ，令'()0,01f x x x =>∴=所以)(x f 的极小值为1,无极大值. ……………………………………7分 （Ⅱ）12)(ln 2)()()('+-=∴-+-=-=xx k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则 当[)1,2x ∈时，()'0f x <；当(]2,3x ∈时，()'0f x >．故()k x 在[)1,2x ∈上递减，在(]2,3x ∈上递增． ……………………………10分(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln3-- ………………………………15分(22)（本题满分15分）已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到点()1,0F 的距离比到直线:2l y =-的距离小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线,EA EB ，切点为A 、B ．（ⅰ）求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在直线l 上是否存在一点E ，使得ABM ∆为等边三角形（M 点也在直线l上）？若存在,求出点E 坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:（Ⅰ） 曲线C 的方程 y x 42= …………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a aAB y x a ∴-+=-直线的方程为()22ay x AB =+∴即过定点0,2 ………………………………10分 （ⅱ）由（ⅰ）知AB 中点)24,(2+a a N ，22a AB y x =+直线的方程为 当0a ≠时，则AB 的中垂线方程为)(2242a x a a y --=+- AB ∴的中垂线与直线2-=y 的交点312(,2)4a aM +-322222221241()(2)(8)(4)4216a a a MN a a a ++∴=-+--=++)8)(4(4)(4122212212++=-++=a a x x x x a AB若ABM ∆为等边三角形，则MN =),8)(4(43)4()8(16122222++=++∴a a a a 解得,2,42±=∴=a a 此时(2,2)E ±-, 当0a =时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E 存在，坐标为(2,2)E ±-. ……………………15分19．（本小题满分12分）已知函数bx axx f +=2)(，在1=x 处取得极值为． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(,21)m m +上为增函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）若00(,)P x y 为b x ax x f +=2)(图象上的任意一点，直线l 与bx axx f +=2)(的图象相切于点，求直线l 的斜率的取值范围．19.解：（Ⅰ）已知函数b x ax x f +=2)(，222)()2()()('b x x ax b x a x f +-+=∴ …………１分 又函数)(x f 在1=x 处取得极值2，⎩⎨⎧==∴2)1(0)1('f f …………２分即⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+142102)1(b a b a a b a 14)(2+=∴x x x f …………………4分 （Ⅱ）222222)1(44)1()2(4)1(4)('+-=+-+=x x x x x x x f 由0)('>x f ，得0442>-x ，即11<<-x所以14)(2+=x xx f 的单调增区间为（－1，1） ………………… 6分因函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥m m m m 121121， …………７分解得01≤<-m 即]01(，-∈m 时，函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上为增函数 ………８分 （Ⅲ）2222)1()2(4)1(4)('14)(+-+=∴+=x x x x x f x xx f 直线l 的斜率22020200)1(8)1(4)('+-+==x x x x f k …………９分 即k ]11)1(2[420220+-+=x x 令]10(1120，，∈=+t t x ， …………１０分 则]10()2(42，，∈-=t t t k]421[，-∈∴k 即直线l 的斜率k 的取值范围是]421[，- ……………1２分20．（本小题满分12分）已知C B A ,,均在椭圆)1(1:222>=+a y ax M 上，直线AB 、AC分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅= 时，有21219AF AF AF =⋅. (Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)设是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求⋅的最大值.20.解:(Ⅰ)因为120AC F F ⋅= ，所以有12AC FF ⊥所以12AF F ∆为直角三角形；1122cos AFF AF AF ∴∠=…………………………2分 则有22212121221199cos 9AF AF AF AF F AF AF AF AF ⋅=∠=== 所以，123AF AF =…………………………3分a 2=+，123,22a aAF AF ∴== ………………………4分 在12AF F ∆中有2221212AF AF F F =+ 即)1(4223222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a ，解得22=a 所求椭圆M 方程为1222=+y x …………………………6分 (Ⅱ)()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅()()()1222-=--=-⋅--=NP NFNP NP NF NP NF从而将求PF PE ⋅的最大值转化为求2的最大值 …………………8分是椭圆M 上的任一点，设()00,y x P ，则有122020=+y x 即202022y x -=又()2,0N ，所以()()22220002210NP x y y =+-=-++ ………………10分而[]1,10-∈y ,所以当01y =-时，2取最大值9故⋅的最大值为8 ……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()(01)1xf x x x=<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在轴上的截距为n b ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列2{}n n n b a a λ-的项仅5255b a a λ-最小，求的取值范围； （3）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+，01x <<，数列{}n x 满足：112x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *∈．证明：2223212112231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++< ． 21. 【解析】（1）令1xy x=-，解得1y x y =+，由01x <<，解得0y >，∴函数()f x 的反函数1()(0)1x f x x x-=>+，则11()1n n nn a a f a a -+==+，得1111n n a a +-=． 1{}na ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故11n a n =+． ……3分（2）∵1()(0)1x f x x x-=>+，∴121[()](1)f x x -'=+， ∴1()y f x -=在点1(,())n f n -处的切线方程为21()1(1)n y x n n n -=-++， 令0x =， 得22(1)n n b n =+，∴2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---， ∵仅当5n =时取得最小值，∴4.5 5.52λ<<，解之911λ<<，∴的取值范围为(9,11)． ……7分（3）2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+22212[]1111x x x x x x x x -=+⋅=+-++，(0,1)x ∈． 则121(1)1nn n n n n x x x x x x ++-=-⋅+，因01n x <<，则1n n x x +>，显然12112n n x x x +>>>>．121111(1)2144121n n n n n n nn x x x x x x x x ++-=-⋅≤⋅<=+++-+∴211111111()1111()()())n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--=-=--<- ∴2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 12231111111[()()()]n n x x x x x x +<-+-++-111111())n n x x x ++-=- ∵111,2n n x x x +=>，∴1112n x +<<， ∴1112n x +<<，∴11021n x +<-<∴2223212112231131()()()152)816n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++-<<= ． ……12分18．（本小题满分16分）已知在△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为)0,2(-和)0,2(，点C 在x 轴上方. （Ⅰ）若点C 的坐标为)3,2(，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； （Ⅱ）若∠45=ACB ，求△ABC 的外接圆的方程； （Ⅲ）若在给定直线y x t =+上任取一点P ，从点P 向(Ⅱ)中圆引一条切线，切点为Q .问是否存在一个定点M ，恒有PM PQ =？请说明理由.19．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（Ⅲ）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .20．（本小题满分16分）设函数2()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>．（Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由．（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究0'()G x 值的符号．。
2011届高三数学下册专题检测试题7
2011届高三数学下册专题检测试题7专题四 不等式、推理与证明第1讲 不等式1.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2 x ≤0－x ＋2 x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a b 2>a D.a b >a >a b 2 3．设集合A ＝{x |2x 2－x －10≥0}，B ＝{x |x x ＋3≥0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－3，－2] B ．(－3，－2]∪[0，52] C ．(－∞，－3]∪[52，＋∞) D ．(－∞，－3)∪[52，＋∞) 4．(2010年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条8．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．(2010年高考安徽卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．10．若a ∈[1,3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2>0恒成立，求实数x 的取值范围．11.设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |132≤2－x ≤4，B ＝{x |(x －m ＋1)·(x －2m －1)<0}．(1)求A ∩Z ；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．12．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t )表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律，f (t )越大，表明学生注意力越集中，经过实验分析得知： f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋24t ＋100 0<t ≤10，240 10<t ≤20，－7t ＋380 20<t ≤40.(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？第2讲推理与证明1．对a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋1x≥2x·1x(小前提)，所以x＋1x≥2(结论)．以上推理过程中的错误为()A．大前提B．小前提C．结论D．无错误2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a 不能被5整除3．(2010年天津一中模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．34．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝()A.2 (n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－15．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…每组内各数之和与其组的编号数n的关系是() A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)6．(2010年沈阳二中质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③7．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是________．8．观察下列式子：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， 由上可得出一般的结论为____________．9．(2009年高考浙江卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，__________，________，T 16T 12成等比数列． 10．已知f (x )(x ∈R)恒不为0，对任意x 1，x 2∈R ，等式f (x 1)＋f (x 2)＝2f (x 1＋x 22)f (x 1－x 22)恒成立．求证：f (x )是偶函数．11.(2010年河北八校联考)已知a>0，b>0，且a＋b>2.求证：1＋ba、1＋ab中至少有一个小于2.12．找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质．(1)三角形的两边之和大于第三边．(2)三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边．(3)三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r(r为内切圆半径)．。
2011届高三数学下册专题检测试题1
2011届高三数学下册专题检测试题1专题七 概率与统计、算法初步、框图、复数第1讲 概 率1．根据统计显示，某人射击1次，命中8环、9环、10环的概率分别为0.25、0.15、0.08，则此人射击1次，命中不足8环的概率为( )A ．0.77B ．0.52C ．0.48D ．0.372．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A.12B.13C.14D.153．(2010年高考安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.6184．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则满足log 2x y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.125．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12f (－2)≤4，为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.14B.58C.12D.386．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．11．(2010年高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．12．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.(1)求函数y＝f(x)有零点的概率；(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．第2讲统计、统计案例1．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A．12.512.5B．12.5 13C．1312.5 D．13 132．(2009年高考宁夏、海南卷)对变量x，y 有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断()A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．(2010年河南开封质检)一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为，记录的平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．84．最小二乘法的原理是( )A ．使得 i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]最小B ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )2]最小C ．使得∑i ＝1n[y 2i －(a ＋bx i )2]最小D ．使得∑i ＝1n[y i －(a ＋bx i )]2最小5．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (°C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ≈－2，预测当气温为－4 °C 时，用电量的度数约为( )A ．58B ．66C ．68D ．70 6．(2010年广东汕头调研)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )A. 3B.2105C ．3 D.857．(2010年浙江宁波十校联考)一个总体中有100个个体，随机编号0,1,2，…，99，依从小到大的编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是__________．8．有一容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示：若落在[10,20)中的频数共9个，则样本容量n＝__________.9．(2010年浙江宁波十校联考)一个样本a,99，b,101，c中5个数恰好构成等差数列，则这个样本的标准差等于__________．10．某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件，根据上面的数据判定，产品是否合格与设备是否改进有没有关系？11．为了研究某高校大学新生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图．已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{a n}的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{b n}的前六项．(1)求等比数列{a n}的通项公式；(2)求等差数列{b n}的通项公式；(3)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率μ的大小．12．(2009年高考广东卷)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．第3讲 算法初步、复数1．(2010年高考山东卷)已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 2．(2010年高考福建卷)i 是虚数单位，(1＋i 1－i )4等于( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 3．有编号为1,2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验．下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是( )4.(2010年辽宁八校联考)在如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(2)的值为(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)()A．9 B．8C．6 D．45．已知a 为实数，1＋2i a ＋i ＞32，则a ＝( )A ．1 B.12C.13D ．－2 6．如图所示的程序框图，其功能是计算数列{a n }前n 项和的最大值S ，则( )A ．a n ＝29－2n ，S ＝225B ．a n ＝31－2n ，S ＝225C ．a n ＝29－2n ，S ＝256D ．a n ＝31－2n ，S ＝2567．复数z 满足(2－i)z ＝5i ，则|z |＝__________.8．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是__________．第6题第8题9.(2010年河南淮阳中学模拟)给出30个数：1,2,4,7,11，…其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，…以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示．那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入________；________.10．若复数z满足(1＋2i)·z＝4＋3i，求|z|.11．已知复数z1＝2cosθ＋i·sinθ，z2＝1－i·3 cosθ，其中i是虚数单位，θ∈R.当θ为何值时，z1＝z2?12.根据如图所示的程序框图，将输出的x、y 值依次分别记为x1，x2，…，x n，…，x2010；y1，y2，…，y n，…，y2010.(1)求数列{x n}的通项公式x n；(2)写出y1，y2，y3，y4的值，由此猜想出数列{y n}的一个通项公式y n，并证明你的结论．。
浙江省衢州市2011届高三数学4月教学质量检测试卷+理+新人教A版
2011年4月衢州市高三年级教学质量检测试卷数学（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知函数，则（）2.已知命题，，则是的（）充要条件既不充分也不必要条件充分不必要条件必要而不充分条件3.复数（是虚数单位）的实部是（）4.右面的程序框图输出的结果为（）5.已知等比数列中，公比，且，，则（）6.已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③其中假命题的个数为（）7.已知是双曲线上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）8.随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则的值为（）9.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.若，则（）10.记集合，将中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（）二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.若的展开式中含项，则最小自然数是 .12.在中，在线段上，，则.13.已知四个非负实数，满足，则的最大值为 .14.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .15.在2010年广州亚运会射箭项目比赛中，某运动员进行赛前热身训练，击中10环的概率为，反复射击.定义数列如下：，是此数列的前项的和，则事件发生的概率是 .16.把抛物线绕焦点按顺时针方向旋转，设此时抛物线上的最高点为，则.17.如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是 .三、解答题：（本大题共5小题，共72分）18.（本题满分14分）在中，角、、所对的边分别是、、，已知.（I）求的值；（II）若，求面积的最大值.19.（本题满分14分）已知等差数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足，求数列的前项和.20.（本题满分14分）如图，在梯形中，，，四边形为矩形，平面平面，.（I）求证：平面；（II）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围.21.（本题满分15分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点.（I）设，求的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知函数.(I) 求函数在上的最大值.(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.是的导函数，若正常数满足.求证：.衢州市2011年4月高三年级教学质量检测试卷数学(理科)参考答案一、选择题：1. D2.B3.A4.D5.B6.C7.C8.D9.B 10.C二、填空题11. 7 12.13. 7 14.15.16.17.三、解答题18.解：(Ⅰ) ∵，……………7分(Ⅱ) ∵，…………………9分(当且仅当a=b=时等号成立) …………………12分由cosC=,得sinC=…………………13分，故△ABC的面积最大值为…14分19.解：（I）设首项为,公差为d,则解得…………………5分…………………7分（II）∵=当n为偶数时,=…………………10分当n为奇数时,===…………………13分…………………14分20.（I）证明：在梯形中，∵,，∠＝，∴…………………2分∴∴∴⊥………………… 4分∵平面⊥平面,平面∩平面,平面∴⊥平面…………………6分（II）解法一：由（I）可建立分别以直线为的如图所示空间直角坐标系，令，则，∴…………8分设为平面MAB的一个法向量，由得取，则，…………10分∵是平面FCB的一个法向量∴………12分∵∴当时，有最小值，当时，有最大值。
宁波市2011年高考模拟试卷数学(理科)
宁波市2011年高考模拟试卷数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至3页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式V =ShP (A +B )=P (A )+P (B )其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 V =31Sh如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k )=kk n p C (1-p )n -k (k =0,1,2,…n )台体的体积公式)2211(31S S S S h V ++=球的表面积公式S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积， 球的体积公式V =34πR 3 ，其中R 表示球的半径h 表示台体的高第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1) 已知全集R U =,集合2{|30}A x x x =->,{|B x x =>则()UB A 等于(A) {|3x x >或0}x <(B) {|13}x x <<(C) {|13}x x <≤ (D) {|13}x x ≤≤(2) 设a ，b 是单位向量，则“a ·b =1”是“a =b ”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(3)右图是某同学为求50个偶数：2，4，6，…，100的 平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图 中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是(A) 5050,x i x >=(B) 50100,x i x ≥= (C) 5050,x i x <= (D) 50100,xi x ≤=(4)若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体外接球的表面积是 (A) 4πcm 2 (B) 3π cm 2 (C) 2πcm 2 (D) πcm 2开始x =0,i =1是结束否 x =x ＋2i i =i ＋1 输出x（第3题图）1 1正视图侧视图1(5)设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A)0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90°， KL ＝1，则1()6f 的值为(A) 43- (B) 14- (C) 12- (D) 43(6)设双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2．过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则 双曲线C 的离心率为(A)2 (B) 2 (C)3 (D) 3(7) 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面. 考察下列命题,其中真命题是 (A) βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,, (B) ββαβα⊥⇒⊥=⊥n n m m ,, (C) n m ,,αβα⊥⊥∥βn m ⊥⇒ (D) α∥β,,α⊥m n ∥βn m ⊥⇒(8) 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围为(A) )5,3( (B) ),21(+∞ (C) )2,1(- (D) )1,31((9) 前12个正整数组成一个集合{}1,2,3,,12⋅⋅⋅，此集合的符合如下条件的子集的数目为m ：子集均含有4个元素，且这4个元素至少有两个是连续的．则m 等于 (A) 126(B) 360(C) 369(D) 495（第5题图）xyKLOM(10) 设平面向量a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2) ,定义运算⊙：a ⊙b =x 1y 2-y 1x 2 .已知平面向量a ，b ，c ，则下列说法错误的是(A) (a ⊙b )+(b ⊙a )=0 (B) 存在非零向量a ，b 同时满足a ⊙b =0且a •b =0 (C) (a +b )⊙c =(a ⊙c )+(b ⊙c ) (D) |a ⊙b |2= |a |2|b |2-|a •b |2第II 卷（非选择题 共100分）注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上．2.在答题纸上作图, 可先使用2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分． (11) 已知复数3i z =( i 为虚数单位)，则243z ＝ ▲ . (12) 已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan 2x = ▲ ．(13) 已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ． (14) 设二次函数2()f x ax bx c =++（,,R a b c ∈），若对所有的实数x ，都有222x x -+≤()f x ≤2243x x -+成立，则a b c ++＝ ▲ ．（15）现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀的硬币抛出后正面出现的概率为23.现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ▲ ．(16) 数列{}n a 为等差数列，12619,1a a ==-，设16||n n n n A a a a ++=++⋅⋅⋅+，N n *∈．则n A 的最小值为 ▲ ．(17) 如图，已知平行四边形ABCD 中，2,3==BC AB ，60=∠BAD ， E 为BC 边上的中点，F 边形内（包括边界）一动点，则AF AE ⋅的最大值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18）（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．（19）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，31=a ，若数列{}1+n S 是公比为4的等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设111)3(+++⋅-=n n n n S a a b ，*∈N n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FE DCA（第17题图）（第21题图）（20）（本小题满分15分）如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，⊥AE 平面CDE ，已知3==DE AE ，F 为线段DE 上的动点． （Ⅰ）若F 为DE 的中点，求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）若二面角F BC E --与二面角D BC F --的大小相等，求DF 长．（21）（本小题满分15分）已知点)2,0(-D ，过点D 作抛物线:1C )0(22>=p py x的切线l ，切点A 在第二象限，如图．（Ⅰ）求切点A 的纵坐标；（Ⅱ）若离心率为23的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线OB OA l ,,的斜率分别为21,,k k k ，若k k k 4221=+，求椭圆方程．（22）（本小题满分14分）函数()f x 定义在区间[a , b ]上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数 )(x f 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”． (Ⅰ) 若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求)(x f 的最大值，写出)()(21x 、fx f 的解析式；(Ⅱ) 若0m >，函数32()f x x mx =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围．宁波市2011年高考模拟试卷数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题（第20题图）的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
37057_2011年广东高考密卷(数学理)
试卷类型:A2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数学（理科）2011.5本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式13VSh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=,其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()PA B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合}{220A x xx =-≤，}{11B x x =-<<,则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤C ．}{11x x -<<D ．}{12x x -<≤2.若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为 A ．2-B ．1-C ．1D ．23.已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A．5D ．13 4.函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数B ．是增函数 C ．有极小值D ．有极大值5.阅读图1的程序框图.若输入5n =,则输出k 的值为.NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)150140110100C ．4D ．56.“a b >”是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为 A ．96B ．114 C ．128D ．136 图18.如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动,则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4πB ．2π C ．πD ．2π 图2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况,抽 取出该地区若干户居民的用电数据,得到频 率分布直方图如图3所示,若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户,则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有户.10.以抛物线2:8C yx =上的一点A 那么该圆的方程为. 11.已知数列{}n a 是等差数列,若468212a a a ++=,则该数列前11项的和为. 12.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =,D 13.某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条件25,2,6.x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲选做题)如图4,CD是圆O的切线,切点为C,点A、B在圆O上，1,30BC BCD︒=∠=，则圆O的面积为.15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cosρθ=于A、B两点，则AB=.图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x=+(x∈R).(1)当x取什么值时,函数()f x取得最大值,并求其最大值;(2)若θ为锐角，且8fπθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tanθ的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1表2(1)求,a b的值；(2)从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C中，侧棱1AA⊥底面ABC,,⊥AB BC D为AC的中点,12A A AB ==.(1)求证：1//AB 平面1BC D ；(2)若四棱锥11-B AA C D 的体积为3,求二面角1--C BC D 的正切值. 图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C .(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线,当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分） 已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式；(2) 求函数()gx 的单调区间；(3) 研究函数()gx 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分） 已知函数y =()f x 的定义域为R ,且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得()()1212f x f x L x x -≤-都成立.(1) 若()f x =,求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n =.① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,kk a a a A k k++==，证明：112111nk k k A A a a L+=-≤--∑.2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分. 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分. 9.32510.()(2219x y -+±=13.1014.π15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos2x x =+……1分22x x ⎫=+⎪⎪⎭……2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,.……5分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.……6分∴1cos 23θ=.……7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==.……9分∴22tan 1tan θθ=-……10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-=.∴tan θ=tan θ=不合题意,舍去)……11分∴tan θ=……12分解法2:∵83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分 ∴212cos 13θ-=.……8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos θ=.……9分∴sin θ==.……10分∴sin tan cos 2θθθ==.……12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分EDA 1A∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分 ∴sin tan cos θθθ=……9分 22sin cos 2cos θθθ=……10分2=.……12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为： ......2分 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. (3)∴分∵0.60.20.11a b ++++=,即0.3a b +=,……4分 解得0.2,0.1a b ==. ∴0.2,0.1a b ==.……6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品.……8分 故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=.……12分 18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴1//OD AB .……2分∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D .……4分 (2)解:依题意知，12AB BB ==， ∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AA C C ,∴平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC 平面11AA C CAC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AA C C ，……6分设BC a =，在Rt △ABC 中，AC ==AB BCBE AC==，∴四棱锥11-B AA C D 的体积()1111132VAC AD AA BE =⨯+126=a =.……8分 依题意得，3a =，即3BC=.……9分(以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法) 解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥=,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F =，∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG ,∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角.……12分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得11322BF CC GF BC ⨯===在Rt△DFG 中,tan DFDGFGF∠=3=.∴二面角1--C BC D 的正切值为3.……14分 解法2:∵11,,AB BC AB BB BCBB B ⊥⊥=,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -.则()0,2,0B,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =-,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n(),,x y z =,由n 10BC =及n 0BD =,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-. 故平面1BC D 的一个法向量为n()2,3,3=-,……11分 又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB=-,∴cos 〈n ,AB 〉=⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==……12分∴sin 〈n ,AB 〉==.……13分 ∴tan 〈n ,AB 〉=3. ∴二面角1--C BC D 的正切值为3.……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -.∵OP OQ ⊥, ∴1OP OQ k k =-.当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =.……2分 当0x =时,P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠. ∴曲线C 的方程为22x y=()0x ≠.……4分(2)解法1:∵直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+,……5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2220x kx b --=. ∵直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-.……6分点()0,2到直线2l 的距离d =22121k =+……7分12⎫=+……8分 213121k≥⨯+……9分=……10分当且仅当=k =.此时1b =-.……12分∴直线2l10y --=或10y ++=.……14分解法2：由22x y =，得'y x =，……5分 ∵直线2l 与曲线C 相切,设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=.……6分点()0,2到直线2l 的距离d =212121x=+ (7)分12⎫=+……8分 213121x ≥⨯+……9分=……10分当且仅当=1x =.……12分∴直线2l10y --=或10y ++=.……14分解法3：由22x y =，得'y x =，……5分 ∵直线2l 与曲线C 相切,设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=.……6分点()0,2到直线2l的距离d =2y +=……7分12⎫=+……8分 1131221y ≥⨯+……9分=……10分当且仅当=，即11y =时，等号成立,此时1x =……12分∴直线2l10y --=或10y ++=.……14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：∵()00f =，∴0c =.……1分∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =.……2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤．∵()210b -≥，∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+．……4分(2)解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩……5分①当1x λ≥时，函数()()211gx x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()gx 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；……6分若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．……7分 ②当1xλ<时，函数()()211gx x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()gx 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减．……8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()gx 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；……9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭．……10分(3)解：①当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210gg λ=-<=-->，故函数()gx 在区间()0,1上只有一个零点．……11分②当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()gx 在区间()0,1上只有一个零点；……12分（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．……13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()gx 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有212x x +=.……2分由()()1212f x f x L x x -≤-,212x x +12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.21121,x x x +>>且1212xx x x +≥+，12121x x x x +<≤+.……4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥.当12x x =时,()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞.……5分(2)证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n =,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤-.……6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L L a a -≤++++-……7分1211n L a a L-=--.……8分 ∵01L <<,∴112111nkk k aa a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立).……9分 ②∵12kka a a A k++=,∴1212111kk k k a a a a a a A A kk ++++++++-=-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+.……11分 ∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑1211a a L≤--.……14分。
2011届高考数学考前抢分押题卷——全国卷理17
2011届高考数学考前抢分押题卷——全国卷：理17第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合}0,2|{},02|{2>==>-=x y y B x x x A x，R 是实数集，则()A B C R 等于A.[]1,0B.），（0∞-C. ]0，（∞-D.]1,0( 2.已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 （ ） A (1)(1)i i ++-B (1)(1)i i +--C (1)(1)i i +-D11ii+- 3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假 4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+， 则使得nna b 为正偶数时，n 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．3或115. 若函数f （x ）的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈ （ ） A ．（0，1） B ．[0，2] C ．（2，3） D ．（2，4） 6. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最少坐2人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．707.如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB ∙的值是（ ）A.8B.4C.2D.18. 在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 （ ）A.12B.24C.36D.489.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （ ） A ．13π B．3 C ．23π D．3 10. 点40(2,)30x y P t x y --≤⎧⎨+-≤⎩在不等式组表示的平面区域内，则点P （2,t ）到直线34100x y ++=距离的最大值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．811．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)1()f x f x -=-，则11()()38f f +等于 （ ）A ．34B ．12C ．1D ．2312.已知数列{}n a 满足：11a =，212a =，且2121n n n n a a a a +++=+(n ∈N *)，则右图中第9行所有数的和为A 90B 9! C1022 D1024第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
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高考数学最后冲刺必读题解析（17）19．（本小题满分12分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①()x f x p q =⋅；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中、均为常数，且1q >）（I ）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？（II ）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；（III ）为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．解：（I ）根据题意，应选模拟函数2()()f x x x q p =-+ 2分322()2f x x qx q x p =-++ ，22()34f x x qx q '∴=-+ 3分若()f x ≥()g x 恒成立，即2a a -≥0恒成立 解之得≤4e ． 10分 （III ）由（II ）得22x ≥4ln e x ，即44ln x x ≤22ex11分 444444444ln 2ln 3ln 4ln 24ln 34ln 2323n nn n+++=+++ ≤2222111()23e n +++ 2111()1223(1)e n n <+++⨯⨯- 12分211111212(1)(1)22311e n n e n e=-+-++-=-<-- 13分所以212164(2)14k x k -⋅-=+，得2122814k x k -=+ 9分所以2122284(2)1414k ky k k k-=+=++所以直线BS 的斜率为2224114284214k k k kk +=---+， 10分 则直线BS 的方程可设为1(2)4y x k=-- 由1(2)43415y x kx ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得N 点的坐标为341(,)1515k -12分 所以641||||1515k MN k =+≥1615= 当且仅当6411515k k =即18k =时取等号． 14分(20)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且(1)(1)(0)()n n a S a a a n -=->∈*N 。
(Ⅰ)求证数列{}n a 是等比数列，并求n a ；(Ⅱ)已知集合2{(1)},A x x a a x =+≤+|问是否存在实数a ，使得对于任意的,n ∈*N 都有n S A ∈?若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。
(20)解：(Ⅰ)当1n =时， 111(1)(1),(0)a S a a a a a -=-∴=> …………………………1分2n ≥时，由(1)(1)(0),n n a S a a a -=->得11(1)(1)n n a S a a ---=-1(1)()n n n a a a a a -∴-=-，变形得：1(2)nn a a n a -=≥………………………………………4分故{}n a 是以1a a =为首项，公比为a 的等比数列，nn a a ∴=………………………………6分(Ⅱ)(1)当1a =时，{1},,n A S n ==只有1n =时,n S A ∈1a ∴=不适合题意 (7)分(2)1a >时，222{1},,,A x x a S a a a S A =≤≤=+>∴∉|即当1a >时，不存在满足条件的实数a ………………………………………………………9分 (3)当01a <<时，{1}A x a x =≤≤| 而2(1)[,)11nn n a a S a a a a a a a=+++=-∈-- 因此对任意的,n ∈*N 要使,n S A ∈只需 01,1,1a aa<<≤-解得102a <≤………………………11分 综上得实数a 的范围是1(0,]2……………………………………………………12分 (21)(本小题满分12分)已知抛物线1C 的方程是2(0),y ax a =>圆2C 的方程是22(1)5,x y ++=直线:2(0)l y x m m =+<是12,C C 的公切线，F 是1C 的焦点． (Ⅰ)求m 与a 的值；(Ⅱ)设A 是抛物线1C 上的一动点，以A 为切点作1C 的切线交y 轴于点B ，若FM FA FBM =+，则点M 在一定直线上，试证明之。
(21)解：(Ⅰ)由己知，圆2C 的圆心为2(0,1)C ，半径r =由题设圆心到直:2(0)l y x m m =+<的距离d ==解得6m =-（4m =舍去）…………………………………………3分设l 与抛物线相切的切点为000(,),A x y 又2,y ax '=得0001122,,ax x y a a=∴== 代入直线方程，得1216,6a a a ==-∴=……………………6分 所以16,6m a =-=(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线1C 的方程为21,6y x =焦点3(0,)2F 设2111(,)6A x x ，由(Ⅰ)知以A 为切点的切线方程为211111()36y x x x x =-+…………8分令0,x =得点B 的坐标为211(0,)6x - 所以221111313(,),(0,)6262FA x x FB x =-=-- (10)分1(,3)FM FA FB x ∴=+=- ，因3(0,),2F 设13(,),(,)(,3)2M x y FM x y x ∴=-=-3,2y ∴=-即M 点在定直线32y =-上 (12)分(22)(本小题满分14分)己知2()ln f x x ax bx =--。
(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；(Ⅲ)()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<。
(22)解：(Ⅰ)依题意：2()ln f x x x bx =+-()f x 在(0,)+∞上递增，1()20f x x b x'∴=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，∴只需min 1(2)b x x≤+ (2)分10,2x x x >∴+≥ 当且仅当x =时取"",b =∴≤b ∴的取值范围为(-∞ (4)分(Ⅱ)当1,1a b ==-时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,),+∞2121(1)(21)()21,x x x x f x x x x x---+'∴=-+=-=- (6)分0,01x x >∴<< 时，()0;f x '>当1x >时，()0f x '<∴函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减∴当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=当1x ≠时，()(1),f x f <即()0f x <∴函数()f x 只有一个零点 (9)分 (Ⅲ)由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln()()()ln ()[()],x xa x x x xb x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ …………11分由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+…………………………………12分令12(0,1),x t x =∈且2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=120,()0x x f x '<∴< (14)分19．（本小题满分12分）已知函数bx axx f +=2)(，在1=x 处取得极值为． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(,21)m m +上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）若00(,)P x y 为b x ax x f +=2)(图象上的任意一点，直线l 与bx axx f +=2)(的图象相切于点，求直线l 的斜率的取值范围．19.解：（Ⅰ）已知函数b x ax x f +=2)(，222)()2()()('b x x ax b x a x f +-+=∴ …………１分 又函数)(x f 在1=x 处取得极值2，⎩⎨⎧==∴2)1(0)1('f f …………２分即⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+142102)1(b a b a a b a 14)(2+=∴x x x f …………………4分 （Ⅱ）222222)1(44)1()2(4)1(4)('+-=+-+=x x x x x x x f 由0)('>x f ，得0442>-x ，即11<<-x所以14)(2+=x xx f 的单调增区间为（－1，1） ………………… 6分因函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥m m m m 121121， …………７分解得01≤<-m 即]01(，-∈m 时，函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上为增函数 ………８分 （Ⅲ）2222)1()2(4)1(4)('14)(+-+=∴+=x x x x x f x xx f 直线l 的斜率22020200)1(8)1(4)('+-+==x x x x f k …………９分 即k ]11)1(2[420220+-+=x x 令]10(1120，，∈=+t t x ， …………１０分 则]10()2(42，，∈-=t t t k]421[，-∈∴k 即直线l 的斜率k 的取值范围是]421[，- ……………1２分20．（本小题满分12分）已知C B A ,,均在椭圆)1(1:222>=+a y ax M 上，直线AB 、AC分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅= 时，有21219AF AF AF =⋅. (Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)设是椭圆M 上的任一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求⋅的最大值. 20.解:(Ⅰ)因为120AC F F ⋅= ，所以有12AC FF ⊥所以12AF F ∆为直角三角形；1122cos AFF AF AF ∴∠=…………………………2分 则有22212121221199cos 9AF AF AF AF F AF AF AF AF ⋅=∠=== 所以，123AF AF =…………………………3分a 2=+，123,22a aAF AF ∴== ………………………4分 在12AF F ∆中有2221212AF AF F F =+即)1(4223222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a ，解得22=a 所求椭圆M 方程为1222=+y x …………………………6分 (Ⅱ)()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅()()()1222-=--=-⋅--=从而将求⋅的最大值转化为求2NP 的最大值 …………………8分是椭圆M 上的任一点，设()00,y x P ，则有122020=+y x 即202022y x -=又()2,0N ，所以()()22220002210NP x y y =+-=-++ ………………10分而[]1,10-∈y ,所以当01y =-时，2取最大值9故⋅的最大值为8 ……………………12分21．（本小题满分12分）已知函数()(01)1xf x x x=<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在轴上的截距为n b ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列2{}n n n b a a λ-的项仅5255b a a λ-最小，求的取值范围； （3）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x--=+⋅+，01x <<，数列{}n x 满足：112x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *∈．证明：2223212112231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++< ． 21. 【解析】（1）令1xy x=-，解得1y x y =+，由01x <<，解得0y >，∴函数()f x 的反函数1()(0)1x f x x x -=>+，则11()1n n n n a a f a a -+==+，得1111n na a +-=． 1{}na ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故11n a n =+． ……3分（2）∵1()(0)1x f x x x-=>+，∴121[()](1)f x x -'=+， ∴1()y f x -=在点1(,())n f n -处的切线方程为21()1(1)n y x n n n -=-++， 令0x =， 得22(1)n n b n =+，∴2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---， ∵仅当5n =时取得最小值，∴4.5 5.52λ<<，解之911λ<<，∴的取值范围为(9,11)． ……7分（3）2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+22212[]1111x x x x x x x x-=+⋅=+-++，(0,1)x ∈．则121(1)1nn n n n n x x x x x x ++-=-⋅+， 因01n x <<，则1n n x x +>，显然12112n n x x x +>>>>．121111(1)2144121n n n n n n nn x x x x x x x x ++-=-⋅≤⋅<=+++-+∴211111111()1111()()())n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--=-=--<- ∴2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++ 12231111111[()()()]n n x x x x x x +<-+-++-111111())n n x x x ++-=- ∵111,2n n x x x +=>，∴1112n x +<<， ∴1112n x +<<，∴11021n x +<-<∴2223212112231131()()()152)816n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++-<<= ． ……12分。