2016-2017学年河北省曲周县第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2016-2017学年河北省曲周县第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（ ）A. 1或1-B.C.D. 【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.2．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数2R 为（ ） A. 0.27 B. 0.85 C. 0.96 D. 0.5 【答案】C【解析】2R 越大，拟合效果越好，故选C 。

3．下列各函数的导数：①1'212x -=；②()'2ln x a a x =；③()'sin2cos2x x =；④'1111x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B【解析】根据题意，依次对4个函数求导：对于①. 12y x ==，其导数121'2y x -=，正确；对于②. xy a =，其导数'ln xy a a =，计算错误；对于③. sin2y x =，其导数'2cos2y x =，计算错误；对于④. ()1111y x x -==++,其导数()21'1y x =-+，计算错误，只有①的计算是正确，故选B.4．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A = “取出的两个球颜色不同”，事件B = “取出一个红球，一个白球”，则()P B A =（ ）A.16 B. 313 C. 59 D. 23【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有：()1111112334242926133618C C C C C C P A C ++===, ()112329633618C C P AB C ===,()()3(|)13P AB P B A P A ==, 故选B ．【考点】条件概率．5．已知函数()32f x x ax b =++的图象在点()1,0P 处的切线与直线30x y +=平行，则a 、b 的值分别为（ ）A. 3-，2B. 3-，0C. 3，2D. 3， 4- 【答案】A【解析】()2'32f x x ax =+，依题意有： ()'1323,3f a a =+=-∴=-，又()110,2f a b b =++=∴=，综上， 3,2a b =-=，故选A. 6．计算)22x dx =⎰（ ）A. 24π-B. 4π-C. ln24-D. ln22-【答案】B【解析】由定积分的几何意义知：2dx ⎰表示[]y x 0,2=∈的面积，即半径为2的圆的14，故22012π4dx π=⨯=⎰ ，()2222|40x dx x ==⎰，所以)224x dx π=-⎰，故选B.7．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 20 【答案】B【解析】 数学成绩近似地服从正态分布()()()280,10,0.6826,80100.6826N P x u P x σ-<=∴-<=，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半， ∴理论上说在80分到90分的人数是()10.682648162⨯≈，故选B. 8．春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3为女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的战法种数是（ ） A. 964 B. 1080 C. 1152 D. 1296 【答案】C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有26261440A A =种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有234234288A A A =种，∴符合题意的站法共有14402881152-=种.9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在4x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图象可能是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数()f x 在R 上可导，其导函数是()f x '， 且函数()f x 在2x =- 处取得极大值， ∴当2x >- 时， ()0f x '<， 当2x =-时， ()0f x '=， 当2x <-时， ()0f x '>， ∴当2x >- 时， ()0xf x '>， 当2x =-时， ()0xf x '=， 当2x <-时， ()0xf x '<，故选D.10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种 【答案】B【解析】试题分析：先排星期五,从5人中选2人有25C ,种,再从剩下的3人中选2人参加星期六、星期日,有23A 种,故共有225310660C A =⨯=种,选B.【考点】排列组合.11．定义在R 上的函数()f x 使不等式()()ln2222f x f x >'恒成立，其中()f x '是()f x 的导数，则（ ）A.()()220f f >，()()022f f >- B. ()()()22042f f f >>- C. ()()220f f <，()()022f f <- D. ()()()22042f f f <<-【答案】B 【解析】令()()22xf xg x =，则()()()()()222222222(2)2xxx xf x fx ln f x f x lng x '-='='-，又因为()()ln22?22f x f x '>，所以()()22220f x f x ln '->，即()0g x '>，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g >>-，即()()()01202222f f f -->>，所以()()()22042f f f >>-,故选B.点睛：本题主要考查了抽象函数的单调性，根据已知条件构造符合题意的函数是解决本题的关键，一般构造函数的来源有两个：一是，利用已知条件转化为两个函数的乘积或商式的导数式；二是，根据选项，可以提示从结构上应该构造什么样的函数.12．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ， b ， c ， d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c c ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A .点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理。

二、填空题13．物体的运动方程是321253s t t =-+-，则物体在3t =时的瞬时速度为__________．【答案】3【解析】2'4s t t =-+， ∴物体在3t =时的瞬间时速度为23433-+⨯=，故答案为3. 14．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】81125【解析】该同学通过测试的概率为22333381·0.6?0.4?0.6125C C +=，故答案为81125. 15．若()201422014012201412x a a x a x a x -=++++ （Rx ∈），则0123201423201411112222a a a a a +++++ 的值为__________．【答案】0【解析】在()()201422014012201412...x a a x a x a x x R -=++++∈中，令12x =，可得20140123201423201411111...12022222a a a a a ⎛⎫+++++=-⨯= ⎪⎝⎭，故答案为0.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16．已知结论“1a ， *2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1231119a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++= ，则12111na a a +++≥ __________． 【答案】2n【解析】由题意，知：结论左端各项分别是和为1的各数i a 的倒数()1,2,...,i n =，右端2n =时为242,3n ==时为293=，故12,...1i n a R a a a +∈+++=时，结论为()212111...2nn n a a a +++≥≥，故答案为2n . 【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题17．已知函数()4f x x a x =---， R a ∈. （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）若R x ∀∈， ()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）[]2,6【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x 的范围,分别解不等式组，然后求并集，即可求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为()max2f x ≤，求出()max f x 后，通过讨论a 的范围得到关于a 不等式，解出即可.试题解析：（Ⅰ）由144x x +--≥得：①1{ 54x <-⇒∅-≥或 ②147{ 42342x x x x -≤≤⎧⎫⇒≤≤⎨⎬-≥⎩⎭或③{}4{454x x x >⇒>≥ 综上所述()4f x ≥的解集为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）R x ∀∈， ()2f x ≤恒成立，可转化为()max2f x ≤分类讨论①当4a =时， ()02f x =≤显然恒成立．②当4a <时， ()()()()4,{24,4 4,4a x a f x x a a x a x -<=--≤≤-+>，③当4a >时， ()()()()4,4{24,4 4,a x f x x a x a a x a -<=-++≤≤-+>， 由②③知， ()max42f x a =-≤，解得26a ≤≤且4a ≠， 综上所述：a 的取值范围为[]2,6．【方法点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.18．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A 和4名1B ， 2B ， 3B ， 4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的频率.（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）()5.18P M =;(II)2. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据组合数公式，利用古典概型概率公式计算概率；（Ⅱ）由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望.试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则()485105.18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则()5651010,42C P X C ===()416451051,21C C P X C ===()3264510102,21C C P X C ===()236451053,21C C P X C ===()146451014,42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()()()()()0011223344EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=1510510123424221212142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2{x y ==（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换φ： 1{ 2x xy y='='得到曲线C '，若(),M x y 为曲线C '上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离.【答案】（Ⅰ）0x y -+,224x y +=;．【解析】试题分析 ：（1）参数方程消去参数t，得y x =+。