数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差

E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望与
指数分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1

数学期望和方差
第四章数学期望和方差
本章内容
随机变量的平均取值 —— 数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况 —— 方差描述两个随机变量之间的某种关
系的数 —— 协方差与相关系数
第四章数学期望和方差
§4.1 数学期望
引例:测量 50 个圆柱形零件直径(见下表)
尺寸（cm） 8 9 10 11 12 数量（个） 8 7 15 10 10 50
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章数学期望和方差
(3)泊松分布
E i n1aiXiC i n1aiE (Xi)C
当X ,Y 相互独立时，
E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
第四章数学期望和方差
注：性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.
反例
pij X -1
Y
-1
18
0
18
第四章数学期望和方差
若X ≥0，且EX 存在，则EX ≥0.
证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则由X ≥0 得：
f(x)0, x0,
所以
E Xxf(x )d xxf(x )d x 0 .
0
推论: 若 X ≤Y，则 EX ≤EY.
证明：由已知 Y-X≥0，则 E(Y-X) ≥0. 而E(Y-X)=E(Y)-E(X), 所以，E(X) ≤E(Y).

常用分布的数学期望及方差

方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，其方差记作σ²。正态分布的方差描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布，用于描述在一段时间内随机事件发生的次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。

期望-方差公式-方差和期望公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

数学期望与方差

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章随机变量Biblioteka 数字特征第一节随机变量的数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质
四、应用实例
下回
停
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1

PX xk pk , k 1,2,.

记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .

比如
X的分布律为
正态分布指数分布

1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,

数学期望和方差

第四章
数学期望和方差
第四章数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8

x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为

常见分布函数的期望和方差

常见分布函数的期望和方差
六种常见分布的期望和方差：
1、0-1分布
已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。

2、二项分布
n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。

3、泊松分布
其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。

其中期望和方差均为λ。

4、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。

其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。

5、正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。

其中期望是u，方差是σ的平方。

6、指数分布
若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。

其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。

数学期望与方差的性质

i 1,2,,n
n
n
所以 E(X)= E( Xi )= np D( X ) D( Xi ) np(1 p)
i1
i1
例一台设备由三部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10 ,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立的。以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的数学期望。
解一利用公式求E(X ).
先求分布律
X0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006
E( X ) xk pk 0.6
k
解二利用性质求E(X )
设
Xi
1 0
如第i个需调整如第i个不需调整 i=1,2,3
Xi 0 P 1 P( Ai)
1 P( Ai)
则 X= X1+X2+X3 EX i P( Ai) EX= EX1+EX2+EX3 =0.6
数学期望与方差的性质非常重要，既可以利用它们简化计算，又可以得到许多重要结论.
例已知随机变量 X 服从参数为的泊松分布，简化计
算且E[(X 1)(X 2)] 1,
则 _ .
本题要求熟悉泊松分布的有关特征，并会利用数学期望的性质
E (X 1)( X 2) E( X 2 3X 2)
解二利用性质求E(X )， D (X ).
重要方法
若 X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数
引入随机变量 X 1 , X 2 , , X n
设
X
i
1 0
如第i次试验成功
如第i次试验失败 i=1,2，…，n
则 X= X1+X2+…+Xn X1, X 2 ,, Xn 相互独立

条件数学期望与条件方差

（） 2 C1 , C2为常数，且E ( X i | Y y) 存在，则 E (C1 X1 C2 X 2 | Y y) C1E ( X1 | Y y) C2 E ( X 2 | Y y)
（3）E[ E( X | Y )] EX
Proof (1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的

xp X Y ( x y ) pY ( y )dxdy
EX
定理2. X,Y为r.v.,EX, EY, Eg(Y )存在, 则 (1) X, Y独立,有E(Y|X)=EY; (2) E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);
(3) E(c|X)=c;
(4) E(g(X)|X)= g(X); (5) E{Y-E(Y|X)}2E{Y- g(X)}2;
定义设随机变量X与Y的联合分布律为
P{X xi , Y y j } ＝pij , i, j 1, 2,
E ( X | Y y j )＝ xi
i 1
pij p. j
, j 1, 2,
E (Y | X xi )＝ y j
i 1

pij pi.
, i 1, 2,
1 212 (1 2 )
1 21 1 2
[ x 1 ( y 2 ) y) 1 同理E (Y X x) 2
1 2 2 1
( y 2 ) ( x 1 )
二、条件方差 1、定义
E{[Y E(Y | X )]2 | X }存在, 称之为随机变量X
条件下随机变量Y的条件方差，记为 D(Y | X ) 2、条件方差的性质
D(Y | X ) E{Y | X E (Y | X ) }

期望-方差公式-方差和期望公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

概率论中的期望与方差

概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。

本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。

一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。

期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。

期望在概率论中有着广泛的应用。

在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。

在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。

在工程学中，期望被用于评估系统的性能。

二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。

设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。

方差的算术平方根称为标准差。

方差的计算是概率论中的重要内容。

方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。

方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。

三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。

根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。

这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。

期望和方差之间存在一定的关系。

例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。

这个性质被称为方差的可加性。

另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。

四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。

以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。

在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。

方差的应用也是多种多样的。

在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。

数学期望和方差公式

数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。

它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。

本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。

一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。

对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。

对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。

数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。

3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。

数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。

二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。

对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。

2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。

3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。

数学期望与方差

且
p g( x )
k 1 k k

绝对收敛, 则

EY pk g ( xk )
k 1
(2) 若 X 的概率密度为 f ( x) ，且 g ( x) f ( x)dx 绝对收敛，

则 EY

g ( x) f ( x)dx .

例 7 设风速 V 在(0,a)上服从均匀分布，又设飞机机翼受到的正压力 W 是 V 的函数：W kV 2 ，(k>0)；求 EW.
EX EX i np .
i 1 n
例 10 一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以 X 表示停车的次数. 求 EX ( 设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立).
0,第i 站没人下车解设 Xi ， i 1,2,,10 ， 1,第i 站有人下车

g ( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛，

则 EZ=
g ( x, y) f ( x, y)dxdy .

例 8 设 (X,Y) 在区域A上服从均匀分布，其中A 为x轴，y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域. 求 EX，E(-3X+2Y)，EXY.
D( X ) 8 9.2 0.3 9 9.2 0.2 10 9.2 0.5
2 2 2
0.76 D(Y ) 8 9.2 0.2 9 9.2 0.4 10 9.2 0.4
2 2 2
0.624 即D(Y ) D( X )，这表明乙的射击水平比甲稳定．

数学期望和方差.ppt

第四章数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)=
n
Cnk
pk
(1-p)n-k,
k= 0, 1, …, n.
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )

k 1 e
k 1 ( k 1)!
k e k0 k!

(4)几何分布
第四章数学期望和方差
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章数学期望和方差

E (X ) kkp kpk q 1p kq k 1
第四章数学期望和方差
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
P{Xk} q qn k 1 1,p,
k1,2,,n1; kn.
其中 q1p，于是
n1
E(X) kqk1pnqn1
k1
第四章数学期望和方差
n1
E(X) kqk1(1q)nqn1
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章数学期望和方差
(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
P(Xk)ke,k0,1,2,,
k!

k
E(X) kk p k
k0

《数学期望与方差》课件

二项分布期望
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资组合的风险和预期收益。通过计算期望收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据的集中趋势和离散程度。例如，在计算平均数和标准差时，期望和方差是重要

期望-方差公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

[]1定义 2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

正态分布数学期望和方差

正态分布数学期望和方差
正态分布的期望和方差：求期望：ξ，期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn。

方差；s²，方差公式：s²=1/n[（x1-x）²+（x2-x）²+……+（xn-x）²]（x上有“-”）。

正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A。

棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C。

F。

高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P。

S。

拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

方差
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程
度的度量。

概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。

在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。