高考本源探究之平面解析几何

平面解析几何

例题

1.已知圆()()22

:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点 P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为

2.如何理解：“直线1x y a b

+=通过点(cos sin )M αα，”？ 3. 如果圆C:22()(2)4x m y m -+-=总存在两点到原点距离为1，求实数m 的取值范围.

4.在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

5.过定点M （4，2）任作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A,B 两点， 线段AB 中点为P ，求OP 的最小值.

6. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值

7.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是

直角三角形(O 是坐标原点)，则点(,)P a b 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ）

A ． 12+

B ． 2

C ． 2

D ． 12-

8.如图，线段=8AB ，点C 在线段AB 上，且=2AC ，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设=CP x ， CPD △的面积为()f x .则()f x 的定

义域为 ； '()f x 的零点是 .

9.已知点()0,2A ,()2,0B . 若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC △的面积为2的点C 的个数为

10. 直线=+1y kx 与圆0422=-+++my kx y x 交于,M N 两点，且,M N 关于直线+=0x y 对称.求+m k 的值.

C B D

11.双曲线22

1169

x y -=，右支上一点M ，12F F M ∆的内切圆与x 轴切于P 点， 则12PF PF -的值是

12. 直线0ax by b a ++-=与圆2220x y x +--=的位置关系是

13.设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩

，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是

A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，

B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，

C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，

D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝

⎭，

14. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2236x y x y +-++-的最小值是 .

15 点P 在左右焦点分别为12,F F 的双曲线2211620

x y -=上，若19,PF =则2PF = 16．已知椭圆22

1169

x y +=的左右焦点分别为12,F F ,点P 在椭圆上，若P ，12,F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为

17.已知椭圆C:22

143

x y +=.确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，C 上有两个不同的点关于该直线对称.

18. 抛物线22 (0)y px p =>上存在两点,A B 关于直线:1l y x =-+对称，求p 的取值范围.

19.已知菱形ABCD 的顶点C A 、在椭圆4322=+y x 上，对角线BD 所在直线的斜率为1.

（Ⅰ）当直线BD 过点)1,0(时，求直线AC 的方程;

（Ⅱ）当︒=∠60ABC 时，求菱形ABCD 面积的最大值.

20.设,A B 分别为椭圆13

42

2=+y x 的左、右顶点，设P 为直线4x =上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN

为直径的圆内.

21. 已知：,A B 在22y px =上，直线,OA OB 倾斜角为,αβ，且4παβ+=

.

证明直线AB 过定点.

22. 已知椭圆22:24C x y +=.设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，

且OA OB ⊥，试判断AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论. 23.已知W: 22

122

x y -=（2x ≥），若 A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ·OB 的最小值.

三、如何教会学生解决数学问题的方法

如何找到解决数学问题的方法呢.过去我强调比较多的是解决数学问题的一般方法，但是这样的阐述就解决数学问题而言还不是全面的.我曾经的一个观点是解决数学问题的方法越少越好，就是针对解决数学问题的一般方法而言的.但是解决数学问题只靠一般方法就能解决吗？换句话说，解决数学问题的一般方法是解决哪个方面的问题？为什么叫一般方法或通性通法呢？我们常见的数学问题（这里专指学生做的数学题目）都包含两个要素：一个是这个问题中涉及到的研究对象，如函数的解析式、曲线方程、空间几何体、数列的通项等，这个对象不一定是一个，也许是两个或更多；还有一个要素是针对研究对象所提出来的需要解决的具体问题.因此，要解决一个数学问题，首先就要对数学问题的对象（也可以称之为数学问题的主体）进行研究.要研究单个对象的属性、性质以及两个及以上对象之间的关系.如：对于一个函数要研究其所有的性质；对于两个函数不仅要研究它们各自的性质，还要研究它们的代数关系；同样，对于两个几何对象也要研究它们之间的位置关系，等等.这种方法是研究问题主体的性质、属性及关系的，也是解决任何一个数学问题都需要面对的并加以解决的.从这个意义上来说，这种研究数学问题的方法就是一般方法、通性通法.

解决针对这个研究对象的具体问题的方法是怎么得到的呢？

在教学实践中，教师经常会结合例题来讲解决问题的方法，通常是对数学问题分类，针对不同类型的问题对应着不同的方法进行教学.为了让学生能够熟练地掌握老师教给的方法，常常需要通过一定量的练习、考试等手段达到教学目的.在这种理念下进行的教学，教