北京科技大学胡志兴高等数学版答案
北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。
北京科技大学2011级第一学期高数期中试题_答案
北京XXX 学201XX —20XX 学年第一学期 高 等 数 学A(I) 期中试卷答案一、填空题 （本题共36分，每小题4分）1. 3,0a b =-=(每个2分);解析：03lim )(lim 00==--→→x x f x x ， b b x a x f x x =+-=++→→)1ln(lim )(lim 00，由)(x f 的连续性，得0=b . 33lim 0031lim lim 00==--++--→∞→→xx x x x x n n n n x ， a x ax x a x x -=-=----+→→11lim 00)1ln(lim 00,由)(x f 的可导性，得3-=a . 2. 2;解析：利用等价无穷小，可得221lim 440==→x x x 原式. 3.e 2-; 解析：易看出，这是个00型未定式，利用洛必达法则，可得 2010210)1ln(1lim )1(lim 1)1ln(1)1(lim xx x x x x x xx x x x x x x +-++=+-++=→→→原式 2211)1(1lim 20e x x x e x -=+-+=→.4. ln21)d x -（;解析：易得出，当0=x 时，1=y .对方程进行隐函数求导，得''12ln 2)(y xy y xy +=+，将10==y x ，代入，得12ln |0'-==x y ，则dx dy x )12(ln |0-==.5.2314t t+-; 解析：211t dt dy +=，212t t dt dx +=， 故t dx dt dt dy dx dy 21=⋅=，则221t dt dx dy d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则322222412121tt t t t dx dt dt dx dy d dt y d +-=+⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 6. ln 2a ; 解析：2ln ln 2)1(lim ln lim 212a a n n n i n a n n i n =+==∞→=∞→∑原式. 7. 1(1)f x'; 解析：0)1(=f ,1)(lim )1(1'-=→x x f f x , 0'0010000000')1(1)(lim 11)(lim 1)()(lim )(000x f x x x x f x x x x x f x x x x f x f x f x x x x x x =-=-=--=→→→. 8.223(1)(1)f f x f '''--'-; 解析：将原方程化成f y e x -=，进行隐函数求导，得)1(1''f y e f y -=-，整理，得)1(''f y e y f -=-，再次进行隐函数求导，得)()1()1('''''''''f y y f y f y e y f --=--，将f y e x -=，)1(1''f x y -=代入，整理，得 3'22'''')1()1(f x f f y ---=. 9. 4,5a b ==. 解析：223'))(2(2)(k x x bx ax x x f -+=+++=,解得1-=k ,代入式中，根据对应项系数，解得54==b a ，.二、单项选择题 （本题共36分，每小题4分）10 A. 解析：因为∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→-→1lim 1lim 2121x x x x x x x x ， 故曲线有两条垂直渐近线11-==x x ，. 因为1111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x ，01lim 2=-∞→x x x ， 故曲线有一条斜渐近线x y =.11 B. 解析：因为)0(01arctan lim )(lim 00f xx x f x x ===→→， 故)(x f 在0=x 处连续， 因为xx f x f x x 1arctan lim 0)0()(lim 00→→=--，极限不存在， 故)(x f 在0=x 处不可导.12 C.解析：由洛必达法则，原式=12)(lim )(2)(lim '''-==-→→x f a x x f a x a x ，则2)(''-=a f ，0)('=a f ， 故)(x f 在点a x =处取最大值.13 D. 解析：取πn x n 21=，则2)2()(πn x f n =， 当n 充分大时，)(n x f 可以大于事先任意给定的正数，故函数)(x f 无界. 取221'ππ+=n x n ，则0)('=n x f ， 当n 充分大时，)('nx f 不能大于事先任意给定的正数，故当∞→n 时，函数)(x f 不是无穷大.14 B.解析：033)(2'=-=a x x f ，解得a x ±=，0)(2)(23>+=-b a a f ，0)(2)(23<-=a b a f ， 当),(a x --∞∈时，0)('>x f ；当),(a a x -∈时，0)('<x f ；当),(+∞∈a x 时，0)('>x f 故存在),(1a x --∞∈，使0)(1=x f ；存在),(2+∞∈a x ，使0)(2=x f ；存在),(3a a x -∈，使0)(3=x f ；当0)0(>=b f 时，03>x ；当0)0(<=b f 时，03<x .故选B.15 C. 解析：()()()()x x x x x f x x x e x f e x f dxdy x x x x x x x x +=+==ln 2)(ln 2)()(222222'ln ''ln '. 16 A.解析：对x 6sin 进行泰勒展开，则0)()(!3)6(6lim 3330=++-==→x x xf x o x x x 原式，易得036)(6lim 20=-+→x x f x ，即36)(6lim20=+→x x f x . 17 D. 解析：将2ln x t =代入 +++++=!!212n t t t e n t得n x 项的系数为!)2(ln n n. 18 C.解析：选项A 、D ，反例：x x f =)(. 选项B ，因为01cosh <-，没有考虑)(x f 在0>x 时的情况，故不成立.三、解答题(本题共2小题,每题7分，满分14分)19. 当0x ≠时，2()e ()e ()x xxg x x g x f x x'--+'=，由已知此时(f x '）连续， 当0x =时， 2000()(0)()e ()e (0)1(0)lim lim lim 122x x x x x f x f g x g x g f x x →→→''''----'=====; 又0lim ()1(0)x f x f →''==，所以(f x '）在0x =时也连续，从而(f x '）在(,)-∞+∞连续.20. 由00lim[(1sin )3(1sin )]lim[8()]x x f x f x x x α→→+--=+，得(1)0f =. 而由 00(1sin )3(1sin )8()limlim 8sin sin x x f x f x x x x xα→→+--+==，在此式中令sin x t =，则 00(1sin )3(1sin )(1)3(1)8lim lim 4(1)sin x t f x f x f t f t f x t→→+--+--'===， 所以(1)2,f '= 故(6)(1)2f f ''==，于是，所求切线方程为212y x =-.四、证明题(本题共2小题,每题7分，满分14分)21. 令(()()e g x F x f x =），由已知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又()()f a f b =，()()g a g b =，从而()()()()e ()e ()g a g b F a f a f b F b ===，故由罗尔定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即 ()()()e ()()e 0g g f f g ξξξξξ''+=. 所以, ()()()0f f g ξξξ''+=.22.()f x 在0x =点的二阶泰勒公式为23(0)()()(0)(0)2!3!f f f x f f x x x η''''''=+++，η介于0与x 之间，又(0)0,(0)0f f '==，所以有 23(0)()()2!3!f f f x x x η'''''=+，在上式中分别令 1,1x x =-=，得 （1） 1(0)()0(1)2!3!f f f η'''''=-=-，1η介于1-与0之间， （2）2(0)()1(1)2!3!f f f η'''''==+， 2η介于0与1之间. （2）-（1）: 126()()f f ηη''''''=+. 取{}12()max (),()f f f ξηη'''''''''=，则存在 (1,1)ξ∈-，使得 62()f ξ'''≤ ，即()3f ξ'''≥.。
北京科技大学2010年高等代数考研试题解答
看什么看,没见过美女? 3
七.解:A的特征多项式为 |λE − A| = λ + 4 10 0 −1 λ − 3 0 = (λ − 1)2 (λ + 2) −3 −6 λ − 1
故A的特征值为λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2. 解方程组(λ1 E − A)x = 0求出属于特征值λ1 的线性无关的特征向量为 α1 = (−2, 1, 0)T , α2 = (0, 0, 1)T 解方程组(λ3 E − A)x = 0求出属于特征值λ3 的线性无关的特征向量为 α3 = (−5, 1, −3)T 可知α1 , α2 , α3 线性无关,令P = (α1 , α2 , α3 ),则有 A = P diag (1, 1, −2)P −1 于是 A100 = P diag (1, 1, −2)100 P −1 八.证:(1)充分性.显然. 必要性.由β ∈ Imσ = {σ (α)|α ∈ V },则存在α ∈ V 使得 σ (α ) = β 于是 σ (β ) = σ (σ (α)) = σ 2 (α) = σ (α) = β. (2)先证明V = Imσ + kerσ.首先,Imσ + kerσ ⊂ V.其次,∀α ∈ V,有 α = σ (α) + (α − σ (α)) 且σ (α) ∈ Imσ,容易验证α − σ (α) ∈ kerσ.即V ⊂ Imσ + kerσ.从而V = Imσ + kerσ. α,且 再证明:V = Imσ ⊕ kerσ. ∀α ∈ Imσ ∩ kerσ,则存在β ∈ V 使得σ (β ) = 0 = σ (α) = σ 2 (β ) = σ (β ) = α. 即Imσ ∩ kerσ = {0}.从而结论成立. 4
若(p(x), f (x)) = 1,则存在u(x), v (x)使得 p(x)u(x) + f (x)v (x) = 1 设p(x), f (x)的公共根为α,则代入上式有0=1.矛盾. 六.证:充分性.由α ̸= 0, β ̸= 0知A ̸= 0,故r(A) ≥ 1.又 r(A) = r(αβ T ) ≤ min(r(α), r(β T )) = 1 必 要 性. 由 于r(A) = 1,任 取A的 一 个 非 零 列 向 量X,则A的 其 余 列 都 是X 的数乘,故A可以表示为 A = (c1 X, c2 X, · · · , X, · · · , cn X ) = X (c1 , c2 , · · · , 1 · · · , cn ) 令α = X, β = (c1 , c2 , · · · , 1 · · · , cn )T 即可. 休息一下,插个图片养养眼.
高数下课本详解答案(合工大版)
习题8-11.自点(),,P a b c 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解在,,xoy yoz zox 坐标面上的垂足坐标分别为(),,0a b 、()0,,b c 、(),0,a c ，在x 轴、y 轴、z 轴上垂足的坐标分别为(),0,0a 、()0,,0b 、()0,0,c .2.已知三角形个的三个顶点的坐标分别为()4,1,9A 、()10,1,6B -、()2,4,3C ，求该三角形的三边长度，此三角形由何特点？解7AB ==，7AC ==，BC =由于AB AC =，且222AB ACBC +=，故此三角形为等腰直角三角形.3.在z 轴上求与点()4,1,7P -和点()3,5,2Q -等距离的点的坐标.解设z 轴上的点为()0,0,M z，则MP MQ=即=，解得149z =，故点为140,0,9M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.求到两定点()1,2,1A -和()2,1,2B -等距离的点(),,M x y z 的轨迹.解由于MA MB =，从而有=解得26630x y z +--=.5.设平行四边形的两条对角线向量为a 和b，求其四条边向量.解如意8-1所示，由向量加减法的平行四边形法则有,,c d a c d b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 故2a b c += ，2a b d -=，即平行四边形的四条边向量为2a b + 、2a b + 、2a b - 、2a b- .(图8-1)(图8-2)6.设A 、B 、C 、D 是一个四面体的顶点，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，证明：()12MN AD BC =+.证如图8-2所示，AD DN AN +=，BC CN BN += ，AN AM MN -= ，BN BM MN -= ，又DN CN =- ，AM BM =- ，于是22AN BN AD BC MN ++==.7.已知两点()A 和()3,0,2B ，计算向量AB 的模、方向余弦、方向角及与AB平行的单位向量.解由于{}1,AB =-，则有2AB = ，1cos 2α=-，cos 2β-，1cos 2γ=-，方向角为23πα=，34πβ=，3πγ=，与AB 平行的单位向量为121,,222⎧⎫⎪⎪±--⎨⎬⎪⎪⎩⎭.8.设358a i j k =++，27b i j k =--，求向量23c a b =+在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量.解23945c a b i j k =+=+-，故c 在x 轴上的投影为9，在z 轴上的分向量为5k - .9.一向量的终点在点()2,1,7B -，它在x 轴、y 轴及z 轴上的投影依次为4,4-和7，求这向量的起点A 的坐标.解设起点(),,A x y z ，由{}{}2,1,74,4,7AB x y z =----=-解得()2,3,0A -.10.设{}3,5,1a =- ，{}2,2,3b = ，{}4,1,3c =-- ，求与a b c +-平行的单位向量.解{}1,8,5a b c +-=，故与a b c +-平行的单位向量为±.11.设5AB a b =+ ，618BC a b =-+ ，()8CD a b =-，试证A 、B 、D 三点共线.证因为()()6188210BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+()252a b AB=+=所以AB平行BD ，即A 、B 、D 三点共线.12.已知向量AB 的模为10，与x 轴正向夹角为4π，与y 轴正向夹角为3π，求向量AB .解设向量AB的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，由于4πα=，3πβ=，222cos cos cos 1αβγ++=，得1cos 2γ=±于是向量{}211cos ,cos ,cos 10,,222AB AB αβγ⎫⎪==±⎨⎬⎪⎪⎩⎭.习题8-21.设4a i j k =+-，22b i j k =-+ ，求（1）()()22a b a b +⋅-；（2）()()22a b a b +⨯- ；（3）a 与b 夹角.解（1）a =，3b =，4a b ⋅=-()()222223230a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=；（2）114794221i j k a b i j k⨯=-=----()()225354520a b a b a b i j k +⨯-=-⨯=++；（3）设a 与b夹角为θ，则cos9a ba bθ⋅===-arccos9θ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.2.已知向量a 和b相互垂直，且1a=，b=，求（1）()()a b a b+⋅-；（2）()()a b a b+⨯-；（3）()a b+与()a b-夹角.解（1）()()22222a b a b a b a a b b a b+⋅-=+⋅-⋅-=-=-；（2）()()2a b a b a a b a a b b b a b+⨯-=⨯+⨯-⨯+⨯=-⨯=（3）()a b+与()a b-夹角为θ，则()()()()21cos42a b a ba b a bθ+⋅--===-+-，故23πθ=.3.已知13a=，19b=，24a b+=，求a b-.解()()2222a b a b a b a a b b+=+⋅+=+⋅+()()2222a b a b a b a a b b-=-⋅-=-⋅+两式相加，得()22222a b a b a b-=+-+()2222131924484=+-=，22a b-=.4.已知()1,1,2A-、()5,6,2B-、()1,3,1C-，求：（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；（2）三角形ABC的面积ABCS∆；（3）B点到边AC的距离d.解（1）{}4,5,0AB=-，{}0,4,3AC=-，450151216043i j kAB AC i j k⨯=-=++-故同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}115,12,1625AB AC AB AC⨯±=±⨯；（2）12522ABC S AB AC ∆=⨯=；（3）由于1122ABC S AB AC AC d ∆=⨯=⋅，且5AC = ，则5d =.5.设平行四边形的对角线2c a b =+ ，34d a b =- ，其中1a =，2b = ，且a b ⊥ ，求平行四边形的面积.解设平行四边形的两邻边分别为m 、n，则c m n =+ ，d m n =-,从而()()1142222m c d a b a b =+=-=-,()()1126322n c d a b a b =-=-+=-+ ,55sin 102S m n a b a b π=⨯=⨯== .6.已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求向量s a b c =++ 的长度，以及s 分别与a 、b 、c的夹角.解()()222214s a b c a b c a b c =++⋅++=++=，于是s =cos ,s a s a s a⎛⎫⋅===⎪⎝⎭cos ,s b s b s b ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭cos ,s c s c s c ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭所以,s a arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭,s b arc ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，,s c arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭7.试用向量证明直径上的圆周角是直角.证取圆心为原点建立坐标系如图8-3所示，则圆周方程为222x y R +=，在圆周上任取一点(),A x y ，直径BC ，(),0B R -，(),0C R ，().AB R x y =--- ，().AC R x y =--则()()22220AB AC R x R x y R x y ⋅=---+=-++=故AB AC ⊥，即直径BC 所对应的圆周角为直角，由圆周关于任意一条直径都对称的性质知，直径所对应的圆周角是直角.(图8-3)8.判断下列两组向量a 、b 、c是否共面：（1）{}2,1,3a =- ，{}1,0,5b =- ，{}1,1,4c =-；（2）{}4,2,1a =- ，{}2,6,3b =- ，{}1,4,1c =-.解（1）21310540114abc -⎡⎤=-=≠⎣⎦- ，故a 、b 、c 不共面；（2）4212630141abc -⎡⎤=-=⎣⎦-，故a 、b 、c共面.9.计算顶点()2,1,1A -、()5,5,4B 、()3,2,1C -、()4,1,3D 的四面体的体积.解{}3,6,3AB = ，{}1,3,1AC =- ，{}2,2,2AD =，则四面体的体积为36311132366222V ABAC AD ⎡⎤==-=⎣⎦ .10.如果存在向量c同时满足11a c b ⨯= ，22a c b ⨯= ，证明：12210a b a b ⋅+⋅= .证由于()()12211221a b a b a a c a a c ⋅+⋅=⋅⨯+⋅⨯ ()()2112a c a a c a =⨯⋅+⨯⋅ [][]2112a ca a ca =+ [][]21210a ca a ca =-=习题8-3.1.求出满足下列条件的各平面方程：（1）过点()2,1,1-且与平面32120x y z -+-=平行；（2）过三点()1,1,1-、()2,2,2--、()1,1,2-；（3）过点()2,1,2，且分别垂直于平面32x y z ++=和平面3241x y z +-=；（4）平行x 轴且过两点()1,0,1和()1,1,0；（5）通过z 轴和点()3,1,2-.解（1）设所求平面的法向量n ，可取平面的法向量为{}3,2,1n =-故过点()2,1,1-平面方程为()()()322110x y z ---++=，即3230x y z -+-=；（2）由三点式平面方程知，所求平面方程为1113330023x y z --+--=-即320x y z --=；（3）设所求平面的法向量n ，{}11,3,1n = ，{}23,2,4n =-{}1213114,7,7324i j kn n n =⨯==---，则所求平面方程为()()()14271720x y z --+---=，即250x y z -+-=；（4）设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，由于平面平行x 轴，且点()1,0,1、()1,1,0在平面上，从而有000A A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0A =，B D =-，C D =-，且0D ≠，故平面方程为10y z +-=；（5）设过z 轴的平面为0Ax By +=，且点()3,1,2-在平面上，则由30A B -=，得3B A =，且0A ≠所以平面方程为30x y +=.2.求平面2260x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量{}2,2,1n =- ，取xoy 坐标面的法向量{}10,0,1n =，yoz 坐标面的法向量{}21,0,0n = ，zox 坐标面的法向量{}30,1,0n =，则平面与xoy 、yoz 、zox 各坐标面的夹角余弦分别为1cos 3α=，2cos 3β=，22cos 33γ-==.3.求过点()0,1,0-和()0,0,1，且与xoy 坐标面成3π角的平面.解设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，从而有0,0,cos ,3B D C D π⎧⎪-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得,A B D C D ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩于是，所求平面方程为10y z +-+=.4.在z 轴上求一点P ，使它到点()1,2,0M -与到平面:32690x y z π-+-=有相等的距离.解设z 轴上点()0,0,P z，则PM =又()1,2,0M -到:3269x y z π-+-=的距离为697z d -=则有697z -=，即2131081640z z ++=，解得2z =-或8213z =-，故所求点为()0,0,2-或820,0,13⎛⎫-⎪⎝⎭.5.试求平面270x y z -+-=与平面2110x y z ++-=的夹角平分面的方程.解设(),,M x y z 为该平面上任取的一点，那么M到两平面的距离相等，即有于是有()27211x y z x y z -+-=±++-故所求平面方程为240x y z --+=或60x z +-=.6.设从原点到平面1x y za b c++=的距离为ρ，试证明：22221111a b c ρ++=，并由此求点(),,a b c 到该平面的距离.证由点到平面的距离公式知ρ=1ρ=，即22221111a b c ρ++=.点(),,a b c到平面的距离2d ρ=.7.判别平面:3210x y z π+-+=与下列各平面之间的位置关系：（1）1:3210x y z π+--=；（2）2:520x y z π-++=；（3）3:2310x y z π-+-=.解（1）取平面π法向量{}1,3,2n =- ，1π法向量{}11,3,2n =-，由于n与1n 的坐标成比例，故n 与1n平行，且d ==；（2）取平面2π法向量{}25,1,1n =-，由于20n n ⋅= ，故2n n ⊥，即两平面相互垂直；（3）取平面3π法向量{}32,3,1n =-，两平面夹角余弦339cos 14n n n n θ⋅==所以两平面斜交，夹角9arccos14θ=.习题8-4.1.求满足下列条件的各直线方程：（1）过两点()13,2,1M -和()21,0,2M -；（2）过点()4,2,1-且平行于直线230,510,x y y z --=⎧⎨--=⎩平行；（3）过点()1,2,2-且垂直于平面3210x y z +-+=.解（1）直线的方向向量可取{}124,2,1s M M ==-于是直线方程为321421x y z -+-==-，（2）直线的方向向量可取{}1202,1,5051i j k s =-=-则直线方程为421215x y z -+-==；（3）平面法向量{}3,2,1n =- ，直线的方向向量可取{}3,2,1sn ==-于是直线方程为122321x y z -+-==-.2.用对称式方程和参数方程表示下列直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩解直线的方向向量{}1114,1,3213ij k s ==---，可在直线上取一点()1,0,2A -，则直线的对称式方程和参数方程分别为12413x y z -+==--，14,4,2 3.x t y z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩3.求过点()0,1,2M 且与直线11112x y z --==-垂直相交的直线方程.解过点()0,1,2M 且垂直直线L 的平面方程为()()()01220x y z ---+-=即230x y z -+-=解方程组230,11,112x y z x y z -+-=⎧⎪⎨--==⎪⎩-，得直线与平面的交点为131,,122M ⎛⎫⎪⎝⎭由此可得121,,122s MM ⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭，故所求直线方程为12312x y z --==--.4.求直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程.解设过直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束方程为()()243290x y z x y z λ-++---=，(λ为非零常数)即()()()2341290x y z λλλλ+-++--=，上述平面法向量为{}23,4,12n λλλ=+--- ，已知平面法向量为{}14,1,1n =-选择λ使1n n ⊥，即()()()()234411210λλλ+⋅-+⋅-+-⋅=，解得1311λ=-故得与已知平面垂直的平面为1731371170x y z +--=则所求投影直线为1731371170,4 1.x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩5.求过点()3,1,2M -且通过直线43521x y z-+==的平面方程.解()4,3,0P -为直线上的一点，直线的方向向量为{}5,2,1s =，则平面的法向量{}1428,9,22521i j kn MP s =⨯=-=- 故所求平面方程为()()()83912220x y z --+-++=即8922590x y z ---=.6.已知平面220x y z +--=及平面外一点()2,1,4M -，求点M 关于已知平面的对称点N .解过点()2,1,4M -且垂直于平面220x y z +--=的直线方程为214121x y z +--==-设M 关于已知平面的对称点(),,N x y z ，则有214,121x y z +--⎧==⎪-⎪=解得0,5,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即对称点()0,5,2N .7.设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为0d ⨯=MM s s.证设向量0MM 与直线L 的方向向量s 的夹角为θ，则00000sin MM s MM s MM MM MM ssd θ⨯⨯==⋅=.8.求点()03,1,2M -到直线10,240,x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解直线的方向向量{}1110,3,3211=-=---ij ks ，在直线上取一点()1,2,0M -，则{}02,1,2=---MM ，{}02123,6,6033⨯=---=----i j kMM s 所以0322d ⨯===MM s s.习题8-51.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1）1x y +=;（2）22y x =；（3）222x y R +=；（4）22149x y -=.解（1）在平面解析几何表示直线，空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何表示抛物线，空间解析几何中表示抛物柱面；（3）在平面解析几何表示圆，空间解析几何中表示圆柱面；（4）在平面解析几何表示双曲线，空间解析几何中表示双曲柱面.2.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）2221x y z --=；（2）()222z a x y -=+.解（1）将xoy 平面上双曲线221x y -=绕x 轴旋转一周；（2）将yoz 平面上直线z y a =+绕z 轴旋转一周.3．根据常数k 的不同取值，分别讨论下列方程所表示的曲面是什么曲面.（1）22x ky z +=；（2）222x y z k +-=.解（1）当0k >时，为椭圆抛物面，特别地当1k =时为旋转抛物面,当0k =时，为抛物柱面，当0k <时，为双曲面；（2）当0k >时，为旋转单叶双曲面，当0k =时，为圆锥面，当0k <时，为旋转双叶双曲面.4.作出下列曲面所围成的图形：（1）22,1z x y z =+=；（2）z =，z ；（3）0x =，0y =，0z =，1x y +=，226x y z +=-；（4）2y x =，1x y z ++=，0z =.解（1）见图8-4；（2）见图8-5（图8-4）（图8-5）（3）见图8-6；（4）见图8-7（图8-6）（图8-7）习题8-61.将空间曲线222,:1,z x y x z ⎧=+Γ⎨+=⎩转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程.解曲线Γ等价于212,1,y x x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于z 轴的柱面212y x =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线，或等价于221,1,y z x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于x 轴的柱面221y z =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线.2.将下列曲线的一般方程转化为参数式方程：（1）()22221,11,z x y x y ⎧=--⎪⎨-+=⎪⎩（2）2229,,x y z y x ⎧++=⎨=⎩.解（1）曲线的参数方程为1cos ,sin ,2sin ,2x t y t t z ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩（02t π≤≤）;（2）曲线的参数方程为,,3sin ,2x t y t t z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（02t π≤≤）.3.试分别确定常数,,B C D 的各组值，使得平面0By Cz D ++=与圆锥面222z x y =+的截痕为：（1）一点；（2）一条直线；（3）两条相交直线（4）圆；（5）双曲线.解（1）取0B D ==，1C =，则平面0z =与圆锥面的截痕为一点()0,0,0；（2）取1B C ==，0D =，则平面0y z +=与圆锥面的截痕为一条直线0,0;y z x +=⎧⎨=⎩（3）取1B =，0C D ==，则平面0y =与圆锥面的截痕为为两条直线0,,y z x =⎧⎨=⎩和0,;y z x =⎧⎨=-⎩（4）取0B =，1C =，1D =-，则平面1z =与圆锥面的截痕为圆221,1;x y z ⎧+=⎨=⎩（5）取1B =，0C =，1D =-，则平面1y =与圆锥面的截痕为为双曲线221,1;z x y ⎧-=⎨=⎩4.求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线方程：（1）22,1;z x y z x ⎧=+⎨=+⎩（2）cos ,sin ,2.x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解（1）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：2210,0;y y x z ⎧+--=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：22310,0;y z z x ⎧+-+=⎨=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：1,0;x z y +=⎧⎨=⎩（2）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：221,0;x y z ⎧+=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：sin20;z y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：cos ,20.z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩5.求由旋转抛物面22z x y =+与222z x y =--围成的立体在三个坐标面上的投影区域.解立体在xoy 面投影区域(){}22,1xy D x y xy =+≤，立体在yoz 面投影区域(){}22,2,11yz D y z yz y y =≤≤--≤≤，立体在zox 面投影区域(){}22,2,11zx D x z xz x x =≤≤--≤≤总复习题八1.填空题（1）设()2a b c ⨯⋅= ，则()()()a b b c c a ⎡⎤+⨯+⋅+=⎣⎦；（2）设{}2,1,2a = ，{}4,1,10b =- ，c b a λ=- ，且a c ⊥，则λ=；（3）yoz 平面的圆()222,0,y b z a x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩（0b a >>）绕z 轴旋转一周所得环面的方程为；（4）点()2,1,0M 到平面3450x y z ++=的距离d=；（5）设有直线1158:121x y z L --+==-与26,:23,x y L y z -=⎧⎨+=⎩则1L 与2L 的夹角为.（1）答案“4”.解()()()()24a b b c c a a b c ⎡⎤+⨯+⋅+=⨯⋅=⎣⎦；（2）答案“3”.解{}42,1,102c b a λλλλ=-=---- ，由a c ⊥ ，()()()2421121020λλλ⋅-+⋅--+⋅-=，解得3λ=；（3）答案“()()2222222224x y z b a b x y +++-=+”.解绕z轴旋转环面的方程为()222b z a -+=，即222222x y b z a +±++=所以()()2222222224x y z b a b x y +++-=+（4）答案解d ；（5）答案“3π”.解1L 和2L 的方向向量分别为{}11,2,1s =-和{}21,1,2s =-- 则12121cos 2s s s s θ⋅== ，3πθ=.2.选择题（1）直线11:213x y z L +-==-与平面:1x y z π--=的关系为（）；（A ）L 在π上（B ）L 平行π但L 不在π上（C ）L π⊥（D ）一般斜交（2）两条直线111:201x y z L --==-与22:112x y z L +==的关系为（）；（A ）平行（B ）相交但不垂直（C ）垂直相交（D ）异面直线（3）直线方程23,1,x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩可化为（）；（A ）21213x y z -+==-（B ）114213x y z +++==-（C ）12213x y z ++==（D ）122213x y z -+-==-（4）旋转曲面22z x y =+不是由平面曲线()旋转而成的.（A ）2,0,z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴（B ）2,0,z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴（C ）2,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴（D ）,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴.（1）答案选（B ）.解直线L 的方向向量{}2,1,3s =-，()1,0,1M -为直线L 上一点，平面π的法向量为{}1,1,1n =--，显然0s n ⋅=，且点()1,0,1M -不在平面π上，故L 平行π但L 不在π上；（2）答案“C ”.解1L 、2L 的方向向量分别为{}12,0,1s =- 、{}21,1,2s = ，则120s s ⋅=，直线1L 与2L 垂直，又()11,1,0M 、()20,0,2M -分别为1L 、2L 上的点，且12122011120112s s M M -⎡⎤==⎣⎦---，即1L 、2L 在同一平面上；（3）答案选（C ）.解直线的方向向量{}2112,1,3111i j k s =--=-，()0,1,2--为直线上一点，故选（C ）；（4）答案选（D ）.解在曲线,:,z xy L x y =⎧⎨=⎩上任取一点()0000,,M x y z ，设(),,M x y z 是0M 绕z 轴旋转轨迹上任一点，则有20000,z z x y x ⎧===⎪==故得旋转曲面方程为()2212z x y =+.3.已知2c a b =+ ，d a b λ=+ ，2a = ，1b = ，且a b ⊥，求：（1）λ为何值时，c d ⊥；（2）λ为何值时，以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为6.解（1）由于c d ⊥ ，则0c d ⋅=，即()()22220a b a b a b λλ+⋅+=+= 解得2λ=-；（2）由题设条件知6c d ⨯=而()()()22c d a b a b a bλλ⨯=+⨯+=-⨯则有()22sin 222c d a b a b πλλλ⨯=-⨯=-=- 所以226λ-=，5λ=或1λ=-.4.设一平面通过从点()1,1,1-到直线10,0,y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，且与平面0z =垂直，求此平面方程.解过点()1,1,1M -且与直线10,:0,y z L x -+=⎧⎨=⎩垂直的平面1π的方程为()()()0111110x y z ⋅-+⋅++⋅-=，即y z +=解方程组10,0,0,y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩得直线L 与平面1π的交点1110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,平面0z =的法向量{}10,0,1n = ，则所求平面的法向量可取为111001,1,0211122ij kn n M M ⎧⎫=⨯==⎨⎬⎩⎭-所以所求平面方程为()()11102x y -++=，即210x y ++=.5.求通过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩且与点()1,2,1的距离为1的平面方程.解设过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面束方程为()()322260x y x y z λ-++--+=（λ为非零常数）即()()321260x y z λλλλ+-+-++=，由点()1,2,1到平面的距离为1，即1d =解得2λ=-或3λ=-，所以所求平面方程为22100x y z ++-=或43160y z +-=.6.在xoy 面上求过原点，且与直线x y z ==的夹角为3π的直线方程.解设所求直线L 方程为,0,y Ax z =⎧⎨=⎩即10x y zA ==，直线L 的方向向量{}1,,0s A= 由题意知1cos32π==，得4A =-于是，所求直线方程为(40,0,xy z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或(40,0.x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩7.求通过点()1,2,3--，平行于平面62350x y z --+=，且又与直线13x -=1325y z +-=-相交的直线方程.解过点()1,2,3M--作已知平面的平行平面，此平面方程为()()()6122330x y z +---+=即62310x y z --+=求此平面与已知直线的交点，由62310,113,325x y z x y z t --+=⎧⎪-+-⎨===⎪-⎩解得0t =，交点为()01,1,3M -，故所求直线的法向量为{}02,3,6s MM ==-所求直线方程为123236x y z +-+==-.8.确定常数k 的值，使得平面y kz =与椭球面222241xy z ++=的交线为圆.解平面与椭球面的交线222241,:,x y z y kz ⎧++=Γ⎨=⎩等价于方程组()22222241,:,x y k z y kz ⎧++-=⎪Γ⎨=⎪⎩要使交线为圆，只须242k-=，即k =，交线为2221,2.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩9.求曲面2221x y z ++=和()()222111x y z -+-+=的交线在yoz 平面上的投影曲线方程.解由题设两曲面的方程消去x ，得交线在yoz 平面上的投影柱面方程22220y y z -+=所求投影曲线方程为22220,0.y y z x ⎧-+=⎨=⎩10.求两曲面22z x =与z =所围立体在三个坐标面上的投影区域.解两曲面的交线在xoy 面上的投影柱面为()2211x y -+=，则投影区域为()(){}22,11xy D x y x y =-+≤，两曲面的交线在yoz 面上的投影柱面为222112z y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则投影区域为()222,112yz z D y z y ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，两曲面的交线在zox 面上的投影柱面为z 和z x =，则投影区域为(){,zx D x z x z =≤≤.11.画出下列曲面所围立体的图形：（1）22z xy =+，1x =，1y =，0z =；（2）z xy =，0z =，1x y +=；（3）22z xy =+，2y x =，1y =，0z =；（4）2y x =，212y x =，1x z +=，0z =.解（1）见图8-8；（2）见图8-9；(图8-8)(图8-9)（3）见图8-10；（4）见图8-11.(图8-10)(图8-11)习题9－11指出下列平面点集中，那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域？并分别求其聚点和边界点：（1）22{(,)|0<1}x y x +y <；（2）{(,)|}x y y x >；（3）{(,)|2,2,2}x y x y x y ≤≤+≥；（4）2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +>⋂+-≤．解（1）为有界开区域；聚点为集合22{(,)|1}x y x +y ≤，边界点为集合22{(,)|=1}{(0,0)}x y x +y ⋃；（2）为无界的开区域；聚点为集合{(,)|}x y y x ≥，边界点为集合{(,)|,}x y y x x =-∞<<+∞；（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线段{(,)|2,02}x y x y =≤≤与{(,)|2,02}x y y x =≤≤及{(,)|2,02}x y x y x +=≤≤的并集；（4）为有界连通集合；聚点为2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +≥⋂+-≤，边界点为圆弧221{(,)|1,2x y x y y +=≥及圆弧221{(,)|(1)1,}2x y x y y +-=≥的并集．2．证明：点0P 为点集E 的聚点的充分必要条件是点0P 的任意邻域内都至少含有一个点集E 中异于0P 的点．证明：“⇒”由聚点的定义即可得；“⇐”取101(,){|01}U P P P P δδ=<<=（其中0P P 表示点0P 与点P 的距离），则111(,)P U P E δ∃∈⋂，记20112P P δ=，则202(,)P U P E δ∃∈⋂ ，依此类推，由数学归纳法可知对于每个正整数n ，均可取到点01101111(,),22n n n n n P U P E P P δδ----∈⋂=≤ ，由此可得一个两两均不相同的点列{}n P ，若0δ>，因lim 0n n δ→∞=，则k δ∃使得k δδ<，那么当n k ≥时必有0(,)n P U P δ∈，即在0(,)U P δ中比含有集合E 的无穷多个点，因此点0P 为点集E 的聚点．3．求下列各函数值：（1）设22(,)2x y f x y xy-=，求(,1)x f y ；（2）设22(,)y xf x y x y xye =+-，求(,)f tx ty ；（3）设(,)3f x y x y =+，求(,(,))f x f x y ；（4）设(,,)v u v f u v w u w +=+，求(,,)f x y x y xy +-；（5）设22(,)y f x y x y x+=-，求(,)f x y ．解（1）2221(,1)(,)22x y x x y f f x y x y xy y⎛⎫- ⎪-⎝⎭===；（2）222222(,)(,)yxf tx ty t x t y t xye t f x y =+-=；（3）(,(,))3(3)49f x f x y x x y x y =++=+；（4）2(,,)()()x y x f x y x y xy x y xy -+-=++；（5）设,,,11y u uv u x y v x y x v v =+===++，222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，2(1)(,)1x y f x y y-=+．4．设1)z f =+-，若当1y =时，z x =，求函数()f u 及(,)z z x y =的表达式．解由题设有11),1)1x f f x =+=-，令1u =，则2(1)x u =+，所以有2()2f u u u =+，相应的有(,)1z z x y x ==-．5．求下列函数的定义域：（1）(,)f x y =；（2）(,)ln()f x y y x =-+；（3）22221(,)arcsin 4x y f x y x y+=+-；（4）(,,)f x y z =解（1）{(,)|}D x y y x y =-<<；（2）22{(,)|0,,1}D x y x y x x y =≥>+<；（3）22{(,)|4,}D x y x y y x =+≤≠；（4）222{(,,)|1,D x y z x y z z =++<>．习题9－21．证明：2222001lim()sin0x y x y x y →→+=+．证明0ε∀>，因为2222221()sinx y x y x y+≤++，取δ=当0δ<<时，则有2222221()sin 0x y x y x y ε+-≤+<+，因此有2222001lim()sin 0x y x y x y →→+=+．2．求下列极限：（1）201ln()lim 2x x y e y x y →→++；（2）220x y →→（3）100lim(1sin )xyx y xy →→-；（4）22()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+解（1）原式0ln(1)ln 21e +==；（2）原式220220lim 21()2x y x y x y →→+==--+；（3）原式sin 11sin 00lim (1sin )xyxyxyx y xy e ---→→⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）原式222()()lim (2),lim lim 0,lim lim 0u x y x y x y x y u x y x x x x y y y x y x y x y u x ye e e e e e e =+++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞++=-⋅======，原式0=．3．证明下列极限不存在：（1）22400lim x y xy x y →→+；（2）2222200lim ()x y x y x y x y →→+-．解（1）当取点(,)P x y 沿曲线2:C y kx =趋于点(0,0)O 时则有222422000lim lim 1x x y xy kx k x y x kx k →→→==+++，k 取值不同，则该极限值不同，因此该极限不存在；（2）当取点(,)P x y 沿直线y x =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 1()x y x y x y x y →→=+-，而当取点(,)P x y 沿直线0y =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 0()x y x y x y x y →→=+-，因沿不同方向取极限，则该极限值不同，故该极限不存在．4．讨论下列函数的连续性：（1）22(,)y xf x y y x+=-；（2）22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪≠⎩（3）,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);x y f x y x y ≠=≠⎩（4）(,,)f x y z =．解（1）函数的定义域为2{(,)|}D x y y x =≠，它在D 内处处连续，抛物线2:C y x =上的点均为它的间断点；（2）函数在全平面内处处有定义，它在区域{(,)|(,)(0,0)}D x y x y =≠内处处连续，由于00lim (,)x y f x y →→不存在，故(0,0)O 是它的间断点；（3）当(,)(0,0)x y ≠时，函数显然是连续的，又00lim0(0,0)x y f →→==，所以它在(0,0)O 处也连续，因此该函数在全平面内处处连续；（4）函数(,,)f x y z 的定义域为222{(,,)|14}x y z x y z Ω=<++<，在定义域内(,,)f x y z处处连续，在球面2221x y z ++=及2224x y z ++=上函数间断．5．设二元函数(,)f x y 在有界闭区域E 上连续，点(,),1,2,,i i x y E i n ∈=⋅⋅⋅，证明至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．证明令112211(,)min{(,)},(,)max{(,)}i i i i i i i i i ni nm f x y f x y M f x y f x y ≤≤≤≤====，则有(,),1,2,,i i m f x y M i n≤≤=⋅⋅⋅，由此可得1(,)ni i i mn f x y Mn=≤≤∑，即1(,)niii f x y m M n=≤≤∑．（1）若m M =，则1122(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y ==⋅⋅⋅=，取11(,)(,)x y ξη=即可；（2）若m M <，则有1(,)niii f x y m M n=<<∑，由连续函数介值定理知至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．习题9－31．求下列函数的一阶偏导数：（1）2tan()cos ()z x y xy =++；（2）arctanx yz x y+=-；（3）ln(z x =+；（4）(1)yz xy =+．解（1）22sec ()2cos()sin()sec ()sin(2)zx y y xy xy x y y xy x∂=+-=+-∂,由对称性可知2sec ()sin(2)zx y x xy y ∂=+-∂；（2）22222212,()1zy y z xxx y x y y x yx y x y ∂--∂=⋅==∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭；（3）z z xy ∂∂==∂∂；（4）21(1),(1)[ln(1)]1y y z z xyy xy xy xy x y xy-∂∂=+=+++∂∂+．2．求下列函数在指定点的偏导数：（1）(,)sin(2)xf x y ex y -=+，求(0,)4x f π'及(0,)4y f π'；（2）22(,)(2)arccos f x y x y x =++-，求(2,)y f y '．解（1）(0,)4(0,)[(cos(2)sin(2)]1,(0,)044x x y f e x y x y f πππ-''=+-+=-=；（2）()2(2,)42y f y yy ''=+=．3．求下列函数的二阶偏导数：（1）2cos ()z ax by =+；（2）z =；（3）arctan 1x yz xy+=-；（4）z yu x =，求2ux z ∂∂∂及22u y ∂∂．解（1）2cos()sin()sin 2(),sin 2()z za ax by ax by a ax byb ax by x y∂∂=-++=-+=-+∂∂，22222222cos 2(),2cos(),2cos 2()z z z a ax by ab ax by b ax by x x y y ∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂．（2）2222222222222222,,,()()z x z y z y x z xy x x y x x y x x y x y x y ∂∂∂-∂-====∂+∂+∂+∂∂+，2222222()z x y y x y ∂-=∂+；（3）22211()1(1)111z xy y x y xxy x x y xy ∂-++=⋅=∂-+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，由对称性可知211z y y ∂=∂+，22222222222,0,(1)(1)z x z z yx x x y y y ∂-∂∂-===∂+∂∂∂+；（4）2222112224ln ln 2ln ln ,,,zzzzy y y yu z u y z x u z x u yz x z x x x x x x y x z y y y y y --∂∂+∂∂+===-=∂∂∂∂∂．4．求下列函数的指定高阶偏导数：（1）ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂；（2）u x y z αβγ=，求3ux y z∂∂∂∂．解（1）23232222111ln()1,,0,,z z z z z xy x x x x y x y y x y y∂∂∂∂∂=+====-∂∂∂∂∂∂∂∂；（2）23111111,,u u u x y z x y z x y z x x y x y zαβγαβγαβγααβαβγ------∂∂∂===∂∂∂∂∂∂．5．设322,(,)(0,0),(,)20,(,)(0,0),xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩求(0,0)xyf ''及(0,0)yx f ''．解(,0)(0,0)(0,0)lim0,0x x f x f f y x →-'==≠时，0(,)(0,)1(0,)lim 2x x f x y f y f y y x →-'==，(0,)(0,0)1(0,0)lim 2x x xyy f y f f y →''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0,0y x f y f f x y→-'==≠时，0(,)(,0)(,0)lim 0y y f x y f x f x y →-'==，0(,0)(0,0)(0,0)lim 0y y yx x f x f f x→''-''==．6．已知二元函数(,)z z x y =在区域{(,)|0}D x y x =>内有定义，且满足3,(1,)cos z x y z y y x x∂+==∂，试求(,)z x y ．解由3z x yx x∂+=∂可得31(,)ln ()3z x y x y x C y =++，由(1,)cos z y y =可得1()cos 3C y y =-，因而31(,)(1)ln cos 3z x y x y x y =-++．7．分别讨论下列函数在点的连续性和可偏导性：（1）222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩（2）(,)f x y =（3）2222,(,)(0,0),(,)1,(,)(0,0).x y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解（1）因为22212xy y x y ≤+，所以22200lim 0x y xy x y →→=+，因此该函数在点(0,0)处连续，又[][]0(0,0)(,0)0,(0,0)(0,)0x y x x f f x f f y ==''''====，因而该函数在(0,0)处存在偏导数；（2）因00(0,0)x y f →→==，因而该函数在点(0,0)处连续，而0(0,0)limx x x f x→'=不存在，同理(0,0)y f '也不存在，因而该函数在(0,0)处不存在偏导数；（3）当取点(,)P x y 沿直线y kx =趋于点(0,0)O 时，则有222222001lim 1x y x y k x y k →→--=++，由于k 取不同值时，上述极限不一样，故222200lim x y x y x y →→-+不存在，因而该函数点(0,0)处不连续，(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy→→--''===∞，故在点(0,0)处偏导数(0,0)x f '存在，而偏导数(0,0)y f '不存在．8．考察函数2244,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩并回答下列问题：（1）(,)f x y 在点(0,0)处是否有二阶偏导数；（2）(,)x f x y '与(,)y f x y '在点(0,0)处是否连续．解（1）2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),x xy x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),y x y y x x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩0(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x xx y f x f f x →''-''==0(0,)(0,0)(0,0)lim 0y yyy f y f f y→''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0x x xyy f y f f y→''-''==．（2）当取点(,)P x y沿直线(y kx k =≠趋于点(0,0)O 时则有2442444242000002(3)2(13)lim (,)lim lim ()(1)x x x x y y xy x y k k f x y x y x k →→→→→--'===∞++，故(,)x f x y '在点(0,0)处不连续，同理可证(,)y f x y '点(0,0)处也不连续．9．设arctan y u z x =，证明2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂．证明222221,1uy yz z y xx x y x∂--=⋅⋅=∂++222222()u xyz x x y ∂=∂+，同理有222222()u xyzy x y ∂-=∂+，22arctan ,0u y uz x z∂∂==∂∂，所以有2222222222222200()()u u u xyz xyz x y z x y x y ∂∂∂++=-+=∂∂∂++．10．证明：如果(,)f x y 在区域D 内偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '有界，则函数(,)f x y 在区域D 内连续．证明因为(,)x f x y '与(,)y f x y '在D 内有界，所以0M ∃>，对(,)x y D ∀∈均有(,),(,)x y f x y M f x y M ''≤≤，设000(,)P x y D ∈，则0δ∃>，当ρδ=<时有00(,)x x y y D +∆+∆∈，记100200(,),(,)P x x y P x x y y +∆+∆+∆，则线段01P P 与12PP 必完全属于D 内，由Lagrange 中值定理知0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆-001020(,)(,)y x f x x y y y f x x y x θθ''=+∆+∆∆++∆∆，0000(,)(,)()f x x y y f x y M x y +∆+∆-≤∆+∆，由夹逼准则可知00000lim[(,)(,)]0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=，即函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，由点000(,)P x y 的任意性可知，函数(,)f x y 在区域D 内处处连续．习题9－41．求函数22z x xy y =+-在点000(,)P x y 处当自变量,x y 分别取得增量,x y ∆∆时相应的全增量及全微分．解222200000000()()()()()z x x x x y y y y x x y y ∆=+∆++∆+∆-+∆--+2200000000(2)(2),d (2)(2)x y x x y y x x y y y x y x x y y =+∆+-∆+∆+∆∆-∆=+∆+-∆．2．求下列函数的全微分：（1）yz yx =；（2）arctan y z x=；（3）2222x y z x y-=+；（4）u =．解（1）21d d (1ln )d y y z y x x x x y -=++；（2）22d d d y x x yz x y -+=+；（3）2224(d d )d ()xy y x x y z x y -=+；（4）d u =3．试证：(,)f x y =在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微．证明000(0,0)x y f →→==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处连续，00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)lim 0x y x y f x f f y f f f x y→→--''====，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在，又00limx x y y →→→→''---=不存在，故该函数在点(0,0)处不可微．4．设221sin ,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩证明：（1）(0,0),(0,0)x y f f ''存在；（2）(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处不连续；（3）(,)f x y 在点(0,0)处可微．解（1）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,(0,0)lim 0y x y f x f f y f f x y→→--'====，因此(0,0)x f '，(0,0)y f '存在；（2）222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()x x x y y x y f x y y x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因而(,)x f x y '在(0,0)处不连续，又222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()y x x y y xy f x y x x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因此(,)x f x y '在(0,0)处也不连续；（3）22001sin lim0x x y y xy x y →→→→''---==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．5的近似值．解令22(,)(,)(,)x y f x y f x y f x y ''===，则有(1.02,1.97)(1,2)(1,2)0.02(1,2)(0.03)x y f f f f ''=≈+⨯+⨯-130.022(0.03) 2.952=+⨯+⨯-=．6．设有一无盖的圆柱形容器，容器的壁与底厚均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm ，求容器外壳体积的近似值．解若圆柱体的底半径为r ，高为h ，则体积为2V hr π=，223d 22 3.144200.1 3.1440.155.3cm V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=．。
习题册下册(2009参考解答)
+
cos 2x 8
。■
注： y1* 也容易由观察法获得。
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∫ 3、设曲线积分 [ f ′(x) + 2 f (x) + ex ]ydx + f ′(x)dy 在全平面内与积分路径无关，其中 f (x) L
二阶可导，且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1 ，求 f (x) 。
z
。
【解】∵αr // βr ⇔ x = 5 = − 1 ，∴ x = 15, z = − 1 。■
31 z
5
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习题 8－2 向量的乘积
ex 。 =1
⑵求微分方程通解：
∵特征方程为 r 2 − r − 2 = 0 ，特征值为 r = −1,2 ，
∴对应齐次微分方程通解为
F (x) = C1e−x + C2e2x 。
由观察法（也可用待定系数法确定）易知原微分方程有特解 f *(x) = − 1 ex 。 2
于是，原方程通解为
f
(x)
=
=
1
，即
C1
=
−
1 6
,
C2
=
2 3
，故所求特解为
f (x) = − 1 e−x + 2 e2x − 1 ex 。■ 632
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4、一根长度为 a 米的均匀链条放置在一个水平面光滑的桌面上，假定滑动开始时链条在桌边
最新北京科技大学-学年度第1学期高等数学A试题及答案
装 订 线 内 不 得 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊7．设设||3)(23x x x x f +=，则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为 【 】．（A ） 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 38．积分=+⎰-xdx x x 2sin )sin (224ππ【 】(A) 3/4 (B) 0 (C) 4/3 (D) 19．下列不等式正确的有 【】（A ） ⎰⎰<1210sin sin dx xxdx ， （B ）⎰⎰<1210c o s c o s dx xxdx ，（C ）⎰⎰>ππππ22s i n 2dx e dx e x x， （D ）⎰⎰<ππ223s i n s i n x d x x d x10．设yx z =， 则=dz 【 】(A ) )(ln dy x y xdx x y+(B ) )(ln dx x yxdy x y + (C ) )(l n dy x y xdx y x+ (D ) )ln (ydx dy xx x y +三、计算题（每小题9分，共63分）11．dx e xa x a x xx ⎰+∞-→=+-120)(lim ，求a 的值。
12、求dx x x x ⎰-+222)1(13．计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-∞→222222291391291191lim n n n n n n 。
14．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101:z y x z y x L 在平面0:=++∏z y x 上的投影直线L '15． 求不定积分⎰-dx xx1arcsin16．设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=22)1(21)1ln(t arctgt y t x 求.,22dx y d dx dy17．0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求a ，b 的值。
四、证明题（7分）)(x f = 是在区间]1 ,0[上任一非负连续函数。
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计通
石志国 石志国 王志良 齐悦 姚亦飞
计通
石志国 姚琳 谢永红 刘涛 赵宝永 王粉花 李擎 张维存 伍春洪 迟健男 曾慧 王新平 付冬梅 卫宏儒 陈章华 陈章华 徐美 范玉妹 李为东 马万彪 邱红梅 陈章华 潘礼庆 吴平 赵雪丹 赵雪丹 胡志
数理
序号 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
2
序号 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
学院
教师名 屈微 黄晓璐
课程名称 微机原理与应用 微机原理与应用 可视化程序设计语言 I 智能计算与应用 脑科学与认知科学概论 C 语言程序设计 C 语言程序设计 可视化程序设计语言 II C 语言程序设计 离散数学 信号与线性系统分析(双语) 控制系统仿真 微机原理及其应用 电路分析基础 II 数据通讯与网络技术(双语) 电子技术 视觉测量技术 模式识别 电工技术 神经网络及其应用 高等数学 AI 工程力学 B 材料力学 大学物理 AII 运筹学 数学分析 BI 微分方程 大学物理 AII 工程力学 B（双语） 固体物理 工科物理实验 II(实验) 理科物理实验 II(实验) 工科物理实验 II(实验) 数学建模与最优化方法 高等代数与解析几何 II 概率论与数理统计 薄膜材料与器件 大学物理 AI
化生
经管
刘明珠 郭骊 贾建华 胡枫 吴群芳 李怡 刘丽敏 李微 王绪梅 李晓东 罗明刚 钱娅艳 高航 王海霞 窦海波 钱娅艳
北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学AI 》期 末 试 题120分钟 满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则 。
2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。
3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。
4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。
5．不定积分⎰dx x arctan= 。
二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6． 若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是 【 】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【 】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是 【 】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是 【 】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。
北科大2011-2012学年度第二学期高等数学期中考试试题答案
北京科技大学2011——2012学年第二学期高 等 数 学AII 期中试卷答案一、填空题（本题共36分，每小题4分）1. 361a π; 2. 3)3,12(=-A k j i 38-+， 3.z y d f y x d f du 21'+'=dz f z y dy f y x f z dx f y 22122111'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+'= ; 4. ⎰-x d f x 02)()(21ζζζ; 5. 61; 6. 40; 7.⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r f z r r f y rr f x )(,)(,)(; 8.π; 9.40x y z +-=. 二、选择题（本题共36分，每小题4分）10. C; 11. B; 12. A; 13. D; 14. A; 15. B; 16. D; 17. C; 18. D三、解答题(本题共2小题,每题9分，满分18分)19.在x x x u =)2,(两边对x 求偏导数，有12(,2)2(,2)1u x x u x x ''+=， 两边再对x 求偏导数，则()11122122(,2)2(,2)2(,2)2(,2)0u x x u x x u x x u x x ''''''''+++=，又因为),(y x u 具有二阶连续偏导数，且22220u u x y∂∂-=∂∂，所以 (*)0451211=''+''u u ， -----------5分 再在21)2,(x x x u ='两边x 求偏导数，有x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''， 故由(*)式有 x x x u x x x u x x u 35)2,(,34)2,()2,(122211=''-=''=''. ----------9分 20. 设椭圆上任意点的坐标为),,(z y x ，令 22222(,,,,)()(1)F x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++- -----3分由2222022020010x y z F x x F y y F z F z x y F x y z λμλμλμλμ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪⎪=++-=⎩得两点11222⎛-+-+- ⎝，11222⎛----+ ⎝， ------6分 由题意所求最值一定存在，且一定在此两点取得，故所求最长距离与最短距离分别为359+和35-9. -----9分四、证明题(本题共2小题,每题5分，满分10分) 21. dr r r f dr r r f d d t F t t 200222020)(4sin )()(⎰⎰⎰⎰==πϕϕθππ, -----3分πππ54)0(54)(4lim )(lim 5202050='==⎰++→→f t drr r f t t F t t t --------5分 22. 因为()0)()(2≥-y f x f ， --------- 2分 所以在b y a b x a D ≤≤≤≤,:上，有dxdy y f y f x f x f d y f x f D D ))()()(2)(())()((022⎰⎰⎰⎰+-=-≤σ，即有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-≤ba b a b a b a b a b a b a ba dx x f dx x f ab dy y f dx dy y f dx x f dy dx x f 2)(2)()(2)()()(2)(0222 ⎰⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a dx x f a b dx x f )()()(22 ----------5分。
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程含答案
2025高考数学必刷100讲常规版第10章解析几何模块2圆与方程模块二圆与方程第1节圆的方程(★☆)内容提要1.圆的方程①标准方程：(x-€7)2+(j/-6)2=r2(r>0),其中圆心为0,b),半径为尸.②一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+£2-4F>0.2.求圆的方程常用三种方法：①设一般式方程x2+/+D x+£>+F=0,建立关于系数。
，E,尸的方程组，解方程组.当已知圆上三点时，常用这种方法.②设圆心，利用圆心到圆上点的距离都等于半径建立方程求圆心.已知圆心性质时常用此法.③找圆心(弦的中垂线过圆心)、求半径.3.点与圆的位置关系：设尸(％*0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+£y+F=0),①点尸在圆C外(X q—I)?+(*o—3)2>疽(或X q+j V q+D xq+Ey^+7^>0);②点P在圆C上u*(工。
—")2+(*o—bV=尸2(或X q+j V q+D xq4-互+/=0);③点P在圆C内(x o—「)2+3o—3)2<尸2(或X q+jPg+D xq+Ey^4-/^<0).类型I：圆的方程中的系数条件【例1】若方程J+j?+6x+m=0表示一个圆，则m的取值范围是()A,(—00,9)B・(一3,—9)C.(9,+oo)D.(—9,+oo)解析:观察发现可用D'+E‘-4F〉0求解秫的范围，方程工2+j;2+6x+m=0表示圆=>6?-4m>0=>m<9.答案：A【变式】若点F(-l,2)在圆C:x2+y2-2x+4y+/c=0的外部，则实数次的取值范围是()A.(—5,5)B.(-15,5)C.(-00,-15)U(5,+oo)D.(-15,2)解析：点P(-l,2)在圆■外部=>(-1)2+22-2x(-l)+4x2+^>0,解得:k>—15①，务必注意，题设隐含了所给方程表示圆，故还需由D2+E2-4F>0求次的范围，与①取交集，方程*2一2工+4*+*=0表示圆，应有(-2)2+4?—4*>0,解得：k<5,结合①可得Re(—15,5).答案：B【反思】当圆的方程中含参时，不要忘了考虑圆的方程本身对参数的要求.类型II:求圆的方程【例2】已知力(2,0),5(4,2),。
2022年北京科技大学高等数学竞赛试题
2022年北京科技大学高等数学竞赛试题1北京科技大学2022年《数学竞赛》试题学院班级姓名学号考试教室一、选择题（每题2分,共20分）1.设函数()f某与()g某均可导,且()()f某g某<,则必有().(A)()()f某g某''<;(B)；()()f某g某->-(C)000000()()limlim某某某某某某某某ftdtgtdt某某某某→→<--；(D)00()()某某某某ftdtgtdt某<.2.设函数()f某满足：1()(2),(0),8f某f某f=+=又在(1,1)-有()||f某某'=,则1(3)2f=().(A)12；(B)14；(C)14-；(D)03.积分01in()某某Id某某α∞+=条件收敛的充要条件是α满足().(A)(0,1)α∈；(B)(0,2)α∈；(C)(0,3)α∈；(D)(0,1.5)α∈.4.在[0,]π上方程3inco(0)某某aa=>的实根个数为().(A)1；(B)2；(C)3；(D)0.5.如果级数1nna∞=∑收敛，级数1nnb∞=∑绝对收敛,则1nnnab∞=∑().(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)不确定.26.若0lim2022(1)nnnnαββ→=--，则().(A)20221,20222022αβ==；(B)20221,20222022αβ=-=；(C)20221,20222022αβ==-；(D)20221,20222022αβ=-=-.7.设02()0()00某tftdt某F某某某≠==其中()f某具有连续的导数且(0)0f=,则()F某'在0某=处().(A)连续;(B)不连续；(C)可导；(D)不确定.8．曲面积分I=S+=(),其中22(2)(1)1(0)72516z某ySz+---=+≥是的上侧,.(A)2π-；(B)0；(C)2π；(D)π.9．设函数()fu具有二阶连续导数，函数(in)某zfey=满足方程22222某zzze某y+=(0)0,(0)1ff'==，则()fu=().(A)1()(1)2uufuee-=-+；(B)1()()2uufuee-=-；(C)1()(1)2uufuee-=--；(D)1()()2uufuee-=-.310.1n∞==∑().(A)1(B)1(C)0；(D)1.二、填空题（每小题3分,共60分）1.极限n→∞=.2.极限1lim()nnfanfa→∞+=.3.极限40co(in)-colimin某某某某→=.4.计算积分20ln1某d某某∞=+0.5.设()f某在(0,)+∞内连续，(1)3f=，且对,(0,)某t∈+∞满足某t某t111()d()d()dfuutfuu某fuu=+，则()f某=.6.设()f某在[0,)+∞内可导,某某00()d()d3某fuufuu=，某>0,则()f某=.7.计算无穷级数234........(1).....(||1)213243(1)nn某某某某某nn-+-+-+<=-.48.级数21(1)nnn某pp∞=>∑的收敛范围是.9.求直线L：1101某yz-==-在平面:20某yzπ++=上的投影直线方程为.10.设10(,)()||du某yft某ytt=-,其中f在[0，1]上连续，,[0,1]某y∈，则22u某=.11.设(,)u某y的所有二阶偏导数都连续，222220,(,2),(,2),某uuu 某某某u某某某某y'-===则(,2)某yu某某''=；(,2)yyu某某''=.12.函数22(,)4f某y某某yy=++在圆域221某y+≤上的最大值为以及最小值为.13.计算20π=.14.设Ω是由22,0,1,2,3,4z某yz某y某yy某y某=+=====,围成。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.4.4诱导公式与旋转(带答案)
4．4 诱导公式与旋转必备知识基础练知识点一 求值1．若sin (π2 －α)＝－45，则cos (π－α)＝( ) A ．－35 B ．－45C ．35D ．452．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝13 ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝( ) A ．223 B ．－223 C ．13 D ．－133．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝12 ，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α 的值．知识点二 化简4．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α） ＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.5．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2－αsin [（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α），其中k ∈Z .知识点三 诱导公式的综合应用6．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与射线2x －y ＝0(x ≤0)重合，则sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝( ) A ．－55 B ．55C ．255D ．－2557．已知f (x )＝sin （π－x ）cos （π＋x ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－x cos （3π－x ）sin （π＋x ）sin （－π＋x ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x (1)化简f (x )；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 .关键能力综合练一、选择题1．已知sin α＝45 ，则cos (α＋7π2)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．45 D ．－452．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos (π－α)，则α的取值范围是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π－π4，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z D ．{}α|α＝k π，k ∈Z3．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式一定成立的是( )A ．cos (A ＋B )＝cos CB ．sin (A ＋B )＝－sin CC ．cos A ＋C 2＝sin B D ．sin B ＋C 2 ＝cos A 24．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－m ，则cos (3π2 －α)＋2sin (2π－α)＝( )A ．－23 mB ．23m C ．－32 m D ．32m 5．(探究题)若f (sin x )＝cos 15x ，则f (cos x )＝( )A ．sin 15xB ．cos 15xC ．－sin 15xD ．－cos 15x二、填空题6．若sin (π6 －x )＝13 ，则cos (x ＋π3)＝________． 7．(易错题)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝－32 ，且角α的终边上有一点(2，n )，则n ＝________．8．已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin (2k π＋α)＝－35，则t ＝________． 三、解答题9．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－8m ，－6m )(m >0).(1)求sin θ，cos θ的值；(2)求sin （－θ）·sin （θ－3π）·cos （π＋θ）·cos （3π2－θ）sin （2π－θ）·cos （3π－θ）·sin （5π2－θ）·sin （θ－π） 的值．学科素养升级练1.(多选题)在锐角三角形ABC 中，下列不等式一定成立的是( )A ．sin (A ＋C )＝sinB B ．cos A ＋C 2 ＝sin B 2C ．sin A <cos BD ．sin A >cos B2．(学科素养——数学运算、逻辑推理)(1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α (n ∈Z ). (2)求证：cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1 ＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ ＝21－cos 2θ.4．4 诱导公式与旋转必备知识基础练1．答案：D解析：根据已知可得，sin (π2 －α)＝cos α＝－45，所以，cos (π－α)＝－cos α＝45.故选D. 2．答案：D解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13 .故选D. 3．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝12 ×12 ＝14. 4．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α） ＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）＝cos αsin α－cos α ＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 5．解析：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π＋π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－π2－αsin [（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αsin （π＋α）cos α＝－sin αcos α－sin αcos α＝1. 当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z ).仿上化简得：原式＝1.6．答案：B解析：因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在射线2x －y ＝0(x ≤0)上，所以点(－1，－2)在角θ的终边上，所以sin θ＝－255 ，cos θ＝－55，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ －sin (π－θ)＝cos θ－sin θ＝55 .故选B. 7．解析：(1)原式＝sin x ·（－cos x ）·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos （π－x ）·（－sin x ）·[－sin （π－x ）]·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝sin x ·（－cos x ）·sin x ·（－sin x ）（－cos x ）·（－sin x ）·（－sin x ）·cos x ＝－sin x cos x. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－－sin π3cos π3 ＝3 . 关键能力综合练1．答案：C解析：cos (α＋7π2 )＝cos (α＋7π2 －4π)＝cos (α－π2 )＝sin α＝45.故选C. 2．答案：C解析：由题意得cos α＝－cos α，∴cos α＝0， ∴α＝k π＋π2，k ∈Z .故选C. 3．答案：D解析：根据三角函数诱导公式可知A 选项cos (A ＋B )＝－cos C ，故A 不成立；B 选项sin (A ＋B )＝sin C ，故B 不成立；C 选项cosA ＋C 2 ＝sinB 2 ，故C 不成立；D 选项sin B ＋C 2 ＝cos A 2，故D 成立．故选D. 4．答案：C解析：∵sin (π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2 ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＋2sin (2π－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3×m 2 ＝－32m .故选C. 5．答案：C解析：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π2－15x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π－π2－15x ＝cos (－π2 －15x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋15x ＝－sin 15x .故选C. 6．答案：13解析：因为π6 －x ＋x ＋π3 ＝π2 ，所以cos (x ＋π3 )＝cos [π2 －(π6 －x )]＝sin (π6－x )＝13. 7．答案：23解析：由已知得sin α＝32 ，所以n 4＋n 2 ＝32 ，易知n >0，故n ＝23 . 8．答案：－916解析：sin (2k π＋α)＝sin α＝－35<0，则α的终边在第三或第四象限．又角α的终边上的点P 的横坐标是正数，所以α是第四象限角，则t <0，sin α＝4t 9＋16t2 .所以有4t 9＋16t2 ＝－35 ，解方程得t ＝－916 . 9．解析：(1)由题意知，r ＝（－8m ）2＋（－6m ）2 ＝10m ，∴sin θ＝y r ＝－6m 10m ＝－35， cos θ＝x r ＝－8m 10m ＝－45. (2)原式＝（－sin θ）·（－sin θ）·（－cos θ）·（－sin θ）（－sin θ）·（－cos θ）·cos θ·（－sin θ）＝－sin 3θ·cos θsin 2θ·cos 2θ ＝－sin θcos θ ＝－34 . 学科素养升级练1．答案：ABD解析：∵A ＋C ＝π－B ，∴sin (A ＋C )＝sin (π－B )＝sin B ，故选项A 成立；∵A ＋C 2 ＝π－B 2， ∴cos A ＋C 2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2 ＝sin B 2，故选项B 成立； 由题意A ＋B ＞π2 ，所以A ＞π2－B ， ∵A ，π2 －B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， ∴sin A ＞cos B ．故选项D 成立．故选ABD.2．解析：(1)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k －14π－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋14π－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝0. 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋34π－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋54π－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α －cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝0. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－α ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π－α ＝0. (2)证明：左边＝－cos θcos θ（－cos θ－1） ＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ（1＋cos θ）（1－cos θ） ＝21－cos 2θ＝右边． ∴原式成立．。
高等数学_上册_习题答案_胡志兴_苏永美_孟艳
习题 1-1(A)1．填空题．(1)函数y 44x -≤≤; (2)函数239x y x +=-的定义域为3x ≠±; (3)函数y =14x ≤≤; (4)函数y =的定义域为x<-3;(5)函数2()sin 2f x x =的周期为2π. 2．设(sin )cos 12x f x =+，求()f x 及(cos )2x f ． 解：(sin )cos 12x f x =+ 212sin 12x =-+ 222sin 2x =- ∴2()22f x x =- 则2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-3．设20,()30,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，求(1),(0),(3)(5).f f f f x --及解：(1)211f -=-=355(0)202(3)3272(5)535(5)3535x x f f x x x x f x x x --=+===+-≤-≤⎧⎧-==⎨⎨>>⎩⎩，，，，4．将函数341y x =--用分段形式表示，并做出函数图形． 解：113(41)4444113(41)4244x x x x y x x x x ⎧⎧--≥-≥⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+-<+<⎪⎪⎩⎩，，，，5．判断下列函数的奇偶性．(1)22(1)y x x =-;解：()()f x f x -=，则为偶函数． (2)1()1x x e f x e ---=+; 解：11()()11x xx xe ef x f x e e -----===-++，则为奇函数．(3)()x x f x =+;解：()(2(2()x x x x f x f x -----=+=+=，则为偶函数．6．设()2x y f t x =-,且当x=1时, 21122y t t =-+,求()f x ． 解：当x=1时，2111(1)222t t f t -+=- 2(1)(1)f t t -=-则：2()f x x =．7．求下列函数的反函数． (1)22x y x-=+; 解：22y xy x +=-221y x y-=+ 则反函数为：221x y x -=+ (1)x ≠ (2)331xx y =-; 解：33x x y y -=3log 1y x y =- 则反函数为：3log 1x y x =- (10)x ><或x (3)2110ln 21x x x y x x e x -⎧-≤<⎪=<≤⎨⎪<≤⎩，，0１，２;解：10x -≤<时，x =y = (x <≤0１)x <≤0１时，y x e =，则反函数为：x y e = (0)x -∞<≤ 1x <≤２时，ln 12y x =+，则反函数为：ln 12x y =+ (22)x e <≤则其反函数为：0ln 1222x y x y y e x x y x e ⎧=<≤⎪⎪==-∞<≤⎨⎪⎪=+<≤⎩01， ， 8．证明：函数()f x 在()a,b 内有界的充分必要条件是在()a,b 内既有上界，又有下界．证明：首先来看必要性设()f x 在()a,b 内有界，且n ≤ ()f x ≤ m()f x ≤ m ，则()f x 有上界m ；n ≤ ()f x ，则()f x 有下界n ； 再来看充分性设()f x 上界和下界分别是m 和n ，取}{M max m n =， n ≤ ()f x ≤ m ，则()f x M ≤，()f x 有界。
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题一、填空题1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy∂=∂-. 2.设L 为圆周22xy 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.4.方程2x y"4y'4ye -++=的一个特解是2x x e -212. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0C.两个偏导数都存在，但不为0D.全微分存在2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰B.12ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D.12xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0B.22y z 1+≤⎰⎰C.43πD.22x z 1+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12ye c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=C.y"2y'5y 0-+=D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2De dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u yf 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝，f 具有二阶连续偏导数，求 2211222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x∂''''''=+--∂∂. 五、设()fx 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）()()()()222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x yf x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.是一个全微分。
北科大数学竞赛题解正文
n
lim
n 1 1 1 n
n
1 利用等价代换 1 1 n
n
（*）
n
lim
n n n 1
lim
n n
n
n
lim
n 1
（D） 0
【考点】函数周期性 【答案】D 【解析】 f x f x 2 T 2 的周期函数
1 1 2 x , x 0,1 x , x 0,1 1 8 2 又 f x , f 0 f x 8 1 1 x 2 , x 1, 0 x, x 1, 0 8 2
1 1 lim ( 1) lim 1 v u 0 u v
对（B）选项dx dx ，同理它也发散； 0 1 x x x
对 （D） 选项，
0 0 v 1 1 1 1 1 dx dx dx lim dx lim dx 2 2 2 2 1 x 1 x 0 1 x u u 1 x v 0 1 x 2
构造足够小使之包含在曲面内的上半球面内法线方是平面xoy上区域法向量向下2516所围立体则由gauss公式知xdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdy表示外法线的上半球面再添平面xoy上区域xdydzydzdxzdxdy处不可微这样与gauss公式要求的封闭曲面中函数一阶偏导连续矛盾
n n n 1
n
已经很为接近！如果我们能将 k 的取值由正整
数推广至有理数，那么这个结论可以直接用来解题。数学系的同学可以尝试一下。 倘若能推广，我们知道 n 1 这样 n
北京科技大学高代(下)习题解答1.doc
北京科技大学高代（下）习题解答1北京科技大学唐思铭462、设％, %是线性空间V的子空问，给出％U/是V的子空间的充分必要条件。
解：充分必要条件是％匸匕或匕匸必证明：必要性设V,UV2是V的子空间若％匸岭或％匸％不成立，则存在但少纟匕以及&2丘％但勺纟％。
因为v.uv2是u的子空间, 所以，^! + cr2 G U V2 ,因此有，（7] + （72 G V（或0+色丘匕，但是，如果a}+a2eV},由a} eV}可得，a2 e V},矛盾；而如果a}+a2^V2,由a. e V2又i可得，a} eV2,矛盾。
所以，V,cV2或匕uK充分性是显然的，证毕4.6.4、设a〕=（1, 一1,0）,设色=（一1,2,1）,求向星色，使得，span{a} ,a2,a3] = /?3解：设V；=span[a l 9a2 },易知，dim% = 2, （3X = a, + cr2 =（0,1,1）eV,,设=（0,0,1）,贝ij% = span {e ,勺} = s P an {e，0i }，e，0i，a3线性无关，所以，span [a l ,a2y ct.} = span {a} ,^,a3} = R' 4.6.5 >如果况维线性空间的子空间序列匕，i = l,2,…，满足条件，叫^岭匸…^匕匸…则存在自然数，使得，匕*严匕七=••• = %=•••证明（提示）:q =dim匕，j = 1, 2 ,…，则n x <n2 <-<n,467、若线性空间V的子空间％,岭的维数分别是人和乙，问：％+%和XU岭的所有可能维数是多少？解：％+岭所有可能维数是mr,+r2Z间的整数。
例如，对于斤+尸5 + 3 = 8,取线性无关的向量组a〕，…，逐，X = span{a} ,a2 ,a3,a4,a5 },贝！J,V2 = span{a3.a A,a5 }时，V} + V2的维数是5；V2= span{a4,a5y a6 }时，％ +岭的维数是6 ;V2= span{a^.a^a q }时，+ 匕的维数是7 ；V2 =span{a6,a7,a s }时,V, +V2的维数是8；V,UV2要成为子空间才有维数,此时V.G K或岭匸«,所以可能维数max{r, , r2}4.7.2、在线性空间疋中，记,硏={（旺,X2,••・,£）€/?" |x,+X2 +••• + X n =0| W2 ={（召,兀2|兀]=兀2 =•••=£}证明：R n =W X㊉怡证明（提示、）：设匕.=耳一勺+J = 1,2…,乃一1 , a“ = q+6 +…匕，贝！J，= span {&],•••, a n_x}, W2 = span {a n}由此易得，R n = W,㊉比证毕4.7.3、在线性空间7?”中,取向量0,也，…4$,记,U = span[a{ ,a2，…,Q$}V = a E R" a t a T = 0, z = 1 , 2,…，s}证明：是V的线性子空间，且R n=U㊉V 证明（提示）：这里是行向量。
北科大数理方程 第5章行波法与积分变换法习题答案
1 解：
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u ⎪ 2 =a 2 t x ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = 0 ⎪ I ⎪ut ( x, 0) = ψ ( x) = δ ( x − c) ρ ⎪ ⎩
1 1 x + at u ( x, t ) = [(ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ψ ( s )ds ∫ x − at 2 2a
s x a
+ D ( s )e
s − x a
+
s a2k sin + x s2 + a2 s2
由 x → ∞, u 有限，∴ c( s) = 0
u ( x, s ) = D ( s ) e
s − x a
+
s a2k sin + x s2 + a2 s2
由 u (0, s ) = 0 ，得 D = 0
∴ u ( x, s ) =
s a2k sin x + s2 + a2 s2
s 1 ) + kL−1 ( 2 ) 2 s +a s
2
u ( x, t ) = L−1 (u ( x, s)) = sin xL−1 ( = sin x cos at + a 2 kt
《cosat ↔
s s + a2
−ξ
2 2
2
π
2
[−e− hτ ∫ ( −e ( −e
− ht
x 2a τ +∞
− e-hτ e τ =0 ∫
t 0 t -( hx 2 4a 2ξ 2 +ξ 2 )
t
−