黑龙江牡丹江市2018高二数学10月月考文
牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈2． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ． π3． 已知向量，，若，则实数（ ）(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=-t =A.B. C. D. 2-1-12【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．4． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞eD ．a ＜e5． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ）A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣86． 设集合，，则（ ）{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.B.C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}2,1,1,2--{}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．7． 复数的值是（ ）i i -+3)1(2A ．B ．C ．D ．i 4341+-i 4341-i 5351+-i 5351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．8． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（）A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜19． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．16163π-32163π-1683π-3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．10．已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）11．直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．B ．C ．D ．144,144ππ144,36ππ36,144ππ36,36ππ12．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（）A ．45B ．90C ．120D ．360二、填空题13．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是 ．14．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）15．△ABC 中，，BC=3，，则∠C= ．16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．三、解答题17．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ）（1）求f （1）的值，（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．18．（本小题满分12分）数列满足：，，且.{}n b 122n n b b +=+1n n n b a a +=-122,4a a ==（1）求数列的通项公式；{}n b （2）求数列的前项和.{}n a n S 19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=，R=，试比较P ，Q ，R 的大小，并说明理由．20．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．①证明：OM•ON为定值；②证明：A、Q、N三点共线．21．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t ）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．22．（本小题满分10分）已知函数.()|||2|f x x a x =++-（1）当时，求不等式的解集；3a =-()3f x ≥（2）若的解集包含，求的取值范围.()|4|f x x ≤-[1,2]23．（本小题满分13分）设，数列满足：，．1()1f x x =+{}n a 112a =1(),n n a f a n N *+=∈（Ⅰ）若为方程的两个不相等的实根，证明：数列为等比数列；12,λλ()f x x =12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（Ⅱ）证明：存在实数，使得对，．m n N *∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<< ）牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】【解析】解析：选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E AGHD 与四棱锥F MBCN 与直三棱柱EGH FMN .由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，所求的体积为V ＝（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选131312B.2． 【答案】C【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，所以球的体积为： =4π故选：C ． 3． 【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ⋅=++⨯=1t =-4． 【答案】C【解析】解：由积分运算法则，得=lnx=lne ﹣ln1=1因此，不等式即即a ＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e 故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．5． 【答案】B【解析】解：∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，∴f （﹣2）﹣g （﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f （2）+g （2）=f （﹣2）﹣g （﹣2）=﹣16．故选：B ．【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力． 6． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 7． 【答案】C【解析】．i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+8． 【答案】A【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A9． 【答案】D【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为，故选D ．21132244428233V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-10．【答案】 B【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，令h （x ）=，则h ′（x ）=，∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，∴h （x ）max =h （e ）=，∴＜h （e ）=，∴m ＜．∴m 的取值范围是（﹣∞，）．故选：B ．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．11．【答案】D【解析】考点：球的表面积和体积．12．【答案】B【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．二、填空题13．【答案】 4 ．【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（3，4），显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b 时“=”成立，故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题． 14．【答案】必要而不充分【解析】试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．15．【答案】 【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C 为三角形的内角，且c ＜a ，∴0＜∠C ＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C 的范围． 16．【答案】49【解析】解：==7a 4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解． 三、解答题17．【答案】【解析】解：（1）在f （）=f （x ）﹣f （y ）中，令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1），∴f （1）=0；（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6），∴不等式f （x+3）﹣f （）＜2等价为不等式f （x+3）﹣f （）＜f （6）+f （6），∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6），即f （）＜f （6），∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x ＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）． 18．【答案】（1）；（2）．122n n b +=-222(4)n n S n n +=-++【解析】试题分析：（1）已知递推公式，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比122n n b b +=+数列的通项公式可得，变形形式为；（2）由（1）可知，n b 12()n n b x b x ++=+122(2)nn n n a a b n --==-≥这是数列的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由{}n a 112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+求得．211()a a a +-+试题解析：（1），∵，112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+1222n n b b ++=+又，121224b a a +=-+=∴.2312(21)(2222)22222221n nn n a n n n +-=++++-+=-+=-- ∴.224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．∴g （x ）=e x ．，f （﹣x ）=ln （﹣x ），则函数的导数g ′（x ）=e x ，f ′（x ）=，（x ＜0），设直线m 与g （x ）相切与点（x 1，），则切线斜率k 2==，则x 1=1，k 2=e ，设直线l 与f （x ）相切与点（x 2，ln （﹣x 2）），则切线斜率k 1==，则x 2=﹣e ，k 1=﹣，故k 2k 1=﹣×e=﹣1，则l ⊥m ．（Ⅱ）不妨设a ＞b ，∵P ﹣R=g （）﹣=﹣=﹣＜0，∴P ＜R ，∵P﹣Q=g（）﹣=﹣==，令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，故φ（x）＜φ（0）=0，取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，⇔==1﹣令t（x）=﹣1+，则t′（x）=﹣=≥0，则t（x）在（0，+∞）上单调递增，故t（x）＞t（0）=0，取x=a﹣b，则﹣1+＞0，∴R＞Q，综上，P＜Q＜R，【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．20．【答案】【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴，整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（2）证明：设P（x0，y0），则，①直线AP方程为：y+=（x+），联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，直线BP的方程为：y+1=，联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，∴OM•ON=|x M||x N|=2•||•||=||=||=||=．②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，∴x Q=，y Q=，∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，将k=代入，即证：x M•x N=，由①的证明过程可知：|x M |•|x N |=，而x M 与x N 同号，∴x M •x N =，即A 、Q 、N 三点共线．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．【答案】【解析】解：（1）因为点P ，Q 关于直线y=x ﹣1对称，所以．解得．又n=e m ﹣1，所以x=1﹣e （y+1）﹣1，即y=ln （x ﹣1）．（2）ω（s ，t ）=|s ﹣e x ﹣1﹣1|+|t ﹣ln （t ﹣1）﹣1|=，令u （s ）=．则u （s ），v （t ）分别表示函数y=e x ﹣1，y=ln （t ﹣1）图象上点到直线x ﹣y ﹣1=0的距离．由（1）知，u min （s ）=v min （t ）．而f ′（x ）=e x ﹣1，令f ′（s ）=1得s=1，所以u min （s ）=．故．【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合． 22．【答案】（1）或；（2）.{|1x x ≤8}x ≥[3,0]-【解析】试题解析：（1）当时，，当时，由得，解得；3a =-25,2()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩2x ≤()3f x ≥253x -+≥1x ≤当时，，无解；当时，由得，解得，∴的解集为23x <<()3f x ≥3x ≥()3f x ≥253x -≥8x ≥()3f x ≥或.{|1x x ≤8}x ≥（2），当时，，()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+[1,2]x ∈|||4|422x a x x x +≤-=-+-=∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为.22a x a --≤≤-21a --≤22a -≥30a -≤≤[3,0]-考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题.23．【答案】【解析】解：证明：，∴，∴．2()10f x x x x =⇔+-=2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩21122211λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩∵， （3分）12111111112122222222111111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+，，11120a a λλ-≠-120λλ≠∴数列为等比数列． （4分）12n na a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（Ⅱ）证明：设，则．m =()f m m =由及得，，∴．112a =111n n a a +=+223a =335a =130a a m <<<∵在上递减，∴，∴．∴，（8分）()f x (0,)+∞13()()()f a f a f m >>24a a m >>1342a a m a a <<<<下面用数学归纳法证明：当时，．n N *∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<①当时，命题成立． （9分）1n =②假设当时命题成立，即，那么n k =2121222k k k k a a m a a -++<<<<由在上递减得()f x (0,)+∞2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>由得，∴，2321k k m a a ++>>2321()()()k k f m f a f a ++<<2422k k m a a ++<<∴当时命题也成立， （12分）1n k =+由①②知，对一切命题成立，即存在实数，使得对，.n N *∈m n N *∀∈2121222n n n n a a m a a -++<<<<。
牡丹江市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
牡丹江市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 2． 过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8B ．10C ．6D ．43． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞）D ．（0，1）4． 已知函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x （m ∈R ）存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A （x 1，x 12），B（x 2，x 22），记圆（x+1）2+y 2=上的点到直线l 的最短距离为g （m ），则g （m ）的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．[0，3]C ．[0，） D ．[0，）5． 下列4个命题：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”； ②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2； 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y+7=0B ．2x+y ﹣1=0C ．x ﹣2y ﹣5=0D ．2x+y ﹣5=07． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°8． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+189． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）A ．=B ．0S =C ．0122S S S =+D ．20122S S S =10．复数z=在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（ ）①∀n ∈N *，f n （x ）≤恒成立②若f n （x ）为常数函数，则n=2③f 4（x ）在[0，]上单调递减，在[，]上单调递增．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.二、填空题13．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．14．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为 ．15．设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．16．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．17．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．18．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．三、解答题19．已知二次函数f （x ）=x 2+2bx+c （b ，c ∈R ）．（1）若函数y=f （x ）的零点为﹣1和1，求实数b ，c 的值；（2）若f （x ）满足f （1）=0，且关于x 的方程f （x ）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b 的取值范围．20．已知函数f （x ）=（a ＞0）的导函数y=f ′（x ）的两个零点为0和3．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）的极大值为，求函数f （x ）在区间[0，5]上的最小值．21．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O为AD的中点，且CD⊥A1O（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．22．（文科）（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．将数据按照[)[)[)（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．24．（本小题满分16分）给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．牡丹江市高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m的范围.2． 【答案】A【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，∵抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）， 又x 1+x 2=﹣6∴∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）=8 故选A3． 【答案】D【解析】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．4． 【答案】C【解析】解：函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x 的导数为f ′（x ）=x 2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式△＞0，即有4m 2﹣4（2m+3）＞0，解得m ＞3或m ＜﹣1， 又x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m+3，直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），即有斜率k==x 1+x 2=﹣2m ，则有直线AB ：y ﹣x 12=﹣2m （x ﹣x 1）， 即为2mx+y ﹣2mx 1﹣x 12=0，圆（x+1）2+y 2=的圆心为（﹣1，0），半径r 为．则g（m）=d﹣r=﹣，由于f′（x1）=x12+2mx1+2m+3=0，则g（m）=﹣，又m＞3或m＜﹣1，即有m2＞1．则g（m）＜﹣=，则有0≤g（m）＜．故选C．【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．5．【答案】C【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．6．【答案】A【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．7．【答案】A【解析】解：根据余弦定理可知cosA=∵a 2=b 2+bc+c 2， ∴bc=﹣（b 2+c 2﹣a 2）∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选A8． 【答案】D【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥得到的组合体， 其表面有三个边长为6的正方形，三个直角边长为6的等腰直角三角形，和一个边长为6的等边三角形组成，故表面积S=3×6×6+3××6×6+×=162+18，故选：D9． 【答案】A 【解析】试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：220()2()a S a hS a S a hS '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 10．【答案】A【解析】解：∵z===+i ，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．故选A ．【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．11．【答案】 D【解析】解：①∵x ∈[0，]，∴f n （x ）=sin n x+cos n x ≤sinx+cosx=≤，因此正确；②当n=1时，f 1（x ）=sinx+cosx ，不是常数函数；当n=2时，f 2（x ）=sin 2x+cos 2x=1为常数函数，当n ≠2时，令sin 2x=t ∈[0，1]，则f n （x ）=+=g （t ），g ′（t ）=﹣=，当t ∈时，g ′（t ）＜0，函数g （t ）单调递减；当t ∈时，g ′（t ）＞0，函数g （t ）单调递增加，因此函数f n （x ）不是常数函数，因此②正确．③f 4（x ）=sin 4x+cos 4x=（sin 2x+cos 2x ）2﹣2sin 2xcos 2x=1﹣==+，当x ∈[0，]，4x ∈[0，π]，因此f 4（x ）在[0，]上单调递减，当x ∈[，]，4x ∈[π，2π]，因此f 4（x ）在[，]上单调递增，因此正确． 综上可得：①②③都正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【答案】A【解析】过M 作MN 垂直于x 轴于N ，设),(00y x M ，则)0,(0x N ，在MNQ Rt ∆中，0||y MN =，MQ 为圆的半径，NQ 为PQ 的一半，因此2222222200000||4||4(||||)4[(1)]4(21)PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点M 在抛物线上，∴0202y x =，∴2200||4(21)4PQ x y =-+=，∴2||=PQ .二、填空题13．【答案】．【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC ，高为AC ，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．14．【答案】．【解析】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC ⊥AB ，C 为垂足，并延长OC交于D ，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt △AOC 中，r=AO==，从而弧长为 αr=2×=，故答案为．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO 的值，是解决问题的关键，属于基础题．15．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故()12122133x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦.考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围.111]16．【答案】 {2，3，4} ．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}， ∴C U A={3，4}， 又B={2，3}，∴（C U A ）∪B={2，3，4}， 故答案为：{2，3，4}17．【答案】A 【解析】18．【答案】﹣280解：∵（﹣2）7的展开式的通项为=．由，得r=3．∴x 2的系数是．故答案为：﹣280．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f （x ）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．（2）∵f （1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b ．令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，∴，即．解得＜b＜，即实数b的取值范围为（，）．【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．20．【答案】【解析】解：f′（x）=令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3则解得：b=c=﹣a，令f′（x）＞0得0＜x＜3所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），（2）由（1）得：函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，∴，∴a=2，∴；，∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．21．【答案】【解析】满分（13分）．（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，∴A1O==，…（2分）∴+AD2=AA12，∴A1O⊥AD．…（3分）又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A（0，0，），…（6分）1设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），∵=，=（1，m+1，0），且取z=1，得=．…（8分）又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面A1ADD1．不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）由题意得==，…（12分）解得m=1或m=﹣3（舍去）．∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．a ；（2）3.6万；（3）2.9.22．【答案】（1）0.3【解析】（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<；月均用水量低于3吨的频率为：()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>；则0.850.732.50.5 2.90.30.5x -=+⨯=⨯吨．1 考点：频率分布直方图．23．【答案】【解析】解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD=90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF=，故点A 到平面PBC 的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC 的面积S △ABC =1．由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ﹣ABC 的体积．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD=DC=1，所以．由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积．由VA ﹣PBC =V P ﹣ABC ，，得，故点A 到平面PBC 的距离等于．【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．24．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：（1） ()2af x x x=-′由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分因为(]0,1x ∈，所以[)11,x ∈+∞，所以2min112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 6m x x x x =--+所以())()1222221x m x x x x=--+==′ ………12分当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分 3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考数学
2017年高三学年10月份月考数学文科试题一、选择题（每题5分，满分60分）1. 已知集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故选A.2. 已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,所以虚部为，选C.3. 下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。
4. 若点在直线上，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点在直线上，，，故选B.5. 已知等差数列,等比数列,,则该等比数列的公比为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】成等差数列，，① 又，成等比数列，，② 由①②得或，等比数列为或，公比为或，故选C.6. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：如图所示，作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所表示，直线与直线交于点，作直线，由于，则可视为直在轴上的截距的倍，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，因此.考点：1.线性规划；2.基本不等式7. 已知单位向量与的夹角为,向量与的夹角为，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】依题意可得：，同理：，而，又向量与的夹角为，可知：，由此解得：或，又,∴.故选：B8. 已知曲线，，则下列说法正确的是（）A. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线D. 把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线【答案】B【解析】对于，对于,,对于，,对于，,故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移变换”后，根据诱导公式化简得到的.9. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】，是偶函数，故图形关于轴对称，排除；又时，，，排除，故选A.10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：,所以最长边为，选C.11. 已知数列满足，是等差数列，则数列的前项的和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，将已知值和等量关系代入，计算得，所以，所以，选B.点睛：本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和，属于中档题。
2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（理）试题一、单选题1．对抛物线212x y =，下列判断正确的是（ ） A. 焦点坐标是()3,0 B. 焦点坐标是()0,3- C. 准线方程是3y =- D. 准线方程是3x = 【答案】C【解析】试题分析：因为212p =，所以32p=，又焦点在y 轴上， ∴焦点坐标是()0,3，准线方程是3y =-，故选C.【考点】抛物线的方程及性质.2．已知点()3,2在椭圆22221x y a b+=上，则( )A. 点()3,2--不在椭圆上B. 点()3,2-不在椭圆上C. 点()3,2-在椭圆上D. 无法判断点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-是否在椭圆上 【答案】C【解析】根据椭圆对称性知点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-皆在椭圆上,所以选C. 3．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝|PD |，当P 在圆上运动时，则点M 的轨迹C 的方程是（ ）A.2212516x y += B. 2211625x y += C. 2212516x y -= D. 2211625x y -= 【答案】A【解析】设(),M x y ,则5,4P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,所以2222525142516y x y x ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭,选A. 2A. ()1,1B. 11,24⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,39⎛⎫⎪⎝⎭D. （2,4） 【答案】A【解析】抛物线2y x =上点到直线240x y --=距离为213x -+=≥(当且仅当1x =时取等号),所以到直线240x y --=距离最近的点的坐标是()1,1 ,选A.5．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NFF ∆的面积为（） A.B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】设等轴双曲线方程为22x y λ-= ,因为过点()2,1M ,所以212122133,6N F N F F F λ=-=∴- 从而22212121212||2|12|212NF NF NF NF F F NF NF ++=⇒-=121212124212632NF NF NF NF S NF NF ⇒-=⇒=⇒==,选D. 6．A 是圆O 内一定点， B 是圆周上一个动点，线段 AB 的垂直平分线CD 与OB 交于E ,则点E 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 【答案】B【解析】EA EO EB EO r OA +=+=> ,所以点E 的轨迹是以O,A 为焦点的椭圆,选B.7．抛物线22(0)y px p =>上有()11,A x y ， ()22,B x y ， ()33,C x y 三点， F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则( ) A. 123,,x x x 成等差数列 B. 123,,y y y 成等差数列 C. 123,,x x x 成等差数列 D. 123,,y y y 成等差数列 【答案】A 【解析】由,,AF BF CF成等差数列得2122132||=|AF|+|CF|2(x +)2222p p pBF x x x x x ∴=+++∴=+ ,即123,,x x x 成等差点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．8．已知椭圆22122:1,(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点， 2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则( )A. 2132a =B. 213a =C. 212b = D. 22b = 【答案】C【解析】取双曲线222:14y C x -=的一条渐近线2y x = ，与椭圆在第一象限交点为(),2P m m ，由题意得222222445,13311a am m OP a b m a b =∴==+=∴= 2222222451114541,11902c a b m m m b =-=-=+∴==，选C. 9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 1 D. 1【答案】C【解析】由题意可设两曲线的交点为(),,22p p c c ⎛⎫±∴± ⎪⎝⎭在双曲线22221x y a b -=上，即2222222222244122c c c b b ac c a ac a b b a-=⇒=⇒=⇒-=221011e e e e ⇒--=>∴=，选C.10．设直线()1y k x =+与抛物线24y x =相交于M 、N 两点，抛物线的焦点为F ，若F 2F M =N ，则k 的值为（ ）A. 23±B. 3±C. 2±D.【解析】设()()1122,,,M x y N x y ，因为F 2F M =N ，所以由抛物线定义得22121211221212,24,44,x x y y y x y x x x -====∴=()11112,1y x y k x ∴==±==--，选B. 11．下列命题正确的个数是（ ） （1）已知、，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；（2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线；（3）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆。
2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期10月月
高三数学（文科）月考试题一、选择题（单选，每题5分，共60分）1、已知集合B A x x x B x x x A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于（ ）A ．}21|{<<x xB ．}321|{><<x x x 或C ．}10|{<≤x xD ．}310|{><≤x x x 或2、已知b a,是两个非零向量，给定命题ba b a p =⋅:，命题R t q ∈∃:，使得b t a=，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 3、已知01a <<，log log aa x =1log 52a y =，log log a a z = ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>4、已知向量(1,2)a = ，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥- ，则实数x 等于（ ）A 、4-B 、4C 、0D 、9 5、在△ABC 中，AB=4，AC =6，2=⋅BC AB ，则 BC=( ) （ ） A ． 4B．C ．62D ． 166（ ）7．在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知acbcB A 2tan tan 1=+，ABCD-则C ＝（ ）A 、30°B 、45°C 、45°或135°D 、60°8．已知()3sin 2cos 2f x x a x =+，其中a 为常数.()f x 的图象关于直线6x =π对称，则()f x 在以下区间上为单调递减的是( )A ．31[,]56--ππ B ．71[,]123--ππ C ．11[,]63-ππ D ．1[0,]2π9、在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c 。
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)- C.1(0,)2 D.1(0,2-3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.24.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A .53-B.14-C.14D.538.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.22C.32D.2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 310y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)3,1B.若直线m ：310x -+=，则l m⊥C.点)3,0到直线l 的距离是2D.过()23,2与直线l 平行的340x y --=10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且5MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是23C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．13.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．17.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷考试时间:120分钟分值:150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在x 轴与y 轴上截距分别为2,2的直线的倾斜角为（）A.150︒B.135︒C.90︒D.45︒【答案】B 【解析】【分析】由截距式确定直线方程即可求解.【详解】由题意可得直线方程为221x y+=，化简可得：2y x =-+，所以1k =-，即倾斜角为135︒.故选:B2.若直线210x y +-=是圆()221x y a ++=的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.(0,1)B.(0,1)-C.1(0,)2D.1(0,2-【答案】A 【解析】【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆()221x y a ++=的圆心为()0,a -，因为直线210x y +-=是圆的一条对称轴，所以圆心()0,a -在直线210x y +-=上，所以()2010a ⨯+--=，解得1a =-，故圆心坐标为(0,1).故选：A.3.直线:10l x y -+=与圆22:230O x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A.B.2C. D.2【答案】B 【解析】【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心()1,0O 作OD AB ⊥于D ，分别计算OD 和||AB ，即可求得AOB V 的面积.【详解】如图，由圆22:230O x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为()1,0O ,半径为2，过点()1,0O 作OD AB ⊥于D ，由()1,0O 到直线:10l x y -+=的距离为OD ==,则||2||AB AD ==故AOB V 的面积为11222AB OD ⋅=⨯.故选：B.4.直线1l ：()2410a x y -+-=，直线2l ：()230x a y +-+=，则直线12l l ⊥是3a =-的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】假设12l l ⊥成立，去推导3a =-是否成立，假设3a =-去推导12l l ⊥是否成立即可得.【详解】若12l l ⊥，由()2410a x y -+-=，可得214k a =-，若240a -=，即2a =±，则需20a -=，即2a =，即可得2a =时，12l l ⊥，故12l l ⊥不是3a =-的充分条件；若3a =-，则1495k =-=-，211325k =-=---，此时121k k =-，故12l l ⊥，综上，直线12l l ⊥是3a =-的必要不充分条件.故选：B.5.已知两点()3,2A -，()2,1B ，过点()0,1P -的直线l 与线段AB （含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A.(][),11,-∞-+∞ B.[]1, 1- C.[)1,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求出直线PA 、PB 的斜率后可求直线l 的斜率的范围.【详解】12103PA k --==-+，而11102PB k --==-，故直线l 的取值范围为(],1(1,)∞∞--⋃+，故选：A.6.已知空间中三点()()()0,0,0,1,,2,1,2,1A B m C --，平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =-，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.【答案】D【分析】运用法向量求出()1,,2B m 坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可.【详解】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =- ，则()1,1,1(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅=，解得1m =-，故()1,1,2B -.()()1,1,2,1,2,1AB AC =-=--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则3sin 2A ==.则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯= .故选：D.7.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且3AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.14-C.14D.53【答案】C【分析】取AB ，AC，AD 为基底，表示出AE ，DF ，再利用向量数量积的运算求解.【详解】如图：取AB ，AC，AD 为基底，则2AB AC AD === ，,,,60AB AC AB AD AC AD ===︒ ，所以22cos 602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=.又1122AE AB AC =+ ，34DF AF AD AC AD =-=- .所以113224AE DF AB AC AC AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231318282AB AC AB AD AC AC AD=⋅-⋅+-⋅313122428282=⨯-⨯+⨯-⨯14=.故选：C8.在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A.12B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意得AC BD ⊥，接着建立空间直角坐标系求出向量AB和平面APC的法向量n即可根据向量法的点到平面距离公式AB n d n⋅=求解.【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，2OA OC ===，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,0,,0,0,0,,0,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,222AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()111,,01,0,2,,22222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以00113202222y n AC x n AP x y z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n⋅==当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ==所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 距离最大为12=.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的一个法向量为)B.若直线m ：10x -+=，则l m⊥C.点)到直线l 的距离是2D.过()2与直线l 40y --=【答案】CD 【解析】【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l 10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x -+=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C，点)到直线l 的距离2d ==，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2yx -=-，即40y --=，故D 正确．故选：CD.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.【答案】ACD 【解析】【分析】取AD 的中点N ，分析可知MN ⊥平面ABCD .对于A ：分析可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B ：分析可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，即可得结果；对于C ：根据数量积的几何意义分析判断；对于D ：分析可知O MN ∈，进而求球的半径和表面积.【详解】取AD 的中点N ，连接,MN NP ，因为,M N 分别为11,A D AD 的中点，则MN ∥1AA ，且12MN AA ==，又因为1AA ⊥平面ABCD ，则MN ⊥平面ABCD ，由NP ⊂平面ABCD ，可得MN NP ⊥.对于选项A ：在Rt MNP △中，1NP ==，可知动点P 的轨迹是以点N 为圆心，半径为1的半圆，所以动点P 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确对于选项B ：因为MN ∥1AA ，1BB ∥1AA ，则MN ∥1BB ，可知异面直线MP 与1BB 所成角即为PMN ∠，其正切值为1tan 2NP PMN MN ∠==，故B 错误；对于选项C ：因为线段MP 在平面ABCD 内的投影为NP ，结合选项A 可知：MP 在AB方向上的投影数量的最大值为1，所以MP AB ⋅的最大值为12AB ⨯= ，故C 正确；对于选项D ：设三棱锥P MAD -的外接球的球心为O ，半径为R ，因为MN ⊥平面ABCD ，且N 为PAD 的外接圆圆心，可知O MN ∈，则()2221R R =-+，解得54R =，所以三棱锥P MAD -的外接球表面积为225π4π4R =，故D 正确；故选：ACD.11.已知直线:10l kx y k +--=过定点P ，且与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，则（）A.点P 的坐标为()1,1 B.AB 的最小值是C.OA OB ⋅的最大值是0D.2PA PB ⋅=-【答案】ACD 【解析】【分析】将直线l 的方程化简为点斜式，判断出A 项的正误；根据OP l ⊥时l 被圆O 截得弦长最短，算出||AB 的最小值，从而判断出B 项的正误；利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出OA OB ⋅ 的最大值与PA PB ⋅的大小，从而判断出CD 两项的正误．【详解】根据题意，圆22:4O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r =．对于A ，直线10kx y k +--=，可化为1(1)y k x -=--，所以直线l 经过点(1,1)，斜率为k -，因此直线:10l kx y k +--=过定点(1,1)P ，A 项正确；对于B ，当OP l ⊥时，直线l 到圆心O的距离||d OP ==此时||AB ==，可知||AB的最小值是，故B项不正确；对于C ，()22212cos 4cos 412sin 4124124AB AB OA OB OA OB AOB AOB BOM r ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⋅=⋅∠=∠=-∠=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于||AB的最小值是，此时24124AB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取最大值，故最大值为0，故C 项正确；对于D ，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM AB ⊥，可得22()()()()||||PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA ⋅=+⋅+=+⋅-=-2222222(||||)(||||)||||242OP OM OA OM OP OA r =---=-=-=-=-，故D 项正确．故选：ACD ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量(0,1,1),(2,1,2)OA OB ==-，则点A 到直线OB 的距离为___________．【答案】1【解析】【分析】根据点到直线距离公式求出答案.【详解】OA 在OB方向上投影向量的模为||1OA OB d OB⋅== ，所以点A 到直线OB1==．故答案为：113.17世纪,笛卡尔在《几何学》中,通过建立坐标系,将代数对象与几何对象建立关系,从而实现了代数问题与几何问题的转化,创立了新分支——解析几何,我们知道,方程1x =在一维空间中,表示一个点;在二维空间中,它表示一条直线;在三维空间中,它表示一个平面,过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程是_________.【答案】2350x y z ++-=【解析】【分析】在空间直角坐标系中,若法向量为(),,n A B C =,且平面过点()000,,x y z ,那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得.【详解】过点()1,1,2P -,法向量为()1,2,3v =的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=,即2350x y z ++-=.故答案为:2350x y z ++-=.14.设R m ∈，过定点A 的动直线()270x m y ++-=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的取值范围是___________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】可得直线分别过定点()2,7-和()1,3且垂直，可得22||25.PA PB +=设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=,π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则π4PA PB θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求值域即可．【详解】由题意可知，动直线()270x m y ++-=，经过定点()2,7A -，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过定点()1,3B ，0m ≠ 时，动直线()270x m y ++-=和动直线30mx y m --+=的斜率之积为1-，0m =时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P 是两条直线的交点，PA PB ∴⊥，222||||25PA PB AB ∴+===．设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，由0PA ≥且0PB ≥，可得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()π5sin cos4PA PB θθθ⎛⎫∴+=+=+ ⎪⎝⎭，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ3π,444θ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142θ⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π4θ⎛⎫⎡∴+∈ ⎪⎣⎝⎭，故答案为：⎡⎣.【点睛】关键点点睛：因为222||||25PA PB AB +==，设ABP θ∠=，则5sin PA θ=，5cos PB θ=，则π4PA PB θ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可求得PA PB +的取值范围.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程．【答案】（1）()()221220x y ++-=（2）3460x y -+=或2x =-【解析】【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【小问1详解】易知−1,2到直线270x y ++＝的距离为圆A 半径r ，所以r ==，则圆A 方程为()()221220x y ++-=【小问2详解】过A 做AQ MN ⊥,由垂径定理可知90MQA ∠︒＝，且MQ =，在Rt AMQ 中由勾股定理易知1AQ ==当动直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为2x =-，经检验圆心到直线l 的距离为1，且根据勾股定理可知MN =，显然2x =-合题意，当动直线l 斜率存在时，l 过点()2,0B -，设l 方程为：()2y k x =+，由−1,2到l 距离为11=得34k =，代入解之可得3460x y -+=，所以3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．16.如图，边长为2的等边PDC △所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PD BC ⊥；（2）若N 为直线PA 上一点，且MN PA ⊥，求直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直进而得到线线垂直;（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAM 的法向量，利用向量夹角余弦公式求出直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值.【小问1详解】因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，BC CD ⊥，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥BC 平面PDC ，又因为PD ⊂平面PDC 所以.PD BC ⊥【小问2详解】如图，以D 点为原点，分别以直线,DA DC 为x 轴，y 轴，依题意，可得()0,0,0D ，(3P ，()0,2,0C ，()2,0,0A ，)2,2,0M ，所以2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，222(2)1(3)6PM ∴=++-6AM =，又MN PA ⊥ ，N ∴为PA 的中点.132,,22N ⎫∴⎪⎪⎝⎭，所以132,,22DN ⎫=⎪⎪⎝⎭，设 =s s 为平面PAM 的法向量，因为2,1,3PM =，()2,2,0AM =-，则00n PM n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即230220y z x y +-=+=⎪⎩，取1y =，可得2,3x z ==所以2,1,3n =为平面PAM 的一个法向量，设直线DN 与平面PAM 所成角为θ，则2sin cos ,336DN nDN n DN nθ⋅===⨯⋅，所以直线DN 与平面PAM 所成角的正弦值为2.317.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）2310x y --=，51(,77，（2）107.【解析】【分析】（1）设点B 的坐标是(,)m m ，由AB 的中点在直线CM 上，求得点B 的坐标，再求出点A 关于直线y x =的对称点即可求得直线BC 的方程，联立方程组求出点C 坐标.（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.【小问1详解】由点B 在y x =上，设点B 的坐标是(,)m m ，则AB 的中点12(,22m m ++在直线CM 上，于是1221022m m +++⨯-=，解得1m =-，即点(1,1)B --，设A 关于直线y x =的对称点为00(,)A x y '，则有00002112122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得0021x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A '，显然点(2,1)A '在直线BC 上，直线BC 的斜率为1(1)22(1)3k --==--，因此直线BC 的方程为21(1)3y x +=+，即2310x y --=，由2310210x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得51,77x y ==，则点51(,)77C ，所以直线BC 的方程为2310x y --=，点C 的坐标为51(,)77.【小问2详解】由（1）得413||7BC ==，点A 到直线BC的距离d ==，所以ABC V 的面积110||27S BC d =⋅=.18.如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC △沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥，连接PB 得三棱锥P ABC -，如图2．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；23【解析】【分析】（1）推导出PA AC ⊥，证明出⊥BC 平面PAB ，可得出PA BC ⊥，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：翻折前，因为四边形ABCD 为平行四边形，60D ∠= ，则60B ∠= ，因为22DC AD ==，则2AB DC ==，1BC AD ==，由余弦定理可得22212cos 4122132AC AB BC AB BC B =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以，222AC BC AB +=，则BC AC ⊥，同理可证AD AC ⊥，翻折后，则有BC AC ⊥，PA AC ⊥，因为PC BC ⊥，AC PC C = ，AC 、PC ⊂平面PAC ，所以，⊥BC 平面PAC ，因为PA ⊂平面PAC ，则PA BC ⊥，因为AC BC C = ，AC 、⊂BC 平面ABC ，所以，PA ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以点A 为坐标原点，BC 、AC、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0、0,0,1、()3,0C 、()3,0B -，设()()3,13,PM PC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()()()0,0,13,0,3,1AM AP PM λλλλ=+=+-=-，()3,0AB =-，设平面ABM 的法向量为(),,m x y z = ，则()30310m AB x m AM y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取1y λ=-，则3z λ=，)31x λ=-，所以，))31,1,3m λλλ=--，平面MBC 的一个法向量为(),,n a b c =，()3,1PB =-- ，()3,1PC =-，则3030n PB a b c n PC b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3b =，可得()3,3n = ，则()224335cos ,823413m n m n m n λλλ-⋅==⋅⨯-+ ，整理可得23λ=，因此，线段PC 上存在点M ，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，且23PM PC =.19.已知圆22:1O x y +=和点()1,4M --.（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线212y x =-截得的弦长为8的圆M 的方程；（3）设P 为（2）中圆M 上任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为Q ，试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请求出定点R 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1x =-或158170x y --=；（2）()()221436x y +++=；（3）存在；定点()1,4R 时，定值为22或定点14,1717R ⎛⎫⎪⎝⎭时，定值为346.【解析】【分析】（1）讨论斜率是否存在：当斜率不存在时，易判断1x =-为圆O 的切线；当斜率存在时，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，进而确定直线方程.（2）由点到直线距离公式可先求得点M 到直线2120x y --=的距离，再根据所得弦长和垂径定理，即可确定半径，进而得圆M 的方程；（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(,)R a b ，(,)P x y ，22PQPRλ=，根据切线长定理及两点间距离公式表示出22,PQ PR，代入22PQ PRλ=并结合圆M 的方程，化简即可求得144,a b λλλλ--==，进而代入整理的方程可得关于λ的一元二次方程，解方程即可确定,,a b λ的值，即可得定点坐标及PQPR的值.【详解】（1）若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为1x =-，为圆O 的切线；当切线O 的斜率存在时，设直线方程为()41y k x +=+，即40kx y k -+-=，∴圆心O1=，解得158k =，∴直线方程为158170x y --=综上切线的方程为1x =-或158170x y --=.（2）点()1,4M --到直线2120x y --=的距离为d ==，∵圆被直线212y x =-截得的弦长为8，∴6r ==，∴圆M 的方程为()()221436x y +++=.（3）假设存在定点R ，使得PQ PR 为定值，设(),R a b ，(),P x y ，22PQPRλ=∵点P 在圆M 上，∴()()221436x y +++=，则222819x y x y +=--+∵PQ 为圆O 的切线，∴OQ PQ ⊥，∴222211PQ PO x y =-=+-，()()222PR x a y b =-+-，∴()()22221x y x a y b λ⎡⎤+-=-+-⎣⎦21即()2228191281922x y x y ax by a b λ--+-=--+--++整理得()()()()2222288218190*a x b y a b λλλλλλλ-+++-+++---=若使()*对任意x ，y 恒成立，则222220882018190a b a b λλλλλλλ-++=⎧⎪-++=⎨⎪---=⎩，∴144a b λλλλ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入得2214418190λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理得23652170λλ-+=，解得12λ=或1718λ=，∴1214a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或1718117417a b λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴存在定点()1,4R ，此时PQ PR为定值2或定点14,1717R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时PQ PR为定值6.【点睛】本题考查了过圆外一点的切线方程求法，注意斜率不存在的情况，由几何关系确定圆的方程，圆中定点和定值问题的综合应用，属于难题.。
黑龙江省牡丹江市高三数学10月月考试题理
黑龙江省牡丹江市2018届高三数学10月月考试题 理一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中只有一个正确选项） 1.已知复数1iz i-=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 2 B.12C. 2D.22.已知集合{}{}210,,230,A x x x R B x x x x Z=-≥∈=--≤∈，则A B ⋂=（ ）A. ()1,3B.[]1,3 C.{}1,2,3 D.{}13.在等比数列{}n a 中，151,4a a =-=-，则3a =（ ）A.2±B.2±C.2D.2- 4.执行下图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ ） A.3 B.4 C.5 D.65.已知某个几何体的三视图如下图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )3cmA. 8π+B.283π+C. 12π+D.2123π+ 6.下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面；(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行；(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4（第4题）7.已知数列{}n a 为等差数列，若11101a a <-，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大值n 为（ ）A.11B.19C.20D.218.已知圆O 是ABC ∆外接圆，其半径为1，且2,1AB AC AO AB +==，则CA CB =（ ）A.32B. 3D. 9.数列{}n a 中对任意*,m n N ∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于（ ） A.712 B. 714 C. 74 D. 7810.已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB 的最小值为（ ）A.3-+3-+4-+D. 4-+11.已知数列n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦则2017a 一定是（ ） A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数侧视图主视图俯视图（第5题）12.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++， ()234201712342017x x x x g x x =-+-+--,设()()()23F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,m n m n m n Z <∈内，则n m -的最小值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.右图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型，数字1出现在第1行；数字2、3出现在第2行；数字6、5、4（从左至右）出现在第3行；数字7、8、9、10出在第4行；依次类推。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二月月考数学理试题含答案
牡一中2018级高二学年上学期10月月考理数试卷一、选择题（每题5分，共60分）1、抛物线错误！未找到引用源。
的焦点坐标为( )A )2,0(B )321,0( C )0,2( D )0,321( 2、 椭圆22115x y m +=的焦距等于2，则m 的值为（ ）A 5或3B 16或14C 5D 163、曲线C ：⎩⎨⎧+=-=1sin 1cos θθy x ，（θ为参数）的普通方程为（ ）A ()()11122=++-y x B ()()11122=+++y xC ()()11122=-++y x D ()()11122=-+-y x4、若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A23 B 32- C 32 D 23- 5、 已知动圆过点()1,0，且与直线1x =-相切，则动圆圆心的轨迹方程为 （ ）A 122=+y x B 122=-y xC x y 42= D 0=x6、抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(),1P m 到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A y x 82=B y x 162=C y x 82-= Dy x 162-=7、设R n m ∈,，若直线()()0211=-+++y n x m 错误！未找到引用源。
与圆()()11122=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（ ）.A ．错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
8、已知抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ） A 23- B21 C 21- D 22 9、已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A 1m ≥B 1,01m m ≥<<或C 1,5m m ≥≠且 D05,1m m <<≠且10、已知点)0,1(A ,椭圆134:22=+y x C ，过点A 作直线交椭圆C 于P,Q 两点，→-→-=QA AP 2,则直线PQ 的斜率为（ ） A25B 5C 5±D 25±11、若双曲线()2220x y aa -=>的左右顶点分别为,A B ，点P 是第一象限内双曲线上的点，若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且()1m m βα=>，那么α的值是（ ） A21m π- B2m π C 21m π+ D 22m π+12、 圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切,则以下图形可能是圆P 的圆心轨迹的有( )个① ② ③ ④ ⑤A 2B 3C 4D 5二、填空题（每题5分，共20分）13、点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在圆222210x y y m m +-+--=外，则实数m 的取值范围是________14、已知点P 为抛物线y 2=4x 上一点，记点P 到此抛物线的准线的距离为d 1，点P 到直线x+2y-12=0的距离为d 2，则d 1 +d 2的最小值为________ 15、 给出下列命题：1）动点P 到直线x+4=0的距离与到点M(2,0)的距离之差等于2，则点P 的轨迹是抛物线；2）若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是)4,(),1(--∞+∞Y ；3）已知)0,5(),0,5(B A -，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积为94-，则点M 的轨迹方程为110092522=+y x ；4）已知双曲线方程为1222=-y x ，则过点)1,1(P 可以作一条直线l 与双曲线交于B A ,两点，使点P 是线段AB 的中点。
2023—2024学年黑龙江省牡丹江市高二上学期10月月考数学试题(含答案)
【详解】因为直线 PQ 平行于 x 轴，且 PQ 1 a ， 2
设点 P
位于第一象限，将 x
1 a 代入
4
x2 a2
y2 b2
1可得
y
15 b ， 4
所以点
P
坐标为
1 4
a,
15 4
b
，
因为 PQO π ，根据对称性可得△POQ 为等边三角形， 3
所以 OP PQ 即 1 a2 15 b2 1 a ，整理可得： a2 5b2 ， 16 16 2
可得 a2 6a 5 0 ，解得 a 1 或 a 5 ，
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ，
圆心 到直线
的距离均为 d1
211 3 5
2 5； 5
圆心
到直线
的距离均为 d2
2553 5
2 5 5
圆心到直线 2x y 3 0 的距离均为 d 2 2 5 ； 55
所以，圆心到直线 2x y 3 0 的距离为 2 5 .
线 l 上任意一点 Q 的距离要大于等于d ，从而求得结果.
【详解】由题设条件可知， AP (3, 1,1) ，
所以 n AP 1 (3) 0 (1) (1) 1 4 ，
（1）求椭圆 C1 的标准方程；
（2）过点 C 1, 0 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A ， B 两个不同的点，求 OAB 面积的最大值．
22．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
1 2
，左､右焦点分别为 F1, F2
，过 F1 且垂直于 x 轴
的直线被椭圆 C 所截得的弦长为 6.
所以 e
最新-黑龙江省牡丹江市2018学年高二数学上学期期末考
牡一中2018----2018学年度上学期期末考试高二学年数学（文科）试题一、选择题：1、点M的直角坐标是1)-，在0,02ρθπ≥≤<的条件下，它的极坐标是（ ）A 11(2,)6πB 5(2,)6πC )6πD 11)6π2、椭圆22321x y +=的焦点坐标是（ ）A (0, )、(0,66) B (0,-1)、(0,1) C (-1,0)、(1,0) D (,0)、(66,0) 3、“0x ≠”是“0x <”的 （ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件.4、命题：“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是( )A 若11,x x ≥≤-或则21x ≥B 若21x <，则11x -<<C 若21x >，则11x x ><-或D 若21x ≥，则11x x ≥≤-或 5、在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）A2 B6、在方程⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x （θ为参数且θ∈R ）表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）A （2，-7）B （1，0）C （21，21） D （91，32）7、直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A (3,3)-B (C 3)-D (3,8、若0ab ≠，则方程22()()0ax y b bx ay ab -++-=表示的曲线只可能是（ ）B C DA B C D9、双曲线2221(0,0)x y a b a b >>2－＝的一条渐近线的倾斜角为3π，离心率为e ，则2a eb＋的最小值为（ ） C10、直线12(2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数）被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A12511、直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为（ ）1 D 4-12、直线4mx ny +=与圆224x y +=没有公共点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点的个数是（ ）A 至多一个B 2个C 1个D 0个 二、填空题：13、如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M 的值是 14、命题“存在()0,x ∈+∞，使得ln 10x x +-≤成立”的否定是________________； 15、已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ，若点(,)P x y 在该圆上，则xy的最大值是_______ 16、已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点到准线的距离为14，且C 上的两点1122(,),(,)A x y B x y 关于直线y x m =+对称，并且1212x x =-，那么m =_______ 三、解答题：（17题10分，其余每题12分）17、已知下列两个命题：:p 函数224()[2,)y x mx x R =-+∈+∞在上单调递增；:q 关于x 的不等式244(2)10()x m x m R +-+>∈的解集为R ，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围。
2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高二上学期10月月考数学（文）试题
2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．椭圆22236x y +=的长轴长是（ ）A ．BC ．D ．【答案】D【解析】先把椭圆方程整理成标准方程，再根据椭圆的性质可知a 的值，进而求得椭圆的长轴长． 【详解】整理椭圆方程2x 2+3y 2＝6得22132x y+=，∴a =长轴长为2a =．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．在解决椭圆问题时，一般需要把椭圆方程整理成标准方程，进而确定a ，b 和c ．2 ） A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -= D ．221410x y -= 【答案】B【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B.3．下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是（ ） A ．22y x = B ．2y x =-C ．22x y =D ．24x y =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项，求出选项中抛物线方程中的p ，即可得其焦点到准线的距离，比较即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，抛物线的方程为y 2＝2x ，其中p ＝1，即其焦点到准线的距离为1，对于B ，抛物线的方程为y 2＝﹣x ，其中p 12=，即其焦点到准线的距离为12， 对于C ，抛物线的方程22x y =，即x 212=y ，其中p 14=，即其焦点到准线的距离为14，对于D ，抛物线的方程为x 2＝-4y ，其中p ＝2，即其焦点到准线的距离为2， 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，注意抛物线的方程中p 的几何意义． 4．下列命题正确的个数为（ ）（1）已知定点12,F F 满足128F F =，动点P 满足128PF PF +=，则动点P 的轨迹是椭圆；（2）已知定点12,F F 满足128F F =，动点M 满足128MF MF -=，则动点M 的轨迹是一条射线；（3）当1＜k ＜4时，曲线C ：2241x y k k +--=1表示椭圆；（4）若动点M 的坐标满足方程34x y =+，则动点M 的轨迹是抛物线。
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2017年高二学年10月月考 文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A 9B 4C 3D 22、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A x y 2±=B x y 2±=C x y 21±= D x y 22±= 3、已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A 22132x y +=B 2213x y += C 221128x y += D 221124x y += 4、抛物线)0(22>=p px y 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是（ ）A 4B 8C 16D 32 5、直线L 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到直线L 的距离为其短轴长的14, 则该椭圆的离心率为（ ）A 12B 13C 41 D 236、已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线7、已知F 是抛物线x y 42=的焦点，M 是抛物线上的一个动点，P(3，1)是一个定点，则MF MP +的最小值为（ ）A 2B 3C 4D 58、椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的余弦值为（ ） A 21-B 12C 23-D 239、点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的点，21,F F 是其焦点，双曲线的离心率是45，且021=∙PF PF ,若21PF F ∆的面积是9，则b a +的值等于（ ） A 4 B 7 C 6 D 510、 抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是（ ） A58 B 57 C 34D 3 11、已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=，线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )A 2-B 3 1 D 4-12、抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点B A ,为抛物线上的两个动点，且满足0120=∠AFB ，过弦AB 的中点M 作准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||AB MN 的最大值为（ ） A 1 B332 C 2 D 33二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、若方程13522=-+-k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围为 14、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是15、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，则椭圆C 的方程为16、已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，且I ab F F ,||221=为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 。
三、解答题：17、（10分）已知直线42-=x y 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，求弦长||AB 的值。
18、（12分）（1）已知椭圆的离心率为47，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。
（2）已知双曲线过点)5,6(-A ，一个焦点为)0,6(-，求双曲线的标准方程。
19、(12分) 已知直线233-=x y 与双曲线131222=-y x 的右支交于B A ,两点，且在双曲线的右支上存在点C ，使t =+，求t 的值及点C 的坐标。
20、（12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点)0,1(F ，O 为坐标原点，B A ,是抛物线C 上异于O 的两点，若直线OB OA ,的斜率之积为21-，求证：直线AB 过x 轴上一定点。
21、（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，长轴长为62。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q 。
当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积。
22、（12分）已知椭圆2222:1(0),x y C a b a b +=>>其左，右焦点分别为12,F F点(,R 又点2F 在线段1RF 的中垂线上。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为12,A A ，点P 在直线x =-(点P 不在x 轴上)，直线1PA 与椭圆C 交于点,N 直线2PA 与椭圆C 交于,M 线段MN 的中点为Q ，证明：12A Q MN = 。
牡一中2017年高二学年10月月考数学（文科） 试题答案17、5318、（1）；191622=+y x （2）1201622=-y x 19、)3,34(,4D t =20、解：抛物线方程为x y 42=，当直线AB 斜率不存在时，设),4(020y y A ),4(020y y B -，由斜率之积为21-得322=y ，此时直线AB 方程为8=x 。
当直线AB 斜率存在，设方程为m kx y +=，与x y 42=联立得0442=+-m y ky ，k m y y 421=∴。
又212121-=x x y y 解得k m 8-=即)8(-=x k y ，综上所述，直线AB 过定点)0,8(21、解（1）椭圆C 的标准方程为22162x y +=. （2）设T 点的坐标为（3-，m ），则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式.设1122(,),(,)P x y Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩.消去x ，得22(3)420m y my +--=.其判别式22168(3)m m ∆=++>0 所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+，1212212()43x x m y y m -+=+-=+. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩.解得1m =±.此时四边形OPTQ的面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅⋅-==22、解:（Ⅰ）6,33c e a =∴= )0,(2c F 在PF 1的中垂线上, 222122||||,(2)),FF RF c c ∴==+即 解得1,3,2===b a c 22 1.3x C y ∴+=椭圆的方程为……………… 4分(Ⅱ)由(1)可知12((,)M M A AM x y设1PA 的方程为(y k x =（0k≠），则P 坐标（-） 所以23PAk K =， 所以2PA 方程为(3ky x = 由方程组22(31.3k y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得 2222(3)390k x x k +-+-= …8分223(3)3M k k -=+,所以M x =，(3M M k y x == 因为1MA K =1MA K =1k -，所以11MA NA ⊥，则三角形1MNA 为直角三角形，Q 为斜边中点， 所以12AQ MN = ……………… 12分。