2016届二轮三角函数、三角变换、解三角形、平面向量专题综合检测文(全国通用)

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高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三

第2讲三角恒等变换与解三角形（文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1）边、角、面积的计算;（2）有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱（理科)年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10Ⅱ卷17解三角形求角和周长的12（文科）KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换错误!错误!错误!错误!三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β。

(2）cos(α±β）＝cos αcos β∓sin αsin β。

(3)tan(α±β)＝错误!。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α。

（2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.（3）tan 2α＝错误!.3．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）（其中tan φ＝错误!)典错误!错误!错误!典例1（1)（2020·全国Ⅱ卷模拟）cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝（A)A．错误!B．错误!C．错误!＋错误!D．错误!(2)(2020·宜宾模拟）已知α∈错误!,且3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则sin 2α＋cos 2α＝（A)A．1B．－错误!C．－错误!或1D．－1（3）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin2错误!－错误!.①求f（x)的单调递增区间;②若x∈错误!，f（x)＝错误!,求cos 2x的值．【解析】（1）原式＝cos240°＋2sin 35°cos 35°sin 10°＝cos240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°）＝错误!＋错误!cos 60°＝34。

高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意：相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案－152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan －＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－＋2k π，＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )，减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间：－＋ k π，＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的最小正周期为 π，为奇函数．易错警告：求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋＝ (α＋ β)－ β－， α＝ α＋－ .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告：投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象，需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是－1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)，其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案－725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋＝，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－， f(－ 12)＝－ 2 )＝，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－， ] 上的最大值为 4.4 42。

2016版高考数学二轮：3.2《三角变换与解三角形》试题(含答案)课件

第2讲三角变换与解三角形1．(2015·课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.122．(2014·福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 3．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 4．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( )A ．－45B ．－35C.45D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)3cos 10°－1sin 170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4热点二正弦定理、余弦定理 (1)正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．思维升华关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________________．(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．思维升华解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练3 已知函数f (x )＝2cos x 2(3cos x 2－sin x2)，在△ABC 中，有f (A )＝3＋1.(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝1，求△ABC 面积的最大值．1．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C 等于( ) A.1313 B.35 C.45 D.239132．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．二轮专题强化练专题三第2讲三角变换与解三角形A 组专题通关1．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210C ．－210或7210D ．－72102．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.63653．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 35．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 36．(2015·兰州第一中学期中)已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________．7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8.如图，在一个塔底的水平面上的点A 处测得该塔顶P 的仰角为θ，由点A 向塔底D 沿直线行走了30 m 到达点B ，测得塔顶P 的仰角为2θ，再向塔底D 前进10 3 m 到达点C ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔PD 的高度为________m.9．(2015·安徽皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．10．已知f (x )＝2sin(x －π12)－3，现将f (x )的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数g (x )的图象． (1)求f (π4)＋g (π6)的值；(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＋c ＝4，且当x ＝B 时，g (x )取得最大值，求b 的取值范围．B 组能力提高11．(2015·成都新都一中月考)若α∈(0，π2)，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.13．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为120°，BC →＝2BD →，且AD ＝2，∠ADC ＝120°，则△ABC 的面积等于________．14．(2015·四川)如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B2＋tanC2＋tan D2的值．学生用书答案精析第2讲三角变换与解三角形高考真题体验1．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．2 3解析如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－32×23＝2 3. 3. 6解析由正弦定理得AB sin∠ADB ＝ADsin B ，即2sin∠ADB ＝3sin 120°，解得sin∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 4.6－24解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”．故cos C 的最小值为6－24.热点分类突破例1 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.跟踪演练1 (1)C (2)D 解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.(2)3cos 10°－1sin 170°＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝－12sin 20° ＝－2sin 20°12sin 20°＝－4，故选D.例2 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD s in∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 跟踪演练2 (1)(6－2，6＋2) (2)C解析 (1)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2. ∴6－2<AB <6＋ 2.(2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 例3 解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 跟踪演练 3 解 (1)f (x )＝2cos x 2(3·cos x 2－sin x 2)＝23cos 2x 2－2sin x 2·cos x 2＝3＋3cos x －sin x＝3＋2sin(π3－x )，由f (A )＝3＋1，可得3＋2sin(π3－A )＝3＋1，所以sin(π3－A )＝12. 又A ∈(0，π)，所以π3－A ∈(－2π3，π3)，所以π3－A ＝π6，即A ＝π6. 由a 2－c 2＝b 2－mbc 及余弦定理，可得m 2＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32，所以m ＝ 3.(2)由(1)知cos A ＝32，则sin A ＝12，又b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ＝32，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ≥2bc －a 2，即bc ≤(2＋3)a 2＝2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34，即△ABC 面积的最大值为2＋34. 高考押题精练1．D [因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ·BA ·sin B ＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA ·cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913.] 2．解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32. (2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12，易得f (A )＝sin(3A －π6)－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，所以sin 2A ＝sinB sinC ，所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)，因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．二轮专题强化练答案精析第2讲三角变换与解三角形1．A [∵α∈(π2，π)， ∴α＋π4∈(34π，54π)， ∵sin(α＋π4)＝35， ∴cos(α＋π4)＝－45， ∴cos α＝cos(α＋π4－π4) ＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.] 2．D [由f (3α＋π)＝165，得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165，即4sin(α＋π2)＝165，所以cos α＝45，又α∈[0，π2]，所以sin α＝35. 由f (3β＋5π2)＝－2013，得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013，即sin(β＋π)＝－513，所以sin β＝513. 又β∈[0，π2]，所以cos β＝1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.] 3．B [由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．]4．C [由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.]5．D [由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.] 6.334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154 ＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．15解析依题意有PD ⊥AD ，BA ＝30 m ，BC ＝10 3 m ，∠PAD ＝θ，∠PBD ＝2θ，∠PCD ＝4θ，所以∠APB ＝∠PBD －∠PAD ＝θ＝∠PAD .所以PB ＝BA ＝30 m.同理可得PC ＝BC ＝10 3 m.在△BPC 中，由余弦定理，得cos 2θ＝32＋302－322×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在△PCD 中，PD ＝PC ×sin 4θ＝103×32＝15(m)． 9．解 (1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc 可得a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝37bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－117bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114，所以sin A ＝1－cos 2A ＝5143，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(1114×12－5314×32)＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437，在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A ，得c ＝a sin C sin A＝8， ∴S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 10．解 (1)因为g (x )＝2sin[(x ＋π4)－π12]－3＋3＝2sin(x ＋π6)，所以f (π4)＋g (π6)＝2sin(π4－π12)－3＋2sin π3＝1. (2)因为g (x )＝2sin(x ＋π6)，所以当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ∈π3＋2k π(k ∈Z )时，g (x )取得最大值．因为x ＝B 时g (x )取得最大值，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 而b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝16－3ac ≥16－3·(a ＋c 2)2＝16－12＝4，所以b ≥2.又b <a ＋c ＝4，所以b 的取值范围是[2,4)．11.12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4且tan α>0， ∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12，故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12. 12．100 6解析在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC ＝ABsin∠ACB ，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．2 3解析在△ABC 中，因为∠ADC ＝120°，所以∠ADB ＝60°，因为向量AB →，BC →的夹角为120°，所以∠B ＝60°，所以△ADB 为等边三角形．因为AD ＝2，所以AB ＝BD ＝2.因为BC →＝2BD →，所以点D 为BC 的中点，所以BC ＝4，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×4×sin 60°＝2 3. 14．(1)证明 tan A 2＝sin A 2cos A 2 ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . (2)解由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B ，由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－－A －A ＋1－0°－B －B ＝2sin A ＋2sin B . 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD＝62＋52－32－42＋＝37，于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC ，同理可得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610 ＝4103.。

2016届高考数学新课标全国二轮复习素能演练提升6三角函数、解三角形及平面向量含答案

素能演练提升六一、选择题1.设向量a=(x，1)，b=（4，x)，a·b=-1,则实数x的值是()A。

-2 B。

—1 C。

-D。

-解析：因为a·b=—1,所以4x+x=—1,解得x=—。

答案:D2。

（2015课标全国Ⅰ高考，理5)已知M（x0,y0）是双曲线C:-y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点。

若<0,则y0的取值范围是(）A.B.C.D.解析:由条件知F1(-，0),F2(，0）,∴=(——x0,-y0），=（—x0,-y0)，∴—3<0。

①又=1,∴=2+2。

代入①得，∴-〈y0<。

答案：A3。

(2015课标全国Ⅰ高考,理7)设D为△ABC所在平面内一点,=3，则（)A.=—B.C。

D。

解析:如图：∵=3,∴)=—.答案：A4.直线l1与l2相交于点A，点B，C分别在直线l1与l2上，若的夹角为60°，且|｜=2,|｜=4,则｜|=（）A。

2 B。

2 C。

2 D.2解析:由题意，在△ABC中，∠A=60°,AB=2，AC=4，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2—2·AB·AC·cos A，得BC=2，故选B。

答案：B5。

已知向量a=（-3,4），b=(1，m)，若a·（a-b）=0，则m=（)A. B.- C.7 D.—7解析:a-b=(—4,4—m）,a·（a-b）=（—3)×（—4)+4(4-m)=28—4m=0，m=7。

答案:C6。

(2014河北保定高三调研，8)已知A，B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上，则使等式x2+x=0成立的实数x的取值集合为（)A.｛-1｝B。

⌀C。

｛0｝ D。

{0,-1}解析:∵,∴x2+x·=0，即=-x2·+(1—x),∴-x2+（1—x)=1,即x=0或x=-1（x=0舍去),∴x=-1.答案：A二、填空题7。

高考数学(理)二轮复习专题综合检测试题三角函数三角变换解三角形平面向量

高考数学专题：三角函数、解三角形、平面向量、数列一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________．2.若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．3．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC→，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝________． 4．设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝________．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a·b =____．7．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x＜2π)取得最大值时，x ＝____．8．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．三、解答题9.已知3tan 44x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（42x ππ<<）. （Ⅰ）求tan x 的值；（Ⅱ）求2sin 22sin cos 2x x x-的值.10.已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数a 和b 的值；（Ⅱ）若[0]x π∈，，求()f x 的最大值及相应的x 值 .11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知)1tan (tan 3tan tan -⋅=+C A C A ，且7,22ABC b S ∆==．求：（I ）角B ；（II ）a + c 的值．12、在ABC ∆中，角A ，B ，C 分别所对的边为c b a ,,，且C B A A B 2sin cos sin cos sin =+， A B C ∆的面积为34.：(Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2=a ，求边长c.13．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2bsin A.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b.14．已知函数f(x)＝（sin x －cos x ）sin 2x sin x. (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．15、设函数=)(x f ⋅p q ,其中向量()sin ,cos sin x x x =+p , ()2cos ,cos sin x x x =-q ,x ∈R . （I ）求)3(πf 的值及函数)(x f 的最大值；（II ）求函数)(x f 的单调递增区间.16．函数f(x)＝6cos 2ωx 2＋ 3 sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值．17．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．18．已知函数f(x)＝sin x ＋acos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0. (1)求实数a 的值； (2)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间．19．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2，1(x ∈R)，设函数f(x)＝m ·n －1. (1)求函数f(x)的值域； (2)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f(A)＝513，f(B)＝35，求f(C)的值．20、在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且满足2b ac =.（Ⅰ）求证：03B π<≤；（Ⅱ）求函数1sin 2sin cos B y B B+=+的值域.21、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos C －ccos （A+C ）=3a cos B . （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且6=a ，求b 的值.22、已知数列{}n a 满足*1221(,2)n n n a a n N n -=+-∈≥，且481a =（1）求数列的前三项123a a a 、、的值；（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}2n na λ+为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列{}n a 通项公式。

三角函数、解三角形综合测评试题(含答案)

高中数学阶段综合测评试题测试范围：三角函数、解三角形 (时间：120分钟满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为( ) A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.5π42．(改编题)点A (sin2 013°，cos2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(改编题)已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33D ．－334．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( ) A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数5．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 6．(2013·东北四校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象如图所示，AB →·BD →＝( ) A ．8 B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋87．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或5258．(2013·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定10．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．(2013·石家庄一模)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数12．(2013·长春调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 14．(2013·山西名校联考)已知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为________．15．(2013·东北三校第一次联考)在△ABC 中，2sin 2A2＝3sin A ，sin(B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.16．(2013·唐山统考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α. 18．(12分)(2013·石家庄质检二)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．19．(12分)(2013·石家庄一模)如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果．20．(12分)(2013·安徽联谊中学联考)设函数f (x )＝sin x －3cos x ＋x ＋1. (1)求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，f ′(B )＝3且a ＋c ＝2，求边长b 的最小值．21．(12分)(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．(1)若4S ＝a 2＋b 2－c 2，求角C ；(2)若43S ＝a 2＋b 2＋c 2，试判断△ABC 的形状．22．(12分)如图，点A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形，记∠COA ＝α.(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC →|的取值范围．阶段综合测评详解答案1．B 所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，故选B.2．C 由于2 013°＝5×360°＋213°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin2 013°<0，cos2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.3．A 由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.4．C y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin2x )·cos2x ＝－22sin4x ，因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C.5．D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 6．C T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π4×π2＋2×(－4)＝π28－8.7．A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.8．B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin2x ，又函数y ＝1＋sin2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.9．C 根据分析可得函数的半周期为3，即12×2πω＝3，得ω＝π3. 函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，取φ＝－π2.所以函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2. 令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3]，k ∈Z ，故选C.10．B ∵tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝6020＝3，tan ∠DCA ＝6050－20＝2，∴tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan(∠ADC ＋∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1，∴∠DAC ＝45°.11．D 由f (1)＝0得，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0即π2＋φ＝k π(k ∈Z )φ＝k π－π2(k ∈Z )故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋k π－π2＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为偶函数，f (x －3)＝±A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x －3)＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －32π＝±A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为奇函数．故选D.12．C 依题意得，cAC →＋aP A →＋bPB → ＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b2＝0，c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，选C.13.17解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35 得cos α＝－1－sin 2α＝－45，故tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.14．12解析：由题意知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，∴x 1，x 2，x 3，x 4是sinπx ＝1x －3在(0，＋∞)上的实数根．显然x 1，x 2，x 3，x 4均大于0.分别绘出sinπx 和1x －3在(0，＋∞)上的函数图象如图所示，显然，sinπx 和1x －3均关于点(3,0)中心对称．要使x 1＋x 2＋x 3＋x 4最小，x 1，x 2，x 3，x 4应为图象上的前四个交点的横坐标．显然x 1，x 4与x 2，x 3亦关于点(3,0)对称．∴x 1＋x 42＝3，x 1＋x 4＝6，同理x 2＋x 3＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为12. 15.1＋132解析：由2sin 2A 2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0<A <π，π6<A ＋π6<7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C .设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 16.11解析：∵S △ABC ＝12AB ×43＝12AC ·BC sin60°，∴12×3×43＝12AC ·BC sin60°，∴AC ·BC ＝83.由余弦定理可知cos60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC， ∴cos60°＝AC 2＋BC 2－32×83，∴AC 2＋BC 2＝173.又(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 17．解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125， ∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15， ∴sin α＝±55.18．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin2x ＋2cos 2x －2＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，所以f (x ) 的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.19．解：第一步：在△AEF 中，利用正弦定理，AE sin β＝EF sin (180°－α－β)，解得AE ＝αsin βsin (α＋β)；第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝αsin φsin (θ＋φ)；第三步：在△ACE 中，利用余弦定理，AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos γ ＝ a 2sin 2βsin 2(α＋β)＋a 2sin 2φsin 2(θ＋φ)－2a 2sin βsin φcos γsin (α＋β)sin (θ＋φ) 20．解：(1)当x ＝0时，f (0)＝1－3，则切点(0,1－3)，∵f ′(x )＝cos x ＋3sin x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1， ∴k ＝f ′(0)＝2sin π6＋1＝2. ∴切线方程l ：y －(1－3)＝2(x －0)，即y ＝2x ＋(1－3)．(2)由(1)可知f ′(B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∴B ＝π3.由余弦定理可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ≥4－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝4－3＝1，当且仅当a ＝c ＝1时取“＝”， ∴b 2≥1，由b >0可知b ≥1，∴b min ＝1.21．解：(1)由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以4S ＝a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝4×12ab sin C ，即tan C ＝1. 而C ∈(0，π)，故C ＝π4.(2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，于是43S ＝43×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C ) 即3ab sin C ＋ab cos C ＝a 2＋b 2，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝a 2＋b 2≥2ab ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，而C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，所以C ＋π6＝π2，即C ＝π3，将C ＝π3代入条件得2ab ＝a 2＋b 2，即a ＝b ，故△ABC 为正三角形．22．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，所以0<α<π2，sin α＝45，cos α＝35，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝20. (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos(α＋60°)， sin ∠COB ＝sin(∠COA ＋60°)＝sin(α＋60°)，所以B 点坐标为(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．所以|BC →|＝[cos (α＋60°)－1]2＋sin 2(α＋60°) ＝2－2cos (α＋60°).因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以30°<α<90°， ∴－32<cos(α＋60°)<0，所以2<|BC →|<2＋ 3.。

2016届高三数学(理)专题复习检测专题二三角函数与平面向量真题体验含答案

专题二三角函数与平面向量真题体验引领卷B. AD = *AB -3ACC.AD =細 +D.AD = 3AB - 3AC4. （2014江西高考）在厶ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别是a ,…_2si n 2B — sin 2A —b ,c ,若3a = 2b ,则的值为（）1. (2015 全国卷 I )sin 20° cos 10° —cos 160° sin 10° =()A.並 B .F2 2C.1 D.12 22.(2014全国卷I )若tan a >0，则（ ) A. sin a >0 B . cos a >0 C . sin 2 a >0 D . cos2(% >03. （2015全国卷I ）设D ABC 所在平面内一点， BC = 3CD ,( )、选择题则A.AD =-3A B + 3AC1C. 15. (2014 四川高考)平面向量a= (1, 2), b= (4, 2), c= m a+ b(m€ R),且c与a的夹角等于c与b的夹角，贝S m =( )A . - 2 B. - 1C. 16. （2015全国卷I ）函数f（x）= cos@x+妨的部分图象如图所示，则f （x）的单调递减区间为（）( 1 3)A. kn -4, k n+ 4 , k€ ZB. 2k n-4, 2k n + 3j, k€ ZC. k-： k+ 3 j, k€ ZD. 2k-4, 2k+ 4j, k€ Z 二、填空题7. （2015天津高考）在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,_ 1b, c,已知△ ABC 的面积为3 15, b-c= 2, cos A=-4,贝S a 的值8. (2015全国卷I )在平面四边形 ABCD 中，/A =Z B =Z C = 75°, BC = 2,则AB 的取值范围是 __________ .1 9. (2015浙江高考)已知e i , e 2是空间单位向量，e i •空=2,若空间 5向量 b 满足 b e i = 2, b e = 2,且对于任意 x, y € R , |b — (x e i + y e 2)|》|b—(x o e i + y °e 2)|= l(x o , y 。

高优指导高考数学二轮复习专题能力训练9 三角变换、平面向量与解三角形文

专题能力训练9 三角变换、平面向量与解三角形一、选择题1.已知sin2α=,则cos2=( )A. B.-C. D.-2.若平面向量a与b的夹角为60°,a=(6,0),|b|=1,则|a+2b|=( )A. B.2C.4D.123.已知锐角A,B满足2tan A=tan(A+B),则tan B的最大值为( )A.2B.C. D.4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则B=( )A. B.C. D.5.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=60°,设=λ,则实数λ=( )A. B.C. D.36.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C,则sin A+sin B的最大值为( )A.1B.C. D.3二、填空题7.在△ABC中,若sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状为.8.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(m a+n b)∥(a-2b),则等于.9.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2=2b+c2,且tan A=3tan C,则b=.三、解答题10.(2014江苏高考,15)已知α∈,sinα=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.11.已知a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.12.已知函数f(x)=sincos+sin2,其图象的两个相邻对称中心的距离为,且过点.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=,S△ABC=2,角C为锐角,且满足f,求c的值.答案与解析专题能力训练9 三角变换、平面向量与解三角形1.C 解析:cos2=,故选C.2.B 解析:由题意知|a|=6,∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=36+4×6×1×cos60°+4=52,∴|a+2b|=2.3.D 解析:由2tan A=tan(A+B)可得2tan A=,∴2tan2A tan B-tan A+tan B=0.∴tan B=,又A为锐角,∴2tan A+≥2,∴tan B≤,故选D.4.C 解析:由sin A=,sin B=,sin C=,代入整理得⇒c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cos B=,所以B=,故答案为C.5.C 解析:由=λ,得λ,因此共线.设C点坐标为(x,)(x<0),∵∠AOC=60°,∴∠BOC=30°.∴=tan30°=.∴x=-1,∴=(-1,0).∵=(-3,0),∴λ=.6.C 解析:∵c sin A=a cos C,∴sin C sin A=sin A cos C,即sin C=cos C.∴tan C=,C=,A=-B.∴sin A+sin B=sin+sin B=sin.∵0<B<,∴<B+.故当B+,即B=时,sin A+sin B的最大值为,应选C.7.直角三角形解析:sin(A-B)=1+2cos(B+C)·sin(A+C)=1-2cos A sin B,∴sin A cos B-cos A sin B=1-2cos A sin B,∴sin A cos B+cos A sin B=1,即sin(A+B)=sin C=1,∴∠C=.故△ABC为直角三角形.8.-解析:m a+n b=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).由(m a+n b)∥(a-2b)⇒-(2m-n)=4(3m+2n),整理得14m=-7n,则=-.9.4 解析:(方法一)在△ABC中,∵tan A=3tan C,∴sin A cos C=3cos A sin C,则由正弦定理及余弦定理有a·=3·c,化简并整理得2(a2-c2)=b2.又由已知得a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍).(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bc cos A.又a2-c2=2b,b≠0,∴b=4c cos A+2.①∵tan A=3tan C,∴sin A cos C=3cos A sin C.∴sin A cos C+cos A sin C=4cos A sin C,即sin(A+C)=4cos A sin C,也即sin B=4cos A sin C.由正弦定理得sin B=sin C,故b=4c cos A.②由①②解得b=4.10.解:(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα==-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2×=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×,所以cos=coscos2α+sinsin2α==-.11.解:(1)4a-c=(4sinθ,4)-(0,3)=(4sinθ,1).∵(4a-c)∥b,∴4sinθcosθ-1=0.∴sin2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或2θ=,即θ=或θ=.(2)a+b=(sinθ+1,1+cosθ),|a+b|==,由(1)知-<θ+,∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].12.解:(1)f(x)=sin(ωx+φ)+[1-cos(ωx+φ)]=sin.∵其图象的两个相邻对称中心的距离为,则T=π,∴=π.∵ω>0,∴ω=2.又f(x)的图象过点,∴sin=1,即sin.∴cosφ=.∵0<φ<,∴φ=.∴f(x)=sin.(2)∵f=sin=sin C+,∴sin C=.∵0<C<,∴cos C=.又a=,S△ABC=ab sin C=×b×=2,∴b=6.由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C=21,∴c=.。

高考数学(理)二轮专题复习检测：专题三三角函数、解三角形、平面向量专题能力训练8 含答案

专题能力训练8平面向量及其综合应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为()A.2B.-C.D.-23.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),则|a+2b|=()A.2B.C.D.24.已知平面向量a,b,c满足c=x a+y b(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.()A.若a·b<0,则x>0,y>0B.若a·b<0,则x<0,y<0C.若a·b>0,则x<0,y<0D.若a·b>0,则x>0,y>05.△ABC所在平面上的动点P满足=λ(tan B+tan C),其中λ>0,则动点P一定经过△ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心6.已知△ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且,则△ABC的面积的最大值为()A.3B.4C.3D.47.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记m i=(i=1,2…,10),则m1+m2+…+m10的值为()A.15B.45C.60D.1808.如图,扇形OAB中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为()A.0B.C.D.1-二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.在边长为1的正方形ABCD中,2,BC的中点为F,=2,则=.10.若平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b的最小值为.11.已知向量a,b及实数t满足|a+t b|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tanα=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.设P为△ABC所在平面上一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为.14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC==120.(1)求cos∠BAD;(2)设=x+y,求x,y的值.16.(本小题满分15分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,,(1)若=4,=-1,求的值;(2)若P为AD上任一点,且恒成立,求证:2AC=BC.参考答案专题能力训练8平面向量及其综合应用1.A解析m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn.故选A.2.A解析因为,则,即=2-=2.3.B解析向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·b=5,解得a·b=0.|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+16=17,所以|a+2b|=.故选B.4.A5.D解析∵=λ(·tan B+tan C)=λ[||·||cos(π-B)tan B+||·||cos C tan C]=λ||(-||sin B+||sin C),由正弦定理得||sin C=||sin B,∴=0.∴AP⊥BC,故动点P一定经过△ABC的垂心.6.B解析由知,ABDC为平行四边形,又A,B,C,D四点共圆,∴ABDC为矩形,即BC为圆的直径,∴当AB=AC时,△ABC的面积取得最大值×2×4=4.7.D解析因为AB2与B3C3垂直,设垂足为C,所以上的投影为AC,m i==|AB2|×|AC|=2×3=18,从而m1+m2+…+m10的值为18×10=180.8.D解析建立如图所示平面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M,N(m,0),则=(m-cos t,-sin t),故=1-,因为0≤m≤1,所以=1-≥1-;又因为1-=1-sin(t+φ)=1-sin(t+φ)(tanφ=2),所以1-=1-sin(t+φ)≥1-(当且仅当sin(t+φ)=1时取等号).故选D.9.-解析如下图,建立平面直角坐标系,则E,G,B(1,0),D(0,1),则=(-1,1),则=1×(-1)+×1=-.10.11.解析∵a·b=2⇒|a||b|cosθ=2(θ为a,b的夹角),∴|a+t b|=3⇒9=a2+t2b2+4t=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤.12.3解析||=||=1,||=,由tanα=7,α∈[0,π]得0<α<,sinα>0,cosα>0,tanα=,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=,cosα==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.13.14解析由3+4=m,可得,可设,则D,A,C共线,且D在线段AC上,可得,即有D分AC的比为4∶3,即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍,故S△ABC=S△ABP=×8=14.14.6解析由已知根据向量数量积的定义可得=-2,=12,=0,在=λ+μ两边分别乘,得即所以λ+μ=6.15.解(1)设∠CAB=α,∠CAD=β,则cosα=,cosβ=,从而可得sinα=,sinβ=,故cos∠BAD=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.(2)由=x+y,得即解得16.解(1)∵,∴E,F为AD的四等分点.以BC为x轴,以D为原点建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),则E,F,∴=(m+a,n),=(m-a,n),.∵=4,=-1,∴解得m2+n2=,a2=.∴-a2+(m2+n2)-a2=.(2)∵P为AD上任一点,设P(λm,λn),则=((1-λ)m,(1-λ)n),=(a-λm,-λn), ,∴=(1-λ)m(a-λm)-(1-λ)λn2=(1-λ)·(ma-λm2-λn2),.∵恒成立,∴ma+(m2+n2)≥0恒成立,即(m2+n2)λ2-(m2+n2+ma)λ+(m2+n2)+ma≥0恒成立,∴Δ=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)·≤0,即(m2+n2)2-ma(m2+n2)+m2a2≤0,∴≤0,∴(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2,∴AC==a,又BC=2a,∴2AC=BC.。

新课标版高考数学二轮复习难点2.3三角变换平面向量函数解三角形问题等综合问题测试卷文

三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题
（一）选择题（12*5=60分）
1.在中，，，是边上的高，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
2.【河南省南阳市2018届期中】已知单位向量的夹角为，若，则为（）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】，
，与夹角为，且
，为直角三角形，故选C.
3.在中，分别是三等分点，且，若，则
（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因.故应选A.
4.【2018年高考数学训练试题】若O为平面内任意一点，且，则△ABC
是( )
A. 直角三角形或等腰三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形但不一定是直角三角形
D. 直角三角形但不一定是等腰三角形
【答案】C
【解析】由＝0得·＝0，∴2－2＝0，即||＝||，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.
5. 【广西南宁市2018届9月联考】已知O是△ABC内部一点，，且
∠BAC=60°，则△OBC的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
6.已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，，由可得，两边平法可得,所以，因此，同理，
，两边分别平方可得,根据同角三角函数基本关系可得，所以
,故选C.。

2016届高考数学二轮复习专题强化精练专题2三角函数与平面向量第2讲三角变换与解三角形(山东专用)

第一部分专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换与解三角形专题强化精练提能理1．(2015·济南市第一次模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或0解析：选D.由2sin 2α＝1＋cos 2α得4sin αcos α＝2cos 2α，所以cos α(2sin α－cos α)＝0，所以cos α＝0或tan α＝12.由cos α＝0知α＝2k π±π2(k ∈Z )，所以tan 2α＝0；由tan α＝12知tan 2α＝43.2．(2015·南昌市第一次模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C.因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ·sin Bsin C＝17210×sin 45°＝57.3．(2015·德州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：选C.因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sinC ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．5. 如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC 边上的两点，分别连接AD ，AE ，若∠ACB ＝∠ADC ＝π4，△ABC ，△ABD ，△ABE 的外接圆直径分别为d ，e ，f ，则( )A ．d ＜f ＜eB ．e ＜ d ＜fC ．e ＜f ＜dD ．e ＝d ＞f解析：选D.因为∠ACB ＝∠ADC ＝π4，所以AD ＝AC ，又由题图可知AC >AE ，根据正弦定理可得d ＝AC sin B ，e ＝AD sin B ，f ＝AEsin B，所以有e ＝d ＞f ，选D.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235 C.45 D ．－45解析：选D.sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45.7．(2015·东营市摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12， tan(β－α)＝－13，则tan β＝________．解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）·tan α＝17. 答案：178．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．解析：由正弦定理，得S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝103，所以sin A ＝2035×8＝32.因为A ∈(0，π2)，所以A ＝π3.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A＝25＋64－2×5×8×cos π3＝49，所以BC ＝7.答案：79．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________．解析：如图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°，由正弦定理知BSsin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 2 km10．(2015·江西省八所中学联考) 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．解析：由题意得OB ＝BC ＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，所以3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.答案：51311．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.12．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.又cos 2α＝－35<0，故2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin 2α＝45.由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×210＝－22. 又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 13．(2015·山东省五校联考)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．所以函数取最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，}k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. 因为A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，所以A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c ＞a 得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2)．14. 海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶有一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设游船匀速行驶)(1)求该船行驶的速度(单位：米/分钟)；(2)又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远？解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝10，则BC ＝103米．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝10，则BD ＝10米．在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，则CD ＝BD 2＋BC 2＝20米．所以速度v ＝CD1＝20米/分钟．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°，所以∠CEB ＝45°. 在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝56米．。

2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题二三角函数平面向量2-2Word版含解析

第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()．A．－32 B.32C．－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A 等于()．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A.6365 B.3365C.1365 D.6365或3365解析依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解．由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 解析在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 解析由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1.答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案－1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1 2＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解(1)因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0，由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

备战高考数学二轮复习难点2.3 三角变换、平面向量、

三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题（一）选择题（12*5=60分）1.在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠=o，CD 是AB 边上的高，则CD CB =u u u r u u u rg（） A.94-B.94C.274D.274- 【答案】B【解析】如图所示，在ABC ∆中，3AB BC ==，30BAC ∠=o，CD 是AB 边上的高，则120ABC ∠=o，所以33sin 602CD BC ==o，且030BCD ∠=，所以33cos 3cos302CD CB CD CB BCD =∠=⨯o u u u r u u u r u u u r u u u r gg 94=.2.【河南省南阳市2018届期中】已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o，若2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C3.在ABC ∆中，,P Q 分别是,AB BC 三等分点，且11,33AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b ==u u u r u u u r ，则PQ =uuu r （）A ．1133a b + B ．1133a b -+ C ．1133a b - D ．1133a b -- 【答案】A【解析】因b a AB AC AB AB BQ AB AP AQ PQ 3131)(313231+=-+=-+=-==.故应选A. 4.【2018年高考数学训练试题】若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC是( )A. 直角三角形或等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形但不一定是直角三角形D. 直角三角形但不一定是等腰三角形【答案】C【解析】由()()2OB OC OA AB AC +-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0得()AB AC +u u u v u u u v ·()AB AC -u u u v u u u v ＝0，∴AB u u u v 2－AC u u uv 2＝0，即|AB u u u v|＝|AC u u u v |，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.5. 【广西南宁市2018届9月联考】已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ， 2AB AC ⋅=u u u v u u u v且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（） A.3 B. 12 C. 3 D. 23【答案】A6.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC ∆的面积为（）A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C【解析】如图所示，1OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，由3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 可得345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r ，两边平法可得9121625OA OB +⋅+=u u u r u u u r ,所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，因此OA OB ⊥u u u r u u u r ，同理354OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，453OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，两边分别平方可得43cos ,,cos ,55OB OC OA OC =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0ABC AOB AOC BC S S S S ∆∆∆∆=++113146111111225255=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,故选C.7.【河南省郑州市2018届第一次质量检测】如图，在ABCV中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且22 =1111AP m AB BC⎛⎫++⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v，则实数m的值为（）A. 1B.12C.911D.511【答案】D8.【2018届广东省七校第二次联考】P、Q为三角形ABC中不同两点,若PA PB PC AB++=u u u r u u u r u u u r u u u r,QA3QB5QC0++=u u u r u u u r u u u r r,则PAB QABS:SV V为A.13B.35C.57D.79【答案】B【解析】令D为AC的中点PA PB PC AB++=u u u v u u u v u u u v u u u v,化为PA PC AB PB+=-u u u v u u u v u u u v u u u v,即2PD AP=u u u v u u u v,可得3AC AP=,且点P在AC边上,则12PAB ABCS S∆∆=,设点,M N分别是,AC AB的中点,则由350QA QB QC ++=u u u v u u u v u u u v v 可得260QM QN QC ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点T 是CN 的中点,则2520QM QN QT ++=u u u u v u u u v u u u v v ,设点S 是MT 的中点,则450QS QN +=u u u v u u u v v ,因此可得59QAB ABC S S ∆∆=,所以3:5PAB QAB S S ∆∆=，故选B.9.已知ABC ∆中，10,16BC AB AC =⋅=-u u u r u u u r u u u r ，D 为边BC 的中点，则AD u u u r等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】D【解析】由题意可得16cos -=A bc ,故由余弦定理得: A bc c b cos 210022-+=,即6822=+c b .设AD u u u rx =,由题设2522222⨯+=+x c b ,即1822=x ,解之得3=x ,应选D.10.已知点O 在△ABC 内部一点，且满足2340OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积之比依次为（）A ．4：2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】AAO11.【四川省成都外国语学校2018届11月月考】设P 是ΔABC 所在平面内的一点,若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且222AB AC BC AP =-⋅u u ur u u u r u u u r u u u r .则点P 是ΔABC 的A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】A12.已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA u u u v u u u vg 的值为（）A ．514 B ．27 C ．314 D ．328【答案】D【解析】如图，点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E为线段OD 的中点，∴0OD AD •=u u u r u u u r ，则1()222OD AO ADOE EA AE OD +•=•-=-••u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 4AO OD OD AD •+•=-u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 444OA OD AOD OD OA OD ••∠•===u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .AOB ∆中，利用余弦定理可得7AB =,因为11sin120,22AOB S AB OD OA OB ∆=••=••︒可得11371222OD ••=•••，所以37OD =，∴328OE EA =u u u v u u u v g ，故选：D.（二）填空题（4*5=20分）13.已知ABC ∆外接圆的圆心为O ，且320OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r则AOC ∠= ．【答案】23π【解析】不妨设外接圆半径为1，32023OA OB OC OA OC OB ++=⇔+=-u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r，两边平方得1443OA OC ++⋅=u u u r u u u r ，即1cos 2AOC ∠=-，故23AOC π∠=14. 【河南省漯河市2018届第四次模拟】如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据： 2CD =， 23CE =， 45D ∠=︒， 105ACD ∠=︒， 48.19ACB ∠=︒， 75BCE ∠=︒， 60E ∠=︒，则A 、B 两点之间的距离为__________．（其中cos48.19︒取近似值23）【答案】1015.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E 点和看台的坡脚A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A 点到E 点在水平线上的射影B 点的距离为10cm ，则旗杆的高CD 的长是__________m ．【答案】(1033【解析】由题意得4530DEA ADE ∠=∠=oo，,所以sin 452sin 30cos15AE ABAD ==o o o,因此10sin 602sin 6010(33)cos(4530)CD AD ===--o o o o16. ABC △中的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，若45b =，5c =，2B C =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，则ADC △的面积为．【答案】10（三）解答题（4*12=48分）17.如图，在平面四边形ABCD 中，32BA BC =u u u r u u u rg .（1）若BA u u u r 与BC uuu r 的夹角为30o，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若4,AC O =u u u r 为AC 的中点，G 为ABC ∆的重心（三条中线的交点），且OG u u u r 与OD u u u r互为相反向量求AD CD u u u r u u u r g 的值.【解析】(1)3264332,cos3032,cos30BA BC BA BC BA BC =∴=∴==oo u u u r u u u r Q g g g11313sin 3022323ABC S BA BC ∆∴==⨯=o g . (2) 以O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A C -，设(),D x y ，则(),OD x y =u u u r ，因为OG u u u r 与OD u u u r 互为相反向量，所以(),OG x y =--u u u r.因为G 为ABC ∆的重心，所以()33,3OB OG x y ==--u u u r u u u r ，即()()()3,3,32,3,32,3B x y BA x y BC x y --∴=-=+u u u r u u u r,因此22949BA BC x y =-+u u u r u u u rg .由题意，2294932x y -+=,即224x y +=.()()222,2,40AD CD x y x y x y ∴=+-=+-=u u u r u u u rg g .18.已知向量(3sin ,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，记()f x m n =⋅u r r ．（1）若()1f x =，求cos()3x π+的值；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求(2)f A 的取值范围．所以(2)f A 的取值范围313(,]22．19. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届第二次联考】设函数()32sin cos 32f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若322A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值.20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 10C =．（1）若92CA CB ⋅=u u u r u u u r ，求ABC ∆的面积；（2）设向量(2sin ,3)x B =-r ，2(cos 2,12sin)2B y B =-u r ，且//x y r u r ，求角B 的值．。

高考数学二轮专题升级训练专题三第2讲三角变换、平面向量与解三角形文(含解析)新人教A版

高考数学二轮专题升级训练专题三第 2 讲三角变换、平面向量与解三角形文（含分析）新人教A版( 时间 :60 分钟满分:100分)一、选择题 (本大题共6小题,每题 6分, 共 36分)1.已知=- , 则 cos α+sinα 等于()A.-B.C.D.-2.在△ABC中, 已知角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且 a=3, c=8, B=60°,则sin A 的值是()A. B.C. D.3. 已知非零向量a, b, c 知足 a+b+c=0,向量 a, b 的夹角为120°, 且| b|= 2| a| , 则向量a与c的夹角为()A.60°B.90°C.120°D.150°4. (2013·陕西,文9)设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 b cos C+c cos B=a sin A ,则△ABC的形状为() .A. 直角三角形B. 锐角三角形C.钝角三角形D. 不确立5. 已知sin(α +β)=,sin(α - β) =,则等于()A.2B.3C.4D.66 .若 0α ,β 0,cos,cos,则 cos() < <-<<=A. B. -C. D. -二、填空题 ( 本大题共3小题,每题6分, 共 18分)7 .在△中,C为钝角 ,,sin, 则角C=,sinB=.ABC A=8 .在△中, 已知D是边上的一点 ,若 2λ ,则λ=.ABC AB= +9 .已知 sin αcosα , 且α∈ , 则的值为.=+三、解答题 ( 本大题共3小题,共 46分. 解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)10.( 本小题满分 15分)(2013 ·广东肇庆模拟,17)已知函数f()2sin(π-x) 2sinx=+.(1)若 x∈[0,π],求 f ( x)的值域;(2)若 x0为函数 y=f ( x)的一个零点,求的值 .11.( 本小题满分15 分) 在△中 , 角, ,对应的边分别是, ,已知 cos 2A-3cos() 1ABC A B C a b c.B+C= .(1)求角 A的大小;(2)若△ ABC的面积 S=5, b=5,求sin B sin C 的值 .12. ( 本小题满分16 分) 在锐角△ABC中 , 角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 m=(2sin(A+C),),n=,且m∥n.(1)求角 B的大小;(2)若 b=1,求△ ABC面积的最大值 .##一、选择题 ( 本大题共 6 小题 , 每题 6 分, 共 36 分)1.D 分析:由 =- 可得-( sin α+cos α),故 cos α+sin α=-.2.D 分析:依据余弦定理得b==7,依据正弦定理,解得 sin A=.3. B解析:由题意可画出右侧的图示, 在平行四边形OABC中 ,由于∠ OAB=60°, | b|= 2| a| ,因此∠ AOB=30°,即AB⊥OB,即向量 a 与 c 的夹角为 90 °.4.A 分析:∵,∴sin B cos C+ sin C cos B =sin A sin A,即 sin (B+C)= sin 2A,即 sin A=1,∴A=,应选 A.5.C 分析:∵ sin (α+β)= sin α cos β+cos α sin β=,sin (α-β)= sinα cosβ -c osα sinβ =,∴sin α cos β=, cos αsin β=,∴×12=5,∴原式 =lo 52=4.6.C 分析:依据条件可得α+,因此 sin , sin ,因此 cos=cos=coscos+sinsin .二、填空题 ( 本大题共 3 小题 , 每题 6 分, 共 18 分)7.150 °分析:由正弦定理知, 故sin C=.又 C 为钝角 , 因此 C=150°. sin B= sin (A+C)= sin A cos C+ cos A sin C=.8.分析: 由于=2,因此,又 )=, 因此λ =.9.-分析:∵ sinα -cosα=,∴( sinα - cosα ) 2=,即 2sinαcosα =.∴( sinα +cosα ) 2=1+.∵α∈ , ∴sinα +cosα>0,∴sin α+cos α=.则 =-.三、解答题 ( 本大题共 3 小题 , 共 46 分. 解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)10. 解 : (1)f(x)=2sin (π-x)+2 sin=2sin x-2 cos x=4 sin ,令 t=x-, 则y=4sin t.∵x∈ [0, π ], ∴t ∈ ,由三角函数的图象知f(x)∈ [-2,4].(2)∵ x0为函数 y=f(x) 的一个零点 ,∴f(x 0)=4 sin= 2sin x 0-2 cos x 0=0,∴tan x0=.∴ =2-.11. 解 : (1) 由cos 2A-3 cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cos A-2=0, 即(2 cos A-1)( cos A+2)=0, 解得cos A= 或cos A=-2( 舍去 ). 由于0<A<π , 因此 A=.(2) 由 S=bc sin A=bc·bc=5, 得bc=20.又 b=5, 知 c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21,故 a=.又由正弦定理得sin B sin C=sin A·sin A =sin2A=.12. 解 : (1) ∵ m∥ n,∴2sin (A+C) cos 2B,2sin B cos B=cos 2B,sin 2B= cos 2B,易知 cos 2B≠0,∴tan 2B=.∵0<B<, 则 0<2B<π , ∴ 2B=.∴B=.(2) ∵ b2=a2+c2-ac, ∴ a2 +c2=1+ac.∵a2+c2≥ 2ac, ∴ 1+ac≥ 2ac.∴ac≤=2+, 当且仅当 a=c 取等号 .∴S=ac sin B=ac ≤ ,即△ ABC面积的最大值为.。

高考数学二轮滚动检测三角函数、解三角形与平面向量试卷理含解析试题

三角函数、解三角形与平面(píngmiàn)向量本套试卷(shìjuàn)分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有(zhǐyǒu)一项是哪一项符合题目要求的)1．全集(quánjí)U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵x 2≤1⇔－1≤x ≤1， ∴∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 D2．(2021·高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1] 【解析】由⎩⎨⎧1－x ＞0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．【答案】 B3．(2021·高考)f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“f (x )为[0,1]上的增函数〞是“f (x )为[3,4]上的减函数〞的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件【解析】 ①∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称． ∵f (x )为[0,1]上的增函数，∴f (x )为[－1,0]上的减函数(hánshù)．又∵f (x )的周期(zhōuqī)为2，∴f (x )为区间(qū jiān)[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． ②∵f (x )为[3,4]上的减函数(hánshù)，且f (x )的周期为2， ∴f (x )为[－1,0]上的减函数．又∵f (x )在R 上是偶函数，∴f (x )为[0,1]上的增函数．由①②知“f (x )为[0,1]上的增函数〞是“f (x )为[3,4]上的减函数〞的充要条件．【答案】 D4．f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，假设a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，那么( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1【解析】 f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x 2， ∴a ＝12＋sin (2lg 5)2，b ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2lg 152＝12－sin (2lg 5)2. 因此，a ＋b ＝1. 【答案】 C5．(2021·高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否认为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 【解析】因为“∀x ∈M ，p (x )〞的否认是“∃x ∈M ，綈p (x )〞，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否认是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．【答案(dá àn)】 D6．在△ABC 中，假设(jiǎshè)sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，那么(nà me)△ABC 的形状(xíngzhuàn)是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【解析】由正弦定理，得a 2＋b 2<c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，那么C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．【答案】 C7．(2021·高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，假设f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，那么φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6【解析】 ∵P ⎝⎛⎭⎫0，32在f (x )的图象上， ∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3. ∵g (0)＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 验证(yànzhèng)，φ＝56π时，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－53π＝sin ⎝⎛⎭⎫－43π＝32成立(chénglì)．【答案(dá àn)】 B8．(2021·高考(ɡāo kǎo))设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .假设b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，那么角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6【解析】由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝⎛⎭⎫53b 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 B9．假设非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，那么a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 ∵(2a ＋b )·b ＝0， ∴2a ·b ＋b 2＝0，∴a ·b ＝－12b 2，设a 与b 的夹角为θ，又|a |＝|b |， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12b 2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.【答案(dá àn)】 C10．设函数(hánshù)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期(zhōuqī)为π，且f (－x )＝f (x )，那么(nà me)( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减C ．f (x )在(0，π2)单调递增D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增【解析】 ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ) ＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，又∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)．由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π知0<x <π2时，f (x )单调递减．应选A.【答案】 A11．(2021·高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，那么目的函数z ＝y －2x的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2【解析(jiě xī)】可行域如图阴影(yīnyǐng)局部(含边界)令z ＝0，得直线(zhíxiàn)l 0：y －2x ＝0，平移(pín ɡ yí)直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 获得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7. 【答案】 A12．(2021·课标全国卷Ⅱ)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．假设x 0是f (x )的极小值点，那么f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．假设x 0是f (x )的极值点，那么f ′(x 0)＝0【解析】假设c ＝0，那么有f (0)＝0，所以A 正确．由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 得f (x )－c ＝x 3＋ax 2＋bx ，因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的对称中心为(0,0)，所以f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(0，c )，所以B 正确．由三次函数的图象可知，假设x 0是f (x )的极小值点，那么极大值点在x 0的左侧，所以函数在区间(－∞，x 0)单调递减是错误的，D 正确．【答案】 C第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·高考)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，假设对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，那么实数a 的取值范围是________．【解析】由于f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6，那么|f (x )|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6≤2，要使|f (x )|≤a 恒成立，那么a ≥2. 【答案(dá àn)】 [2，＋∞)14．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角(jiā jiǎo)为π3，假设(jiǎshè)a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，那么(nà me)向量a 在b 方向上的射影为________．【解析】由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos<a ，b >＝a·b |b |＝52.【答案】 5215．(2021·高考)点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．假设平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，那么D 的面积为________．【解析】设P (x ，y )，且AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)．∴OP →＝OA →＋AP →＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2λ＋μ，y ＝－1＋λ＋2μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3μ＝2y －x ＋3，3λ＝2x －y －3，又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x －2y ≤3，6≤2x －y ≤9表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B (3,0)到直线x －2y ＝0的间隔 d ＝355.又|BN |＝ 5.∴区域D 的面积S ＝355×5＝3.【答案】 316．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点(zhōnɡ diǎn)．假设sin ∠BAM ＝13，那么(nà me)sin ∠BAC ＝________.【解析(jiě xī)】因为(yīn wèi)sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1.所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的间隔为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的间隔为π2，∴最小正周期(zhōuqī)T ＝π，∴ω＝2，∴函数(hánshù)f (x )的解析(jiě xī)式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.18．(本小题满分(mǎn fēn)是12分)(2021·高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋ cos A sin B ＝539.所以(suǒyǐ)c ＝a sin Csin A＝5. 19．(本小题满分(mǎn fēn)是12分)(2021·高考(ɡāo kǎo))函数(hánshù)f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)假设cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3.【解】 (1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫22cos 2θ－22sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 20．(本小题满分是12分)向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(－sin x 2，－cos x 2)，其中x ∈[π2，π]． (1)假设(jiǎshè)|a ＋b |＝3，求x 的值；(2)函数(hánshù)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |2，假设(jiǎshè)c >f (x )恒成立(chénglì)，务实数c 的取值范围．【解】 (1)∵a ＋b ＝(cos 3x 2－sin x 2，sin 3x 2－cos x 2)， ∴|a ＋b |＝ (cos 3x 2－sin x 2)2＋(sin 3x 2－cos x 2)2＝2－2sin 2x ，由|a ＋b |＝3，得2－2sin 2x ＝3，即sin 2x ＝－12. ∵x ∈[π2，π]，∴π≤2x ≤2π. 因此2x ＝π＋π6或者2x ＝2π－π6，即x ＝7π12或者x ＝11π12. (2)∵a·b ＝－cos 3x 2sin x 2－sin 3x 2cos x 2＝－sin 2x ， ∴f (x )＝a·b ＋|c ＋b |2＝2－3sin 2x ，∵π≤2x ≤2π，∴－1≤sin 2x ≤0，∴2≤f (x )＝2－3sin 2x ≤5，∴[f (x )]max ＝5.又c >f (x )恒成立，因此c >[f (x )]max ，那么c >5.∴实数c 的取值范围为(5，＋∞)．21．(本小题满分是12分)(2021·高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)假设△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.解得cos A ＝12或者cos A ＝－2(舍去)．因为(yīn wèi)0<A <π，所以(suǒyǐ)A ＝π3. (2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以(suǒyǐ)c ＝4.由余弦定理(yú xián dìn ɡ lǐ)，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21.又由正弦定理，得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57. 22．(本小题满分是12分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．假设曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有一样的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)假设x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【解】 (1)∵曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，∴b ＝d ＝2.∵f ′(x )＝2x ＋a ，故f ′(0)＝a ＝4.∵g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，∴g ′(0)＝2＋c ＝4，故c ＝2.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)令F (x )＝kg (x )－f (x )，那么F ′(x )＝(k e x －1)(2x ＋4)，由题设可得F (0)≥0，故k ≥1，令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2，①假设1≤k ＜e 2，那么－2＜x 1≤0，从而当x ∈[－2，x 1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(x 1＋∞)时，F ′(x )＞0，即F (x )在[－2，＋∞)上最小值为F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②假设k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)，故F(x)在[－2，＋∞)上单调(dāndiào)递增，因为(yīn wèi)F(－2)＝0，所以(suǒyǐ)f(x)≤kg(x)恒成立(chénglì)；③假设k＞e2，那么F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为[1，e2]．内容总结。

2016届高三数学理课标版(陕西专用)二轮专题能力训练10 三角变换与解三角形含解析

专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1。

在△ABC 中，若sin 2A ≤sin 2B+sin 2C —sin B sin C ,则A 的取值范围是（）A.(0,π6]B.[π6,π) C 。

(0,π3] D.[π3,π) 2。

已知cos (π-2α)sin (α-π4)=-√22,则sin α+cos α等于（ )A 。

-√72B 。

√72 C.12 D.—123.在△ABC 中，角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c.若（a 2+c 2—b 2）tan B=√3ac ,则角B 的值为( )A.π6 B 。

π3C 。

π6或5π6 D.π3或2π34.在△ABC 中,∠ABC=π4，AB=√2，BC=3，则sin ∠BAC 等于（ )A.√1010B.√105C.3√1010D.√555.若α∈(π2,π)，3cos 2α=sin (π4-α)，则sin 2α的值为（ )A.118B.—118C.1718 D 。

-17186.（2015广东高考）设△ABC 的内角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ，c 。

若a=√3，sin B=12,C=π6，则b= .7.设△ABC 的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C ,3b=20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sinC= .8.在△ABC 中,角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ，c 。

（1）若cos (A +π6)=sin A ,求A 的值; （2)若cos A=14,4b=c ,求sin B 的值。

9。

在△ABC中,内角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知cos=2cos A。

2A+32(1）求角A的大小；(2)若a=1，求△ABC的周长l的取值范围.10.（2015湖南高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a=b tan A，且B为钝角.;（1)证明：B-A=π2(2)求sin A+sin C的取值范围.11.（2015山东高考）设f（x）=sin x cos x-cos2(x+π).4（1）求f(x）的单调区间;(2)在锐角△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c.若f(A)=0，2a=1，求△ABC面积的最大值。

《走向高考》高三数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量综合测评理新人教版

综合测评(二) 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos α＝13，α∈[－π2，0]，则tan α＝( )A ．－24 B.24C ．－2 2D ．2 22．(2010年高考安徽卷)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b3．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于( ) A ．－4 B ．4C ．－125 D.1254．(2010年高考上海卷)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C ．(13，0) D ．(0,0)6．函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8)7．(2010年陕西高三质检)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π38．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度9．(2010年湖北八校调研)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D.1210．给定性质：(1)最小正周期为π，(2)图象关于直线x ＝π3对称，(3)图象关于点(π12，0)对称，则下列四个函数中，同时具有性质(1)，(2)，(3)的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin(2x －π6)11．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，AC →2＋BD →2＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 12．(2010年高考课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)．若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.14．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．15．(2010年高考江苏卷)设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．16．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的最大值为4，f (x )的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2010)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)．(1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的形式，填写下表，并画出函数f (x )在区间[－16π，56π]上的图象；(2)求函数f (x )的单调减区间．18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，若a ·b ＝85，且π4<x <π2.(1)求cos(x －π4)和tan(x －π4)的值；(2)求sin2x ＋tan x 1－tan x的值．19．(本小题满分12分)(2010年高考湖北卷)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．20.(本小题满分12分)设集合M ＝{a |a ＝(2t ＋1，－2－2t )，t ∈R }，N ＝{b |b ＝(3t －2,6t ＋1)，t ∈R }，c ∈(M ∩N )，函数f (x )＝c ·(sin x2，cos x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值与最小值．21．(本小题满分12分)如图，现在要在一块半径为1 m ，圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应θ的值．22．(本小题满分12分)已知在关于x 的方程ax 2－2bx ＋c ＝0中，a 、b 、c 分别是钝角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边，且b 是最大边．(1)求证：该方程有两个不相等的正根；(2)设方程有两个不相等的正根α、β，若三角形ABC 是等腰三角形，求α－β的取值范围．综合测评(二)1．C2．【解析】选C.a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．3．【解析】选A.设向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影等于|a |·cos θ＝|a |·a ·b |a |·|b |＝－123＝－4.4．【解析】选A.tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1；反之tan x ＝1，则x ＝k π＋π4(k ∈Z )．所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的充分不必要条件．5．【解析】选C.f (x )＝2sin(ax ＋π3)(a >0)，∵T ＝2πa＝1，∴a ＝2π.∴f (x )＝2sin(2πx＋π3)，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故(13，0)是此函数图象的一个对称中心，故选C.6．【解析】选C.由sin(π4－2x )>0，得sin(2x －π4)<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin(π4－2x )的增区间即sin(π4－2x )在定义域内的增区间，即sin(2x －π4)在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C.7．【解析】选B.∵m ＝(b －c ，c －a )， n ＝(b ，c ＋a )且m ⊥n ，∴m ·n ＝(b －c ，c －a )·(b ，c ＋a )＝b (b －c )＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8．【解析】选A.因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin[2(x ＋π8)＋π4]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故选A.9．【解析】选C.由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)． f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝0，即sin φ＝－cos φ，∴f (0)＝A cos φ＝23.10．【解析】选D.由(1)排除A ，由(2)(3)排除B 、C ，故同时满足(1)(2)(3)的只有D.11．【解析】选C.设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，且|a |＝|b |＝1，∴AC →2＋BD →2＝(a ＋b )2＋(b －a )2＝2(|a |2＋|b |2)＝4.12．【解析】选C.∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针运动时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当t ＝π4时，d ＝0，排除B.13．【解析】由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝－2＋8＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)∴|c |＝82＋－2＝8 2. 【答案】8 2 14．【解析】由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.【答案】315．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos xy ＝5tan x ，消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x＝23或sin x ＝－32(舍去)．点P 2的纵坐标y 2＝23，所以|P 1P 2|＝23.【答案】2316．【解析】由题意A ＝4,4cos 2φ＝2，∴cos φ＝±22，∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＝A ×1＋ωx ＋2φ2＝A ×1＋ωx ＋π22，所以其最小正周期为T ＝2π2ω，而相邻两对称轴间的距离为1，即最小正周期为2，∴2π2ω＝2，∴ω＝π2，∴f (x )＝4cos 2(π2x ＋π4)，f (1)＝4cos 23π4＝2，f (2)＝4cos 25π4＝2，因为周期为2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2010)＝1005×[f (1)＋f (2)]＝4020.【答案】402017．【解】(1)f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3).图象略．(2)由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故函数f (x )的单调减区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )．18．【解】(1)∵a ·b ＝85，∴2cos x ＋2sin x ＝85，即cos(x －π4)＝45，∵π4<x <π2，∴0<x －π4<π4，∴sin(x－π4)＝35，∴tan(x －π4)＝34.(2)sin2x ＝cos(2x －π2)＝2cos 2(x －π4)－1＝725.又∵tan(x ＋π4)＝－1x －π4＝－43，∴sin2x ＋tan x 1－tan x ＝sin2x ·tan(x ＋π4)＝725×(－43)＝－2875.19．【解】(1)因为f (x )＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12·sin2(x ＋π4)，所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14，当2x ＋π4＝2k π＋π(k ∈Z )时，h (x )取得最小值－22＋14＝1－224.h (x )取得最小值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π＋3π8，k ∈Z }．20．【解】(1)由c ∈(M ∩N )，可设c ＝(2t 1＋1，－2－2t 1)＝(3t 2－2,6t 2＋1)，解得t 2＝0，∴c ＝(－2,1)．f (x )＝c ·(sin x 2，cos x )＝(－2,1)·(sin x2，cos x )＝－sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋3π4)．∴f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴t ＝x ＋3π4∈[3π4，5π4]，y ＝2sin t 在[3π4，5π4]上单调递减，∴y max ＝2sin 3π4＝1，y min ＝2sin 5π4＝－1.即当x ＝0时，f (x )有最大值1；当x ＝π2时，f (x )有最小值－1.21．【解】(1)分别过点P 、Q 作PD ⊥OB ，QE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，则四边形QEDP 是矩形． PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，∠AOB ＝π3，则OE ＝33QE ＝33PD .所以MN ＝PQ ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ. 则S ＝MN ×PD ＝(cos θ－33sin θ)×sin θ ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈(0，π3)． (2)S ＝12sin2θ－36(1－cos2θ)＝12sin2θ＋36cos2θ－36＝33sin(2θ＋π6)－36.因为0<θ<π3，所以π6<2θ＋π6<5π6，所以12<sin(2θ＋π6)≤1.所以当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，S 的值最大为36m 2.即S 的最大值是36 m 2，相应θ的值是π6. 22．【解】(1)证明：因为△ABC 是钝角三角形，且b 是最大边，故－1<cos B <0，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故关于x 的方程的根的判别式Δ＝(－2b )2－4ac ＝2b 2－4ac ＝2(a 2＋c 2－2ac cos B )－4ac ＝2(a －c )2－4ac cos B >0.所以，方程有两个不相等的实根(设两实根分别为α，β)．由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2ba>0αβ＝c a>0，所以该方程有两个不相等的正根．(2)若三角形ABC 是等腰三角形，则有a ＝c ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2ba αβ＝1，所以(α－β)2＝α2＋β2－2αβ＝(α＋β)2－4αβ＝2b2a2－4＝a 2＋c 2－2ac cos B －4a 2a 2＝a 2－2a 2cos B －4a 2a 2＝－4cos B .因为－1<cos B <0，所以0<－4cos B <4，即(α－β)2∈(0,4)，所以α－β∈(－2,0)∪(0,2)．。

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专题综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝（A ） A.－53 B.－59 C.59 D.53解析：sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin 2α＝13⇒sin 2α＝－23，∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－1＋23＝－153. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）＝－53.2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝（A ）A.725 B.－725 C.±725 D.2425解析：∵8b ＝5c ，由正弦定理得8sin B ＝5sin C . 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin 2B .所以8sin B ＝10sin B cos B .易知sin B ≠0， ∴cos B ＝45，cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.3.函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是（A ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数解析：因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.故选A.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝ 3，b ＝ 2，B ＝45°，则A ＝（D ）A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°5. （2014²安徽卷）若将函数f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（C ）A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4解析：由题意f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，将其图象向右平移φ个单位，得2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －2φ＋π4，要使图象关于y 轴对称，则π4－2φ＝π2＋k π，解得φ＝－π8－k π2，当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.故选C.6.（2015²新课标Ⅰ卷）已知点A （0，1），B （3，2），向量AC →＝（－4，－3），则向量BC →＝（A ）A.（－7，－4）B.（7，4）C.（－1，4）D.（1，4）解析：解法一设C （x ，y ），则AC →＝（x ，y －1）＝（－4，－3），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故选A.解法二 AB →＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），BC →＝AC →－AB →＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.7.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ），若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（B ）A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析：∵m ＝（b －c ，c －a ），n ＝（b ，c ＋a ）且m ⊥n ，∴m²n ＝（b －c ，c －a ）²（b ，c ＋a ）＝b （b －c ）＋c 2－a 2＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，0＜A ＜π，∴A ＝π3.8.设0≤x ＜2π，且 1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则x 的取值范围是（B ）A.0≤x ≤πB.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D.π2≤x ≤3π29.（2015²新课标Ⅰ卷）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则（A ） A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13（AC →－AB →）＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.10.（2015²新课标Ⅰ卷）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若MF 1→²MF 2→＜0，则y 0的取值范围是（A ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴ F 1（－3，0），F 2（3，0），∴ MF 1→＝（－3－x 0，－y 0），MF 2→＝（3－x 0，－y 0）.∵ MF 1→²MF 2→＜0， ∴ （－3－x 0）（3－x 0）＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0. ∵ 点M （x 0，y 0）在双曲线上， ∴ x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴ 2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴ －33＜y 0＜33.故选A.11.已知tan α＝－35，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝（A ）A.1617B.1517C.917D.81712.若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，且（a ＋b ）²b ＝12，向量a 、b 的夹角为（B ）A.π3 B.2π3 C.π6 D.5π6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ，则角C ＝Ｗ.解析：由（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ⇒a 2＋b 2－c 2＝－ab ，根据余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12⇒C ＝2π3. 答案：2π314.（2015²新课标Ⅱ卷）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝Ｗ.解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t （a ＋2b ），即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1215.当函数y ＝sin x －3cos x （0≤x ＜2π）取得最大值时，x ＝Ｗ.解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，0≤x ＜2π⇒－π3≤x －π3＜5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2时，即x ＝5π6时取得最大值.答案：5π616.（2014²江苏卷）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是Ｗ.解析：由已知sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab8ab＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立. 答案：6－24三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（2015²茂名一模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A .（1）求角B 的大小；（2）若a ＝33，c ＝5，求△ABC 的面积及b . 解析：（1）∵a ＝2b sin A ，由正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，由于sin A ≠0，故有sin B ＝12，又∵B 是锐角，∴B ＝30°. （2）依题意得：S △ABC ＝12ac sin 30°＝12³33³5³12＝1534，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得b 2＝（33）2＋52－2³33³5³cos 30°＝27＋25－45＝7，∴b ＝7.18.（12分）（2015²安徽卷）已知函数f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x . （1）求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.分析：（1）化简可得f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，即可求出f （x ）的最小正周期T ＝2π|2|＝π；（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，即可求出最值.解析：（1）∵f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，∴f （x ）最小正周期T ＝2π|2|＝π.（2）∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f （x ）max ＝1＋2，f （x ）min ＝0.19.（14分）函数f （x ）＝6cos2ωx2＋3cos ωx －3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形.（1）求ω的值及函数f （x ）的值域；（2）若f （x 0）＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f （x 0＋1）的值.解析：（1）由已知可得：f （x ）＝6cos 2ωx2＋3cos ωx －3＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3（ω＞0）.又由于正三角形ABC 的高为23，则BC ＝4，所以，函数f （x ）的周期T ＝4³2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4. 所以，函数f （x ）的值域为[－23，2 3 ]. （2）因为f （x 0）＝835，由（1）有f （x 0）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f （x 0＋1）＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45³22＋35³22＝765.20.（12分）在△ABC 中，已知AB →²AC →＝3BA →²BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ；（2）若cos C ＝55，求A 的值. 解析：（1）∵AB →²AC →＝3BA →²BC →，∴AB ²AC ²cos A ＝3BA ²BC ²cos B ，即AC ²cos A ＝3BC ²cos B .由正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴sin B ²cos A ＝3sin A ²cos B .又∵0＜A ＋B ＜π，∴cos A ＞0，cos B ＞0. ∴sin B cos B ＝3²sin Acos A，即tan B ＝3tan A . （2）∵cos C ＝55，0＜C ＜π， ∴sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255.∴tan C ＝2.∴tan[π－（A ＋B ）]＝2，即tan （A ＋B ）＝－2. ∴tan A ＋tan B1－tan A ²tan B＝－2.由（1），得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.∵cos A ＞0，∴tan A ＝1.∴A ＝π4.21.（12分）（2015²福建卷）已知函数f （x ）＝103sin x 2²cos x2＋10cos 2x2.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，且函数g （x ）的最大值为2.①求函数g （x ）的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.分析：（1）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将f （x ）化为f （x ）＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5，然后利用T ＝2π|ω|求周期；（2）由函数f （x ）的解析式中给x 减π6，再将所得解析式整体减去a 得g （x ）的解析式为g （x ）＝10sin x ＋5－a ，当sin x 取1时，g （x ）取最大值10＋5－a ，列方程求得a ＝13，从而g （x ）的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，可解不等式g （x 0）＞0，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x 0.解析：（1）因为f （x ）＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2＝53sin ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋5.所以f （x ）函数的最小正周期T ＝2π.（2）①将f （x ）的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝100sin x ＋5的图象，再向下平移a （a ＞0）个单位长度后得到g （x ）＝10sin x ＋5－a 的图象.又已知函数g （x ）的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g （x ）＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.由正弦函数的性质可知，当x ∈（α0，π－α0）时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0）（k ∈Z）时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，（2k π＋π－α0）－（2k π＋α0）＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈（2k π＋α0，2k π＋π－α0），使得sin x k ＞45.亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g （x 0）＞0.22.（12分）已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1（x ∈R ），设函数f （x ）＝m²n－1.（1）求函数f （x ）的值域；（2）已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f （A ）＝513，f （B ）＝35，求f （C ）的值.解析：（1）f （x ）＝m²n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1²⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sinx .∵x ∈R ，∴函数f （x ）的值域为[－1，1]. （2）∵f （A ）＝513，f （B ）＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f （C ）＝sin C ＝sin []π－（A ＋B ）＝sin （A ＋B ）＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513³45＋1213³35 ＝5665. ∴f （C ）的值为5665.。

2016届二轮 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测 文(全国通用)

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