安徽省安庆一中安师大附中2014届高三1月联考数学理

安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=，集合{}2,1,1,2B =--，则A B = A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2．对于事件A ，P （A ）表示事件A 发生的概率。

则下列命题正确的是 A 如果()()()P A B P A P B =+ ，那么事件A 、B 互斥 B 如果()()()1P A B P A P B =+= ，那么事件A 、B 对立 C ()()()1P A B P A P B =+= 是事件A 、B 对立的充要条件 D 事件A 、B 互斥是()()()P A B P A P B =+ 的充分不必要条件3．把函数x sin 3x cos )x (f -=的图象向左平移m 个单位, 所得图象关于y 轴对称, 则m 的最小值为 A.65π B. 32π C. 3πD.6π4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为A．9 B ．10 C ．11 D ．2325．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 6．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯ （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 7．设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数+i 12x yii-+的实部大于0，虚部不小于0，则复数i z x y ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的1 1 正视图 侧视图俯视图第4题图８．设集合{}012,,S A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被3除的余数，{},1,2,3i j ∈，则使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有 A ．１对 B ．２对 C ．３对 D ．４对9．已知A ，B ，C ，D ，E 为抛物线214y x =上不同的五点，抛物线焦点为F ，满足0FA FB FC FD FE ++++= ，则||||||||||FA FB FC FD FE ++++=A 5B 10 C516 D 851610．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是 A 1025 B 1035 C 1045 D 1055第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上．．．．． 答题无效．．．．. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11. 输入正整数n （2≥n ）和数据1a ，2a ，…，n a ， 如果执行如图2的程序框图，输出的s 是数据1a ，2a ，…，n a 的平均数，则框图的处理框★中应填写的是___________;12. 已知函数sin()(0,0)y x ωθωθπ=+><<为偶函数,其图象与直线y=1的交点的横坐标为12,x x .若12x x -的最小值为p ,则ωθ+的值为___________;13．设0(sin cos )a x x dx π=+⎰，则二项式61()ax x-的展开式中常数项___________;14．函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是___________;15．有以下四个命题 ①xsin 3x sin y 22+=的最小值是32②已知10x 11x )x (f --=, 则)3(f )4(f >③)1a ,0a ()a 2(log y xa ≠>+= 在R 上是增函数 ④函数)6x 2sin(2y π-=的图象的一个对称中心是)0,12( π其中真命题的序号是___________ (把你认为正确命题的序号都填上)三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16．（本题满分12分） （1）证明：2cos 2sin2sin sin yx y x y x -+=+ （2）三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ，b ，C 成等差数列，求证2tantan tan 222A C B≥。

17．（本小题12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；(2)任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题12分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．第18题图19．（本小题13分）已知函数22()ln (1),f x x x a x a R =--∈， （1）当0a =时，求()f x 的最小值；（2）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

20．（本小题13分）数列{}n a 的各项均为正值，11a =，对任意n ∈N *，21214(1),log (1)n n n n n a a a b a +-=+=+都成立．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当k ＞7且k ∈N *时，证明：对任意n ∈N *都有121111132n n n nk b b b b ++-++++> 成立．21（本小题13分）过椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 外一点A （m ，0）作一直线l 交椭圆于P 、Q 两点，又Q关于x 轴对称点为1Q ，连结1PQ 交x 轴于点B 。

（1） 若λ=，求证：1BQ λ=；（2）求证：点B 为一定点)0,(2ma 。

安庆一中、安师大附中高三2014年1月联考数学（理）答案答案：1。

B 2。

D 3。

B 4 C 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C11．i a s i s i+⨯-=)1(12．22π+13. 160- 14．（32，35），15．③ ④16．解：（1）sin sin sin()sin()22222sin cos 522x y x y x y x yx y x y x y +-+-+=++-+-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯分（2）由正弦定理得sin sin 2sin A C B+=，又由（1）可知2sincos 2sin 2sin()4sin cos 2222cos 2cos ,cos cos 3sin sin ,2222221tan tan 10223A C A C A C A CB AC A C A C A C A CA C +-++==+=-+∴=∴=∴=⋯⋯⋯⋯⋯⋯分由余弦定理得：222222222()33212cos 22821,tan 323a c a c a c ba c ac B acac ac B B π++-+-+-===≥∴≤∴≤所以2tantan tan 222A C B≥。

………12分17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． ………1分 （1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是1()()0.60.250.40.750.45P P AB P AB =+=⨯+⨯=． …………4分（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=． …………5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B，，…………6分且33()0.10.9k k kP k Cξ-==⨯⨯，0123k=，，，，…………8分即ξ的分布列是……10分所以，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3 Eξ=⨯+⨯+⨯=．………12分（或ξ的期望是30.10.3Eξ=⨯=．）18．解析：（Ⅰ）法1：连接CO，由3AD DB=知，点D为AO又∵AB为圆O的直径，∴AC CB⊥，BC=知，60CAB∠= ，∴ACO∆为等边三角形，从而CD AO⊥．-----------------3分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D=得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA CD⊥． -----------------6分（注：证明CD⊥平面PAB时，也可以由平面PAB⊥平面ACB得到，酌情给分．）法2：∵AB为圆O的直径，∴AC CB⊥，在Rt ABC∆中设1AD=，由3AD DB=BC=得，3DB=，4AB=，BC=∴BD BCBC AB==，则BDC BCA∆∆∽，∴BCA BDC∠=∠，即CD AO⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， ---------5分 由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=，∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ．由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D = ，∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴PB =，则2PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，tan 3CD DEC DE ∠===，∴cos DEC ∠=，即二面角C PB A --的余弦值为． ---------------12分 法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD ， ∴(0,0,0)D，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，∴3)PC =- ，(0,3,3)PB =-，(CD =，由CD ⊥平面PAB ，知平面PAB的一个法向量为(CD =．设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即30330y y z -=-=⎪⎩，令1y =，则x =1z =，∴,1)=n ，-----------------10分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则cos ||CD CD θ⋅===⋅ n |n |， ∴二面角C PB A --的余弦值为．-----------------12分19．解：0a =时，2'()ln ,()(2ln 1),f x x x f x x x ==+ ………………2分 12(0,)x e -∈时，()f x 单调减，12(,)x e -∈+∞时，()f x 单调增， ………………4分所以当12x e -=时，()f x 有最小值12e -………………5分（2）由已知，即1x ≥时，min ()0f x ≥ ………………6分'()(2ln 12),1f x x x a x =+-≥ ………………8分当120,a -≥即12a ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 单调增min ()(1)0f x f ∴==，即12a ≤时满足()0f x ≥恒成立； ………………10分当120a -<即12a >时，由'()0f x =得121a x e -=>，所以12(1,)a x e -∈时，()f x 单调减，即12(1,)a x e-∈时()(1)0f x f ∴<=与题设矛盾，即12a >时，不能满足()0f x ≥恒成立。