数形结合思想

(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像；
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；
(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求
解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图 像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．
1 2
)
A．0
B．1
C ．2
D．3
|x 2－1| (2)(2012·天津高考)已知函数 y＝ 的图象与函数 y＝kx －2 x －1 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是________．
应用角度例析
[思路点拨] (1)将函数的零点转化为两个函数 y1＝x 与 y2＝
1 2
1x 图像的交点问题求解． 2
强化训练
3.不等式|x＋ 3|－|x－1|≤a2－ 3a对任意实数 x恒成立，
则实数a的取值范围为(
A.(－∞，－1]∪[4，＋∞) B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C.[1,2] D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
)
应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像；
强化训练
2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范
围为 A．(2,3] C．(1,2] B．[4，＋∞) D．[2,4) ( )
解析：设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则 y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对 一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并 且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2，
高考二轮专题复习
数形结合思想的应用
数学是研究
的学科.
华 罗 庚
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 缺 数 时 难 入 微
数 缺 形 时 少 直 观
——
思想方法概述
1.数形结合的数学思想： “以形助数” 借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系， 即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地 说明函数的性质； “以数辅形” 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些
属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精
确地阐明曲线的几何性质。
思想方法概述
2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
(1)等价性原则
(2)双方性原则 (3)简单性原则
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思想方法概述
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
转化与化归的思想
(2)在同一坐标内画出两个函数的图像，利用数形结合求解．
[解析 ] (1)在同一平面直角坐标系内作出 y1＝ x 与
1 2
1 x y2＝ 2
的图像如图 1 所示，易知，两函数图像只有一个交点．因此函数 f(x)＝ x
1 2
1 x － 只有 2
1 个零点．
利用数形结合解不等式或求参数问题
例 2. (1)使 log2(－x )<x ＋1 成立的 x 的取值范围是________． 1 (2)若不等式|x －2a|≥ x ＋a－1 对 x ∈R 恒成立，a 的取值范围是 2 ________．
[解析]
(1)在同一坐标系中，分别作出
y=log2(－x)，y＝x＋1的图像，由图可知，
则函数h(x)＝f(x)－
(
)
应用角度例析
[解析] 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标 系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当
x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝
f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.
应用角度例析
x的取值范围是(－1,0)．
1 (2)作出 y＝|x－2a|和 y＝ x＋a－1 的简图，依题意知应有 2 1 2a≤2－2a，故 a≤ . 2
应用角度例析
解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨
论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系，
那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证
明、求解不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等。
应用角度例析
利用数形结合讨论方程的解或图象交点
1 例 1.(1)(2012·北京高考)函数 f (x )＝x － 2 x 的零点的个数为 (
图1
应用角度例析
(2)根据绝对值的意义， |x2－1| x＋ 1， x>1或 x<－ 1， y＝ ＝ x－1 － x－ 1，－ 1≤ x<1. 在直角坐标系中作出该函数的图像， 如图 2 中实线所示． 根据 图像可知，当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点．
图2
应用角度例析
讨论方程的解(或函数的零点)可以先把方程两边的代数式 看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转
y2－y1 看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两 x2－x1
点x1，y1和x2，y2的连线的斜率；② (a－m ) 2 ＋(b－n) 2 或a－ m2＋b－n2：看作是两点a，b和m，n间的距离或距离的平 方.
2.其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形 直观进行分析判断，例如①向量的问题，可以考虑向量的图形 及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内 的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形.
所以1<a≤2.
利用数形结合求最值
例3.已知动点P(x,y)满足x2+(y-2) 2=1,试求下列各式的最大值. （1） x2+y 2
y （2） x （3） x+y
“形”可以使某些抽象问题具体化，而“数”可以使思维精 确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的 效果. 1.把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义的图 形，例如①
化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的
图象，图象的交点个数即为方程解的个数. 但用此法讨论方程
的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.
强化训练
1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时， lg x，x>0， 0，x＝0， 2 f(x)＝1－x ，函数g(x)＝ 1 － ，x<0， x g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是 A． 5 C． 8 B． 7 D．10