高中阶段常见函数图像
2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)
专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。
高中数学常见函数图像
高中数学常见函数图像高中数学是学生学习数学的一个重要阶段，其中函数图像是高中数学中的重要内容之一。
本文将介绍一些高中数学中常见的函数图像，包括正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数等。
首先，正弦函数和余弦函数是三角函数中的两个重要函数，它们的图像都是周期性的。
正弦函数的图像在区间[0,2π]上是一个完整的周期，最大值为1，最小值为-1。
余弦函数的图像也是一个完整的周期，最大值为1，最小值为-1。
余弦函数的图像相对于正弦函数来说是“平移”了一段时间。
其次，指数函数是指数运算的一种形式，其表达式为y=a^x，其中a 为大于0且不等于1的常数。
指数函数的图像在区间[0,∞)上是一个单调递增的曲线，当a大于1时，图像呈现出“陡峭”的趋势，当0小于a小于1时，图像呈现出“平缓”的趋势。
最后，对数函数是一种特殊的函数，其表达式为y=log(x)，其中x 大于0且不等于1。
对数函数的图像在区间(0,∞)上是一个单调递增的曲线，呈现出“平缓”的趋势。
综上所述，高中数学中常见的函数图像包括正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数等。
这些函数的图像都具有不同的特点和性质，需要学生在学习过程中深入理解和掌握。
这些函数图像的应用也非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
因此，学生应该在学习过程中注重实践和应用，加深对函数图像的理解和掌握。
高中数学函数的图像高中数学是许多学生感到困难的科目之一，而函数的学习更是其中的难点。
函数的图像是理解函数的重要工具，因此掌握函数的图像对于高中数学的学习非常重要。
函数的概念是指在一定的自变量取值范围内，对应于每个自变量的函数值都有唯一确定的数值。
函数的表示方法有很多种，其中图像法是最直观的方法之一。
函数的图像是在直角坐标系中表示函数关系的一种曲线。
在绘制函数的图像时，我们需要先确定自变量的取值范围，然后根据函数的表达式计算出对应的函数值。
将自变量和对应的函数值在直角坐标系中标记出来，然后连接这些点就可以得到函数的图像。
函数图像和变换解读
函数图像及其变换师大学附属外国语中学 庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。
历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。
这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。
下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。
（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。
如：例1、（2008理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。
若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x i i =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值围是 。
（图一） （图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。
这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。
高一数学一次函数的图像及性质知识点梳理
【导语】进⼊到⾼中阶段，⼤家的学习压⼒都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，⼀次函数的图像及性质知识点为⼤家总结了⾼⼀年级数学素有知识点内容，希望⼤家能谨记呦！！ 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出⼀次函数的图像——⼀条直线。
因此，作⼀次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在⼀次函数上的任意⼀点P(x，y)，都满⾜等式：y=kx+b。
(2)⼀次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正⽐例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过⼀、三象限，y随x的增⼤⽽增⼤; 当k<0时，直线必通过⼆、四象限，y随x的增⼤⽽减⼩。
当b>0时，直线必通过⼀、⼆象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表⽰的是正⽐例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过⼀、三象限;当k<0时，直线只通过⼆、四象限。
【同步练习题】 ⼀、选择题: 1.下列函数中,y是x的⼀次函数的是()A.y=2x2+1;B.y=x-1+1C.y=-2(x+1)D.y=2(x+1)2 2.下列关于函数的说法中,正确的是()A.⼀次函数是正⽐例函数B.正⽐例函数是⼀次函数C.正⽐例函数不是⼀次函数D.不是正⽐例函数的就不是⼀次函数 3.若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是正⽐例函数,则()A.m=;B.m=;C.m>;D.m< 4.下列函数:①y=-8x;②y=;③y=8x;④y=8x+1;⑤y=.其中是⼀次函数的有() xA.1个B.2个C.3个D.4个 5.若函数y=(m-3)xm?1+x+3是⼀次函数(x≠0),则m的值为()A.3B.1C.2D.3或1 6.过点A(0,-2),且与直线y=5x平⾏的直线是()A.y=5x+2B.y=5x-2C.y=-5x+2D.y=-5x-2 7.将直线y=3x-2平移后,得到直线y=3x+6,则原直线()A.沿y轴向上平移了8个单位B.沿y轴向下平移了8个单位C.沿x轴向左平移了8个单位D.沿x轴向右平移了8个单位 8.汽车由天津开往相距120km的北京,若它的平均速度是60km/h,则汽车距北京的路程s(km)与⾏驶时间t(h)之间的函数关系式是()A.s=60t;B.s=120-60tC.s=(120-60)tD.s=120+60t ⼆、填空题:(每⼩题3分,共27分) 1.若y=(n-2)xn2?n?1是正⽐例函数,则n的值是________. 2.函数y=x+4中,若⾃变量x的取值范围是-3 4.长⽅形的长为3cm,宽为2cm,若长增加xcm,则它的⾯积S(cm2)与x(cm)之间的函数关系式是_____,它是______函数,它的图象是_______. 5.已知函数y=mxm?m?1?m2?1,当m=______时,它是正⽐例函数,这个正⽐例函数的关系式为_______;当m=________时,它是⼀次函数,这个⼀次函数的关系式为_______. 6.把函数y=2x的图象沿着y轴向下平移3个单位,得到的直线的解析式为_____.a13 7.两条直线l1:y?x?b,l2:y?x?中,当a________,b______时,L1∥L2.425 8.直线y=-3x+2和y=3x+2是否平⾏?_________. 9.⼀棵树现在⾼50cm,若每⽉长⾼2cm,x⽉后这棵树的⾼度为ycm,则y与x之间的函数关系式是________. 三、基础训练:(共10分) 求⼩球速度v(⽶/秒)与时间t(秒)之间的函数关系式:(1)⼩球由静⽌开始从斜坡上向下滚动,速度每秒增加2⽶;(2)⼩球以3⽶/秒的初速度向下滚动,速度每秒增加2⽶; (3)⼩球以10⽶/秒的初速度从斜坡下向上滚动,若速度每秒减⼩2⽶,则2秒后速度变为多少?何时速度为零? 四、提⾼训练:(每⼩题9分,共27分) 1.m为何值时,函数y=(m+3)x2m?1+4x-5(x≠0)是⼀次函数? 2.已知⼀次函数y=(k-2)x+1-:(1)k为何值时,函数图象经过原点?(2)k为何值时,函数图象过点A(0,3)?(3)k为何值时,函数图象平⾏于直线y=2x?3.甲每⼩时⾛3千⽶,⾛了1.5⼩时后,⼄以每⼩时4.5千⽶的速度追甲,设⼄⾏⾛的时间为t(时),写出甲、⼄两⼈所⾛的路程s(千⽶)与时间t(时)之间的关系式,并在同⼀坐标系内画出函数的图象. 五、中考题与竞赛题:(共12分) 某机动车出发前油箱内有油42升,⾏驶若⼲⼩时后,途中在加油站加油若⼲升,油箱中余油量Q(升)与⾏驶时间t(时)之间的函数关系如图所⽰,回答下列问题.(1)机动车⾏驶⼏⼩时后加油? (2)求加油前油箱余油量Q与⾏驶时间t的函数关系,并求⾃变量t的取值范围;(3)中途加油多少升? (4)如果加油站距⽬的地还有230千⽶,车速为40千⽶/时,要到达⽬的地,油箱中的油是否够⽤?请说明理由. 参考答案: ⼀、1.C2.B3.A4.C5.D6.B7.A8.B⼆、1.-12.1 5.-1y=-x2或-1y=2x+3或y=-x 36.y=2x-37.=2≠-8.不平⾏9.y=50+2x 5三、(1)v=2t(2)v=3+2t.(3)解:v=10-2t, 当t=2时,v=10-2t=6(⽶/秒),∴2秒后速度为6⽶/秒;当v=0时,10-2t=0, ∴t=5,∴5秒后速度为零. 四、1.解:当m+3=0,即m=-3时,y=4x-5是⼀次函数;当m+3≠0时,由2m+1=1,得m=0,∴当m=0时,y=7x-5是⼀次函数; 1由2m+1=0,得m=-. 215∴当m=-时,y=4x-是⼀次函数, 221综上所述,m=-3或0或-. 2k22.解:(1)∵原点(0,0)的坐标满⾜函数解析式,即1-=0, 4∴k=±2,⼜∵k-2≠0,∴k=-2 k2(2)把A(0,-3)代⼊解析式,得-3=1-, 4∴k=±4. (3)∵该直线与y=2x平⾏,∴k-2=2,∴k=4.3.解:S甲=3t+4.5(t>0),S⼄=4.5t(t>0),五、提⽰:(1)t=5. (2)Q=42-6t(0≤t≤5).(3)Q=24 (4)∵加油后油箱⾥的油可供⾏驶11-5=6(⼩时),∴剩下的油可⾏驶6×40=240(千⽶),∵240>230, ∴油箱中的油够⽤.。
三角函数
正弦函数Sine sin a/h ∠A的对边比斜边余弦函数cosine cos b/h ∠A的邻边比斜边正切函数Tangent tan a/b ∠A的对边比邻边余切函数Cotangent cot b/a ∠A的邻边比对边正割函数Secant sec h/b ∠A的斜边比邻边余割函数Cosecant csc h/a ∠A的斜边比对边(注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
且因为cot、sec、csc 易由sin、cos、tan推出，所以初、高中教材中已将其删去不讲)锐角三角函数定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/h余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/h正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a正割（sec)等于斜边比邻边；secA=h/b余割(csc)等于斜边比对边。
cscA=h/a初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
到了高中三角函数值的求法是通过坐标定义法来完成的，这个时候角也扩充到了任意角。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
变化情况正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
罕见除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：versin函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1在角α终边上任取一点P（x，y注：Un是n次上/下数，Bn是n次伯努利数，线依据单位圆定义，我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。
对数函数的图像与性质
非奇非偶函数 无最值
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.
质
函数值分布
你还能发现什么？ y
1 1 3 2
0.1
y log2 x
y log3 x
x
y log10 x
0
1
y log0.1 x
y log1 x
3
y log1 x
2
y
图 形
y=log x
2
y=log x
10
深入探究：函数 y=2 X与 y=log 2x 的图象关系
观察（2）：
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2 X y=x y=log 2 x
●
●
y 2
B 1●
0
A●
11 42
A*
1 2 3
B*
4
x
-1 -2
结论(1)：图象关于直线y=x对称。
1 x 深入探究： y log1 x和y ( ) 图像的关系 2 2
＜ log m log n 则 m n ＞ 2 2 log 2 0.6 ＞ log 2 0.8
3 3
3 3
＜ log1.5 8 log1.5 6
＜n log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m
练习1. 不等式log2(4x+8)>log22x 的解集为
（
A
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0<a<1 和 a > 1
例4.解关于x 的不等式：
log 1 (2 x 1) 1
2
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
高中物理图像问题综合分析
图像问题一、函数图像重要信息①坐标：纵坐标，横坐标，纵坐标之差，横坐标之差。
涉及函数图像相关的问题，首先需要搞清楚纵横坐标分别表示什么物理量；而纵坐标之差，横坐标之差则分别表示纵坐标与横坐标表示的物理量的变化量。
函数图像的纵横坐标一般都表示状态量；如果为过程量，则表示从初始时刻到对应时刻的过程中的总量。
例如，W-t图像中，功W为过程量，于是W表示0~t时间内的总功；而t1~t2时间内，纵坐标的变化量则表示这段时间内的功。
另外，物理上，有时为了方便，纵坐标和横坐标都不一定是从零开始的，需格外注意。
②点：转折点，拐点，端点，断点，交点，截距。
将一个物理过程的各个阶段与图像中的每一段对应起来是有效提取信息前提条件；而将各个阶段与图像对应起来的关键在于将物理过程中的关键时刻，关键状态与图中的特殊点对应起来，这些点包括转折点，拐点，端点，断点，交点，截距（与坐标轴的交点）。
根据物理过程做物理量的函数图像时，也常常先描出关键时刻，关键状态在图像中对应的点。
另外，这些特殊点可能还对应一些临界情形；例如在同一直线上运动的两个物体的v-t图像，交点（彼此穿过对方图像）表示相对运动反向，从而也表示相距极远或极近。
③斜率：切线斜率，割线斜率，与原点连线斜率。
与原点连线斜率表示纵横坐标的比值；例如纯电阻元件U-I图像的点与原点的连线的斜率，表示该点对应的状态下，元件的电阻；理想气体的p-T图（或V-T图）上的点与原点连线的斜率，与该点对应的状态下，其体积（或压强）成反比。
割线斜率表示纵横坐标变化量的比值，如果有意义，通常是某物理量的平均值。
需要指出的是，物理量的平均值存在一个对什么的平均的问题；设A=ΔYΔX，若X表示时刻t，则是对时间的平均；若X表示位置x，则是对距离的平均。
例如：F̅=IΔt 表示力对时间的平均值；而F′̅=WΔx则表示力对距离的平均值；两者不能混淆！切线斜率表示纵横坐标变化量的比值在横坐标之差趋于零时的极限，数学上就是纵坐标作为横坐标的函数的导数，如果有意义，则表示某物理量的瞬时值。
函数图像的特点分析
函数图像的特点分析一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握函数图像的基本概念，包括图像的走势、极值、零点等特征；2. 使学生能够运用数形结合的方法分析具体函数图像的特点；3. 帮助学生理解函数图像与函数性质之间的关系，如单调性、奇偶性等。
技能目标：1. 培养学生运用数形结合的方法绘制和识别函数图像的能力；2. 培养学生通过观察和分析函数图像，解决实际问题的能力；3. 提高学生运用数学软件或工具绘制函数图像的技能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学习的兴趣，特别是对函数图像研究的热情；2. 培养学生具备团队协作精神，学会在小组讨论中分享观点和倾听他人意见；3. 使学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，增强学生的实践意识和创新精神。
分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 本课程为高中数学课程，主要针对函数图像的特点进行分析，具有理论性和实践性；2. 学生处于高中阶段，具有一定的数学基础和逻辑思维能力，但需要提高数形结合的运用能力；3. 教学要求注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的实践操作能力。
二、教学内容1. 函数图像的基本概念：包括函数图像的定义、图像的走势、极值、零点等特征；教材章节：第二章“函数”第三节“函数图像的识别与分析”2. 数形结合方法分析函数图像特点：运用数形结合方法绘制和识别函数图像，分析图像与函数性质之间的关系；教材章节：第二章“函数”第四节“数形结合法分析函数图像”3. 常见函数图像的特点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等图像的特点及识别方法；教材章节：第二章“函数”第五节“常见函数图像的特点”4. 函数图像在实际问题中的应用：结合实际问题，运用函数图像解决具体问题；教材章节：第二章“函数”第六节“函数图像在实际问题中的应用”5. 数学软件绘制函数图像：介绍数学软件（如几何画板、Mathematica等）在绘制函数图像中的应用；教材章节：第二章“函数”第七节“数学软件绘制函数图像”教学进度安排：第一课时：函数图像的基本概念及识别第二课时：数形结合方法分析函数图像特点第三课时：常见函数图像的特点及识别方法第四课时：函数图像在实际问题中的应用第五课时：数学软件绘制函数图像（实践课）三、教学方法针对本章节内容，采用以下多样化的教学方法，旨在激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师以清晰、生动的语言，结合教材内容，系统地讲解函数图像的基本概念、数形结合方法分析函数图像特点等理论知识。
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它被广泛应用于信号处理和通信领域。
在高中教材中，傅里叶变换通常作为一个拓展内容出现，并不要求学生深入理解其数学推导。
傅里叶变换可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和，通过分析原始信号中的各个频率成分，我们可以获得有关信号频谱的信息。
这对于理解信号的频率特性和滤波器设计非常重要。
在高中教材中，傅里叶变换通常涉及以下几个方面的内容：1.傅里叶级数：介绍周期函数的傅里叶级数展开，以及如何计算级数中的各个系数。
2.傅里叶变换与频谱：讨论连续时间信号的傅里叶变换，以及如何从傅里叶变换的结果中获取频谱信息。
3.傅里叶变换的性质：介绍傅里叶变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
4.傅里叶变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即傅里叶逆变换的计算方法。
高中阶段的学生可以通过简单的例子和图形来理解傅里叶变换的基本概念和应用。
此外，教材还可能提及一些傅里叶变换在实际应用中的例子，例如音频信号的压缩和图像处理等领域。
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将复杂的微分方程转化为代数方程的数学工具，广泛应用于电路分析和控制系统设计等领域。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常不作为必修内容，而是出现在物理或工程类选修课程中。
拉普拉斯变换可以将一个时域函数转换为复平面上的频域函数。
通过对原始信号进行变换，我们可以获得有关信号的频率特性、稳定性以及对外界扰动的响应等信息。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常涉及以下几个方面的内容：1.拉普拉斯变换的定义：介绍拉普拉斯变换的定义和计算方法，包括常见函数的拉普拉斯变换表格。
2.拉普拉斯变换的性质：讲解拉普拉斯变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
3.拉普拉斯变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即拉普拉斯逆变换的计算方法。
4.拉普拉斯变换与微分方程：介绍如何利用拉普拉斯变换解决一些复杂的微分方程问题。
v-t图像在高考中的应用
t v-t 图像在高考中的应用一、v-t 图像的意义在v-t 图像中，图像的点线面以及其函数方程式均可表达一定的物理意义： ①点：任意一点坐标（t ，v ）可以表示物体运动过程中任意时刻的瞬时速度。
②线：表示了物体运动的速度趋势。
③面：图像与时间围成的面积，不表示了在这段时间内物体的位移。
④函数方程：y=kx+b ，其中k 表示物体的加速度a ，b 表示物体运动的初速度v 0通过以上分析可以知道：v-t 图像其实包含了匀变速运动的所有物理量，因此，在整个高中阶段，使用v-t 图像去解决直线运动问题是最直观、最巧妙的一种方法。
二、v-t 图像在一些常见问题中的应用1、匀变速直线运动中相等相邻时间间隔的运动特点： 初速度为0的匀变速直线运动的v-t 图像如图所示 根据公式法，已知： ①第一个T 末、第二个T 末、……第n 个T 末的速度比：v 1∶v 2…∶v n =1∶2…∶n 。
②前一个T 内、前二个T 内、……前n 个T 内的位移之比：S 1∶S 2…∶S n =1∶4…∶n 2③第一个T 内、第二个T 内、……第n 个T 内的位移之比：x 1∶x 2…∶x n =1∶3…∶(2n-1)④相等相邻两个时间间隔的位移差：Δx=aT 2使用v-t 图像证明从图中观察，可以看到时间轴被分成相等相邻的若干段，每一段与v-t 图像构成的三角形形成一系列相似三角形，其相似比为1∶2…∶n 。
则有：①相似三角形的相似边之比等于相似比，即v 1∶v 2…∶v n =1∶2…∶n 。
②相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即S 1∶S 2…∶S n =1∶4…∶n 2 ③将图像进行分割可以得到第n 个T 内的位移之比，即x 1∶x 2…∶x n =1∶3…∶(2n-1)④将图形进一步分割，可以得到相等相邻时间间隔内位移差，恰好为图中矩形面积，该矩形的长为T ，宽v 1= aT ，即Δx=aT 2。
由此可见，初速度为零的匀变速直线运动中，相等相邻的时间间隔架的运动特点，也可以使用v-t 图像进行解决。
三角函数
三角函数（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0.866025404 二分之根号3cos45=0.707106781 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0.577350269 三分之根号3tan45=1tan60=1.732050808 根号3tan90=无cot0=无cot30=1.732050808 根号3cot45=1cot60=0.577350269 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程
序号12345678910公式即是上一个公式的特例例如：整理后：令x=x+1 得到：函数 f(x)的图像 S有两个对称轴x=a,x=b（ a≠ b）函数 f(x) 的图像 S有两个对称中心和（a≠ b）函数 f(x) 的图像 S有一个对称中心和一条对称轴 x=a，（a≠ b）周期公式T理解或者公式特点例题自变量的和不是常数，两个自变量之差是常数，两个函数值相加为常数。
两个自变量之差是常数。
两个函数值相加2a为常数。
2a正负号，倒数，两个自变量之差是常数。
4a类似第 3 个公。
2a类似第 3 个公式。
两个函数值之和等于另一个函数值，且两6a个作为加数的函数的自变量是图像向左平移 a 个单位，和向左平移 b 个单位重合。
原来两个点 x 坐标差的距离就是他们的周期。
两个自变量之差是常数，两个函数值相等。
对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自2|a-b|对称这两个知识点相关对称中心多和奇函数以及一个函数图像的2|a-b|自对称这两个知识点相关知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像4|a-b|的自对称以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。
1解周期问题，两种方法： 1.列举多个数据，找寻规律和周期； 2.通过抽象函数直接得到周期。
1.已知f(X)是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有，则解：令 x=0，f(0)=0;令，；令，；令，；∴2. 定义在 R 上的函数 f(x)满足，则 f(2009)=解：整理，得到令x=x+1 得到，由公式 6 知道周期为 6，即，x>0f(2009)=。
由公式2得3.已知函数f(x)满足，思路：消元和赋值。
令，则根据公式 6 知道， f(x+6)=f(x)∴令y=0 ，则∵x 不恒为零，∴，则 f(2010)=，，。
，∴。
下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。
因为word 输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。
高中阶段常见函数图像(高清)(1)
图像
函数表达式
y ln x x
y ln x x
函数极值点
1, 1
y x ln x
函数极值点
1 e
,
1 e
y ln x x
函数极值点
e,
1 e
y x ln x
函数极值点
e, e
y ex x
过定点
0,1
y ex x
函数极值点
0,1
y ex x
函数极值点
1, e
y ln x x 1
函数极值点
e, e
ln x x 1
y ln x 1 ex
函数极值点
0,1 ln x 1 ex
函数表达式
y sin x
y ex x 1
函数极值点
e,
1 e
ex x 1
y ex x 1
过定点
0,1
ex 1 x
y ln 1 1 1 xx
函数极值点
函数表达式
y x2 ex
图像
y
x2 ex
y
ex x2
y ex sin x y ex sin x
4 / 41
y ex sin x y ex sin x
y
sin ex
x
y ex cos x
函数表达式
图像
函数表达式
图像
y ex cos x
y ex cos x
y
cos ex
x
y x2 sin x
y xex
函数极值点
1,
1 e
y
x ex
函数极值点
1,
1 e
图像
1 / 41
函数表达式
高一指数函数知识点的梳理总结
高一指数函数知识点的梳理总结指数函数是高中数学中的重要内容之一，掌握指数函数的基本概念和性质对于研究数学和解决实际问题具有重要意义。
本文对高一阶段的指数函数知识点进行梳理总结，帮助学生深入理解和掌握该部分知识。
1. 指数函数的定义指数函数可表示为 f(x) = a^x，其中 a 是常数且不等于 1。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
在指数函数中，指数 x 可以是任意实数。
2. 指数函数的图像在指数函数的图像中，当 a 大于 1 时，函数的图像呈现递增的趋势，即增长速度加快；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现递减的趋势，即衰减速度加快。
指数函数的图像都通过点 (0, 1)，并随着 a 的变化而改变曲线的陡峭度。
3. 指数函数的性质指数函数具有以下几个重要的性质：- 指数函数的导数等于该函数的常数倍，即 f'(x) = a^x * ln(a)，其中 ln(a) 是以 e 为底的对数函数。
- 0 小于 a 小于 1 时，指数函数在定义域上是递减的；a 大于 1 时，指数函数在定义域上是递增的。
- 指数函数的反函数为对数函数，即 f(x) = a^x 的反函数为 f^(-1)(x) = log_a(x)。
其中 log_a(x) 是以 a 为底的对数函数。
4. 指数函数的运算指数函数的运算包括指数之间的加法、减法、乘法和除法。
- 指数的加法：a^x * a^y = a^(x + y)- 指数的减法：a^x / a^y = a^(x - y)- 指数的乘法：(a^x)^y = a^(x * y)- 指数的除法：(a^x)^(1/y) = a^(x / y)5. 指数方程和指数不等式指数方程和指数不等式是对指数函数进行求解的重要方法。
- 指数方程：将指数函数与常数相等，即 a^x = b，通过求对数或变底公式求解 x。
- 指数不等式：将指数函数与常数进行大小比较，通过性质和图像来解决不等式。