(北京专用)高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质课件
高考数学大一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平
如果两个平行平面同时
性质 定理
和第三个平面_相__交__，那 么它们的_交__线__平行
α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
面面平行的判定与性质
[典例] 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1
中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1
的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； [证明] ∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面．
第三节 直线、平面 平行的判定 与性质
本节主要包括 2 个知识点： 1.直线与平面平行的判定与性质； 2.平面与平面平行的判定与性质.
突破点(一) 直线与平面平行的判定与性质
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
平__面__外___一条直线与_此__ABC中， AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中 点．求证：BD∥平面FGH.
[证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH. 在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点， 可得DF∥GC，DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形， 所以点O为CD的中点．
突破点(二) 平面与平面平行的判定与性质
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言 符号语言
一个平面内的两条_相__交_ 判定 直__线__与另一个平面平 定理 行，则这两个平面平行
(线面平行⇒面面平行)
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质课件
n BC
求角α(直线BC与平面ABF所成的角为α),再求出点H
| n || BC |
的坐标,进而得出PH的长.
评析 本题考查了空间直线与平面平行,线面角,空间向量等知识;考查空间推理论证能力,计 算能力;建立恰当的空间直角坐标系,利用空间向量准确求解是解题的关键.
3.(2012北京文,16,14分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD 上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2. (1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.
解析 本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的性质定理,二面角求解等知识点;旨在考
查学生的空间想象能力;以直四棱柱为模型考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12 B1C.又因为N为A1D的中
点,所以ND= 12 A1D.由题设知A1B1������ DC,可得B1C������ A1D,故ME������ ND,因此四边形MNDE为平行四
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 6 .
设点H的坐标为(u,v,w).
因为点H在棱PC上,所以可设 PH
=λ PC
(0<λ<1),
即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2).所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.
因为n是平面ABF的法向量,所以n· AH =0,
即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.
2.(2014北京,17,14分)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. (1)求证:AB∥FG; (2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
高考数学一轮复习统考 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定及性质课件
答案
解析 因为矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的 中点．在△PBD 中，因为 M 为 PB 的中点，所以 OM 为△PBD 的中位线， OM∥PD，所以 PD∥平面 AMC，OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA，平面 PBC 相交．
第二十五页，共八十六页。
解析
2．(2019·湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同 的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析 A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行 或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可 知结论正确，故选 D.
第三十一页，共八十六页。
解析
例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形 PC 的中点，在 DM 上取一点
G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.
求证：AP∥GH.
证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
第二十六页，共八十六页。
解析 答案
精准设计考向，多角度探究突破 考向二 直线与平面平行(píngxíng)的判定与性质 角度 1 用线线平行证明线面平行 例 2 (1)(2019·豫东名校联考)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为线段 AD 上的任意一点(不包 括 A，D 两点)，平面 CEC1 与平面 BB1D 交于 FG. 证明：FG∥平面 AA1B1B.
高考理科数学(北师大版)一轮复习课件第八章第3讲直线平面平行的判定与性质
面面平行的判定与性质(典例迁移)
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
(1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
【证明】 (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， 所以 GH∥B1C1，又 B1C1∥BC， 所以 GH∥BC，所以 B，C，H，G 四点共面． (2)在△ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC， 因为 EF⊆/ 平面 BCHG，BC 平面 BCHG，
所以 BD1∥平面 ACE. 答案：平行
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面． ( × )
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线． ( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高． 由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 从而 KB＝14DB＝12OB，即 K 为 OB 的中点． 再由 PO∥GK 得 GK＝12PO，且 G 是 PB 的中点，所以 GH＝12BC＝4. 由已知可得 OB＝4 2，PO＝ PB2－OB2＝ 68－32＝6， 所以 GK＝3. 易得 EF＝BC＝8，故四边形 GEFH 的面积 S＝GH＋2 EF·GK＝4＋2 8×3＝18.
【迁移探究 1】 (变条件)在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：HD∥平面 A1B1BA. 证明：如图所示，连接 HD，A1B， 因为 D 为 BC1 的中点， H 为 A1C1 的中点， 所以 HD∥A1B， 又 HD⊆/ 平面 A1B1BA， A1B 平面 A1B1BA，
(北京专用)高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质课件理
方法(fāngfǎ)技巧 1.线线平行(píngxíng)、线面平行(píngxíng)和面面平行(píngxíng)是空间中三种基本 平行(píngxíng)关系,它们之 间可以相互转化,其转化关系如下:
2.在解决线面、面面平行的判定(pàndìng)时,一般遵循从“低维”到“高维”的 转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性 质定理时,其顺序正好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体 条件而定,决不可过于“模式化”.
第十五页，共33页。
∴BB1=DD1, 故四边形BDD1B1为平行四边形, ∴BD∥B1D1, 又BD⊄平面(píngmiàn)AB1D1,B1D1⊂平面(píngmiàn)AB1D1, ∴BD∥平面(píngmiàn)AB1D1.
第十六页，共33页。
方法(fāngfǎ)技巧 证明线面平行的常用方法(fāngfǎ): (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用“面面平行⇒线面平行”(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用平行的传递性(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β;a∥b,b∥α,a⊄α⇒a∥α).
第七页，共33页。
答案 B 由两平面平行的判定定理可知(kě zhī),当其中一个平面内的两条相 交直线均平行于另一平面时,两平面才平行,所以“m∥β”不能推出“α ∥β”;若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面,所以“α∥β”可以推出“m∥β”.因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不 充分条件.故选B.
第十三页，共33页。
证明(zhèngmíng) (1)∵D1,D分别为A1C1,AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边 形,∴ C1D1∥DA, ∴四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥C1D, 又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1, ∴AD1∥平面BDC1.
2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质教师用书文(PDF,含解析)
图形语言
符号语言
α∥β 且 ａ⊂α ⇒ａ∥β
α∥β 且 γ∩α ＝ ａ 且 γ∩β ＝ ｂ⇒ａ∥ｂ
α∥β 且 ｌ⊥α ⇒ｌ⊥β
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化
判定定理
判定定理
判定定理 ↓
线线平行���������������������������������线面平行���������������������������������面面平行
∴
Ｓ△ＣＤＦ ＝
１ ２
ＣＤ·ＤＦ·ｓｉｎ∠ＣＤＦ ＝
３ ２
，
∴
ＶＰ－ＣＤＦ ＝
１ ３
ＰＥ·Ｓ△ＣＤＦ ＝
３ ，
２
∴
三棱锥
Ｇ－ＰＣＤ
的体积为
３ ２
．
１－１ （２０１９ 湖北荆州第八次模拟，１８） 已知：如图，在四棱
锥 Ｐ－ＡＢＣＤ 中，△ＢＣＤ 为等边三角形，ＢＤ ＝ ２ ３ ，ＰＡ ＝ ２ ，ＡＢ ＝ ＡＤ ＝ ＰＢ ＝ ＰＤ，∠ＢＡＤ ＝ １２０°．
ＡＢ，现将四边形 ＡＢＥＦ 沿 ＥＦ 折起，使 ＢＥ⊥ＥＣ．
（１） 若 ＢＥ ＝ １，在折叠后的线段 ＡＤ 上是否存在一点 Ｐ，使得
ＣＰ∥平面 ＡＢＥＦ？ 若存在，求出ＰＡＰＤ的值；若不存在，说明理由；
（２） 求三棱锥 Ａ－ＣＤＦ 的体积的最大值，并求出此时点 Ｆ 到
平面 ＡＣＤ 的距离．
１－２ 解析 （１） 线段 ＡＤ 上存在一点 Ｐ，使得 ＣＰ∥平面 ＡＢＥＦ，
＝
１８ ＋ ８ － １４ ２×３ ２ ×２ ２
＝
１ ２
，
∴
ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝
３ ，
２
∴ Ｓ△ＡＤＣ ＝
１ ２
·ＤＣ·ＤＡ·ｓｉｎ∠ＡＤＣ
2020届高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质教师用书(PDF,含解析)
(２) 因为 ＮꎬＧ 分别为平行四边形 ＡＤＥＦ 的对边 ＡＤꎬＥＦ 的中 点ꎬ所以 ＤＥ∥ＧＮꎬ
又 ＤＥ⊄平面 ＭＮＧꎬＧＮ⊂平面 ＭＮＧꎬ所以 ＤＥ∥平面 ＭＮＧ. 又 Ｍ 为 ＡＢ 的中点ꎬＮ 为 ＡＤ 的中点ꎬ 所以 ＭＮ 为△ＡＢＤ 的中位线ꎬ 所以 ＢＤ∥ＭＮꎬ 因为 ＢＤ⊄平面 ＭＮＧꎬＭＮ⊂平面 ＭＮＧꎬ 所以 ＢＤ∥平面 ＭＮＧꎬ 因为 ＤＥ 与 ＢＤ 为平面 ＢＤＥ 内的两条相交直线ꎬ 所以平面 ＢＤＥ∥平面 ＭＮＧ.
二、证明面面平行的方法
(１) 定义法:两个平面没有公共点( 通常是用反证法) ꎻ
( ２) 判定定理法:一个平面内的两条相交直线分别平行于另
一个平面ꎻ
(３)转化为线线平行:平面 α 内的两条相交直线与平面 β
内的两条相交直线分别平行ꎬ则 α∥βꎻ
(４) 利用平行平面的传递性:若 α∥βꎬβ∥γꎬ则 α∥γ.
判 如果 两 个 平 面 同
定 垂直于一条直线ꎬ
定 那么 这 两 个 平 面
理 平行
２
}ｌ⊥α ⇒α∥β ｌ⊥β
判 定 平行于同一个平 定 面的两个平面 理 平行 ３
} α∥β ⇒α∥γ β∥γ
(２)性质定理 文字语言
性 如果两个平面平 质 行ꎬ那么在一个平 定 面内的所有直线 理 都平行于另一个 １ 平面
同理ꎬＡＡ１ ⊥ＡＤꎬ又 ＡＢ∩ＡＤ ＝ Ａꎬ
所以 ＡＡ１ ⊥平面 ＡＢＣＤ.
(２)
当Ａ１ Ｅ ＥＤ
＝
１
时ꎬＡ１
Ｂ∥平面
ＥＡＣ.
(４ 分) (６ 分)
( 理由如下:连接 ＯＥꎬ假设 Ａ１ Ｂ∥平面 ＥＡＣꎬ由于 Ａ１ Ｂ⊂平
高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质课件 理 新人教B版
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN,∴ PM= P=E Q, B =QN ,∴BQ = PM, QN
AB AE BD DC BD AB DC
∴PM������ QN,即四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE. 证法二:如图,连结AQ并延长交BC的延长线于K,连结EK,
如图所示:
2.应用判定定理和性质定理的注意事项 在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条 件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已 知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.
突破方法
方法1 证明直线与平面平行的方法
∵AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,∴ ຫໍສະໝຸດ P= DQ,PE BQ又AD∥BK,∴ DQ= AQ,∴ A=P A,∴Q PQ∥EK.
BQ QK PE QK
又PQ⊄平面BCE,EK⊂平面BCE, ∴PQ∥平面BCE. 证法三:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连结QM.
∴PM∥平面BCE,且 AP= AM, 又AE=BD,AP=DQ,∴PPEE=BMQB, ∴ AP= DQ,∴ A=M ,DQ ∴MPEQ∥BAQD,又AMDB∥BQCB,
方法2 面面平行的判定
平面与平面平行的判定方法: (1)定义法:两个平面没有公共点; (2)判定定理法:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面; (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β; (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (5)利用两个平面的法向量的数量积等于0. 例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求 证: (1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第四节 直线
因为 M 是 AE 的中点，所以 MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
∴MN∥平面BEC. 又因为△ABD为正三角形，
图②
所以∠BDN＝30°.
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.
第四节 直线、平面平行的判定与性质
高考AB卷
学法大视野
高考AB卷
学法大视野
知识点一 直线与平面平行
1.判定定理
文字语言
图形语言 符号语言
平面外一条直线与平面 判定 内的一条直线 平行 ， 定理 则该直线与此平面平行
(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，l⊄
α，a⊂α， ∴l∥α
高考AB卷
学法大视野
2.性质定理
高考AB卷
学法大视野
(2)[两种技巧：证明线线平行常见两种构图方式； 构造三角形的中位线和平行四边形].在四棱锥 P-ABCD中，E是棱PA的中点，则直线PC与平面 BDE位置关系是________.
解析 连接AC与BD交于点O，连接OE，则OE是 △PAC的中位线，所以OE∥PC，OE⊂平面BDE， PC⊄平面BDE，则PC∥平面BDE. 答案 平行
文字语言
图形语言 符号语言
一条直线与一个平面
平行，则过这条直线的 性质 任一平面与此平面的 定理 交线与直线 平行
(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
∵l∥α，l⊂β， b＝α∩β， ∴l∥b
高考AB卷
学法大视野
►六种方法：证明线线平行的常用方法.
(1)[①公理4(若a∥c，b∥c，则a∥b)；②三角形中位线性质； ③平行四边形对边平行；④线面平行性质定理；⑤面面平行
2019高考理数(北京专用)一轮课件：8 第八章 立体几何39_第三节 直线、平面平行的判定与性质
典例2 如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的
(1)求证:BE∥平面DMF; (2)求证:平面BDE∥平面MNG.
考点突破
证明
(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为
△ABE的中位线,所以BE∥MO, 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
a 3 ,过 P、M、N的平面交上底面于PQ,点
Q在CD上,则PQ=
a
2 2 3
.
教材研读
答案 解析
2 2 3a
连接AC,由平面ABCD∥平面A1B1C1D1,得MN∥平面ABCD,所以
PD DQ AD = CD =
MN∥PQ,又因为MN∥AC,所以PQ∥AC,所以 =
2 PQ 3 = ,AC 所以PQ
B
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
教材研读
答案
B 由两平面平行的判定定理可知,当其中一个平面内的两条相
交直线均平行于另一平面时,两平面才平行,所以“m∥β”不能推出“α ∥β”;若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个
平面,所以“α∥β”可以推出“m∥β”.因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分
所以BE∥平面DMF.
考点突破
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN, 又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG, 所以DE∥平面MNG.
又因为M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN, 又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
2020版高考数学(北京)一轮总复习 8.3 直线、平面平行的判定与性质
∴AM∥DF,
又DF⊂平面EFDB,AM⊄平面EFDB,
∴AM∥平面EFDB.
又∵AM∩MN=M,
∴平面AMN∥平面EFDB.
2019/10/8
16
考点清单
考向基础
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ;
(2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ;
例2 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1的中 点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
2019/10/8
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解题导引
证明 (1)连接B1D1. ∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
∴EF∥B1D1且EF= 12 B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD������ B1D1.
∴EF∥BD且EF= 1 BD.
2
∴四边形BDFE为梯形.
2019/10/8
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(2)连接FM.在△A1B1D1中, ∵M,N分别为A1B1,A1D1的中点, ∴MN∥B1D1, 由(1)知,EF∥B1D1, ∴MN∥EF,
(5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交
线平行.
2019/10/8
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2.直线与平面平行的判定和性质
类别 文字语言