物理光学教程第四章题目详解

4.14 光谱范围为 400~700nm 的可见光经光栅衍射后被展成光谱。 (1) 若光栅常数 d=2μm，试求一级光谱的衍射角范围； (2) 欲使一级光谱的线范围为 50mm，试问应选用多大焦距的透镜？ (3) 问可见光的一级与二级光谱、二级与三级光谱会不会重叠？
答案：（1）应用 1 级光栅方程： sin1 d 一级衍射角11.50 1 20.50 ， 90
答案：（1）应用 1 级光栅方程： sin1 d 谱线角间距 12 0.920 ， 23 1.640 ， 34 1.620 ，
45 0.890 ， 56 0.090 。
方法① 求各条谱线的 1 级衍射角，相减；
方法②
导出角间距公式： d1
d d cos1
d d2 2
（2） DA
m
d cos
对衍射物体 A（ , ），有：
2
a( f , ) A(, )e j2 f cos( )d d . ac ( f , ) jas ( f , )
00
2
a( f , ) A(, )e j2 f cos( )d d . 00 ac ( f , ) jas ( f , )
答案：望远镜分辨本领 1.22 0.2684106 rad
D
为充分利用望远镜的分辨本领，应使 M e
视角放大率 M e D 833.3 De
补充题1 望远镜的有效放大率
设望远镜物镜直径 D 500mm，光波长 0.55m 。求：
（1）望远镜的视角分辩本领 ，（2）此望远镜的放大率设计为多大为宜？
（3）证明中央亮斑的半角宽度 。 a cos
解答：（1）
I
x
I
x0
sinc 2
a
sin
sin
（2） x0 f sin
（3） 方法一:
由第一极小条件 a sin sin 1 ，以及
利用：sin sin 2cos sin
2
2
sin
sin
2 sin
解答：反射光的衍射( n2 n1 1),
0 a0cos
0 0.6104 rad 60 1.2104 rad 89 3.4103 rad
折射光的衍射( n1 1, n2 1.5),
0
(利用 4-6 题结论)
a0 n22 n12 sin2
0 0.4104 rad 60 0.42104 rad 89 0.54104 rad
4.8 （1）试证明单缝夫朗和费衍射第 m 级次级大的辐照度可以近 似地表示为：
2
Lm
L0
m
1 1
2
其中 L0 是衍射图形中心的辐照度。
（2） 以 m 2 为例，分别计算近似值和实际值，求近似值的
相对误差有多大？
（1）沿 x 轴的衍射光强度分布为:
L
L0
sin
2
其中 a0 x f
解：（1）
1.22
0.55 103 1.22
1.3106 rad
D
500
（2）
M
e
2.9 104 1.3106
225
此望远镜的放大率应大于 225 倍。
20
补充题2 显微镜的有效放大率
一台光学显微镜采用数值孔径 NA＝1.5 的油浸物镜，
针对人眼设计，光波长 0.55m 。求：
（1） 显微镜的分辩本领；（2）计算此显微镜的有效放大率。
（2） f 293.37mm
（3）同样应用
2
级和
3
级光栅方程： sin
m
d
m
2,3 ，求出短波
（400nm）的 2、3 级衍射角和长波（700nm）的 1、2 级衍射角，可知：
1－2 级光谱不重叠，2－3 级光谱重叠。
4.15 用宽度为 50mm，每毫米有 500 条刻线的光栅分析汞光谱。已知汞的谱线有：λ1=404.7nm， λ2=435.8nm，λ3=491.6，λ4=546.1nm，λ5=577nm，λ6=579nm 等，假设照明光正入射。 (1) 试求一级光谱中上述各谱线的角距离；（2）试求一级光谱中汞绿线(λ4)附近的角色散； (2) 用此光栅能否分辨一级光谱的两条汞黄线(λ5，λ6)？ (3) 用此光栅最多能观察到 λ6 的几级光谱？
式中 λ0 为光在真空中的波长。 解答：方法（1）导出衍射图形辐照度分布，按 4.5 题方法。
I
x
I
0
sinc2
a
2
sin
sin
，
2 a cos
代入:
sin n1 sin ,
n2
2
n10
n2
方法（2） 用等效狭缝概念。在 n2 介质中，等效狭缝宽度：
a0 a0 cos a0
e jk
f
r2 2f
R1 2
2J1
2
R1r
f
2
R1r
f
R2
2
2
J1
2
R2r
f
2
R2r
f
Lr
1
2 f
2
Байду номын сангаас
R1 2
2J1
2
R1r
f
2
R1r
f
R2
2
2
J1
2
R2r
f
2
R2r
f
2
（2）图(a)方环
L环 L孔
0, 0,
0 0
L2 l2 L4
但： ac A, cos 2 f cos dd ac A, cos 2 f cos dd ac as A, sin 2 f cos dd as A, sin 2 f cos dd as
即： ac ac , as as
所以： a( f , ) 2 a( f , ) 2
E x, y
K f
e jk
f
x2 y2 2f
L2
sin
c
Lx
f
sin
c
Lx
f
l
2
sin
c
lx
f
sin
c
lx
f
L x, y
1
2 f
2
L2
sin
c
Lx
f
sin
c
Lx
f
l
2
sin
c
lx
f
sin
c
lx
f
2
图(b)圆环
Er
K f
4.4 波长为 546nm 的绿光垂直照射缝宽为 1mm 的狭缝，在狭缝后面放置一个焦距为 1m 的 透镜，将衍射光聚集在透镜后焦面的观察屏。试求：
(1) 衍射图形中央亮斑的宽度和角宽度； (2) 衍射图形中央两侧 2mm 处的辐照度与中央辐照度的比值。
答案： (1)
L x L0sin c2
（2） 设光波长 0.633m ，透镜焦距 f 3m ，金属细丝直径的设计值
100m ，若要求细丝直径的误差 5m ，求观察屏上爱里斑半径
的变化范围。
答案：
rA
1.22
f
23.17mm
drA d ， ra
22.01mm rA 24.33mm
4.12 一台天文望远镜物镜的入射光瞳直径 D=2.5m，设光波长 λ=0.55um，求该望远镜的分辨本领。若人眼瞳孔直径 De=3mm，为 了充分利用望远镜的分辨本领，望远镜的视角放大率应等于多少？
m
d2 2
（ 应是汞绿线的 1 级衍射角，不能用可见光平均波长）
汞绿线角色散 DA 0.52103 rad / nm
（3）应用 RP mN （ 应取钠黄光平均波长 578nm）
最小分辨波长差 0.02312nm，可分辨汞黄双线。
（4） m 3.45 ，最多能观察 3 级。
补充题二：一维振幅光栅的最大和最小衍射级各等于多少？
解：（1） 0.61
0.55 103
0.61
0.22m
NA
1.5
（2）要求人眼在 l 250mm 的明视距离观察，所以，
人眼的最小可分辩距离为：
l e 250 2.9104 0.0725mm
显微镜的有效放大率 M
0.0725 0.22 103
330
21
4.13 证明任意物体的夫琅和费衍射辐照度分布都具有中心对称性。
物理光学
第四章习题解
第四章学习要点
• 1.掌握下述基本概念： 光的衍射，衍射的三要素，惠更斯－菲涅耳 原理，光的衍射与光的干涉的异同，菲涅 耳衍射，夫琅和费衍射，爱里分布，衍射 受限分辨本领，瑞利判据，巴比内原理， 光栅，光谱，光栅分辨本领，光栅色散， 色散范围，菲涅耳半波带，菲涅耳波带板。
2.在有限距离观察夫琅和费衍射的装置； 3.应用标量衍射理论计算简单孔径的夫琅和费 衍射的方法（单缝，双缝，园孔，园屏，一维 振幅光栅）,夫琅和费衍射图形的特点。 4.夫琅和费衍射的性质。 5.光学系统的衍射受限分辨本领。 6.应用半波带法分析园孔的菲涅耳衍射； 7.菲涅耳波带板的设计和成像性质。
2
cos
2
cos
a0
a0 cos
方法二:由等效狭缝宽度: a0 a0 cos
和中央亮斑半角宽度: ,可导出结论.
a0
4.6 如果上题中其他条件不变，只是衍射屏左、右两侧媒质不同，折射率
分别为 n1 和 n2。试证明此时衍射图形中央亮斑半角宽度为：
0
a n22 n12 sin2
a0 f
L
0 sin
c2
a0
sin
L 0 sin
c2
a0 x
f
，
2 x1
2 f
a0
，
a0
2x1 1.1mm, 2 1.1103 rad 0.0630
（2）
L2 L0
sin
c2
2a0
f
sin2 2 0.546 2 0.5462
0.0057
4.5 如图所示，一束单色平行光以 β 角射向宽度为 a 的单缝，并在屏 П 上形成夫琅和费衍射 图形。 （1）试求屏 П 上的辐照度表达式；（2）试问衍射图形中心应位在何处？
2
9 56.25% 16
（3）图(b)圆环 L环 0, 0 R12 R22 2 9 56.25%
L孔 0, 0
R14
16
问题：有人应用 Babinet 原理，有必要吗？
补充题一：利用单缝夫琅和费衍射原理，可以在线检测拉丝机生产的金属细 丝的直径误差。（1） 自行设计检测装置，画出原理示意图；说明其工作原 理及装置构造。
光谱仪器中为何不能利用光栅的零级衍射》
4.17 试证明斜入射时光栅的亮纹宽度及缺级条件与正入射时相同。
设入射角 ,导出衍射复振幅分布:
g
1 d
exp
j2
sin
rect
a
comb
d
rect
Nd
G
f
aNd
sin
c
a
f
sin
comb
d
f
sin
sin c
Ndf
4.11 (1) 试求在正入射照明下，图示两种衍射屏的夫琅和费衍射图形的复振幅分布 和辐照度分布。设波长为 λ，透镜焦距为 f。 (2) 假设 l=L/2，试求方环衍射与边长为 L 的方孔衍射的中央辐照度之比。 (3) 假设 R2=R1/2，试求圆环衍射与半径为 R1 的圆孔衍射的中央辐照度之比。 答案： (1) 图(a)方环
1 n12 sin2 ，
n22
2
a
方法（3）利用习题
4.5
的结论，在 n2 介质中
a0
2 cos
代入:
sin n1 sin ,
n2
2
n10
n2
4.7 一束单色平行光在空气－玻璃界面上反射和折射。如果在界面上放置 一个宽度 a 为 10mm 的狭缝光阑(如图所示)，并设 n1=1.0，n2=1.5，λ0=600nm， 试分别求出 β=0，60°，89°时，反射光束和折射光束的衍射中央亮斑角宽 度(即“衍射发散角”)。
aN
sin
c
a
2 d
sin
m
sin
c
Nd
2 d
sin
m d
亮纹条件：
2 d
sin
m d
＝0，
2m 2 d sin
（2）当 m=2 时，
实际计算所得的次级大值： L2 0.01694L0
2
而近似值：
L2
L0
m
1 1
2
0.01621L0
所以相对误差： L2 L2 4.5% L2
由图看出,m 越大,误差越小.
4.9 试以单缝夫琅和费衍射装置(如图所示)为例，讨论装置作如下变化时对 衍射图形的影响。 (1) 透镜 L2：焦距变大； (2) 衍射屏∑：设为单缝。 ○1 ∑屏沿 ξ 轴平移，但不超出入射光照明范围； 回答：∑平移等价于光源 S 平移；∑平移，衍射图形随之平移。 ○2 ∑屏绕 z 轴旋转； (3) 光源 S： ○1 S 是点光源，但沿 x 方向有一移动；（若 S 沿 y 方向平移，结果又如何？） 回答：衍射图形不变；仅中央亮斑随之移动。 ○2 S 是平行于狭缝的线光源。（若 S S 是垂直于狭缝的线光源，结果又如何？）
近似计算时认为第 m 级次级大位于相邻两个暗点的中点，即：
2
m
1 2
，所以：
Lm
L0
m
1 1
2
（2）次极大的实际位置由下式决定:
d
d
sin
0
,
即
t a n
这一方程可以利用图解法求解。如图所示，在同一坐标系中
分别作出曲线 F=tanα和 F=α，其交点即为方程的解。
头几个次极大所对应的α值， 已列于表 3 - 1 中