2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总
平面向量专题
（附详细答案解析）
一、选择题。

1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足
a =2
b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角
为 A ．
π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6
【答案】B ．
【解析】因为()-⊥a b b ，
所以()22
cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，
所以2
2
cos ,2<>=
=
=
⋅b
b
a b a b
b
又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π
,3
<>=
a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A
B ．2
C ．
D ．50 【答案】A ．
【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，
所以-==
a b A.
3.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．
3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．13
44
AB AC + 【答案】A.
【解析】法一、通解 如图所示，
CB AD DB ED EB 2
1
21+=
+= ()()
AC AB AC AB -++⨯=
2
1
2121 31
44
=
-AB AC ．故选A ．
C
B
法二、优解
111
()222
=-=-
=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC 31
44
=
-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【答案】B.
【解析】2
(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．
5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，
120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·
BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0
【答案】C.
【解析】由2BM MA =，可知
||2||BM MA =，∴||
3||
BA MA =． 由2CN NA =，可知
||2||CN NA =，∴||3||
CA NA =，故||||
3||||BA CA MA NA ==，
连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-，
∴2
3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-
23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ．
6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2
430-⋅+=
b e b ，则||-a b 的最小值是
A 1
B 1
C ．2
D ．2 【答案】A.
【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，
由2
430-⋅+=b e b 得2
2
430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，
所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．
N
M
O
C
B
A
因为a 与e 的夹角为
3
π
，所以不妨令点A
在射线y =(0x >)上，如图，
数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．
解法二 由2
430-⋅+=b e b 得2
2
43()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．
设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，
所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．
设OA =a ，作射线OA ，使得3
AOE π
∠=
，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b
|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．
7.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是
cos ,0<><m n ．
因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以
cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；
而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，
所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．
8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =， AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·
I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 O
A
B
C
D
A ．1I <2I <3I
B ．1I <3I <2I
C ．3I < 1I <2I
D ．2I <1I <3I
【答案】C 。

【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，
易得AO AF <，而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．
根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=
||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．
作AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<， 而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，
而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >， ∴312I I I <<，选C ．
E B
C
9.（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则
A ．⊥a b
B ．||||=a b
C ．∥a b
D ．||||>a b 【答案】A.
【解析】由+=-a b a b 两边平方得，
222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，
即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．
10.（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，
连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 A ．85-
B ．81
C ．41
D ．
811
【答案】B.
【解析】设BA a =，BC b =，
∴11()22DE AC b a =
=-，33
()24
DF DE b a ==-， 1353
()2444
AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，
∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.
11.（2016全国III
卷）已知向量1(,
22
BA = ,31(),2BC = 则ABC ∠=
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
【答案】A.
【解析】由题意得112222cos 11||||
BA BC ABC BA BC +⋅∠=
==⨯⋅， 所以30ABC ∠=，故选A ．
12.（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足
||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是
A ．
4
43 B ．449
C ．43637+
D ．433237+
【答案】B.
【解析】建立平面直角坐标系如图所示，
则((0,3)B C A ，
则点P 的轨迹方程为2
2
(3)1x y +-=． 设(,)P x y ，00(,)M x y ，
则02x x =，02y y =，代入圆的方程得
220031(()24x y -
+-=，所以点M
的轨迹方程为2231(()24
x y -+-=，
它表示以3)2为圆心，以1
2
为半径的圆，
所以max 17
||22
BM =
=，所以2max
49||4BM =． 13.（2015重庆）已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为
A ．
3π B ．2
π
C ．23π
D ．56π
【答案】C.
【解析】由题意，得2
(2)20+=+⋅=a a b a a b ，即2
2⋅=-a b a ，
所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 22
2142-==-a a ，所以23
π
<⋅>=a b ，故选C ． 14.（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A ．||||||⋅≤a b a b
B ．||||||||--≤a b a b
C ．2
2
()||+=+a b a b D ．2
2
()()+-=-a b a b a b 【答案】B.
【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，
∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；
对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误； 对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；
对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22
()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．
15.（2015新课标2）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】C.
【解析】由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，
所以()2
22431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．
16.（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，
()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】A.
【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-，得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=．
17.（2015湖南）已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为
(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】B.
【解析】由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++==， 易知B 为(1,0)-时，4PB +取得最大值7，故选B ．
18.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，
则=+FC EB
A ．AD
B ．AD 21
C ．BC 2
1 D ．BC
【答案】A.
【解析】111
()()()222
EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-
+-+=+=．
19.（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 【答案】A.
【解析】由2
()10+=a b ①，2
()6-=a b ②，①-②得1⋅=a b ．
20.(2014山东)
已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为
6
π
，则实数m = A
． B
C ．0 D
． 【答案】B.
cos 6π==
，
两边平方化简得18=
，解得m =
21.（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由
2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为2
4a ，则a 与b 的夹角为 A ．2
3π B ．3π C ．6
π
D ．0 【答案】B.
【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，
若S 的表达式中有0个a b ⋅，则2
2
22S a b =+，记为1S ， 若S 的表达式中有2个a b ⋅，则2
2
222S a b a b =++⋅，记为2S ， 若S 的表达式中有4个a b ⋅，则4S a b =⋅，记为3S ， 又||2||b a =，所以
22
2132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->， 2
2
2122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->，
223()0S S a b -=->，
∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅，设,a b 的夹角为θ，
则22min 48||cos 4||S a b a a θ=⋅==，即1cos 2
θ=， 又[0,]θπ∈，所以3
πθ=
．
22.（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A ．12(0,0),(1,2)==e e
B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e
C ．1
2(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e
【答案】B.
【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，根据平面向量基本定理只有B 成立．
23.（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值
为1
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b 唯一确定
C ．若||a 确定，则θ唯一确定
D ．若||b 确定，则θ唯一确定 【答案】B.
【解析】由于2222||2t t t +=++b a b a b a ，令222()2f t t t =+⋅+b a b a ，
而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为
222222222222
4(2)44cos 4sin 1444
θθ
--===a b ab a b a b b a a ， 即2
2
||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定．
24.（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k = A ．92-
B ．0
C ．3
D ．152
【解析】C.
【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，
所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=．解得3k =，选C
25.（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足
2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域
{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则
A ．13r R <<<
B ．13r R <<≤
C ．13r R ≤<<
D ．13r R <<< 【答案】A.
【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，
则(cos ,sin )OP θθ=，(2,2)OQ = 所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图） ∵||2OQ =，∴13r R <<<．
26.（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
，点,E F 分别在边,BC DC
上，BE BC ，DF DC .若1AE AF ，23
CE CF
，则
A ．
12 B ．23 C ．56 D ．7
12
【答案】C.
【解析】因为120BAD
，所以cos1202AB AD
AB AD .
因为BE
BC ，所以AE
AB
AD ，AF
AB
AD .
因为1AE AF ，所以1AB
AD AB AD ，
即3
22
2 ①； 同理可得2
3
②， ①+②得
56
. 27.（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10 【答案】C.
【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，
所以四边形的面积为52
2)4(212|
|||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，
故选C ．
28.（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足01
4
PB AB =
，且对于边AB 上任 一点P ，恒有00
PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D.
【解析】由题意，设||4AB =，则0||1P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，
在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，
||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+，
0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-，
于是00PB PC P B PC ⋅⋅≥恒成立，相当于(||(1))||PB a PB a -+-≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++≥0恒成立，
只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是1a =， 因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．
29.（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为
A ．3
455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A.
【解析】(3,4)AB =-，所以||5AB =，∴同方向的单位向量是
134
(,)555
AB =-． 30.（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上
的投影为
A
B
C
． D
．
【答案】A.
【解析】AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为
22
32
5515255)5,5()1,2(cos 2
2=⨯+⨯=
+⋅=
=
CD AB AB θ. 31.（2013湖南）已知,a b 是单位向量，⋅0a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最
大值为
A
1 B
C
1 D
2
P 0
P
H
C
B
A
【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，
又设(),x y =c ，代入1--=c a b 1=，
又c 的最大值为圆()()2
2
111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)1．
32.（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12
OP <
，则OA 的取值范围是
A 、2⎛ ⎝⎦
B 、 22⎛ ⎝⎦
C 、 2⎛ ⎝
D 、2
⎛ ⎝ 【答案】D.
【解析】因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为
x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.
由|OP |＜
12，得(x －a )2＋(y －b )2＜1
4
，
即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以7
4
＜x 2＋y 2≤2，即2<≤
所以|OA |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ．
33.（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：
①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；
②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；
③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】利用向量加法的三角形法则，易得①正确； 利用平面向量的基本定理，易的②是对的；
以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；
利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须
=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.
综上，本题选B.
34.（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于
A ．
2 B ．1
2
C ．0
D ．－1 【答案】C.
【解析】2
2
,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C ． 35.（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量
A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a b
B ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b
C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a
D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C.
【解析】2
2
2
2
||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则
||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确； ||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，
故存在实数λ，使得λ=b a ，C 正确；
若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确．
36.（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=,AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=,(1)AQ AC λ=-，
R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=
A ．
31 B ．32 C ．3
4
D ．2 【答案】B.
【解析】如图，设,AB b AC c == ，
则1,2,0b c b c ==•=，
又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，
CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=•CP BQ 得
2
2
[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-，
即
3
2
,23
=
=λλ，选B. 37.（2012安徽）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O
按逆时针旋转
34
π
后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A
．(- B
．(- C ．(2)-- D
．(2)
- 【答案】A.
【解析】方法一、 设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55
OP θθθθ=⇒=
= 则33(10cos(),10sin())(44
OQ ππ
θθ=+
+=-． 方法二、 将向量(6,8)OP =按逆时针旋转
34
π
后，可知Q 点落在第三象限， 则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得
cos 2
QOP ∠=-， ∴34
QOP π∠=
． 设()y ,x Q ，则由⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧OQ OP 及00<<y
,x 解得
⎩⎨
⎧-=-=227y x , ∴点Q 的坐标是(-
38.（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ
⋅=
⋅．若平面向量,a b 满
C
B
足||||0>a b ，a 与b 的夹角(0,
)4π
θ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2
∈n
n Z 中，则a b =
A ．
12 B ．1 C ．32 D ．5
2
【答案】C.
【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2
222n
n Z ⎧⎫
∈=⋅⋅⋅--
⋅⋅⋅⎨⎬⎩
⎭
，从而分析a b
和b a 的范围如下：∵(0,
)4
π
θ∈，
cos 1θ<<，而||cos ||
θ⋅==⋅b a b b a a a a ， 且||||0>a b ，可得||
0cos 1||
θ<
<b a ， 又∵∈b a {|}2
∈n
n Z 中，∴
||1cos ||2θ=b a ，从而||1||2cos θ
=b a ， ∴
2||
cos 2cos ||
θθ⋅===⋅a b a a b b b b ，所以12<<a b ，且a b 也在集合{|}2
∈n
n Z 中，故有32=a b ．
39.（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，
则λ=
A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 【答案】B.
【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=1
2
40.（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=k
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12 【答案】D.
【解析】∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，
∴1020k +-=，解得12k =．
41.（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且
1
1
2λ
μ
+
=，则
称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D.
【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，
从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，
根据
1
1
2λ
μ+
=，得11
2c d
+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈． 若C 是线段AB 的中点，则12c =
，代入112c d +=，得1
0d
=．此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤，此时1
1c ≥，1
1d
≥，112c d +≥，若等号
成立，则只能1c d ==。

根据定义，,C D 是两个不同的点，
故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则
112c d +<，与11
2c d
+=矛盾，
若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d +=矛盾，若1c >，0d <，则1
1c
<，
10d <，此时111c d +<，与11
2c d
+=矛盾，故选项D 的说法是正确的． 42.（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的面积
等于
A B
C D 【答案】C.
【解析】三角形的面积S=
1
2
||sin ,<>a ||b a b ，而
=
11
||||||||sin ,22
a b a b a b =<> 43.（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“
”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，
令mq np =-a
b ，下面说法错误的是
A ．若a 与b 共线，则0=a b
B ．=a
b b a
C ．对任意的R λ∈，有()()λλ=a b a
b
D ．2222()()||||+•=a
b a b a b
【答案】B.
【解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -a
b ，故A 正确；
因为pn qm =-b
a ，而=mq np -a
b ，所以有≠a
b b a ，
故选项B 错误，故选B ．
二、填空题.
44.（2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________. 【答案】10
2
-
.
【解析】()8264⋅⨯-+⨯=-a b =2，=
=a
10=
=b ，cos ,
10=
=a b ． 45.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =________． 【答案】8.
【解析】因为⊥a b ，所以()4630m ⋅=-⨯+⨯=a b ，得8m =.
46.（2019天津文14）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，
点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】.1-
【解析】因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=，
所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=， 又23AB =，所以2AE =，所以2
5
BE AD =-. 因为AE AB BE =+，所以2
5
AE AB AD =-. 又BD BA AD AB AD =+=-+， 所以
()
22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫
⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭
2
272
cos 55
AB AB AD A AD -+
⋅-=73212523251525-+⨯⨯⨯
-⨯=-. 47.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与
CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值是 .
【答案】.3
【解析】设()2
AD AB A AO C λ
λ==
+，
1()(1)3
AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μ
μμμμμ-=+=+=+-=-+=
+,所以1232
λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得12
1
4λμ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
所以11()24AO AD AB AC =
=+，1
3
EC AC AE AB AC =-=-+， 2211312
66()()()43233
AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=
2213
22
AB AB AC AC -+⋅+，
因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+，所以2213
22
AB AC =，
所以
22
3AB AC
=，所以
3AB
AC
=. 48.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是______，最大值是______. 【答案】0；25.
【解析】正方形ABCD 的边长为1，
可得AB AD AC +=，BD AD AB =-，0AB AD ⋅=，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++
12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++
2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++,
由于(1,2,3,4,5,6)
i i λ=2，3，4，5，取遍1±，
可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，
可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0； 由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，
可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为25
49.（2018全国卷Ⅲ）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c
a b ，则
λ= ．
【答案】
1
2
. 【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c 且(2)+∥c a b ，∴0421=-⨯λ，解得.2
1=λ 50.（2018北京）设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______． 【答案】1-.
【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得
1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．
51.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两
个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______． 【答案】3-.
【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t
222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，
当1=±t 时，AE BF ⋅取得最小值3-．
52.（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)=-a ,(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m = ． 【答案】7.
【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a 。

所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 53.（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ． 【答案】2.
【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．
54.（2017天津）在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =，AE AC AB λ=- （λ∈R ），且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 【答案】
3
11
. 【解析】0
32cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，12
33
AD AB AC =
+,则 12212
()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，
解得3
11
λ=．
55.（2017山东）已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ． 【答案】3-.
【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-
56.（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，OA。